CONCEITO DE INTEGRAL: UMA PROPOSTA COMPUTACIONAL PARA SEU ENSINO E APRENDIZAGEM

Transcrição

1 JOSÉ MANUEL RIBEIRO DE MELO CONCEITO DE INTEGRAL: UMA PROPOSTA COMPUTACIONAL PARA SEU ENSINO E APRENDIZAGEM MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA PUC-SP SÃO PAULO

2 JOSÉ MANUEL RIBEIRO DE MELO CONCEITO DE INTEGRAL: UMA PROPOSTA COMPUTACIONAL PARA SEU ENSINO E APRENDIZAGEM Dissertação apresetada à Baca Examiadora da Potifícia Uiversidade Católica de São Paulo, como exigêcia parcial para obteção do título de MESTRE em Educação Matemática, sob a orietação do Professor Doutor Beedito Atoio da Silva. PUC-SP SÃO PAULO

3 BANCA EXAMINADORA

4 Autorizo, exclusivamete para fis acadêmicos e cietíficos, a reprodução total ou parcial desta dissertação por processos fotocopiadores ou eletrôicos. Assiatura: Local e Data:

5 À José e Maria de Lourdes, meus pais. À Alda Christia, miha esposa. À Priscila e Gabriel, meus filhos, pelas logas horas de ausêcia.

6 AGRADECIMENTOS Desejo expressar aqui miha profuda gratidão a todas as pessoas que de alguma forma cotribuíram para que essa dissertação se torasse realidade. Mesmo corredo o risco de haver omitido alguém, optei pela citação de seus omes. À miha esposa, ALDA CHRISTINA, de quem me privei de vários mometos de covívio, pela compreesão e apoio Ao Professor Doutor Beedito Atôio da Silva, Orietador da Dissertação, pelo apoio e icetivo. Também desejo maifestar meu agradecimeto aos Diretores e Professores do Cetro Uiversitário São Camilo pelo icetivo e cessão das istalações e as aulas para a aplicação da seqüêcia de esio. sugestões. À Professora Lígia Tereziha dos Satos pelas suas correções e Aos aluos do segudo semestre do Curso de Matemática pelo empeho e dedicação que tiveram a aplicação da seqüêcia de esio

7 RESUMO O esio e a apredizagem de Cálculo Diferecial e Itegral, cosiderado básico os cursos da área de ciêcias exatas, tem sido, ao logo dos aos, focado uma prática metodológica tradicioal baseada em: defiições, teoremas, propriedades, exemplos e exercícios. A aplicação desta metodologia tem apresetado um ídice muito alto de abadoo e repetêcia. Uma das possibilidades de reverter este quadro é a utilização de ovas tecologias computacioais como ferrametas didáticas o curso Cálculo. Este trabalho tem como objetivo a elaboração e aplicação de uma seqüêcia de esio baseada a fudametação teórica e os pricipais elemetos históricos da Itegral, implatada um ambiete computacioal. Para ateder a este objetivo, optou-se por uma metodologia do tipo qualitativa, baseada a realização de uma seqüêcia de esio, trabalhado com duplas de estudates em um ambiete computacioal. A opção de trabalhar com duplas foi baseada o fato que esta diâmica produz diálogos, troca de hipóteses e coclusões de forma mais espotâea. Nesta metodologia, o computador é utilizado para dar sigificação ao coceito de Itegral. As várias etapas da seqüêcia foram elaboradas de modo que permitiram aos aluos costruírem coceitos, que o fial dela culmiaram a sigificação do coceito de Itegral. Na aplicação das atividades, o computador foi icorporado pelos estudates em estágios diferetes. A sua utilização permitiu o surgimeto do processo de visualização, a simulação, o aprofudameto do pesameto matemático, as cojecturas, as refutações e validações. Os resultados da aplicação da seqüêcia de esio evideciam que um ambiete computacioal o esio e apredizagem passa a ser mais sigificativo, cotextualizado e motivate, para os aluos e professores. Palavras chave: itegral, área, ambiete computacioal, simulação, visualização, sigificação.

8 ABSTRACT The teachig ad learig of Differetial ad Itegral Calculus, take as fudametal i Exact Scieces courses, has bee focused throughout time as a traditioal methodological practice, based o defiitios, theorems, properties, examples ad exercises. This methodology has bee cotributig to a very high umber of givig up ad failure i such courses. Oe of the possibilities of tryig to revert this, is the use of ew computerized techologies as a didactic tool i Calculus courses. This work has aimed the creatio ad use of activities, all fudameted i cogitio theories ad i the mai historical elemets of Itegral, to be developed i a computerized atmosphere. A qualitative type methodology has bee chose ad it was based o a sequece of teachig ad workig i pairs i a computer lab. The choice of workig i pairs is based o the fact that it leads to dialogues, chagig of ideas ad coclusios i a much more spotaeous way. The computer is used to give meaig to the cocept of Itegral. The differet steps were created with the purpose of allowig studets to develop the elemets which would lead to such cocept. Durig the activities studets have used the computer i differet steps.this use permitted the process of visualizig, simulatig ad deepeig i the mathematical thought, some guesses ad its cotradictios or validatios. The results of havig had the sequece of teachig applied show that i a computerized atmosphere the teachig ad learig are much more meaigful, cotextualized ad motivatig for studets as well as for teachers. Key words: Itegral, area, computerized atmosphere, simulatio, visualizig, meaig.

9 SUMÁRIO I - INTRODUÇÃO II - PROBLEMÁTICA III - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA IV - ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL V - OBJETO MATEMÁTICO: A INTEGRAL VI - OBJETIVOS E METODOLOGIA DA PESQUISA VII - SEQÜÊNCIA DIDÁTICA VIII - APLICAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS IX - CONCLUSÕES X - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

10 I - INTRODUÇÃO Os coceitos de Cálculo Diferecial e Itegral, a maioria das vezes, têm sido esiados e apredidos por meio de aulas que valorizam a memorização, a aplicação de técicas, regras e algoritmos. Dessa forma, os professores têm a covicção de que o coteúdo foi esiado e os aluos têm a covicção de que o coteúdo foi apredido. No etato, observa-se, o Esio Superior, que o curso de Cálculo Diferecial e Itegral I, cosiderado básico os cursos da área de ciêcias exatas, apreseta um ídice muito alto de abadoo e repetêcia. Esta questão foi costatada em 1992 por um estudo realizado por Masetto(1992), que apotou que cerca de 80% a 85% dos aluos foram reprovados. Barbosa & Neto(1992), realizaram um estudo o segudo semestre de 1992 em relação ao redimeto dos aluos a mesma disciplia, e costataram que apeas 27,9% dos aluos obtiveram aprovação. Segudo Morellatti(2001), a situação atual ão difere muito do paorama apresetado pelos autores em Em sua pesquisa a Uesp/Presidete Prudete-SP desevolvida de 1993 a 1998, costatou que os percetuais de aluos reprovados oscilaram de 50% a 71%. Palis(1995) apota para a ecessidade de se buscar alterativas de ação pedagógica que, aliadas a outras medidas, possam resolver ou ameizar esse problema que, desde muitos aos, subsiste o Esio Superior. Atualmete, muitas formas de esio e de apredizagem, ão se justificam mais, perde-se tempo demais, esia-se e aprede-se muito pouco; tato professores como aluos têm a clara sesação de que a maioria das aulas covecioais estão ultrapassadas. Mas o quê mudar? Como esiar e apreder uma sociedade a era da iformação? Algumas pesquisas, em Educação Matemática, têm sido desevolvidas a fim de diagosticar tais problemas e propor ovas metodologias de esio e de apredizagem. Em particular, o uso do computador poderá ser uma das soluções para a melhora do quadro descrito. Segudo Lévy (1999), a maioria dos computadores/softwares atuais desempeham um papel de tecologia itelectual: 1

11 reorgaizam a visão de mudo de usuários e modificam reflexos metais. À medida que a iformatização avaça, certas fuções são elimiadas, ovas habilidades aparecem e o processo de esio e de apredizagem se trasforma. O cohecimeto ão é mais fragmetado, mas iterdepedete, iterligado e itersesorial. Uma das possibilidades de tetativa de modificação desse quadro seria a utilização de ovas tecologias computacioais como ferrametas didáticas o Curso de Cálculo Diferecial e Itegral. O emprego do computador talvez liberte o aluo da execução de algoritmos e procedimetos demorados, podedo este ultrapassar o papel passivo de escutar, ler, decorar e de repetir esiametos do professor e torar-se criativo, crítico, pesquisador e atuate, para produzir o cohecimeto. Seu uso pode permitir plaejar atividades as quais os aluos desevolvam habilidades e práticas de visualização e simulação, explorado e cotrolado variáveis, fazedo cojecturas e testado hipóteses. Esta pesquisa tem a pretesão de cotribuir para o desevolvimeto de uma prática pedagógica, utilizado o computador como ferrameta didática o esio e a apredizagem do Cálculo Diferecial e Itegral e refere-se a um coceito particular: a Itegral, cuja abordagem levará em cota sua evolução histórica. A opção por essa prática metodológica deve-se, fudametalmete, às obras de: Piaget, Vigotsky, Lévy e Papert. A escolha pedagógica foi a elaboração de uma seqüêcia de esio composta de quatro atividades para serem trabalhadas com os aluos em dupla, utilizado computador/software como pricipal ferrameta didática e, em algus mometos, papel e lápis e em outros calculadora, visado dar sigificação do coceito de Itegral. Após cada atividade, foi feita uma discussão dos resultados obtidos e a istitucioalização dos coceitos evolvidos. No capítulo II, apreseta-se a problemática e defie-se a questão da pesquisa. No capítulo III, Fudametação Teórica, faz-se uma apresetação dos pricípios gerais que ortearam a pesquisa, referetes à Psicologia Cogitiva de 2

