Óptica. Geométrica Ocular. Universidade da Beira Interior. Departamento de Física. Mário Pereira

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1 Óptica Geométrica Ocular Uiversidade da Beira Iterior Departameto de Física Mário Pereira Covilhã 008

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3 Ídice Ídice Prefácio... Capítulo : Óptica Geométrica Itrodução A Propagação da Luz..... Trasmissão e ídice de refracção..... Reflexão A lei da reflexão Refracção O Pricípio de Huyghes O Pricípio de Fermat O Pricípio da Reversibilidade....6 Reflexão em Espelhos Plaos....7 Reflexão em Superfícies Esféricas Exemplos de coveções de siais Símbolos Equação dos espelhos Potos focais de superfícies de reflexão esféricas Formação da imagem em espelhos esféricos Curvatura e Vergêcia Refracção em Superfícies Esféricas Itrodução: coveção de siais e símbolos A Equação das Superfícies de Refracção Formação da imagem em dioptros esféricos Vergêcias a Refracção Letes Fias Sistemas de letes fias Vergêcias para letes fias Equação Newtoiaa para letes fias Capítulo : Superfícies Ópticas ão Esféricas Itrodução Superfícies toroidais e cilídricas Letes oftálmicas Letes cilídricas Letes esfero-cilídricas Letes bicilídricas Outros tipos de letes i -

4 Ídice Capítulo 3: O Sistema Óptico do olho Itrodução A Córea Câmara aterior A íris e a pupila O Cristalio A retia O olho esquemático Cetro óptico Pupilas de etrada e de saída O eixo visual O campo de visão O olho reduzido A imagem retiiaa Capítulo 4: O Olho Esquemático Itrodução A córea O cristalio O olho esquemático de Gullstrad Emsley Dados gerais Cálculo de costates ópticas O olho esquemático acomodado Relações paraxiais As images de Purkije Cosiderações teóricas Dimesões e propriedades Cetragem óptica do olho... 9 Capítulo 5: Acuidade Visual Itrodução Descrimiação de lihas Resolução Teoria dos receptores Teoria odulatória Resolução de uma rede e acuidade ii -

5 Ídice Resolução e tamaho da pupila Resolução e ilumiação Visão e acuidade visual em prática clíica Itrodução Distâcia para cartas de testes e acuidade Variação o estilo das letras e legibilidade Visão através de istrumetos ópticos Visão com telescópios e prismas bioculares Visão com microscópios Capítulo 6: Ametropias Esféricas Itrodução Miopia Hipermetropia Refracção Ocular Ametropias axiais e refractivas Lete de Correcção Refracção o Poto dos Óculos Mudaça da Distâcia Vertex Hipermetropia e acomodação Afaquia Imagem retiiaa em ametropias corrigidas Visão em ametropias esféricas... 3 Capítulo 7: Astigmatismo Itrodução Notação axial Formação da imagem o olho astigmático Classificação do astigmatismo Letes correctoras para loge Visão em astigmatismo ão corrigido Quatidade de astigmatismo Tipos de astigmatismo Direcção do eixo... 5 Capítulo 8: Acomodação e Visão Próxima Itrodução Acomodação ocular e os óculos Adição ao perto iii -

6 Ídice Capítulo 9: Covergêcia Itrodução Posições de repouso e de fixação Posição aatómica de repouso Posição fisiológica de repouso Poto próximo de covergêcia Uidades de covergêcia Covergêcia, acomodação e erro refractivo Emetropia Ametropia ão corrigida Emetrope com correcção para perto Ametropia corrigida com óculos Ametropia corrigida com letes de cotacto Capítulo 0: Apêdices Apêdice Óptica Eugee Hecht, Fudação Calouste Gulbekia Coveção de siais Dióptros esféricos Letes delgadas Espelhos esféricos... 5 Apêdice Itroductio to Optics L. Pedrotti e F. Pedrotti, Pretice Hall Coveção de siais Espelhos esféricos Superfícies de refracção esféricas Letes esféricas Apêdice Optics M. Freema, Butterworths Coveção de siais Espelhos esféricos Superfícies de refracção esféricas Letes esféricas Apêdice Física IV Halliday, Resick ad Krae Coveção de siais Espelhos esféricos Superfícies de refracção esféricas Letes esféricas fias iv -

7 Ídice Apêdice Física Aloso e Fi, Addiso Wesley Coveção de siais Espelhos esféricos Superfícies de refracção esféricas Letes esféricas Bibliografia v -

8 Prefácio Prefácio A óptica está relacioada com o estudo da luz e dos feómeos associados com a sua geeralização, trasmissão e detecção. Num setido mais lato, a óptica iclui todos os feómeos associados com as radiações ifravermelhas e ultravioletas. A óptica geométrica cosidera que a luz se propaga rectilieamete, e está relacioada com as leis que cotrolam a reflexão e a refracção dos raios lumiosos. A óptica física trata dos feómeos que depedem da atureza odulatória da luz, por exemplo a difracção, a iterferêcia e a polarização (i dicioário de Física). A óptica é uma área em grade expasão com aplicações em física, egeharia e tecologia. A emergêcia dos lasers, das fibras ópticas, da óptica ão liear e de uma grade variedade de fotes semicodutoras e detectores fez com que as aplicações da óptica se estedessem a todos os ramos da ciêcia. A luz (radiação electromagética) é a base da óptica. Sem luz ão existiria óptica. Mas o que é a luz? Qual a sua atureza? A evolução do osso etedimeto sobre a atureza da luz é uma das arrações mais fasciates da história da ciêcia. Nos primórdios da ciêcia modera, séculos XVI e XVII, a luz era descrita ou como partículas ou como odas. Sedo modelos icompatíveis, cada um deles gozou de um período de proemiêcia a comuidade cietífica. No século XIX torou-se claro que de alguma forma a luz era ao mesmo tempo oda e partícula. Durate algum tempo este estado perplexo, deomiado de dualidade oda-partícula, motivou os cietistas a ecotrar uma solução para estes modelos da luz aparetemete cotraditórios. Num certo setido a solução foi ecotrada através da criação da electrodiâmica quâtica, cotudo muitos cietistas cocordam que o perfeito etedimeto da atureza da luz é de alguma forma mais complexo. A luz pode ser represetada fudametalmete de duas formas, através da teoria corpuscular ou através da teoria odulatória. A forma mais simples de represetar a luz resulta da teoria corpuscular, segudo a qual a luz é represetada através de raios lumiosos rectilíeos (domíio da óptica geométrica). No etato, quado ão se pode desprezar o comprimeto de oda da luz, por este ser de dimesões comparáveis às dimesões do sistema, é ecessário ter em cota a atureza odulatória da luz passado esta a ser represetada através de odas. Este é o domíio da óptica física. A característica essecial de uma oda é a sua ão localização. Do poto de vista clássico a propagação de uma oda através de um meio cosiste uma perturbação ψ que se propaga esse meio trasportado eergia e mometo. As odas mais familiares e de mais fácil visualização são as odas mecâicas, omeadamete as odas em cordas, as odas superficiais em líquidos, as odas em molas e as odas sooras o ar. As odas sooras são logitudiais, isto é, o meio sofre uma perturbação a direcção de propagação da oda, equato que as odas em cordas são trasversais, as quais a perturbação sofrida pelo meio se realiza uma direcção perpedicular à direcção de propagação da oda. Existem etão dois tipos de odas, as odas logitudiais e as odas trasversais. Para ambos os casos, embora a eergia trasportada pela oda se propague com a oda, o meio material ode a oda se propaga permaece a sua região de equilíbrio. Para as odas ão existe trasporte de meio material. Esta característica das odas distigue-as claramete de um fluxo de partículas. - -

