Movimento Harmônico Simples M.H.S.

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1 Moimento Hrmônico Simples M.H.S.. Introdução É o moimento periódico no qul celerção é proporcionl posição. Por eemplo: sistem mss-mol e pêndulo simples.. Cinemátic do M.H.S... Função horári do espço do M.H.S. Seu estudo é feito trés de um moimento circulr uniforme uilir. A função horári do espço do M.H.S. pode ser encontrd fzendo projeção do moimento do circulr uniforme. y Eemplos de M.H.S.: - sistem mss-mol θ -A -A cos = y =. cos Ms mplitude A do M.H.S. é igul o rio do M.C.U. e fse, é dd pel função horári do M.C.U. = A e = + ω.t, logo: = A.cos(.. Função horári d elocidde De modo nálogo podemos chegr n função horári d elocidde do M.H.S. A elocidde do M.H.S. é projeção d elocidde do M.C.U. sobre o eio. A relção entre s elociddes é dd pel função seno. M M H S M H S C U A A sen = MCU =. sen MCU - pêndulo simples (θ < 5 o ) Moimento Circulr Uniforme - M.C.U. Definição de rdino. É rzão entre o comprimento do rco e o rio d circunferênci. α = α Espço Angulr () O espço ngulr é ddo pel função horári: = + ω.t em que: : espço ngulr : espço ngulr inicil ω: elocidde ngulr embre-se que: = s e ω = ; s = ω = (definição) t

2 A celerção centrípet do M.C.U. pode ser dd por dus relções: CP = ω. ou CP = Fse () e fse inicil ( ) A fse inicil tem por referênci posição inicil de um M.C.U. uilir (imginário). Por eemplo: = rd C P ω - págin - A elocidde liner do M.C.U. se relcion com elocidde ngulr trés d relção =ω.. Assim, relção pss ser: = ω.. sen Mis um ez, lembrndo que mplitude do é igul o rio do M.C.U., temos: = A e = + ω. t = ω.a.sen( Note que não tem sentido mis denominção elocidde ngulr pr um M.H.S., portnto ω será denomindo de pulsção. O sentido do M.C.U. uilir é nti-horário. Fzendo correção necessári deido orientção do eio, temos: = ω.a.sen(.3. Função horári d celerção do M.H.S. A celerção do M.H.S. será componente no eio d celerção centrípet do M.C.U.. A relção entre s celerções será dd pel função co-seno. y -A A -A M C U M H S M H S A cos = MCU =. cos MCU Neste cso imgin-se um M.C.U., cuj posição ngulr inicil é = rdinos. Como posição do objeto que reliz o M.H.S. é projeção sobre o eio, então tem-se que o móel encontr-se n posição = A, moendo-se no sentido contrário d orientção do eio. = / rd -A A Como celerção centrípet é: CP = ω. temos: = ω.. cos Corrigindo o sinl d celerção deido orientção do eio e substituindo = A e = + ω. t, temos função: = ω.a.cos(.4. Equção fundmentl do M.H.S. Como definição do M.H.S. é de um moimento no qul celerção é proporcionl posição, temos: = k. comprndo função horári do espço: = A.cos( com função horári d celerção: = ω.a.cos( chegmos função fundmentl do M.H.S.: = ω. em que: k = - ω

3 - págin Digrms horários do M.H.S. Os digrms ds funções horáris do M.H.S. são gráficos de funções trigonométrics. Funções como: y = sen (b + c) + d y = cos (b + c) + d Vle lembrr que: I - O termo d função define mplitude do gráfico: y = cos y = cos Neste cso imgin-se um M.C.U., cuj posição ngulr inicil é = / rdinos. Como posição do objeto que reliz o M.H.S. é projeção sobre o eio, então tem-se que o móel encontr-se n posição =, moendo-se no sentido contrário d orientção do eio. = rd A A II - O termo b d função define período do gráfico, trés d relção T = /b: - - y = cos 3 y = cos III - O termo c d função define fse inicil do gráfico: y = cos y = cos ( + ) Neste cso imgin-se um M.C.U., cuj posição ngulr inicil é = rdinos. Como posição do objeto que reliz o M.H.S. é projeção sobre o eio, então tem-se que o móel encontr-se n posição = -A, moendo-se for do sentido d orientção do eio. = 3/ rd A A - IV - O termo d d função define trnslção do gráfico no eio y (não será utilizd no estudo do M.H.S.): - - y = cos y = cos + 3 Neste cso imgin-se um M.C.U., cuj posição ngulr inicil é = 3/ rdinos. Como posição do objeto que reliz o M.H.S. é projeção sobre o eio, então tem-se que o móel encontr-se n posição =, moendo-se for do sentido d orientção do eio.

