REPRESENTAÇÃO E CONVERSÃO DE MODELOS

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1 REPRESENTAÇÃO E CONVERSÃO DE MODELOS Prof. Ae

2 Prof. Ae Moelo Etr-Sí LIT Eqção Diferecil: Repot o Implo, ht: Fção e Trferêci: t t h t t h t y τ τ τ τ τ τ t t y t y t y t y m m m U Y G m m m m

3 Prof. Ae Moelo Etr-Sí LIT Eqção Difereç: yk yk yk- yk- k k k- k- Repot o Plo Uitário Seqüêci-Peo, hk: Fção e Trferêci: k k h k k h k y } { } { : z U z Y k Z k y Z z G z z z z

4 Prof. Ae Métoo e Trform A trform e Lplce e m fção ft é efii como, { ft } F : t e t f t - { F } ft j j e t F j σ σ π A trform-z e m il icreto k é efii como, Z { k } Xz : k k z k C z k z z X j k π

5 Métoo e Trform Propriee Trform e Lplce Lierie α i f i t α i { f i t } i Diferecição Rel Sej F { ft }. Etão, f t F f t i oe f - é o vlor e ft pr t -, ito é, o vlor origem vio pel eqer. Pel plicção ceiv e propriee, poe-e motrr qe pr -éim eriv, f t F f f t Prof. Ae

6 Propriee Trform e Lplce cot. Itegrção Rel Sej F { ft }. Etão, F { { f t t} { f t t} t Portto, itegrr o omíio o tempo correpoe iviir por o omíio freqüêci. Diferecição em Diferecir em, o omíio-, correpoe mltiplicr por t o omíio o tempo: F { t ft } Trlção Comple Se F { ft }, etão F- { e t ft } oe é qlqer úmero compleo. Prof. Ae

7 Métoo e Trform Propriee Trform e Lplce cot. Trlção Rel Se { ft } F, etão { ft- t- } e - F Mç Ecl o Tempo Sej ecl o tempo lter por m cotte poitiv α. Etão, { ft/α } α Fα Prof. Ae

8 Relto Aicioi Métoo e Trform Trform e Lplce Covolção e Doi Sii { f t * f t } F F Teorem e Prevl Sej I f t g t t oe ft, gt ão l pr t < e tifzem coição e covergêci olt B., com ci e covergêci egtiv. Etão, πj I f t g t t j j F G Prof. Ae

9 Relto Aicioi Teorem o Vlor Fil Métoo e Trform Se ft e f/t poem trform e Lplce e e lim f t t eite; lém io, e F é lític o emi-plo ireito o plo- iclio o eio jω eceto poivelmete por m poto em, etão, lim t f t lim Teorem o Vlor Iicil F Se ft e f/t poem trform e Lplce e e lim F eite, etão, f lim F Prof. Ae

10 Propriee Trform Z Lierie Métoo e Trform Z i α i i k i α i Z { i k } Avço o Tempo Sej Xz Z { k }. Etão, m Z { km } z m Xz - k k mk z Atro o Tempo Sej Xz Z { k }. Etão, Z { k-m } z -m Xz m z m Prof. Ae

11 Métoo e Trform Propriee Trform Z cot. Mltiplicção por k Z { k k } z X z z Mltiplicção por k eclometo o plo-z Sej Xz Z { k }. Etão, Z { k k } X - z Prof. Ae

12 Métoo e Trform Relto Aicioi Trform-z Covolção e D Seqüêci Z { k * k } X z X z Teorem o Vlor Fil Se k for limit pr too k e Xz Z { k }, etão : lim k lim z X z k Teorem o Vlor Iicil Se Xz Z { k }, etão lim X z z Teorem e Prevl z k X z X z z z C k π j oe C é m cotoro proprimete ecolhio. Prof. Ae

13 Moelo o Epço e Eto Sitem Lier, Cotío o Tempo: A B Eq. e eto y C D Eq. e í R, R m, y R p A R, B R m, C R p, D R pm Solção: t e At t e A t τ B τ τ y t t At A tτ C e C e B τ τ D t Prof. Ae

14 Moelo o Epço e Eto Sitem Lier, Dicreto o Tempo: k A k B k yk C k D k Eq. e eto Eq. e í R, R m, y R p A R, B R m, C R p, D R pm Solção: k A k k i A B k i i y k k k i C A C A B k i D k i Prof. Ae

