Proposta de uma heurística construtiva baseada na TOC para definição de mix de produção

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1 Produção, v 23, 3, p , ul/set Proposta de uma heurística costrutiva baseada a TOC para defiição de mix de produção Viicius Amorim Sobreiro a *, Marcelo Seido Nagao b a *sobreiro@ubbr, FACE/UB, Brasil b dragao@uspbr, EESC/USP, Brasil Resumo A defiição do mix de produção proporcioa a alocação dos recursos produtivos o processo de maufatura, visado a otimização da sua utilização e do desempeho do sistema produtivo Etretato, apesar de sua importâcia, a defiição do mix de produção é um problema de difícil solução Assim, com o auxílio da Teoria das restrições TOC, algumas heurísticas costrutivas têm sido apresetadas para fazer frete a esse problema Nesse setido, o obetivo este trabalho é propor uma ova heurística que proporcioe melhores soluções quado comparada com a heurística TOC-AK, de Aryaezhad e Komia (2004, p ) Como resultado, observou-se que a heurística proposta obteve uma aproximação mais satisfatória quado comparada à aplicação da TOC-AK e à solução ótima idetificada pela técica de Programação Liear Iteira PLI, o que, em coclusão, evidecia a importâcia da mesma a defiição do mix de produção Palavras-chave Heurística TOC Mix de produção 1 Itrodução Em um problema de defiição do mix de produção deve-se determiar em que quatidade cada um dos produtos escolhidos deve ser fabricado, com o obetivo de maximizar o gaho total, cosiderado que esses produtos podem ou ão utilizar diversos recursos produtivos e que eles ão são suficietes para a fabricação de todos os produtos De acordo com Lea (2007, p ), o problema de defiição do mix de produção pode ser represetado da seguite maeira: = 1( ) Maximizar Z = P c x Sueito a x b i = 12,,,m Ode: i i = 1 x d = 12,,, P represeta o preço de veda do produto ; c represeta o custo do produto ; a i represeta a quatidade de recurso i requerida para produzir o produto ; b i represeta a quatidade máxima dispoível do recurso produtivo i; x represeta a quatidade do produto a ser produzido; d represeta a demada de mercado prevista para o produto ; m represeta a quatidade de produtos; e represeta a quatidade de recursos produtivos Em termos amplos, essa falta de recursos para a produção de todas as uidades demadadas pelo mercado acotece pricipalmete quado as orgaizações passam por períodos de auste estratégico ou de ivestimetos, pois mesmos as orgaizações precisam aumetar ou dimiuir o ível de produção Cosequetemete, visto que a defiição do mix de produção está diretamete relacioada com os gahos a serem aferidos pela orgaização e que existem diversas opções de combiações de produtos que podem ateder às restrições dos recursos produtivos, a melhor solução para esse tipo de situação é a otimização da sua utilização Etretato, como muito *FACE/UB, Brasília, DF, Brasil Recebido 23/05/2011; Aceito 03/08/2012

2 Sobreiro, V A et al 469 bem salieta Lihares (2009, p 122), apesar de a defiição das quatidades a serem produzidas, ou melhor, do mix de produção parecer um problema de fácil solução, com a iserção de ovos produtos o processo de fabricação, o úmero de possibilidades de mix de produção aumeta expoecialmete o que, por sua vez, dificulta a obteção do mix de produção ótimo em curto espaço de tempo Para fazer frete a essa situação, algumas heurísticas costrutivas baseadas a Teoria das Restrições vêm sedo empregadas, visto que as mesmas proporcioam a defiição do mix de produção com bos gahos totais de maeira rápida Etre essas heurísticas se destacam a TOC-h, de Frededall e Lea, e sua sucessora, a TOC-AK, de Aryaezhad e Komia Etretato, apesar de ambas heurísticas apresetarem bos resultados a defiição do mix de produção em problemas com recursos produtivos isuficietes, ão apresetam o mesmo desempeho em problemas que apresetam recursos produtivos isuficietes para ateder a demada de mercado dos produtos Com base esse cotexto, o obetivo este artigo é apresetar uma ova heurística costrutiva que proporcioe melhores soluções quado comparada à TOC-AK Essa ova heurística difere da TOC-AK pricipalmete por levar em cosideração apotametos da TOC e do problema da mochila Para realizar tal comparação, foram realizadas simulações computacioais visado idetificar o mix de produção que possibilitasse o maior gaho possível, cosiderado um bom tempo de processameto e as características do ambiete produtivo Com base esse cotexto, além dessa itrodução, este artigo está estruturado como se segue: a próxima seção, de maeira resumida, são defiidos os coceitos básicos referetes à TOC e ao problema da mochila por meio de uma breve