12 Piaget e Vygotsky, à Teoria Costrucioista de Papert e às Tecologias da Iteligêcia de Lévy. No capítulo IV, Elemetos Históricos da Itegral, estuda-se a origem e a evolução da Itegral. Esse estudo cotribuiu para a elaboração das atividades propostas aos aluos, pricipalmete o que se refere às dificuldades apresetadas a evolução histórica desse coceito. No capítulo V, Objeto Matemático, apreseta-se a Itegral como limite de uma soma. No capítulo VI, Objetivos e Metodologia da Pesquisa, são apresetados os objetivos da pesquisa e a metodologia adotada. No capítulo VII, Seqüêcia Didática, são apresetadas as atividades, seguidas de aálises prévias das questões. No capítulo VIII, Aplicação e Aálise dos resultados, apreseta-se a aálise dos resultados de cada atividade. No capítulo IX, Coclusões, apreseta-se as coclusões da pesquisa. 3

13 II - PROBLEMÁTICA O coceito de itegral é apresetado aos aluos o primeiro ao dos cursos ligados, pricipalmete, às Ciêcias Exatas, a disciplia de Cálculo Diferecial Itegral. Villarreal(1999) afirma que o esio de cálculo, muitas vezes, é baseado uma prática metodológica tradicioal embasado o modelo da exposição teórica: defiições, teoremas, propriedades, exemplos e exercícios. Desse modo, o esio do Cálculo acaba sedo algoritmizado, e sua apredizagem se reduz, cosequetemete, à memorização e à aplicação de uma série de técicas, regras e procedimetos, que também termiam por algoritmizá-la. De acordo com esse quadro, o professor passa a valorizar o esio os coteúdos e a privilegiar as técicas de aula expositiva para trasmitir o cohecimeto. Dessa forma, as avaliações são feitas para verificar o grau de assimilação das iformações que os aluos coseguiram reter. Barbosa&Neto (1995) também efatizam que um dos fatores que iterferem o redimeto do aluo é a maeira como se processam os cohecimetos. A forma tradicioal é baseada o modelo que trata o coteúdo como proto e acabado. O aluo é treiado a utilizar fórmulas, regras, aceitado e reproduzido passivamete o que o professor trasmite, ão sedo, portato, motivado a costruir seu cohecimeto. Valoriza-se, com isso, a apredizagem de técicas e a memorização de fórmulas alheias à maeira de como esse tipo de cohecimeto é costruído. Esses fatores, aliados a uma formação deficiete o Esio Médio, determiam altos ídices de repetêcia e evasão. Palis (1995) afirma que o Cálculo, ao ivés de desempehar um papel importate a formação de uma sociedade cietifica e tecológica, como portal de etrada para o Esio Superior a área técico-cietífica, tem-se colocado como uma barreira ao acesso profissioal essa área, e gerado um importate desperdício de capital potecial. Como professor de Cálculo os cursos de Matemática e Ciêcia da Computação, a situação de trasmitir iformações iquestioáveis e acabados, a 4

14 forma de defiições, euciados, teoremas, técicas de cálculos e exercícios, aliada à preocupação com a quatidade e o cumprimeto do plao de esio, ão havedo espaço para que o aluo pese, reflita e compreeda os pricipais coceitos do Cálculo, passaram a me icomodar e motivaram-me a procurar ovos procedimetos que tetassem reverter essa situação. Durate essa busca, participei de algumas palestras sobre a utilização de ovas tecologias o processo de esio e apredizagem. A questão prelimiar era: Quais tecologias poderiam ser utilizadas? Decidi procurar softwares que fossem desevolvidos por pesquisadores matemáticos e que pudessem ser usados o esio. Segudo Palis (1995), uma das possibilidades de ação pedagógica visado à superação de algus impasses o esio e apredizagem do Cálculo é a utilização de ovas tecologias computacioais como ferrametas didáticas os cursos de ível básico uiversitário. Optei por utilizar, o Curso de Cálculo I, o software Maple. Trata-se de um software que tem múltiplas represetações, pricipalmete, a algébrica e a geométrica, que permitem facilmete utilizar cada uma delas o estudo de fuções, limites, derivadas, itegrais, etre outros tópicos de Cálculo. Com a sua utilização, fudametalmete, a costrução de gráficos e a apresetação da defiição de Itegral, otei uma mudaça a postura e o aproveitameto dos aluos, mas ão tiha ehum embasameto teórico que comprovasse a eficiêcia ou ão dessa ferrameta o esio e apredizagem desses coceitos. Para buscar respostas, iiciei o meu curso de Mestrado em Educação Matemática e comecei a procurar bibliografia para desevolver a pesquisa sobre a utilização do computador o esio e apredizagem de Cálculo. O cotato com ovas tecologias o esio e apredizagem, propiciou-me assumir uma ova atitude: embora aida desempehasse o papel de especialista que possui cohecimetos e/ou experiêcias a comuicar, passei também a desempehar o papel de orietador das atividades dos aluos, de cosultor, de facilitador da apredizagem e de alguém que pode colaborar com a apredizagem do aluo. 5

15 O exame de algus livros didáticos aliados à miha experiêcia de professor uiversitário, apotam que o esio atual da Itegral é cetrado pricipalmete a represetação algébrica, dificultado uma abordagem geométrica. Dá-se pouca êfase à costrução do coceito da Itegral, ão se criado situações-problema que permitam traduzir e resolver as questões, assimilado e acomodado o coceito de Itegral. Seu estudo ão se iicia com uma apresetação histórica da gêese e da evolução do coceito. Morais Filho (1993) afirma que a apresetação histórica é favorável para se debater e apresetar como as idéias relacioadas com a Itegral asceram e se desevolveram até chegarem ao coceito atual. Ao efatizar a represetação algébrica em detrimeto da represetação geométrica, cotribui-se para uma apredizagem mecâica sem ehuma relação com a área de uma figura, e por coseguite, tedo pouco ou ehum sigificado para o aluo. Além disso, o esio da Itegral é geralmete reduzido a técicas de itegração, tais como: Método de itegração por substituição e Método de itegração por partes que são regras para calcular uma primitiva que ão está a tabela de itegrais imediatas. Foost (1998) alerta para a ecessidade de oferecer ivestigações abertamete desafiadoras em cotextos sigificativos, realistas, permitido aos apredizes explorar e gerar muitas possibilidades, tato corroboradoras como cotraditórias. As cotradições, em particular, provocam desequilíbrios e precisam ser esclarecidas, exploradas e discutidas. Acredito ser impossível costruir o coceito de Itegral sem relacioá-lo com a idéia de área. Acreditado também que o uso do computador liberta o aluo da execução de algoritmos, técicas e rotias demoradas, oferecedo possibilidades de desevolvimeto de coceitos e de habilidades a solução de problemas através de simulações, apredizagem por descoberta e mudaças de quadros, defio a questão da miha pesquisa: 6

16 Os aluos são capazes de costruir o coceito da Itegral, por meio de atividades que levem em cota sua gêese, utilizado um software matemático? O computador será visto como uma das ferrametas de mediação pedagógica por meio da qual serão desevolvidas as atividades pelo estudate, equato que o professor assumirá o papel de orietador, orgaizador e facilitador de esio e da apredizagem. A miha hipótese é a seguite: com a utilização de uma tecologia computacioal, é possível desevolver uma prática de esio para que os aluos cosigam costruir o coceito de Itegral, reduzido a preocupação com técicas de cálculos. A utilização de uma tal tecologia poderá favorecer abordages mais experimetais, oferecedo recursos visuais que, de outra forma, seriam iacessíveis. Para respoder a miha questão podería elaborar uma seqüêcia de esio totalmete costrutivista a qual os aluos poderiam costruir o coceito de itegral de diversas maeiras, algumas abordadas o seu desevolvimeto histórico, outras totalmete iesperadas. Levado em cota a miha realidade profissioal de atuação em cursos que são listas de disciplias com carga horária a ser cumprida itegralmete e a miha preocupação com que os aluos teham uma sigificação dos coceitos apredidos, decidi costruir uma seqüêcia de esio com atividades defiidas e um objetivo pré defiido que é a sigificação da Itegral. Na estruturação das atividades tive a preocupação de que o desevolvimeto os aluos sejam questioados e motivados a dar uma sigificação ao coceito de Itegral de Riema. As questões foram elaboradas com o objetivo de que os pricipais coceitos das teorias apresetadas o referecial teórico permeiem a aálise das soluções apresetadas pelos aluos. 7

17 III - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Neste capítulo serão apresetados os pricípios gerais que ortearam esta pesquisa, referetes à Psicologia Cogitiva de Piaget e Vygotsky e à Teoria Costrucioista de Papert. A partir da primeira, que se refere à aquisição do cohecimeto e ao processo de formação de coceitos, procura-se eteder as pricipais questões ligadas à apredizagem. Na seguda, procura-se mostrar os fudametos teóricos do Costrucioismo, ressaltado sua iterdepedêcia com o desevolvimeto da tecologia e, pricipalmete, com o computador. Na terceira, procura-se mostrar que as Tecologias da Iteligêcia permitem o surgimeto de ovas maeiras de pesar e de apreder um mudo, cada vez mais evolvido com a iformática. Escrita, leitura, visão, audição, criação e apredizagem estão cada vez mais ligados ao computador, emergido um ovo cohecimeto: o cohecimeto por simulação. 1. Pressupostos básicos sobre o Costrutivismo. A pricipal idéia que separa o Costrutivismo das demais teorias de cogição foi estudada e desevolvida por Piaget(1986). Segudo ele, o cohecimeto ão pode ser cocebido como algo predetermiado pelas estruturas iteras do sujeito em pelas características do objeto. Segudo Glasersfeld(1998), o que se chama de cohecimeto ão tem, e ão pode ter, o propósito de produzir represetações de uma realidade idepedete, mas ates tem uma fução adaptativa. Todo o cohecimeto é uma costrução, uma iteração, cotedo um aspecto de elaboração ovo. Piaget(1986) em seus estudos sobre a psicogêese do cohecimeto afirma que este ão procede em do sujeito cosciete de si mesmo, em de objetos já costituídos do poto de vista do sujeito. Segudo ele, o cohecimeto resultaria de iterações etre sujeito/objeto, que se iicia a partir do sujeito. 8

