Lógica 1. Proposições 1 Conectivos... 2 Negação de Orações Tabela Verdade 7 Construindo tabelas-verdade... 7 Tabelas-verdade de conectivos...

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1 . Raciocínio Lógico

2 . Sumário Lógica 1 Proposições 1 Conectivos Negação de Orações Tabela Verdade 7 Construindo tabelas-verdade Tabelas-verdade de conectivos Quantificadores 9 Quantificador universal Quantificadores existenciais Como lemos p q

3 Lógica As questões envolvendo Raciocínio Lógico são compostas por preposições que provam, dão suporte, dão razão a algo, ou seja, são afirmações que expressam um pensamento de sentido completo. Essas preposições podem ter um sentido positivo ou negativo, porém nunca interrogatório. Sejam duas preposições: 1. João anda de bicicleta. 2. Maria não gosta de banana. Ambos os exemplos caraterizam uma afirmação/preposição. A base das estruturas lógicas é saber o que é verdade ou mentira (verdadeiro/falso). Os resultados das preposições SEMPRE serão verdadeiros. Há alguns princípios básicos: 1. Contradição: nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 2. Terceiro Excluído: dadas duas propostas lógicas contraditórias somente uma delas é verdadeira. Umas proposição ou é verdadeira ou é falsa. Por exemplo: ``Estudar é fácil". O contrário seria: "Estudar é difícil". Não existe meio termo, ou estudar é fácil ou estudar é difícil. Proposições Chama-se proposição (ou sentença) à toda oração declarativa que pode ser classificada de falsa ou verdadeira. Vejamos algumas situações em que as frases são ou não preposições: 1. ``Se a notação é adaptada às descobertas, o ato de pensar é maravilhosamente simplificado.''(leibniz) [é proposição] 2. Matemática é a arte de se referir a coisas diferentes pelo mesmo nome. [é proposição] 1

4 3. O grande livro da natureza é escrito na linguagem da matemática (Galileu). [é proposição] Quando usamos a negação de uma proposição invertemos a firmação que está sendo dada. 4. Está correto? [não é proposição] 5. 8 divide 9. [é proposição] 6. a 2 = b 2 + c 2 [não é proposição] No caso 4, não é proposição, pois não podemos classificar entre verdadeiro ou falso, e já no caso 6, não é proposição porque dependendo pode ser verdadeira ou falsa, dependendo dos valores atribuídos. Conectivos Para facilitar a resolução das questões de lógica usam-se os Conectivos Lógicos, que são símbolos que comprovam a veracidade das informações e unem as proposições ou as transformam numa terceira proposição. Os Conectivos são: 1. Negação( ) 2. Conjunção ( ) Este conectivo é utilizado para unir duas proposições formando uma terceira. O resultado dessa união somente será verdadeiro se as duas proposições forem verdadeiras, ou seja, sendo pelo menos uma falsa, o resultado será FALSO. 3. Disjunção ( ) Este conectivo também serve para unir duas proposições. O resultado será verdadeiro se pelo menos uma das proposições for verdadeira. 4. Implicação ( ) Só será falsa se uma proposição verdadeira implicar uma falsa. Disso conclui-se que sempre que a primeira proposição for falsa, a im- 2

5 plicação será verdadeira. Verificase a implicação quando aparecem: se... então; Se A,B; A implica B; A é suficiente para B; B é necessária para A. A primeira proposição é condição suficiente, a segunda é condição necessária. Se a condição suficiente é falsa, a implicação é verdadeira. Se a condição necessária é verdadeira, a implicação é verdadeira. 5. Dupla implicação ( ) Será verdadeira sempre que ambas as proposições forem idênticas. Como se produz novas sentenças Há uma certa quantidade de modos de produzir novas sentenças à partir de um conjunto inicial. Basta usar os conectivos vistos acima para criar novas proposições. Negação de Orações Para negar uma oração (ou mais), primeiro é necessário identificar as proposições dentro dela. Estas orações podem ser divididas em alguns casos, descritos abaixo: 1. Apenas 1 proposição. Quando temos apenas 1 proposição, basta negá-la dentro da oração. Ronaldo dormiu - Ronaldo não dormiu 2. Mais de uma proposição, ligas por. Neste caso, basta negar as proposições, e ``trocar'' por. Paulo é mineiro e João é gaúcho - Paulo não é mineiro ou João não é gaúcho 3. Mais de uma proposição, ligas por. 3