9 Prefácio A propagação de uma oda um meio é descrita matematicamete através de uma equação diferecial, que é fução da posição e do tempo e que se deomia de equação de oda. A forma mais geral da equação de oda a uma dimesão, é obtida a partir da codição de que qualquer solução da equação de oda tem de se propagar uma dada direcção, com velocidade costate, sem variação da sua forma ao logo do tempo relativamete a um sistema de eixos que se desloque com a mesma velocidade. Assim, uma oda que se propaga segudo a direcção do eixo dos xx, o setido positivo ou egativo, é descrita através da equação ψ ( x, t) f ( x m v t) ode f represeta uma fução difereciável e ode t, x e v represetam o tempo, a direcção e a velocidade de propagação da oda respectivamete, idicado o sial egativo que a oda se desloca o setido positivo do eixo dos xx equato que o sial positivo idica a situação oposta. A equação de oda diferecial a uma dimesão é dada pela equação ψ x v ψ. t A forma de oda mais simples é aquela cujo perfil é uma curva seo ou coseo, cohecidas como odas harmóicas, sedo dada pela equação [ k( x m v ) ] ψ A si t +ε, ode A e k são costates represetado a amplitude e a costate de propagação da oda, podedo variar sem que provoquem alteração o carácter harmóico da oda. ε é a fase iicial da oda. Ao argumeto da fução seo chama-se fase da oda e represeta-se por φ. As odas em seo ou coseo são periódicas, represetado pulsos regulares que se repetem ifiitamete. A úica difereça que existe etre a utilização de um fução seo ou de uma fução coseo a represetação da forma de uma oda reside o facto de uma estar adiatada ou atrasada relativamete à outra de π radiaos (90º). Devido à sua periodicidade, a forma de uma oda repete-se sempre que exista um desvio de um múltiplo iteiro do comprimeto de oda (λ) em todos os seus potos. Matematicamete esta situação pode ser expressa através da seguite equação { k[ ( x + λ) v ] ε} ψ Asi t +, ode λ represeta o comprimeto de oda ou o período espacial. A relação etre o comprimeto de oda e a costate de propagação é dada através da seguite equação: - -

10 Prefácio π k. λ Alterativamete, se a oda for observada para uma posição fixa, ela repete-se sempre que exista uma difereça o tempo de um múltiplo do período temporal T para todos os potos. Neste caso a equação para a oda é dada por { k[ x v( t + )] } ψ Asi T + ε obtedo-se assim uma relação para a velocidade de propagação da oda em fução do comprimeto de oda, dada por: v λν, sedo ν T a frequêcia temporal da oda. Outras quatidades muito utilizadas o movimeto odulatório são a frequêcia agular temporal (ω ) dada pela equação ω πν e o úmero de oda (κ ), dado pela equação κ λ. Todas as quatidades que foram mecioadas são igualmete aplicáveis a odas ão harmóicas mas periódicas. Utilizado as defiições ateriores pode exprimir-se uma oda harmóica, a propagar-se um dado meio, através das equações: [ k( x m v ) ] ψ A si t + ε [( kx mω ) ε ] ψ A si t + que são as mais utilizadas a represetação de uma oda. Estas odas são odas ideais variado de até + com uma úica frequêcia costate, portato com um úico comprimeto de oda, ou seja moocromáticas. Na prática ão se verifica isto, as odas reais ão são moocromáticas sedo compostas por mais do que um comprimeto de oda. A velocidade de fase de uma oda é dada pela razão etre a frequêcia agular e a costate de propagação. Qualquer poto de uma oda harmóica cuja amplitude seja costate move-se para que a fase se mateha costate o tempo. É o que acotece o caso das odas circulares geradas a superfície de um líquido, para as quais os círculos cocêtricos represetam curvas ode a fase se matém costate o tempo, para todos os seus potos. No caso de existirem duas fuções de oda ψ e ψ que sejam ambas soluções da equação de oda, a fução de oda resultate da adição dessas duas fuções de oda é também solução da equação de oda. Este facto é cohecido como pricípio da sobreposição e sigifica que quado duas perturbações idividuais atigem um mesmo poto do espaço elas sobrepõem-se, adicioado-se ou subtraido-se uma à outra, sem que o seu movimeto seja afectado. Para duas fuções de oda com amplitudes semelhates o resultado da sobreposição variará, depededo da difereça de fase etre - 3 -

11 Prefácio elas, etre um valor máximo o caso de as duas fuções de oda estarem em fase e um valor míimo para a situação de oposição de fase. Este feómeo é chamado de iterferêcia. Até aqui só foram refereciadas as fuções de oda uidimesioais. No etato a situação mais geral é a existêcia de odas tridimesioais defiidas por uma equação de oda também tridimesioal que é fução de x, y, e z (em coordeadas rectagulares). A equação de oda tridimesioal é uma geeralização da equação 4- a uma dimesão e é dada por: ψ ψ v t ode represeta o operador Laplaciao. As odas tridimesioais podem ser divididas em três grupos pricipais: as odas plaas, as odas esféricas e as odas cilídricas. As odas plaas são o caso mais simples de uma oda tridimesioal. Existem quado todas as superfícies, ode a perturbação apreseta fase costate, formam um cojuto de plaos perpediculares à direcção de propagação (ver figura 4- (a)). Os feixes de luz laser colimados são um exemplo de uma frete de oda plaa a propagar-se o espaço. A expressão matemática para uma oda plaa perpedicular a um dado vector k (vector de r propagação), que passa por um poto geérico r de coordeadas x, y, ), é k r. cost. Assim, a ( 0 0 z 0 fução de oda para uma oda plaa harmóica a propagar-se o espaço é dada por ψ ( r, t ) i Ae r ( k r. mω t+ ε ) ode A, ω e k são costates, que coforme já foi referido represetam a amplitude, a frequêcia agular e a costate de propagação da oda, respectivamete. À medida que esta perturbação se propaga ao logo da direcção k r, possui para cada poto do espaço e do tempo uma dada fase. Para um dado tempo, as superfícies que uem todos os potos de igual fase são cohecidas como frete de odas. Se a amplitude A for costate em todos os potos, a fução de oda assumirá o mesmo valor em toda essa frete de oda. No caso mais geral como A é fução da posição, a amplitude ão é costate em toda a frete de oda e a oda deixa de ser homogéea. A importâcia das odas plaas em óptica advém em primeiro lugar da facilidade com que se podem gerar e em segudo lugar porque qualquer oda tridimesioal pode ser expressa como uma combiação de odas plaas com amplitudes e direcções de propagação distitas

