2 Dispersão Atmosférica

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1 2 Dspersão Atmosférca Neste capítulo são, prmeramente, apresentados alguns mportantes concetos relaconados à atmosfera e seus fenômenos. Em seguda, a modelagem da dspersão atmosférca é abordada. Os modelos de equação de transporte são apresentados com ênfase especal nas dferentes modelagens para a representação da turbulênca e o modelo Gaussano é brevemente descrto Concetos Geras A Camada Lmte Atmosférca A superfíce da Terra exerce mportante nfluênca sobre o escoamento atmosférco na troposfera, que corresponde à camada atmosférca mas próxma do solo estendendo-se até aproxmadamente 12 km acma deste. O escoamento de ar na troposfera é fortemente nfluencado pelas tensões csalhantes e forças de empuxo térmco devdo à sua nteração com a superfíce terrestre, pela aceleração de Corols devdo à rotação da Terra e também pelos movmentos de grande escala na atmosfera, como os ventos geostrófcos e térmcos. Com relação ao problema da dspersão atmosférca na mcroescala meteorológca (da ordem de alguns qulômetros), a regão da atmosfera que nfluenca o transporte e a dspersão de poluentes está lmtada a uma camada muto estreta da troposfera, chamada de Camada Lmte Atmosférca ou Planetára. Dentro da camada lmte atmosférca os ventos são levemente nfluencados pelo escoamento de ar acma e pelos efetos de frcção, topografa e trocas de calor com a superfíce. Os ventos na regão acma da camada lmte atmosférca são chamados de ventos geostrófcos ou snótcos.

2 Capítulo II Dspersão Atmosférca 30 A altura da camada lmte atmosférca não é constante, varando com o tempo e a localzação geográfca. Ela é nfluencada por dversos fatores, como a aceleração de Corols, a velocdade do vento, rugosdade da superfíce e processos de troca de calor. À note, com ventos fracos, a espessura da camada lmte turbulenta é muto menor que durante o da, até menos de 100m. A nfluênca do resframento do solo, que ocorre durante a note por emssão de radação nfravermelha, é a causa desta dmnução da espessura da camada turbulenta, ou camada de mstura. Com o solo mas fro, há um fluxo de calor da atmosfera para este, orgnando um gradente vertcal postvo de temperatura, ou sea, uma camada de ar estavelmente estratfcada próxma ao solo. Esta camada que é denomnada camada lmte estável noturna, cresce durante toda à note. Quando amanhece, a superfíce é aquecda pela radação solar e sua temperatura cresce atngndo um máxmo por volta das 12 às 14 horas. A camada de ar acma do solo recebe um fluxo de calor da superfíce e se aquece também, resultando num gradente vertcal negatvo de temperatura que va destrundo a camada estável noturna. Esta nova camada nstável que va se formando tem nível de ntensdade turbulenta alto (devdo aos efetos de csalhamento e empuxo expressvos próxmo ao solo) e estende a altura da camada lmte atmosférca a aproxmadamente 1 a 2 km. Estas característcas podem ser alteradas por sstemas clmátcos de larga escala cuos padrões de ventos e nuvens não estão vnculados às característcas locas de superfíce ou ao cclo dáro de aquecmento. Usualmente, durante o da, a altura da Camada Lmte Atmosférca (CLA) é aproxmadamente a mesma da camada de nversão e à note, a camada de nversão pode se estender até o solo. A parte nferor da CLA é chamada de camada superfcal (surface layer). Nesta camada as característcas da turbulênca e o perfl vertcal das varáves médas do escoamento são relatvamente smples. Segundo Stull (2001), a camada superfcal é a regão na parte nferor da CLA onde os fluxos e tensões turbulentos varam menos de 10% em sua magntude. Qualtatvamente, a camada superfcal é a parte da CLA medatamente acma da superfíce, onde as varações dos fluxos vertcas podem ser gnorados. Dessa forma, o fluxo de quantdade de movmento (tensão csalhante), o fluxo de calor e o de umdade são tratados como constantes dentro desta camada.

3 Capítulo II Dspersão Atmosférca 31 Tpcamente os fluxos são grandes na superfíce do solo e reduzem-se a zero próxmo ao topo da CLA. Adotamos a defnção de Panofsky e Duton (1984) de que a camada superfcal é a porção nferor da CLA, com espessura gual a 10% da espessura desta. A espessura da camada superfcal depende das condções atmosfércas, varando de aproxmadamente 10m em notes claras com ventos leves a 100m durante o da com a presença de ventos fortes A Taxa de Lapso Adabátco e a Temperatura Potencal A varação da temperatura com a altura para uma parcela ascendente de ar seco deslocando-se adabatcamente, sto é, sem trocar calor com a vznhança, é uma propredade básca da atmosfera. Esta relação para a varação da temperatura é mportante, pos serve como um perfl de temperatura de referênca para a comparação com todos os perfs reas de temperatura. Utlzando apenas a equação de estado para gás deal e a prmera le da termodnâmca, Senfeld e Pands (1998) apresentam a dedução da segunte relação: dt dz g = (2.1) c p onde c p é o calor específco a pressão do constante do ar e g é o módulo da aceleração gravtaconal. A taxa de lapso adabátco ( Γ ) é defnda como g Γ= (2.2) c p cuo valor equvale a 0,976º C/100m para o ar seco. A relação entre as temperaturas e pressões em duas alturas na atmosfera com um perfl adabátco é representada por (Senfeld e Pands, 1998):

4 Capítulo II Dspersão Atmosférca 32 T T ( z2 ) ( z ) 1 = p p ( z2 ) ( z ) 1 ( γ 1) γ (2.3) onde γ corresponde à razão c c e c v é o calor específco a volume p v constante por undade de massa de ar. O ar seco orgnalmente no estado (T, p ), trazdo adabatcamente para a pressão ao nível do solo ( p 0 ) tera a temperatura θ dada por ( γ 1) γ p θ = T (2.4) p0 A temperatura θ é defnda como Temperatura Potencal. Como a atmosfera na realdade é raramente adabátca, torna-se mportante poder relaconar o perfl real de temperatura à taxa de lapso adabátco. Repare que θ é defnda somente para o nível do solo, e para a pressão p 0. O gradente de θ com z pode ser expressado em termos do gradente de temperatura absoluta T e a taxa de lapso adabátco Γ. Da equação (2.4) tem-se que 1 dθ 1 dt γ 1 1 dp 1 dt = = θ dz T dz γ p dz T dz + Γ (2.5) Da equação (2.4), em z = 0, p = p0 e θ = T próxma à de T, a equação (2.5) é freqüentemente aproxmada a. Como a magntude de θ é muto dθ dt dz dz + Γ (2.6) Dessa forma, dθ dz é uma medda do afastamento do perfl de temperatura real das condções adabátcas. Integrando a equação (2.6) com respeto a z tem-se

5 Capítulo II Dspersão Atmosférca 33 θ T + Γz (2.7) Turbulênca e Establdade Atmosférca A CLA é, quase sem exceção, turbulenta. O número de Reynolds usual em escoamentos atmosfércos é aproxmadamente Segundo Senfeld e Pands (1998), medatamente adacente à superfíce do solo, uma subcamada lamnar pode ser dentfcada na qual a vscosdade molecular torna-se mportante. Contudo, a espessura desta camada é tpcamente menor do que um centímetro. O escoamento atmosférco turbulento consste de vórtces de dferentes tamanhos, que são sobrepostos uns aos outros. O espectro da turbulênca é defndo pela ntensdade relatva desses vórtces de dferentes escalas. O lmte superor do tamanho dos maores vórtces é defndo pelas dmensões do escoamento médo. Para escoamentos atmosfércos em terreno plano, a altura da CLA é um parâmetro adequado para o tamanho dos maores vórtces. Para o escoamento sobre obstáculos, a altura do obstáculo é um parâmetro adequado. Os grandes vórtces são da mesma ordem de magntude da velocdade e comprmento de escala de escoamento médo. O lmte nferor para o tamanho dos menores vórtces é determnado pelos efetos vscosos. Este lmte dmnu quando a velocdade do escoamento médo aumenta. Como as menores escalas são muto maores do que o comprmento de escala molecular, a turbulênca é um fenômeno contínuo. Como menconado anterormente, não é somente a tensão csalhante que mantém ou gera turbulênca na CLA. Os gradentes de temperatura, que geram forças de empuxo, untamente com os gradentes de velocdade méda do escoamento, são responsáves por suprr energa para manter o movmento turbulento. Assm, condções atmosfércas turbulentas necesstam serem classfcadas de acordo com as contrbuções relatvas da turbulênca nduzda mecancamente e através de empuxo. O prncpal parâmetro para a caracterzação da turbulênca quando esta é domnada por tensão de csalhamento é a velocdade de frcção, que depende da velocdade do vento e da rugosdade da superfíce. Por outro lado, para caracterzar a turbulênca

