Alcindo do Prado Junior. Controle de Processos Industriais

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1 Alcdo do Prado Juor Cotrole de Proceo Idutra 00

2 Cotrole de Proceo Idutra Ídce. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE SISTEMAS DINÂMICOS..... Clafcação do Cotrole Quato à Etrutura..... Clafcação do Cotrole Quato à Aplcaçõe Clafcação do Cotrole Quato ao Proceo Clafcação do Cotrole de Malha Fechada Quato à Operação Abrevatura uada em Itrumeto da área de Cotrole de Proceo Açõe Báca de Cotrole Realmetado Exemplo de Stema realmetado A TRANSFORMADA DE LAPLACE 6.. Itrodução Fuçõe de Varável Complexa A Traformada de Laplace Fução Degrau Fução Impulo Fução Expoecal Fução Rampa Fução Seodal Tabela de Traformada de Laplace Propredade da Traformada de Laplace Atrao o Tempo Dferecação Real Teorema do Valor Fal Teorema da Covolução A Traformada de Laplace Ivera Método da Expaão em Fraçõe Parca com pólo dtto Método da Expaão em Fraçõe Parca com pólo múltplo Reolução de Equaçõe Dfereca Leare Ivarate o Tempo MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS Equaçõe Dfereca e Fução de Traferêca Fução de Traferêca e Bloco Fucoa Operaçõe com Bloco Bloco em Cacata Bloco em Soma Realmetação Modelameto Matemátco de Stema Mecâco Stema Mecâco Tralacoa Stema Mecâco Rotacoa Stema Elétrco Stema Eletro-mecâco Stema de Nível Líqudo Modelo learzado para pequeo a Stema Térmco ANÁLISE DE SISTEMAS CONTÍNUOS LINEARES Stema de Prmera Ordem (Moocapactvo) Stema de Seguda Ordem (Bcapactvo) Stema de Seguda Ordem com Zero Adcoal Etabldade de Stema Cotíuo Crtéro de Etabldade de Routh-Hurwtz O Lugar da Raíze Repota em Freqüêca Etabldade Relatva Marge de Etabldade Coefcete de Erro de Regme Permaete... 34

3 Cotrole de Proceo Idutra 5. AÇÕES BÁSICAS DE CONTROLE REALIMENTADO Itrodução Cotroladore Lga-delga Cotroladore de Tempo Proporcoal Cotroladore Proporcoa (P) Bada Proporcoal (PB) Cotroladore Proporcoa-Itegratvo (PI) Reet Wdup Cotroladore Proporcoa-Itegratvo-Dervatvo (PID) Método empírco de Zegler-Nchol para toa de Cotroladore PID Método da Curva de Reação em Malha Aberta Método de Malha Fechada Exemplo de uma eqüêca de Projeto de Cotroladore PID uado o Lugar da Raíze Implemetação de Cotroladore PID Implemetação Eletrôca Implemetação Dgtal TÓPICOS COMPLEMENTARES DE CONTROLE Cotrole em Cacata Cotrole com Pré-Almetação (Feedforward) Exemplo : Cotrole de Velocdade de Motor de Correte Cotíua Exemplo : Cotrole de Nível em Caldera de Vaporzação Pré-Almetação Etátca e Dâmca Stema de Cotrole de Relação Cotrole de Proceo com Atrao de Traporte Predtor de Smth... 6

4 Cotrole de Proceo Idutra. INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE SISTEMAS DINÂMICOS.. Clafcação do Cotrole Quato à Etrutura a) Cotrole Maual Fg.. Cotrole Maual com Realmetação Maual b) Cotrole Automátco por Programa Malha Aberta Fg.. Cotrole por Programa c) Cotrole Automátco com Realmetação (Feed-back) Fg..3 Cotrole Automátco Realmetado d) Automação Global Fg..4 Cotrole com Automação Itegrada

5 Cotrole de Proceo Idutra.. Clafcação do Cotrole Quato à Aplcaçõe a) Automação da Maufatura Em geral, em Malha Aberta; Iclu: CLP, CNC, Robótca; Idutra: Metal-Mecâca, Automoblítca, Metalúrgca, Almetíca,... ; Prcpa gradeza: P Poção; A Aceleração; S Velocdade; C Cotagem; O Outra; T Tempo. b) Cotrole de Proceo Em geral, em Malha Fechada; Iclu SDCD, Computadore Idutra e Stema de Supervão; Idutra: Químca, Petroquímca, Sderurga,... ; Prcpa gradeza: P Preão; L Nível; O Outra; F Vazão; T Temperatura; Etão crecedo: aále de gae e umdade..3. Clafcação do Cotrole Quato ao Proceo a) Proceo Cotíuo Um proceo é dto cotíuo quado a matéra-prma percorre o equpameto e, ee percuro, é efetuado obre ela o proceo. Como exemplo, podemo ter o tema de cotrole de temperatura apreetado pela Fgura.0. b) Proceo em Batelada Dferete do proceo cotíuo, em que empre há um fluxo de maa, o proceo em batelada uma porção dcreta da matéra ofre todo o cclo de proceameto, dede o eu etado cal até er coderada produto acabado, quado, etão, é ubttuída por outra, e todo o cclo recomeça. A Fgura.5 repreeta a produção de maa de chocolate. Etapa: Itroduzr o produto A, B e C; Aquecer a mtura por dua hora, mturado cotuamete; e Ecoar o produto fal para dar íco à ova batelada. Fg..5 Cotrole em Batelada

6 Cotrole de Proceo Idutra 3.4. Clafcação do Cotrole de Malha Fechada Quato à Operação a) Reguladore O Objetvo de Cotrole do Reguladore é fazer com que a varável cotrolada permaeça o ma próxmo poível de um valor pré-fxado, memo a preeça de perturbaçõe. Exemplo: Cotrole da temperatura ambete. b) Servomecamo O Objetvo de Cotrole do Servomecamo é fazer com a varável cotrolada egur uma dada etrada de referêca. Exemplo: Fazer um foro egur um determado perfl de temperatura.5. Abrevatura uada em Itrumeto da área de Cotrole de Proceo

7 Cotrole de Proceo Idutra 4.6. Açõe Báca de Cotrole Realmetado A Fgura.6 motra o elemeto de um tema de cotrole realmetado (feed-back). Fg..6 Elemeto de um tema de cotrole realmetado O Cotrolador Automátco, a partr do erro extete etre o valor meddo da aída e o valor deejado, gera um al de cotrole que objetvará reduzr ee erro. A maera pela qual o Cotrolador produz o al de cotrole é chamada ação de cotrole. Detre a úmera açõe de cotrole detacam-e, pela ua grade aplcação comercal, o cotroladore: a) Cotroladore Lga-Delga; b) Cotroladore Proporcoa (P); c) Cotroladore Proporcoa-Itegratvo (PI); d) Cotroladore Proporcoa-Dervatvo (PD); e) Cotroladore Proporcoa-Itegratvo-Dervatvo (PID);.7. Exemplo de Stema realmetado Exercíco: eboçar o dagrama de bloco para o tema de cotrole abaxo: Fg..7 Stema de Cotrole de Temperatura de um Foro Retvo

8 Cotrole de Proceo Idutra 5 Fg..8 Stema de Cotrole de Nível Líqudo Fg..9 Stema de Cotrole de Tração Fg..0 Stema de Cotrole de Temperatura de um Trocado de Calor

9 Cotrole de Proceo Idutra 6. A TRANSFORMADA DE LAPLACE.. Itrodução A Traformada de Laplace é uma ferrameta muto útl o etudo de tema dâmco, po traforma a equaçõe dfereca que decrevem ee tema em equaçõe algébrca. Além do, troduz o coceto de pólo e zero para o tema dâmco, que facltam, para egehero e técco, a terpretação dee tema e o projeto de tema para eu cotrole... Fuçõe de Varável Complexa Um úmero complexo é aquele que pou uma parte real e uma parte magára, amba cotate. Se a parte real e/ou a parte magára forem varáve, um úmero complexo é deomado varável complexa. Na traformação de Laplace uamo a otação para degar uma varável complexa, a forma: = σ + jω (.) ode σ é a parte real, ω é a parte magára e j = é o úmero magáro. A Fgura. abaxo repreeta a varável complexa o Plao. Fg.. A varável complexa o Plao Uma fução complexa F(), que é uma fução de, também tem uma parte real e uma parte magára: ode F σ e F ω ão quatdade rea. Como exemplo, codere a fução abaxo: F () = F+ jf (.) σ ω Etão, G σ σ + = ( σ + ) + ω com G () = + (.3) G( σ + jω) = Gσ jg σ + jω+ == + ω ( σ + ) + ω e G ω =. ω (.4) Outro exemplo de fução de varável complexa é a expoecal complexa Euler, reulta: jω e co( ω) je( ω) j e ω que, atravé do Teorema de = + (.5) -jω e co( ω) je( ω) = (.6)

10 Cotrole de Proceo Idutra 7.3. A Traformada de Laplace A Traformada de Laplace de uma fução ulateral á dreta f(t) (f(t) = 0 para t<0) é defda como ode é uma varável complexa a forma t L [ f () t ] = F( ) = f() t e dt (.7) 0 = σ + jω..3.. Fução Degrau Uma fução mportate o etudo de tema dâmco é a fução degrau, que é uma fução ulateral á dreta dada por: ut () = 0, t< 0 ut () = A t 0 ode A é uma cotate. A Fgura. lutra a fução degrau. (.8) Fg.. A fução degrau Aplcado-e Traformada de Laplace a ea fução tem-e: t t L [ u() t ] = U ( ) = Ae dt = A e dt 0 (.9) 0 () A x A x A [ 0 U = e dx= e = e e ] 0 0 (.0) Portato, A U() = (.).3.. Fução Impulo Outra fução mportate o etudo de tema dâmco é a fução mpulo utáro, dada por: δ () t = 0, t 0 δ () t = t = 0 (.) com 0+ δ() tdt= δ() tdt=. A Fgura.3 lutra a fução mpulo utáro. 0 Fg..3 A fução mpulo

11 Cotrole de Proceo Idutra 8 Aplcado-e Traformada de Laplace a ea fução tem-e: L [ δ ] 0 t 0 δ (.3) 0 () t = ( ) = () t e dt = e + () = (.4).3.3. Fução Expoecal Outra fução mportate o etudo de tema dâmco é a fução expoecal, que é uma fução ulateral á dreta dada por: f() t = 0, t < 0 αt f () t = Ae t 0 (.5) ode A e α ão cotate. A Fgura.4 lutra a fução expoecal. Fg..4 A fução expoecal Aplcado-e Traformada de Laplace a ea fução tem-e: αt t ( + α) t L [ f () t ] = F() = Ae e dt = A e dt (.6) 0 0 () A x A x A [ 0 F= edx= e = e e ( + α) ] 0 ( α) (.7) + 0 ( + α) A Portato, F () = (.8) + α Note que a fução degrau é um cao partcular da fução expoecal para α = Fução Rampa Também a fução rampa é mportate o etudo de tema dâmco. Ela é defda como: rt () = 0, t< 0 rt () = At t 0 (.9) ode A é cotate. A Fgura.5 lutra a fução rampa.