18 O Costrutivismo visa estudar e eteder como surgem e se desevolvem fuções cogitivas o idivíduo. O cohecimeto ão existe como um simples registro de observações e iformações, sem ehuma estrutura devida às atividades do próprio sujeito. Segudo este autor, o idivíduo costrói a própria versão da realidade, pelas suas experiêcias. Ele asce com algumas estruturas cogitivas básicas que, em cotato com o objeto, vão se desevolvedo. Elas ão existem iatas o idivíduo, formam-se mediate uma orgaização de ações sucessivas exercidas sobre os objetos. Quato maior for essa iteração, mais as estruturas se expadem. O autor propõe aida que fatores como o meio físico e o social, além da maturação do idivíduo, participam da costrução do cohecimeto. Esses fatores estão ligados ao processo de equilibração. A equilibração foi descrita por ele como um processo diâmico de comportameto auto-regulado que põe em equilíbrio dois comportametos polares itrísecos, a assimilação e acomodação. A costrução do cohecimeto ocorre quado acotecem ações físicas ou metais sobre objetos que, provocado o desequilíbrio, resultam em assimilação ou acomodação dessas ações e, assim, em costrução de esquemas. Esquemas são estruturas que se modificam com o desevolvimeto metal e que se toram cada vez mais refiadas, à medida que o idivíduo se tora mais apto a geeralizar os estímulos. Assimilação é um processo cogitivo de classificar ovos evetos em esquemas existetes. É a icorporação de elemetos do meio extero a um esquema do sujeito. Nessa fase, o idivíduo cogitivamete capta o ambiete e o orgaiza, ampliado os esquemas que já possui. Acomodação é a modificação de um esquema em fução das particularidades do objeto a ser assimilado. Ela pode ocorrer a partir de duas formas: criação de um ovo esquema o qual se possa ecaixar o ovo estímulo ou modificação ou ampliação de um já existete, de modo que o estímulo possa ser icluído ele. 9

19 Portato, a acomodação ão é determiada pelo objeto e sim pela atividade do sujeito sobre ele. Os processos de assimilação e acomodação são complemetares e estão presetes a vida toda, a busca da adaptação itelectual do idivíduo. A equilibração é um processo da passagem de uma situação de meor equilíbrio para uma de maior equilíbrio. Segudo Piaget (1986), a idéia cetral é que o cohecimeto ão procede somete da experiêcia com objetos em de uma programação iata desempehada o sujeito, mas de costruções sucessivas. O autor descreve três tipos de equilibração: Sujeito/objeto: trata-se das relações etre o idivíduo cogitivo e o seu ambiete. Parte/Parte: é o processo de equilibração etre as partes costituites da estrutura total, isto é, os diversos esquemas devem estar em equilíbrio etre si. Parte/Todo: é a equilibração etre as partes e o todo. Segudo Foost (1998), a equilibração ão é um processo seqüecial de assimilação, depois coflito, depois acomodação. Ela é uma daça diâmica de equilíbrios progressivos, de adaptação e (re)orgaização, de crescimeto e mudaça. Diate de um desafio, de um estímulo, de uma lacua o cohecimeto, o idivíduo se desequilibra itelectualmete, fica curioso, istigado, motivado e, através de assimilações e acomodações, procura restabelecer o equilíbrio que é sempre diâmico, pois é alcaçado por meio de ações físicas e/ou metais. Sedo assim, o pesameto vai se torado cada vez mais complexo e abragete, iteragido com objetos do cohecimeto cada vez mais abstratos. De um modo geral, o cohecimeto, segudo os costrutivistas, é baseado em dois potos pricipais: é um processo evolutivo que passa por diversos íveis de complexidade; as diferetes orgaizações do pesameto se fazem a iter-relação do sujeito com o meio ambiete e com ele próprio; é a busca de sigificado para cada ação itelectual referete a uma situação-problema, atural ou provocada. 10

20 2. Pressupostos Básicos da Teoria Sócio Cultural de Vygotsky O processo de formação de coceitos, para Piaget (1986), é idividual, isolado e itero. Já para Vygotsky (1998), é fortemete iflueciado pela mediação da sociedade. O cotexto social vivido por ele iflueciou decisivamete os seus estudos. Participado da Revolução Comuista a Rússia, o foco de seus estudos foi o desevolvimeto do idivíduo e da espécie humaa, como resultates de um processo sócio-histórico. Segudo Foost (1998), foi à dialética etre o idivíduo e a sociedade e, assim, o efeito da iteração social, liguagem e cultura sobre a apredizagem que se torou o foco do trabalho de Vygotsky, que, como Piaget, acreditava que a apredizagem era desevolvimetal, mas ele difereciava etre o que se deomiava coceitos espotâeos e cietíficos. A origem das mudaças que ocorreram o homem, ao logo do seu desevolvimeto, está, segudo os pricípios de Vygotsky, a Sociedade, a Cultura e a História. Vygotsky (1998) classificou os coceitos em espotâeos e ãoespotâeos. Os espotâeos são desevolvidos pelo idivíduo a partir de sua realidade, são de origem das experiêcias do cotidiao e se desevolvem com esforços metais próprios. Os ão-espotâeos são os que requerem uma apredizagem sistematizada. Os coceitos cietíficos fazem parte deste grupo e são ormalmete costruídos a escola. O mesmo autor defedia que os coceitos cietíficos origiam-se a atividade estruturada da istrução de sala de aula e impõem ao idivíduo abstrações mais formais e coceitos logicamete mais defiidos do que os costruídos espotaeamete. Para estudar a capacidade de apredizagem, é importate defiir o ível de desevolvimeto em que um idivíduo se ecotra. Vygotsky (1998) cosidera que existem dois íveis: real, que evidecia a fução psicológica já alcaçada pelo idivíduo; 11

21 potecial, ou aquele que o idivíduo pode realizar, idepedetemete de sua raça e cultura. Vygotsky (1998) alerta que, em geral, os testes a que os idivíduos são submetidos levam em cota apeas o produto, ou seja, os que eles coseguem respoder e ão como coseguiram chegar às respostas. Perde-se, assim, a oportuidade de observar que muitas questões ão respodidas, ou erradas, se realizadas com a mediação de outro idivíduo, teriam tido respostas corretas. Mediate essa observação, o autor apota a existêcia de um ível de desevolvimeto - o proximal - que, tato quato o ível real, deve ser cosiderado a pratica pedagógica. Existe, porém, uma difereça etre o ível de desevolvimeto real e o de desevolvimeto potecial, que ele deomiou de zoa de desevolvimeto proximal ( z.d.p.) e defiiu como sedo: a distâcia etre o ível de desevolvimeto real, que se costuma determiar pela solução idepedete de problemas, e o ível de desevolvimeto potecial, determiado pela solução de problemas sob a orietação de um adulto ou em colaboração com compaheiros mais capazes. (Vygotsky,1998, p.97) Segudo Vygotsky (1998), a imitação e o apredizado desempeham um papel importate o desevolvimeto itelectual dos idivíduos, trazedo à toa as qualidades especificamete da mete que os levam a ovos íveis de desevolvimeto. Uma boa apredizagem é aquela que cosolida e, sobretudo, cria zoas de desevolvimeto proximal sucessivas e quato maior for a z.d.p. do idivíduo, melhor será o aproveitameto escolar. A costrução coletiva do cohecimeto é a idéia cetral do sociocostrutivismo de Vygotsky. Nele, a mediação, processo de iterveção do mediador, é um fator fudametal, pois a relação etre o sujeito e o objeto deixa de ser direta. Primeiro, deve haver a experiêcia do cohecimeto coletivo para que possa existir o cohecimeto idividual. 12

22 Para Vygotsky (1998), o que o idivíduo é capaz de fazer hoje em cooperação, será capaz de fazer soziho amahã. Portato, o úico tipo positivo de apredizado é aquele que camiha à frete do desevolvimeto, servido-lhe de guia; deve voltar-se ão tato para as fuções já maduras, mas pricipalmete para as fuções em amadurecimeto. Isso sigifica que a apredizagem impulsioa o desevolvimeto, e o idivíduo mediador, age a zoa de desevolvimeto proximal do idivíduo. 3. Aplicação do Costrutivismo à Educação Foost (1998) levata algus ites da aplicação do costrutivismo à educação, alertado que o mesmo é uma teoria sobre a apredizagem e ão uma descrição de esio. Aida alerta que ehum esio estilo livro de receitas ou um cojuto imutável de técicas istrucioais pode ser abstraído da teoria e proposto como abordagem costrutivista do esio. No etato, pode ser útil ter em mete algus pricípios de apredizagem derivados do costrutivismo, à medida que se repesam e reformulam o esio e a apredizagem: O processo de costituição de cohecimeto passa a ter uma importâcia vital e deve ser cosiderado tão importate quato o produto. Apreder ão é resultado do desevolvimeto; apreder é desevolvimeto. A apredizagem requer iveção e auto orgaização por parte do aprediz. Sedo assim, os mediadores precisam permitir que os aluos coloquem pergutas, gerem hipóteses e modelos como possibilidades e testem sua validade. O desequilíbrio facilita a apredizagem. Os erros precisam ser percebidos como resultado das cocepções do aprediz e, portato, ão devem ser miimizados ou evitados. É preciso oferecer ivestigações abertamete desafiadoras e motivadoras em cotextos sigificativos, permitido aos apredizes explorar e gerar as possibilidades, tato corroboradoras como cotraditórias. As cotraditórias precisam ser esclarecidas, exploradas e discutidas. 13

