2 Metodologia de Previsão de Séries Temporais - Box & Jenkins

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1 Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin. Inrodução A análie de érie emporai, egundo Box & Jenin (994), em como objeivo principal a realização de previão. Ea meodologia permie que valore fuuro de uma érie ejam previo omando por bae apena eu valore preene e paado. Io é feio aravé da correlação emporal exiene enre o valore exiene. Segundo Tápia, (000), a realização do proceo emporal pelo méodo de Box & Jenin é repreenada por um conjuno de proceo eocáico denominado modelo ARIMA (auoregreive inegraed moving average) onde, em cada inane de empo, exie um conjuno de valore que a érie pode aumir, ao quai eão aociada poibilidade de ocorrência. Para cada inane de empo, é poível que exia uma função de denidade de probabilidade; logo, cada variável aleaória Z, =,,... pode er média e variância epecífica. O rabalho conie em decobrir qual é o proceo que gera a érie em eudo, io é, qual o modelo que repreena melhor a érie. A meodologia Box & Jenin é aplicada ao proceo eocáico que ejam eacionário. Um proceo eocáico é dio eacionário de egunda ordem quando a eguine condiçõe forem aifeia para qualquer inane de empo : E [z ] = E [z + ] = µ Var [z ] = E [(z µ ) ] = σ Cov [z, z+ ] = E [(z µ ) (z+ µ )]

2 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 6 A dua primeira condiçõe indicam que a média e a variância de Z não variam com o empo, e a erceira indica que a auocovariância não dependem do empo e im da diância que epara a obervaçõe. Se o proceo eocáico não for eacionário, ee pode e ornar eacionário por meio de uceiva diferenciaçõe da érie original. Quando a érie recebe a influência de faore azonai, ouro ipo de correlação paa a er imporância: a correlação enre o inane de empo diane enre i por ou múliplo de, onde repreena o período da azonalidade.. Poívei Modelo Não azonai na Meodologia de Box & Jenin.. Modelo Auo-regreivo (AR) O modelo auo-regreivo foram criado com a idéia de que a preene obervação da érie Z pode er explicada como uma função da p obervaçõe paada, Z, Z,..., Z p, onde p deermina o número de pao enre a obervaçõe paada e a previão da próxima obervação. A eruura auo-regreiva geral é exprea por: Onde: Z = φ Z - + φ Z φ p Z -p + a φ i ão parâmero da eruura, i =,..., p (ordem da eruura) a é ruído branco com média zero e variância σ a. Uilizando o operador de defaagem B, em-e: p ( φb φb... φpb ) Z = a onde BZ = Z daí, φ ( B)Z = a e o operador auo-regreivo é p B φb... pb φ ( B) = φ φ.

3 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 7.. Modelo Média Móvei (MA) O modelo média móvei ão formado por combinação linear do ruído branco, a, ocorrido no período correne e no período paado. A eruura de média móvei geral é exprea por: Onde: Z = a - θ a - - θ a θ q a -q θ i ão parâmero da eruura, i =,..., q (a ordem da eruura) a é ruído branco com média zero e variância σ a. Uilizando o operador de defaagem B, em-e: Z = q ( θb θb... θqb ) a daí, Z = θ(b) a e o operador média móvei é q B θb... qb θ ( B) = θ θ...3 Modelo Auo-Regreivo Média Móvei (ARMA) Ee modelo é uma combinação do doi aneriore onde Z é decrio por eu valore paado e pelo ruído branco correne e paado. A eruura geral ARMA(p,q) é exprea por: Z = φ Z - + φ Z φ p Z -p + a - θ a - - θ a θ q a -q Onde: φ i ão o parâmero da eruura auo-regreiva, i =,..., p θ i ão o parâmero da eruura média móvei, i =,..., q a.ruído branco Uando o operador de defaagem B, em-e:

