IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS MODAIS UTILIZANDO APENAS AS RESPOSTAS DA ESTRUTURA - IDENTIFICAÇÃO NO DOMÍNIO DO TEMPO - ODAIR ANTÔNIO NUNES JÚNIOR

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1 unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS MODAIS UTILIZANDO APENAS AS RESPOSTAS DA ESTRUTURA - IDENTIFICAÇÃO NO DOMÍNIO DO TEMPO - ODAIR ANTÔNIO NUNES JÚNIOR Ilha Soltera, Mao de 006.

2 unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS MODAIS UTILIZANDO APENAS AS RESPOSTAS DA ESTRUTURA - IDENTIFICAÇÃO NO DOMÍNIO DO TEMPO - ODAIR ANTÔNIO NUNES JÚNIOR Dssertação apresentada à Faculdade de Engenhara de Ilha Soltera da Unversdade Estadual Paulsta Júlo de Mesquta Flho, como parte dos requstos exgdos para a obtenção do título de Mestre em Engenhara Mecânca. Orentador: Prof. Dr. João Antôno Perera Ilha Soltera, Mao de 006.

3 Dedco este trabalho Aos meus pas, Odar Antono Nunes e Carmen de Almeda Nunes, que sempre estveram presentes em todas as etapas da mnha vda e à Thasa, mnha nova, pelo constante ncentvo para a realzação deste trabalho.

4 AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus por lumnar meus camnhos, meus pensamentos e pela proteção recebda ao longo de mnha vda. Ao Prof. Dr. João Antono Perera e Prof. Dr. Glberto Pechoto de Melo, pelo apoo, ncentvo e orentação quanto à realzação deste curso de mestrado. Ao meu orentador Prof. Dr. João Antono Perera pela excelente orentação, dscussões enrquecedoras, consderação, pacênca e pela amzade construída durante a realzação deste trabalho. Aos amgos Adalton Slva Borges e Tobas Souza Moraes, alunos de pós-graduação em engenhara Mecânca do Campus de Ilha Soltera pela amzade e pelas valosas dscussões e sugestões. Em especal, aos meus pas Odar Antono Nunes e Carmen de Almeda Nunes, e à mnha rmã Alne Crstna Nunes, que em todos os momentos estveram presentes com ncentvo, apoo, confança e carnho. À mnha nova Thasa Pedrosa Slva, que com certeza contrbuu muto para a realzação desse trabalho de mestrado, sempre esteve ao meu lado com seu amor, carnho, alegra e pacênca, ncentvando e apoando e aos seus pas Odelar e Alexandrna, e à sua rmã Thesa, pelo carnho e pela amzade. Aos meus amgos e companheros de repúblca Rcardo, Regnaldo, Gustavo e Paulo, pelos momentos de descontração. À CAPES, nsttução patrocnadora, que concedeu bolsa durante todo o tempo necessáro para o desenvolvmento do trabalho e conclusão do curso de Mestrado.

5 NUNES JUNIOR, O. A. Identfcação dos Parâmetros Modas utlzando apenas as Respostas da Estrutura - Identfcação no Domíno do Tempo. Ilha Soltera, 006. p. Dssertação (Mestrado em Engenhara Mecânca) Faculdade de Engenhara de Ilha Soltera, Unversdade Estadual Paulsta, Ilha Soltera, 006. RESUMO A Análse Modal envolvendo apenas as respostas da estrutura é anda um desafo que requer o uso de técncas de dentfcação especas. Este trabalho dscute a dentfcação baseada apenas na resposta utlzando um método de dentfcação no tempo, mas especfcamente, o método Identfcação Estocástca de Subespaço. É mostrado que uma estrutura vbrando exctada por forças não conhecdas, pode ser modelada como um modelo de espaço de estado estocástco. A partr da aplcação de técncas numércas robustas como fatorzação QR e Decomposção em Valores Sngulares para a matrz bloco de Hanel sem-nfnta, contendo os dados de resposta, é obtda a estmatva dos estados do modelo. Uma vez que os estados são conhecdos, o sstema de matrzes é encontrado através da solução de um problema de mínmos quadrados. Encontrado o modelo matemátco da estrutura, os parâmetros modas são estmados dretamente através da decomposção em autovalores. O trabalho apresenta anda uma metodologa que utlza a função densdade de probabldade para dentfcar possíves componentes harmôncos contdos nos snas de respostas. Os snas são fltrados em uma faxa de freqüênca contendo um provável modo e é verfcado se este corresponde a um modo natural ou operaconal. A metodologa é avalada com dados smulados e expermentas e os resultados obtdos mostraram-se promssores para dentfcação dos parâmetros modas de sstemas estocástcos lneares e nvarantes no tempo, utlzando apenas as respostas. Palavras-chave: Análse Modal Operaconal, Identfcação Estocástca, Componentes Harmôncos.

6 NUNES JUNIOR, O. A. Modal Parameters Identfcaton usng only the responses data of the structure Tme Doman Identfcaton. Ilha Soltera, 006. p. Thess (Master n Mechancal Engneerng) Faculdade de Engenhara de Ilha Soltera, Unversdade Estadual Paulsta, Ilha Soltera, 006. ABSTRACT Modal analyss usng output-only measurements s stll a challenge n the expermental modal analyss communty. It requres the use of specal modal dentfcaton technques. Ths wor dscusses the concepts nvolved n the output-only modal analyss and the mplementaton of the Stochastc Subspace Identfcaton tme doman method. It s shown that a vbratng structure excted by an unnown force can be modelled as a stochastc state space model. In ths approach, the SSI method estmates the state sequences drectly from the response data and the modal parameters are estmated by usng the egenvalues decomposton of the state matrx. The steps of the procedure are mplemented usng the well-nown numercal lnear algebra algorthms, Sngular Value Decomposton and the QR decomposton. It also ncludes a methodology based on the Probablty Densty Functon to dentfy harmonc components of the response sgnals. The sgnals are flterng n a range of frequency contanng a mode, to verfy f t s a natural or operatonal mode. The approach s evaluated wth smulated and expermental data and the results have shown to be promsng to dentfy the modal parameters of stochastc lnear tme-nvarant systems, based only on the output data. Key-words: Operatonal Modal Analyss, Stochastc Identfcaton, Harmoncs Components.