23 A abstração reflexioate é a força motora da apredizagem. Os seres humaos buscam orgaizar e geeralizar experiêcias por meio de represetações. O diálogo detro de uma comuidade egedra mais pesameto. O ambiete escolar precisa ser visto como uma comuidade discursiva, egajada em atividade, reflexão e coversação. A apredizagem avaça em direção ao desevolvimeto de estruturas. À medida que os apredizes se empeham para produzir sigificados, mudaças estruturais progressivas dos potos de vista são costruídas. O papel do professor muda radicalmete. Ele ão é mais o cetro do processo, que esia para que os aluos passivamete apredam. Ele passará a ser o mediador, facilitador, supervisor e cosultor o processo esio e apredizagem. 4. Costrucioismo Seymour Papert (1985) adaptou os pricípios do costrutivismo cogitivo de Piaget e da teoria histórico cultural de Vygotsky, costruido um cojuto de premissas a serem utilizadas quado aplicadas ao esio e apredizagem, utilizado o computador como ferrameta. Desevolveu trabalhos baseados em visualização, formalismo matemático e criação de modelos, como um modo de pesar e de apreder o que é cohecimeto, por meio dos estágios do desevolvimeto cogitivo. Segudo Papert (1985), o Costrucioismo é uma sítese da teoria de Piaget e das oportuidades oferecidas pelo computador para o desevolvimeto de uma educação cotextualizada. O termo educação cotextualizada sigifica a costrução de cohecimeto baseada a realização de uma ação de costrução de um produto de iteresse pessoal de quem produz. O costrucioismo ão represeta procedimetos apeas para a utilização dos computadores, mas tem como objetivo a formulação de uma teoria de esio e apredizagem. 14

24 Para o autor : A preseça do computador os permitirá mudar o ambiete de apredizagem de tal forma que todo o programa que as escolas tetam esiar com grades dificuldades e limitado sucesso, será apredido como a criaça aprede a falar, meos dolorosamete, com êxito e sem istrução orgaizada. Isso implica, obviamete, que escolas como as que cohecemos hoje ão terão lugar o futuro. (Papert, 1985, p.23) O costrucioismo, tato quato o costrutivismo, tem como pressuposto básico que o idivíduo aprede muitas coisas sem passar por um esio formalizado. A apredizagem da fala e a locomoção ão são frutos de ações exteras, mas da busca, da exploração, que o idivíduo desevolve sobre o seu meio. Etão quato mais iformações e aspectos culturais dispuser o ambiete, mais fácil será o processo de apredizagem. No costrutivismo, aquilo que é apredido pelo próprio esforço do idivíduo tem muito mais sigificado para ele e se adapta melhor às estruturas metais. Para o autor, a meta do costrucioismo é esiar de forma a produzir a maior apredizagem, partido-se de coceitos básicos esiados. Ou seja, ão se pode atigir isso apeas reduzido a quatidade de esio, equato se deixa todo o resto ialterado. Essa situação pode ser ilustrada por meio de um provérbio popular: se um homem tem fome, você pode dar-lhe um peixe, mas é melhor dar-lhe uma vara e esiá-lo a pescar. O Costrucioismo parte da suposição de que o idivíduo fará melhor descobrido (pescado) por si mesmo o cohecimeto de que precisa. A educação formal pode ajudar, pricipalmete, certificado-se de que elas sejam apoiadas moral, psicológica, material e itelectualmete em esforços. Além do cohecimeto de pescaria, é também ecessário ter boas varas (computadores), sabedo-se a localização de águas férteis (apredizagem fértil) e o agete mediador deste processo(professor), propodo desafios e ajudado a resolvê-los. 15

25 Um dos potos importates do costrucioismo é que ele vai além do aspecto cogitivo, icluido também os aspectos sociais e afetivos. Assim, a sua costituição, estão questões de tecologia, cultura, persoalidade, motivação, etc. que ormalmete ão são cotemplados o esio formal. O método que o costrucioismo propõe para a apredizagem com o computador é o de propiciar ao aprediz os passos de um cietista o processo de descoberta. Segudo Papert (1985): A idéia é dar à criaça um modo de se perceber como alguém que faz ciêcia exatamete quado ela está fazedo alguma coisa agradável com o seu corpo.(p.97) O costrucioismo é baseado: objeto-para-se-pesar-com (object-tothik-with). Partido desse pressuposto, o software costrucioista deve ser caracterizado por uma sitaxe muito próxima da liguagem atural, permitido que o idivíduo desevolva uma atividade iterativa com o computador, utilizado uma forma de comuicação que se aproxime das estruturas de seu pesameto. Utilizado um software dessa atureza, o idivíduo assume uma postura ativa do seu apredizado e do computador, explorado e desevolvedo coceitos o seu tempo de apredizagem. No costrucioismo destacam-se os seguites pricípios de apredizagem: O cohecimeto se costrói permaetemete, isto é, ele ão é trasmitido. Articulação do Pesameto. Apredizagem de um Coceito. Apredizagem iflueciada pelo ambiete. Ambietes Costrucioistas. 16

26 4.1 O cohecimeto se costrói permaetemete, isto é, ele ão é trasmitido. O costrucioismo pode ser etedido como uma teoria que estuda o desevolvimeto e o uso do computador, a criação de ambietes para que haja uma apredizagem sigificativa. Mediate a realização de apredizages sigificativas, o idivíduo costrói, modifica, diversifica e coordea os seus esquemas metais, estabelecedo, desse modo, redes de sigificados que eriquecem o seu cohecimeto e potecializam o seu crescimeto pessoal. Segudo Papert (1994) : As metáforas de trasmitir e costruir são os temas de um movimeto educacioal maior e mais variado detro do qual situo o Costrucioismo e ressalto isso pelo jogo de palavras em seu ome. Para muitos educadores e para todos os psicólogos cogitivos, miha palavra evocará o termo costrutivismo, cujo uso cotemporâeo em geral remete à doutria de Piaget de que o cohecimeto ão pode ser trasmitido ou trasferido proto para uma pessoa... O termo costrucioismo também possui a cootação de cojuto de costrução, iiciado com cojutos o setido literal, como kits de motagem (Lego), e ampliado-se para icluir as liguages de programação cosideradas como cojutos a partir dos quais podem ser feitos, até cozihas como cojutos com os quais ão apeas tortas, mas receitas e formas de Matemática-emuso são costruídas. (p.127) Na costrução do cohecimeto, o idivíduo ão passa diretamete de um estágio para outro mais avaçado. A apredizagem se processa por meio da costrução de várias teorias itermediárias. Esse processo se dá a partir de tetativas e erros, o qual o idivíduo parte de cohecimetos já acomodados e segue costruido suas próprias teorias. Nesse efoque, os erros são tão importates quato os acertos, pois eles fazem parte do processo de apredizagem. Equato os acertos represetam 17

27 situações de equilíbrio, são os erros que desequilibram e agem como produtores do cohecimeto. Os erros ão devem ser valorizados ou desvalorizados. Eles cotribuem para o desevolvimeto do cohecimeto. 4.2 Articulação do Pesameto O papel pricipal do computador o costrucioismo é a possibilidade de se fazer simulações, que serão tratadas o item 6.6. Quado o idivíduo utiliza o computador a resolução de problemas, está utilizado coceitos, estratégias e um estilo próprio de resolução. Essa utilização permite que ele processe a iformação e a trasforme em cohecimeto. Valete (1999) estabelece que a utilização do computador a apredizagem descreve o seguite ciclo: descrição-execução-reflexãodepuração-descrição. Descrição: sigifica utilizar toda a estrutura do cohecimeto (coceitos evolvidos o problema, estratégias de aplicação dos coceitos, coceitos do computador, coceitos do software, etc.) para represetar e explicitar os passos da resolução do problema o computador. Execução: é o processo de solução do problema por meio do computador. A execução forece um feedback fiel e imediato, desprovido de qualquer aimosidade ou afetividade que possa haver etre o idivíduo e a máquia. Reflexão: A reflexão pode produzir diversos íveis de abstração, os quais, de acordo com Piaget (1986), provocarão alterações a estrutura metal do idivíduo. A abstração mais simples é a empírica, que permite ao idivíduo extrair iformações do objeto, tais como cor, forma, etc. A abstração por meio da reflexão possibilita a projeção daquilo que é extraído de um ível mais baixo para um ível cogitivo mais elevado. No caso da abstração por meio da reflexão, o idivíduo está pesado sobre suas próprias idéias. 18

28 Depuração: Quado o resultado do problema é diferete de sua iteção origial, o idivíduo pode repesar, à medida que procura os possíveis erros, pode desevolver ovas idéias, buscar ovos coceitos e, com isso, costruir ovos cohecimetos. Segudo o mesmo autor, o ciclo ão acotece simplesmete colocado o idivíduo diate do computador. A iteração computador-idivíduo precisa ser mediada por um profissioal - agete de apredizagem - que teha cohecimeto do sigificado do processo de apreder por itermédio da costrução do cohecimeto. Além disso, o idivíduo, está iserido um ambiete social e cultural, podedo usar os elemetos do ambiete como fote de idéias e de iformações ou captar problemas que possam ser resolvidos por itermédio do computador. A iteração do idivíduo com o computador e os diversos elemetos que estão presetes a resolução de um problema por itermédio de um computador, são mostrados a figura (Valete,1999, p.96): 19