6 Capítulo II Dspersão Atmosférca 34 domnada por empuxo, é necessáro estabelecer o perfl de temperatura, que depende da radação solar absorvda pelo ar e do fluxo de calor da superfíce da Terra aquecda pelo sol. A estratfcação térmca do ar seco atmosférco é freqüentemente especfcado em termos da dferença entre o perfl vertcal de temperatura real e o perfl adabátco que defne o perfl de temperatura potencal ( θ ). Dessa forma, a varação da temperatura devdo ao gradente de pressão vertcal é removdo da descrção matemátca. Se o fluxo turbulento vertcal de empuxo ( w' θ ') é postvo, a atmosfera é consderada estar em condções nstáves, devdo à nstabldade expermentada por uma parcela de ar que se move vertcalmente e adabatcamente sob tas condções. Quando o fluxo é negatvo, a parcela de ar é nbda de movmento turbulento vertcal e assm a atmosfera é caracterzada como estável. Se o fluxo é gual a zero, a atmosfera é dta estar em condções neutras. Obvamente, a estratfcação térmca atmosférca e a tensão de csalhamento do escoamento médo são conectadas, á que o padrão de escoamento e a transferênca de calor na atmosfera são dependentes dos sstemas clmátcos de grande escala. Deste modo, a turbulênca nduzda por efetos mecâncos ou de empuxo são relaconados, e suas relatvas domnâncas podem ser descrtas como uma função das condções meteorológcas. O sstema de classfcação de Pasqull (Pasqull, 1961) é provavelmente o esquema mas usado para classfcar a establdade atmosférca baseando-se em condções meteorológcas. Estas classes dependem da velocdade do vento, untamente com a radação solar durante o da ou a fração de cobertura de nuvens durante a note (Tabela 1).

7 Capítulo II Dspersão Atmosférca 35 Tabela 1- Categoras de Establdade de Pasqull-Gfford (Senfeld e Pands, 1998 e Schnelle e Dey, 2000). A extremamente nstável C levemente nstável E - levemente estável B moderadamente nstável D neutra F - moderadamente estável Nebulosdade Durante a Note Vento Superfcal (Meddo a 10 m de Altura) Insolação Durante o Da > 4/8 < 3/8 (m/s) Forte Moderado Leve Nebulosd.* Nebulosd.* <2 A A-B B A-B B C E F 3-5 B B-C C D E 5-6 C C-D D D D >6 C D D D D * O nível de nebulosdade é defndo como a fração do céu acma do horzonte aparente que está coberto por nuvens. Notas: 1. Insolação é a taxa de radação solar ncdente por undade de superfíce terrestre Forte nsolação corresponde a I > 700Wm, nsolação Moderada corresponde a I Wm e Leve nsolação corresponde a I 2 < 350Wm. 3. Para A-B, B-C, etc. tome a méda dos valores de A e B para as varáves que dependem desta classfcação. 4. Note refere-se ao período de 1 hora antes do pôr do sol até uma hora antes do alvorecer. 5. Indferente à velocdade do vento, a categora neutra D deve ser assumda para condções encobertas durante o da ou note e para quasquer condções de céu durante a hora precedendo ou segunte à note. É convenente quantfcar os efetos da turbulênca nduzda por efetos mecâncos e por empuxo. A relação entre estas duas fontes de turbulênca, como

8 Capítulo II Dspersão Atmosférca 36 função da altura, é dada pelo número de Rchardson Fluxo ( R f ) (Senfeld e Pands, 1998): R f ' ( g/ Te ) u3θ ' = uu u x ' ' (2.8) onde x 3 é a coordenada vertcal, g é a aceleração gravtaconal, T e é a temperatura de equlíbro, θ é a temperatura potencal e u 1 é a velocdade na dreção do escoamento prncpal. O termo uu representa a méda do produto das flutuações de ' ' 1 3 velocdade velocdade ' u 1 e ' u 3 e o termo ' ' u3θ representa a méda do produto das flutuações de ' u 3 e de temperatura potencal θ '. A relação (2.8) acma pode ser rearranada, consderando um perfl logarítmco de velocdade na atmosfera neutra e os fluxos turbulentos constantes: R f κ gx q = (2.9) ρctu p 0 * onde κ é a constante de Von-Karman, q 3 é o fluxo de calor por undade de área na superfíce, u * é a velocdade de frcção, T 0 é a temperatura na superfíce, ρ é a densdade do ar e c p é o calor específco à pressão constante. Segundo Stull (2001), o escoamento é nstável se R f < 0, neutro se R f = 0 e estável se R f > 0. Se R f < 1 exste um domíno da geração de turbulênca por csalhamento sobre os efetos supressores da estratfcação de densdade. Para R f > 1 exste o domíno dos efetos da estratfcação sobre a geração de turbulênca por csalhamento, havendo uma tendênca de forte redução dos níves de turbulênca (tendênca de lamnarzação do escoamento). Nesta descrção de establdade atmosférca é nteressante ter-se um parâmetro que ndque a condção na camada lmte atmosférca como um todo,

9 Capítulo II Dspersão Atmosférca 37 ndependentemente de x 3. Isto é fornecdo por um parâmetro de establdade estabelecdo por Monn e Obukhov (1954) O Comprmento de Monn Obukhov A camada superfcal é às vezes chamada de camada das tensões constantes. Na realdade, as tensões e os demas fluxos turbulentos varam com a altura, mas essa varação não é sgnfcatva. Assm, a tensão csalhante ( τ 0 ) e o fluxo de calor vertcal ( q 3) são consderados constantes na camada superfcal. Tomando proveto desta peculardade, Monn e Obukhov propuseram em 1954 sua teora da smlardade para a camada superfcal da atmosfera. Introduzram dos parâmetros de escala, ndependentes da altura nessa camada. Uma velocdade característca a velocdade de frcção ( u * ) - e um comprmento característco o chamado comprmento de Monn-Obukhov ( L ), defndos como se segue: u τ ρ w * = (2.10) 3 ρctu p 0 * L = (2.11) κ gq 3 Utlzando-se a defnção do comprmento de Monn-Obukhov, o número de Rchardson Fluxo pode então ser escrto como um comprmento admensonal: R f x L 3 = (2.12) De acordo com Senfeld e Pands (1998), L pode ser nterpretado como a altura acma do solo na qual há um equlíbro entre produção de energa cnétca turbulenta por efetos mecâncos (csalhamento) e a sua destrução por efetos de empuxo. Para

10 Capítulo II Dspersão Atmosférca 38 Panofsky e Dutton (1984), quando L < 0 (geralmente em das de sol) a alturas maores que L 10 a turbulênca gerada por empuxo térmco domna o escoamento e para alturas menores que L 10 a turbulênca mecânca é predomnante. Senfeld e Pands (1998) também relaconam L com a establdade atmosférca, como mostrado na Tabela 2. Tabela 2 Relação entre o comprmento de Monn-Obukhov ( L ) e as condções de establdade. L Condções de Establdade Pequeno negatvo 100m< L< 0 Muto nstável Grande negatvo 5 10 m L 100m Instável Muto grande (postvo ou L negatvo) 10 m 5 > Neutro Grande postvo 5 10m L 10 m Estável Pequeno postvo 0< L< 10m Muto estável A teora de Monn-Obukhov apresenta uma relação para o perfl vertcal de velocdade na camada superfcal atmosférca dada por ( z corresponde à dreção vertcal) u u z * = φm z κ z L (2.13) φ m é uma função unversal dependente da establdade atmosférca, obtda a partr de extensos expermentos de campo. Para condções nstáves a relação mas usada é (Bussnger et al, 1971): z φm = 1 16 L 1 4 (2.14)

11 Capítulo II Dspersão Atmosférca 39 Para condções neutras: φ = 1 (2.15) m e para condções estáves: z φ m = 1+ 5 (2.16) L Uma vez conhecda φ m, a equação (2.13) pode ser ntegrada desde z = z0 (onde u = 0 ) até z, resultando em uma expressão para a velocdade de frcção, como também um perfl para a varação vertcal da velocdade na camada superfcal. uz u z z L * ( ) = ln + ψ m κ z0 (2.17) Para condções estáves tem-se: z ψ m = 5 (2.18) L Para condções neutras: ψ = 0 (2.19) m E para condções nstáves: 2 2 ( η + 1)( η + 1) 2 2 ( η + 1)( η+ 1) ψ m = ln + 2 tan η tan η ( 0 ) (2.20)