7 SUMÁRIO LISTA DE SÍMBOLOS. INTRODUÇÃO 0.. ANÁLISE MODAL OPERACIONAL REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 05.. IDENTIFICAÇÃO ESTOCÁSTICA JUSTIFICATIVA 0 4. FUNDAMENTOS TEÓRICOS ANÁLISE MODAL CONSIDERAÇÕES GERAIS ANÁLISE MODAL TEÓRICA DE SISTEMAS DE VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE ORTOGONALIDADE DOS AUTOVETORES ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL EXCITAÇÕES RANDÔMICAS DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES O RANK DE UMA MATRIZ MODELOS DE ESPAÇO DE ESTADO MODELO DE ESPAÇO DE ESTADO DISCRETO IDENTIFICAÇÃO ESTOCÁSTICA DE SUBESPAÇOS (SSI) MODELO DE ESPAÇO DE ESTADO PROPRIEDADES DOS SISTEMAS ESTOCÁSTICOS ALGORITMOS DA IDENTIFICAÇÃO ESTOCÁSTICA DE SUBESPAÇOS VARIANTES DO ALGORITMO DE IDENTIFICAÇÃO OBTENÇÃO DAS MATRIZES DO SISTEMA ALGORITMO UTILIZANDO OS ESTADOS ALGORITMO UTILIZANDO AS MATRIZES ALGORITMO IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS MODAIS IDENTIFICAÇÃO DE COMPONENTES HARMÔNICOS VALIDAÇÃO DOS PARÂMETROS ESTIMADOS CORRELAÇÃO NUMÉRICA (MAC)... 65

8 5.8.. AUTO MAC MODAL PHASE COLLINEARITY (MPC) IDENTIFICAÇÃO UTILIZANDO DADOS SIMULADOS DETERMINAÇÃO DA ORDEM DO SISTEMA MODELO DE 48 GRAUS DE LIBERDADE IDENTIFICAÇÃO DE MODOS NATURAIS E MODOS OPERACIONAIS SINAL HARMÔNICO ADICIONADO À ENTRADA DO SISTEMA ANÁLISE DA FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARÂMETROS MODAIS OBTIDOS PELO ALGORITMO SSI APLICADO NO SINAL FILTRADO AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL TESTES EXPERIMENTAIS MODELO ANALÍTICO COMPARAÇÃO E AVALIAÇÃO DOS RESULTADOS CONCLUSÕES 0 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 04 APENDICE 08 LISTA DE PUBLICAÇÕES 0

9 LISTA DE SÍMBOLOS ngl [M] [C] [K] () t número de graus de lberdade matrz de massa, ngl x ngl matrz de amortecmento, ngl x ngl matrz de rgdez, ngl x ngl q& & vetor de aceleração, ngl x q& () t vetor de velocdade, ngl x q () t vetor deslocamento, ngl x y () t vetor de resposta u () t snal aleatóro F () t vetor de forças externas, ngl x C c constante de amortecmento crítco ω n frequênca natural [rad/s] ζ razão de amortecmento [ `λ ] matrz de autovalores, ngl x ngl ` [ Ψ ] [ ] ψ matrz de autovetores, ngl x ngl matrz modal contendo os vetores modas, ngl x ngl [ ` ] m` matrz de massa modal, ngl x ngl [ ` ] ` matrz de rgdez modal, ngl x ngl [ ` ] matrz dentdade I` H ( s ) função de transferênca ω d freqüênca natural amortecda H ( ω) Função de Resposta em Freqüênca h () t Função de Resposta ao Impulso

10 [ B f ] matrz de nfluênca de entrada, ngl x n m l j ordem do sstema que é gual a ngl número de entradas número de respostas meddas ou número de sensores utlzados na medção número de blocos de lnhas na matrz Hanel número de colunas da matrz bloco de Hanel [ A c ] matrz de estado contínua, n x n [ B c ] matrz de entrada contínua, n x m [ C ] [ D ] matrz de saída, l x n matrz de transmssão dreta, l x m x () t vetor de estado contínuo, n x x vetor de estado dscreto, n x [ A ] [ B ] Δ t w v matrz de estado dscreta ou matrz dnâmca, n x n matrz de entrada dscreta, n x m ntervalo de dscretzação ruído de entrada ruído de saída E [] operador esperança [ ] [ G ] matrz de covarânca do estado matrz de correlação estado-saída, n x l [ Λ ] matrz de correlação de saída, l x l [ H ] matrz bloco de Hanel, l x j [ Y p ] saídas passadas da matrz bloco de Hanel, l x j [ Y f ] saídas futuras da matrz bloco de Hanel, l x j [ Γ ] matrz de observabldade, l x n [ Γ ] é a matrz Γ com as últmas l lnhas deletadas [ ] Γ pseudo-nversa de Γ

11 c [ Δ ] matrz de controlabldade, n x l [ Xˆ ] seqüênca de estados estmados, n x j [ Ρ ] projeção do bloco das saídas futuras no bloco das saídas passadas, l x j W W determnam a base do espaço de estado na qual o modelo será dentfcado [ C ] matrz de covarânca cruzada, l x l { } xˆ + estado estmado [ ] Y matrz de Hanel com somente um bloco de lnha, l x j / ρ w ρ v resíduos Γ é a matrz Γ sem as prmeras l lnhas, Γ é a matrz Γ sem as últmas l lnhas. nxn Ψ C matrz cujas colunas são os autovetores do sstema dscreto nxn Λ C matrz dagonal que contém os autovalores do sstema dscreto μ ξ autovalores contínuos amortecmento modal lxn Φ C modos de vbrar { y f } vetor de resposta contendo apenas um modo { Φ X } modo de vbrar meddo, l x { Φ A } modo de vbrar obtdo teorcamente, l x

12 CAPÍTULO INTRODUÇÃO O objetvo do montoramento de vbrações de estruturas de engenhara é observar o comportamento da estrutura nas dferentes condções de funconamento e no caso da Análse Dnâmca dentfcar os seus prncpas parâmetros de vbração (parâmetros própros). Os métodos de dentfcação dos parâmetros de vbração tanto para o desenvolvmento de modelos dnâmcos confáves como para entender o comportamento de modelos já exstentes são objetos de estudo da análse modal. Os parâmetros modas (freqüêncas naturas, fatores de amortecmento e resíduos modas) e eventualmente os parâmetros estruturas (matrzes de nérca, rgdez e amortecmento) da estrutura são utlzados em dversas aplcações na área da Engenhara Mecânca, como por exemplo: análse dnâmca de peças estruturas de dfícl modelagem analítca, refnamento ou verfcação de um modelo analítco, predção de cargas dnâmcas ou níves de resposta que uma estrutura pode expermentar durante sua operação, controle de vbrações em estruturas flexíves, dentfcação ncpente de falhas, ajuste de modelos, montoramento da ntegrdade estrutural, dentre outras. Os métodos de dentfcação em análse modal podem ser separados em duas categoras báscas, os que operam no domíno do tempo e os que operam no domíno da freqüênca. Os métodos no domíno da freqüênca tveram um desenvolvmento muto mas acelerado do que os outros. Talvez o fato de, desde a metade da década de setenta, poder-se contar com equpamentos capazes de proceder a análse de Fourer, tenha nfluencado sgnfcatvamente para o desenvolvmento de técncas no domíno da freqüênca. Os métodos no domíno do tempo despontaram como alternatva promssora aos métodos na freqüênca, vsto que podem ser aplcados em estruturas que apresentam característcas especas, como por exemplo, modos