4 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 8 p q ( φb φb... φpb ) Z = ( θb θb... θqb ) a ou φ ( B)Z = θ (B) a...4 Modelo Auo-Regreivo Inegrado de Média Móvei (ARIMA) O modelo ARIMA (p, d, q) (Auo-Regreive Inegraed Moving Average) é adequado para a previão de érie emporai cujo proceo eocáico não é eacionário. Logo, a érie original paará por alguma diferenciaçõe a fim de orná-la eacionária (Box & Jenin, 994). O número neceário de diferença para ornar uma érie eacionária é denominado ordem de inegração (d). A eruura geral ARIMA(p, d, q) é exprea por: d φ (B) Z = θ(b) a Onde: φ(b) repreena o operador auo-regreivo de ordem p θ(b) repreena o operador média móvei de ordem q a ruído branco d repreena o número de diferença = B repreena o operador diferença Ee operador diferença é definido como: Z d Z = Z BZ = ( B) Z = ( B) d = Z..5 Eapa da Meodologia de Box & Jenin O objeivo da meodologia Box & Jenin é deerminar o rê componene que configuram qualquer eruura que ão: p parâmero auo-regreivo, d proceo de diferenciação (inegração) e q parâmero de média móvei.

5 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 9 De uma forma geral, a noação apreenada por Box & Jenin é do ipo ARIMA (p, d, q). Por exemplo, a eruura ARIMA (,, 0) ignifica que ea poui um parâmero auo-regreivo, dua diferenciaçõe a parir da érie original e nenhum parâmero de média móvei. O procedimeno padrão para uilização da meodologia de previão ARIMA conie no eguine pao, egundo Box & Jenin:. Realiza-e a diferenciação da érie original ana veze quano neceário para orná-la eacionária;. Idenifica-e o valore p e q aravé da análie da funçõe de auocorrelação (ACF) e de auocorrelação parcial (PACF) eimada e a eimação do parâmero (φ i, i =,..., p e θ i, i =,..., q). A análie dea funçõe permie a omada de decião acerca do número p de parâmero auo-regreivo e do número q de parâmero de média móvei que devem er ecolhido de maneira a e ober uma eruura parcimonioa (ou eja, uma eruura que enha o menor número de parâmero denre oda a eruura que e ajuem ao dado da érie); 3. Realizam-e a previõe (obenção do novo valore da érie) e o inervalo de confiança para a mema. Para verificar e é neceária a diferenciação da érie original, é comum uilizar o gráfico da mema. Na maioria do cao, a érie pode er nãoeacionária quano ao nível ou quano à inclinação. Quando a érie for nãoeacionária quano ao nível, para orná-la eacionária baa omar a primeira diferença e, quando for não-eacionária quano à inclinação, baa omar a egunda diferença (Souza e Camargo, 004). Por veze é neceário realizar uma ranformação logarímica na érie original para orná-la eacionária. Deve-e coniderar; que, na meodologia deenvolvida por Box & Jenin, o eádio da idenificação e eimação e obrepõem. Muia veze, ao e obrefixar uma eruura na eapa de idenificação, aquela erá corrigida na eimação, quando a ignificância do parâmero eimado erá avaliada. Na maioria do cao, o reulado da idenificação não erá precio e mai de uma

6 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 0 eruura erá idenificada. Ea imprecião é coneqüência de que, na práica, o ajue a iuaçõe reai induz a algun erro. A idenificação via enconrar uma clae de eruura a erem ajuada e validada (Box & Jenin, 994; Souza e Camargo, 004 e Machado, 000). Procura-e enão, enconrar um ubconjuno adequado de eruura ARMA (p, q), φ ( B) z = θ + θ (B) a, 0 p B φb... pb φ ( B) = φ φ, dado por: p B θb... pb θ ( B) = θ θ, endo B o operador de arao, B z = z, =,,... aravé da funçõe de auocorrelação e auocorrelação parcial que repreenem a érie emporal. O coeficiene de auocovariância enre dua obervaçõe do modelo depende omene do número de período que a eparam. Logo, a função de auocovariância, γ = cov (z, z ) = E {[ z E(z )][ z E(z )]} {[ z µ ][ z µ ]}, é reduzida à γ = E +, aumindo µ = E (z ) = E (z+ ) (média conane para proceo eacionário). ) Função de auocorrelação A função de auocorrelação é dada por: γ ρ = ; = 0,,,... (.) γ0