4 - págin Eercícios. (Unitu-95) Um prtícul oscil o longo do eio com moimento hrmônico simples, ddo por =3,.cos(,5t + 3/), onde é ddo em cm e t em segundos. Nesss condições, pode-se firmr que mplitude, freqüênci e fse inicil lem, respectimente: ) 3,cm, 4Hz, 3/rd d) 3,cm,,5Hz, 3/rd b),5cm, 4Hz, 3/rd e) 3,cm,,5Hz, 3/rd c),5cm, 4Hz, 7. (UE-95) Um moimento hrmônico simples é descrito pel função =,5 cos(t+), em uniddes do Sistem Interncionl. Nesse moimento, mplitude e o período, em uniddes do Sistem Interncionl, lem, respectimente, ),5 e, d) e b),5 e,5 e), e, c) e 3. (Mckenzie 96) Um prtícul descree um moimento hrmônico simples segundo equção: =,3.cos(/3+.t), no S.I.. O módulo d máim elocidde tingid por est prtícul é: ),3 m/s d), m/s b), m/s e) /3 m/s c),6 m/s 4. (UFS 98) Um mss M eecut um moimento hrmônico simples entre s posições =-A e =A, conforme represent figur. Qul ds lterntis refere-se corretmente os módulos e os sentidos ds grndezs elocidde e celerção d mss M n posição =-A? ) A elocidde é nul; celerção é nul. b) A elocidde é máim e pont pr direit; celerção é nul. c) A elocidde é nul; celerção é máim e pont pr direit. d) A elocidde é nul; celerção é máim e pont pr esquerd. e) A elocidde é máim e pont pr esquerd; celerção é máim e pont pr direit. 5. (Mckenzie 98) Um corpo efetu um moimento hrmônico simples. Com relção esse moimento, podemos firmr que: ) trjetóri descrit pelo corpo é um senóide. b) o módulo d elocidde do corpo ri senoidlmente com o tempo. c) o sentido d elocidde do corpo ri 4 ezes em cd período. d) celerção do corpo tem módulo inriáel. e) o módulo d celerção do corpo ri linermente com o tempo. 6. (Mckenzie 98)Um prtícul reliz um M.H.S. (moimento hrmônico simples), segundo equção =,cos(/+t/), no S.I.. A prtir d posição de elongção máim, o menor tempo que est pr tícul gstrá pr pssr pel posição de equilíbrio é: ),5 s d) 4 s b) s e) 8 s c) s 7. (Fuest-95) Um cnet moe-se o longo do eio y com um moimento hrmônico simples. El registr sobre um fit de ppel que se moe com elocidde de cm/s d direit pr esquerd, o gráfico representdo n figur o ldo. ) Determine função y() que represent cur mostrd no gráfico. b) Supondo que o instnte t= correspond à pssgem d cnet

5 pelo ponto = e y=, determine função y(t) que represent seu moimento. c) Qul freqüênci, em hertz, do moimento d cnet? 8. (Fuest-93) Enqunto um folh de ppel é pud com elocidde constnte sobre um mes, um cnet eecut um moimento de i-e-em, perpendiculrmente à direção de deslocmento do ppel, deindo registrdo n folh um trço em form de senóide. A figur o ldo represent um trecho AB do trço, bem como s posições de lguns de seus pontos e os respectios instntes. Pede-se: ) elocidde de deslocmento d folh. b) rzão ds freqüêncis do moimento de i-e-em d cnet entre os instntes 6s e 6 s. 9. (Unicmp-9) Enqunto o ponto P se moe sobre um circunferênci, em moimento circulr uniforme com elocidde ngulr ω=rd/s, o ponto M (projeção de P sobre o eio ) eecut um moimento hrmônico simples entre os pontos A e A'. ) Qul é freqüênci do eecutdo por M? b) Determine o tempo necessário pr o ponto M deslocr-se do ponto B o ponto C. Not: B e C são os pontos médios de AD e DA, respectimente.. (Vunesp-9) A prtir do gráfico que o ldo onde estão representds s posições ocupds por um móel em função do tempo, qundo oscil sujeito um forç do tipo -k. (k constnte), determine: ) freqüênci d mplitude do moimento. b) os instntes, durnte os três primeiros segundos, em que elocidde se nulou. esposts. E. A 3. C 4. C 5. B 6. B 7. ) y =, sen (/. ) b) y =, sen (5, t) c),5 Hz - págin 5-8. ), cm/s b) 9. ), Hz b) /6 s. ) A =, m f =,5 Hz b),5s;,5s e,5s 3. Dinâmic do M.H.S. O moimento hrmônico simples é o moimento no qul celerção é proporcionl posição. Por eemplo: sistem mssmol e pêndulo simples. Isto é epresso trés d equção fundmentl do M.H.S.: = k. ou = ω., onde k = - ω 3.. Sistem Mss-Mol Um sistem consertio formdo por um mol de constnte elástic k e um corpo de mss m. O corpo de mss m é posto oscilr entre s posições -A e A, qundo sujeito um forç elástic. Acelerção do M.H.S. Projeção d celerção do M.C.U. É projeção d celerção do M.C.U. uilir sobre o eio. -A y M C U M H S M H S A