12 Prefácio ψ 0 ψ A ψ 0 ψ A ψ 0 ψ k r ψ (r) + A λ 0 A k r (a) (b) de Hecht, E., "Optics", Addiso Wesley, pag.33 (998). Figura - Represetação esquemáticas das odas tridimesioais plaas (a), esféricas (b) e cilídricas (c). (c) Relativamete às odas esféricas elas são costituídas por um cojuto de esferas cocêtricas que aumetam de diâmetro à medida que se expadem o espaço (ver figura 4-(b)). Este tipo de odas são descritas, por questões de coveiêcia, em termos de coordeadas esféricas. A fução de oda para odas tridimesioais esféricas tem a forma A ψ ( r, t) e r i k. r mω t + ε ode A é uma costate que represeta a itesidade da fote. Devido ao factor r as odas esféricas dimiuem de amplitude alterado o seu perfil à medida que se expadem o espaço. O terceiro tipo de odas tridimesioais é as odas cilídricas. Quado se faz icidir uma frete de oda plaa um alvo plao opaco cotedo uma feda fia e suficietemete loga obtém-se uma perturbação sob a forma de uma oda cilídrica (a figura 4-(c)). Neste caso o feómeo é descrito em termos de coordeadas cilídricas. A fução de oda para as odas cilídricas apreseta a seguite forma ψ ( r, t) A r e i k. r mω t A situação mais comum é a existêcia de várias odas a atigirem um mesmo poto ou a coexistirem ao logo de uma mesma direcção. É etão ecessário, de acordo com o pricípio da sobreposição, mecioado ateriormete, calcular o efeito resultate da combiação dessas várias odas. Tal como já foi referido, a perturbação resultate da sobreposição de várias odas um determiado poto, é dada pela soma algébrica das várias odas idividuais. Duas situações podem ocorrer origiado resultados completamete distitos: as odas que se sobrepõem terem amplitudes e - 5 -

13 Prefácio fases diferetes mas terem a mesma frequêcia ou etão para além de poderem ter amplitudes e fases diferetes também terem frequêcias diferetes. No caso da adição de odas com a mesma frequêcia a propagarem-se a mesma direcção, resulta aida uma oda harmóica com a mesma frequêcia das odas costituites mas com amplitude e fase diferetes. A expressão geral para a perturbação global resultate da sobreposição de N perturbações é a seguite [ ω t α ( x, )] ψ ( x, t) A si + ε ode α ( x, ε ) represeta a parte espacial da fase da perturbação resultate e que é dada por taα N N i A A i i siα cosα i i e A represeta a amplitude da perturbação resultate dada por: A N N N A i i + A j i i A j cos( α α ) i j Se as fases das diversas perturbações forem aleatórias, a difereça de fase também é aleatória. Nesse caso a soma dos termos em coseo vai teder para zero à medida que N aumeta. Assim para fotes idêticas, a amplitude da perturbação total será dada por N A A i i NAi. O quadrado da amplitude de N fotes idêticas com fases aleatórias, é igual à soma dos quadrados das amplitudes de cada uma das fotes. Se pelo cotrário as N fotes (idêticas) forem coeretes e em fase o poto de observação, isto é α i α j, a perturbação resultate será dada por N A ( A ) i i N Ai. O resultado é que o quadrado da amplitude de N fotes coeretes idêticas com a mesma fase é igual a N vezes a soma dos quadrados das amplitudes de cada uma das fotes. Aida a situação das perturbações terem a mesma frequêcia mas propagarem-se em setidos opostos, a perturbação resultate é uma oda estacioária, em oposição a uma perturbação a propagarse cujo perfil é costate o espaço e é dado por: ψ ( x, t) A si kx cosω t esse caso, a amplitude é igual a A si kx, variado harmoicamete com cos ω t. Outra situação, é a sobreposição de perturbações com amplitudes semelhates mas com frequêcias diferetes. Neste caso a perturbação resultate deixa de ser harmóica sedo dada por: ψ ( x, t) A( x, t) cos( kx ω t) cos( k x ω t) m m - 6 -

14 Prefácio ode ω e k represetam a frequêcia agular média e a costate de propagação média respectivamete e ω m e k m represetam a frequêcia de modulação e a costate de propagação de modulação, respectivamete. O efeito global é as perturbações de baixas frequêcias a servirem de evolvete, modulado as perturbações de altas frequêcias. A perturbação resultate apreseta etão o feómeo de batimetos, sedo a frequêcia de batimeto dupla da frequêcia de modulação da evolvete. A velocidade de propagação das perturbações das altas frequêcias é a velocidade de fase, equato que a velocidade de propagação da evolvete (perturbações das baixa frequêcia) é deomiada velocidade de grupo. No caso específico da luz sedo os campos eléctrico e magético, campos vectoriais, a luz é etão um feómeo vectorial. A perturbação resultate da sobreposição de odas electromagéticas pode ser expressa em fução do campo eléctrico ou do campo magético. Regra geral, as equações de oda utiliza-se o campo eléctrico para variável por ser mais simples de ser detectado. De acordo com o pricípio da sobreposição, a itesidade do campo eléctrico um poto do espaço, resultate da iteracção de vários campos eléctricos esse poto, é a soma algébrica das itesidades de todos os campos idividuais actuates um poto. Como o campo eléctrico possui uma elevadíssima frequêcia de variação, da ordem dos 0 4 Hz, ão é possível ou é impraticável trabalharse com valores istatâeos do campo. Trabalha-se etão com uma quatidade deomiada de irradiâcia, que é proporcioal à média o tempo do quadrado da itesidade do campo eléctrico. A irradiâcia é uma quatidade que tem a vatagem de poder ser medida directamete através de detectores específicos. Cosiderem-se etão duas odas da forma E ( r, t) E 0 cos( k r ω t + ε ) E ε ( r, t) E 0 cos( k r ω t + ) ode k e k represetam os vectores de propagação de cada uma das odas, r represeta o vector de posição e ε e ε represetam as fases iiciais de cada oda. Através da defiição da irradiâcia, vista ateriormete, obtém-se a seguite expressão: 0c < E > T I ε. A irradiâcia total resultate da sobreposição de duas odas E ( r, t) e E ( r, t), é etão dada por I + I I, ode I é o termo de iterferêcia dado por I < E. E > T I +. Calculado este termo em fução da difereça de fase global que resulta da difereça de percursos e de fases iiciais das duas odas, obtém-se a expressão: - 7 -