29 4.3 Apredizagem de um Coceito. Sob o poto de vista de Piaget (1986), as estruturas são sistemas metais cogitivos com leis de trasformação que se aplicam ao sistema como um todo, ão apeas a seus elemetos. Cada uma delas é auto-reguladora, isto é, cada estrutura busca ieretemete a automauteção, orgaização e fechameto. Numa aálise estrutural do pesameto, ocorrem os seguites padrões de orgaização: ordeação, classificação, estabelecimeto de correspodêcias e relações, coordeação de cotradições, trasformações por iterações, reversibilidade e compesação. O desevolvimeto das estruturas caracteriza o processo de crescimeto. Pela equilibração, a estrutura se expade para icluir aquilo que se ecotra fora do alcace da compreesão, mas também busca orgaização e fechameto, matedo-se sempre em costrução. Utilizado o coceito de estrutura cogitiva, Papert (1994) defiiu o pricípio da cotiuidade que diz que os ovos coceitos devem cotiuar o cohecimeto bem estabelecido que o idivíduo já tem. O pricípio da cotiuidade mostra que a competêcia cogitiva costitui a base para que o idivíduo se lace em ovos cohecimetos. Na utilização do computador, o idivíduo pode combiar vários comados básicos em cohecimetos mais complexos possibilitado, por meio da descriçãoexecução-reflexão-depuração-descrição, a sua compreesão. 4.4 A apredizagem iflueciada pelo ambiete O costrucioismo também está baseado a ifluêcia dos aspectos culturais e sociais do desevolvimeto cogitivo. Papert (1994) se preocupou com as estruturas cogitivas que se desevolvem em situações socioculturais e sugeriu que a seqüêcia de estágios, proposta por Piaget (1986), poderia ser acelerada, depededo da cultura e das codições do ambiete. 20

30 No costrucioismo, questioa-se o esio-apredizagem atual que oferece pouca oportuidade para que se possa pesar e falar sobre hipóteses e procedimetos utilizados a resolução de problemas. O autor coloca que essa situação é um dos fatores que retarda o desevolvimeto do raciocíio os idivíduos. A utilização do computador como ferrameta de simulação, pode ajudar a compreeder melhor os coceitos e fortalecer o pesameto formal ( estágio de desevolvimeto do ser humao, segudo Piaget (1986), que utiliza: hipóteses, idéias abstratas e liguagem). Na apredizagem, segudo os costrucioistas, existem dois estilos de pesameto: idivíduos plaejadores - são aqueles que, ates da costrução, imagiam e descrevem o que vão fazer os míimos detalhes. O tipo de pesameto dos plaejadores é aalítico, abstrato e geérico, levado à otimização dos processos; idivíduos escultores - são aqueles que vão maipulado o objeto e defiido o que pretedem costruir. O tipo de pesameto dos escultores é arrativo, cocreto e específico, levado à descoberta de ovas propriedades do objeto. Papert (1994) ressalta a difereça etre plaejadores e escultores. Os plaejadores tedem a ter uma visão sistêmica do objeto e os escultores se imagiam como parte do objeto. Nos ambietes costrucioistas, são cosiderados os dois estilos de pesameto, favorecedo as explorações dos plaejadores e dos escultores. 4.5 Ambietes Costrucioistas Papert (1994) defiiu as seguites dimesões dos ambietes computacioais: Dimesão pragmática: maifestada as atividades em que os idivíduos têm a sesação de estar apreededo um cohecimeto de uso imediato e ão algo que só será utilizado o futuro. Nesta 21

31 dimesão, o idivíduo desevolve projetos sigificativos, buscado o seu crescimeto pessoal. Essa busca traz uma sesação de praticidade e de poder, icetivado-o a busca do cohecimeto. O autor também defiiu esta dimesão como pricípio do poder. Dimesão sitôica: maifestada quado o computador é usado para obter uma apredizagem que está relacioada com o seso que o idivíduo tem das coisas, em sitoia com aquilo que acredita ser importate. Nesta dimesão, a apredizagem está cotextualizada e itegrada ao cotidiao do idivíduo. No costrucioismo, quato mais escolha um idivíduo tiver para costruir ou criar, maior será o seu egajameto pessoal a realização da tarefa. Dimesão sitática: maifestada a maipulação dos materiais, ão basta que estejam à disposição do idivíduo e que ele se idetifique com eles. É ecessário que os materiais sejam maipulados de acordo com as capacidades cogitivas dos idivíduos. Dimesão semâtica: maifestada a maipulação e costrução. Para que haja a costrução do cohecimeto é ecessário que os objetos usados teham sigificados múltiplos. As dimesões sitática e semâtica se completam. Diferetes objetos possuem diferetes sigificados, que represetam as possibilidades de exploração pelo idivíduo, determiada pelas ferrametas dispoíveis. Dimesão social: maifestada a itegração do computador às relações do idivíduo com a cultura do ambiete. Papert (1985) como Vygotsky, defede que o meio ifluecia a apredizagem, mas que simplesmete a preseça do computador ão é capaz de promover isso. Alerta que para que haja uma apredizagem com maior possibilidade de sucesso, o professor tem que ser um atropologista, descobrido os objetos valorizados culturalmete que sejam capazes de 22

32 promover o desevolvimeto cogitivo. Destaca que os computadores e a tecologia são objetos valorizados socialmete, podedo ser aproveitados o esio e a apredizagem. A questão crucial é como aproveitá-los. O costrucioismo apreseta a liguagem e a discussão coletiva como fote de desevolvimeto cogitivo do idivíduo. 5. Aplicação do Costrucioismo à Educação Os pricípios do costrucioismo são similares ao costrutivismo de Piaget e da teoria histórico cultural de Vygotsky. No costrucioismo, o professor costrói micromudos. Papert (1994) defiiu micromudo como sedo um ambiete de apredizado iterativo baseado o computador em que os prérequisitos são embutidos o sistema e os idivíduos podem se torar arquitetos costrutores e ativos de seu próprio apredizado. O autor defiiu algus pricípios dos micro-mudos: Ates de explorar um ovo coceito é preciso que o idivíduo já teha alguma cocepção do mesmo maipulado-o e acessado-o. Os micromudos têm que estar ao alcace de serem maipulados pelo idivíduo. Oferecer possibilidades de atividades que torem relevates os elemetos dos micro-mudos. Eles têm que possibilitar a realização de apredizagem relevate para o idivíduo. Dar codições para que os coceitos possam ser defiidos a partir da experiêcia quotidiaa. Os micro-mudos podem propiciar a costrução de cocepções erradas ou trasitórias. Nehum idivíduo aprede partido diretamete de uma cocepção correta. A exploração de cocepções é uma forma de apreder a pesar. O professor, o costrucioismo, costrói micro-mudos, ou ambietes propícios para a apredizagem em que: Os ovos coceitos sejam apreedidos através da costrução de cohecimetos sigificativos e de utilidade imediata para o idivíduo. 23

33 Os idivíduos possam explicitar idéias, executá-las e refletir sobre as estratégias adotadas. Os materiais usados sejam familiares e atraetes para o idivíduo e represetem o objeto estudado. O idivíduo possa seguir o seu ritmo a costrução do cohecimeto. O resultado da costrução do cohecimeto seja compartilhado, recohecido e icetivado pela comuidade. O costrucioismo aplicado à educação, segudo Papert (1994), é muito semelhate a uma escola de samba (Tecological Samba Schools), em que as pessoas se reúem espotaeamete em toro de um objetivo comum (desfile), e o tema desevolvido está relacioado com folclore, história ou fatos marcates para os idivíduos participates. Os elemetos da comuidade se reúem para trocarem experiêcias de acordo com as ecessidades para o desevolvimeto do tema e a cocretização do desfile. 6. Tecologias Itelectuais O surgimeto de ovas tecologias itelectuais favorece o aparecimeto de ovas formas de cohecimeto, expadido formas que estiveram esquecidas, ou efraquecedo outras. Segudo Lévy (1999), ovas maeiras de pesar e de coviver estão sedo elaboradas o mudo das telecomuicações. As relações etre os homes, o trabalho e a iteligêcia depedem de uma mudaça cotíua de dispositivos iformacioais. De acordo com Valete (1999), mudaça é a palavra de ordem da sociedade atual. Os meios de produção e de serviço passam por profudas mudaças, que implicam alterações de todos os segmetos da ossa sociedade, afetado a maeira como se atua e se pesa. Demarcam a passagem do cohecimeto para a sociedade. 24

34 O cohecimeto e seus processos de aquisição assumirão um papel de destaque. A valorização do cohecimeto demada um ovo perfil dos profissioais em geral e requer o repesar dos processos educacioais. Lévy (1999) apreseta a oralidade primária, a escrita e a iformática como tecologias itelectuais que codicioam a forma de pesameto de uma sociedade Oralidade Primária Na oralidade primária, utiliza-se a palavra ates que a escrita teha sido adotada. Nela, a palavra tem como fução básica a costrução da memória social, e ão apeas a comuicação cotidiaa das pessoas. Numa sociedade oral primária, a cultura está fudada as lembraças dos idivíduos. A iteligêcia, essas sociedades, está idetificada com a memória, pricipalmete, auditiva. Segudo o autor, quado uma ova iformação ou um ovo fato surge diate de ós, devemos, para gravá-lo, costruir uma represetação para ele. No mometo em que a criamos, essa represetação ecotra-se em estado de ativação o sistema cogitivo, ou seja, está em ossa zoa de ateção. Não se tem, portato, ehuma dificuldade em ecotrá-la istataeamete. Já a memória de logo prazo têm-se dificuldades de ecotrar um fato, uma proposição ou uma imagem que se ache muito loge de ossa zoa de ateção, uma iformação que há muito tempo ão esteja em estado ativo. Na procura de lembraças ou iformações, a ativação se propaga dos fatos atuais até os fatos que desejamos ecotrar. Para isso, uma represetação do fato que se procura deve ter sido coservada. Deve existir um camiho de associações possíveis que leve a essa represetação. A memória humaa está loge de ter a performace de um equipameto de armazeameto e recuperação de iformações, é extremamete sesível aos processos elaborativos e à itesidade dos processametos que determiam a codificação das represetações. 25