12 Capítulo II Dspersão Atmosférca 40 onde 0 η z = L 1 4 e η = 1 16 z L 1 4 (2.21) De acordo com Panofsky e Dutton (1984), a teora da smlardade de Monn- Obukhov fornece para a temperatura na camada superfcal a segunte expressão: θ θ0 1 z z = ln ψ h T* κ z0 L (2.22) sendo T q 3 * = (2.23) ρcpu* A função ψ h é dada de acordo com a establdade atmosférca. z 1 z ψ h = 2ln L 2 L ψ z h 0 L = z z ψ h = 5 L L para condções nstáves (2.24) para condções neutras (2.25) para condções estáves (2.26)

13 Capítulo II Dspersão Atmosférca A Influênca das Condções de Establdade e os Efetos de Terreno na Dspersão de Poluentes As condções de establdade atmosférca têm forte nfluênca na dspersão dos poluentes. Condções nstáves se caracterzam por altos níves de turbulênca e observa-se ntensa dspersão dos contamnantes na atmosfera. Nas condções estáves, os níves de energa cnétca turbulenta são muto menores e a dspersão dos poluentes é suprmda, ocasonando altos níves de concentrações no centro da pluma. De acordo com Castro e Apsley (1997), os prncpas efetos da topografa na dspersão da polução resultam de mudanças na dreção do escoamento prncpal (que afeta o camnho da pluma), na turbulênca (que afeta a dspersão) e a possbldade de advecção para regões de recrculação. A topografa complexa nfluenca a traetóra e a dfusão da pluma. Embora ocorram altas concentrações de poluentes em terreno complexo, como por exemplo, na stuação em que uma pluma ntercepta uma montanha, mutos processos físcos agem no sentdo de reduzr as concentrações (Hanna et al., 1982). Um desses efetos em terreno complexo é o aumento da turbulênca devdo aos vórtces que são formados pelo ar que passa sobre e arredor de obstáculos. Dawson et al. (1991) reportam que os efetos de estera nfluencam fortemente o transporte e a dfusão de poluentes sobre montanhas soladas. Segundo os autores, em expermentos de campo (Ryan et al., 1984) foram observados altos níves de concentrações na regão a usante de montanhas, resultantes de emssões a montante destas Consderações sobre a Modelagem da Dspersão Atmosférca em Escala Reduzda Consderando que o presente trabalho tem como obetvo prncpal a smulação computaconal de um expermento (Ohba, R., apud Boçon, 1998) de dspersão de poluentes atmosfércos em escala de laboratóro (túnel de vento), é mportante se dentfcar as prncpas lmtações deste tpo de expermento em relação ao fenômeno da dspersão atmosférca real.

14 Capítulo II Dspersão Atmosférca 42 De acordo com Santos (2000), as nvestgações realzadas em laboratóro como túnes de vento e tanques são muto valosas porque são menos caras para serem realzadas e o ambente pode ser controlado. Além dsso, podem ser estudadas estruturas dealzadas para os obstáculos no escoamento tornando possível o entendmento de fenômenos partculares. Contudo, não é possível smular as osclações horzontas de longa escala do vento que ocorrem em escala real. Assm, o fenômeno real não pode ser totalmente smulado. Além dsso, a maora dos túnes de vento são lmtados a nvestgações em condções de establdade neutra, embora exstam equpamentos capazes de smular dferentes condções de establdade. Em Catald et al. (2001) foram desenvolvdas em túnel de vento camadas lmtes que smulam a estrutura presente na camada lmte atmosférca. Os autores observam que na camada lmte atmosférca, o grande número de grupos admensonas que tem que ser consderado para se garantr smlardade exata parece tornar tal propósto mpossível de ser alcançado porque, em prncípo, todas as condções deveram ser satsfetas smultaneamente pelo modelo e algumas são ncompatíves ou mesmo confltantes. Assm, pode-se obter apenas smlardade aproxmada em um expermento em laboratóro e os expermentos em escala reduzda devem ser proetados para representar acuradamente as característcas consderadas mas mportantes para a aplcação deseada Modelos Matemátcos para a Dspersão Atmosférca Exstem dversas análses teórcas da dspersão de poluentes em escoamentos turbulentos, levando a dferentes tpos de modelos matemátcos. Tas modelos são desenvolvdos com o obetvo de melhorar a prevsão e o entendmento da dspersão turbulenta atmosférca. Hanna et al. (1982) classfcam estes modelos da segunte forma: modelos estatístcos, modelos Gaussanos, modelos de smlardade e modelos de gradente de transporte. Contudo, segundo Santos (2000), a classfcação de modelos em uma únca categora não é uma tarefa smples, á que mutas vezes exstem característcas dos modelos que se encaxam em mas de uma categora. Por exemplo, um modelo Gaussano podera ser classfcado como um modelo estatístco

15 Capítulo II Dspersão Atmosférca 43 á que assume uma dstrbução estatístca partcular para os perfs de concentração. Por outro lado, o modelo Gaussano podera também ser classfcado como uma abordagem de gradente de transporte á que ele pode ser obtdo a partr da solução da equação fundamental que descreve o processo de transporte. Com relação aos modelos de gradentes de transporte, esta categora é aqu renomeada sob o título de modelos de equação de transporte, que nclu não só o conceto de dfusvdade turbulenta (teora-k), mas todos os modelos baseados na solução das equações de conservação. No presente trabalho serão nvestgados modelos baseados na solução das equações de transporte e estes serão, portanto, descrtos com maor detalhe. Também descreveremos brevemente modelos do tpo Gaussano devdo a sua ampla utlzação, nclusve por agêncas reguladoras governamentas como, por exemplo, a E.P.A (Agênca de Proteção Ambental Norte-amercana) Modelos de Equação de Transporte Os modelos de Equação de Transporte são baseados na equação de conservação de massa de uma substânca que é transportada por um campo de escoamento. ( uc) c c + = Dm t x x x (2.27) A solução da equação acma requer o conhecmento do campo do escoamento onde ocorre o transporte do contamnante. Em stuações envolvendo topografas complexas como as que são nvestgadas no presente trabalho, o cálculo do escoamento torna-se uma tarefa desafadora e fundamental para a qualdade dos resultados do campo de concentrações. Como fo menconado anterormente, o escoamento atmosférco é turbulento, o que aumenta a complexdade do cálculo do escoamento. Exstem dversas abordagens para este problema, com dferentes níves de complexdade.

16 Capítulo II Dspersão Atmosférca 44 O notável desenvolvmento da capacdade e do desempenho dos computadores verfcado nos últmos anos (a custos cada vez mas baxos), assm como o desenvolvmento de técncas numércas mas efcentes, explca o fato da Dnâmca dos Fludos Computaconal ser hoe um dos métodos mas empregados para a análse de escoamentos. Apesar desse cenáro, e do fato que as equações de Naver-Stokes seam adequadas para a descrção rgorosa do fenômeno da turbulênca, não há expectatva da obtenção de soluções numércas dretas (sem a utlzação de aproxmações através de modelamento) para stuações mas complexas num futuro próxmo. O problema é que o escoamento turbulento é sempre trdmensonal e transente, caracterzando-se pela presença de vórtces, com uma ampla faxa de escalas de comprmento e de tempo, que requerem níves de dscretzação espacal e temporal extremamente pequenos para as suas corretas caracterzações. Embora smulações numércas dretas a partr das equações de Naver-Stokes ( Drect Numercal Sulaton DNS) tenham sdo realzadas recentemente para stuações relatvamente smples de escoamentos turbulentos, a magntude dos recursos computaconas envolvdos nessas smulações ndcam que a solução dreta de escoamentos complexos terá que ser aguardada anda por algumas décadas (Deschamps, 1998). Deve-se ressaltar, no entanto, que smulações deste tpo permtem a obtenção de nformações sobre parâmetros de dfícl, ou mpossível, obtenção expermental. Por esta razão, apesar da lmtação na análse de stuações complexas de escoamentos, a smulação dreta pode e tem sdo utlzada para o melhor entendmento da turbulênca. Uma alternatva consderada para a solução numérca de escoamentos turbulentos recebe o nome de Smulação de Grandes Escalas ( Large Eddy Smulaton LES). Essa técnca é smlar a DNS pos tenta resolver parte da turbulênca, portanto trdmensonal e transente. No entanto, as dscretzações espacal e temporal adotadas são aplcadas somente aos maores vórtces, o que dmnu consderavelmente os recursos computaconas necessáros para a smulação. As pequenas escalas de comprmento e de tempo, assocadas aos menores vórtces são aproxmadas pela ntrodução de algum modelo algébrco smples para o cálculo das tensões. Apesar da grande redução nos recursos computaconas quando