12 Cotrole de Proceo Idutra 9 Fg..5 A fução rampa r(t) = At Aplcado-e Traformada de Laplace a ea fução tem-e: t t L [ rt ()] = R () = Ate dt= A te dt 0 (.0) 0 A x A x R () = xedx e( x ) 0 = (.) 0 Portato, A R () = (.).3.5. Fução eodal A fução eodal ulateral à dreta é defda como: f() t = 0, t < 0 f () t = Ae( ωt) t 0 ode A e ω ão cotate. Aplcado-e Traformada de Laplace a ea fução tem-e: (.3) A j t jωt jωt t L [ f () t ] = F() = Ae( ωt) e dt = ( e e ) e dt 0 (.4) 0 A A F () = j jω j + jω ω ω A Portato, F () = + (.5) (.6).3.6. Tabela de Traformada de Laplace Na paga egute apreetamo uma tabela cotedo a traformada de Laplace de vára fuçõe.

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14 Cotrole de Proceo Idutra.4. Propredade da Traformada de Laplace.4. Atrao o tempo Codere a fução f(t) ulateral à dreta atraada de α o tempo, dado orgem à fução f(t-α). Para ea fução tem-e α L [ f( t α)] = e F( ), α 0 (.7) Por exemplo, a Traformada de Laplace de um degrau atraado de α erá: α α e L [ ut ( α)] = e U( ) =, α 0 (.8).4. Dferecação real L df () t = F() f(0) dt (.9) Ea propredade é muto mportate devdo ao fato que permte traformar equaçõe dfereca em mple equaçõe algébrca, como veremo.

15 Cotrole de Proceo Idutra Por exemplo: L [ co wt ] = L df ( eωt ) ω = [ 0] = ω dt ω + ω + ω (.30).4.3 Teorema do Valor Fal Se lm f ( t) t extr, etão lm f ( t) = lm F( ) (.3) t 0 Por exemplo, calcular a tedêca da fução f(t) dada por ua Traformada de Laplace quado o tempo crece defdamete. F () =, ( + ) Aplcado-e o Teorema do valor fal reulta: Coferdo, tem-e: lm f( t) = lm F( ) = lm = t 0 0 ( + ) t F () = = ft () = e, t 0 ( + ) + (.3) (.33) e lm f( t) t = (.34).4.4 Teorema da Covolução f () t F() f () t F () t L τ τ τ 0 = f ( t ) f ( ) d F( ) F ( ) (.35).5. Traformada de Laplace Ivera.5. Método da Expaão em Fraçõe Parca com pólo dtto Exemplo: Achar a traformada de Laplace vera de + 3 F () = ( + )( + ) (.36) Expaddo F () em fraçõe parca tem-e: + 3 a a F () = = + ( + )( + ) + ( + ) (.37)

16 Cotrole de Proceo Idutra 3 ode o termo a e egute forma: a, chamado de reíduo do pólo = e =, podem er calculado da Logo, a a = ( + ) = = ( + )( + ) ( + ) = = = ( + ) = = ( + )( + ) ( + ) f () t = L - [ F ()] = L - = = + +L- ( + ) (.38) (.39) (.40) t t f() t = e e ( t 0) (.4).5. Método da Expaão em Fraçõe Parca com pólo múltplo Exemplo: Achar a traformada de Laplace vera de F () = 3 ( + ) (.4) A expaão de F () em fraçõe parca agora evolve trê termo: b3 b b F () = = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) (.43) O reíduo b, b e b 3 podem er calculado atravé de detdade polomal: b3+ b( + ) + b( + ) F () = = 3 3 ( + ) ( + ) (.44) b + ( b+ b) + ( b+ b + b3) F () = = 3 3 ( + ) ( + ) (.45) Dea forma tem-e: b = b = b+ b = b = 0 b b b = b3 = (.46) Am, f () t = L - [ F() ] = L - ( ) ( + ) 3 + L - 0 ( + ) + L - ( + ) (.47) t t t f() t = t e + e = t + e ( t 0) (.48)

17 Cotrole de Proceo Idutra Reolução de Equaçõe Dfereca Leare Ivarate o Tempo Etudaremo ete tópco também atravé de exemplo. Exemplo : Achar a olução x(t) da equação dferecal: && x+ 3x& + x= 0, x(0) =, x& (0) = 0 (.49) Aplcado-e Traformada de Laplace à (.49) tem-e: L [&& x ] + 3L [ x& ] + X( ) = 0 (.50) A partr da propredade (.9) tem-e: Uado-e (.5) e (.5) a (.50), tem-e ou Daí reulta ou L [ x& ] = X ( ) x(0) (.5) L [&& x] = L[ x& ] x& (0) = X( ) x(0) x& (0) (.5) [ ] ( ) (0) &(0) + 3 ( ) (0) + ( ) = 0 (.53) X x x X x X ( 3 ) X( ) = + (.54) X() = = = ( 3 ) ( )( ) ( ) ( ) (.55) t t xt () = e e ( t 0) (.56) Exemplo : Achar a olução x(t) da equação dferecal: && x+ 3x& + 5x= 3, x(0) = 0, x& (0) = 0 (.57) Aplcado-e Traformada de Laplace à (.54) tem-e: Daí reulta X() + 3 X() + 5 X() = (.58) 3 X() = ( 3 5) (.59) Uado-e a lha 4 da tabela de Traformada de Laplace com ω = 5 e 3 ξ = tem-e: 5 3 ξω () ( t = ( ω ) + xt e e t tg 5 ξ ξ ξ (.60) Exercíco: Uar o Matlab para vualzar a equação (.60). >> t=0:0.:0; % Defção da varável tempo >> w=qrt(5); >> q=3/(*w) ; >> x=3/5*(-/qrt(-q^)*exp(-q*w*t).*(w*t+ata(qrt((-q^)/q)))); >> plot(t,x)

18 Cotrole de Proceo Idutra 5 3. MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS 3.. Equaçõe Dfereca e Fução de Traferêca Uma forma mportate de repreetar tema dâmco é atravé de equaçõe dfereca. Muto tema leare varate o tempo ão decrto por equaçõe dfereca ordára a coefcete cotate, da forma: dy a d y ayt b du m b d m u ( ) = o m + m but m ( ) (3.) dt dt dt dt ode u(t) e y(t) ão repectvamete a etrada e a aída do tema. Aplcado-e Traformada de Laplace a 3., com codçõe ca ula (tema em repouo), tem-e: ( + a a ) Y( ) = ( b + b b ) U) (3.) m m 0 A partr de (3.) pode-e defr a Fução de Traferêca G () do tema, que é a relação etre a Traformada de Laplace da aída e da etrada do tema, coderado-e codçõe ca ula, ou eja: m m Y() b 0 + b bm G () = = (3.3) U() + a a m Exercíco: Determar a Fução de Traferêca de um tema que apreeta a egute equação dferecal: && y+ 3y& + y = 7 u, y(0) = 0, y& (0) = 0 (3.4) Aplcado-e Traformada de Laplace a (3.4), tem-e: ( 3 ) Y( ) 7 U) + + = (3.5) A Fução de Traferêca etão erá dada por: Y() 7 G () = = U + + () 3 (3.6) Exercíco: Obter a repota ao degrau utáro para o tema dado pela fução de traferêca (3.6). A partr de (3.6), com etrada degrau utáro ( U() = ), tem-e: Y() = G() U() = Expaddo-e (3.7) em fraçõe parca reulta: (3.7) ou eja, Y() = = + (3.8) ( + )( + ) + + t t yt ( ) = 3.5 7e e ( t 0) (3.9)

19 Cotrole de Proceo Idutra Fução de Traferêca e Bloco Fucoa A partr da defção da Fução de Traferêca G () em (3.3) pode-e ecrever Y() = G() U() (3.0) Em forma de bloco fucoal, a equação (3.0) fca como apreetado pela Fgura 3., Fg. 3. Bloco da Fução de Traferêca G() A fução de Traferêca é portato uma outra maera de e repreetar tema leare varate o tempo caua e em repouo (codçõe ca ula) Operaçõe com Bloco 3.3. Bloco em Cacata A Fgura 3. lutra um tema com do ub-tema em cacata, ode a aída do prmero ub-tema é a etrada do egudo ub-tema Fg. 3. Bloco em Cacata A Fução de Traferêca para ee tema vale: Y() G () = = G() G() (3.) U() 3.3. Bloco em Soma A Fgura 3.3 lutra um tema com do ub-tema edo omado. Fg. 3.3 Bloco edo omado A Fução de Traferêca para ee tema vale: Y() G () = = G() ± G() (3.) U()

20 Cotrole de Proceo Idutra Realmetação A Fgura 3.4 lutra um tema com do ub-tema, edo um o camho dreto e o outro realzado uma realmetação. Fg. 3.4 Stema realmetado A Fução de Traferêca para ee tema pode er calculada da forma Ma, Uado-e (3.3) e (3.4) reulta: C () = GE () () (3.3) E () = R () HC () () (3.4) C () G () G () = R () = + GH () () (3.5) Exercíco: Um determado tema de cotrole apreeta o dagrama de bloco apreetado a Fgura 3.5. Determar a fuçõe de traferêca: C () a) G () = b) G () = R() C () N () Fg. 3.5 Stema de cotrole realmetado 3.4. Modelameto Matemátco de Stema Mecâco 3.4. Stema Mecâco Tralacoa Codere a Fgura 3.6, que motra um corpo de maa m, ujeto a uma força F, e movedo em uma uperfíce que proporcoa atrto vcoo com coefcete de atrto b, e preo a uma mola com Cotate de Hooke k. A varável y repreeta a poção da maa em relação a um referecal fxo, quado a mola etá em repouo. Fg. 3.6 Stema mecâco tralacoal

21 Cotrole de Proceo Idutra 8 A equação dferecal que rege ee tema é dtada pela Le de Newto: Força = maa aceleração (3.6) Coderado-e atrto vcoo (força de atrto proporcoal à velocdade) e a Le de Hooke (força a mola proporcoal ao delocameto, tem-e: dy d y F b ky m dt = dt (3.7) Aplcado-e Traformada de Laplace a ea equação reulta: ( m + b + k) Y () = F() (3.8) A partr de (3.8) reulta a Fução de Traferêca Y() G () = = m b F() m + + k m (3.9) Exercíco: Smular, uado o oftware Matlab/Smulk, um tema mecâco com m = Kg, k = 0. (MKS) e b = 0.0 (MKS), para etrada degrau utáro Stema Mecâco Rotacoa Codere a Fgura 3.7, que motra um corpo de mometo de érca J, ujeto a um torque T, ofredo atrto vcoo com coefcete de atrto b. A varável ω repreeta a velocdade agular do corpo em relação a um referecal fxo. Fg. 3.7 Stema mecâco rotacoal A equação dferecal que rege ee tema é dtada pela Le de Newto: Torque = mometo de érca aceleração agular (3.0) Coderado-e atrto vcoo (torque de atrto proporcoal à velocdade agular), tem-e: dω T bω = J (3.) dt Aplcado-e Traformada de Laplace a ea equação reulta: ( J + b) ω() = T () (3.) A partr de (3.) reulta a Fução de Traferêca ω() J G () = = (3.3) T() + b J