35 Segudo o autor, as represetações que têm mais chace de sobreviver as ecologias cogitivas, terão que ateder aos seguites critérios: 1. As represetações serão ricamete itercoectadas, o que exclui listas e todos os modos de apresetação em que a iformação se ecotra disposta de forma modular, muito recortada. 2. As coexões etre represetações evolverão relações de causa e efeito. 3. As proposições farão referêcia a domíios do cohecimeto cocretos familiares para os membros das sociedades em questão, de forma que poderão ligá-los a esquemas preestabelecidos. 4. Fialmete, essas represetações deverão mater laços estreitos com problemas de vida, evolvedo diretamete o sujeito e fortemete carregadas de emoção. Nas sociedades orais primárias, qualquer proposição que ão seja periodicamete retomada e repetida, estará codeada a desaparecer. Não existido ehum processo de armazeameto das represetações verbais para reutilização. As arrativas e os ritos fazem parte das formas de trasmissão da iformação, como gêeros de orgaização das represetações que possibilitam essa trasmissão de forma duradoura. A oralidade primária persiste as sociedades moderas. Grade parte das iformações em uso atualmete os foi trasmitido oralmete, e pricipalmete, a forma de arrativa. Tradições e cohecimetos empíricos aida são trasmitidos oralmete A Escrita O surgimeto da escrita gera uma ova situação de comuicação. Pela primeira vez, os discursos podem ser separados das circustâcias em que foram produzidos. A comuicação escrita elimia a mediação humaa o cotexto que adaptava ou traduzia as mesages vidas de outros lugares. 26

36 Segudo o autor, as sociedades orais primárias, o cotador adaptava a arrativa às circustâcias de sua euciação, bem como aos iteresses e cohecimetos de audiêcia. A trasmissão oral era sempre, simultaeamete, uma tradução e uma adaptação. A mesagem escrita por estar restrita a uma fidelidade, a uma rigidez absoluta, pode ser obscura para o leitor. Na escrita, a distâcia etre o autor e o leitor pode ser muito grade, o tempo e o espaço, exigido-se uma uiversalidade e objetividade por parte do autor. A cada geração, a distâcia etre o autor e o leitor cresce cotiuamete, sedo ecessário reduzi-la, dimiuido a problemática da semâtica através de um processo de atribuição de setido, a hermeêutica, passa a ter um papel cetral a comuicação. O autor efatiza que a persistêcia de textos por várias gerações de leitores já costitui um ageciameto produtivo extraordiário. Uma rede de cometários, de debates e de otas ramifica-se a partir dos textos origiais. A leitura leva a coflitos, a iterpretação produz difereças que a escrita desejava aular. A separação do autor e do leitor e a impossibilidade de iteragir o cotexto, para costruir um hipertexto comum, são os pricipais obstáculos da comuicação escrita. A escrita permitiu o aparecimeto das teorias. A escrita também suscitou o aparecimeto de saberes cujos autores geralmete pretederam que fossem idepedetes das situações particulares em que foram elaborados e utilizados. Os textos começaram a ser impressos a partir do século XV. A impressão trasformou profudamete o modo de trasmissão dos textos, permitido que as diferetes variates de um texto fossem facilmete comparadas. O matemático e filósofo fracês Pierre de la Ramée apresetou a impressão como um ovo gêero de saber: o método de exposição aalítica. A matéria a ser esiada passa a ser espacializada, projetada sobre uma tabela, uma árvore ou uma rede, cortada em frações e depois distribuída pelo livro em fução de um plao geral. Essas apresetações apóiam-se sobre iterfaces tais como: pagiação regular, sumário, cabeçalhos, ídice, tabelas, esquemas e tabelas. 27

37 A memória humaa, característica das sociedades orais, é trasformada por meio da escrita em memória objetiva. A partir de etão, a memória é tomada como um todo. O saber está lá, dispoível, estocado, cosultável, comparável. Esse tipo de memória objetiva, morta e impessoal favorece uma preocupação que, decerto, ão é totalmete ova, mas que a partir de agora irá tomar os especialistas do saber com uma acuidade peculiar: a de uma verdade idepedete dos sujeitos que a comuicam. A memória objetiva separa o cohecimeto da idetidade pessoal ou coletiva. O saber deixa de ser aquilo que se utiliza o cotidiao, torado-se um objeto passível de aálise e exame, surgido, etão, a preocupação com a verdade. O surgimeto da escrita, equato tecologia itelectual, codicioa a existêcia dessas formas de pesameto, permitido o surgimeto de um ovo processo cogitivo. Segudo o autor, passamos da discussão verbal à represetação visual; mais do que uca em uso atualmete em artigos cietíficos e a prática cotidiaa dos laboratórios, graças a ovos istrumetos de visualização: os computadores. 6.3 Iformática Ao cotrário da escrita, a iformática ão reduplica o cohecimeto; ela serve para a sua mobilização permaete. À primeira vista, poderia-se crer que a iformática daria cotiuidade ao trabalho de acumulação e coservação realizado pela escrita. Isso seria descohecer a pricipal fialidade da iformática, que é a de colocar à disposição de especialistas uma iformação operacioal, esses desejado obter a iformação mais cofiável, o mais rápido possível, para tomar a melhor decisão. A iformação operacioal é essecialmete perecível e trasitória. O cohecimeto obtido com auxílio da iformática provavelmete uca será relido e reiterpretado como foram os textos. Nesse setido, é ates espelho do que memória; espelho o mais fiel do estado atual de uma especialidade, podedo ser eriquecido ou modificado sem que seja ecessário 28

38 começar tudo ovamete. Os estágios ateriores do cohecimeto ão são armazeados. Este apeas existe o seu estágio atual. Lévy (1999) afirma que o cohecimeto do tipo operacioal obtido com o auxílio da iformática está em tempo real. Por aalogia com o tempo circular da oralidade e o tempo liear da escrita, poder-se-ia falar de uma espécie de implosão croológica, de um tempo potual istaurado pelas redes de iformática. A imagem que se poderia correspoder aos processos da iformática é a de uma rede. As teorias, características da escrita, cedem terreo ao modelo a iformática, dificilmete defiitivos, sempre corrigíveis e aperfeiçoáveis ao logo das simulações. O modelo ão se ecotra iscrito um papel, mas roda um computador. Um modelo raramete é defiitivo, em falso ou verdadeiro, apeas será mais ou meos eficaz em relação a algum objetivo específico. Segudo o autor, o saber iformatizado afasta-se tato da memória, ou a memória, ao iformatizar-se, é objetivada a tal poto que a verdade pode deixar de ser uma questão fudametal, em proveito da operacioalidade e velocidade. Certamete ão quer dizer que a partir de agora é permitido metir, ou que a exatidão dos fatos ão importa mais. A questão é apeas a de idetificar uma mudaça de êfase, um deslocameto do cetro de gravidade em algumas atividades cogitivas desempehadas pelo coletivo social. O declíio da verdade sigifica que se irá lidar com modelos de características variáveis, obtidos e simulados mais rapidamete. Assim, o cohecimeto por simulação é um ovo gêero de saber determiado pela iformática, meos absoluto que o cohecimeto teórico, mais operatório e mais ligado às características de uso. Nessa modalidade de cohecimeto, corrigemse os erros. A simulação permite que se explorem modelos mais complexos e em maior úmero do que se estivesse reduzidos à imagiação própria, mesmo que auxiliados por um papel. 29

39 A iformática da simulação e da visualização, além de esteder a memória biológica, fucioa como um módulo extero e suplemetar para a faculdade de imagiar. 6.4 Ecologia Cogitiva A partir do cohecimeto por redes favorecido pela iformática, Lévy (1999) desevolve oção de ecologia cogitiva. Afirma que a iteligêcia ou a cogição é resultado de redes complexas ode iteragem um grade úmero de atores humaos, biológicos e técicos. Não sou eu que sou iteligete, mas eu como um grupo humao do qual sou membro. Machado (1996) afirma que a oção de ecologia cogitiva, avaça o setido de ultrapassagem tato das oções de sujeito e de objeto quato das idéias de idivíduo e de sistema. Segudo Lévy (1999): Sem o acesso às bibliotecas públicas, à prática em vários programas bastate úteis e umerosas coversas com os amigos, aquele que assia este texto ão teria sido capaz de redigi-lo. Fora da coletividade, desprovido de tecologias itelectuais, eu ão pesaria. O preteso sujeito iteligete ada mais é que um dos micros atores de uma ecologia cogitiva que o egloba e o restrige. O sujeito pesate também se ecotra fragmetado em sua base, dissolvido pelo iterior.(p.135) Defie, etão, a ecologia cogitiva como sedo o estudo das dimesões técicas e coletivas da cogição. O meio ecológico o qual as represetações se propagam é composto por dois grades cojutos: as metes humaas e as redes técicas de armazeameto, de trasformação e de trasmissão das represetações. Também leva em cota os aspectos biológicos, porém um setido mais amplo. Segudo Lévy (1999): 30