17 Capítulo II Dspersão Atmosférca 45 comparada à smulação dreta, a smulação de grandes escalas é anda mpratcável a mutos escoamentos encontrados em stuações de engenhara. No entanto, em função de avanços na área dos recursos computaconas, é possível que essa metodologa possa ser utlzada dentro de alguns anos. Embora nformações sobre as menores escalas do escoamento turbulento seam relevantes, em mutas stuações é sufcente uma descrção do escoamento médo. O conceto de tensão de Reynolds, ntroduzdo por Osbourne Reynolds (1895), usa esta déa e é o ponto de partda para a vasta maora das smulações de escoamentos ndustras. De acordo com este método, qualquer propredade do escoamento pode ser expressa através de uma quantdade méda e da flutuação assocada à turbulênca. Por exemplo, a componente de velocdade nstantânea u na dreção x pode ser escrta como a soma de uma velocdade méda u e uma flutuação de velocdade em torno da méda: u ' u = u + u' (2.28) Aplcando esta defnção para todas as quantdades envolvdas no escoamento, pode-se deduzr uma equação para a descrção do escoamento médo através de uma méda temporal das equações de Naver-Stokes. Este método é uma espéce de fltro que remove as flutuações das varáves dependentes, permtndo o uso de malhas bem menos refnadas e o emprego de hpóteses smplfcadoras (tas como: escoamento bdmensonal, regme permanente e etc.) que mplca na redução drástca dos recursos computaconas requerdos Quantdades Médas e o Problema do Fechamento Em um escoamento turbulento, as grandezas possuem rápdas flutuações em torno de valores médos que varam lentamente (ou são constantes). Normalmente, estamos nteressados em determnar esses valores médos. As equações de

18 Capítulo II Dspersão Atmosférca 46 conservação utlzadas para escoamentos turbulentos são obtdas a partr de médas temporas das equações de conservação. Esse procedmento é conhecdo como méda de Reynolds. O procedmento de méda de Reynolds para equações escalares pode ser lustrado usando uma equação de transporte genérca para uma quantdade escalar conservatva φ : φ ( ρφ ) + ( ρuφ ) = + S t x x Γ x (2.29) Fonte Acumulação Advecção Dfusão Assume-se que o valor de φ no escoamento turbulento é compreenddo de um valor médo e uma parte flutuante: φ = φ + φ' (2.30) onde φ é o valor médo temporal de φ defndo como: 1 t0+ t φ = φ dt t (2.31) t0 e t é um ntervalo de tempo muto maor do que o maor tempo de escala das flutuações turbulentas. As flutuações turbulentas φ ' são assumdas serem randômcas de forma que: φ '= 0 (2.32) Temos anda que φ 1 φ2 = φ1 φ2 + φ' 1φ' 2. Quando φ' 1 e φ' 2 são ndependentes, φ φ' 0. ' 1 2 =

19 Capítulo II Dspersão Atmosférca 47 Após a substtução de todas as varáves das equações de conservação pelos seus valores médos mas as flutuações, as equações são ntegradas sobre um ntervalo de tempo t. Este ntervalo representa um ntervalo fnto de tempo que é grande comparado ao período ou escala de tempo das flutuações randômcas no tempo das varáves, mas pequenos quando comparados com o período ou escala de tempo de qualquer lenta varação no campo de escoamento que não é consderado como pertencendo à turbulênca. Quando a operação de tomar a méda temporal é realzada todos os detalhes relatvos ao estado do escoamento, contdo na flutuação nstantânea, são descartados. A substtução da equação (2.30) na equação geral de conservação (2.29) e a ntegração sobre um ntervalo de tempo sufcentemente longo produz: φ ( ρ u )' φ' ) + Γ + S ( ρ φ) + ( ρuφ) = ) t x x x x (2.33) Em todas as equações que se seguem, a sobre-barra será omtda das quantdades médas ( ρ, φ, µ,m, p e u ) por motvo de convenênca. Os termos na equação (2.33) são smlares àqueles no caso lamnar exceto que cada grandeza agora é representada por seu valor médo temporal e uma nova expressão contendo o termo ( u )' φ' aparece no lado dreto. Fscamente, este termo ρ representa o transporte de φ devdo às flutuações turbulentas. A equação (2.33) reescrta para a conservação da quantdade de movmento lnear para escoamentos turbulentos resulta em: p u u 2 u l ( ρ uu) = + µ + δ ( ρu)' u' + ρg x x x x x 3 x l (2.34) A equação (2.34) tem a mesma forma do balanço de quantdade de movmento lnear para o caso lamnar com as velocdades agora representando valores médo

20 Capítulo II Dspersão Atmosférca 48 temporas (ou escoamento médo) e o efeto de turbulênca ncorporado através das tensões de Reynolds, (ρ u )' u'. Neste caso, a prncpal tarefa dos modelos de turbulênca é prover expressões ou modelos aproxmados que permtam o cálculo das tensões de Reynolds em termos das quantdades médas do escoamento. Os termos adconas que agora aparecem nas equações de conservação da quantdade de movmento e de um escalar são conhecdos como fluxos turbulentos. Assm, se a aproxmação da decomposção de Reynolds é utlzada, o problema da modelagem da turbulênca é reduzdo ao cálculo das tensões de Reynolds e outros fluxos turbulentos. Infelzmente, após a ntegração da méda de Reynolds, exstem mas varáves que equações, á que exstem equações para as componentes da velocdade e para o transporte de propredades escalares, mas não para os fluxos turbulentos. Portanto, é necessáro defnr equações adconas para a determnação destas novas varáves. Contudo, quando novas equações são ncluídas para a determnação destas varáves desconhecdas, novas varáves desconhecdas aparecem. Este é o chamado problema de fechamento na modelagem da turbulênca. Exstem duas formas prncpas de se resolver problemas de modelagem de turbulênca baseadas na utlzação da méda de Reynolds: modelos de dfusvdade (fechamento de prmera ordem) e o modelo de tensões de Reynolds (fechamento de segunda ordem) Modelos Baseados no Conceto de Vscosdade Turbulenta Conceto de Vscosdade Turbulenta Boussnesq (1877) propôs orgnalmente a hpótese de que as tensões de Reynolds u' u ' são proporconas à deformação do escoamento médo, agndo de forma análoga às tensões vscosas, através do conceto de vscosdade turbulenta.

21 Capítulo II Dspersão Atmosférca 49 Consderando um escoamento ao longo de uma placa plana nfnta, ele propôs que, assm como no caso da tensão vscosa, a contrbução da turbulênca na transferênca de quantdade de movmento podera ser modelada por u uw ' ' =ν t z (2.35) onde u ' e w ' são as flutuações de velocdade assocadas às componentes de velocdade u e w paralela e normal à superfíce, respectvamente, e z é a dreção normal à superfíce da placa. Em contraste à vscosdade molecular, a vscosdade turbulenta ν t não é uma propredade físca do fludo, mas sm uma medda local do nível da turbulênca, varando de ponto a ponto e de escoamento para escoamento. Ao longo dos últmos anos, a hpótese de Boussnesq, numa forma generalzada proposta por Kolmogorov (1942), tem sdo um dos métodos mas empregados para a prevsão de escoamentos turbulentos. Segundo Kolmogorov (1942), o tensor de Reynolds pode ser avalado através da segunte relação: ' ' u u 2 u l uu = νt + δ νt + k x x 3 xl (2.36) onde '2 '2 '2 δ é o delta de Kronecker e k 12( u1 u2 u3 ) = + + é a energa cnétca turbulenta. Exstem dferentes modelos para calcular a vscosdade turbulenta ν t, varando em níves de complexdade. Estes modelos podem ser classfcados como algébrcos, de uma equação e modelos de duas equações.

22 Capítulo II Dspersão Atmosférca Modelo Algébrco do Comprmento de Mstura Consderando um escoamento turbulento sobre placa plana com u = u( z) v= w= 0, Prandtl (1925) desenvolveu sua hpótese de comprmento de mstura e propôs com base nela um modelo algébrco de turbulênca. De acordo com Deschamps (1998), Prandtl magnou para o escoamento turbulento ao longo da parede porções de fludo que se untam e movmentam-se através de um determnado comprmento l m sem alterar sua quantdade de movmento na dreção x. Assummos ncalmente que o movmento de uma porção de fludo comece em z = l e se desloque com w ' > 0 ao longo de um comprmento m l para a nova posção z = 0. Como o fludo mantém sua quantdade de movmento, m sua velocdade na nova posção é menor do que a velocdade exstente lá. A dferença entre as velocdades na nova posção será ( ) ( ) u = u u l (2.37) 1 0 m Através da sére de Taylor pode-se escrever a expressão acma na segunte forma aproxmada u l u 1 m z z= 0 (2.38) As dferenças no valor de velocdade orgnadas pelo movmento transversal podem ser nterpretadas como as flutuações de velocdade em z = 0. O valor médo do módulo dessas flutuações pode ser avalado por u' l u = m z z= 0 (2.39)

23 Capítulo II Dspersão Atmosférca 51 Espera-se que a componente de velocdade transversal ordem de magntude de u ', ou sea, w ' possua a mesma w' = cu' (2.40) Consderando que uma condção w ' > 0 geralmente está assocada a uma condção u ' < 0 a tensão csalhante é escrta como uw ' ' = cu' w' (2.41) A expressão a segur corresponde ao prncpal resultado da hpótese de comprmento de mstura de Prandtl: uw l u u z z 2 ' ' = m (2.42) O valor de comprmento de mstura l m vara de acordo com o tpo de escoamento. Por exemplo, para escoamentos unto a superfíces sóldas é natural esperar que, à medda que se aproxme da superfíce, a escala de comprmento da turbulênca assocada ao tamanho do vórtce dmnua. Nestas stuações a expressão comumente adotada para o comprmento de mstura é lm = κ z (2.43) onde κ = 0,41. Em regões do escoamento sem a nfluênca de superfíces sóldas, a escala de comprmento é pratcamente equvalente à dmensão geométrca do escoamento. Para uma consulta dos valores de l m adequados a dferentes stuações de escoamento turbulento recomenda-se o lvro de Launder e Spaldng (1972).