15 Prefácio I E 0 E 0 cosδ Cosiderado que E 0 é paralelo a E 0 (que é a situação mais comum) o termo de iterferêcia vem etão dado por I I I cosδ ode δ k r + ε k r ε ) é a difereça de fase global etre as duas odas. ( A irradiâcia total é etão dada pela expressão I I I + I + I cosδ. No caso de todas as odas apresetarem amplitudes iguais a I 0, a expressão aterior reduz a I I 0 (+ cosδ ) ou aida a δ I 4I 0 cos. Em coclusão pode afirmar-se que: Duas odas ortogoais liearmete polarizadas ão iterferem, uma vez que I 0. A irradiâcia máxima é obtida quado cos δ, isto é, quado δ 0, ± π, ± 4π L ou seja quado as duas odas estão em fase. Esta é a codição de iterferêcia totalmete costrutiva. A irradiâcia míima é obtida quado cosδ. Neste caso δ ± π, ± 3π ± 5π L e as duas odas estão em oposição de fase. É a codição de iterferêcia totalmete destrutiva. Quado 0 < cosδ < as odas estão desfasadas etre 0º e 90º resultado a codição de iterferêcia costrutiva I + I < I <. I max Quado 0 > cosδ > as odas estão desfasadas etre 90º e 80º resultado a codição de iterferêcia destrutiva, I + I > I >. I mi Quado cos δ 0 as odas estão desfasadas de 90º, que é a situação de quadratura ode I I + I. Para fializar esta secção que se reveste de maior importâcia para o estudo dos feómeos de iterferêcia e difracção, deve ter-se em mete que: - 8 -

16 Prefácio Para que dois feixes lumiosos produzam um padrão estável de iterferêcia, devem ter aproximadamete a mesma frequêcia, caso cotrário existirão variações a difereça de fase extremamete rápidas, o que origia que o valor médio do termo de iterferêcia seja zero durate o itervalo de detecção. Para que um padrão de frajas possa ser observado ão é ecessário que as duas fotes estejam em fase uma com a outra mas que a difereça de fase etre elas permaeça costate, isto é, que as duas fotes teham coerêcia espacial

17 Óptica Geométrica Capítulo Óptica Geométrica. Itrodução O tratameto da luz como um movimeto odulatório permite cosiderar, para uma região de aproximação, o comprimeto de oda como sedo muito pequeo quado comparado com as dimesões dos compoetes do sistema óptico. Esta região de aproximação é deomiada óptica geométrica. Quado o carácter da luz ão pode ser igorado, o campo é cohecido como óptica física. Assim, a óptica geométrica é um caso especial da óptica física podedo ser descrito por: lim λ 0 { óptica física } { óptica geométrica} Como o comprimeto da luz (em média 500 m) é muito pequeo quado comparado com as dimesões dos objectos do dia a dia, o percurso dos feixes de luz através de aberturas ou cotorado obstáculos pode ser tratado pela óptica geométrica. Detro da aproximação represetada pela óptica geométrica, a luz é etedida como viajado em liha recta (raios lumiosos) a partir da fote de luz. O raio é etão o percurso ao logo do qual a eergia lumiosa é trasmitida de um poto para outro um sistema óptico. O raio lumioso é uma costrução muito útil, embora abstracta o setido em que um feixe lumioso ão pode ser tão fio de forma a assemelhar-se a uma liha recta. Os raios lumiosos são perpediculares às fretes de oda. Quado um raio lumioso atravessa um sistema óptico cosistido de vários meios homogéeos colocados sequecialmete, o percurso óptico é uma sequêcia de segmetos rectilíeos. As descotiuidades os segmetos ocorrem cada vez que a luz é reflectida ou refractada. As leis da óptica - 0 -

18 Óptica Geométrica geométrica que descrevem a direcção subsequete dos raios lumiosos são a lei da reflexão e a lei da refracção.. A Propagação da Luz Nesta secção vamos estudar os feómeos de reflexão, refracção e trasmissão da luz, os quais serão descritos através de odas e raios lumiosos. Qualquer forma de iteracção da luz com a matéria pode ser ecarada como um feómeo que associa um feixe de fotões e uma rede de átomos suspesos, através de campos electromagéticos, o vazio. Assim, vamos falar da dispersão da luz pela matéria. Os processos de reflexão, refracção e trasmissão são maifestações macroscópicas dos processos de dispersão que ocorrem a um ível microscópico. Se cosiderarmos um feixe da luz solar com diâmetro reduzido e costituído por uma gama larga de frequêcias a propagar-se o vazio, chegaremos à coclusão que à medida que o feixe se propaga vai aumetado o seu diâmetro, embora a sua eergia se cotiue a propagar à velocidade da luz. Não iremos observar dispersão, o feixe ão será visível de lado. A luz ão se casa em se degrada (a luz de estrelas de outras galáxias chega à Terra depois de percorrer ceteas de milhares de aos). No etato se o vazio se ijectar ar (gás trasparete), algumas moléculas de azoto e oxigéio, etre outras, vão fazer com que os fotões que costituem o feixe de luz sejam dispersos em todas as direcções toradose visível. Esta é a razão para que o céu apresete uma toalidade azul de dia e toalidades ricas em vermelho ao ascer e ao pôr-do-sol... Trasmissão e ídice de refracção A trasmissão da luz um meio homogéeo costitui um processo cotíuo de dispersão. Cada dispersão itroduz variações o campo lumioso, sedo o resultado uma variação da velocidade com que o feixe é trasmitido (velocidade de fase) relativamete à velocidade da luz o vazio. Isto equivale a atribuir ao meio de trasmissão, um valor para a razão etre a velocidade da luz e a velocidade de fase (c/v), diferete da uidade. Ao valor da razão etre a velocidade da luz e a velocidade de fase chama-se ídice de refracção e represeta-se pela letra. Os valores do ídice de refracção variam cosoate os diferetes materiais atravessados, para além de variarem com o estado físico (pureza, pressão, temperatura, etc.). Na tabela - apresetam-se algus valores de ídices de refracção para diversos materiais. - -