7 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin Onde: γ 0 = var( z ) Logo, ρ erá uma medida padrão de dependência com ρ, =,,... O comporameno da ACF eórica para a eruura Box & Jenin é: i) Eruura auo-regreiva de ordem p A eruura AR(p) é dada por: z + a = φz + φz φpz p A auocovariância podem er obida muliplicando-e ea equação por z e omando-e o valore eperado (aumindo em perda de generalidade { z } µ 0 E = = ). Daí, γ = φ γ + φ γ + φ... p p + Aim, em ermo da auocorrelaçõe, uilizando (.), emo: γ ρ = φ ρ + φ ρ + φ... p + ρ io é, ρ aifaz à equação: Onde: φ ( B) ρ = 0 p B... pb φ ( B) = φ φ ii) Eruura média móvei de ordem q A eruura MA(q) é dada por: q q z = ( θ B... θ B ) a = a θ a θ a... θ a, q q

8 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin upondo E{ z } µ = 0 =, a auocovariância de z é : γ = E { z z } = E {[ a θa... θ a ] [ a θ a... θ a ]} q q q q como o ruído a ão independene, γ 0 para > q. Quando q, = γ = θ + θθ + + θθ θq θq) ( σ a poi a independência do ruído equivale a : E { a a } i j σa e i = j =. 0 e i j A variância de z, γ 0 é obida de : γ { z z } = (+ θ θ σ 0 = E q) γ ρ =, γ 0 a ρ θ = + θ θ + + θ θ θ, = 0 q q θ q θ = + 0, > q + p j= p j= θ θ θ j j j+, =,,...,q Verifica-e, aim, que a ACF de uma eruura MA(q) ofre um core bruco no lag q. iii) Eruura ARMA(p, q) A eruura ARMA(p, q) é dada por:

9 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 3 z = φ z φ p z p + a θ a... θ q a q Muliplicando-e por z e calculando-e o valore eperado de cada ermo, do memo modo que na eruura AR(p), a função de auocovariância é dada por: γ = φγ φpγ p φpγ p, q + e a função de auocorrelação é dada por: ρ = φρ + φρ φpρ p, q + Para um ARMA(p, q), exiem q auocorrelaçõe, cujo valore dependem direamene do q parâmero média móvei e do p parâmero auo-regreivo. Pode-e concluir que a ACF da eruura ARMA(p, q) é a combinação da ACF do doi proceo componene AR e MA; ou eja, a auocorrelaçõe no lag a q ão afeada pela pare MA da eruura, a parir daí, a ACF e compora como um proceo AR(p). ) Função de auocorrelação parcial A idenificação do grau do polinômio φ (B) da eruura AR(p) é realizada aravé da funçõe de auocorrelação e de auocorrelação parcial. Para definir ea função, conidere-e a função de auocorrelação da eruura AR(p) dada por: ρ = φ ρ + φ ρ + φ... p p + ρ Onde: φ ( B) ρ = 0. Fazendo-e =,..., p e levando-e em cona que obém-e o iema conhecido como equaçõe de Yule-Waler: ρ = ρ,

10 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 4 ρ ρ = φ + φ ρ + φ... p p = φ ρ + φ... p p... ρ φ p = φρp + φρp φpρp ρ ρ Aim, é poível ober eimaiva para o parâmero φ i pela ubiuição do valore da ACF na equaçõe de Yule-Waler. Denoando o eimadore do φ i por φ ii, define-e a função de auocorrelação parcial como a eqüência do φ obido de: ρ ρ φ ρ ρ ρ φ ρ... ρ ρ φ ρ Onde: ρ é a ACF de lag, =,... i) Eruura AR(p) Na eruura AR(p), a função de auocorrelação parcial, φ p e anula-e brucamene no lag > p., é finia para ii) Eruura MA(q) A função de auocorrelação parcial é formada por exponenciai e/ou enóide amorecida. iii) Eruura ARMA(p, q) Como a eruura ARMA(p, q) correponde a uma eruura AR(p) de ordem infinia ou a uma eruura MA(q) de ordem ambém infinia, do reulado

11 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 5 aneriore pode-e concluir que a função de auocorrelação parcial de uma eruura ARMA(p,q) compora-e de um modo mio ma em paricularidade noávei (Souza e Camargo, 004). A idenificação da eruura Box & Jenin baeia-e no comporameno eórico da funçõe de auocorrelação e da função de auocorrelação parcial. Na práica, a funçõe eórica não ão diponívei endo uilizado o eimadore amorai da funçõe de auocorrelação e da função de auocorrelação parcial. Na figura a eguir, enconram-e o gráfico repreenaivo do padrõe comporamenai da funçõe de auocorrelação e auocorrelação parcial e a região de admiibilidade do modelo comumene enconrado na práica (Souza e Camargo, 004). A parir do gráfico dea funçõe, pode-e deerminar o comporameno do parâmero do modelo. - Modelo AR() Figura - ACF e PACF do modelo AR() Fone: Souza e Camargo (004:69)