24 Capítulo II Dspersão Atmosférca 52 O modelo algébrco do comprmento de mstura necessta somente de quantdades do campo de velocdade méda do escoamento e, desta forma requer menos recursos computaconas do que modelos mas sofstcados, como os modelos de uma ou a duas equações. No entanto, no modelo de comprmento de mstura é necessáro ntroduzr austes para evtar que ν t = 0 quando u z = 0 em regões do escoamento plenamente desenvolvdas. Regões de separação do escoamento também correspondem a stuações onde o modelo do comprmento de mstura é totalmente nadequado. Devdo aos pequenos gradentes de velocdade méda o modelo é ncapaz de prever os níves elevados de turbulênca verfcados expermentalmente em regões de estagnação do escoamento Modelo de Uma Equação Os modelos de uma equação ntroduzem uma equação dferencal para descrever o transporte de energa cnétca turbulenta, e nela se basea o cálculo da vscosdade turbulenta: ν = (2.44) 1/2 t Ck µ Lµ A equação dferencal para a energa cnétca turbulenta é obtda a partr de manpulações das equações de Naver-Stokes. Assm, obtém-se a equação de transporte para k : k + C = k D + k P + k G +ε k t onde (2.45) C k = u k x (2.46)

25 Capítulo II Dspersão Atmosférca 53 D k ' ' ' uu p k = u + ν x 2 ρ x (2.47) P = uu u ' ' k x (2.48) G k = f ' u' (2.49) ' ' ε ν u u = x x (2.50) Nesta equação, os dos prmeros termos no lado esquerdo da equação denotam a taxa de varação local e o transporte por convecção de k, respectvamente, e não necesstam ser modelados. O termo D k representa o transporte de k por dfusão. O últmo termo entre colchetes refere-se ao transporte dfusvo molecular de k e é somente mportante em regões de baxa ntensdade da turbulênca (como, por exemplo, a subcamada lmte vscosa). Os outros dos termos aparecendo em D k são assocados ao transporte dfusvo turbulento e são portanto aproxmados através do conceto de vscosdade turbulenta: ' ' ' uu p k u + γ k (2.51) 2 ρ x A dfusvdade γ k é determnada da analoga de Reynolds, que relacona a dfusvdade de qualquer propredade lnearmente com a dfusvdade da quantdade de movmento, sto é:

26 Capítulo II Dspersão Atmosférca 54 γ k ν σ t (2.52) k O número de Prandtl turbulento σ k para o transporte de k é comumente assumdo ser gual a 1. O termo P k, geralmente chamado de termo de produção, representa a taxa de transferênca de energa do escoamento médo para o mecansmo da turbulênca. Em modelos baseados na hpótese da vscosdade turbulenta, o tensor uu ' ' aparecendo em P k é aproxmado utlzando a equação (2.36). de corpo. O termo G k corresponde à geração de turbulênca devdo à presença de forças Novamente exste uma varável ( ε ) que necessta ser modelada. No modelo de uma equação 3/2 k ε = (2.53) L ε Assumndo o equlíbro local da turbulênca e consderando o perfl logarítmco de velocdade chega-se a uma expressão para L ε válda para a maor parte da camada lmte: L ε = 2,44z (2.54) A escala de comprmento L µ é geralmente consderada ser gual a L ε. No entanto, para a regão muto próxma da parede onde a vscosdade molecular é maor ou comparável à vscosdade turbulenta, a nclusão de funções de amortecmento se torna necessára para a correta prevsão do escoamento. Maores detalhes podem ser obtdos em Launder e Spaldng (1972).

27 Capítulo II Dspersão Atmosférca 55 Apesar do avanço quando comparado ao modelo algébrco, o modelo de uma equação apresenta defcêncas. A maor delas é a necessdade de se prescrever uma escala de comprmento para a caracterzação da turbulênca. Esta prátca, com a exceção de escoamentos de geometra smples, é de dfícl execução. Sera melhor, portanto, determnar o valor da escala de comprmento também através de uma equação de transporte; este enfoque é dscutdo a segur Modelos de Duas Equações Na elaboração de um modelo de duas equações faz sentdo contnuarmos usando a equação para a energa cnétca k, devdo ao pouco emprsmo usado na sua obtenção. Para a escolha da segunda varável surgram dversas propostas ao longo dos anos e, dentre elas, o modelo k dúvda o modelo que tem recebdo mas atenção. ε (Launder e Spaldng, 1974) é sem Equação de Transporte para ε Uma equação exata para o transporte de ε pode ser obtda pela manpulação das equações de Naver-Stokes. Contudo, esta equação envolve termos muto complexos e assm são ntroduzdas algumas hpóteses para obter-se a equação escrta da segunte forma: ( ) ( ρu ε) 2 ρε µ turb ε ε ε + = µ + + ( CP 1 k + CG 3 k) C2 t x x σ ε x k k (2.55) onde C1, C2, C 3 e σ ε são constantes empírcas. As equações são resolvdas para gerar os valores de k e ε, e então pode-se calcular a vscosdade turbulenta como função dessas propredades.

28 Capítulo II Dspersão Atmosférca 56 µ turb 2 ρck = µ (2.56) ε onde C µ é uma outra constante empírca Defcêncas do Modelo k ε Em algumas stuações comuns de escoamento o modelo k ε apresenta defcêncas sgnfcatvas. Exemplos dessas stuações que nteressam dretamente ao presente trabalho são: ) Escoamentos na presença de curvatura de lnhas de corrente Escoamentos que possuem lnhas de corrente curvas são um exemplo onde a modelagem da turbulênca é extremamente dfícl. Bradshaw (1973) mostra que mesmo taxas de deformação pequenas assocadas a curvaturas suaves das lnhas de corrente acarretam um efeto pronuncado sobre as tensões de Reynolds. Resumdamente, pode-se dzer que a força centrífuga reduz a turbulênca sobre superfíces convexas e aumenta sua produção ao longo de superfíces côncavas. Segundo Deschamps (1998), Muck et al. (1985) e Hofman et al. (1985) analsaram em detalhes os efetos de curvaturas convexas e côncavas sobre camadas lmte, e concluíram que eles são totalmente dferentes entre s, mesmo do ponto de vsta qualtatvo. Eles notaram que os efetos de curvatura convexa não causam grandes alterações na estrutura da turbulênca, ao contráro daqueles assocados à curvatura côncava, onde a turbulênca é modfcada dretamente pela própra curvatura e ndretamente pelo surgmento de vórtces longtudnas ao longo da superfíce. Por este motvo, eles sugerem que modfcações nos modelos de turbulênca para o cálculo destes efetos devam ser mplementadas de forma dstnta para os dos tpos de curvatura. Váras propostas surgram para mnmzar esta defcênca do modelo k ε, e as correções são ntroduzdas na forma de termos fontes/sumdouros na equação da dsspação ε. As correlações ntroduzdas nos modelos para a prevsão dos efetos de

29 Capítulo II Dspersão Atmosférca 57 curvatura de lnhas de corrente são de alguma auda, mas são necessáras dferentes consderações em função do tpo de escoamento consderado. ) Gradentes Adversos de Pressão Orgnalmente, as constantes do modelo k ε foram austadas de tal forma a produzr para o caso de escoamento turbulento em equlíbro local ( P ε ) k = o correto aumento da escala de comprmento da turbulênca com a dstânca z medda a partr da parede, sto é: Le = 2,44z (2.57) Através de observações expermentas sabe-se que a escala de comprmento dada pela relação acma é válda mesmo para escoamentos sob a ação de elevados gradentes adversos de pressão. Porém, quando a camada lmte progrde em dreção à separação do escoamento, o modelo k L ε 3/2 ( k ε ) ε prevê escalas de comprmento = muto maores do que L e (Deschamps, 1998). Conseqüentemente, os níves de turbulênca tornam-se excessvos e o escoamento tende a não separar-se, mesmo em stuações em que a evdênca expermental ndca o contráro. ) Escoamentos com Regão de Separação: A efcênca de um grande número de aplcações é afetada pelo fenômeno da separação de escoamento causada por gradentes adversos de pressão ao longo de superfíces sóldas. Sob a ação do campo de pressão e da tensão na parede, o fludo é desacelerado unto à superfíce até o repouso para então separar-se. As nformações dsponíves sobre este tpo de escoamento tem se orgnado quase que exclusvamente de trabalhos expermentas e muto pouco de abordagens teórcas. Apesar da grande mportânca tecnológca e do grande esforço envolvdo na nvestgação do fenômeno, o entendmento da nteração dos fatores envolvdos na separação de escoamentos turbulentos permanece anda um grande desafo.