40 O ser cogoscete é uma rede complexa a qual os ós biológicos são redefiidos e iterfacetados por ós técicos, semióticos, istitucioais, culturais. A distição feita etre um mudo objetivo ierte e sujeitos-substâcias que são os úicos portadores de atividade e de luz está abolida. É preciso pesar em efeitos de subjetividade as redes de iterface e em mudos emergido provisoriamete de codições ecológicas locais (p.161) Na ecologia cogitiva, ão há causas em efeitos mecâicos, mas sim ocasiões e atores. As tecologias toram possíveis ou codicioam o surgimeto de ovas formas culturais, mas as primeiras ão irão determiar as segudas. Fialmete, ele declara que ao desevolver a idéia de uma ecologia cogitiva, ão teve a iteção de egar ou rebaixar o papel dos sujeitos a cogição. 6.5 O Computador o Esio e Apredizagem A utilização dos computadores a educação ão pode ser descoectada das mudaças tecológicas que ocorreram as últimas décadas. Os tipos de utilização foram e são um grade desafio para os pesquisadores a iserção do computador o processo de esio-apredizagem. Valete (1999) efatiza que o uso dos computadores a educação pode ser feita tato para cotiuar trasmitido a iformação para o aluo e, portato, para reforçar o processo istrucioista, quato para criar codições do aluo costruir o cohecimeto. Segudo o mesmo autor, o computador poder ser usado a educação em duas situações: a) Quado trasmite iformação para o aluo, a máquia assume o papel de esiar. Nessa abordagem, o computador assume o papel do livro didático. Os softwares que implemetam esta metodologia são os tutoriais e os de exercício-e-prática. 31

41 b) Quado o aluo utiliza o computador para costruir o cohecimeto, este propicia codições para que o aprediz descreva a resolução de problemas, usado liguages de programação, refletido sobre os resultados obtidos e depure idéias por itermédio da busca de ovos coteúdos e ovas estratégias. Os softwares que implatam essa metodologia são os abertos, como as liguages de programação, multimídia e bacos de dados. Segudo Valete (1999): O mecaismo de costrução de cohecimeto pressupõe a existêcia de estruturas metais ou de cohecimeto orgaizado, que podem ser observados em comportametos(habilidades) ou declarações(liguagem). Pressupõe o pricípio da cotiuidade um ovo cohecimeto deve estar relacioado com o que já se cohece. Apreder sigifica eriquecer essas estruturas por meio de adição de ovos cohecimetos(acomodação - assimilação piagetiaa) ou da reorgaização das estruturas(por meio do pesar, do refletir). O cohecimeto pode ser em termos de microdesevolvimeto (baseado a evolução da solução de um problema ou de uma tarefa específica) ou de macrodesevolvimeto(otogeia).(p.89) 6.6 Simulação A simulação é uma atividade que faz com que o aluo maipule situações desevolvidas um computador. De acordo com Valete (1999), um determiado feômeo pode ser simulado o computador, bastado que, para isso, que um modelo desse feômeo seja implatado o computador. Lévy (1999) afirma que, cotrariamete à teoria, a simulação de modelos o computador respode melhor a perguta como? do que à perguta por quê?. As simulações ão são depedetes da existêcia do computador, mas é, esse ambiete, que se permite ao aluo maipular variáveis e observar resultados imediatos, decorretes da modificação de situações e codições. 32

42 O autor faz uma aálise mais profuda, afirmado que um modelo digital ão é lido ou iterpretado como um texto clássico, ele é geralmete explorado de forma iterativa. Cotrariamete ao papel, o modelo iformático é essecialmete diâmico, dotado de uma certa autoomia de ação e reação. Na simulação, o usuário altera certos parâmetros e observa o comportameto do feômeo, de acordo com os valores atribuídos. Valete (1999) apreseta dois tipos de simulações: a) Na simulação fechada, o feômeo é previamete implatado o computador e os valores de algus parâmetros são possíveis de serem alterados pelo aluo. Uma vez isso feito, o aluo assiste, a tela do computador, ao deserolar do feômeo. Nesse tipo de simulação, o aluo pode ser muito pouco desafiado ou ecorajado a desevolver hipóteses, testá-las, aalisar resultados e refiar os coceitos. Para verificar se a iformação está ou ão sedo adquirida pelo aluo, é ecessário apresetar situações problemas, ode ele é obrigado a usar as iformações forecidas. b) Na simulação aberta, o aluo é ecorajado a descrever ou implemetar algus aspectos dos feômeos. Isso requer que o aluo se evolva com o feômeo, procurado descrevê-lo em termos de comados ou facilidades forecidas pela simulação e observado as variáveis que atuam o feômeo e como elas iflueciam o comportameto. O computador, esse caso, permite a elaboração do ível de compreesão por meio do ciclo: percepção-imagiaçãomaipulação. Lévy (1999) cosidera que a capacidade cogitiva humaa compreede três grades faculdades: a de perceber, a de imagiar e a de maipular. A percepção pode ser amplificada se for associada ao computador. Articulada com a percepção vem à imagiação, a faculdade de imagiar, ou de fazer simulações metais do mudo exterior, é um tipo particular de percepção desecadeada por estímulos exteros. Ela permite atecipar as coseqüêcias de ossos atos. A imagiação é a codição da escolha ou da decisão deliberada: o que acoteceria se fizéssemos isto ou aquilo? Graças a essa faculdade, tira-se partido de experiêcias ateriores. A capacidade de simular o ambiete e 33

43 reações tem, certamete, um papel fudametal para todos os orgaismos capazes de apredizagem. A imagiação está associada à visualização. Villarreal (1999) destaca que a visualização é um tipo de atividade de raciocíio baseada o uso de elemetos visuais ou espaciais, sejam metais ou físicos. Segudo a autora, a visualização tem quatro elemetos pricipais: a) Images metais: qualquer tipo de represetação cogitiva de um coceito por meio de elemetos visuais ou espaciais. b) Represetações exteras: qualquer tipo de represetação verbal ou gráfica de coceitos ou propriedades, que ajuda a criar ou trasformar images metais e fazer o raciocíio visual. c) Processos de visualização: ação metal ou física em que images metais estão evolvidas. d) Habilidades de visualização: ação de visualizar e mecioar as propriedades de um objeto. Segudo Lévy (1999): Dispomos de uma faculdade operativa ou maipulativa que seria mais específica da espécie humaa. Este poder de maejar e de remaejar o ambiete irá mostrar-se crucial para a costrução da cultura, do pesameto lógico ou abstrato.(p.158) Ele cosidera a capacidade cogitiva de maipular como sedo a mais fudametal e abragete, icluido a capacidade de represetar, ou de maipular represetações. A simulação, portato, remete a um aumeto dos poderes de percepção, imagiação e maipulação. Ela, por si só ão cria a apredizagem. Para que ela ocorra, é ecessário criar codições para que o aluo se evolva com o feômeo e seja complemetada com a elaboração de hipóteses, leituras, discussões e o uso do computador para validar a apredizagem. O papel do professor será de auxiliar o aluo a ão formar uma visão distorcida do mudo. O professor deve criar codições para que o aluo faça a trasição da simulação para o mudo real. Assumirá um papel de facilitador da 34

44 costrução do cohecimeto deixado de ser um passador de iformações. Isso sigifica que o professor deverá ter uma formação tato o aspecto computacioal, de domíio do computador e dos softwares que utiliza, quato a itegração do computador as atividades curriculares. Segudo Valete (1999), o professor deve ter muito claro quado e como usar o computador como ferrameta para estimular a apredizagem. O professor, como já foi dito, assumirá uma ova atitude. Embora, uma vez ou outra, aida desempehe o papel de especialista que possui cohecimetos e/ou experiêcias a comuicar, a maioria das vezes desempehará o papel de orietador das atividades, de cosultor, de facilitador da apredizagem, de alguém que pode colaborar para diamizar a apredizagem do aluo, desempehará o papel de quem trabalha em equipe, juto com o aluo, buscado os mesmos objetivos. Segudo Masetto (2000) para os professores, essa mudaça de atitude ão é fácil. O professor está acostumado a setir-se seguro o papel tradicioal de comuicar ou trasmitir algo que cohece muito bem. Sair dessa posição, etrar em diálogo direto com os aluos; cofiar eles; acreditar que são capazes de assumir a resposabilidade pelo seu processo de apredizagem juto com ele; desevolver habilidades para trabalhar com tecologias, para que as atividades desevolvidas juto aos aluos sejam mais iteressates e motivadoras - todos esses comportametos exigem, certamete, uma grade mudaça de metalidade, de valores e de atitudes por parte dos professores. 6.7 Visualização o Esio e a Apredizagem do Cálculo A visualização é um dos pricipais processos oferecidos pelo computador. A importâcia da visualização o esio e apredizagem dos coceitos do Cálculo é apotada como fudametal as séries iiciais dos cursos uiversitários. Villarreal (1999) destaca o trabalho de Hallet, Eiseberg e Dreyfus (1989), que estudaram problemas que surgiram em pesquisas relativas à visualização dos coceitos de Cálculo. Detectaram que muitos estudates rejeitaram a 35

45 abordagem visual preferido o tratameto algorítmico. Uma das hipóteses levatadas por eles é que para esse tipo de preferêcia, o pesameto visual requer demadas cogitivas superiores às do pesameto algorítmico. Um diagrama ou um gráfico cotém muito mais iformações do que uma 2 fórmula. Por exemplo, o cálculo da itegral x 2 dx, o gráfico pode forece mais 0 iformações do que o resultado baseado em algoritmos. A partir do gráfico traçado o computador, pode-se aalisar as características da fução, o itervalo de itegração e o coceito de itegral associado à área da região abaixo da curva o itervalo cosiderado. Por meio dos recursos apresetados pelo software e a iteratividade, o aluo pode aumetar ou dimiuir o úmero de retâgulos abaixo da curva e comparar os resultados apresetados com os obtidos através do algoritmo. A partir dessa iteratividade diâmica etre o aluo e o software, pode-se costruir o coceito de itegral, o seu sigificado e as propriedades. A utilização do computador o Cálculo proporcioa várias oportuidades de visualização, etre elas a oportuidade de eteder o coceito sob um poto de vista gráfico. Artigue (1995) em pesquisa sobre a utilização de um software matemático o esio e apredizagem, descreve a resistêcia da maioria dos professores em 36