19 Óptica Geométrica Tabela - Ídices de refracção de várias substâcias Substâcia Ídice de refracção Ar,0009 Gelo,30 Água,333 Silício amorfo,4584 Vidro crow,50 Cloreto de sódio,544 Vidro flit,580 Vidro flit deso,660 Zircóio,93 Diamate,47 Rutílio,907 A dispersão dos fotões gera odas secudárias, que ao combiar-se com o que resta da oda primária vai costituir uma úica oda, que será a oda trasmitida. Tato a oda primária como a oda secudária propagam-se o vazio ( ) à velocidade da luz. No etato um meio material ( ) uma oda lumiosa propaga-se com velocidades iferiores à velocidade da luz. Essa velocidade está relacioada com o ídice de refracção do meio atravessado. O coceito de ídice de refracção traduz o modo como os processos de absorção e de emissão alteram (atrasam ou avaçam) a fase dos fotões dispersos, mesmo que os fotões se propaguem à velocidade c... Reflexão Quado um raio lumioso é reflectido uma iterface (zoa de separação) dividido dois meios ópticos, parte da eergia é rectro-dispersa, feómeo cohecido como reflexão. Cosideremos um bloco de vidro homogéeo de faces plaas, polidas e paralelas e um feixe lumioso vido do ar a atravessar o bloco de vidro, tal como se apreseta a figura

20 Óptica Geométrica Feixe Lumioso Feixe reflectido exteramete Feixe reflectido iteramete Figura - Feixe lumioso a propagar-se um meio óptico e homogéeo e as respectivas reflexões extera e itera. Para um bloco de vidro o ar e em icidêcia ormal, cerca de 4% da eergia icidete é reflectida a primeira superfície de separação (iterface ar-vidro). Como a luz se propaga de um meio meos deso para um meio mais deso diz-se que se trata de reflexão extera. Assim, a reflexão extera ocorre quado o ídice de refracção do meio icidete ( i ) é iferior ao ídice de refracção do meio trasmitido ( t ). Do mesmo modo cerca de 4% da eergia icidete a superfície de separação vidro-ar é reflectida iteramete. Para icidêcia ormal, a reflexão itera ocorre quado o ídice de refracção do meio icidete ( i ) é superior ao ídice de refracção do meio trasmitido ( t )...3 A lei da reflexão Cosideremos um feixe lumioso o ar a icidir a superfície plaa de um bloco de vidro (ver figura -). À medida que a frete de oda relativa ao feixe lumioso icidete percorre o meio icidete, cada elemeto desse meio vai radiar um feixe de fotões (sob a forma de uma oda esférica) que se propaga o meio de icidêcia. Como o comprimeto de oda é muito superior à separação etre as moléculas do meio, as odas rectro-dispersas para o meio de icidêcia propagam-se em fase, sobrepodo-se costrutivamete ao logo de uma direcção bem defiida, dado origem a um feixe reflectido bem defiido. Ar (i) Vidro (t) Raio icidete Normal à superfície θ i θ r θ t Raio reflectido Plao de icidêcia Iterface Raio refractado Figura - Esquema óptico da reflexão e refracção uma iterface etre dois meios ópticos, mostrado os raios icidete, reflectido e refractado (trasmitido) o plao de icidêcia

21 Óptica Geométrica A direcção do feixe reflectido é fução do âgulo que a direcção de propagação da oda icidete faz com a ormal à superfície, isto é, o âgulo de icidêcia. O mesmo raciocíio pode ser aplicado para as odas que se propagam o iterior do vidro formado o feixe refractado ou trasmitido, que é fução do âgulo que a direcção de propagação faz com a ormal à superfície (âgulo de refracção). Retoremos à parte reflectida do raio que icide a iterface etre o ar e o vidro. Aalisado a figura -3, vemos que a liha AB represeta uma frete de oda icidete e a liha CD represeta uma frete de oda reflectida. Etão por reflexão AB trasforma-se em CD. Para que todas as odas emitidas, resultates da dispersão pelas moléculas do meio icidete, se sobrepoham e costituam uma oda reflectida úica, AC BD. Como os dois triâgulos têm em comum a hipoteusa, temos que: siθ i siθ r BD AC dode si θ si i θ r e portato θ θ, equação que costitui a lei da reflexão. i r Meio A B θ i C θ r D Figura - 3 Esquema represetativo da icidêcia e reflexão um determiado meio. Lei da reflexão: quado um raio lumioso é reflectido uma iterface separado dois meio ópticos, o raio reflectido permaece o plao de icidêcia, sedo o âgulo de reflexão igual ao âgulo de icidêcia. O plao de icidêcia é o plao que cotém o raio icidete e a ormal à superfície o poto de icidêcia. Devemos ter em ateção que em todas as superfícies ode se processa a reflexão são polidas. Por isso temos que distiguir etre reflexões em superfícies polidas e reflexões em superfícies rugosas (ão polidas). Desde que as depressões ou elevações existetes à superfície sejam pequeas, relativamete ao comprimeto de oda, as odas dispersas apresetam basicamete a mesma fase quado θ θ. Neste caso estamos perate a reflexão dita especular. Por outro lado, quado a i r rugosidade da superfície é sigificativa relativamete ao comprimeto de oda, apesar dos âgulos de icidêcia e reflexão serem iguais para cada raio, o cojuto dos raios reflectidos dá origem a um feixe que ão se propaga uma direcção bem defiida. Neste caso estamos perate a reflexão dita difusa. Equato a reflexão especular todos os raios de um feixe de luz colimado, icidetes uma superfície, obedecem à lei da reflexão uma superfície plaa e são reflectidos também como um feixe colimado, a - 4 -

22 Óptica Geométrica reflexão difusa embora a lei da reflexão seja obedecida localmete para cada um dos raios, como a superfície reflectora é rugosa os raios de luz do feixe colimado são reflectidos em várias direcções resultado uma luz reflectida de forma difusa...4 Refracção Cosideremos um feixe de luz a icidir obliquamete uma iterface etre dois meios, segudo um âgulo de icidêcia diferete de zero. O resultado é a existêcia de um feixe trasmitido para o iterior do meio de trasmissão, que apreseta um desvio agular relativamete à direcção do feixe icidete, tal como se pode ver a figura -4. i B v i Δt A v t Δt θ i θ t D E t Figura - 4 Esquema para a refracção de uma frete de oda uma iterface etre dois meios ópticos. Cada superfície de oda é uma superfície de fase costate e, a medida em que a fase de oda global é atrasada pelo meio de trasmissão, cada frete de oda é de algum modo retida a superfície de descotiuidade. Observado a figura -4 cocluiu-se que o itervalo de tempo Δt, o poto B de uma frete de oda a propagar-se à velocidade v i chega ao poto D e que a ova posição do poto A iicialmete sobre a iterface é o poto E. Se o meio de trasmissão tiver um ídice de refracção superior ao meio de icidêcia etão v t > v i dode AE < BD e a orietação da frete de oda altera-se. A frete de oda refractada estedese de E a D, fazedo um âgulo θ t com a superfície de descotiuidade. Os triâgulos ABD e AED têm uma hipoteusa comum ( AD ). Etão, siθ i si θ t BD AE - 5 -