13 acoplados, freqüêncas naturas muto próxmas. Hoje já se sabe que os métodos de dentfcação não se aplcam de forma unversal a quasquer tpos de stuações encontradas na prátca. Assm, dependendo do problema a ser resolvdo, escolhe-se o método que apresente o melhor desempenho possível naquele contexto específco. Os métodos de dentfcação na sua maora utlzam as nformações de ambas as meddas, meddas de entrada (forças) e de saídas (aceleração). Entretanto, exste uma demanda para que os métodos de dentfcação não sejam usados somente para dados obtdos sob condções de laboratóro bem controladas, mas também para a reposta dnâmca de estruturas reas de engenhara como prédos, pontes e torres (Peeters e Roec, 999; We-Xn e Zhou-Hong, 004). De forma geral, a dentfcação das característcas dnâmcas de uma estrutura é feta a partr dos snas provenentes da resposta da estrutura causada por uma determnada exctação. Esta exctação, por sua vez, pode ser produzda a partr de testes de vbração forçada utlzando exctadores eletromecâncos, eletromagnétcos e/ou hdráulcos que produzem o carregamento da estrutura, ou anda a partr de exctações ambentes produzdas pela própra condção de operação da estrutura, por exemplo, tráfego de veículos, movmento de pessoas, vento e outros. Entretanto, a exctação de determnados tpos de estruturas é geralmente cara e dfícl. Por outro lado, a exctação natural devda às própras condções de operação parece ser mas natural para este tpo de estrutura (dfícl de ser exctada artfcalmente) e pode ser utlzada com vantagens, lembrando sempre que exctações ambentes (vento, tráfego) geralmente são de natureza estocástca e anda dfíces, se não mpossíves, de serem meddas. A exctação ambente é geralmente utlzada no caso de estruturas de grande porte, pos permte realzar um montoramento contínuo ou ntermtente sem a nterrupção das condções de operação, além de ser, mutas vezes, uma alternatva técnca e economcamente mas vável. A lteratura mostra que exste uma grande quantdade de trabalhos que tratam da dentfcação de sstemas submetdos à exctação ambente. Dentre estes, pode-se ctar Jones et al. (995), Sato e Yoota (996), Farrar e James III (997), Hermans e Van der Auweraer (999), Peeters e De Roec (999), Ndamb et al. (000), Huang (00), Peeters e Ventura (003), Cremona et al. (003), Aman et al. (004) e Braslano (005). Estas técncas de dentfcação dos parâmetros do modelo são conhecdas por Análse Modal Operaconal (AMO), devdo ao fato de utlzarem as própras forças geradas pela operação do sstema como fonte de exctação. Contudo, as técncas de análse modal operaconal costumam

14 3 consderar as forças de exctação como sendo um ruído branco estaconáro o que pode trazer problemas, caso exstam componentes harmôncos nserdos nas forças geradas pela operação do sstema. Este problema não é dfícl ocorrer prncpalmente em se tratando da utlzação de exctações operaconas em sstemas rotatvos (Mohanty and Rxen, 004). Nestes casos, o gráfco da função de densdade espectral da resposta apresentará pcos correspondendo a modos naturas e pcos correspondendo a modos operaconas (respostas às exctações harmôncas). Desta forma, os métodos tradconas de AMO podem em determnadas condções consderar erroneamente tas pcos de modos operaconas como sendo modos naturas. Portanto, a utlzação de um algortmo capaz de dentfcar os pcos correspondentes aos modos operaconas sera mportante neste caso (Matos e Amarante, 005). O trabalho dscute a mplementação e aplcação do método de Identfcação Estocástca de Subespaços para a análse modal baseada apenas na resposta. Numa prmera etapa são utlzados dados smulados obtdos pela análse de Elementos Fntos e, posterormente, é estudada a efcênca do método para dentfcação de parâmetros modas a partr de dados expermentas de uma estrutura tpo Frame. Adconalmente, o trabalho dscute o efeto de modos operaconas (respostas às exctações harmôncas) na dentfcação dos parâmetros do modelo. A metodologa aplcada utlza a função densdade de probabldade para analsar este efeto (Brncer et al., 000). Os snas são separados (fltrados) em uma faxa de freqüênca contendo um modo para a verfcação se este corresponde a um modo natural ou operaconal. Efetuando a dentfcação e a fltragem dos modos operaconas, é aplcado o método de análse modal operaconal (Identfcação Estocástca de Subespaços) nos snas tratados e então os modos naturas são estmados. Serão apresentados casos em que a freqüênca da exctação senodal é próxma a um dos modos. Desta forma, pode-se avalar a nfluênca da fltragem nos resultados. Também é dscutda a dstnção entre modos reas e componentes harmôncos no snal de resposta meddo... ANÁLISE MODAL OPERACIONAL Na análse modal tradconal os parâmetros modas são obtdos a partr das funções de resposta em freqüênca (FRFs), que relaconam a saída (resposta) com a entrada (exctação). Para este tpo de análse é necessáro medr a entrada e a saída do sstema.

15 4 A análse modal operaconal se basea na medda da resposta da estrutura em condções de operação e para sso utlza como exctação as forças de servço que atuam sobre a mesma. Como essas forças de entrada não são meddas, não é possível obter as FRFs do sstema. A análse modal operaconal é utlzada quando não é convenente exctar as estruturas por meo de um martelo ou um exctador, algumas porque são dfíces de exctar artfcalmente devdo ao seu tamanho, forma ou localzação. Para mutas estruturas grandes pode ser complcado exctá-las artfcalmente a um nível tal que a resposta devda a fatores ambentas (não controláves) seja pequena em comparação com a outra artfcal. Há outros casos nos quas surgem problemas devdo a não lneardades ntroduzdas por um nível de resposta muto elevado por empregar métodos artfcas de exctação. Além do mas, todas as estruturas podem estar submetdas às forças ambentas, como por exemplo, o vento, as ondas, o tráfego, ou anda, seu própro maqunáro.