6 comprndo função horári do espço: = A.cos( com função horári d celerção: = ω.a.cos( chegmos função fundmentl do M.H.S.: = ω., onde k = - ω Período do Sistem Mss-Mol. O período do Sistem Mss- Mol não depende d inclinção θ do plno inclindo. θ Forçs tuntes num pêndulo simples. θ T Fr P ~ Fr -A A Tbel de ângulos e senos. α α sen (α) (grus) (rdinos),75,75,349,349 3,54,53 4,698,698 5,873,87 6,47,45 7,,9 8,396,39 9,57,564,745,736 F e l á s t r r r r = m. e = k., portnto m. = k. (em módulo). ogo, F - págin 6 - F Elst k =.. Ms, d equção fundmentl do M.H.S. temos que: m = ω (em módulo). Deste modo pulsção do moimento hrmônico é e o período do moimento hrmônico é: ω = m T =.. k 3.. Pêndulo Simples Um objeto é preso um fio idel e posto oscilr de modo que θ o ângulo formdo pelo fio idel e um ret erticl não ultrpss o lor de 5 o. Obser-se que forç resultnte é dd pel componente do peso n direção do moimento. Dess form, intensidde d forç resultnte é F = P.sen. Utilizndo proimção, perfeitmente álid pr ângulos pequenos, medidos em rdinos, sen, temos: F P.. D definição de ângulo, em rdinos, temos = /, forç resultnte pode ser escrit como: F = P. Substituindo segund ei de Newton, F = m., deduz-se que celerção do moimento é: g =. Porém, por definição, o moimento hrmônico simples é quele que tem su celerção proporcionl posição, ou sej: Deste modo pulsção do moimento hrmônico é: g ω = E o período do pêndulo simples é: T =.. g k m = ω.