23 Óptica Geométrica como BD v t e AE v t, temos i Δ t Δ siθ i siθ t v v i t e como i c v i e t c v t obtemos si θ siθ. i i t t Esta equação é cohecida como a lei de Sell ou lei da refracção que afirma: que quado um raio lumioso é refractado uma iterface separado dois meios ópticos, o raio trasmitido permaece o plao de icidêcia sedo o seo do âgulo de refracção directamete proporcioal ao seo do âgulo de icidêcia. Etão das leis de reflexão e de refracção coclui-se que os raios icidete, reflectido e trasmitido pertecem todos ao plao de icidêcia. Quado <, ou seja quado a luz se propaga de um meio de meor ídice de refracção para i t um meio com ídice de refracção superior, da lei de Sell resulta que si θ i > siθ t dode θ i > θ t é, os raios lumiosos aproximam-se da ormal. Por outro lado se i > t, quado a luz se propaga de um meio com maior ídice de refracção para um meio com ídice de refracção iferior, os raios lumiosos afastam-se da ormal. Se utilizarmos o ídice de refracção relativo etre os dois meios ( ti ) em que Sell pode ser escrita como ti t i, isto, a lei de siθ i siθ t ti Outra coclusão que se pode reter da lei de refracção, é que o comprimeto de oda do feixe trasmitido dimiui, uma vez que a frequêcia se matém ialterada e a velocidade dimiui. Como λ c ν c v, vem que λ, ode λ é o comprimeto de oda do meio trasmitido e λ 0 é o comprimeto de oda do meio icidete (vazio). λ 0.3 O Pricípio de Huyghes Huyghes foi um físico Alemão, que em 690 eucio um pricípio o qual a luz podia ser vista como uma série de pulsos, emitidos a partir de cada poto de um corpo lumioso e a propagar-se através das - 6 -

24 Óptica Geométrica partículas do éter (meio elástico que preecheria todo o espaço). O pricípio de Huyghes diz que cada poto de uma frete de oda primária costitui uma fote para odas esféricas secudárias, e a posição da frete de oda primária um istate posterior é determiada pela evolvete de todas estas odas secudárias (fig. -5 e -6). Apesar das suas limitações, o pricípio de Huyghes permite obter a lei de Sell. No séc. XIX, Fresel (um matemático Fracês) fez alterações ao pricípio de Huyghes, itroduzido a ocorrêcia de iterferêcias. A A' A' A c t B B B' B' Figura - 5 Ilustração do pricípio de Huyghes para odas plaas e esféricas. S P A O S' P' B Figura - 6 Costrução de Huyghes para uma frete de oda obstruída. Cosideremos a figura -7, ode se represeta uma frete de oda AC a icidir uma iterface XY, segudo um âgulo de icidêcia θ i, formado pelos raios AD, BE e CF com a ormal à iterface PD. Se ão existisse iterface, após um determiado itervalo de tempo iríamos ter a frete de oda GI. A iclusão de uma superfície de separação reflectora determia que, o mesmo itervalo de tempo que a frete de oda AC demoraria a atigir GI, essa mesma frete atige IM

25 Óptica Geométrica P K C B A X θ i θ r M F N E D J I Y H G Figura - 7 Costrução de Huyghes para demostração da lei da reflexão. L Supohamos que o raio CF um itervalo de tempo Δt chega ao poto I, durate o mesmo itervalo de tempo, o raio BE avaçou de E até J cotiuado depois da reflexão até à distâcia equivalete de JH (se ão existisse iterface), isto é, até ao poto N. O mesmo tipo de raciocíio pode ser aplicado ao raio AD. O poto D, o mesmo itervalo de tempo que demoraria a chegar a DG (se ão existisse iterface), depois da reflexão avaçou da mesma distâcia e chegou ao poto M. Assim, após um itervalo de tempo, a ova frete de oda que tem de ser tagete aos raios lumiosos os potos I, N e M será IK. O raio reflectido represetativo é o raio DL represetado a figura -7. A ormal à iterface (PD) para esse raio é usada para defiir os âgulos de icidêcia e de reflexão. Se as distâcias DG e DM são iguais, etão os âgulos formados pelos triâgulos GDI e IDM também são iguais, dode se pode cocluir que θ θ. i r Observemos agora a figura -8 que tal como a figura -7 represeta uma frete de oda AC a icidir uma iterface XY, segudo um âgulo de icidêciaθ i, formado pelos raios AD, BE e CF com a ormal à iterface PD. Neste caso as velocidades de propagação o meio de icidêcia e de trasmissão são diferetes. Os potos D, E e F da frete de oda icidete chegam aos potos D, J e I da iterface em tempos diferetes. Na ausêcia da iterface formar-se-ia a frete de oda GI quado o raio CF chegasse a I. Durate a progressão do raio CF para atigir o poto I um itervalo de tempo Δt, o raio AD etra o meio de trasmissão deslocado-se com uma velocidade iferior à do meio de icidêcia. Se a distâcia DG é v i Δ t e a distâcia DM é v t Δ t etão teremos: DG v Δt i e DM v Δt dode, t Δ t DG v i DG i e DM v t v i t DG - 8 -

26 Óptica Geométrica P X A B C θ i D F E θ i vt t θ t K M vi t J N θ t G H I i t Y Figura - 8 Costrução de Huyghes para demostração da lei da refracção. L Do mesmo modo para o poto J teremos que, i JN t JH Da relação geométrica etre os âgulos refractado DL com a ormal ao plao de icidêcia, vem que θ e θ, formados pelo raio icidete AD e pelo raio i t FI DM siθi e siθt vem: DI DI FI DM DG siθi DM siθ t como DM ( )DG temos etão que i t i si θ i t siθ t que é a lei de Sell para a refracção uma iterface etre dois meios ópticos