revisão de literatura Na terceira seção, a heurística TOC-AK e a heurística proposta são demostradas Na seção seguite, a experimetação computacioal e os resultados obtidos são apresetados Fialmete, a última seção, as pricipais coclusões e sugestões a trabalhos futuros são expostas 2 Revisão da literatura 21 Teoria das Restrições TOC A Teoria das Restrições TOC foi proposta e desevolvida pelo Dr Eliyahu M Goldratt por volta de 1980 (LEA; FREDENDALL, 2002, p 281) De maeira mais precisa, segudo Meleto (1987) apud Verma (1997, p 191), a TOC surgiu em Israel quado o Dr Eliyahu M Goldratt aplicou uma técica de predição de átomos de cristal aquecido em problemas de programação de tarefas com grade úmero de variáveis Em termos amplos, a TOC é compreedida como um couto de pricípios teóricos que fudametam e sitetizam a miríade de cohecimetos particulares de gestão e cotrole da produção que, por sua vez, recohece o papel dos fatores limitates as operações de maufatura e foca-se eles, visado o aumeto ou a melhoria de sua utilização Aida esse cotexto, utilizado-se das palavras de Watso, Blackstoe e Gardier (2007, p 400), a TOC pode ser compreedida como: [] uma abordagem pragmática (prática) e holística (prioriza o etedimeto itegral dos feômeos) de melhoria cotíua, cobrido com base em uma comum fudametação teórica os fatores que limitam o aumeto da performace em relação a uma meta Assim, existe uma ecessidade elevada de compreesão de técicas específicas e das variáveis do sistema para assegurar o sucesso de sua implemetação e ampla aceitação As características apotadas por esses pesquisadores são possíveis porque a TOC é capaz de auxiliar em diversas atividades fudametais as orgaizações as quais, por sua vez, cotribuem para o desempeho global da mesma (FINCH; LUEBBE, 2000, p 1466) De acordo com Corbett (2005, p 35-36), a característica mais importate da TOC é assumir que em qualquer sistema existe o míimo uma restrição, ou sea, alguma coisa que limita um melhor desempeho ou o alcace de altos padrões de desempeho A afirmação de que todo sistema tem uma restrição se ustifica ou é explicada pelo fato de que se ão houvesse algo que limitasse o desempeho do sistema esse seria ifiito Nesse setido, a gestão ou utilização de maeira eficiete das restrições do sistema permite melhorar o seu desempeho, pois somete os recursos gargalos, isto é, aqueles recursos que apresetam capacidade iferior à demada, devem ser utilizados em sua total capacidade Assim, é válido frisar que esse processo de gestão das restrições também facilita a compreesão e a possibilidade de otimização do sistema para os gestores orgaizacioais (MADAY, 1994, p 84) De maeira mais pormeorizada, como muito bem destacam Atues Juior e Rodrigues (1993, p 80-81), esse processo de gestão das restrições é realizado pela utilização de cico passos de melhoria comumete deomiados processos de melhoria cotíua, a saber: Idetificar as restrições do sistema; Decidir como explorar as restrições; Subordiar todos os elemetos da produção à restrição idetificada o passo aterior; Aumetar a capacidade das restrições do sistema; e Se os passos ateriores as restrições forem superadas, voltar ao primeiro passo sem deixar que a iércia se tore uma restrição

3 470 Sobreiro, V A et al Cosiderado esses cicos passos, a TOC auxilia os gestores a codução dos processos que utilizam os recursos gargalos, ou sea, visa otimizar o emprego dos recursos gargalos as atividades produtivas De acordo com Goldratt e Cox (2006, p 353) e Watso, Blackstoe e Gardier (2007, p 338), essa abordagem de gestão sobre as restrições fez com que a TOC fosse implemetada em grades compahias como, por exemplo, 3M, Amazo, AVCO, Bedix, Boeig, Delta Airlies, Ford Motor Compay, Geeral Electric, Geeral Motor, Kodak, Philips, RCA, Westighouse e, também, em orgaizações sem fis lucrativos, como British Natioal Health Service, Israel Air Force, NASA, Pretoria Academic Hospital e Uited States Departmet of Defese 22 Problema da mochila Em sua versão mais simplista, de acordo com Martello e Toth (1990, p 1), Pisiger e Toth (1998, p 302) e Kellerer, Pferschy e Pisiger (2004, p 2-3), o problema da mochila pode ser matematicamete expresso pela defiição, represetado os obetos 1 até, de um vetor de variáveis biárias x ( = 1,,), com as características apresetadas a expressão 1: 1, se o obeto é selecioado x = (1) 0, caso cotrário Cosiderado que p represeta uma característica como, por exemplo, valor ou coforto do obeto, w correspode ao tamaho desse obeto e c ao tamaho da mochila, o problema será selecioar, etre todos os vetores biários, os x que satisfaçam a restrição demostrada a expressão 2: w x c (2) = 1 Além disso, a escolha dos x deve visar a maximização da fução obetivo mostrada a expressão 3: px (3) = 1 Kellerer, Pferschy e Pisiger (2004, p 15) sugerem um algoritmo do tipo Greedy baseado a seleção de produtos com maior eficiêcia (e ) para ecotrar boas soluções A e é calculada com base a expressão 4: p e = (4) w Assim, aida com base em Kellerer, Pferschy e Pisiger (2004, p 16), a idéia do algoritmo é iiciar a escolha dos ites com a mochila vazia e ir acrescetado os ites que apresetam maior eficiêcia a ela, até que se alcace o limite da capacidade da mochila O pseudocódigo desse algoritmo é apresetado a Figura 1 No tocate ao mix de produção, esse algoritmo Greedy cosiderado que a capacidade da mochila é aáloga à capacidade dispoível o recurso gargalo; que p represeta o gaho idividual do produto ; e w correspoda ao cosumo de capacidade do recurso gargalo pelo produto, apeas idicaria se um produto deve ou ão ser produzido, mas seria icapaz de forecer as quatidades a serem produzidas Cabe destacar, o que diz respeito à TOC, que ela poderia ser utilizada para idetificar o recurso gargalo e, tão logo, os valores de e, ou sea, da eficiêcia de cada produto Assim, há ecessidade de se adaptar o algoritmo Greedy para que ele sea capaz de idicar quais produtos deverão ser selecioados e em que quatidade cada um deles deve ser produzido Essa versão adaptada do algoritmo Greedy, deomiada B-Greedy, é apresetada a Figura 2 O algoritmo B-Greedy pode ser facilmete aplicado a defiição do mix de produção desde que a TOC foreça a iformação de qual recurso produtivo é o gargalo, aquele que deve orietar a defiição de prioridade de processameto dos produtos, ou sea, qual recurso produtivo represetará a mochila e poderá ser cosiderado para calcular as taxas de eficiêcia Com base esse cotexto, visado relacioar os elemetos da TOC com os do problema da mochila o efoque da defiição de mix de produção, o relacioameto adotado este trabalho é apresetado a Tabela 1 Figura 1 Algoritmo Greedy Fote: Kellerer, Pferschy e Pisiger (2004, p 16)

4 Sobreiro, V A et al 471 Figura 2 Algoritmo B-Greedy Fote: adaptado de Kellerer, Pferschy e Pisiger (2004, p 187) Tabela 1 Relacioado os elemetos do problema da mochila com os elemetos da TOC Problema da mochila 3 Método heurístico 31 Notação Para os métodos heurísticos apresetados esta seção, a seguite otação é utilizada: Ídices i = 1,2,, = 1,2,, m Produtos; Recursos produtivos; e q = 1,2,, m Recursos gargalo Variáveis de decisão BN q Recurso gargalo q, ou sea, todos os recursos que apresetaram d < 0; CP Capacidade produtiva do recurso ; CM i Margem de cotribuição do produto i; CR Vetor cotedo os recursos gargalos; d Difereça etre a capacidade dispoível e a ecessária o recurso produtivo ; D i Demada de mercado do produto i; H Couto de produtos que ão tiveram sua demada atedida; i Posição do produto que a sequêcia de produção terá sua quatidade aumetada; k Posição do produto que a sequêcia de produção terá sua quatidade reduzida; N Quatidade do produto X que precisa ser reduzida para aumetar uma uidade de Y; P Produto; p w b e c Produto Gaho q Número de recursos gargalos; Mix de produção Cosumo de recurso gargalo Demada Eficiêcia Capacidade dispoível o gargalo R i Relação etre a margem de cotribuição e cada uidade de tempo de processameto cosumida o recurso gargalo; R i Relação etre a margem de cotribuição e cada uidade de tempo de processameto cosumida o recurso gargalo BN k ; RA i Soma do R i em todos os gargalos para o produto i; t i Tempo de processameto ou cosumo de recurso do produto i o recurso produtivo ; t left,q Sobra de recurso dispoível o recurso gargalo q; x i Quatidade a ser produzida do produto i; X Couto de produtos cadidatos a sofrer redução a quatidade; e Z Parâmetro utilizado para idicar qual são a melhor alterativa de redução e de aumeto etre as diversas opções de produtos existetes 32 Heurística TOC-AK A heurística TOC-AK, proposta por Aryaezhad e Komia (2004, p 4227), sucessora da heurística TOC-h proposta por Frededall e Lea (1997, p 1537), procura idetificar o mix de produção observado todas as possíveis sequêcias de produção para cada gargalo Para cumprir tal propósito, a heurística TOC-AK idetifica os produtos que apresetam classificações diferetes em meios a todas as sequêcias de produção por gargalo e realiza uma aálise verificado quais produtos e em quais quatidades eles devem ser produzidos O pseudocódigo da heurística TOC-AK é apresetado a seguir: Passo 1 Idetifique a(s) restrição(s) do sistema Calcule a difereça (d ) etre a capacidade dos recursos e a demada deles: d = CP i = 1t idi i = 1,2,, e = 1,2,, m Determie CR = {BN 1,BN 2,BN q }, cosiderado que d q 0 e d 1 d 2 d q Passo 2 Determie a prioridade da produção cosiderado cada gargalo