15 Prof. Ae Moelo o Epço e Eto Eqção Diferecil: Fção e Trferêci: Moelo o Epço e Eto: y [... ] t y t y t y t y U Y G t

16 Prof. Ae Moelo o Epço e Eto E. Coiere-e m item govero pel eqção iferecil, t y t y t y t y Se-e qe pr e oter m olção úic pr m eqção iferecil e orem qlqer qe ej t, preci-e e coiçõe iicii. Etão, o vetor e eto ocio ee item terá compoete. Sej egite ecolh vriávei e eto: y, y / t ẋ, y / t ẋ,..., - y / t - D eqção iferecil, t Em otção mtricil, e y [... ] t

17 Moelo o Epço e Eto A eqçõe o epço e eto poem er repreet em termo e igrm e loco mtricil, gerio m eqem e imlção e eqçõe : Eqem e imlção e moelo o epço e eto Prof. Ae

18 Moelo o Epço e Eto Mtriz e Trferêci Eqção Diâmic Pr item ivrite o tempo, mtrize A, B, C, D ão cotte. Aplico-e trform e Lplce mo o memro eqçõe o epço e eto otém-e : Etão, X - A X B U Y C X D U X I - A - I - A - B U Y { C I - A - B D } U C I - A - Pr coiçõe iicii l, oe Y G U G : C I - A - B D é chm mtriz e trferêci eqção iâmic. Prof. Ae

19 MODELOS LIT Eqçõe Diferecii o Difereç Epço e Eto o Z - o Z - - o Z - o Z Fção e Trferêci H o Hz o Z Repot o Implo o Seqüêci Peo - o Z - jω fçõe rcioi jω o ze jωt I Repot em Freqüêci, Hω Prof. Ae

20 Aálie e Projeto e Sitem e Cotrole Uo MATLAB Repreetção e Coverão e Moelo Fçõe e Trferêci Pólo e Zero Moelo o Epço e Eto Mç e Repreetção Coverão etre Moelo Cotío e Dicreto Moelo e Digrm e Bloco Prof. Ae

21 MODELOS - REPRESENTAÇÃO E CONVERSÃO NUM z G z DEN z NUM [... m] DEN [... ] Fção e Trferêci zptf tfzp tf tf mtrize zp Epço e Eto zp A,B,C,D reie, reiez : Pólo e Zero G z R R K z p z p K m m pzmp : igrm e pólo e zero. poly : ríze poliômio crcterítico. rmoel, rmoel : ger ecrição e item, letorimete. or : ger ecrição pr item cotío e eg-orem. G z k m i j z zi z p K k Z [z z... zm]' P [p p... p]' j Prof. Ae

22 MATLAB Cotrol Sytem Toolo 4 - MODELOS LTI LINEARES, INVARIANTES NO TEMPO Cotío e icreto o tempo, eclre SISO o mltivriávei MIMO. O Cotrole Sytem Toolo proporcio etrtr e o LTI oject: TF, ZPK, SS, FRD epecífic c tipo e moelo. Form: Fção e Trferêci : y tfm,e Zero/Pólo/Gho : y zpkz,p,k Prof. Ae

23 Epço e Eto : y A,B,C,D Repot em Freqüêci : y frrepot,freqeci Pr item icreto o tempo, crecetr o períoo e motrgem o rgmeto e efiição o moelo, por eemplo, y tfm,e,t MATLAB Cotrol Sytem Toolo 4 - MODELOS LTI LINEARES, INVARIANTES Relto: NO TEMPO y : etrtr e o tipo ojeto epecífic o moelo moelo é ecplo e poe er miplo como m etie úic Prof. Ae

24 Aritmétic e operçõe e itercoeão e moelo; fçõe e álie tep, oe etc.; projeto LGR, formtção repot em freqüêci locção e pólo, LQG. ltimoel : retor iformçõe cerc e moelo LTI Retirr o e m moelo: [m,e,t] tfty [z,p,k,t] zpkty [A,B,C,D,T] ty MATLAB Cotrol Sytem Toolo 4 - MODELOS LTI LINEARES, INVARIANTES NO TEMPO [repot, freqeci, T] frty o Prof. Ae

25 y.m y.a y.t O. Moelo FRD freqecy repoe t coitem em motr repot em freqüêci oti eperimetlmete o ão e m item. Otro o pr moelo FRD: oter moelo TF, ZPK e/o SS o técic e ietificção e item; efetr álie e item com ão-lierie o fçõe ecritiv; vlir moelo. Prof. Ae

26 Fçõe e Trferêci A ecrição tipo fção e trferêci é cri o miete MATLAB efiioe vetore-lih e coeficiete pr o poliômio o meror e eomior. E. Coiere-e o item ecrito pel fção e trferêci, G O como io crim ecrição e G: Nm [ 6 ]; De [ ]; Prof. Ae