30 Capítulo II Dspersão Atmosférca 58 Smpson et al. (1974) realzaram uma análse expermental de uma camada lmte com separação usando anemometra laser e observaram que a le da parede é válda somente até a regão próxma ao ponto de separação, uma regão segundo eles onde os termos das equações do movmento assocados às tensões normas têm grande mportânca. Smpson et al. (1981) apresentaram um exame detalhado da regão separada e concluíram que não é possível estabelecer para ela uma le da parede. Com base nos resultados expermentas, eles argumentaram que o escoamento em sentdo reverso na regão separada não é provenente do escoamento médo à usante, e sm de vórtces de consderável tamanho que cruzam a camada lmte. Além dsto, a tensão csalhante uw ' ' fo observada ser dependente somente da estrutura da turbulênca e não ter relação alguma com taxas de deformação médas do escoamento. Por este motvo Smpson et al. (1981) concluíram que modelos de turbulênca baseados no conceto de vscosdade turbulenta são naproprados para a descrção da regão separada. Observações geras sobre as defcêncas do modelo k O modelo k ε : ε é falho na prevsão de escoamentos afastados da condção de equlíbro local. Estas defcêncas são séras o sufcente para que o modelo tenha que ser utlzado com cautela na prevsão de escoamentos complexos. Bascamente, os erros no modelo k ε se orgnam pelo uso de uma relação entre tensões turbulentas e taxas de deformação do escoamento médo análoga à usada para o escoamento lamnar e também à pouca fundamentação físca da equação de transporte de ε, para a qual nenhuma das correções propostas até o momento fornece uma generaldade sufcente A Le da Parede Os vórtces próxmos a paredes sóldas possuem dmnutas escalas de comprmento e assm freqüêncas altas. A turbulênca nessas regões pode ser consderada estatstcamente ndependente dos vórtces de baxas freqüêncas (grandes escalas de comprmento) e do escoamento médo. Uma outra característca

31 Capítulo II Dspersão Atmosférca 59 mportante do escoamento turbulento unto a superfíces sóldas é a exstênca de uma regão onde a tensão total (a soma da tensão vscosa e da tensão de Reynolds) é constante e gual à tensão na parede τ w. A Regão da Parede pode ser subdvdda em três regões: a subcamada lmte vscosa, a camada de amortecmento e a regão turbulenta. Na regão turbulenta o transporte turbulento é domnante. Portanto espera-se que nessa regão a varação da velocdade não dependa da vscosdade, mas somente da velocdade de frcção ( u * ) e da dstanca à parede ( y ), onde u τ ρ w * = (2.58) A partr da análse dmensonal obtém-se a relação (2.59) conhecda como perfl logarítmco de velocdade da parede. 1 u + ln y + = + B (2.59) κ onde u u + = (2.60) u e y * ρuy µ + * = (2.61) A relação (2.59) é válda aproxmadamente para o ntervalo 30 < y + < 200. Na regão 5 < y + < 30 os efetos vscosos e turbulentos são da mesma ordem de magntude e um perfl de velocdade deve ser austado. Para valores de y + > 200 a

32 Capítulo II Dspersão Atmosférca 60 varação da velocdade não depende mas somente dos parâmetros lgados à parede sólda mas também de efetos dnâmcos da camada lmte como um todo. De acordo com resultados expermentas de Nkuradse (1933) κ = 0,4 e B = 5,5. Por outro lado, num trabalho mas recente Coles e Hrst (1968) propõem κ = 0,41 e B = 5,0. É mportante notar que a Le da Parede conforme apresentada não é aplcada com sucesso em algumas stuações de nteresse prátco. Exemplos dessas exceções são escoamentos envolvendo paredes com transferênca de massa, regões de separação, regões com gradentes elevados de pressão ou presença de forças de corpo Modelos para Baxos Números de Reynolds As funções de parede usualmente não representam adequadamente os efetos de turbulênca próxmos à parede para regões separadas. Este fato motvou o desenvolvmento de abordagens alternatvas para a representação do fenômeno. Dversas versões do modelo k ε para a regão próxma à parede foram propostas com este obetvo. Uma das mas extensamente utlzadas nclu termos extras nas equações de k e de ε com o ntuto de se consderar os efetos de amortecmento da turbulênca que ocorrem próxmo a paredes sóldas. Dessa forma, nenhuma função especal (como a Le da Parede) é necessára e todas as equações de transporte podem ser ntegradas dretamente sobre todo o domíno. Apesar da sua utldade, a maor defcênca desta formulação é o esforço computaconal necessáro para resolver as equações, á que esta abordagem necessta um elevado nível de refnamento da malha unto às superfíces sóldas devdo aos elevados gradentes presentes nestas regões.

33 Capítulo II Dspersão Atmosférca Modelos Zonas ou de Duas Camadas A abordagem através da modelagem zonal consste na dvsão do domíno em duas dferentes regões: a regão do escoamento prncpal e a regão próxma à parede. Na regão do escoamento prncpal o modelo k ε ou outro pode ser empregado e na regão próxma à parede um modelo mas smples é utlzado. Também na utlzação do tratamento em duas camadas necessta-se de um alto nível de refnamento da malha unto às paredes, o que eleva o esforço computaconal nas smulações O Modelo de Tensões de Reynolds O modelo de tensões de Reynolds basea-se na solução de equações dferencas para as tensões de Reynolds u' u ' proposto por Rotta (1951).. Um modelo deste tpo fo prmeramente Equação de Transporte para o Tensor de Reynolds Após manpulações das equações de quantdade de movmento pode-se obter uma equação exata para a descrção do transporte do tensor de Reynolds: u' u' t + C = P + F + φ + D ε (2.62) onde C = u k u' u' x k (2.63)

34 Capítulo II Dspersão Atmosférca 62 u' ' ' ' ' ' p u p u u D = u' k u' u' + δ k + δk ν x k ρ ρ xk (2.64) u P = u' u' + u' u' xk k k u xk (2.65) ( ' ' ' ' ) 1 F = f u + f u (2.66) ρ p' u' u ' φ = + ρ x x (2.67) u ' ε = 2ν x k u ' x (2.68) Os termos do lado esquerdo da equação (2.62) são de fácl nterpretação e não necesstam de maores detalhes. Por outro lado, os dos prmeros termos no lado dreto ( P e F ) representam a taxa de geração de u' u ' por efetos da deformação do escoamento médo, P, e pela ação de flutuações de força de corpo, F. A correlação entre flutuações de pressão e flutuações de deformação do escoamento, φ, é muto mportante. Pode-se nterpretar que o termo φ não contrbu para o nível total da energa da turbulênca, atuando somente para a redstrbução da energa entre as tensões normas. Os termos agrupados em D são assocados ao transporte dfusvo que somente redstrbu espacalmente u' u '. Os três prmeros termos aparecendo em D são assocados ao transporte turbulento, enquanto que o últmo representa a contrbução da ação molecular na dfusão, podendo ser desprezado em regões do escoamento totalmente turbulentas.