5 472 Sobreiro, V A et al Para cada gargalo, calcule R i,bn da seguite k maeira: CMi Ri = i = 12,,, e k = 12,,,q t i Assim, R i represetará a prioridade do produto i a perspectiva do gargalo k Repita os seguites procedimetos para cada gargalo para determiar a prioridade de produto ele: Classifique os produtos que são processados o gargalo k de maeira decrescete com base em R i Classifique os produtos que apresetarem o mesmo R i de maeira decrescete com base em CM i ; Classifique os produtos que ão são processados o gargalo k de maeira decrescete cosiderado a CM i Os produtos que apresetarem o mesmo CM i devem ser classificados de maeira arbitrária; e Classifique os produtos livres o fial da lista de maeira decrescete com base em CM i Dessa forma, cada gargalo apreseta uma sequêcia de produção a ser seguida Passo 3 Desevolva um plao mestre de produção viável (MPS) Programe os produtos de acordo com a sequêcia de produção determiada para BN 1 e o limite de capacidade dos outros gargalos O processo de cosiderar a capacidade limite dos outros gargalos é ievitável para se alcaçar uma programação de produção viável Passo 4 Determie alterativas viáveis para aumetar o gaho Examie se a redução da produção de um produto e o aumeto de produção de outro produto poderá aumetar o gaho Assuma que X e Y são os produtos cadidatos para o processo de dimiuição e aumeto A alterativa de se dimiuir X e aumetar Y deve ser cosiderada válida caso as seguites codições seam ecotradas: Se o plao mestre de produção viável (MSP), X tiver prioridade sobre Y; e Se o produto Y apresetar três codições: (a) sua demada ão foi atedida, (b) apresetar prioridade sobre X em pelo meos uma das sequêcias, e (c) a mesma sequêcia em que tiver prioridade sobre X, tiver prioridade sobre todos os produtos cua demada ão foi atedida Passo 5 Selecioar a melhor alterativa Se ão foram desevolvidas alterativas o passo 4, a solução obtida o passo 3 deve ser a ótima Se uma alterativa foi desevolvida, vá para o passo 6 Por outro lado, se houver várias alterativas, idetifique a melhor alterativa para alcaçar a solução ótima Para esse propósito, repita os seguites procedimetos, para cada alterativa: Cosiderado o tempo que sobrou os gargalos, determie quatas uidades (N ) de X deveriam ser reduzidas para aumetar uma uidade de Y Etão, calcule Z da seguite maeira: q m Z = ( NR + R ) k = 1 X Y Escolher a alterativa com o maior valor de Z e passar para o passo 6 Passo 6 Desevolva um couto com os produtos que ão tiveram a demada atedida Classifique todos os produtos (exceto Y ) que ão tiveram sua demada atedida de maeira decrescete com base em CM i e de o ome a esse couto de H Os produtos que apresetarem o mesmo CM i devem ser classificados de maeira arbitrária Passo 7 Determie o máximo de uidades de X que podem ser reduzidas Determie quatas uidades (N ) de X poderão ser reduzidas sequecialmete para aumetar uma uidade de Y com base os seguites procedimetos: Assuma que Y tem prioridade sobre X a sequêcia desevolvida cosiderado o gargalo k ; Calcule f = R / R ; Y,BNK X,BNK Determie quatas uidades de X ão serão processadas se o gargalo k ão processar X por f miutos ( f / t X ); Determie quatas uidades de Y podem ser processadas por BN k em um miuto (1/ t Y ) ; e Calcule quatas uidades (N k ) de X poderão ser reduzidas sequecialmete para aumetar uma uidade de Y, com base a seguite expressão Nk = ( f / tx,bn ) / (1/ ty,bn ) Se N k k k ão for iteiro, arredode para baixo Repita os procedimetos acima em todas as sequêcias em que Y é prioritário a X Faça N como o máximo valor obtido de N k Observe que, o míimo, a soma de N será um, desde que pelo meos uma uidade de X deva ser reduzida para aumetar Y Etão, caso N se tora zero, coforme os cálculos acima, o mesmo deve ser austado para um Passo 8 Processo de redução e aumeto Reduza uma uidade de X Examie se o tempo que restou o gargalo possibilita o aumeto de Y Se isso for possível, aumete Y até que algumas dessas situações ocorram: A demada de Y é atedida: esse caso, auste o primeiro membro de H como Y e volte ao passo 6; Não é possível aumetar Y por falta de capacidade: deve-se examiar a possibilidade de aumetar o primeiro membro de H Se sua demada á foi