27 Fçõe e Trferêci Sitem mltivriávei MIMO: eve er epecifico m meror e m eomior pr c pr etr/í o item. Ee o poem er colecioo m rry e céll e vetore-lih. Eemplo. Sej o item e etr e í, H 5 Sitem e etr e í: H 5 H tf{ ; [ ]}, {[ ] ; [ 5]} Altertivmete, e mtriz e trferêci poe er efii pel cocteção e fçõe e trferêci SISO: H [tf,[ ] ; tf[ ],[ 5]] Prof. Ae

28 O, e form eqivlete, H [/ ; /^*5] oe tf'' Prof. Ae

29 Prof. Ae Fçõe e Trferêci E. Sej mtriz e trferêci, G G tf{[ ],. ;., [ 5]}, { [ 5 ], [ 5 ] ; [ 5 ], [ 5 ]} Pr repreetr fçõe e trferêci e item icreto, implemete crecete o períoo e motrgem T à lit e elemeto em tf, p. e., H tf[ ], [ 6 9], T Tmém é poível efiir vriável z com períoo e motrgem T por, z tf'z',t e epecificr o moelo icreto o tempo como m epreão rciol em z: H z/z^6*z9

30 Pólo e Zero A ecrição tipo pólo-zero é cri o miete MATLAB efiio-e vetore-col e pólo e zero, e o gho, pr o item. E. A fção e trferêci o item preet zero em -6, -5 e, pólo em -j, --j, - e -, e gho itário. O como egir crim ecrição pólo-zero pr ete item: Z [ -6; -5; ]; P [ -j; --j; -; -]; K ; Prof. Ae

31 Pólo e Zero Pr item mltivriávei efiio como moelo ZPK, colecio-e o vetore e zero e pólo pr c pr I/O em oi rry e céll e m mtriz pr o gho eclre. E. H i i H zpk{[] ; [ -]}, { ; [-i i]}, [ ; -] Altertivmete, ee moelo poe er cotrío pel cocteção e moelo SISO: H [/ ; --*/^-*] oe zpk'', o, e form eqivlete, H [zpk[],, ; zpk[ -], [-i i], -] Sitem Dicreto: repreetção é emelhte, implemete troco por z, cim, e creceto o períoo e motrgem T. Prof. Ae

32 E. Sej o item repreeto por, Pólo e Zero G 6 z[]; p [ -; -/; -/]; k /6; E. G G zpk{ [-], []; [-], [- -]}, {[- -4-5], [- -4-5]; [- -4-5], [- -4-5]}, [ ; 4] Prof. Ae

33 Digrm e Pólo e Zero j F j j j pzmpz,p Prof. Ae

34 Moelo o Epço e Eto Moelo o epço e eto, e item liere, ivrite o tempo ão crio o miete Mtl efiio-e mtrize A,B,C,D o moelo, item cotío o tempo: item icreto o tempo: t A t B t y t C t D t k A k B k y k C k D k Prof. Ae

35 Prof. Ae Moelo o Epço e Eto Moelo o Epço e Eto E. Um item lier, icreto e ivrite o tempo, é repreeto pelo egite moelo o epço e eto: O como io efiem ete item o Mtl: A [ ; -/5 / / ; ; -/5 /5 ]; B [ ; -5/ 9/5; ; /5]; C [-/5 / / ; -/5 /5 ]; D [ -5/ 9/5; /5]; / k k k y k k k

36 Mç e Repreetção reie/reiez Efet epão em frçõe prcii em e z. tf zp tf tfzp Coverte moelo o epço e eto pr fção e trferêci. Coverte ecrição o epço e eto pr ecrição tipo pólozero. Coverte moelo tipo fção e trferêci pr moelo o epço e eto. Coverte moelo tipo fção e trferêci pr ecrição tipo pólozero. zptf Coverte ecrição tipo pólo-zero pr ecrição tipo fção e trferêci. zp Coverte ecrição tipo pólo-zero pr moelo o epço e eto. Prof. Ae

37 Mç e Repreetção E. Determir o zero, pólo e gho fção e trferêci io: G m [ ]; e [ ]; [z,p,k] tfzpm,e % retor o zero, pólo e gho % fção e trferêci z -...i. -.i p -. 4.i i k Prof. Ae

38 Repreetção e Moelo A fção pzmpp,z poe er tiliz pr e oter m igrm e pólo-zero o plo compleo e G. 4 Im g Ai Rel Ai Prof. Ae

39 Mç e Repreetção E. Pr o item o E., etermir epreão mtemátic pr repot implo. A repot implo é trform iver e Lplce fção e trferêci o item. Epio G em frçõe prcii: [r,p,k] reiem,e r i i.94. p -. 4.i i K [ ] Prof. Ae