22 Cotrole de Proceo Idutra 9 Exercíco: Determar a repota de velocdade de um tema mecâco rotacoal com J = (MKS) e b = 0. (MKS) para etrada de torque degrau utáro Stema Elétrco Codere a Fgura 3.8, que motra um crcuto elétrco com elemeto R, L e C. A voltagem e é a etrada do tema e a voltagem e o é a aída do tema. Supõe-e que a correte elétrca ão flu para fora do crcuto o terma de aída. Fg. 3.8 Crcuto elétrco R-LC Para aalarmo ee crcuto precamo eteder como cada um do eu elemeto podem er modelado matematcamete. Para o, coderemo a Fgura 3.9. Fg. 3.9 Elemeto R, L e C O retor R pode er modelado atravé da Le de Ohm, A voltagem o Idutor L é proporcoal à dervada da correte, ou eja er e L = R (3.4) d L dt A voltagem o Capactor C é proporcoal à tegral da correte, da forma = (3.5) ec t = dt C (3.6) 0 A equação dferecal que rege o crcuto da Fgura 3.8 é etão dada pela Le de Krchoff ou eja, voltage em uma malha = 0 (3.7) d t e = L + R + dt dt C 0 t eo dt = C 0 (3.8)

23 Cotrole de Proceo Idutra 0 Aplcado-e Traformada de Laplace a ea equaçõe reulta: E () = ( L+ R+ )() I C Eo() = I() I() = CEo() C Uado-e a eguda equação a prmera, reulta a Fução de Traferêca E () G () = = E o LC R () + L + LC (3.9) (3.30) Exercíco: Smular, uado o oftware Matlab/Smulk, o crcuto acma com R = Kohm, L = mh e C = 0.0 mf, para etrada degrau utáro Stema Eletro-mecâco Codere a Fgura 3.0, que motra, equematcamete, um Motor de Correte Cotíua de ímã permaete, ode e a é a teão de armadura de etrada, é a correte de armadura, T é o torque gerado pelo motor, ω é a velocdade agular do exo do motor de aída, R a é a retêca de armadura, L a é a dutâca de armadura, J é o mometo de érca do exo do motor (cludo a carga mecâca) e b é o coefcete de atrto vcoo ofrdo pelo exo do motor. Fg. 3.0 Motor de Correte Cotíua A equaçõe dee motor ão: a) Krchoff a armadura: b) Newto a carga mecâca: c) Coverão eletro-mecâca: E () = ( R + L )() I + E () (3.3) a a a b T() = ( J+ b) ω() (3.3) E () = Kω() (teão cotra-eletromotrz) (3.33) b t e T() = KtI() (3.34) ode K t é uma cotate relatva a cada motor. Ea equaçõe podem er repreetada em forma de dagrama de bloco, como motra a Fgura 3..

24 Cotrole de Proceo Idutra Fg. 3. Dagrama de bloco do motor de correte cotíua Reduzdo-e ee dagrama de bloco a uma fução de traferêca reulta: ω() K G () = = E L J L b R J R b K t a() a + ( a + a ) + a + t (3.35) Exercíco:. Obteha a fução de traferêca (3.35) para um motor de correte cotíua com o parâmetro: 5 4 R = 0.Ω, L 0 mh, J = 5, 4 0 ( MKS), b= 4 0 ( MKS) e a Kt a ( MKS) =.. Uado o oftware Matlab/Smulk, obteha a curva de repota da velocdade agular para uma teão de armadura de 0 V. 3. Obter a fução de traferêca de malha fechada do ervomecamo de poção apreetado a Fgura 3. abaxo, ode r e c, o âgulo de etrada e aída, repectvamete, ão dado em radao e o crcuto potecométrco tem gaho de 4 /π volt/rad. Fg. 3. Servomecamo de poção 3.7. Stema de Nível Líqudo Codere a Fgura 3.3, que motra, equematcamete, um tema de ível líqudo, ode Q é a vazão de etrada, Q o é a vazão de aída e H é a altura do ível líqudo. Nea fgura também é motrado um crcuto elétrco aálogo ao tema de ível líqudo, ode R repreeta a retêca à vazão da válvula de aída e C é a capactâca do reervatóro, a erem defda. Fg. 3.3 Stema de ível líqudo e eu modelo elétrco aálogo

25 Cotrole de Proceo Idutra A relação etre a altura H e a vazão a) Para ecoameto lamar Q o, de acordo com a Hdrodâmca, pode er de do tpo: Qo = KH (K = cotate) (3.36) b) Para ecoameto turbuleto Qo = K H (K = cotate) (3.37) Prmeramete vamo etudar o cao de ecoameto lamar. A partr da aaloga elétrca da Fgura 3.3 tem-e que Qo = H (3.38) R Comparado-e (3.38) com (3.36) reulta: R = (3.39) K A capactâca do reervatóro pode er defda como dv C = (3.40) dh ode V é o volume do reervatóro. Para reervatóro com ecção traveral cotate de área A, tem-e: AdH C = = A (3.4) dh A equação dferecal que decreve o tema de ível líqudo da Fgura 3.3 pode er obtda ao e verfcar que a vazão de etrada meo a vazão de aída erá gual á varação do volume do líqudo armazeado o reervatóro, ou eja: dv CdH ( Q Qo) = dt = dt (3.4) Uado-e (3.38) tem-e: dh C + H = Q (3.43) dt R Aplcado-e Traformada de Laplace a (3.43) reulta a fução de traferêca H () R G () = = Q () RC+ (3.44) 3.8. Modelo learzado para pequeo a Para tema ão-leare a Traformada de Laplace e, coeqüetemete, o coceto de Fução de Traferêca, ão e aplcam, dfcultado o modelameto matemátco de ta tema. Uma forma de cotorar o problema cote em realzar aproxmaçõe leare dee tema coderado-e que o a ele preete ão de baxa ampltude (pequeo a). Faremo ee etudo atravé de um exemplo, que é o modelameto de um tema de ível líqudo com ecoameto turbuleto. Coderado-e o tema da Fgura 3.3 com ecoameto turbuleto (3.37), tem-e: A curva da Fgura 3.4 lutra ee comportameto ão-lear. Qo = K H (K = cotate) (3.45)

26 Cotrole de Proceo Idutra 3 Fg. 3.4 Curva Q o x H para ecoameto turbuleto Supohamo que o tema opere próxmo do poto de operação ( HQ, o) e que h eja uma pequea varação de H em toro de H, como repreetado a Fgura 3.4. Nee cao a curva pode er aproxmada o etoro do poto de operação pela equação da reta tagete à curva ee poto, como lutrado a fgura, ou eja: ou dq = + (3.46) o Qo Qo h dh H = H K Qo = Qo + h (3.47) H A equação dferecal (3.4), que decreve o tema de ível líqudo, agora pode er dada por dh K C + Qo + h= Q = Q + q (3.48) dt H No poto de operação, com H = H, Q = Q e h = 0, tem-e que Qo = Q. Também, dh dh H = H + h dt = dt (3.49) Am, a equação dferecal do tema em toro do poto de operação erá dada por Defdo-e R como a retêca à vazão da válvula de aída, da forma dh K C + h= q (3.50) dt H H R = (3.5) K e aplcado-e Traformada de Laplace à (3.50), chega-e à fução de traferêca H () R G () = = Q () RC+ (3.5) Muto embora a fuçõe de traferêca (3.44) e (3.5) pareçam gua, ela tem dua dfereça báca:. A varáve H() e Q () em (3.44) referem-e à varáve tempora aboluta Ht () e Q () t, equato que em (3.5) referem-e à varáve tempora relatva ht () e q () t.. Em (3.44), R é de fato uma cotate, equato que em (3.5) é um valor que depede do poto de operação, como dado em (3.5).

27 Cotrole de Proceo Idutra 4 A Fgura 3.5 motra como o tema de cotrole deverá er projetado em toro do poto de operação. Fg. 3.5 Cotrole em toro de um poto de operação 3.9. Stema Térmco A Fgura 3.6 motra um foro elétrco, que correpode a um tema cuja etrada é a voltagem V a que almeta a retêca do foro e cuja aída é a temperatura θ a do foro. Á emelhaça do tema de ível etudado o tem 3.8, pode-e obter um crcuto elétrco aálogo a ee tema térmco, ode R repreeta a retêca à varação de temperatura e C é a capactâca térmca do foro. Fg. 3.6 Foro elétrco retvo À emelhaça de (3.5), ee tema também pode er modelado pela fução de traferêca θ () R G () = = V() RC+ (3.53) Como o tem ateror, a varáve θ () e V() em (3.53) referem-e à varáve tempora relatva () t vt (), que urgem da varação em toro do poto de operação ( V, θ ) a a, da forma θ e v = V V (3.54) a a θ = θ θ (3.55) a a Exercíco: Apreete o dagrama de bloco de um tema de cotrole para o tema térmco da Fgura 3.6, coderado-e que ele etá operado em toro do poto de operação V = 50V, θ = 50 o C. a a

28 Cotrole de Proceo Idutra 5 4. ANÁLISE DE SISTEMAS CONTÍNUOS LINEARES 4.. Stema de Prmera Ordem (Moocapactvo) Codere o tema de a. ordem dado pela fução de traferêca K K / T G () = = (4.) T + + / T Para etrada degrau utáro (U() = /) tem-e: K / T Y() = (4.) ( + / T) ou t/ T yt () = K( e ) (4.3) A cotate T é chamada de Cotate de Tempo do Stema; K é o Gaho do Stema. A Fgura 4. abaxo apreeta a curva típca da repota ao degrau para tema de a. ordem. Fg. 4. Repota ao degrau utáro para tema de a. ordem Oberve que a repota ao degrau atge 95% do valor de regme permaete em 3 cotate de tempo, e em toro de 98% do valor de regme permaete em 4 cotate de tempo. Exercíco: Um determado tema apreeta a repota ao degrau utáro dada pela Fgura 4. abaxo. Determar a fução de traferêca do tema Tempo (egudo) Fg. 4. Repota ao degrau utáro para um tema de a. ordem

29 Cotrole de Proceo Idutra Stema de Seguda Ordem (Bcapactvo) Seja o tema de a. ordem com gaho utáro dado pela fução de traferêca G( ) = O pólo dee tema ão dado por ω + ξω + ω ω, ξ > 0 (4.4), = ξω ± jω ξ (4.5) Trê cao podem ocorrer: a) ξ > cao obreamortecdo pólo rea egatvo dtto; b) ξ = cao crtcamete amortecdo pólo rea gua; c) ξ < cao ub-amortecdo pólo complexo cojugado com parte real egatva (Fgura 4.3) Fg. 4.3 Localzação o plao do pólo de a. ordem para o cao ub-amortecdo O cao obreamortecdo e crtcamete amortecdo podem er coderado como o cacateameto de do tema de prmera ordem, e ão erá etudado com maore detalhe. A repota ao degrau utáro para o cao ub-amortecdo é dada por e yt t tg ξ ξ ξ ξω t () = e( ω ) d + (4.6) cotdo de uma compoete cotate ma uma eodal amortecda, como lutra a Fgura 4.4 abaxo. Fg. 4.4 Repota ao degrau para o cao ub-amortecdo

30 Cotrole de Proceo Idutra 7 Atravé da expreão (4.6) pode-e faclmete etabelecer a egute epecfcaçõe da repota tratóra de tema de a. ordem: a) Tempo de Subda (Re -Tme) - t r t r π β ω = (4.7) d b) Tempo de Pco - t p c) Sobre-al (Máxmo Overhoot) - M p t p π ω = (4.8) d ξπ ξ M p = e.00% (4.9) d) Tempo de Etablzação (Settlg - Tme) - t t t 3 = (5% de tolerâca) (4.0) ξω 4 = (% de tolerâca) (4.) ξω A Fgura 4.5 abaxo apreeta a repota ao degrau para o trê cao coderado e para váro valore de ξ, com o exo do tempo ormalzado ( ω ) t Fg. 4.5 Repota ao degrau para tema de ª ordem Oberve que o Máxmo Overhoot depede ucamete do Coefcete de Amortecmeto ξ e que a velocdade de repota depede tato de ω como de ξ.