27 Óptica Geométrica.4 O Pricípio de Fermat No séc. II a.c., Hero de Alexadria escreveu que quado a luz se propaga etre dois potos faz o meor trajecto possível. Para a propagação etre dois potos o mesmo meio, o meor percurso é a liha recta que ue os dois potos. Quado a luz que parte de um poto A sofre uma reflexão uma superfície plaa a chega ao poto B, ela poderia ir por vários camihos como se pode ver a figura -9, ode estão represetados três percursos possíveis para se ir do poto A até ao poto B. Comecemos por cosiderar o percurso ACB. Costrua-se o poto A de tal modo que AO seja igual a AO. Deste modo os triâgulos AOC e A OC são iguais, AC é igual a A C e a distâcia percorrida pelo raio de luz desde A até B passado por C é a mesma que é percorrida desde A até B passado por C. A distâcia mais curta desde A até B é a liha recta A DB, dode o percurso ADB é o escolhido pelo raio para ir de A até B. Da geometria dos raios lumiosos podemos cocluir que o âgulo ADO é igual ao âgulo A DO, o qual por sua vez é igual ao âgulo BDO. Assim para o percurso mais curto temos que reflexão. θ θ, que é a lei da i r A B θ i θ r O C D E O A Figura - 9 Esquema para provar a lei de reflexão a partir do pricípio de Hero. Em 657 um matemático Fracês chamado Pierre de Fermat, geeralizou o pricípio de Hero para provar a lei da refracção. Se um poto B estiver abaixo da superfície de separação, isto é, se estiver o meio de trasmissão (ver figura -0), o percurso correcto para ir de A a B ão é o camiho mais curto ou a liha recta AB, para a qual o âgulo de icidêcia seria igual ao âgulo de refracção, o que ia cotra a lei empírica estabelecida para a refracção

28 Óptica Geométrica A a θ i O i t b x θ t c B Figura - 0 Esquema para provar a lei de refracção a partir do pricípio de Fermat. Tedo em cota a ecoomia existete a atureza, Fermat supôs, em vez do percurso míimo, que o raio de luz que viaje de A até B toma o camiho que demore o meor tempo possível a percorrer esse percurso (pricípio do tempo míimo), que é uma geeralização que iclui o pricípio de Hero e se aplica tato à reflexão como à refracção. Se a luz se desloca mais devagar o segudo meio, tal como é assumido a figura -0, os raios lumiosos icliam-se a iterface de forma que o percurso demore meos tempo o segudo meio, miimizado o tempo total de percurso etre A e B. Matematicamete para miimizar o tempo total temos que miimizar a expressão AO OB t + v i v t ode v i e v t são as velocidades da luz os meios icidete e trasmitido, respectivamete. Da figura - 0 e empregado o teorema de Pitágoras obtemos: t a + x v b i v t ( c x) + + Para miimizar a expressão aterior temos que calcular a derivada do tempo em relação à posição e igualar a zero, isto é, dt dx 0. Assim temos dt dx v i a x + x v t b c x + ( c x) 0 x mas da figura -0 tiramos que siθ i e a + x dt dx siθ i siθ t v v i t 0 c x siθ t dode b + ( c x) - -

29 Óptica Geométrica ou seja v si θ v siθ. t i i t como v c obtemos etão si θ siθ, i i t t que é a Lei de Sell..5 O Pricípio da Reversibilidade Se as figuras -9 e -0 o papel dos potos A e B forem trocados, de forma que B seja agora a fote de luz de ode emaam os raios lumiosos e A o poto fial do percurso de um raio lumioso, o pricípio de Fermat do tempo míimo tem de prever o mesmo percurso, tal como determiado para a direcção origial da propagação da luz. Geeralizado, podemos etão dizer que, qualquer raio lumioso de um sistema óptico que sofra uma iversão o seu setido de propagação, percorrerá o mesmo percurso agora em setido cotrário. Este é o pricípio de reversibilidade que é muito útil em algumas aplicações ópticas..6 Reflexão em Espelhos Plaos A formação de images em espelhos plaos é o caso mais simples da formação de images em sistemas ópticos. Cosidere-se a reflexão especular de um úico raio de luz OP por um plao xy (ver figura -). Da lei da reflexão, o raio reflectido PQ permaece o plao de icidêcia fazedo um âgulo com a ormal a P igual ao âgulo de icidêcia. Se o percurso OPQ for descrito em coordeadas x, y e z, a direcção do raio OP é alterado pela reflexão só ao logo da direcção z, resultado a iversão da compoete z. Se a direcção do raio icidete for descrita pelo vector uitário r ( x, y, z) reflexão vamos ter que r ( x y, z) ( x, y, z), r z Q, etão por O r r y x P Figura - Geometria de um raio reflectido por um plao. - -

30 Óptica Geométrica Da mesma forma se um raio icidete for reflectido sequecialmete os três plaos coordeados, tal como apresetado esquematicamete a figura -, o resultado será etão ( x y, z) ( x, y z), r r, icidete. z, e o raio reflectido retora precisamete paralelo à direcção do raio y x Figura - Geometria de um raio reflectido pelos três plaos coordeados. A formação da imagem um espelho plao é ilustrada a figura -3. Os raios de luz proveietes de um poto objecto S (por exemplo uma fote de luz) icidem um espelho plao, sedo reflectidos por este de acordo com a lei da reflexão. Da figura -3 podemos ver que os triâgulos SNP e S NP são iguais e que todos os raios reflectidos parecem ter origem o poto imagem S, que se ecotra o prologameto da liha SN a uma profudidade tal que a distâcia imagem S N é igual à distâcia objecto SN. O olho observa um poto imagem em S exactamete da mesma forma que veria um poto objecto real que estivesse colocado esse local. Como ehum dos raios lumiosos atravessa o espelho passado para a sua superfície posterior, diz-se desta imagem que é uma imagem virtual. A imagem S ão pode ser projectada um alvo como o caso de uma imagem real. S N P S Figura - 3 Formação da imagem um espelho plao. No caso de objectos extesos, todos os potos desses objectos (seta a figura -4) formam potos semelhates através de um plao. Cada poto objecto tem o seu poto imagem ao logo da ormal que faz com a superfície do espelho, à mesma distâcia que o objecto estiver do espelho, mas do lado oposto. De otar que a posição da imagem é idepedete da posição do olho do observador. Para - 3 -