35 Capítulo II Dspersão Atmosférca 63 Fnalmente, o termo ε representa a taxa de destrução u' u ' pela ação vscosa. Ao contráro da dfusão molecular, ctada anterormente, os termos de dsspação ε não podem ser desprezados em stuação alguma, á que englobam correlações de dervadas de flutuações de velocdade, as quas são sempre elevadas, mesmo nas menores escalas do escoamento Equação de Transporte para o Fluxo Turbulento de Propredades Escalares Da mesma forma como fo feto para u' u ', pode-se também obter uma equação para o fluxo turbulento de escalares, u ' φ ', através de manpulações da equação de conservação de um escalar (equação(2.29)). Consderando que o termo fonte S φ não apresenta nenhum termo de flutuação, a equação para u ' φ ' assume então a segunte forma: u ' φ ' + C = D + P + φ ε t φ φ φ φ φ (2.69) onde C φ = u k u ' φ ' x k (2.70) p' φ ' u' φ ' D φ = u' u' kφ' + δk νφ' γu' xk ρ xk xk (2.71) φ u P φ = u' u' k + u' kφ ' xk xk (2.72)

36 Capítulo II Dspersão Atmosférca 64 F φ f ' φ ' = (2.73) ρ p' φ ' φ φ = ρ x (2.74) φ ' u ε φ = ( γφ + ν) x x k ' k (2.75) Os modelos baseados no conceto de vscosdade turbulenta fornecem resultados satsfatóros para escoamentos turbulentos bdmensonas sobre superfíces planas mas não são capazes de prever corretamente os efetos da curvatura de lnhas de corrente sobre o escoamento. Uma outra lmtação desta classe de modelos acontece na avalação das tensões normas de Reynolds, de grande mportânca em escoamentos com separação. Uma alternatva para a solução desses problemas é a obtenção das tensões de Reynolds dretamente de suas equações de transporte. Na próxma seção são dscutdas as prncpas vantagens, e também as lmtações, assocadas aos modelos para as equações de transporte do tensor de Reynolds. Incalmente, são dscutdos alguns aspectos físcos da turbulênca que estão envolvdos na equação de transporte de u' u ' e, posterormente, apresentadas as técncas comumente adotadas para a sua modelação Aspectos Físcos das Equações de u' u ' Termo de Produção P : Vamos consderar o termo de geração devdo à ação da deformação do escoamento médo: u P = u' u' + u' u' xk k k u xk (2.76)

37 Capítulo II Dspersão Atmosférca 65 Bradshaw (1973) mostrou que reduzdas taxas de deformação assocadas a pequenas curvaturas do escoamento causam aprecáves alterações nos níves das tensões de Reynolds. Para a camada lmte sobre uma placa plana, onde somente a tensão csalhante uw ' ' é mportante, a geração de u' u ' dada pela equação (2.76) se reduz a P = w 2 ' uw ' ' u z (2.77) onde x corresponde à dreção do escoamento prncpal e z é a dreção vertcal. Os termos u e w são as componentes da velocdade nas dreções x e z, respectvamente. Para uma camada lmte desenvolvendo-se sobre uma superfíce levemente curva (Deschamps, 1998) tem-se: w x u z 2 10 (2.78) o termo de geração assume a segunte forma u P w' u' uw ' ' + z 2 2 w x (2.79) w P 2 u ' w ' 2 w' x (2.80) Próxmo à superfíce u ' 2 é muto maor do que 2 w ' e, desta forma, u ' 2 aumenta a nfluênca de w x em P. Por outro lado, P orgna-se puramente de uw ' ' 2 w x e como para uma superfíce côncava este gradente é postvo, w ' 2 é w'

38 Capítulo II Dspersão Atmosférca 66 aumentada. Como resultado, verfca-se que em semelhantes stuações uw ' ' é entre 10 a 15 vezes mas sensível a w x do que a u z. Obvamente, os modelos baseados na hpótese de Boussnesq são ncapazes de prever semelhante nfluênca de w x sobre uw. ' ' Em tas stuações, a relação de Boussnesq fornece o valor da tensão de csalhamento como: u w uw ' ' = ν t + z x (2.81) Assm, se w x for 1% de u z teremos somente uma alteração de 1% sobre uw. ' ' A defcênca do modelo está relaconada precsamente com a hpótese de Boussnesq, a qual relacona tensões de Reynolds e taxas de deformações do fludo numa forma análoga à usada para fludos Newtonanos. Termo de Produção F A aplcação de um campo de força pode alterar as característcas do escoamento médo e da turbulênca. Uma flutuação de força, f ', orgna termos do tpo: ( ' ' ' ' ) F = f u + f u (2.82) na equação de u' u ' e F φ = f ' φ ' (2.83) na equação de u ' φ '.

39 Capítulo II Dspersão Atmosférca 67 Força de Corpo Segundo Apsley (1995), a prncpal vantagem do fechamento de segunda ordem é a capacdade de ldar com ntensa ansotropa, onde as componentes ndvduas de tensões são tratadas seletvamente. O forçamento ansotrópco é de partcular mportânca nos escoamentos com forças de corpo. Dos exemplos despontam no contexto atmosférco: as forças de empuxo e as forças de Corols. Para as forças de empuxo geradas por varações de temperatura θ temos (com a aceleração gravtaconal g na dreção negatva de z ): f ρ ' g = δ = βgθδ (2.84) ρ ' ' 3 3 onde 1 ρ β = ρ θ p é o coefcente de expansão térmca. Dessa forma f u = β gθ' u δ (2.85) ' ' ' 3 f θ ' = βgθ' δ (2.86) ' 2 3 Assm, as forças de empuxo netam energa de turbulênca seletvamente nas (ou removem energa das) flutuações vertcas '2 w e do fluxo escalar vertcal ' w' θ. Um forçamento ansotrópco smlar ocorre em stuações onde exstem flutuações de forças de Corols (ver Apsley (1995) - Capítulo 4) Modelo para o Transporte das Tensões de Reynolds Observamos anterormente que as equações de u' u ' e u ' θ ' possbltam a nterpretação físca de efetos de curvatura do escoamento, campos de força, etc. Também observamos que os termos de geração P e F são escrtos em função de

40 Capítulo II Dspersão Atmosférca 68 quantdades conhecdas e, portanto, não necesstam de modelagem. A segur, apresentaremos a modelagem dos termos não conhecdos na equação de transporte de u' u '. ) Modelagem da Dsspação ε Da hpótese de Número de Reynolds elevado, assume-se que as flutuações contrbundo para ε são sotrópcas e, desta forma, ε = δε (2.87) Esta condção mplca na nexstênca de dsspação vscosa para as tensões csalhantes. A valdade da hpótese de sotropa para ε não é totalmente aceta entre os város grupos de pesqusa, mas devdo à dfculdade de se obter dados confáves de ε, a maora dos modelos tenta compensar qualquer mprecsão de sua modelagem através da modelagem do termo de redstrbução φ. ) Modelagem da Redstrbução φ Através da manpulação da equação dferencal de u ', pode se chegar a uma equação para a flutuação da pressão p ' : 2 2 m l 2 xl xl xm xl xm ( u lu m u lu m) 1 p ' u' u = 2 ' ' ' ' ρ (2.88) Chou (1945) mostrou que a solução desta equação substtuída no termo de φ produz um novo termo composto de três parcelas: φ = φ + φ + φ (2.89),1,2, w

41 Capítulo II Dspersão Atmosférca 69 onde φ,1 * 2 1 ' l ' m ' u u u u ' dv = 4π + (2.90) x Vol l x m x x r φ,2 1 u* '* ' ' l u m u u dv = 2 4π + (2.91) x Vol m x l x x r φ, w 1 1 u' u' ' ' u u 1 = p* p'* ds 4 π + + Area r n* x x x x n* r (2.92) Nas equações anterores, dv e ds são elementos de volume e de área das ntegras em torno de um ponto do escoamento. Dervadas normas a superfíces sóldas são representadas por n. O índce * ndca que a quantdade é avalada a uma dstânca r do local x consderado. A equação (2.89) sugere que o termo de redstrbução é afetado por dferentes processos físcos. A prmera parcela, φ,1, é assocada essencalmente a flutuações de velocdade enquanto a segunda, φ,2, representa contrbuções provenentes de quantdades do escoamento médo e da turbulênca. O tercero termo, φ, a nfluênca de paredes sóldas na redstrbução da turbulênca. w, representa Pode-se observar da equação de u' u ' que todas as parcelas que compõem a solução devem ser tensores smétrcos de segunda ordem. Como os termos em φ atuam no sentdo de redstrbur a energa entre as tensões de Reynolds, tanto φ,1 como φ,2 devem agr no sentdo de levar a turbulênca à condção de sotropa (onde as tensões normas são guas e as tensões csalhantes são zero, ou sea u' u' = 2/3δ k). Segundo esta déa, (Rotta, 1951) assumu para a modelagem de

42 Capítulo II Dspersão Atmosférca 70 φ,1 que em escoamentos onde as taxas de deformação do escoamento são nulas, o retorno à condção de sotropa é proporconal ao nível de ansotropa: φ ε 2 = c u' u' δ k k 3,1 1 onde c 1 = 1,8. (2.93) Empregando o mesmo prncípo, Naot et. al. (1970) propuseram que φ,2 tera o papel de redstrbur os termos de produção P, no sentdo da condção de sotropa: φ 2 = c P δ P 3,2 2 k onde c 2 = 0,6. (2.94) A presença de paredes sóldas em um escoamento faz com que a flutuação de velocdade normal às superfíces decaa muto mas rapdamente do que aquelas nas outras dreções. Ao contráro do transporte dfusvo assocado aos mecansmos vscosos, os efetos das paredes sobre φ são sentdos mesmo em regões afastadas no escoamento. A proposta mas dfundda para a modelagem de φ, w fo apresentada por Gbson e Lauder (1978) e é dada por: φ = φ + φ (2.95) w w, w,1,2 onde φ ε 3 3 = c' u' u' n n δ u' u' n n u' u' n n f k 2 2 w,1 1 k m k m k k k k w (2.96)