31 Cotrole de Proceo Idutra Stema de Seguda Ordem com Zero Adcoal Seja o tema de a. ordem com gaho utáro dado pela fução de traferêca (4.), que apreeta um zero adcoal, ) ( r r z z G ω ζω ω = (4.) Ta tema ão de grade mportâca prátca, uma vez que empre ocorrem quado e tem um tema de prmera ordem com cotrole proporcoal-tegral. Ifelzmete a lteratura de cotrole ão o etudam adequadamete. Abaxo apreetamo alguma de ua prcpa caracterítca: Repota ao degrau utáro ) e( ) ( r r r r r t d z z tg t z z z e t y ω ζ ζ ω ζ ω ζω ζ ζω + + = (4.3) Tempo de Subda ζ ω ω ζ ζ = r r r z z tg t (4.4) Tempo de Etablzação (5% x = 0.05; % x = 0.0) r r r z z z x t ζω ω ζω ζ + =. log (4.5) Máxmo Overhoot. Não exte fórmula explícta; dado pelo ábaco abaxo da Fgura 4.6: Fg. 4.6 Ábaco do Máxmo Overhoot para tema de ª ordem com zero adcoal

32 Cotrole de Proceo Idutra 9 Exercíco ) Um determado tema apreeta o dagrama de bloco apreetado pela Fgura 4.7 abaxo. Determar ua fução de traferêca e o parâmetro relatvo à repota ao degrau: tempo de ubda, tempo de etablzação (5%), tempo de etablzação (%) e máxmo overhoot. Fg. 4.7 Stema com cotrole PI ) Um tema de cotrole de temperatura, com Cotrolador Proporcoal + Itegral, tem o dagrama de bloco apreetado a Fgura 4.8: Fg. 4.8 Stema com cotrole PI a) Motre que o tema apreeta erro de regme ulo para etrada θ ref do tpo degrau, com θ amb = cte. b) Para K = 0. e K = , calcule o Máxmo Overhoot e o Tempo de Etablzação (%) da repota. c) Comprove o reultado utlzado o SIMULINK Etabldade de Stema Cotíuo A repota de tema cotíuo, em relação ao pólo etrada, é compoto de parcela da forma ode etá relacoado com a multplcdade do polo (4.6) ão é lmtada. Pode-e motrar que ea parcela erá lmtada para a de ua fução de traferêca e do al de at t e (4.6) [ ] 0 a. É medato verfcar que e Re [ ] > 0 a a parcela Re a < (4.7) Portato, pode-e dzer que um tema cotíuo lear varate o tempo erá etável e todo o pólo de ua fução de traferêca obedecem a relação (4.7) acma, ou eja, etão localzado o em-plao equerdo do plao complexo. Exercíco Uado o comado root do Matlab, verfcar a etabldade do tema que apreetem o egute polômo caracterítco (deomadore da fuçõe de traferêca): a) b) c) d) D 3 () = D 4 3 () = D 3 () = D 3 () = 3+

33 Cotrole de Proceo Idutra Crtéro de Etabldade de Routh-Hurwtz O crtéro de Routh-Hurwtz erve para determar a preeça de pólo táve, em ter que reolver a equação caracterítca do tema (deomador da ua fução de traferêca = 0). O prmero pao do método cote em e obter a equação caracterítca do tema: D ( ) = a + a a + a = 0 (4.8) 0 0 A egur mota-e a egute tabela: a 0 a a 4... a a 3 a 5... b b b 3... c c c e e f g O coefcete b, b, b 3, etc, ão calculado como egue: b a a a a 0 3 =, a b a a a a =, a b a a O cálculo do b proegue até que o retate ejam todo ulo. O cálculo do c é emelhate ao do b, delocado-e uma lha para baxo: a a =,... (4.9) a c b a a b 3 =, b c b a a b 5 3 =, b c 3 b a a b 7 4 =,... (4.0) b E am por date, até o cálculo de g. O Crtéro de Etabldade de Routh-Hurwtz dz que o úmero de raíze da equação (4.8) com parte real potva é gual ao úmero de mudaça de al do coefcete da prmera colua da tabela. Exemplo: 4 3 D() = = 0 (4.) A tabela fca: Houve dua mudaça de al a prmera colua, o que dca que o tema apreeta do pólo táve. Cao epecal: e um termo da prmera colua é ulo, e o dema elemeto da lha, e extrem, ão ão todo ulo, pode-e ubttur o termo ulo por um úmero potvo muto pequeo ε e calcular o reto da tabela ormalmete. Se o al do coefcete acma do zero (ε ) é dferete do al do coefcete abaxo, to dca que há uma mudaça de al e, portato, a extêca de um pólo tável. Por exemplo: 3 D () = 3+ = 0 (4.) A tabela fca: -3 0 ε 3 ε Houve dua mudaça de al a prmera colua, o que dca que o tema apreeta do pólo táve.

34 Cotrole de Proceo Idutra 3 Se, etretato, o al do coefcete acma do zero (ε ) é o memo que o al do coefcete abaxo, to gfca que há um par de raíze magára, que podem er obtda atravé da lha acma do zero(ε ). Por exemplo: 3 D () = (4.3) A tabela fca: 0 ε A raíze magára podem er obtda atravé da lha localzada acma do zero: + = =± j (4.4) 0 Exercíco Codere o tema vto a Fgura 4.9. Determar a faxa de valore para o gaho K de modo que o tema eja etável. Fg. 4.9 Repota ao degrau para tema de ª ordem 4.6. O Lugar da Raíze O exemplo da Fgura 4.9 acma lutra um problema batate comum a aále de tema de cotrole realmetado. A fução de traferêca de malha fechada do tema vale: G MF () = K k (4.5) O pólo de malha fechada, portato, ão a raíze da equação caracterítca (4.6), e depedem do valor de K k = 0 (4.6) Surge etão a perguta: ode fcarão localzado o pólo de malha fechada do tema com a varação do gaho K? A Fgura 4.0 abaxo motra um mapa, o plao, da localzação do pólo de malha fechada do tema em fução do gaho K. Ee mapa é chamado de Lugar da Raíze do tema. Fg. 4.0 Lugar da Raíze do tema da Fgura 4.9

35 Cotrole de Proceo Idutra 3 De forma geeralzada, codere o tema da Fgura 4. abaxo, com a fução de traferêca de malha aberta com pólo e m zero, dada por G () = G() H() = MA K ( + z)( + z) L( + zm) ( + p )( + p ) L( + p ) (4.7) Fg. 4.- Stema Realmetado O comado rlocu(um, de) do Matlab traça o Lugar da Raíze dee tema, ode um correpode ao umerador da fução de traferêca de malha aberta com K = e de correpode ao deomador da fução de traferêca de malha aberta. Clcado-e em algum poto da lha traçada, obtem-e o correpodete valor de K. O Lugar da Raíze é uma excelete ferrameta para aále e também, como veremo, para projeto de tema realmetado. Oberve-e pela Fgura 4.0 que pode-e prever o comportameto do tema coforme o valor do gaho K vara. Para 0 K o pólo do tema ão rea e etáve. Logo, a repota do tema apreetam comportameto expoecal amortecdo. Para K < 6 o pólo do tema ão complexo cojugado etáve. Portato, a repota do tema têm comportameto oclatóro amortecdo. Para K = 6 tem-e pólo rea com parte real ula, ou eja, o tema é margalmete etável, tedo comportameto oclatóro ão amortecdo. Para K > 6 o tema é tável. Exercíco: Obter o Lugar da Raíze apreetado a Fgura 4.0. para o tema da Fgura 4.9 e comprovar o valore aalado a Fgura 4.0. Smule a repota ao degrau utáro do tema uado o Smulk para váro valore de K. Alguma Regra relatva ao Lugar da Raíze. O Lugar da Raíze começa o pólo de malha aberta com K = 0 e termam o zero de malha aberta, cao extam, ou em aítota o fto, quado K.. Número de aítota: m. 3. No exo real, um poto pertece ao Lugar da Raíze para K > 0 e o úmero de pólo + zero de malha aberta á ua dreta é ímpar. 4. A adção de um zero, tede a atrar o Lugar da Raíze; a de um pólo, tede a repel-lo. Exercíco:. Comprovar a trê prmera regra acma o exercíco ateror.. Uado o Matlab, obter o Lugar da Raíze do tema cuja fuçõe de traferêca de malha aberta ão dada abaxo. Também, comprovar a quatro regra apreetada. a) K GH () () = ( + ) b) K ( + ) GH () () = ( + ) c) K ( + )( + 3) GH () () = ( + ) d) K ( + ) GH () () = ( + 3.6)

36 Cotrole de Proceo Idutra Repota em Freqüêca A Fgura 4. motra a repota de regme permaete de um tema G () para uma etrada eodal de freqüêca ω. Fg. 4. Repota de regme permaete para etrada eodal Note que apea o cohecmeto de G ( jω) (valore de tomado o exo magáro) o permte caracterzar a repota em freqüêca de G (). A Repota em Freqüêca G ( jω) pode er vualzada grafcamete pelo chamado Gráfco de Bode, que apreetam o módulo de G( jω) em db ( 0log ( ) G jω ) e a fae de G( jω) em grau. 4 A Fgura 4.3 lutra o Gráfco de Bode para a fução de traferêca G ( ) =. Ee gráfco ( + ) foram obtdo pelo comado bode(um, de) do Matlab, ode um e de correpodem ao umerado e ao deomador de G (), repectvamete. 40 Bode Dagram 0 Magtude (db) Phae (deg) Frequecy (rad/ec) Fg. 4.3 Gráfco de Bode para a fução de traferêca 4 ( ) = ( + ) G. Exercíco: Uado o oftware Matlab, obter o Dagrama de Bode para a egute fuçõe de traferêca: a) GH () () = b) 0( + )( + 3) GH () () = ( + )