12 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 6 Modelo AR() Figura - ACF e PACF do modelo AR() Fone: Souza e Camargo (004:70)

13 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 7 Figura 3 - Região de admiibilidade em função de φ e φ para o modelo AR() Fone: Souza e Camargo (004:70) Figura 4 - Região de admiibilidade em função de ρ e ρ para o modelo AR() Fone: Souza e Camargo (004:70)

14 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 8 3- Modelo MA() Figura 5 - ACF e PACF do modelo MA() Fone: Souza e Camargo (004:7) 4 Modelo MA() Figura 6 - ACF e PACF do modelo MA() Fone: Souza e Camargo (004:7)

15 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 9 Figura 7 - Região de admiibilidade em função de θ e θ para o modelo MA() Fone: Souza e Camargo (004:7) Figura 8 - Região de admiibilidade em função de ρ e ρ para o modelo MA() Fone: Souza e Camargo (004:7)

16 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 30 5 Modelo ARMA(, ) Figura 9 - ACF e PACF do modelo ARMA(,) Fone: Souza e Camargo (004:73)

17 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 3 Figura 0 - Região de admiibilidade em função de θ e φ para o modelo ARMA(, ) Fone: Souza e Camargo (004:73) Figura - Região de admiibilidade em função de ρ e ρ para o modelo ARMA(, ) Fone: Souza e Camargo (004:74)

18 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 3.3 Sazonalidade A azonalidade repreena a fluuaçõe periódica que ocorrem no período máximo de um ano, eando aociada a variaçõe climáica (eaçõe do ano) e daa feiva (Naal, dia da criança, Carnaval, Pácoa, ec.). O período de azonalidade é repreenado por, com = repreena érie emerai; = 4 repreena érie rimerai; = repreena érie menai; = 5 repreena érie emanai; = 365 repreena érie diária. O que e oberva em érie azonai é que ocorrem relaçõe enre: Obervaçõe para mee uceivo em um ano paricular; A obervaçõe para o memo mê em ano uceivo. Aim, Z é relacionada com Z -, Z -,..., ma ambém com Z -, Z -,.... Io implica que érie azonai ão caracerizada por apreenarem correlação ala em lag azonai, io é, lag que ão múliplo do período. Um ajue azonal, proceo de reirada/filragem do ermo azonal de uma érie emporal, erá al que removerá ea correlação ou pelo meno removerá grande pare..4 Poívei Modelo Puramene Sazonai na Meodologia de Box & Jenin.4. Modelo Sazonal Auo-Regreivo de Ordem P SAR(P) (Seaonal Auoregreive) Ee ipo de modelo permie apena correlaçõe enre inane de empo múliplo de. Z + a = ΦZ + ΦZ ΦPZ P P ( ΦB ΦB... ΦPB ) Z = a Φ ( B )Z = a

19 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 33 de. A ACF do modelo SAR(P) em valore não nulo apena no lag múliplo.4. Modelo Sazonal de Média Móvei de Ordem Q SMA(Q) (Seaonal Moving Average) Z Z = a Θ a = Θ a... Θ Q a Q Q ( ΘB ΘB... ΘQB ) a Z = Θ (B ) a A ACF do modelo SMA(Q) em valore não nulo apena no lag múliplo de..4.3 Modelo Sazonal Auo-Regreivo de Média Móvei SARMA(P,Q) (Seaonal Auoregreive Moving Average) Z = Φ Z + Φ Z Φ P Z P a Θ a Θ a... Θ Q a Q Φ ( B ) Z = Θ (B ) a A ACF do modelo SARMA(P,Q) é decrecene e em valore não nulo apena no lag múliplo de..4.4 Modelo Sazonal Auo-Regreivo Inegrado de Média Móvei SARIMA(P,D,Q) (Seaonal Auoregreive Inegraed Moving Average) Ee modelo e aplica a érie não eacionária que, apó D diferença azonai, ranforma-e num proceo azonal eacionário ARMA(P,Q). D ( B ) Z = (B ) a Φ ( B ) Θ