7 3.3 Eercícios. (Unicmp 9) Um corpo de mss m está preso em um mol de constnte elástic k e em repouso no ponto O. O corpo é então pudo té posição A e depois solto. O trito é desprezíel. Sendo m=kg, k=4n/m, =3,4, pede-se: ) o período de oscilção do corpo; b) o número de ezes que um obserdor, estcionário no ponto B, ê o corpo psss por ele, durnte um interlo de 5,7 segundos.. (Uelondrin 96) Um corpo de mss m é preso à etremidde de um mol helicoidl que possui outr etremidde fi. O corpo é fstdo té o ponto A e, pós ser bndondo, oscil entre os pontos A e B. Pode-se firmr corretmente que : ) celerção é nul no ponto. d) forç é nul nos pontos A e B. b) celerção é nul nos pontos A e B. e) forç é máim no ponto. c) elocidde é nul no ponto. 3. (Mckenzie 97) Um corpo, preso um mol conforme figur o ldo, eecut n Terr um M. H. S. de freqüênci 3Hz. endo-se esse sistem à u, onde celerção d gridde é /6 d celerção d gridde d Terr, freqüênci do M. H. S. descrito lá é: ) 5 Hz d) 6 Hz b) Hz e) 8 Hz c) 3 Hz 4. (Ufes 99) Dois blocos, e, de msss m e m, respectimente, comprimem um mol, de constnte elástic k, de um distânci em relção à su posição de equilíbrio. O bloco está preso à mol, enqunto o bloco é mntido em contto com o bloco, porém sem estr preso ele, por um gente eterno, conforme mostr figur. O conjunto, inicilmente em repouso, em um ddo momento, é deido lire por esse gente eterno. Despreze tods s forms de dissipção de energi. ) Que elocidde terá o bloco qundo perder contto com o bloco? b) Depois que o bloco perde o contto com o sistem mss-mol, esse sistem reliz um moimento hrmônico simples (). Determine freqüênci ngulr e mplitude desse. 5. (Vunesp 9) Período de um pêndulo é o interlo de tempo gsto num oscilção complet. Um pêndulo eecut oscilções complets em 9, segundos. Seu período é: ),9 segundos d), segundos b), segundos e) 9, segundos c) 9, segundos 6. (Fuest-g 9) Um trpezist bre s mãos, e lrg brr de um trpézio, o pssr pelo ponto mis bio d oscilção. Desprezndo-se o trito, podemos firmr que o trpézio: ) pár de oscilr. d) não sofre lterção n su freqüênci b) ument mplitude de oscilção. e) ument su energi mecânic. c) tem seu período de oscilção umentdo. 7. (Vunesp 96) Um estudnte pretendi presentr um relógio de pêndulo num feir de ciêncis com um mostrdor de 5cm de ltur, como mostr figur.sbendo-se que, pr pequens oscilções, o período de um pêndulo simples, é ddo pel epressão T =.. (/ g), pede-se: - págin 7 - ) Se o pêndulo for pendurdo no posto O e tier um período de,8 segundos, qul deeri ser ltur mínim do relógio? Pr fcilitr

8 seus cálculos, dmit g=( )m/s. b) Se o período do pêndulo fosse de 5 segundos, heri lgum inconeniente? Justifique. 8. (It 98) No início do século, Albert Einstein propôs que forçs inerciis, como quels que precem em referenciis celerdos, sejm equilentes às forçs gritcionis. Considere um pêndulo de comprimento suspenso no teto de um gão de trem em moimento retilíneo com celerção constnte de módulo, como mostr figur. Em relção um obserdor no trem, o período de pequens oscilções do pêndulo o redor d su posição de equilíbrio θ é: ).. ( /g) d).. [ / (g )] b).. [ /(g + )] e).. (/.g) c).. [ / (g )] 9. (It 97) Um luno do ITA leou um relógio, pêndulo simples, de Sntos, no litorl pulist, pr São José dos Cmpos, 6m cim do níel do mr. O relógio mrc hor corret em Sntos, ms demonstr um pequen diferenç em São José. Considerndo Terr como um esfer com seu rio correspondendo o níel do mr, pode-se ESTIMA que, em São José dos Cmpos, o relógio: ) trs 8 min por di. b) trs 8 s por di. c) dint 8 min por di. d) dint 8 s por di. e) foi dnificdo, pois deeri fornecer o mesmo horário que em Sntos.. (It 98) Um relógio de pêndulo simples é montdo no pátio de um lbortório em Noosibirsk n Sibéri, utilizndo um fio de suspensão de coeficiente de diltção -4 C -. O pêndulo é clibrdo pr mrcr hor cert em um bonito di de erão de C. Em um dos menos grdáeis dis do inerno, com tempertur -4 C, o relógio: ) dint 5 s por di. d) trs 6 s por di. b) dint 6 s por di. e) trs 5 s por di. c) trs 3 s por di.. (Mckenzie 98) Um pêndulo simples tem inicilmente um período T. Ao qudruplicrmos seu comprimento, su no freqüênci será: ) 4T b) T c) /T d) /T e) /4T. (It 96) Um técnic muito empregd pr medir o lor d celerção d gridde locl é quel que utiliz um pêndulo simples. Pr se obter mior precisão no lor de g dee-se: ) usr um mss mior. d) umentr mplitude ds oscilções. b) usr um comprimento menor pr o fio. e) fzer áris medids com msss diferentes. c) medir um número mior de períodos. esposts. ) 3,4 s b). A 3. C 4. ) V = [k/(m +m )] b) ω = (k/m ) e A = 5. A 6. D - págin ) cm b) O inconeniente é que o relógio teri mis de 6 metros de ltur. Impróprio pr sls conencionis. 8. D 9. B. B. D. C