6 Quando isso acontece, basta negarmos duas proposições e ``trocar'' por. Flávia é feia e Jonas é bonito. - Flávia não é feia ou Jonas não é bonito. 4. Mais de uma proposição ligadas por Para negarmos uma proposição condicional, repete-se a primeira parte troca-se o por e negase a segunda parte. Se eu soou estudioso, então passarei no concurso. - Eu sou estudioso e não passarei no concurso. Exemplo Se Iara não fala Italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala Italiano, então ou Ching fala Chinês, ou Débora fala Dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês Logo (A) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês. (B) Ching não fala chinês e Débora não fala dinamarquês. (C) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol. (D) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano. (E) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês 4

7 Solução: Primeiramente, verificam-se quantas premissas existem: (P1) Se Iara não fala italiano então Ana fala alemão. (P2) Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês, ou Débora fala dinamarquês. (P3) Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. (P4) Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. (P5) Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Ao todo são 5 premissas formadas pelo mais diversos conectivos. Deve-se tornar toas as premissas verdadeira e aquela cuja conclusão for verdadeira será a resposta do problema. Analisando as alternativas: (A) V V = V (B) V F = F (C) V F = F (D) F F = F (E) V F = F A única conclusão verdadeira quando todas as premissas forem verdadeiras é a letra (A) Resposta: A 5

8 Leandro ir ao colégio é condição necessária para Felipe sair de casa, e é condição suficiente para Jéssica ir ao jardim. Por outro lado, Lucas encontrar Flávia é condição necessária e suficiente para Guilherme estar feliz e é condição necessária para Adriana ir ao jardim. Guilherme não ficou feliz. Logo: (A) Adriana foi ao jardim ou Lucas encontrou Flávia. (B) Se Felipe não saiu de casa, então Lucas encontrou Flávia. (C) Leandro não foi ao colégio e Lucas não encontrou Flávia. (D) Leandro foi à caça e Jéssica não foi ao jardim. (E) Felipe saiu de casa e Leandro não foi ao colégio. Resposta: C 6

9 Tabela Verdade As tabelas-verdade constituem-se, portanto, numa forma sistemática e organizada de obter o valor lógico de uma proposição composta para cada uma das combinações possíveis dos valores lógicos das proposições simples componentes. Construindo tabelas-verdade Para construir tabelas-verdade, é imprescindível o conhecimento dos valores lógicos de proposições compostas. O número de linhas de uma tabela verdade é sempre 2 n com n sendo o número de proposições dentro de uma oração. As tabelas verdade apresentam todos os valores lógicos possíveis das proposições compostas a partir dos valores lógicos das proposições simples, componentes e dos conectivos utilizados. Para proposições compostas nas extensões e com poucos conectivos, podemos encontrar o valor lógico resultante de forma quase imediata. Entretanto, à medida que aumenta a complexidade da proposição composta, com mais proposições simples e mais conectivos, cada vez mais tabelas-verdade tornam-se úteis na determinação de valores lógicos. 7

10 Exemplo Dadas proposições p e q, construa a tabela verdade da seguinte situação: p q. Solução: Primeiro, vamos escrever todas as situações possíveis para as proposições, com os valores lógicos V (verdadeiro) e F (falso): p q q p q V V V F F V F F Agora vamos preencher os valores lógicos de q. p q q p q V V F V F V F V F F F V E, por fim, vamos determinar os valores lógicos de p q, através dos valores lógicos de p e q. p q q p q V V F V V F V V F V F F F F V V 8

11 Na primeira linha, p q tem valor lógico V, pois p tem valor V e q tem valor F. Os resultados das seguintes linhas foram obtidas da mesma maneira. Por isso é muito importante ter domínio dos conectivos lógicos para construir tabelas-verdade, além da negação de uma proposição Tabelas-verdade de conectivos Conjunção Disjunção Implicação Dupla Implicação p q p q V V V V F F F V F F F F p q p q V V V V F V F V V F F F p q p q V V V V F F F V V F F V Negação p q p q V V V V F F F V F F F V p V F p F V Quantificadores Já vimos que a 2 = b 2 + c 2 não é uma proposição. Mas, é possível delimitar os valores de a,b e c para que se torne uma proposição. Definição Frases que contém variáveis livres são chamadas funções proposicionais. Há duas maneiras de transformá-las em proposições: 9