16 5 CAPÍTULO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Os város aspectos da Análse Modal bem como suas aplcações têm sdo amplamente pesqusadas nas últmas décadas e, atualmente, exste uma vasta lteratura cobrndo os prncpas aspectos teórcos, bem como aspectos prátcos relaconados com os testes expermentas. Város levantamentos bblográfcos (Ewns et al., 98; Allemang, 98) foram publcados já na década de otenta e a lteratura atual contempla, além de um número ncontável de artgos, város lvros englobando os aspectos matemátcos e tecnológcos envolvdos na análse modal (Ewns, 984; Maa et al., 997; Allemang, 999). Esses autores colocam, de uma forma clara e sstemátca, a maora dos conhecmentos dsponíves nesta área assocados às suas respectvas experêncas. Nos métodos do domíno da freqüênca, os parâmetros de vbração são extraídos a partr dos dados de resposta em freqüênca, utlzando, na sua grande maora, ajuste de modelos (curve fttng), mínmos quadrados, Decomposção em Valores Sngulares, etc. (Brncer et al., 00). Város métodos que operam no domíno do tempo dervam de uma técnca baseada na teora desenvolvda por Prony (795), na qual a dentfcação é realzada a partr da função resposta ao mpulso. Alguns métodos do domíno do tempo trabalham com a formulação contínua das equações de movmento: ITD Ibrahm Tme Doman Method, método das exponencas complexas, PTD Polyreference Tme Doman Method, método de dentfcação baseado na sére de Fourer; outros utlzam a formulação dscretzada das equações de movmento: ERA Egensystem Realzaton Algorthm e ARMA Autoregressve-Movng Average Model. Alguns destes métodos utlzam modelos matemátcos superdetermnados para aumentar a acuracdade da estmação. Os prmeros sstemas lneares estocástcos envolvam modelos de sstemas com méda móvel (MA) e autoregressvos (AR) e eram utlzados para explcar cclos quase peródcos. Um pouco depos, surgram teoras de processos estaconáros. Fo na década de 60 que foram

17 6 desenvolvdas as teoras de estruturas para sstemas MIMO em espaço de estados e sstemas ARMA. Num contexto mas atual, os pesqusadores que trabalham com teora de controle preferem, em geral, uma formulação de prmera ordem para os modelos, então, propõem um método de dentfcação dreta para dentfcação de parâmetros de vbração. Já Ewns (984) apresenta métodos de dentfcação de parâmetros modas tanto no domíno do tempo quanto no da freqüênca. Juang e Pappa (985) conceberam o método de dentfcação ERA bastante convenente para Engenhara de Controle, que tornou possível obter a representação do sstema em varáves de estado. Ibrahm desenvolveu um método para dentfcação dos parâmetros modas de vbração de estruturas, a partr da resposta lvre do sstema (Ibrahm e Mulc, 973). A teora da técnca é baseada numa reformulação das equações dferencas ordnáras de movmento de um sstema de város graus de lberdade com amortecmento vscoso. Estas equações, escrtas no espaço de estado, dão orgem ao modelo matemátco usado para a dentfcação. Utlzam-se as respostas de deslocamento e de velocdade calculadas através da ntegração das respostas de aceleração do sstema lvre. Esta técnca não possu restrções quanto ao grau de amortecmento do sstema ou quanto ao espaçamento das freqüêncas naturas, dferentemente dos métodos do domíno da freqüênca então utlzados. O segundo método apresentado por Ibrahm (Ibrahm, 977) dfere do que fo descrto nos trabalhos anterores, já que neste o modelo matemátco ou a equação dferencal representatva do comportamento dnâmco da estrutura não é desenvolvdo. A resposta lvre (aceleração) é usada dretamente para a dentfcação dos parâmetros de vbração. Uma das grandes vantagens dos métodos do domíno do tempo é que eles não necesstam de estmatvas ncas para os parâmetros. No método das exponencas complexas o ponto de partda é a expressão da função resposta ao mpulso cujo cálculo era feto através da transformada nversa de Fourer da receptânca (Ewns, 984). Este era um nconvenente deste método, pos colham-se os dados no domíno do tempo, passava-se para o domíno da frequênca para o cálculo da receptânca, para depos retornar ao domíno do tempo. Atualmente exstem novas técncas que permtem calcular a função resposta ao mpulso a partr dos própros dados no domíno do tempo (Clarson e Mercer, 965).

18 7 Vold desenvolveu um método denomnado PTD Polyreference Tme Doman Method, no qual a dentfcação é feta a partr dos dados de resposta lvre ou da função resposta ao mpulso, em duas etapas. Na prmera etapa, as freqüêncas naturas amortecdas e os fatores de amortecmento são extraídos. Os coefcentes modas ou resíduos são depos calculados numa segunda etapa. Embora a prmera etapa utlze uma técnca do domíno do tempo, o cálculo dos resíduos pode ser feto ou no domíno do tempo ou no domíno da frequênca. Quando os dados utlzados para estmar os parâmetros são adqurdos apenas a partr de uma referênca smples, o método PTD é gual ao método das exponencas complexas. Juang e Pappa (985) desenvolveram um algortmo, denomnado ERA, para a realzação de sstemas. Entende-se por realzação de sstemas o processo de construr uma representação no espaço de estado, a partr de dados expermentas. O problema de realzação mínma é equvalente ao problema de representação envolvendo uma seqüênca de matrzes reas conhecdas como parâmetros de Marov (funções de resposta ao pulso). Realzação mínma consste em um modelo com a menor dmensão no espaço de estado entre os sstemas realzados, que têm as mesmas relações de entrada-saída dentro de um grau de acuracdade especfcado. Neste algortmo, a matrz de Hanel, que representa a estrutura de dados para o algortmo, é generalzada para permtr uma dstrbução aleatóra dos parâmetros de Marov, gerados por respostas lvres. Uma abordagem unfcada baseada nesta generalzação é desenvolvda para estender sua aplcação em conjunto com a técnca da decomposção em valores sngulares. O modelo ARMA permte uma dentfcação precsa das frequêncas modas e dos fatores de amortecmento. A formulação teórca é baseada na equação de dferenças do sstema, no espaço de estado. Nesta equação, duas parcelas do modelo são defndas: a parte autoregressva (AR) e a parte de méda-móvel (MA). Obtém-se, então, um sstema de equações lneares que fornecem os coefcentes da função de transferênca no domíno Z, na forma de uma razão polnomal. As raízes complexas do denomnador defnem as frequêncas modas e os fatores de amortecmento, enquanto que as raízes complexas do numerador defnem as frequêncas de antressonânca. Modelos super-dmensonados são utlzados e, juntamente com os modos e os zeros naturas, obtém-se um grande número de modos espúros, os quas devem ser elmnados. A lteratura, conforme dscutdo anterormente, mostra város textos que fornecem uma completa descrção dos métodos de estmação de parâmetros modas utlzando a relação entrada/saída. Os métodos utlzando apenas as respostas, de forma geral, são mas recentes e,