37 Cotrole de Proceo Idutra Etabldade Relatva Marge de Etabldade A Teora de Etabldade de Nyqut o permte determar a etabldade de um tema realmetado com bae a Repota em Freqüêca de malha aberta do tema, dada pelo eu Gráfco de Bode. Codere um tema realmetado como o motrado pela Fgura 4.4, com G() e H() etáve. Ee tema erá etável e: Fg. 4.4 Stema Realmetado a) Na freqüêca ω 0dB, ode GH ( jω 0dB ) = 0dB, a fae de GH ( jω 0dB ) for maor que 80 0, ou b) Na freqüêca ω π, ode a fae de GH ( jω ) 80 o π =, GH ( jω π ) for meor que 0 db. Defe-e etão: a) Margem de Fae b) Margem de Gaho γ = fae( GH ( jω )) + 80 o (4.8) 0dB = GH ( jωπ ) db (4.9) Ea marge formam o quato de defaagem e o quato de aumeto de gaho a fução de traferêca de malha aberta G()H() pode ofrer, edo o tema ada etável. Valore egatvo para ea marge dcam tabldade. 4 Exercíco: Seja o tema da Fgura 4.4, com G ( ) = e realmetação utára, cuja repota em ( + ) freqüêca de malha aberta é apreetada a Fgura 4.3. Verfque a etabldade do tema e calcule a Marge de Gaho e de Fae. Compare o reultado com o obtdo pelo Matlab atravé do comado: >> [Delta,Gama, OmegaP, Omega0dB]=marg(4,[ 0]) Coefcete de Erro de Regme Permaete Codere o tema da Fgura 4.4, com K( Ta + )( Tb + )...( Tm + ) G( ) H ( ) = (4.30) ( T + )( T + )...( T ) N + Ee tema é dto er de Tpo, pelo fato de ua fução de traferêca de malha aberta ter pólo a orgem. O tpo do tema dca ua capacdade de coegur egur determado a em regme permaete. Tem-e que E( ) = R( ) + G( ) H ( ) (4.3)

38 Cotrole de Proceo Idutra 35 O erro de regme permaete para a etrada R(), uado-e o Teorema do Valor Fal, erá dado por e R( ) = lm e( t) = lm t + G( ) H ( 0 ) (4.3) a) Coefcete de Erro de Poção - K p (Etrada Degrau) Para etrada degrau de ampltude A, ou eja, para R() = A/, a expreão 4.3 fca A e = (4.33) + G(0) H (0) O Coefcete de Erro de Poção é defdo como: K = lmg( ) H ( ) G(0) H (0) (4.34) 0 p = Portato, o erro de regme para etrada degrau, dado pela expreão 4.33, fca: e A = (4.35) + K p Coderado-e a expreão 4.35, tem-e que: Tpo do Stema K p 0 K e A + K p ou maor 0 A Fgura 4.5 lutra a repota ao degrau utáro para do tema com realmetação utára, um do Tpo zero ( G ( ) = ) e outro do Tpo ( 00 G ( ) = ) ( + 0) Fg. 4.5 Repota ao degrau para tema de Tpo 0 e Tpo Exercíco: Cofra o reultado da Fgura 4.5 uado o oftware Smulk.

39 Cotrole de Proceo Idutra 36 b) Coefcete de Erro de Velocdade K v (Etrada Rampa) Para etrada Rampa de clação A, ou eja, para G() = A/, a expreão 4.3 fca e A = lm (4.36) 0 G( ) H ( ) O Coefcete de Erro de Velocdade é defdo como: K v = lm G( ) H ( ) (4.37) 0 Portato, o erro de regme para etrada rampa, dado pela expreão 4.36, fca: Coderado-e a expreão 4.38, tem-e que: A e = (4.38) K v Tpo do Stema K v e 0 0 K A Kv ou maor 0 A Fgura 4.6 lutra a repota á etrada rampa utára para tre tema com realmetação utára, um do Tpo zero ( G ( ) = ), um do Tpo ( 50 G ( ) = ) e um do tpo ( ( + 0) G( ) = ) ( + 0) Fg. 4.6 Repota à etrada rampa para tema de Tpo 0, e Exercíco: Cofra o reultado da Fgura 4.6 uado o oftware Smulk.

40 Cotrole de Proceo Idutra AÇÕES BÁSICAS DE CONTROLE REALIMENTADO 5.. Itrodução A Fgura 5. motra o elemeto de um tema de cotrole realmetado (feed-back). Fg. 5. Elemeto de um tema de cotrole realmetado O Cotrolador Automátco, a partr do erro extete etre o valor meddo da aída (varável de proceo) e o valor deejado (et-pot), gera um al de cotrole (varável mapulada) que objetvará reduzr ee erro. A maera pela qual o Cotrolador produz o al de cotrole é chamada ação de cotrole. Detre a úmera açõe de cotrole detacam-e, pela ua grade aplcação comercal, o cotroladore: a) Cotroladore Lga-Delga; b) Cotroladore Proporcoa (P); c) Cotroladore Proporcoa-Itegratvo (PI); d) Cotroladore Proporcoa-Itegratvo-Dervatvo (PID); Fg. 5. Apecto típco de um cotrolador dutral Codere o Stema de Cotrole de Nível Líqudo motrado pela Fgura 5.3, que erá uado ete capítulo como exemplo para auxlar o etudo do cotroladore acma. Fg. 5.3 Stema de Cotrole de Nível Líqudo

41 Cotrole de Proceo Idutra 38 Nee tema, o Atuador (também chamado de Elemeto Fal de Cotrole) é uma Servo-válvula a etrada do proceo, que pode er modelada pela egute equação: q () t = K m() t (5.) ode a K é o gaho da Servo-válvula. Nete exemplo erá coderado K = 0.( MKS). O Proceo cote o taque e a válvula de aída, upota de ecoameto lamar (ver tem 3.7), para o qual e tem a varáve e o parâmetro: h = altura o ível líqudo; q = fluxo de água a etrada; q o = fluxo de água a aída; r = ível de referêca deejado; R = retêca hdráulca da válvula de aída ( h = Rq o ) = 0 (MKS); C = capactâca do vao = Área da Seção Traveral do Vao = 0 (MKS); Codere-e ada a extêca de um atrao de traporte líqudo o taque. A fução de traferêca etre h(t) e (t), uado-e (3.44) e (.8), vale q a C RC a τ = 4 etre a abertura da válvula e a etrada de H () τ = e (5.) Q() + O dagrama de bloco do tema em malha fechada é apreetado a Fgura 5.4. Fg. 5.4 Dagrama de Bloco do Stema de Cotrole de Nível Líqudo 5.. Cotroladore Lga-Delga São aquele em que o valor do al de cotrole e altera etre do valore, depededo do valor do erro. Como exemplo tem-e o relé, com ou em hteree, cuja açõe de cotrole ão motrada pela Fgura 5.5. Fg. 5.5 Cotroladore à relé: a) em hteree; b) com hteree Ta cotroladore ão aproprado para proceo leto e que permtem certa flutuação da varável cotrolada, como o cotrole de ível líqudo e o cotrole de temperatura (por exemplo, de uma geladera). Uma curva típca de repota de ta cotroladore é apreetada pela Fgura 5.6.

42 Cotrole de Proceo Idutra 39 Fg. 5.6 Curva típca de repota de ação de cotrole lga-delga A oclação em toro do valor de referêca deejado é dtada pela érca de repota do proceo e/ou pelo atrao do própro cotrolador (hteree) e deve er devdamete projetada para um deempeho atfatóro. O cotrole lga-delga a relé ocaoa tema ão-leare, de dfícl aále matemátca e ão erá etudado com maore detalhe ete curo. Exercíco: Smular, uado o oftware Smulk, o tema de cotrole da Fgura 5.4 para um cotrolador lga-delga do tpo relé deal (em hteree), com M = 0 e M = Cotroladore de Tempo Proporcoal Outro exemplo de cotrolador do tpo lga-delga ão o chamado Cotroladore de Tempo Proporcoal, em que um cotrolador uual, como um PID, é egudo de um modulador de largura de pulo (PWM), como motra a Fgura 5.7. Fg. 5.7 Cotrolador de Tempo Proporcoal Ta cotroladore ão uado empre que o elemeto atuador for do tpo lga-delga e o deempeho com relé leva a oclaçõe com caracterítca ão acetáve. Na maora do cao o Modulador de Largura de Pulo pode er modelado mplemete como um gaho, ao e coderar apea a compoete fudametal de ua repota, uma vez que a dema freqüêca ormalmete ão fltrada pelo proceo. Nete cao, toda a aále do tema de cotrole fcará mlar ao de um cotrole cotíuo. Exercíco: Smular, uado o oftware Smulk, o tema de cotrole da Fgura 5.4 para um cotrolador lga-delga de tempo proporcoal. Comete o reultado Cotroladore Proporcoa (P) São aquele em que a le de cotrole é dada por mt () = Ket () (5.3) ou M () = KE() (5.4) ode: K = gaho proporcoal.

43 Cotrole de Proceo Idutra 40 A prcpa caracterítca potva do Cotrole Proporcoal ão a ua mplcdade, por ão aumetar a ordem do tema, e ua rapdez, uma vez um erro em ua etrada e mafeta medatamete o al de cotrole. Como caracterítca egatva, a partr do etudo realzado o tem 4.9, pode-e coclur que o Cotrole Proporcoal ocaoará erro de regme para plata do tpo zero com etrada degrau, e para plata do tpo com etrada rampa. Se a dmeão dee erro for compatível com a epecfcaçõe deejada, deve-e procurar melhorar o cotrole pela cluão da le de cotrole tegratva, como e verá adate. Para lutrar ea caracterítca, a le de cotrole (5.3) erá uada o tema da Fgura 5.4. Como a cotate de tempo do proceo é de 00, o atrao de traporte τ = 4 erá decoderado a aále a egur. O dagrama de bloco do tema em malha fechada com Cotrole Proporcoal é apreetado a Fgura 5.8. Fg. 5.8 Dagrama de Bloco do Stema de Nível com Cotrole Proporcoal A fução de traferêca de malha fechada do tema erá dada por H( ) 0.005K = R () K 00 Note-e que a ordem do tema cotrolado ão fo aumetada, cotuado a er de prmera ordem, porém com uma ova cotate de tempo, agora dada por T c 00 = = K + K 00 Para valore de K potvo, a equação (5.6) motra que a cotate de tempo do tema cotrolado é empre meor que a do proceo. Portato o tema cotrolado erá ma rápdo que a plata orgal. A repota ao degrau de ampltude A erá dada por 0.005K A H() = K 00 KA c ht () = ( e T ) + K Relatvo a erro de regme para a etrada rampa de ampltude A, a expreõe (4.34) e (4.35) reultarão: 0.005K K p = G(0) = = K (5.5) (5.6) (5.7) (5.8) (5.9) e A A = = + K + K p (5.0) A expreão (5.0) motra que o erro de regme ão erá ulo, e que eu valor erá veramete proporcoal ao valor de K, ou eja quato maor o valor de K, meor o valor do erro de regme.

44 Cotrole de Proceo Idutra 4 Para exemplfcar, codere-e a etrada do tema como edo um degrau de ampltude A= ( metro). Para um erro de regme deejado de 5% ( e = 0, metro), a expreão 5.0 reulta o valor K = 9.0. Para ee valor de K, a expreão (5.6) reultará em uma cotate de tempo T 0 um tempo de etablzação t (%) 40 =. A Fgura 5.9 abaxo motra ee reultado c =, o que reultará em Fg. 5.9 Repota ao degrau de ampltude A= metro para Cotrole Proporcoal com K = 9.0. A expreõe (5.6) e (5.0) ugerem que quato maor o valor de K, melhor, po o tema torar-e-a cada vez ma rápdo (meor T c ) e ma preco (meor erro de regme), ma o ão é verdadero, po outro fatore rão lmtar ea tedêca. Na aále feta ete tem deprezou-e o atrao de traporte τ = 4, ma, a realdade, ee atrao etá preete o tema e rá tora-e fluete para alto valore de K. Para motrar ee fato a Fgura 5.0 abaxo motra reultado de mulação do tema coderado-e o atrao de traporte τ = 4 e para K = 99.0, valor ete projetado para e obter um erro de regme de %. Fg. 5.0 Repota ao degrau de ampltude A= metro para Cotrole Proporcoal com K = (Smulação feta com a preeça do atrao τ=4) Note-e que o tema fcou tável, o que motra que e a dmução do erro de regme tem um lmte. Se deeja-e aular o erro de regme, erá eceáro uar outra le de cotrole, com ação tegratva, objeto de etudo do tem 5.4. Exercíco: Smular, uado o oftware Smulk, o tema de cotrole da Fgura 5.4 para Cotrole Proporcoal, com gaho K = 9.0 e K = Cometar o reultado.