12 1. Atribuir valor às variáveis a 2 = b 2 + c 2 ; a = 5, b = 4, c = 3 2. Utilizar quantificadores: (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, para todos a, b IR Quantificador universal Seja P (x) uma proposição aberta com variavel livre x. Um quantificador universal alicado à P(x) é a proposição denotada por x U, P (x), que é verdadeira para todos possíveis valores de x em U. Como podemos ler? Quantificadores existenciais Seja U uma colocação de possíveis valores de x. Um quantificador existencial para P (x) é a proposição denotada por x U, P (x); que é verdadeira se P (x) é verdadeira para ao menos um valor de x em U. Negações de proposições com quantificadores Vejamos a seguir alguns exemplos de negação de proposições com quantificadores. 1. ( x U)P (x) x U, P (x) 2. ( x U)P (x) x U, P (x) Se x está em U, então P (x). 3. (p q) q q Para cada x em U, tem-se P (x) Todos os valores de x em U satisfazem P (x). Como lemos p q Se x é um número natural, então x é um número real. 10

13 Equivalentemente: Se x não é um número real, então x não é um número natural. (p q) p q (p q) p q Exemplo Negue as sentenças: (A) mdc(2, 3) = ou mmc(2, 3) 6 (B) IR, x > 2 3 x > 3 2 (C) x IR, x < 0 Solução: (A) x < 6 divisor de 2 3 e x > 1 divisor de 2 3. (B) x IR, x > 2 3 x > 3 2 (C) x IR, x < 0 11

14 TERMOCEARÁ Ltda Eng. T, Jr - Eletrônica - 17 A negação da proposição ``Se o candidato estuda, então passa no concurso'' é? (A) o candidato não estuda e passa no concurso (B) o candidato estuda e não passa no concurso (C) se o candidato estuda, então não passa no concurso (D) se o candidato não estuda, então passa no concurso (E) se o candidato não estuda, então não passa no concurso Resposta: B TERMOCEARÁ Ltda Eng. T. Jr - Eletrônica - 18 Como o ano de 2009 não é bissexto, ou seja, tem 365 dias, houve um dia que caiu exatamente no ``meio'' do ano. Assim, as quantidades de dias do ano de 2009 antes e depois dessa data são iguais. Essa data foi? (A) 30 de junho (B) 1 de julho (C) 2 de julho 12

15 (D) 3 de julho (E) 4 de julho Resposta: C TERMOCEARÁ Ltda Eng. t. Jr. - Eletrônica - 19 Dulce é mãe de Paulo e Dirce é filha única e é mãe de Pedro. Pedro é filho de José e primo de Paulo. João é pai de Paulo e é filho único. Conclui-se que (A) Dulce é irmã de José (B) Dirce é irma de José (C) José é primo de Paulo (D) Paulo não tem irmãos (E) Pedro é filho de Dulce. Resposta: A 13

16 TERMOCEARÁ Ltda Eng. T. Jr. - Eletrônica - 20 Ana Bruna Cecília Dora Elisa Ana = = Bruna - = Cecília - - = - - Dora = + Elisa = = Ana, Bruna, Cecília, Dora e Elisa são cinco meninas. Na tabela acima, os sinais de "+",-"e -"="significam que a menina indicada na linha é, respectivamente, maior menor ou da mesma altura que a menina indicada na coluna. Ao analisar a tabela conclui-se que (A) Bruna é a mais alta. (B) Elisa é a mais alta. (C) Dora é a mais baixa. (D) Cecília é a mais baixa. (E) Ana tem a mesma altura de Dora Resposta: D 14

17 PETROBRAS Eng. Petróleo Jr. As cinco declarações seguintes são verdadeiras. Se X acontece, então Y não acontece. Se K acontece, então X acontece. K acontece ou W acontece. Se W não acontece, então Z não acontece. Y aconteceu Conclui-se que: (A) X também aconteceu. (B) K também aconteceu. (C) W também aconteceu. (D) Z não aconteceu (E) X também aconteceu. Resposta: C 15