31 Óptica Geométrica além disso a dimesão da imagem é igual à dimesão do objecto, dode para espelhos plaos a ampliação é uitária. Figura - 4 Formação da imagem de uma seta por um espelho plao. Por outro lado, uma mão direita aparece o espelho como uma mão esquerda. O processo que trasforma um sistema de coordeadas direito, o espaço objecto, um sistema esquerdo, o espaço imagem, tem o ome de reversão. Quado o espelho ão se situa directamete abaixo do objecto, o espelho plao pode ter se ser virtualmete expadido para determiar a posição da imagem, tal como é observada por um olho posicioado de forma a receber os raios reflectidos origiários do objecto (figura -5). Figura - 5 Formação da imagem um espelho plao (iversão)..7 Reflexão em Superfícies Esféricas Os espelhos esféricos podem ser côcavos ou covexos relativamete a um objecto, depededo se o cetro de curvatura se ecotrar do mesmo lado ou do lado oposto à superfície de reflexão (ver figura - 6). Para aalisar a reflexão dos raios lumiosos uma superfície esférica, devemos estabelecer certas defiições e coveções de siais. O cetro de curvatura C é o cetro da superfície esférica (ver figura - 6) e o poto V é o vértice da calote esférica. A distâcia etre o poto V e o objecto desiga-se distâcia objecto e a distâcia etre o poto V à imagem desiga-se distâcia imagem. O raio de curvatura é a distâcia etre o cetro de curvatura do espelho e um poto da superfície do espelho. A liha que passa por V e C desiga-se eixo pricipal

32 Óptica Geométrica R R C V V C (a) (b) Figura - 6 (a) Espelho cocavo e (b) espelho covexo, ode C, R e V represetam o cetro de curvatura, o raio de curvatura e o vértice do espelho, respectivamete. Existem várias coveções de siais e cada um pode estabelecer uma ova coveção de siais, desde que seja coerete e com alguma lógica. As expressões que permitem calcular e caracterizar completamete o sistema óptico depedem das coveções de siais. Assim, tora-se importate cohecer as coveções de siais mais utilizadas os vários livros de óptica..7. Exemplos de coveções de siais Regra geral, em todas as coveções de siais, é assumido que a luz se propaga da esquerda para a direita. Vamos apresetar a seguir três coveções de siais muito utilizadas em óptica. Luz r u V v C Figura - 7 Trajectória de um raio reflectido um espelho covexo esférico. A vermelho está idicada a imagem formada da seta a egro pelo espelho covexo. ª Coveção. A distâcia objecto (u) é positiva quado o objecto se ecotra à esquerda do vértice, correspodedo a um objecto real. Quado o objecto se ecotra à direita do vértice a distâcia objecto é egativa correspodedo a um objecto virtual.. A distâcia imagem (v) é positiva quado a imagem se ecotra à esquerda do vértice, correspodedo a uma imagem real. Quado a imagem se ecotra à direita do vértice a distâcia imagem é egativa correspodedo a uma imagem virtual

33 Óptica Geométrica 3. O raio de curvatura (r) é positivo quado o cetro de curvatura C se ecotra à direita do vértice, correspodedo a um espelho covexo, e é egativo quado o cetro de curvatura C se ecotra à esquerda do vértice, correspodedo a um espelho côcavo. 4. A altura do objecto e da imagem são positivas quado o objecto e a imagem se ecotram acima do eixo óptico, e são egativas quado o objecto e a imagem se ecotram abaixo do eixo óptico. ª Coveção. Tedo em ateção o setido de propagação da luz, todas as quatidades medidas o setido da propagação da luz são positivas e todas as quatidades medidas o setido cotrário à propagação da luz são egativas.. As distâcias objecto e imagem, distâcias focais e raios de curvatura são medidos a partir da lete, do espelho ou da superfície de trabalho. Todos os siais são de acordo com o poto. 3. Os diagramas são em geral desehados de modo a que a luz icidete proveha da esquerda para a direita. 4. A distâcia vertical a partir do eixo óptico até um poto acima deste é tomada como positiva e para um poto abaixo do eixo é egativa. 5. Os âgulos medidos a direcção cotrária aos poteiros do relógio são positivos. O âgulo etre um raio e o eixo óptico é medido a partir do raio em direcção ao eixo. 3ª Coveção Desehado um sistema de eixos cartesiaos a superfície reflectora ou refractora, tal que a origem do sistema de eixos coicida com o vértice da superfície, V, teremos que:. As distâcias imagem e objecto são positivas para a direita do vértice e egativas para a esquerda de V.. O raio de curvatura é positivo quado o cetro de curvatura C está à direita do vértice e egativo quado C está a direita de V. 3. As dimesões verticais são positivas acima do eixo horizotal (eixo óptico) e egativas abaixo desse eixo. Neste livro vamos utilizar a 3ª coveção de siais expressa a figura abaixo

34 Óptica Geométrica Y > 0 Superfície < 0 > 0 X < 0 Figura - 8 Represetação da coveção siais utilizada..7. Símbolos Os símbolos para as quatidades mais importates são os que se seguem: Ídice de refracção - Distâcia objecto - u Distâcia imagem - v Distâcia focal imagem - f Distâcia focal imagem - f Raio de curvatura - r Altura do objecto - h Altura da imagem - h As letras maiúsculas deotam a distâcia recíproca de uma distâcia, por exemplo: R r, F f, etc. V v e Números em subscrito idetificam uma série de refracções ou reflexões sucessivas, por exemplo ' h deota a altura da imagem depois da seguda reflexão..7.3 Equação dos espelhos A equação que relacioa os potos cojugados objecto e imagem com os parâmetros físicos de um espelho esférico deduz-se com a ajuda da figura -9. As distâcias objecto e imagem medidas a partir do vértice estão represetados a figura -9 pelas letras u e v, respectivamete. Pode estabelecer-se uma relação etre essas duas quatidades com base o raio de curvatura. Para isso vamos recorrer aos âgulos α, θ i, θ r e ϕ represetados a figura

35 Óptica Geométrica A O θ i θ r α ϕ α C P F r v f h V u Figura - 9 Espelho esférico côcavo. Focos cojugados. Como se sabe o seo e o co-seo podem ser desevolvidos uma série de termos: 3 ϕ siϕ ϕ 3! ϕ cosϕ! 5 ϕ + 5! 4 ϕ + 4! L L Cosiderado só o primeiro termo da série para o seo e o co-seo temos: si ϕ ϕ cosϕ Esta aproximação chamada aproximação paraxial, é uma boa aproximação só para âgulos pequeos. Por exemplo para âgulos da ordem dos 0º, a aproximação apreseta um erro da ordem de,5%. Esta aproximação itroduz-os a óptica de º ordem ou óptica Gaussiaa (de Karl Gauss, que em 84 desevolveu os fudametos deste tópico). Da figura -9 podemos relacioar os âgulos α, θ i, θ r e ϕ com base os triâgulos OAC e OAP. Assim temos que θ ϕ α e θ α ' α i i. combiado as duas equações vem que ϕ α + α '. Como para âgulos pequeos h taα α u ; h taα α v e h taϕ ϕ r vem que h r h u + h v - 8 -