6 Sobreiro, V A et al 473 atedida ou ão existir possibilidade de aumetar as quatidades, proceda para o próximo membro do grupo e repita esse procedimeto para todos os membros de H Se isso ão for possível, repita o procedimeto 8 Pare se ão for possível aumetar Y depois de reduzir N uidades de X 33 Heurística proposta A heurística proposta visa a criação de uma solução iicial cosiderado o gargalo domiate e, tão logo, a sua melhoria Esse processo de criação da solução iicial é realizado com o auxílio do algoritmo B-Greedy para problemas em que o gargalo domiate é idetificado e de uma versão modificada do mesmo, deomiada de B-Greedy-M, para problemas em que a idetificação do gargalo domiate é difícil ou impossível A utilização do algoritmo B-Greedy ou do B-Greedy-M possibilita que a heurística proposta ecotre uma solução iicial de maeira muito rápida o que, por sua vez, possibilita utilizar mais tempo a tetativa de melhorar a solução iicial Esse processo de melhoria é realizado mediate uma busca a vizihaça que cosidera diferetes produtos em diferetes posições, a sequêcia de produção Além disso, também visado a melhoria da solução iicial, é proposta a utilização de uma taxa de gaho que leve em cota o gaho por tempo de processameto do produto i em todos os gargalos existetes de maeira couta e ão somete o gargalo domiate, pois em sempre é possível idetificar o gargalo domiate Cosequetemete, a heurística adota como solução fial ou mix de produção a melhor solução ecotrada após a realização dessa busca a vizihaça Com base esse cotexto se faz ecessário apresetar primeiramete o algoritmo B-Greedy-M para etão expor o pseudocódigo da heurística proposta, visto que a coceituação e utilização do B-Greedy á foi demostrada a Seção 22 B-Greedy-M cosidera uma sequêcia de produção comum em todos os gargalos e busca idetificar as quatidades máximas que cada gargalo possibilita produzir de um determiado produto, obedecedo à sequêcia de produção Posteriormete, o mesmo assume como quatidade a ser produzida de um determiado produto a meor quatidade ecotrada etre todos os gargalos O pseudocódigo do algoritmo B-Greedy-M é apresetado a Figura O pseudocódigo da heurística proposta Cosiderado o algoritmo B-Greedy e o B-Greedy-M, o pseudocódigo da heurística proposta é apresetado a seguir: Passo 1 Idetifique a(s) restrições(s) do sistema Calcule a difereça (d ) etre a capacidade dos recursos e a demada prevista eles: d = CP t D i = 12,,, i i i = 1 = 12,,,m Cosiderado que todos os recursos que apresetarem d < 0 serão cosiderados recursos gargalos (BN q ), determie CR = {BN 1,BN 2,BN q }, observado que d q 0 e d 1 d 2 d q Passo 2 Decida como explorar a(s) restrições(s) do sistema a) Assuma que BN 1 é o gargalo domiate Calcule para cada produto a taxa de R i, ou sea, a margem de cotribuição por cada uidade de tempo de processameto cosumida o gargalo, pela expressão 331 O algoritmo B-Greedy-M Em algus problemas de defiição do mix de produção é difícil ou impossível idetificar o gargalo domiate em meio aos existetes Essa situação ão possibilita a aplicação do B-Greedy, visto que ele se baseia as taxas de eficiêcia, ou sea, e que, por sua vez, é obtida cosiderado o gargalo domiate Assim se faz ecessário austar o B-Greedy para que sea idetificado um mix de produção, dado a existêcia de vários recursos gargalos e/ou a dificuldade de idetificação do recurso gargalo domiate Com base esse cotexto, o algoritmo Figura 3 Algoritmo B-Greedy-M

7 474 Sobreiro, V A et al Ri = CMi / ti,bn Classifique os produtos de maeira 1 decrescete com base o valor R i obtido b) Verifique se o BN 1 é o gargalo domiate: I Aplique o algoritmo B-Greedy ao problema cosiderado o R i obtido em passo 2a e a sequêcia de produção atual II Cosiderado o mix de produção obtido o passo 2bI, examie se existe alguma d meor do que zero, caso exista assuma o próximo BN em CR como BN 1, classifique os produtos com base esse ovo recurso gargalo e volte para o passo 2a Se o BN 1 for igual a BN q e aida existir d meor que zero vá para o passo 2bIII Por outro lado, se ão existir ehum d meor que zero vá para o passo 2c III Aplique o algoritmo B-Greedy-M cosiderado a sequêcia de produção dada por BN q para obter o mix de produção que ão apresete d meor que zero c) Assuma o gaho total obtido como S 1 d) Verifique a possibilidade de melhorar a solução obtida: I Idetifique a sequêcia de produção que proporcioou S 1 o último produto com o maior R i que apreseta produção igual a demada, isto é, x i = D i Reduza a demada desse produto, uma uidade por vez, e aplique o B-Greedy-M cosiderado a classificação dos produtos dada por R i, visado idetificar um ovo mix de produção Realize esse procedimeto até que a demada de i sea igual a D i D i 0,2 ou ão sea possível aumetar as quatidades a serem produzidas dos demais produto Caso existam dois produtos com o mesmo valor de R i, sequecie o de maior CM i primeiro Assuma como S 2 o maior gaho tortal obtido a realização desse