20 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 34.5 Poívei Modelo Sazonai na Meodologia de Box & Jenin.5. Modelo Sazonal Auo-Regreivo Inegrado de Média Móvei SARIMA (p,d,q)x (P,D,Q) O efeio azonal implica que a obervação de um deerminado mê, digamo Fevereiro, eá relacionada com a obervação do próximo mê de Fevereiro. Supõe-e que a -éima obervação Z é referene ao mê de Fevereiro; logo, a obervação do mê de Fevereiro referene ao próximo ano pode er modelada por Onde: D ( B ) Z = Θ ( B ) α Φ (.) = ; = B ; ( B ) e Θ( B ) Φ ão polinômio em B de grau P e Q, repecivamene e aifazem a condiçõe de eacionariedade e inveribilidade. Similarmene, o modelo D ( B ) Z = Θ ( B ) α Φ (.3) pode er uado para analiar o comporameno do correne mê de Janeiro com o próximo mê de Janeiro e o memo pode er feio para o mee. O componene de erro, α, α,..., nee modelo geralmene não ão ruído branco, io é, exie uma correlação enre ele. Por exemplo, a venda de orvee no mê de Fevereiro eá relacionada com a venda no ano aneriore nee mê e, poderia ambém, ear relacionada com a venda no mê de Janeiro. Pode-e eperar que α eeja relacionado com α, α,.... Daí, inroduz-e um egundo modelo:

21 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 35 d φ ( B) α = θ (B) a (.4) Onde: φ (B) a é ruído branco; = = B; φ (B) e θ (B) ão polinômio em B de grau p e q, repecivamene e aifazem a condiçõe de eacionariedade e inveribilidade. Subiuindo (.4) em (.) em-e o modelo azonal muliplicaivo ARIMA (muliplicaive eaonal auoregeive inegraed moving average model) (Box & Jenin, 994), ambém conhecido como SARIMA (eaonal auoregreive inegraed moving average) (Box & Jenin, 994), de ordem (p,d,q)x(p,d,q) p P d D ( B ) Z = θq (B) Q ( B ) a φ ( B) Φ Θ Onde: φ (B) é o componene auo-regreivo de ordem p; θ (B) é o componene média móvei de ordem q; ( B ) ( B ) Φ é o componene azonal auo-regreivo de ordem P; Θ é o componene azonal média móvei de ordem Q; d d = ( B) é a diferença ordinária ; D D = ( B ) é a diferença azonal; a é ruído branco. Por exemplo, um modelo SARIMA(0,,)x(0,,) em a forma ( B ) Z = ( θ B) ( B ) a ( B) Θ ou w ( B) ( B ) Z = ( θb ΘB + θθb ) a =. 3

22 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 36 O modelo implica que e deve omar d diferença imple e D diferença azonai da érie Z para que o proceo w d D = Z eja eacionário. A abela a eguir apreena a propriedade e caraceríica para a idenificação eórica do parâmero p, q, P e Q do modelo AR(p), MA(q), ARMA(p,q), SAR(P), SMA(Q) e SARMA(P,Q). Modelo expreo em ermo do w aneriore Modelo expreo em ermo do a aneriore Função de Auocorrelação ρ Função de Auocorrelação parcial φ AR(p) MA(q) ARMA(p,q) SAR(P) SMA(Q) SARMA(P,Q) θ φ ( B) w = a ( B) w = a w = φ (B) a w θ(b) a Infinia (exponenciai Finia. amorecida Anulam-e e/ou enóide brucamene amorecido). no lag q. Não e anulam brucamene. Finia. Anulam-e brucamene no lag p. θ ( B) φ(b)w = a Θ ( B ) w = a Φ ( B ) w = a w = = φ (B) θ(b) a w = Φ (B ) a Θ ( B ) Φ(B )w = a w = Φ (B ) Θ(B ) a = ) a w Θ(B Infinia Infinia (exponenciai (exponenciai amorecida Finia. amorecida e/ou enóide Anulam-e e/ou enóide amorecido brucamene amorecido). para > q-p). no lag Q. Não e anulam Não e anulam brucamene. brucamene. Infinia (dominada Infinia (dominada por por exponenciai amorecida exponenciai Finia. Anulam-e amorecida e/ou enóide brucamene e/ou enóide). amorecido no lag P. Não e para > q-p). anulam Não e anulam brucamene. brucamene. Infinia (exponenciai amorecida e/ou enóide amorecido para > Q - P). Não e anulam brucamene. Infinia Infinia (domonada (exponenciai por amorecida exponenciai e/ou enóide amorecida para > Q - P). e/ou enóide). Não e anulam Não e anulam brucamene. brucamene. Tabela - Comporameno eórico do modelo AR(p), MA(q), ARMA(p,q), SAR(P), SMA(Q) e SARMA(P,Q) Fone: Souza e Camargo (004:68)