45 Cotrole de Proceo Idutra Bada Proporcoal (PB) É comum a Lteratura de Cotrole Automátco a utlzação do termo Bada Proporcoal (PB) relacoado a um Cotrolador Proporcoal. A Bada Proporcoal pode er defda como edo a varação percetual da Varável Cotrolada eceára para provocar o curo completo (00%) do Atuador (ormalmete uma Servoválvula). A Fgura 5. motra a relação etre a abertura da Servo-válvula e a Varável Cotrolada, para váro valore de Bada Proporcoal. Fg. 5. Curva de Abertura da Servo-válvula x Varável Cotrolada (em percetage) Matematcamete, tem-e: 00% PB = (5.) K 5.4. Cotroladore Proporcoa-Itegratvo (PI) São aquele em que a le de cotrole é dada por ou mt () = Ket (() + e( τ ) dτ ) T (5.) M () = K( + ) E() (5.3) T ode: K = gaho proporcoal; T = Tempo Itegratvo (Reet Tme); K = K T = Gaho Itegratvo; A prcpal caracterítca potva da ação tegratva é que ela aumeta o tpo do tema, e, coeqüetemete, melhora o deempeho do tema em relação ao erro de regme permaete. Como caracterítca egatva, a tegração aumeta a ordem do tema, torado ma complcado o comportameto da repota tratóra do tema, que tedem a er ma leta (po a tegração demada tempo para er realzada) e/ou ma oclatóra. Para aumetar a flexbldade de projeto do cotrolador, e obter repota ma rápda, é comum ão e uar a le tegratva ozha, ma m jutamete com ação proporcoal, ocaoado o cotrolador PI. Para lutrar ea caracterítca, a le de cotrole (5.) erá uada o tema da Fgura 5.4. Semelhatemete ao cao do Cotrole Proporcoal, como a cotate de tempo do proceo é de 00,

46 Cotrole de Proceo Idutra 43 τ = erá decoderado a aále que egue. O dagrama de bloco do tema em o atrao de traporte 4 malha fechada com Cotrole Proporcoal-Itegral é apreetado a fgura 5.. Fg. 5. Dagrama de Bloco do Stema de Nível com Cotrole Proporcoal-Itegral Como e tem do parâmetro a erem determado, a epecfcaçõe de projeto podem er amplada. Por exemplo, pode-e deejar o projeto de um cotrolador de forma que o tema cotrolado apreete: a) Erro de regme ulo para etrada do tpo degrau; b) Tempo de etablzação (%) 60,0 ; c) Máxmo Overhoot 0%. Para elmar erro de regme para etrada degrau o tema deve er do Tpo. Como o Proceo é do Tpo Zero, o Cotrolador deve ter ação tegratva. Para aumetar a flexbldade do projeto (a fm de atfazer a outra epecfcaçõe), tetaremo projetar um cotrolador PI, da forma + / T Gc ( ) = K( ) (5.4) Em malha fechada tem-e H() K ( + / T ) = (5.5) R () + ( K) K 00 T o que gfca que agora e tem, em malha fechada, um tema de a ordem com zero adcoal. Uado a formaçõe do tem 4.3, comparado-e a equaçõe (5.5) e (4.) tem-e: ξω = K 00 (5.6) 0.005K ω = T (5.7) zr = T (5.8) O valore de ξ e ω erão obtdo teratvamete a partr da Equação (4.5) e do ábaco da Fgura (4.6):. Arbtre um valor para ξ (por exemplo ξ = 0.5 );. Uado o ábaco para o Máxmo Overhoot epecfcado, determe o valor de a z r = ; ξω 3. Uado-e a relação zr = aξω a Equação (4.5) obtem-e o valor de ω, da forma: ξ log[0.0 aξ ] a ξ aξ + ω = (5.9) t 4. Uado o valore de ξ e ω a equaçõe (5.6) a (5.8), determe o valore de K, T e r zr 5. Calcule o valor de aˆ =. Se â< a, aumete o valor de ξ e volte ao pao. Se â a ξω Aplcado-e ee procedmeto teratvo ao exemplo acma reulta: K = 9.3 e T = 34.5 ξ z ; >, FIM.

47 Cotrole de Proceo Idutra 44 A Fgura 5.3 motra a repota ao degrau do tema para o cotrolador PI projetado acma. Fg. 5.3 Repota ao degrau de ampltude A= metro para Cotrole PI com K=9.3 e T =34.5. (Smulação feta com a preeça do atrao τ=4) Oberve-e a Fgura 5.3 que o erro de regme fo aulado, ma a repota fcou ma leta e ma oclatóra Reet Wdup Um fato mportate que empre deve er dto a repeto da mplemetação de cotroladore PI é que a ação tegratva deve er retrada a preeça de aturaçõe o al de cotrole m(t). Ea medda va evtar o que e chama de Reet Wdup (Devaro do Itegrador), que cotuma acarretar tratóro deatroo. Para lutrar ee fato, a Fgura 5.4 motra a repota do cotrolador PI com K = 9.0 e K = 0.5, upodo-e que a aída mt () eteja lmtada à faxa 0V a 0V, em e com at-reet-wdup. (a) Sem at-reet-wdup (b) Com at-reet-wdup Fg. 5.4 Repota ao degrau de ampltude A= metro para Cotrole PI com K=9.0 e T =8.0. (Smulação feta com 0<m(t)<0 e atrao de traporte τ=4) Exercíco: Smular, uado o oftware Smulk, o tema de cotrole da Fgura 5.4 para Cotrole Proporcoal-Itegral, com gaho K = 9.0 e T = 8.0. Poterormete, lmte a aída m(t) à faxa 0<m(t)<0V e comprove o reultado apreetado a Fgura 5.4.

48 Cotrole de Proceo Idutra Cotroladore Proporcoa-Itegratvo-Dervatvo (P I D) São aquele em que a le de cotrole é dada por ou de( t) mt () = Ket (() + e( τ) dτ Td ) T + (5.0) dt M () = K( + + Td ) E() (5.) T ode: K = gaho proporcoal; T = Tempo Itegratvo (Reet Tme); T d = Tempo Dervatvo (Rate Tme); K K = = Gaho Itegratvo; T K d = KT = Gaho Dervatvo. d Em relação ao cotrole PI, etudado o tem ateror, o Cotrolador PID é troduzda a ação de cotrole dervatva. A le de cotrole dervatva olha para a dervada do erro e prevê eu crecmeto, agdo ate que o erro e tore muto grade. Dee modo, a caracterítca potva da ação dervatva é que ela aumeta a velocdade de repota do tema, provocado um efeto etablzate. Como caracterítca egatva, a le de cotrole dervatva tede a provocar gaho alto para a de alta freqüêca, facltado a etrada de ruído o tema. Portato, deve er uada com cudado, para proceo bem comportado, lvre de ruído. É bom também que e realce que a ação dervatva uca deve er uada ozha, po ó é efetva durate o período em que o erro vara. O Cotrolador PID reúe a vatage de velocdade (devdo à ação proporcoal e ação dervatva) e de precão do regme permaete (devdo à le tegratva), dado grade flexbldade ao projeto de tema de cotrole, que, va de regra, procurará ateder a epecfcaçõe: Rapdez de operação; Amortecmeto adequado; Precão (erro de regme pequeo, ou ulo); Imudade a perturbaçõe Método empírco de Zegler-Nchol para toa de Cotroladore PID Extem úmero procedmeto empírco para a determação do gaho K, T e T d (chamada de toa do cotrolador). Etre ele podemo ctar o Método de Zegler-Nchol de Malha aaberta e de Malha Fechada. Ambo o método foram cocebdo emprcamete para que e teha em malha fechada repota ao degrau com razão de decameto 4:, ou eja, overhoot cuja ampltude decaam ea proporção para cada cclo de oclação Método da Curva de Reação em Malha aberta Ete método, eboçado a Fgura 5.5, etá baeado em e aproxmar a repota ao degrau do tema em malha aberta, chamada Curva de Reação, pela repota de um tema de prmera ordem com atrao de traporte, cuja fução de traferêca é dada pela expreão (5.). G () = τ Ke T + (5.)

49 Cotrole de Proceo Idutra 46 Fg. 5.5 Curva de Reação de um proceo O parâmetro do cotrolador ão obtdo pela tabela abaxo. Tpo de Cotrolador P PI PID K T τ K T 0.9 τ K T. τ K T 3.33τ T d τ 0.5τ Exercíco: Comprove o método propoto acma utlzado o oftware Smulk para a plata 0.5 e G( ) = Método de Malha Fechada Ete método é aplcado com a plata e o cotrolador em malha fechada, egudo o procedmeto: a) Ajute T d e /T em zero; b) Aumete letamete o gaho K até que e tale o tema uma oclação peródca; c) Seja K u ee valor do gaho e T u o período de oclação; d) Ecolha o parâmetro do cotrolador de acordo com a tabele abaxo Tpo de Cotrolador P PD PI PID K 0,5K u 0,6K u 0,45K u 0,6K u T T u, T u T d T u T u 8 8 Exercíco: Comprove o método propoto acma utlzado o oftware Smulk para a plata 0.5 e G( ) =. +

50 Cotrole de Proceo Idutra Exemplo de uma eqüêca de Projeto de Cotroladore PID uado o Lugar da Raíze Codere um tema cotíuo decrto pela fução de traferêca 0 G ( ) = (5.3) ( + )( + ) >> p = 0; % Numerador da Plata >> dp = cov([ ],[ ]); % Deomador da Plata Icamo o projeto com um cotrolador proporcoal (G c ()=K). Para tal, é tereate obter o lugar da raíze do tema. >> rlocu(p,dp) % Obteção do lugar da raíze do tema com gaho K >> ax([ ]) % Mudaça de Ecala A Fgura 5.6 apreeta o lugar da raíze do tema. Fg. 5.6 Lugar da raíze do tema com cotrole proporcoal. Para K =,0, tem-e ζ = 0,433 e pólo de malha fechada em aproxmadamete -,5 ± 3,j. Obteha a repota ao degrau do tema com ee valor de K. >> [mf dmf]=cloop(.0*p,dp); % Obteção da fução de traferêca de malha fechada >> tep(mf,dmf) % Repota ao degrau do tema com G c ()= K =,0. A Fgura 5.7 motra a repota ao degrau do tema com Cotrole Proporcoal.