18 PETROBRAS Eng. Processamento Jr Na Inglaterra do século IX, as pessoas utilizavam como dinheiro o xelim e o penny, cujo o plural é o pence. O valor do penny era muito menor que o do xelim. Naquela época, o rei Alfredo cunhou moedas de ouro, de valor muito maior que o xelim. O escritor B. Cornwell contou em um de seus livros que, em um casamento naquela época, o pai da noiva exigiu do noivo o pagamento de 33 xelins, quantia equivalente a 396 pence, para que o casamento fosse realizado. O noivo pagou então ao pai da noiva a mesma quantia na forma de uma moeda de ouro mais 36 pence, e o casamento foi realizado. Nesse sistema monetário, uma moeda de oura era equivalente a quantos xelins? (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25 (E) 30 Resposta: E 16

19 PETROBRAS Eng. Processamento Jr Considere a afirmação abaixo: Se uma lâmpada está queimada então não acende. Uma afirmação logicamente equivalente à apresentada acima é: (A) Se uma lâmpada acende então não está queimada. (B) Se uma lâmpada não acende então está queimada. (C) Se uma lâmpada não está queimada então acende. (D) Existe uma lâmpada que está queimada e acende. (E) Existe uma lâmpada que acende e não está queimada. Resposta: A 17

20 PETROBRAS Eng. Processamento Jr A figura acima mostra uma ficha quadrada dividida em 5 regiões: um quadrado central e quatro trapézios iguais. Essa ficha será pintada de forma que duas regiões vizinhas não tenham a mesma cor. Escolhidas as cores das regiões, giros na ficha não a tornam diferente. Se 4 cores estão disponíveis de quantos modos distintos essa ficha pode ser pintada? (A) 6 (B) 12 (C) 24 (D) 36 (E) 48 Resposta: C 18

21 PETROBRAS Eng. Processamento Jr Três irmãs brincavam no jardim quando a avó apareceu e perguntou: ``Que dia é hoje?'' A mais nova disse: Ontem foi quarta-feira. A do meio disse: Hoje não é sexta-feira. A mais velha disse: Amanhã será sábado. Sabendo-se que uma das crianças mentiu e as outras disseram a verdade, o dia da semana em que esta história ocorreu foi (A) domingo (B) segunda-feira (C) terça-feira (D) quinta-feira (E) sábado Resposta: D 19

22 PETROBRAS Eng. Processamento Jr. Uma professora recebeu uma caixa de lápis para distribuir igualmente aos seus alunos. Se a professora desse 4 lápis a cada aluno, sobrariam 17 lápis. Entretanto, se iniciasse a distribuição dando 5 lápis a cada um, os dois últimos alunos nada gnhariam. O número de lápis da caixa é (A) 100 (B) 115 (C) 125 (D) 145 (E) 160 Resposta: C PETROBRAS Eng. Jr - Automação - 19 Considere os conjuntos A, B e C, seus respectivos complementar A C, B C e C C e as seguintes declarações: I- A (B C) = (A B) (A C) 20

23 II- A (B C) = (A B) (A C) III- (B C) C = B C C C Para esses conjuntos e respectivos complementares, está(ão) correta(s) a(s) seguinte(s) declaração(ões) (A) II, somente. (B) III, somente. (C) I e II, somente. (D) I e III, somente. (E) I, II e III. Resposta: B 21

24 TERMOCEARÁ Ltda Eng. T. Jr. - Eletrônica - 16 Um feirante utiliza uma balança de dois pratos para fazer as suas vendas. Entretanto, ele possui apenas um peso de 1 kg, um peso de 3 kg e um peso de 5 kg. O feirante pode usar um ou mais pesos em cada pesagem. Neste último caso, ele pode colocar os pesos em um único prato ou distribuí-los pelos dois pratos. Quantos valores inteiros positivos pode ter a massa de uma mercadoria a ser pesada, para que o feirante consiga determiná-la com uma única pesagem? (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 7 (E) 9 22

25 Resposta: E TERMOCEARÁ Ltda Eng. T. Jr. - Eletrônica - 21 Considere verdadeiras as proposições a seguir. Se Roberto casar, seu irmão Humberto será convidado. Humberto não fala com seu primo Gilberto. Por isso, se Gilberto for convidado para o casamento de Roberto, Humberto não irá. Gilberto é orgulhoso e, por isso, só comparece em casamentos quando é convidado. (A) Gilberto foi convidado para o casamento. Por isso, compareceu. (B) Gilberto não foi convidado para o casamento. Por isso, não compareceu. (C) Gilberto não foi convidado para o casamento, mas, mesmo assim, compareceu. (D) Gilberto não compareceu, ainda que tenha sido convidado. (E) Humberto não foi convidado, ainda que tenha comparecido. Resposta: B 23