19 8 apesar da exstênca de város artgos (Brncer, 000; Brncer, 00; Peeters and Roec, 995) nesta lnha, anda não estão bem consoldados. Peeters and Roec (995) dscutem estes aspectos e apresentam um dos prmeros revews dos métodos baseados apenas na resposta... IDENTIFICAÇÃO ESTOCÁSTICA Dentre as técncas baseadas apenas nas respostas cta-se a Decomposção no Domíno da Freqüênca FDD (Brncer, 00) e a Identfcação Estocástca de Subespaços SSI (Peeters and Roec, 999). O método Identfcação Estocástca de Subespaços é baseado na construção da matrz de Hanel, que é a base para a realzação do modelo em espaço de estado dscreto. A área de engenhara cvl contrbuu com grande quantdade de trabalhos relatvos à aplcação das técncas multcanal no domíno do tempo de análse modal operaconal. Isto devese ao fato que em ensaos de vbração em estruturas cvs é freqüentemente mpratcável e de custo elevado utlzar exctação artfcal, como martelo ou exctador. A exctação ambente como vento, tráfego ou mesmo pequenos tremores, ao contráro, está dsponível lvremente. As técncas de dentfcação estocástca provaram ser muto útes na engenhara mecânca, por exemplo, para obter os parâmetros modas de uma aeronave durante testes de vôo. Pappa e Juang (988) utlzaram dados de sstemas naturalmente exctados dretamente no algortmo ERA. Clarson e Mercer (965) estudaram a aplcação das funções de correlação cruzada entre a exctação (ruído branco) e a resposta para determnação das característcas da função de resposta em freqüênca (FRF) de uma estrutura lgeramente amortecda. Embora assuma o conhecmento das forças de exctação, o procedmento merece destaque pela contrbução na dssemnação da déa de utlzar funções de correlação em lugar das tradconas funções de resposta ao mpulso, quando a exctação não pode ser medda. Segundo Clarson e Mercer (965), quando um sstema é exctado por uma força que tem densdade espectral constante, a correlação cruzada da exctação e da resposta é conhecda por fornecer o conjunto de funções de resposta ao mpulso (FRIs). Tal constatação pode ser utlzada para abastecer com as funções de correlação os algortmos clásscos de dentfcação no domíno do tempo, formulados orgnalmente para a resposta ao mpulso. O procedmento proposto por Clarson e Mercer, alado às técncas de extração de parâmetros modas no domíno do tempo tas como ITD, Polreferênca e ERA, deram orgem a uma poderosa ferramenta para a análse

20 9 modal de estruturas naturalmente exctadas, denomnada técnca de exctação natural (NExT). O novo método contrbuu para popularzar, na comundade de engenhara mecânca, a déa de que é possível extrar os parâmetros modas de estruturas exctadas por forças desconhecdas. A dentfcação dos parâmetros modas de uma estrutura sob exctação ambente é dscutda na lteratura em mutos trabalhos recentes ndcando que o tema é atratvo e emergente no campo da análse estrutural. Especfcamente a análse modal operaconal tem sdo realzada em estruturas aeronáutcas (Abdelghan et al., 999), para montoramento em carros esportes (Hermans et al., 999) e em plataformas oceâncas (Hoen et al., 993). Dentre os város métodos para extração das freqüêncas naturas e fatores de amortecmento de estruturas utlzando somente dados de saída, destaca-se o algortmo de predção lnear baseado no modelo autoregressvo de médas móves (ARMA) como sendo a mas clássca das técncas de dentfcação estocástca. Um modelo mas geral para sstemas multvarados nvarantes no tempo é o ARMA vetoral (ARMAV) que relacona o termo autoregressvo das saídas ao termo de médas móves do ruído branco consderado como entrada do sstema. Hermans e Auweraer (999) estudam a aplcação da técnca NExT em três casos ndustras, analsando suas capacdades e lmtações. Tanto a técnca NExT quanto o ERA obtveram sucesso na caracterzação modal de um sstema de suspensão trasera de um carro durante testes de rodagem, na análse de flutter de uma aeronave comercal em vôo e na dentfcação dos modos de uma ponte de concreto em condções normas de operação. A abordagem utlzando o algortmo ERA se mostrou superor quando houve necessdade de um número alto de respostas devdo a sua evdente efcênca computaconal. O número de publcações recentes nesta área demonstra o crescente nteresse da comundade centífca na obtenção de uma base sólda para a dentfcação dos parâmetros modas utlzando somente a resposta do sstema. Outras aplcações desta técnca têm sdo mostradas, dentre elas cta-se: a utlzação da técnca para estmar os parâmetros modas em torres a partr de exctações provocadas pelo vento (Yoshda et al., 004), a análse operaconal de dutos de refrgeração de um reator nuclear (Pea et al., 004), estmação dos parâmetros modas do sstema de transmssão de um automóvel em funconamento (Moller e Gade, 004) e outros. Acredta-se que esta é uma área de grande nteresse para o país, apresentando um potencal de aplcação muto vasto, tanto em estruturas mecâncas, como em estruturas de engenhara cvl (pontes, vadutos, etc.).

21 0 CAPÍTULO 3 JUSTIFICATIVA As exgêncas cada vez maores de capacdade de trabalho e desempenho das máqunas e equpamentos, aladas à crescente compettvdade e demanda comercal, exgem das empresas o desenvolvmento de projetos e modelos mas refnados, que possbltam acessar (conferr) o real comportamento do sstema, tanto do ponto de vsta estátco como dnâmco. Isso leva, em mutos casos, à necessdade de um maor refnamento do projeto o que geralmente demanda técncas de modelagem e análse mas elaboradas, envolvendo a avalação de um número crescente de detalhes do projeto, nclundo métodos para dentfcação das suas prncpas característcas (estátco/dnâmco) ou mesmo o acompanhamento das suas condções de operação (montoramento das condções de saúde do sstema). Neste caso, o analsta deve buscar defnr um modelo váldo que represente felmente o comportamento do sstema real. Neste contexto, a análse modal tem papel muto mportante, prncpalmente, no estudo do comportamento dnâmco estrutural dos sstemas mecâncos. Dentre as dversas áreas da Análse Modal destaca-se a Identfcação de Sstemas Dnâmcos, uma área de fundamental mportânca, pos trata da determnação de modelos matemátcos que descrevem o comportamento dnâmco de sstemas em função do tempo. Os modelos obtdos são útes para realzar smulações, controle, montoramento, detecção de falhas, prevsões, otmzações, entre outras aplcações. Modelos matemátcos são tpcamente utlzados em stuações onde a realzação de um expermento com o sstema real é muto cara, muto pergosa, dfícl ou mesmo mpossível. Na Análse Modal, os parâmetros modas são geralmente dervados a partr das relações nput-output meddas, geralmente, em condções de laboratóro bem controladas, sendo que a exctação da estrutura é artfcal, utlzando um martelo nstrumentado, um exctador eletromagnétco/mecânco e outros. Entretanto, o comportamento vbro-acústco de uma estrutura