51 Cotrole de Proceo Idutra 48 Fg. 5.7 Repota ao Degrau do Cotrole Proporcoal com K =,64. Oberve que a repota do tema apreetou um erro de regme. A fm de dmur o erro de regme, pode-e tetar aumetar o valor de K, ma, uado ea técca, o overhoot da repota aumetará (verfque ee fato uado o Matlab). Para ar dee mpae e corrgr o erro de regme devemo troduzr uma ação tegratva, atravé de um cotrole PI: K K ( K+ K) Gc () = K + = (5.4) Vado ubttur o pólo = - da plata pelo pólo = 0 do cotrolador (para aular o erro de regme), o zero do cotrolador deverá cacelar o pólo = -, to é K K = (5.5) Fg. 5.8 Plata com o Cotrole PI. Obervado a Fgura 5.8, para e obter o lugar da raíze do ovo tema faz-e: >> ma=p*[ ]; % Numerador de malha aberta em o gaho K >> dma=cov(dp,[ 0]); % Deomador de malha aberta >> rlocu(ma,dma) % Obteção do lugar da raíze do tema com gaho K >> ax([ ]) % Mudaça de Ecala A Fgura 5.9 motra o Lugar da raíze do tema com Cotrole Proporcoal-Itegral. Para ζ = 0,43 (emelhate ao cao ateror) tem-e K = 0,539. Dea forma, tem-e também K = 0,539.

52 Cotrole de Proceo Idutra 49 Fg. 5.9 Lugar da raíze do tema com Cotrole Proporcoal-Itegral Verfque a repota ao degrau do tema com ee cotrolador PI: >> ma = 0.539*ma; % Numerador de Malha Aberta com cotrole PI >> [mf dmf] = cloop(ma,dma); % Fução de Traferêca de Malha Fechada com cotrole PI >> tep(mf,dmf) % Repota ao Degrau o Stema Dcretzado com cotrole PI Fg. 5.0 Repota ao Degrau do Cotrole Dgtal PI.

53 Cotrole de Proceo Idutra 50 A Fgura 5.9 motra que a parte real do pólo para ao tema com cotrole PI vale -ζ w = -, e portato o Tempo de Etablzação do tema valerá 4 t (%) = = 4, (5.6) ξω depedete do valor de K. A Fgura 5.0, com K = 0,539, apreeta ee tempo de repota. Note que a repota fcou ma leta que com cotrole proporcoal (Fgura 5.7). A ação tegratva, embora corrja erro de regme permaete, empre tede a porar a repota tratóra. Se deejarmo um tema ma rápdo, como ão e pode acelerar o tempo de repota pela varação do gaho K, deve-e procurar outra alteratva. Uma dela é a adção da ação dervatva o cotrolador, que fcará: K+ pk pk ( K + Kd )( + K+ K + ) d K+ Kd K Gc() = K + + Kd = + p ( + p) (5.7) ' Note que o ovo gaho do tema erá K K K d + p fo troduzdo para torar a ação dervatva realzável. Note que agora o cotrolador troduz um pólo a orgem, outro pólo em = p e do zero. Para melhorar o tratóro temo que puxar o pólo de malha fechada ma para a equerda (aumetar a velocdade) e ma para baxo (aumetar o amortecmeto). Para o, cacelaremo o pólo da plata com o zero do compeador, ou eja = +. O temo ( ) ou K + pk pk + + = ( + )( + ) = K + K K + K K + pk K + K d d = 3 d pk e K + K = d (5.8) (5.9) O valor de p erá projetado em fução da velocdade deejada. Dado que o tema cotrolado é de ª. ordem, uado-e (4.4) e (4.) tem-e: 8 p = ξω = (5.30) t (%) Para a epecfcação de t (%) =, tem-e que p = 4. O lugar da raíze do tema com ee cotrole PID em fução de >> ma = cov(p,[ 3 ]); % Numerador de Malha Aberta com cotrole PID >> p=4; % Valor de p >> dma = cov(dp,[ p 0]); % Deomador de Malha Aberta com cotrole PID >> rlocu(ma,dma) % Obteção do Lugar da raíze do tema co cotrole PID >> ax([ ]) % Mudaça de Ecala ' K. A Fgura 5., abaxo, apreeta o lugar da raíze com cotrole PID. Para que e teha ζ = (máxmo overhoot = 4%), tem-e ' K K K d = + = 0,80. Ea equação e a dua aterore reultam em: K = 0,5, K = 0, 4 e K = 0,3 d

54 Cotrole de Proceo Idutra 5 Fg. 5. Lugar da raíze do tema com cotrole PID. Verfque a repota ao degrau do tema com ee cotrolador PID: >> Kl=0.800; % Icluão o cotrolador do gaho k ecotrado >> ma=kl*ma; % Icluão o cotrolador do gaho k ecotrado >> [mf dmf] = cloop(ma,dma); % Fução de Traferêca de Malha Fechada com cotrole PI >> tep(mf,dmf,6) % Repota ao Degrau o Stema Dcretzado com cotrole PI Fg. 5. Repota ao Degrau do Cotrole PID.

55 Cotrole de Proceo Idutra Implemetação de Cotroladore PID Implemetação Eletrôca A Fgura 5.3 apreeta um crcuto eletrôco báco para a mplemetação de cotroladore eletrôco, ode aparecem um amplfcador operacoal deal, com gaho e mpedâca de etrada de valore upotamete fto, e dua mpedâca Z e Z. Fg. 5.3 Crcuto com Amplfcador Operacoal Se a teão de aída e o é lmtada, como A, tem-e que e t 0. Por o, o termal egatvo do amplfcador operacoal é chamadao de Terra Vrtual ete crtuto. Coderado-e ee fato tem-e: ou I = E () E () Z = Z (5.3) () o Eo () Z E () Z = (5.3) a) Cotrolador Proporcoal Codere o crcuto da Fgura 5.4. Fg. 5.4 Cotrolador Proporcoal Eletrôco Aplcado-e a expreão 5.3 dua veze, chega-e ao Cotrolador Proporcoal ode o valor do gaho proporcoal é dado por M() E () K R R = (5.33) R R = (5.34)

56 Cotrole de Proceo Idutra 53 b) Cotrolador Proporcoal-Itegral Codere o crcuto da Fgura 5.5. Fg. 5.5 Cotrolador Proporcoal-Itegral Eletrôco Aplcado-e a expreão 5.3 dua veze, chega-e ao Cotrolador PI M() R E () R RC ode o gaho proporcoal e tegratvo ão dado por = + (5.35) K K R R = (5.36) = (5.37) R C c) Cotrolador Proporcoal-Itegral-Dervatvo Codere o crcuto da Fgura 5.6. Fg. 5.6 Cotrolador Proporcoal-Itegral-Dervatvo Eletrôco Aplcado-e a expreão 5.3 dua veze, chega-e ao Cotrolador PID M() R C E () R C RC = RC (5.38) ode o gaho proporcoal, tegratvo e dervatvo ão dado por R C K = + (5.39) R C K Kd = R C (5.40) = R C (5.4)

57 Cotrole de Proceo Idutra Implemetação Dgtal Cada vez ma o cotroladore de proceo ão mplemetado dgtalmete por meo de mcrocotroladore, DSP, CLP e computadore dutra. Em todo ee cao, a ação de cotrole é realzada pela execução de alguma lha de programa preete o oftware do dpotvo. Nete tem e dará alguma déa obre a elaboração do trecho do programa correpodete ao cotroladore dgta. A ação de cotrole PID é dada por mt () = Ket () + Km() t + Km() t (5.4) d d de() t md () t = (5.43) dt t m () t = e( τ ) dτ (5.44) 0 Ee cotrolador, como motra a Fgura 5.7, deverá er realzado a partr de amotra do erro ( ) em tate dcreto t = kt ( k = 0,,,... ), ode T é o período de amotragem. ek tomada Fg. 5.7 Sal e(t) amotrado a) Ação Dervatva A expreão 5.43 pode er aproxmada, a partr da amotra, por b) Ação Itegratva et ( ) ek ( ) ek ( ) md ( k) = t T t= kt (5.45) A partr de (5.44), o tate de amotragem tem-e: kt ( k ) T ek ( ) + ek ( ) m ( k) = e( τ) dτ e( τ) dτ T 0 + (5.46) 0 O últmo termo de (5.46) correpode à aproxmação da tegral o últmo período de amotragem por um trapézo (veja-e a Fgura 5.7). A expreão (5.46) motra que a ação tegratva pode er realzada de modo teratvo por: c) O cotrolador PID Dgtal ek ( ) + ek ( ) m( k) = m( k ) + T (5.47) A partr de (5.4), (5.45) e (5.47), chega-e ao Cotrolador PID dgtal dado pela expreão teratva KT Kd KT Kd Kd mk ( ) = mk ( ) + ( K+ + ) ek ( ) + ( K ) ek ( ) + ek ( ) (5.48) T T T

58 Cotrole de Proceo Idutra 55 d) O Programa de Cotrole PID Dgtal Fg. 5.8 Fluxograma de um programa de Cotrole PID dgtal

59 Cotrole de Proceo Idutra TÓPICOS COMPLEMENTARES DE CONTROLE 6.. Cotrole em Cacata (Cacade Cotrol) Codere o tema de cotrole motrado pela Fgura 6., ode e tem um foro a gá que tem por objetvo aquecer um fluxo de líqudo. Fg Cotrole de temperatura de fluxo líqudo com apea uma malha Memo com a preeça do cotrolador, a temperatura de aída pode ofrer certa flutuaçõe, como, por exemplo, a devda a perda de preão do gá combutível. Ito pode ocorrer quado e deeja alta temperatura, o que exgra grade abertura da válvula de combutível, provocado aumeto de perda de preão, torado o aquecmeto ma leto, e portato aumetado a flutuação de temperatura. Ee racocío o motra que, a verdade, era deejável cotrolar o fluxo de combutível, e ão a abertura da válvula; em certo etdo temo dua varaçõe de proceo: preão e temperatura, ão omete temperatura. Para corrgr ete problema podemo acrecetar outra malha para cotrolar o fluxo de combutível, cujo etpot eja dado pelo cotrolador de temperatura, como motrado a Fgura 6.. Fg Cotrole em cacata

60 Cotrole de Proceo Idutra 57 Ete tpo de cotrole é deomado Cotrole em Cacata (Cacade Cotrol), ode aparecem dua malha de cotrole, uma detro da outra. Note que e a preão de combutível varar, tededo a mudar o fluxo, o cotrolador FC deverá corrgí-lo, memo ate de haver mudaça a temperatura de aída. A correção dete cotrolador, portato, deverá er muto ma rápda que a do cotrolador de temperatura TC, que é feta atravé do proceo térmco. A Fgura 6.3 apreeta o cotrole em cacata a forma de dagrama de bloco: Fg Dagrama de Bloco de Cotrole em Cacata Note que omete o cotrolador prmáro tem et-pot depedete e omete o cotrolador ecudáro tem aída para o proceo; ote também que ee método de cotrole ão pode er uado a meo que uma varável termedára adequada poa er medda. A prcpa vatage do Cotrole em Cacata ão: a) dtúrbo detro da malha ecudára ão corrgdo pelo cotrolador ecudáro ate que ele poam fluecar a varável prmára; b) atrao de fae extdo a parte ecudára do proceo é reduzda pela malha ecudára, aumetado portato a velocdade de repota da malha prmára; c) varaçõe de gaho da parte ecudára ão corrgda detro de ua própra malha; d) a malha ecudára permte uma exata mapulação de maa ou eerga pelo cotrolador prmáro. Deve er realtado que para ee tema er efcaz, é eceáro que a malha ecudára eja batate ma rápda (4 veze o mímo) que a malha prmára. Se to ão for obedecdo corre-e o rco do Cotrole em Cacata porar o deempeho do tema. Algu do campo de aplcação de Cotrole em Cacata etão em cotrole de temperatura de foro metalúrgco a óleo combutível, cludo foro de reaquecmeto (em lamadore), cotrole de temperatura de caldera, cotrole de fluxo de colua de detlação, etc. Exercíco: 5. Projetar um cotrolador PID para uma plata dada pela fução de traferêca G () =. ( + 5)( + ). Supodo-e que a plata acma poa er decompota em um ub-tema prmáro dado por G () = e ( + ) 5 por um ubtema ecudáro dado por G () =, projetar um Cotrolado em Cacata para ee ( + 5) tema.. Uado o oftware Smulk, mular o tema de cotrole do tem para etrada degrau utáro e com uma perturbação do tpo degrau de ampltude 0.5.