23 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin Exemplo de Modelo SARIMA - Modelo Airline Um exemplo cláico de modelo azonal é o modelo Airline que repreena o número de paageiro menai em vôo inernacionai onde o inervalo enre a obervaçõe é de um mê e o período azonal é = mee. Ee modelo pode er repreenado pelo modelo muliplicaico de ordem (0,,)x((0,,) ou eja, ( θ B)( ΘB ) Z = a ou de forma explícia como Z Z Z + Z 3 = a θa Θa θθa 3 que, para er inverível, deve que aifazer a condição de que a raíze de ( θb)( ΘB ) = 0 eejam fora do círculo uniário ou eja, < θ < e - < Θ <. Pode-e obervar que o operador da média móvei 3 ( θb)( ΘB ) = θb ΘB + θθb é de ordem q + Q = + x = 3..6 Componene Eruurai de um Modelo Um méodo radicional para repreenação de uma érie emporal azonal em ido decompor a érie em endência, azonalidade e ruído como: Z = T + S + N onde a endência (T ) e a azonalidade (S ) ão repreenada por funçõe deerminíica do empo uando funçõe polinomiai e enóide, repecivamene, ou por funçõe eocáica.

24 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin Sazonalidade Eocáica Por exemplo, para o dado menai onde a endência pode aumir o modelo B) T = ( B) a ou ( B) T = ( θ B θb ) a ( θ e a azonalidade Onde: ( B ) S = b a e b ão ruído branco independene. Ee modelo pouem um modelo ARIMA equivalene. Seja Z = T + S + N onde: Daí, ( B)T = ( θ B) a ; ( B ) b ( B ) S = Θ ; N = c é um ruído branco. ( ΘB ) b + ( B)( B )c ( B)( B )Z = ( B )( θb)a + ( B) Deenvolvendo o lado direio da igualdade em-e 3 ( θb ΘB Θ3B ) ( B) ( B ) Z = ε e 3. onde ε é ruído branco e auocovariância diferene de zero no lag 0,,,

25 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin Sazonalidade Deerminíica Alguma érie apreenam o componene de endência e azonalidade deerminíico. Quando a érie emporal Z exibe um comporameno azonal deerminíico com período, um modelo que pode er úil é eja, Z = S + N (.5) onde S é uma função deerminíica periódica, aifazendo S S - = 0, ou ( B ) S = 0 (.6) e N é um proceo eacionário que pode er modelado por um modelo ARMA(p,q). Aim, N aifaz a equação: φ ( B)N = θ(b) (.7) a onde a é ruído branco e S em olução geral dada por S = β 0 + j= β j πj co + β j πj en onde o coeficiene β ão deerminíico (fixo) e = ( ) e e é par. é ím par Para um modelo deerminíico, aplicando-e a diferença azonal ( B ) expreão (.5), em-e à ( B ) Z = ( B ) S + ( B ) N

26 . Meodologia de Previão de Série Temporai - Box & Jenin 40 de (.6), em-e ( B ) Z = ( B ) N (.8) Subiuindo-e (.7) em (.8), em-e: ( B ) Z = θ (B) ( B ) a φ ( B) ou φ ( B) w = θ (B) ( B ) a onde w = ( B ) Z.7 Tee eaíico para verificação da validade do modelo Para comprovar a validade do modelo elecionado, podem-e aplicar algun ee eaíico como, por exemplo, o ee de obrefixação. Segundo Souza e Camargo, o ee de obrefixação conie, baicamene, na elaboração de um modelo com um número de parâmero uperior ao do modelo fixado, que cubra a upoa direçõe de dicrepância. (004:9) O erro gerado pela obrefixação na idenificação do modelo não é um problema grave poi o parâmero exra podem er deerminado no proceo de eimação. Na eoria, quando um parâmero não é ignificane, eu valor ende a zero.