procedimeto II Calcule o RA i para todos os produtos da seguite forma: q RA = CM / t i i i,bng g = 1 Classifique os produtos de maeira decrescete com base o RA i e se existir produtos com o mesmo valor de RA i, cosidere primeiramete o que apresetar o maior CM i Com base essa ova classificação aplique o algoritmo B-Greedy-M, visado idetificar um ovo mix de produção iicial Caso essa ova sequêcia de produção sea idêtica à sequêcia aterior, proceda para o passo 2dIII Caso cotrário, iiciado a procura do produto com maior RA i para o meor, idetifique o último produto que apresetou x i = D i Reduza a demada desse produto, uma uidade por vez, e sequecie a produção com base essa ova demada até que ela sea igual D i D i 0,1 ou ão sea possível aumetar as quatidades a serem produzidas dos demais produtos Comparado os resultados obtidos etre o ovo mix de produção e os mixes de produção proporcioados pela redução da demada do produto x i, assuma o maior gaho total obtido como S 3 III Cosiderado o mix de produção obtido a solução S 1, idetifique o produto que apresetar o maior R i Reduza a demada desse produto, uma uidade por vez, e sequecie a produção com base essa ova demada, utilizado o B-Greedy-M Realize esse procedimeto até que a demada desse produto sea igual à D i D i 0,1 ou ão sea possível aumetar as quatidades a serem produzidas dos demais produtos Assuma o maior gaho total ecotrado como S 4 IV Se o gargalo domiate for BN 1, faça S 5 igual a zero e proceda para o passo 2e Caso cotrário, sequecie os produtos com base o R i do primeiro gargalo do couto CR, ou sea, a maior difereça de capacidade existete Caso existam produtos com o mesmo valor de R i, sequecie o que apresetar maior CM primeiro Aplique o algoritmo B-Greedy-M visado idetificar um mix de produção Com base ele, idetifique o último produto que apresetar x i = D i, dimiua uma uidade por vez da demada desse produto e sequecie ovamete todos os produtos Realize esse procedimeto até que a demada desse produto sea igual a D i D i 0,1 ou ão sea possível aumetar as quatidades a serem produzidas dos demais produtos Comparado os resultados obtidos etre o mix de produção obtido com base em BN 1 e os mixes de produção proporcioados pela redução da demada do produto x i, assuma o maior gaho total obtido como S 5 e) Assuma como solução fial da heurística o mix de produção que apresetar o maior gaho do seguite couto{s 1, S 2, S 3, S 4, S 5 } No tocate às duas heurísticas é importate destacar, como muito bem salietado por Hsu e Chug (1998, p 37), que as mesmas são baseadas a utilização dos passos I e II do processo de melhoria da TOC, pois os demais passos são ações gereciais baseadas a solução desevolvida a realização dos dois primeiros passos Assim cosiderado o escopo deste trabalho, para fis de defiição de mix de produção, ão se faz uso dos demais passos 4 Experimeto computacioal Com o obetivo de testar as heurísticas apresetadas a seção 3, uma extesa experimetação computacioal foi realizada visado idetificar a melhor heurística Todas as heurísticas foram testadas a resolução de problemas ecotrados a literatura especializada e

8 Sobreiro, V A et al 475 gerados aleatoriamete Os problemas foram divididos em dois grupos, a saber: Pequeo porte: costituído por 100 problemas cotedo i de 2 até 8, de 4 até 8, e q de 1 até 4; e Grade porte: costituído por 50 problemas cotedo i igual a 100, i de 60 até 100, e q de 6 até 60 Além disso, todas as heurísticas foram desevolvidas em VBA e testadas em computador Itel 216 GHz Dual Clock, com 4 GB de memória RAM Visado a comparação etre as heurísticas, o tempo total de processameto e o desvio relativo médio DRM foram utilizados como medidas de comparação O DRM foi calculado coforme a expressão 5 ( ) * (f h f ) DRM = 100 (5) * f ode f (h) é o gaho obtido pela heurística h, ou sea, a TOC-AK ou a heurística proposta; e f * represeta a melhor solução obtida etre ambas as heurísticas Cosiderado os problemas de pequeo porte, o resumo dos resultados obtidos pelas heurísticas para problemas com 1, 2, 3, e 4 gargalos é apresetado a Tabela 2 Além disso, cosiderado os problemas de pequeo porte, as médias com um itervalo de cofiaça de 99% são apresetadas para cada heurística a Figura 4 Com base a Tabela 2 e a Figura 4, a heurística proposta apresetou um melhor desempeho do que a heurística TOC-AK os problemas de pequeo porte, pois a maioria dos casos apresetou o resultado maior ou um resultado muito próximo do maior Quato ao tempo de processameto, visto o tamaho dos problemas, ambas heurísticas são rápidas, isso é, ecessitam de meos de um segudo para resolver os problemas o que, por sua vez, ão possibilita