40 Mç e Repreetção E. Cot. Portto, epão em frçõe prcii fic: G, 59 i i 4, 668, 59 i, 668 i 4, 94 Acho trform iver e implifico, tem-e qe repot implo o item fic, epreão pr ht,94 e -t e -t,59 co 4t -,668 e 4t, t Prof. Ae

41 Repreetção e Coverão e Moelo A repreetção e m fção e trferêci G em frçõe prcii é form, r r r G k p p p p: vetor-col coteo o pólo; r: vetor-col coteo o reío correpoete; e k: vetor-lih coteo o coeficiete prte imprópri fção e trferêci oti iviio-e o poliômio meror e G pelo eomior. Prof. Ae

42 Repreetção e Coverão e Moelo [R,P,K] reiezb,a Ach o reío, pólo e termo ireto epão em frçõe prcii e Bz/Az, Bz r r k kz^-... Az -pz^- -pz^- B e A ão o coeficiete o poliômio meror e eomior, repectivmete, em potêci ceete e z^-. R, P: vetore col coteo o reío e pólo, repectivmete. K cotêm o termo ireto m vetor lih. Prof. Ae

43 Mç e Repreetção E. Um item tem zero em -6, -5 e, pólo em -±j, - e - e gho. Determir fção e trferêci o item. Z [ -6; -5; ]; P [-j*; --j*; -; -]; K ; [m,e] zptfz,p,k m e Portto, G Prof. Ae

44 Mç e Repreetção E 4. Determir mtriz e trferêci correpoete o item ecrito o epço e eto. A [ ; -/5 / / ; ; -/5 /5 ]; B [ ; -5/ 9/5; ; /5]; C [-/5 / / ; -/5 /5 ]; D [ -5/ 9/5; /5]; y A,B,C,D [m,e] tfty m{,} m{,} Prof. Ae

45 Mç e Repreetção E 4. Cot. m{,} m{,} e {,}... e{,} Portto, mtriz e trferêci o item é: G z z 4,5 z,5 z z 4,8 z,6z 4,6 z,z,9 z,4z z, z 4 z,4z,5 z,6 Prof. Ae

46 Mç e Repreetção E 5. Relizçõe o epço e eto Sej fção e trferêci e m item ecrit pelo poliômio e meror e eomior, m [ ]; e [ 7 ]; [A,B,C,D] tfm,e A B C D 7 - A fção tf retor relizção o epço e eto form côic cotrolável. Prof. Ae

47 Repreetção e Coverão e Moelo A fção co permite oter otr form e relizção: [,,c,,t] coa,b,c,d,'type' O prâmetro 'type' epecific form e relizção eej: type mol - otém ecrição form mol, ql o tovlore o item precem igol mtriz o item; compio - coloc chm form compheir, ql o coeficiete o poliômio crcterítico mtriz o item precem col mi à ireit. T : mtriz e trformção e imilrie. Prof. Ae

48 Repreetção e Coverão e Moelo Trformção e Similrie [At,Bt,Ct,Dt] A,B,C,D,T oe w T, e T é m mtriz iveriv. O item o epço eto reltte é: e w T AT w T B y C T w D Prof. Ae

49 Prof. Ae Repreetção e Coverão e Moelo Trformção e Similrie A trformção e imilrie qe lev à form côic cotrolável: T C c W com C c [B A B... A - B] mtriz e cotrolilie oe i, i,...,-, ão o coeficiete eqção crcterític o item, W A I λ λ λ λ

50 Prof. Ae Repreetção e Coverão e Moelo Trformção e Similrie A trformção e imilrie qe lev à form côic oervável: Q W O T - com O mtriz e oervilie oe i, i,...,-, ão o coeficiete eqção crcterític o item, W A I λ λ λ λ C A C A C T T T T T

51 Prof. Ae Repreetção e Coverão e Moelo FORMA CANÔNICA CONTROLÁVEL oe i, i,...,-, ão o coeficiete eqção crcterític o item, B T z T A T z D z T C y T A T B T A I λ λ λ λ

52 Prof. Ae Repreetção e Coverão e Moelo FORMA CANÔNICA OBSERVÁVEL y C Q z D oe i, i,...,-, ão o coeficiete eqção crcterític o item, A I λ λ λ λ AQ Q B Q AQ Q z ż [ ] CQ

53 Prof. Ae Repreetção e Coverão e Moelo Repreetção relizção por vriávei e eto e fçõe e trferêci rcioi própri Sej, g ' ' ' ' ' ' y / oe g ' / ' é trmião iret relizção. Coiere-e eqção iferecil oci à primeir prte e g em : t t y t y t y t y O. Note-e qe o proceimeto em icão permite oter-e m ecrição o epço e eto form prão pr eqçõe iferecii qe preetm eriv fção forçte.