43 Capítulo II Dspersão Atmosférca φ = c' φ n n δ φ n n φ n n f 2 2 w,2 2 km,2 k m k,2 k k,2 k w (2.97) Nestas equações, as constantes c ' e 1 c ' 2 são guas a 0,5 e 0,3, respectvamente, e n representa as componentes do vetor untáro n normal à parede sólda. A função de escala de comprmento f é ntroduzda de tal forma a dmnur a atuação de w w φ,1 φ à medda que se afasta da parede. Uma forma comumente adotada para f é w w e,2 f w 3/2 k ε = (2.98) cd 1 w onde c l = 2, 44 e d w é uma dstânca à parede (de dfícl nterpretação para stuações de escoamentos com complexdade geométrca). ) Modelagem da Dfusão D A hpótese generalzada do gradente de dfusão de Daly e Harlow (1970) é a forma mas utlzada para a aproxmação do transporte dfusvo. De acordo com esta hpótese k u' φ ' = cφ u' u' ε k k m φ ' x m (2.99) Assm, caso φ represente a tensão de Reynolds nstantânea u' u ' acma fornece, a relação k u' u' u = c u' u' ε k s k m u' u' x m (2.100) onde c s = 0, 22

44 Capítulo II Dspersão Atmosférca 72 Introduzndo as aproxmações para D, φ e ε dscutdas anterormente, podemos escrever a equação modelada para o transporte de u' u ' da segunte forma: u' u' u' u' k u' u' u u + uk = cs u' ku' l u' u' k + u' u' k t xk x k ε x l xk xk C D ε 2 2 c1 u' u' δk c2 P δpk k 3 3 φ,1,2 ε c' 1 u' ku' mnknmδ u' ku' nkn u' ku' nkn fw k 2 2 w,2 w,1 φ c' 2 φkm,2 nknmδ φk,2 nkn φk,2nkn fw δε φ φ P ε (2.101) A taxa de dsspação ε é uma ncógnta e portanto é necessáro calculá-la. A forma mas utlzada da equação modelada de ε é essencalmente a mesma adotada em modelos de vscosdade turbulenta: 2 ε + U ε = Dε + c ε ε1 Pk c ε ε2 t x k k (2.102) com o termo de dfusão D ε sendo modelado através da hpótese generalzada do gradente de dfusão de Daly e Harlow (1970): k ε Dε = cεu' u' x ε x onde c ε = 0,18 (2.103)

45 Capítulo II Dspersão Atmosférca 73 Devdo ao grande número de hpóteses utlzadas na sua obtenção, a equação de transporte de ε é uma das prncpas fontes de erro nos modelos de turbulênca. Esta ncerteza assocada à equação de ε tem conseqüêncas dretas sobre a modelagem das equações de transporte de u' u '. Por exemplo, deve-se ser capaz de separar eventuas mprecsões na prevsão de u' u ' entre erros na determnação de ε e erros na modelagem dos outros termos da equação de u' u ' (especalmente φ ). Embora exstam dfculdades para esse dagnóstco, pode-se fazer tal separação reconhecendo que erros nos níves de ε agem no sentdo de produzr níves de energa excessvamente baxos ou elevados, enquanto que defcêncas em φ orgnam dstrbuções ncorretas de energa entre as tensões. A energa cnétca k das flutuações que aparece no termo de redstrbução φ,1 e na equação de ε pode ser obtda dretamente da soma das tensões normas. Embora os resultados obtdos utlzando-se o modelo de tensões de Reynolds mostrem-se muto encoraadores, em dversos trabalhos da lteratura fo relatado que o esforço computaconal necessáro é extremamente ant-econômco á que é necessáro resolver uma equação dferencal para cada componente do tensor das tensões de Reynolds Modelos Gaussanos Nos modelos Gaussanos consdera-se uma dstrbução normal para as concentrações do poluente, com pco de concentração ao longo da lnha de centro da pluma, dspersão σ y na dreção horzontal e σ z na vertcal. As equações de concentração do modelo tpo pluma gaussana são obtdas analtcamente a partr da equação de conservação de uma espéce químca adotandose certas hpóteses smplfcadoras. Entre as hpóteses smplfcadoras assume-se que o terreno é plano e sem obstáculos. Outra hpótese assume que a velocdade do vento é undreconal e

46 Capítulo II Dspersão Atmosférca 74 constante, o que é bastante questonável, á que a velocdade do vento vara com a altura. Uma outra hpótese consdera condções homogêneas e estaconáras de turbulênca atmosférca, o que é não é smples de se garantr dante da complexdade do fenômeno da turbulênca atmosférca. A obtenção das equações de concentração segundo o modelo de pluma gaussana para dversas condções de contorno são apresentadas por Senfeld e Pands (1998) (Caps 17 e 18). Adotando-se as hpóteses acma ctadas, desprezando a dfusão molecular em todas as dreções e a dfusão turbulenta na dreção do vento, e anda consderando que não ocorram reações químcas no processo, a equação da concentração ( c ) de um gás emtdo a partr de uma fonte contínua pontual em regme permanente se reduz a: 2 2 c c c y 2 z 2 u = K + K + S x y z (2.104) consderando reflexão total no solo c z z = 0 = 0 (2.105) e uma fonte pontual contínua de ntensdade Q a uma altura h S = Qδ ( x) δ( y) δ( z h) (2.106) e consderando que c 0 quando x, z e y ± (2.107) obtém-se como solução

47 Capítulo II Dspersão Atmosférca 75 ( z h) ( z h) 2 Q y c( x, y, z) = exp exp + exp πuσ yσ z 2σ y 2σ z 2σ z (2.108) onde 2 x σ y = 2Kt y = 2Ky e u 2 x σ z = 2Kt z = 2Kz (2.109) u Nas expressões acma consderou-se que x corresponde a dreção prncpal do vento, y é a dreção horzontal e transversal ao escoamento prncpal e z é a dreção vertcal. O símbolo u aqu corresponde à velocdade do vento. correspondem às dfusvdades turbulentas nas dreções y e z. K y e K z Dversas fórmulas para a estmatva dos parâmetros de dspersão usualmente desgnados por σ x, σ y, σ z - foram sugerdas a partr de extensos estudos de campo, como por exemplo, as propostas por Gfford (1961) e Brggs (1973). Tas parâmetros dependem das condções de establdade atmosférca, do vento e da turbulênca. Sua determnação corresponde a uma das prncpas dfculdades para a utlzação dos modelos gaussanos. Gfford (1961) desenvolveu as correlações mas utlzadas para se determnar os coefcentes de dspersão, conhecdas como as curvas de Paqull- Gfford que relaconam os coefcentes de dspersão horzontal e vertcal com a dstânca da fonte e com a classe de establdade. Em mutas stuações reas as condções exstentes são bastante dferentes das condções dealzadas nas quas baseam-se as hpóteses smplfcadoras utlzadas na obtenção das equações dos modelos gaussanos. Em tas stuações os resultados obtdos pelos modelos gaussanos podem apresentar afastamento sgnfcatvo em relação à realdade. Apesar dsso, devdo a sua smplcdade, os modelos gaussanos têm sdo amplamente aplcados, nclusve por agêncas reguladoras da qualdade do ar. A ustfcatva para essa utlzação é a de que os parâmetros de dspersão ( σ e σ z ) usados são obtdos a partr de concentrações meddas em expermentos de y

48 Capítulo II Dspersão Atmosférca 76 dspersão atmosférca reas (Boçon, 1998). Assm pode-se determnar σ y e σ z para essas condções locas, resultando em melhores resultados uma vez que estão sendo consderados os efetos de rugosdade do terreno local e a establdade atmosférca. Como os dados de concentração nem sempre estão dsponíves para o local de nteresse, mutas vezes a estmatva dos parâmetros de dspersão deve então ser feta a partr de parametrzações dsponíves na lteratura consderando as condções que mas se aproxmem as do caso em estudo. Um outro mportante parâmetro utlzado nos modelos de pluma gaussana é a altura efetva de emssão do poluente, que corresponde à soma da altura físca da chamné e a altura de elevação da pluma. A altura de elevação da pluma é defnda como a dstânca vertcal entre o topo da chamné e a posção em que a pluma assume a mesma dreção do vento. Tal dstânca consdera os efetos de quantdade de movmento vertcal devdo à velocdade vertcal de saída da pluma, e do empuxo térmco, no caso de gases lançados à temperatura dferente daquela do ar na descarga. Dversas expressões empírcas foram propostas para estmar a elevação da pluma e as mas amplamente utlzadas são aquelas propostas por Brggs (1969, 1971, 1974). A utlzação de tas expressões corresponde a mas uma possível fonte de erros nos resultados obtdos com os modelos gaussanos.