idetificar difereças sigificativas etre as mesmas No tocate aos problemas de grade porte, o resumo dos resultados obtidos está apresetado a Tabela 3 Coforme apresetado a Tabela 3, a heurística proposta também apreseta um desempeho melhor que a TOC-AK em problemas de grade porte, visto que apresetou em média um DRM de aproximadamete 0,78% em relação à melhor solução ecotrada etre ambas heurísticas e utilizou em média 32 segudos para resolver os problemas agrupados pelo percetual de gargalos existetes No tocate à TOC-AK, os resultados idicam que a qualidade da solução só foi melhorada devido à utilização de quatidades maiores de tempo de processameto É importate destacar que esse apotameto se tora mais expressivo quado a quatidade de recursos gargalo aumeta o ambiete produtivo, ou sea, quado há muitos recursos gargalo o sistema produtivo a TOC-AK despede muito tempo criado e comparado sequêcias de produção por recursos gargalo Em cotrapartida, a heurística proposta utiliza pouco tempo a criação da solução iicial e mais tempo a melhoria dela Essa característica proporcioa à heurística proposta uma Tabela 2 Comparação dos resultados obtidos para os problemas de pequeo porte em termos da média do DRM e do tempo total de processameto Número de gargalos TOC-AK Heurísticas Proposta 1 0,1818 A (00:00:00) B 0,0000 (00:00:00) 2 1,2995 (00:00:00) 0,0081 (00:00:00) 3 2,5564 (00:00:00) 0,5968 (00:00:02) 4 5,6760 (00:00:01) 0,6278 (00:00:00) Média 2,4284 (00:00:00) 0,3082 (00:00:01) A Média do desvio relativo médio; B Total de tempo ecessário para processar todos os problemas com esse úmero de gargalos Figura 4 Média e itervalo de cofiaça (99%) das heurísticas para os problemas de pequeo porte Tabela 3 Comparação dos resultados obtidos para os problemas de grade porte em termos do DRM e do tempo total de processameto % de recursos gargalo TOC-AK Heurísticas Proposta 10 1,6644 A (00:00:29) B 3,0654 (00:00:06) 20 0,0814 (00:00:58) 0,1237 (00:00:13) 30 0,0903 (00:00:44) 1,1008 (00:00:16) 40 13,9732 (00:01:21) 0,0000 (00:00:24) 50 4,7471 (00:02:20) 2,7705 (00:00:23) 60 12,0273 (00:01:49) 0,0108 (00:00:29) 70 11,6532 (00:03:05) 0,0000 (00:00:36) 80 13,2038 (00:03:43) 0,0000 (00:00:51) 90 15,0692 (00:04:25) 0,0000 (00:00:59) ,4203 (00:03:41) 0,6567 (00:01:02) Média 8,5930 (00:02:15) 0,7728 (00:00:32) A Desvio relativo médio; B Total de tempo ecessário para processar todos os problemas com esse percetual de gargalos

9 476 Sobreiro, V A et al meor variabilidade em relação à média do DRM do que a TOC-AK, coforme apresetado a Figura 5 Cosiderado que a heurística proposta apresetou um melhor desempeho tato para os problemas de pequeo quato para os de grade porte, ela foi comparada com as soluções ótimas obtidas por meio da técica de PLI Para tato foi defiido um tempo máximo de 24 horas para realização desse processo Figura 5 Média e itervalo de cofiaça (99%) das heurísticas para os problemas de grade porte Tabela 4 Comparação cosiderado o DRM etre a heurística proposta e a técica de PLI Número de gargalos Tabela 5 Comparação cosiderado o DRM etre a heurística proposta e a técica de PLI % de gargalos DRM Heurística proposta DRM Heurística proposta Tempo de processameto total Heurística roposta Tempo de processameto total Heurística proposta PLI 1 0, :00:00 00:00:00 2 0, :00:00 00:00:13 3 2, :00:02 00:00:05 4 3, :00:00 00:00:04 Média 1, :00:01 00:00:06 PLI 10 29, :00:06 00:32: , :00:13 00:29: , :00:16 00:33: , :00:24 00:17: , :00:23 00:47: , :00:29 02:41: , :00:36 01:00: , :00:51 03:02: , :00:59 24:42:32 A , :01:02 01:24:41 Média 17, :00:32 03:33:12 A Nesse couto de problemas houve um em que a técica PLI ão obteve a solução ótima depois de 24 horas de procura da solução ótima em cada problema, visto que tal processo de busca pela solução ótima pode ser um processo moroso, ou sea, caso a técica de PLI utilizasse 24 horas para ecotrar a solução ótima e ão a ecotrasse, a melhor solução ecotrada seria adotada Com base esse cotexto, assumido que os valores obtidos pela técica de PLI são f*, a Tabela 4 são apresetados os DRM da heurística proposta e o tempo total de processameto para os problemas de pequeo porte e, a Tabela 5, esses resultados são apresetados para os problemas de grade porte A heurística proposta apresetou a média um DRM de aproximadamete 17,32% em relação aos resultados ótimos Apesar de esse valor ser expressivo, houve uma dimiuição sigificativa a média do tempo total de processameto utilizado para resolução desses problemas o que, por sua vez, evidêcia a eficiêcia e robustez da heurística proposta Aida o tocate ao desempeho da heurística proposta, Lihares (2009, p 128) apota