22 em condções de operação, por exemplo, um carro em uma psta, pode ser sgnfcatvamente dferente da stuação de um teste de laboratóro, devdo a efetos de pré-tensão, suspensão, condções de fxação e suporte do sstema e outros. Portanto, a dentfcação do modelo modal da estrutura a partr das condções de operação, sto é, exctação natural, podera ser mas adequada. Tomando novamente o carro como exemplo, o modelo modal do mesmo, utlzando a análse modal baseada apenas na resposta podera ser obtdo para o carro em operação. Neste caso, seram utlzados apenas os dados das respostas meddas com o carro em funconamento (trafegando) e a exctação não necesstara ser medda como no caso clássco. A grande maora das rotnas e métodos de dentfcação modal geralmente são lmtados a testes de laboratóro, utlzando exctação forçada. No entanto, os testes baseados nas condções de operação, também levam em conta na avalação do comportamento do sstema as nfluêncas ambentas, ou seja, os dados e as condções de testes para o caso de um teste modal utlzando apenas as condções reas de carregamento (exctação natural) dferem sgnfcatvamente das condções de um teste de laboratóro. A utlzação da própra condção de operação para estudar o comportamento e os parâmetros de nteresse de um sstema é uma opção muto atraente, pos evta a necessdade da montagem de equpamentos e nstrumentos para a exctação do sstema. Um outro aspecto de grande relevânca neste caso sera a possbldade da utlzação de modelos de dagnose, n stu, para o montoramento, detecção e localzação de falha estrutural. As prncpas vantagens deste tpo de ensao são: É necessáro menor tempo para realzar o ensao, vsto que basta conectar os equpamentos de medda. É mas barato, pos não necessta da aqusção de equpamentos exctadores e pode realzar-se n stu. O ensao não nterfere nem nterrompe o funconamento normal da estrutura que pode contnuar em servço enquanto se realza. As respostas meddas são representatvas das condções reas de funconamento da estrutura. Evta-se a aplcação de cargas artfcas que podem comprometer a estrutura.

23 A dentfcação baseada apenas na resposta, assm como no caso clássco, pode ser realzada tanto no domíno do tempo como da freqüênca. Dentre as váras técncas baseadas no domíno do tempo, tem-se os métodos referdos como Identfcação Estocástca de Subespaços (SSI), Identfcação Estocástca de Subespaços com snal de referênca (Peeters et al., 999), NExT/ERA, método Poly referênca, neste caso, a função de resposta ao mpulso é substtuída por funções de covarânca e o método de predção de erro (PEM) (Ljung, 999). Entre os métodos baseados no Domíno da Freqüênca, cta-se o método Pea-Pcng (PP) da escolha dos pcos de freqüênca e o método Decomposção no Domíno da Freqüênca (FDD) (Brncer e Andersen, 000). Tomando-se como base a análse modal a partr da resposta, o trabalho envolve o estudo, mplementação e avalação das potencaldades dos métodos de dentfcação baseados no domíno do tempo, mas especfcamente, o método Identfcação Estocástca de Subespaços (SSI) e suas varantes (Peeters e Roec, 999; Van Overschee e De Moor, 996).

24 3 CAPÍTULO 4 FUNDAMENTOS TEÓRICOS Neste capítulo serão dscutdos os concetos necessáros para o bom entendmento do processo de dentfcação, Análse Modal, formulação de estado, algortmo e o sgnfcado das váras varáves que serão utlzadas neste trabalho. 4.. ANÁLISE MODAL Na análse modal teórca, mas especfcamente, por elementos fntos, utlzam-se métodos numércos-analítcos, e os parâmetros modas são obtdos a partr dos parâmetros espacas do modelo (Ewns, 984), ou seja, das matrzes de massa, rgdez, e menos freqüentemente, de amortecmento. Já na análse modal expermental, os parâmetros modas são estmados a partr das relações entrada/saída meddas dretamente na estrutura (MAIA et al., 997). O procedmento expermental para extração dos parâmetros modas tem demonstrado ser efcente e vem conqustando amplo campo de aplcação, como por exemplo: valdação e refnamento de modelos de elementos fntos, modfcação de estruturas, detecção de falhas e análse de estruturas complexas. A análse modal expermental pode ser melhor utlzada com o entendmento do prncípo da análse modal teórca. Neste contexto, a segur será abordada uma dscussão sobre a análse modal teórca antes da análse modal expermental CONSIDERAÇÕES GERAIS Um sstema de N graus de lberdade possu a mesma quantdade de freqüêncas naturas, sendo que para cada uma delas, exste um estado de vbração correspondente conhecdo como modo de vbrar. Os termos matemátcos relaconados com essas quantdades são conhecdos

25 4 como autovalores e autovetores, respectvamente, os quas são determnados a partr de um sstema de N equações de movmento e têm certas propredades dnâmcas assocadas ao sstema. Quando vbra em um desses modos, todos os pontos do sstema não amortecdo fcam submetdos a um smples movmento harmônco que passa através de suas posções de equlíbro smultaneamente. Para que um modo seja observado é necessáro que as condções ncas aplcadas ao sstema assm o permta. Para uma condção ncal mas genérca, como uma exctação mpulsva, a vbração lvre resultante pode conter todos os modos de vbrar smultaneamente. Sob um outro enfoque, modo de vbrar é um estado de movmento em que todas as massas, em sstemas não contínuos, osclam alcançando deslocamentos máxmos smultaneamente, passando por suas posções de equlíbro, também smultaneamente, ou anda, é um estado onde todas as partes móves do sstema osclam em fase com uma dada freqüênca. Na análse e desenvolvmento de sstemas mecâncos, o comportamento dnâmco estrutural do modelo pode ser descrto por seus parâmetros modas, ou seja, suas freqüêncas naturas, modos de vbrar e razões de amortecmento. A análse modal é um procedmento bastante efcaz para determnar esses parâmetros e a lteratura mostra que essa técnca vem conqustando uma ampla gama de aplcação, tanto sob o ponto de vsta da análse modal teórca, quanto da análse modal expermental. Nesta seção serão apresentados os concetos báscos de análse modal teórca e expermental. Estes concetos serão utlzados como base teórca para ntrodução à análse modal utlzando somente a resposta. A análse modal convenconal empregada para nvestgar o comportamento dnâmco de uma estrutura é sustentada em três hpóteses báscas: Lneardade do comportamento dnâmco: a resposta da estrutura para uma combnação de forças aplcadas smultaneamente é equvalente à soma das respostas de cada força atuando ndvdualmente; Invarânca no tempo: os parâmetros físcos da estrutura são constantes; Observabldade: a relação entrada/saída medda contém nformações sufcentes para determnar o comportamento dnâmco do modelo. Estruturas lneares contínuas geralmente atendem estes requstos e podem ser representadas por modelos matemátcos lneares obtdos a partr da dscretzação da estrutura em elementos

26 5 conectados entre s por um número fnto de pontos denomnados nós do modelo (Przemenec, 968). A nteração entre as forças dos város elementos que consttu a estrutura é representada por forças resultantes dos momentos de flexão, torção e esforços de tração atuando nesses nós. Cada equação de equlíbro assocada às forças descreve o movmento de um grau de lberdade da estrutura dscretzada e o resultado é um conjunto de equações acopladas. Se uma estrutura, que pode ser dealzada dessa forma, é exctada com um dado carregamento e a resposta e a própra força são meddas smultaneamente, então os parâmetros modas podem ser estmados a partr das relações entrada-saída, denomnadas Funções de Resposta em Freqüênca (FRF(s)) ou suas equvalentes no domíno do tempo, denomnadas Funções de Resposta ao Impulso (FRI(s)) (Juang e Pappa, 985). Para um melhor entendmento dos concetos báscos envolvdos na análse modal, ncalmente será dscutdo o comportamento de um sstema smples de grau de lberdade, mostrado na Fgura 4., consderando o amortecmento vscoso na representação das forças dsspatvas. Fgura 4.: Sstema de um grau de lberdade. A equação de movmento é obtda a partr do balanço das forças de nérca ( M & x ) dsspatva ( = C x& ), elástca ( = K x) e força externa ( t) f d f e f : f =, () t + Cx& () t + Kx() t f () t M & x = (4.)