54 Prof. Ae Defiir vriávei e eto egite meir: : y y y : y y y : y t t y t y : Diferecio cim e o, otém-e, A eqçõe preceete, gor coiero tmém trmião iret, poem er rrm form mtricil, y [ ] Et eqção iâmic é it etr form côic oervável.

55 Prof. Ae Itrozir m ov vriável vt tl qe : v t v t v t v 4 Etão, y v t v t v 5 Defiio vriávei e eto como : v, v, v,..., t v Etão, e 4, e e 5, y -... N form mtricil, tmém coiero trmião iret, y ] [ Et eqção é it etr form côic cotrolável.

56 Coverão etre Moelo Cotío e Dicreto O Mtl Cotrol Sytem Toolo trz fçõe pr coverter moelo e tempo cotío em tempo icreto e vice-ver: c Coverte moelo lier, ivrite o tempo o epço e eto cotío pr icreto. cm Coverte moelo cotío pr icreto epecifico o métoo. ct c Coverte moelo cotío pr icreto com tro pro etr. Coverte moelo icreto pr cotío. cm Coverte moelo icreto pr cotío epecifico o métoo. Prof. Ae

57 Coverão etre Moelo Cotío e Dicreto cm e cm - ceitm ecrição o epço e eto o form e fção e trferêci; opçõe: zoh foh tti prewrp mtche me egror e orem-zero etr; me egror e orem-m etr; ó pr cm tiliz proimção ilier e Tti pr eriv; proimção ilier com prewrpig freqüêci; coverte item eclr o métoo e cmeto e pólozero. Prof. Ae

58 Dicretizção e Sitem Cotío Ivriâci Repot Implo Coverte m item cotío pr icreto co repot implo. Proceimeto: ch repot implo e H; coverte repot cotí em icret, fzeo t kt; trform repot implo icret em Hz. No epço e eto: e ht C e At B D δt h kt C A k- B D C A - B δkt Amotro ht fzeo t kt pr coverter repot cotí em icret, hkt C e ATk B D δkt C e ATk- e AT B D δkt Compro-e hkt e h kt, cocli-e qe, C C, A e AT, B e AT B, D D C B Prof. Ae

59 Dicretizção e Sitem Cotío Eqivlêci Vi Segror e Orem Zero Zero Orer Hol - ZOH / Ivriâci Repot Degr N prátic, m il icreto p por m coveror igitl-álogo D/A, qe cotém m ZOH: o ível e teão correpoete à í iári é mtio té o próimo itte e motrgem. ZOH : Etão, Z e T e T G G Z Z e T G G G z ZOH z Z Proceimeto: ch trform iver e G/, titi t por kt; fz trform-z pr oter Gz. No epço e eto: T A e AT Aτ ; B e B τ ; C C; D D MATLAB Cotrol Sytem Toolo eflt Prof. Ae

60 Dicretizção e Sitem Cotío Métoo e Itegrção Nméric / Eqivlêci Repot em Freqüêci Trpezoil Tti, ilier: T z z v kt v[ k T ] v kt v[ k T ] proim méi "velocie" No epço e eto: A Ψ I T A B Ψ T B C C T D C Ψ B D T A Ψ I Prof. Ae

61 Dicretizção e Sitem Cotío Eqivlêci Repot em Freqüêci Tti com prewrp : tg ω c ω c T z z H Hz freqüêci crític ω c, Hjω c H. e jω ct Mtche pole-zero : correpoêci: z e T i c termo é titío por z e -T ; ii m gho cotte glol é plico pr torr o gho em i freqüêci verão em z igl àqele verão em. Prof. Ae

62 Coverão etre Moelo Cotío e Dicreto E. Coiere-e o egite moelo e m item icreto, H z,48 z z,86 z,5899 z,5666 z,68 z.8864 z 4 Coverter em m moelo e item cotío o trformção ilier e Tti e m períoo e motrgem e T 5 m. e [ ]; m [ ]; [mc,ec] cmm,e,t, 'tti' mc ec.e5 * e5 * Prof. Ae

63 Prof. Ae Coverão etre Moelo Cotío e Dicreto E. Coiere-e o item iâmico ecrito o epço e eto, Dicretizr o moelo cim o períoo e motrgem T,. A [ ; ; -]; B [ ]'; T.; [F,G] ca,b,t F G [ ] y