que um dos pricipais problemas ou falhas das heurísticas desevolvidas para os problemas de defiição de mix de produção, apesar de sua eficiêcia a solução de problemas mais complexos, é a dificuldade de obteção das soluções ótimas para problemas com apeas um gargalo Etretato, coforme exposto a Tabela 4, a heurística proposta ão apreseta essa dificuldade, pois coseguiu ecotrar todas as soluções ótimas para esses problemas mais simples 5 Coclusões Neste artigo foi tratado o problema de defiição de mix de produção com o obetivo de se maximizar o gaho, cosiderado a teoria das restrições, por meio de heurísticas costrutivas De maeira prática, tal problema pode ser compreedido como a defiição das quatidades a serem produzidas de cada produto quado os recursos produtivos são isuficietes para ateder a toda demada Etretato, a busca de soluções próximas à ótima pelo uso de eficietes e simples heurísticas aida ecessita de pesquisas, visto que esse problema é do tipo NP-Completo Detro desse cotexto, foi proposta uma ova heurística para esse problema com base a TOC e o problema da mochila que apreseta melhor desempeho, em termos de qualidade de solução, que a heurística TOC-AK, de Aryaezhad e Komia (2004, p ) Assim, pode-se cocluir que a heurística proposta é muito mais eficiete que as heurísticas existetes o que, em suma, destaca sua importâcia a defiição de mix de produção No tocate à idicação de pesquisas futuras, é proposta

10 Sobreiro, V A et al 477 a realização de estudos que verifiquem a utilização da heurística proposta em situação prática Referêcias ANTUNES JUNIOR, J A V; RODRIGUES, L H A teoria das restrições como balizadora das ações visado a troca rápida de ferrametas Produção, v 3, 2, p 73-85, 1993 ARYANEZHAD, M B; KOMIJAN, A R A improved algorithm for optimizig product mix uder the theory of costraits Iteratioal Joural of Productio Research, v 42, 20, p , CORBETT, T Bússola Fiaceira: O processo decisório da Teoria das Restrições São Paulo: Nobel, p FINCH, B J; LUEBBE, R L Respose to Theory of costraits ad liear programmig: a re-examiatio Iteratioal Joural of Productio Research, v 38, 6, p , FREDENDALL, L D; LEA, B R Improvig the product mix heuristic i the theory of costraits Iteratioal Joural of Productio Research, v 35, 6, p , GOLDRATT, E M; COX, J A meta: um processo de melhoria cotíua 2 ed São Paulo: Nobel, p HSU, T-C; CHUNG, S-H The TOC-based algorithm for solvig product mix problems Productio Plaig & Cotrol, v 9, 1, p 36-46, org/101080/ KELLERER, H; PFERSCHY, U; PISINGER, D Kapsack Problems Berli: Spriger, p LEA, B-R Maagemet accoutig i ERP itegrated MRP ad TOC eviromets Idustrial Maagemet & Data Systems, v 107, 8, p , org/101108/ LEA, B-R; FREDENDALL, L D The impact of maagemet accoutig, product structure, product mix algorithm, ad plaig horizo o maufacturig perfomace Iteratioal Joural Productio Ecoomics, v 79, 3, p , LINHARES, A Theory of costraits ad the combiatorial complexity of the product-mix decisio Iteratioal Joural Productio Ecoomics, v 121, 1, p , MADAY, J C Proper use of costrait maagemet Productio ad Ivetory Maagemet Joural, v 35, 1, p 84, 1994 MARTELLO, S; TOTH, P Kapsack problems: algorithms ad computer implemetatios Guildford: Joh Wiley & Sos, p PISINGER, D; TOTH, P Kapsack Problems I: DU, D Z; PARDALOS, P M Hadbook of Combiatorial Optimizatio Bosto: Kluwer Academic Publisher, 1998 v I, p VERMA, R Maagemet Sciece, Theory of Costraits/ Optimized Productio Techology ad Local Optimizatio Omega, v 25, 2, p , org/101016/s (96) WATSON, K J; BLACKSTONE, J H; GARDINER, S C The evolutio of a maagemet philosophy: The theory of costraits Joural of Operatios Maagemet, v 25, 2, p , om A proposal of a costructive heuristics uder the TOC for defiitio of productio mix Abstract The defiitio the product mix eables the allocatio of productive resources i the maufacturig process, aimig to optimize the use of productive resources ad productive system performace However, the defiitio of the product mix is a problem of difficult solutio Thus, with the help of the Theory of Costraits - TOC, some costructive heuristics were preseted to help solve those problems Takig this ito accout, the obective of this paper was to propose a ew heuristics to provide better solutios whe compared to the heuristic TOC-AK by Aryaezhad ad Komia (2004, p ) As a result, it was possible to observe that the heuristics proposed obtaied a more satisfactory approach whe compared to the applicatio of TOC-AK ad the idetified optimum solutio by Iteger Liear Programmig ILP This fact evideces the importace of the heuristic proposed i the product mix defiitio Keywords Heuristic TOC Product mix