27 6 Na qual: M massa [ Kg ]; C - coefcente de amortecmento vscoso [ s m] K - constante de rgdez [ N m] ; t - varável tempo [ s ]; & x, x&, x -aceleração [ s ] f () t - força exctadora [ N ]. N ; m, velocdade [ m s] e deslocamento [ ] m respectvamente; A solução geral da equação (4.) é dada em termos da solução homogênea e da solução partcular. A solução homogênea, para ƒ(t)=0 é da forma: st () t Xe x =, (4.) na qual, X e s são constantes. Substtundo a equação (4.) na (4.) e assumndo que a força externa é nula, tem-se: st ( Ms + Cs + K ) Xe = 0 (4.3) A solução não trval da equação (4.3) é calculada a partr das raízes da equação característca s e s. s, = C C K ± M M M (4.4) O valor das raízes s e s são dados em função dos parâmetros do modelo e são observadas as seguntes possbldades: As forças de amortecmento governam o movmento e então o sstema é conhecdo como superamortecdo: C > M K M, então as duas raízes são reas e negatvas;

28 7 As forças elástcas e de nérca prevalecem, o sstema é conhecdo como subamortecdo: C < M K M, as duas raízes são complexas conjugadas com partes reas negatvas; O sstema é crtcamente amortecdo: negatvas. C M = K M, as duas raízes são guas, reas e Esta análse mostra que exste um parâmetro que defne um lmte entre o superamortecmento e o subamortecmento. Tal parâmetro é conhecdo como constante de amortecmento crítco (C c ), que é defndo quando o termo dentro da raz da equação (4.4) é gual a zero: C c = Mω (4.5) n Na qual: K ω = n = Freqüênca natural não amortecda [rad/seg] M Com esta defnção de amortecmento crítco, uma outra quantdade admensonal chamada de razão de amortecmento (ζ) é defnda pela razão entre o coefcente de amortecmento e o amortecmento crítco do correspondente sstema: ζ = C C c (4.6) Agora as raízes da equação característca podem ser escrtas na forma: s ( ζ ± ζ ) ω n, = (4.7)

29 8 E o sstema pode ser classfcado em função da razão de amortecmento ζ : Sstema superamortecdo: ζ > ; Sstema crtcamente amortecdo: ζ = ; Sstema subamortecdo: ζ <. No caso partcular de vbrações lvres, exctadas por condções ncas x ( 0) e x& ( 0) solução da equação (4.) pode ser escrta no domíno do tempo em função da razão de amortecmento, da segunte forma:, a Sstema superamortecdo ( 0) ( ) + = ςω t x& (0) ςω x n n x( t) e x(0) cosh( ωnt ς ) + senh ωnt ς ωn ς (4.8) Sstema crtcamente amortecdo [ x(0)( + t) + x(0 t] t x( t) = e ω ω & n ) n (4.9) Sstema subamortecdo + = ςω x& (0) ςω x(0) n x( t) e t n x(0) cos( ωnt ς ) + sen( ωnt ς ) ω ς n (4.0) Estruturas mecâncas, geralmente, apresentam razões de amortecmento menores que. Por sso, toda dscussão e formulação deste trabalho, será baseada no caso subamortecdo.

30 ANÁLISE MODAL TEÓRICA DE SISTEMAS DE VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Com o advento da computação, a modelagem por elementos fntos tem sdo amplamente utlzada. O método surgu no campo da análse estrutural e tem sdo expandda a dversas aplcações da engenhara aeroespacal, arqutetura naval, mecânca dos fludos, transferênca de calor e até na medcna. Em elementos fntos o corpo elástco contínuo é representado por um sstema dscreto, formado por um conjunto de elementos estruturas undos entre s, através de um número fnto de pontos denomnados nós do modelo. Um elemento estrutural é defndo como uma parte do corpo elástco e o seu comportamento é defndo a partr do conhecmento dos deslocamentos e forças nodas atuando neste elemento. O conhecmento do comportamento dos elementos ndvduas permte representar o comportamento do sstema como um todo. As matrzes globas de massa e rgdez da estrutura são montadas a partr das matrzes elementares de massa e rgdez estmada ndvdualmente para cada elemento de acordo com a teora de elementos fntos (Bathe & Wlson, 976; Dhatt et al., 984). Tomando a equação dferencal algébrca que expressa o equlíbro das forças de um sstema de um grau de lberdade, Eq. (4.), é possível expand-la para representar um sstema de ngl graus de lberdade. As matrzes globas obtdas por Elementos Fntos levam a uma representação do modelo por ngl equações dferencas, sendo ngl o número de graus de lberdade do modelo dscreto. Neste caso, o modelo é representado por um sstema lnear de ngl equações dferencas de segunda ordem acopladas. Na forma matrcal tem-se: [ M ]{& x () t } + [ C] { x& () t } + [ K ]{ x() t } = { f ( t) } (4.) Na qual: {& x& () t },{ x& () t } e { x () t } - vetor aceleração, velocdade e deslocamento respectvamente; { f () t } - vetor das forças aplcadas no sstema; [ M ], [ K ] e [C] - são respectvamente as matrzes de massa, rgdez e amortecmento vscoso, de ordem ngl x ngl; ngl - número de graus de lberdade.