61 Cotrole de Proceo Idutra Cotrole com Pré-Almetação (Feedforward) No cotrole à realmetação, pela ua própra atureza, há a ecedade da ocorrêca de erro a varável cotrolada para e dar orgem à ação de cotrole. Portato, um cotrole perfeto uca é obtdo. Além do, como cada malha de almetação tem ua própra velocdade de operação, e perturbaçõe ocorrerem em tervalo de tempo batate pequeo, o etado de regme pode uca er alcaçado. Há um modo de e reolver o problema do cotrole dretamete, chamado cotrole com pré-realmetação (feedforward cotrol), ode, a partr da medda da perturbação e da referêca deejada (et-pot), o al de cotrole é gerado ate que a perturbação afete a varável cotrolada, como lutra a Fgura 6.4. Fg Cotrole com pré-almetação Note que ão exte realmetação da varável cotrolada, ma apea a medda da perturbaçõe do proceo que tedem a modfcá-la de modo deejado. 6.. Exemplo : Cotrole de Velocdade de Motor de Correte Cotíua A equaçõe de um motor de correte cotíua com correte de campo matda cotate, como lutra a Fgura 6.5, podem er decrta por: Fg Dagrama equemátco de motor de correte cotíua (6.) (6.) ode: u = teão de armadura = correte de armadura R = retêca de armadura L = dutâca de armadura ω = velocdade agular k t = cotate torque-motor T = torque

62 Cotrole de Proceo Idutra 59 A partr da equação (6.) tomada em regme permaete d dt = 0, para e obter uma velocdade agular deejada ω r, a teão u de cotrole a er aplcada deve er u = R+ k t ω r (6.3) Fg Le de Cotrole Feedforward Note que a Le de Cotrole (6.3) é obtda a partr do valor do et-pot ω r e da medda da correte, que etá dretamete relacoada com a perturbação de torque ofrda pelo motor (equação 6.). Se o motor é ujeto a uma carga maor, to é, e for requerdo um maor torque, ea formação é obtda pelo cotrolador a partr da medda da correte. A teão u deverá etão aumetar para corrgr a velocdade, que tedera a car. O exemplo acma erve também para motrar um fato comum a todo o cotroladore com pré-almetação: para a realzação do cotrolador é eceáro cohecer o efeto da perturbaçõe a varável cotrolada. A equação (6.) motra com clareza como uma perturbação de torque (repreetada pela correte ) deve er levada em cota a determação da teão u. 6.. Exemplo : Cotrole de Nível em Caldera de Vaporzação Cotrole com pré-almetação é uual em cotrole de ível líqudo em caldera de vaporzação (Fgura 6.7). Fg Realmetação + Pré-almetação o cotrole de caldera de vaporzação A preeça do extratore de raz quadrada é eceára, uma vez que o tramore de preão dferecal (DP) geram um al proporcoal ao quadrado do fluxo. Devdo à pequea cotate de tempo da caldera, o cotrole de ível e tora muto eível a mudaça rápda a carga (fluxo de vapor). Além do, por caua da turbulêca o ível líqudo, gaho alto o cotrolador LC e toram váve, por cauar varaçõe acetáve o fluxo de água de etrada. Ee motvo jutfcam a trodução da compoete de pré-almetação do cotrole. O tema de pré-almetação mplemete mapula o fluxo de água para er gual ao fluxo de vapor que etá edo uado. Qualquer deequlíbro ete fluxo deverá cauar deequlíbro o ível líqudo, que tederá a dervação. O cotrolador LC deverá etão agr o etdo de corrgr a derva, de modo ao ível líqudo e tuar em toro do et-pot dcado. Note-e etão que a correçõe rápda o fluxo de etrada ão feta pela compoete de pré-almetação, a partr da medda da perturbação. O cotrolador de realmetação LC ecarrega-e apea da correção bem ma leta da derva.

63 Cotrole de Proceo Idutra Pré-almetação etátca e dâmca Codere o tema de cotrole da Fgura 6., ode uou-e Cotrole em Cacata para melhorar o deempeho devdo a flutuação a preão do combutível. Memo com ee tema de cotrole, e houver agora varaçõe a demada de água quete, to deverá provocar uma certa flutuação a temperatura da aída, uma vez que a correçõe deverão er efetuada pelo cotrolador TC, em proceo de repota leta. Uma melhora o deempeho do cotrole pode er coeguda e uamo pré-almetação, como é motrado pela Fgura 6.8. Fg Cotrole com Pré-almetação etátca A correção da válvula, para varaçõe a temperatura a demada de água quete, agora ão ma erá feta à bae de realmetação de temperatura, ma de pré-almetação da medda da perturbação. Nee cao, o amplfcador (chamado a prátca de relê) repreeta um modelo (muto mplfcado) do proceo; ele deve repreetar o proceo o etdo que ua ação deverá cacelar o efeto deejado a temperatura. Ma um mple gaho ão é um bom modelo de proceo rea: ehuma dâmca é levada em cota. Equema do tpo acma ão etão chamado de pré-almetação etátca. Ta equema podem er efetvo em muto cao, ma ão deve-e eperar que corrjam todo o tpo de perturbaçõe. Um modo de melhorar o deempeho do cotrole, o que dz repeto a pré-almetação, é a trodução de uma rede de avaço-atrao, que deve er ajutada de modo a melhor repreetar o comportameto dâmco do proceo. Temo etão a chamada pré-almetação dâmca, como apreetada pela Fgura 6.9. Fg Cotrole com Pré-almetação Dâmca Exercíco: Uado o oftware Smulk, mular o tema de cotrole feedforward da Fgura 6.6.

64 Cotrole de Proceo Idutra Stema de Cotrole de Relação Cotrole de relação é o cotrole do tpo pré-almetado que tem por objetvo mater uma relação fxa etre dua varáve. É uado epecalmete quado e quer aegurar a compoção de determada mtura. A prcípo, etão, a varável de cotrole é a compoção, que erá determada a partr de uma referêca r (etpot) como motra a Fgura 6.0. Fg Cotrole de relação com realmetação O equema realmetado acma ão é o melhor modo de realzar o cotrole de relação. Uado pré-almetação, uma da varáve tora-e o et-pot, equato que a outra varável é ecotrada como motra a Fgura 6.. Fg Cotrole de relação com pré almetação x Dea forma, o cotrolador, vado aular o erro, faz x teder a rx, ou eja, = r. x O etágo de relação como dcutdo acma, ão paa de um amplfcador de gaho ajutável. No cao do foro a gá, que vemo a fgura 6., 6., 6.8 e 6.9, embora o fluxo de combutível poa varar, ada e falou a repeto do fluxo de ar. É altamete deejável que a relação combutível/ar eja matda cotate, para mater a efcêca da combutão. A Fgura 6. apreeta um equema de cotrole de relação para realzar ea tarefa. Fg Stema de Cotrole de Combutão de relação ar/combutível

65 Cotrole de Proceo Idutra Cotrole de Proceo com Atrao de Traporte - Predtor de Smth Muto proceo apreetam um atrao de tempo cotate, ão aocado à ua dâmca. Na lteratura de Cotrole ta atrao recebem o ome de atrao puro, tempo morto (dead-tme), ou memo atrao de traporte, vto que o traporte de matera é a caua ma comum dee tpo de comportameto. A Fgura 6.3 motra um tema paível de atrao puro, empre preete o exemplo já etudado do cotrole de temperatura de um fluxo líqudo, ode L é a dtâca etre o poto de tomada de temperatura e de ação de cotrole e v é a velocdade do fluxo líqudo. Fg Stema de atrao puro dado por τ= L v Note que o atrao puro erá dado por τ= L. A repota de malha aberta (em o cotrolador) da temperatura v a medaçõe do cotrolador T, para uma varação do tpo degrau a abertura da válvula é apreetada a Fgura 6.4. Stema com ee tpo de comportameto ão de dfícl cotrole, uma vez que proceo cotedo atrao puro ão produzem medatamete efeto oberváve para que o cotrolador poa atuar. Fg Stema com atrao puro Muto proceo podem er repreetado por um tema de prmera ordem com atrao puro, da forma τ Ke G () = (6.4) T + O termo e τ repreeta o atrao de tempo τ. Para ta proceo, Smth deevolveu o cotrolador decrto a egur, compoto de um cotrolador covecoal (PID) e de um compeador de atrao, chamado Predtor de Smth, como motra a Fgura 6.5. O Proceo e o Compeador reultam a fução de traferêca modfcada que ão ma cotém atrao puro. K G'( ) = T + (6.5)

66 Cotrole de Proceo Idutra 63 Fg Predtor de Smth para compeação de atrao puro ' Note-e que, ob o poto de vta do Cotrolador PID, o proceo a er cotrolado reume-e a G (), e portato pode er projetado de maera covecoal, como já etudamo. Reta ada aber como mplemetar o Compeador de atrao puro. Para ua realzação é eceáro cohecer τ o parâmetro A, τ e T do proceo. A prcpal dfculdade relacoa-e à realzação do termo e, que erá aproxmado pelo trucameto em trê termo da expaão em ére de Taylor. O Compeador erá dado, etão, por e τ + τ + τ τ + (6.6) K K Gc () = T + T + τ + τ ( e ), (6.7) como pode er melhor vualzado pelo dagrama de bloco da Fgura 6.6 abaxo. Note que cada bloco pode er faclmete mplemetado eletrocamete. Fg Realzação do compeador de atrao puro e A Fgura 6.7 apreeta um exemplo para a plata G () =, ode o cotrolador PID fo projetado pelo + método de Zegler-Ncho de malha aberta, para o cao de uma malha tradcoal realmetada (lha potlhada) e uado Predtor de Smth (lha cotíua).

67 Cotrole de Proceo Idutra 64 G Fg. 6.7 Repota ao degrau utáro para o proceo dado por ()... com cotrolador PID obtdo por Zegler-Nchol uado o cotrolador PID o proceo em atrao de traporte uado Predtor de Smth e = + Exercíco:. e Projetar um cotrolador PID uado Zegler-Nchol de malha aberta para a plata dada por G () = ; +. Smular o tema cotrolado uado o oftware Smulk para etrada degrau utáro; 3. Smular o tema cotrolado para o proceo em atrao de traporte. 4. Projetar o Predtor de Smth para o tema e Smular o tema cotrolado uado o oftware Smulk para etrada degrau utáro; 5. Compare o reultado obtdo.