26 TERMOCEARÁ Eng. T. Jr. - Eletrônica - 22 Três dados comuns são lançados sobre uma mesa fornecendo três resultados diferentes. O maior dentre os números obtidos é, respectivamente, igual à soma e menor que o produto dos outros dois. A partir dessas informações, é possível concluir que o (A) maior dos três números é 6. (B) maior dos três números é 5. (C) menor dos três números é 3. (D) menor dos três números é 2. (E) menor dos três números é 1. Resposta: D TERMOCEARÁ Eng. T. Jr. - Eletrônica - 23 Para participar de um jogo, nove pessoas formam uma roda em que cada uma delas é numerada, com ilustrado na figura. 24

27 A partir de uma delas, excluindo-a da contagem, contam-se 5 pessoas no sentido horário. Essa 5 a pessoa continua na roda, mas é eliminado do jogo, não participando das próximas contagens. A partir dessa 5 a pessoa, excluindoa da contagem, contam-se, no sentido horário, 5 pessoas que ainda estão no jogo. Essa 5 a pessoa continua na roda, mas é eliminado do jogo, não participando das próximas contagens e assim por diante, até que reste apenas uma pessoa, que será declarada a vencedora. Abaixo estão ilustradas as etapas do jogo, no caso de este ser iniciado pela pessoa de número 1. Note que a pessoa de número 9 é a vencedora. 25

28 Se o jogo começar pela pessoa de número 3, a vencedora será aquela de número (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 6 (E) 9 Resposta: A 26

29 O enunciado a seguir refere-se às questões 24 e 25 Proposição é toda sentença declarativa que pode ser classificada, unicamente, como verdadeira ou como falsa. Portanto, uma proposição que não possa ser classificada como falsa será verdadeira e vice-versa. Proposições compostas são sentenças formadas por duas ou mais proposições relacionadas por conectivos. e conjunção ou disjunção se... então condicional se, e somente se bicondicional não negação TERMOCEARÁ Ltda Eng. T. Jr. -Eletrônica - 24 Sejam p e q proposições e p e q, respectivamente, suas negações. Se p é uma proposição verdadeira e q, uma proposição falsa, então é verdadeira a proposição composta. (A) p q (B) p q (C) p q (D) p q (E) p q Resposta: D 27

30 TERMOCEARÁ Ltda Eng. T. Jr. -Eletrônica - 25 Duas proposições compostas são equivalente se têm a mesma tabela de valores lógicos. É correto afirmar que a proposição composta p q é equivalente à proposição (A) p q (B) p q (C) p q (D) p q (E) q p Resposta: E PETRORBAS Eng. Petróleo Jr Dos slogans abaixo, o que é equivalente a ``Se beber, então não dirija'' é (A) ``Se não dirigir, então beba''. (B) ``Não beba nem dirija''. (C) ``Não beba ou não dirija''. (D) ``Se não beber, então dirija''. 28

31 (E) ``Beba e não dirija''. Resposta: C PETROBRAS Eng. Petróleo Jr Admitindo-se que ``Origem do óleo diesel no Brasil'' se refere ao óleo diesel vendido no país de 2000 a 2009, então, nesse período, o ano em que houve maior produção de óleo diesel no país, em milhões de metros cúbicos, foi (A) (B) (C) (D) (E) Resposta: E 29

32 PETROBRAS Eng. Petróleo Jr Em uma fábrica, 70% dos funcionários ou trabalham no setor de Produção ou trabalham no setor de Desenvolvimento, ou seja, nenhum deles trabalha nos dois setores. Um terço dos funcionários que trabalham no setor de Desenvolvimento também trabalha no setor de Produção, e 50% dos funcionários da fábrica não trabalham no setor de Produção. A porcentagem de funcionários da fábrica que trabalha tanto no setor de Desenvolvimento como no setor de Produção é de (A) 5% (B) 10% (C) 20% (D) 25% (E) 30% Resposta: C 30