31 0 Na análse dnâmca, o efeto do amortecmento usualmente não é consderado. Portanto a equação (4.) torna-se: [ M ]{ x& () t } + [ K ]{ x( t) } = { f ( t) } & (4.) Este sstema de equações expressa o equlíbro do sstema em termos das matrzes de massa, rgdez e forças externas atuando no sstema. Ele representa um grupo de equações lneares com coefcentes constantes. Assumndo a força de exctação do tpo { ( )} { } e ω f t F t t da forma { x() t } { X } e ω =, a equação (4.) pode ser transformada na equação (4.3). = e que a solução é ωt ωt ( - ω [ M ] [ K ]) { X } e = { F} e + (4.3) Na qual: ω - freqüênca de osclação; { F } - vetor de ampltudes da força de exctação; { X } - vetor de ampltudes da resposta. De qualquer forma, a solução numérca da equação (4.) não é smples devdo às dfculdades computaconas, partcularmente para sstemas de alta ordem. Para certos casos especas, uma manera aproprada de resolver o sstema é utlzar a análse modal. Este processo requer a solução do problema de autovalor do sstema e a resposta da estrutura é expressa como uma combnação lnear dos autovetores (Merovtch, 980). Problema de Autovalor Para uma estrutura não amortecda, a equação homogênea assocada com a equação do movmento pode ser escrta assumndo que as forças de exctação são nulas. A resposta do sstema neste caso pode ser obtda consderando a solução homogênea a partr de um problema de autovalor (Merovtch, 980; Bathe e Wlson, 976), equação (4.4). ( [ M ] + [ K ] ){ X } = 0 ω (4.4)

32 A solução não trval da equação (4.4) é dada por uma matrz dagonal [ `λ ] de ordem ngl x ` ngl, chamada de matrz de autovalores assocada a uma outra matrz [ ψ ], denomnada matrz de autovetores. Cada λ = ω r r em partcular está relaconado a um vetor deslocamento { ψ } r, (Merovtch, 980). Na dnâmca estrutural, os autovalores e os autovetores são nterpretados respectvamente como as freqüêncas naturas e modos própros de vbrar da estrutura. Com esta nterpretação, o problema de autovalor pode ser expresso por: [ K ]{ ψ } r λ r [ M ]{ ψ } r = (4.5) Como a matrz [ M ] é smétrca e postva defnda e a matrz [ K ] é smétrca e postva semdefnda, os autovalores são reas e não negatvos. Vale ressaltar que para o caso de uma estrutura na condção lvre-lvre, a solução admte autovalores nulos assocados aos autovetores representando os modos de corpo rígdo, ou seja, o corpo lvre pode movmentar-se numa freqüênca nula sem se deformar. A solução computaconal do problema de autovalor é bem conhecda e exstem város métodos de resolução (Bathe & Wlson, 976) e não será dscutda neste trabalho ORTOGONALIDADE DOS AUTOVETORES Uma das propredades mas mportante dos modos própros é a propredade de ortogonaldade em relação as matrzes de massa e rgdez, cuja dedução pode ser verfcada detalhadamente em Merovtch (975). A propredade de ortogonaldade é de grande utldade na resolução dos problemas de análse estrutural, é utlzada na formulação dos algortmos para a solução de problemas de autovalor em elementos fntos, além de ser freqüentemente utlzada para desacoplar as equações de movmento do sstema, transformando as matrzes de massa e rgdez da estrutura em matrzes de massa e rgdez modal. Para o caso de autovalores não múltplos, temos: T [ ] [ M ] [ ψ ] = [ ] ψ `m (4.6) `

33 T [ ] [ K ] [ ψ ] = [ ` ] ψ (4.7) ` Nas quas : [ ψ ] - matrz modal contendo os vetores modas; [ ` ] - matrz de massa modal; m` [ ` ] - matrz de rgdez modal. ` Quando os modos são normalzados em relação à massa modal, as propredades de ortogonaldade são chamadas de ortonormal e passam a satsfazer as seguntes relações: T [ ] [ M ] [ φ ] = [ ] φ `I (4.8) T [ ] [ K ] [ φ ] [ λ ] ` φ = ` (4.9) ` Nas quas : { } { ψ } r φ r = - vetor modal normalzado em relação a massa; mr [ ` ] - matrz dentdade; I` [ `λ ] - matrz dos autovalores. ` Uma observação mportante é que tanto na teora de elementos fntos quanto na análse modal expermental é possível obter as matrzes de massa e rgdez da estrutura a partr dos parâmetros modas, utlzando as relações de ortogonaldade, equações (4.6) e (4.7). Entretanto, essas matrzes são obtdas somente para algumas stuações muto especas, vsto que nem sempre é possível ter acesso a todos os modos e graus de lberdade do modelo, Eq. (4.0) e (4.). [ ` ] = [ ] T [ φ ] m` φ (4.0) T [ ` ] = [ ] [ ] [ ] ` `λ φ φ (4.) `

34 3 Um outro aspecto de nteresse das propredades de ortogonaldade dos autovetores é a sua utlzação na transformação das coordenadas físcas em coordenadas modas, que possblta um desacoplamento das equações dferencas do movmento. Isto possblta resolver as equações do movmento como se cada equação fosse um sstema de um únco grau de lberdade e depos retornar ao sstema físco. Consdere a equação do movmento em coordenadas físcas, equação (4.3) expressa por: (- [ M ] + [ K ] ){ X } = { F} ω (4.) Pré-multplcando a equação (4.) pela matrz modal transposta [ ψ ] T e pós-multplcando pela dentdade [ ] [ ][ ] I = ψ ψ o sstema de equações do movmento é desacoplado através da dagonalzação da matrz de massa e de rgdez, equação (4.3). - [ `m ] [ ψ ] { X } + [ ` ] [ ψ ] { X } = { I } ω (4.3) ` ` Reescrevendo a equação (4.3), em termos do vetor deslocamento { q }, o sstema pode ser representado por ngl-sstemas de g.d.l. [ `m ]{ q } + [ ` ]{ q } = { I } ω (4.4) ` ` - { q} [ ψ ] { X } { I }- vetor força em coordenadas modas = - deslocamento em coordenadas modas O vetor deslocamento em coordenadas espacas{ X } é obtdo pré-multplcando a equação do deslocamento em coordenadas modas pela matrz modal. { X } [ ψ ]{} q = (4.5)

35 4 Uma análse mas atenta da equação (4.5) mostra que os deslocamentos físcos do modelo podem ser escrtos como uma combnação lnear das colunas da matrz modal, escalonados pelo vetor modal, conforme dscutdo em (Heylen et al., 975) ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL Na análse modal expermental, as característcas da dnâmca estrutural são defndas pela função de transferênca, que defne uma relação entre entrada e saída do sstema. A relação entrada/saída é obtda a partr da exctação e das respostas meddas nos pontos prevamente seleconados. A segur será feta uma rápda revsão teórca da análse modal expermental para um sstema de um únco grau de lberdade. Tomando como referênca o sstema de grau de lberdade da seção 4.., a relação de entrada e saída pode ser dada a partr da representação da equação (4.) no domíno de Laplace (varável s) que permte defnr a função transferênca do modelo. Assumndo as condções ncas de velocdade e deslocamento guas à zero, a função transferênca do modelo H ( s ), dada pela relação entre a entrada e a saída, é defnda por: () s H = X F () s () s = (4.6) Ms + Cs + K A função transferênca também pode ser escrta na forma de frações parcas (Forment, 977): H Q s P Q () s = + * * s P (4.7) Na qual: * - conjugado complexo; P - pólo localzado no plano s, defndo por: ω - freqüênca natural amortecda; d M Q - resíduo, defndo como: Q =. ω P = σ + ω ; d