46 usar o computador como uma ferrameta o esio e a apredizagem. A autora destaca que em certas istituições de esio, ão teve êxito em ecotrar professores, utilizado o software matemático mais de duas ou três horas por ao. Destaca que essa codição reforça a iterpretação da visão lúdica dos meios iformáticos dos defesores do esio tradicioal. Na pesquisa, a autora cocluiu que os professores e aluos cosideram a utilização de um software matemático positiva, mas o geral eles cosideram de pouco efeito sobre a compreesão dos coceitos da Aálise. Os resultados da pesquisa de Artigue (1995) direcioam e cofirmam a diversidade dos modos de utilização do computador. Para o esio e para a apredizagem do Cálculo foram levatadas pelos educadores matemáticos as seguites potecialidades: a) ajuda a solução dos algoritmos; b) ajuda o eriquecimeto das atividades matemáticas propostas aos aluos; c) ajuda a compreesão. Etre os professores, existe um seso comum da dificuldade de orgaizar e gerar atividades ricas e abertas o computador que evolva e motivem os aluos. Para tato, os professores deverão cohecer seus aluos, icetivado a reflexão e a crítica e permitido que eles idetifiquem os próprios problemas a sua formação. Segudo Valete (1999) caberá ao professor saber desempehar um papel desafiador, matedo vivo o iteresse e a motivação do aluo, e icetivado relações sociais, de modo que os aluos possam apreder us com os outros e saber trabalhar em grupo. A pesquisa mostra que os professores são coscietes das dificuldades ecotradas a utilização do computador. Para eles, ão é automático desevolver atitudes reflexivas via software matemático. Segudo Piaget (1977) apud Valete (1999), a reflexão pode produzir diversos íveis de abstração, os quais provocarão alterações a estrutura metal dos aluos. A abstração mais simples é a empírica, que permite ao aluo extrair iformações do objeto ou das ações sobre ele. A abstração pseudoempírica 37

47 permite ao aluo deduzir algum cohecimeto da sua ação ou do objeto. A abstração reflexioate, possibilita a projeção daquilo que é extraído de um ível mais baixo para um ível cogitivo mais elevado ou a reorgaização desse cohecimeto. No caso de refletir sobre o resultado obtido por meio do software aberto, o aluo estará pesado sobre suas próprias idéias. Valete (1999) efatiza que o processo de refletir sobre os resultados obtidos por meio do software aberto pode acarretar as seguites ações: ou o aluo ão modifica o seu procedimeto porque as suas idéias iiciais sobre a resolução do problema correspodem aos resultados apresetados pelo computador e, etão, o problema está resolvido, ou depura o procedimeto, quado o resultado é diferete de sua iteção origial. Moraes (1997) apud Valete (1999), defie que o cohecimeto pressupõe a ação, ele é o desevolvimeto de uma prática reflexiva que permite ao idivíduo dar sigificado às coisas, iterpretar, omear e idetificar sua própria relação com elas. Artigue (1995) distiguiu três grades tipos de utilização de um software matemático: a) situações em que o computador é utilizado como um assistete matemático, uma ferrameta à disposição do aluo, permitido abordar, mais facilmete do que os meios usuais, problemas complexos apresetados de maeira aberta, requeredo uma aálise mais profuda do aluo; b) situações cetradas sobre a apredizagem de métodos, a reflexão estratégica, em que o computador liberta o aluo da execução de algoritmos, permitido a costrução do coceito; c) situações em que as especificações do software são, ates de tudo, exploradas para costruir situações de apredizagem mais difíceis ou impossíveis de se realizar os meios usuais. Esses tipos de softwares são ferrametas poderosas, mas é egaoso crer que permitem facilidades o esio e apredizagem dos coceitos matemáticos. 38

48 A possibilidade de que o computador execute algoritmos de Cálculo com rapidez ão garate que o aluo apreda e costrua os coceitos. Para que exista uma apredizagem e costrução dos coceitos do Cálculo, utilizado os softwares matemáticos, devem ser elaboradas atividades que associem a visualização à maipulação simbólica para que se cosiga a efetiva apredizagem e costrução desses coceitos. Villarreal (1999) cita Davis (1993), que, em um dos seus artigos, resgata a importâcia dos chamados teoremas visuais, efatizado a legitimidade do processo visual a descoberta matemática, afirmado que: a elevação do compoete visual da Matemática restituiria à palavra grega teorema algo de seu sabor origial: a raiz grega da palavra teorema sigifica ver. (p.341) Segudo Piaget(1986), o ível de compreesão está relacioado com o ível de iteração que o aprediz tem com o objeto e ão o objeto em si. Assim, os softwares educacioais, em termos da costrução do cohecimeto e do papel que o professor deve desempehar para que esse processo ocorra, permite classificá-los em posições itermediárias etre os tutoriais e a programação. No etato, cada um dos diferetes softwares usados a educação, como tutoriais, a programação, o processador de texto, multimídia (também a Iteret), as simulações e modelages e os jogos, apresetam características que podem favorecer, de maeira mais ou meos explícita, o processo de costrução do cohecimeto. Podemos caracterizar um software pela articulação de um sistema formal e de um domíio feomeológico: o sistema formal é costituído por objetos primitivos, operações elemetares e regras que defiem como podem ser maipulados os abjetos e as operações; o domíio feomeológico determia o tipo de feedback que o software pode produzir como coseqüêcia das decisões e das ações do aprediz. 39

49 7. Cálculo Diferecial e Itegral e os Computadores O uso de computadores o processo de esio e apredizagem de Cálculo segudo Heid(1988) apud Vilarreal(1999), permite que os aluos cocetrem sua ateção os coceitos subjacetes aos algoritmos, atribuidolhes sigificado. Segudo Morelatti(2001), o uso do computador as disciplias itrodutórias como Cálculo I pode ser beéfico pois possibilita ao aluo participar de maeira ativa e crítica de seu processo de apredizagem. A mesma autora efatiza que o computador pode ser utilizado como simulador de cojecturas, como istrumeto de visualização de coceitos e como suporte para uma melhor compreesão do que está sedo esiado e apredido. Por exemplo, os Estados Uidos, a discussão sobre o uso de computadores o processo de esio e apredizagem do Cálculo vem ocorredo detro de um movimeto que teve iício em 1986, chamado Reforma do Cálculo. Este movimeto reúe professores de várias Uiversidades americaas a discussão de coteúdos, métodos, estratégias de esio e de propostas de mudaça do esio e apredizagem do Cálculo. Segudo Schoefeld(1995) apud Villarreal(1999), os aspectos cetrais do projeto de reforma são os seguites: maior egajameto dos estudates através da participação em atividades de logo prazo; êfase tato os aspectos gráficos, uméricos e verbais quato aalíticos do Cálculo; favorecedo as represetações múltiplas o que pode implicar em uma maior compreesão dos coceitos matemáticos; mudaças as estratégias pedagógicas motivadas por ovas abordages, com o foco já ão cetrado o professor mas as atividades dos estudates, a importâcia do trabalho em grupo e a apredizagem cooperativa como uma tedêcia marcate. Após a proposta da reforma do esio do Cálculo, algumas pesquisas tem sido desevolvidas para aalisar o emprego do computador o esio e apredizagem do Cálculo. Heid(1988) apud Villarreal(1999), aalisa os resultados obtidos um curso itrodutório de Cálculo o qual o computador foi utilizado como ferrameta 40

50 permitido tirar a êfase das habilidades algorítmicas para efatizar o desevolvimeto dos coceitos. A autora propõe uma ova estrutura curricular efatizado a compreesão mais sigificativa, desafiado a idéia que os aluos ão poderiam eteder os coceitos sem domiar previamete ou pelo meos simultaeamete, as habilidades algorítmicas básicas. Villarreal(1999) também cita as pesquisas efetuadas por Heid&Baylor(1993) que oferecem evidêcias de que, em cursos de Cálculos, o emprego de computadores favorece a compreesão coceitual sem ocasioar uma perda das habilidades mauais, etedidas como maipulação de técicas tradicioais e procedimetos rotieiros tais como resolução de equações, técicas de derivação e itegração, etc. Palmiter(1991) apud Villarreal(1999) ivestigou se difereças sigificativas o cohecimeto de coceitos e procedimetos do Cálculo maifestaram-se etre aluos que estudaram limites, derivadas e itegrais, usado um software e os que estudaram os coceitos usado lápis e papel. A autora observou que, além de obter melhores otas a avaliação de coceitos e a de procedimetos, os aluos que estudaram utilizado o software mudaram sua atitude em relação a Matemática, agora era cosiderada muito mais do que cálculos. Para Cipra(1995) apud Morelatti(2001) a aceitação da reforma está loge de ser uiversal. Muitas Uiversidades estão realizado mudaças letas e algumas ão alteraram ada. Outras tetaram mudar alterado o coteúdo programático de seus plaos de esio. No etato, existem istituições que permitiram e proporcioaram facilidades para que fossem realizadas experiêcias para uma mudaça o esio e apredizagem do Cálculo. No Brasil, algumas experiêcias estão sedo realizadas em Uiversidades públicas e particulares. Segudo Morelatti(2001), as experiêcias brasileiras têm sido iflueciadas pelo movimeto de reforma dos Estados Uidos. Algumas experiêcias brasileiras estão sedo publicadas e apresetadas em evetos cietíficos. Segudo Morellati(2001), as publicações e apresetações das experiêcias percebe-se que a tedêcia atual é de se usar softwares aplicativos. A mesma autora afirma que esta tedêcia pode ser costatada tato as 41

51 experiêcias brasileiras como americaas. Com algumas exceções, a maior êfase está a utilização dos softwares: Mathematica e Maple. 7.1 Algumas experiêcias utilizado o software Mathematica O software Mathematica é cosiderado um sistema de computação matemática que possibilita a realização de cálculos, tato algébricos como simbólicos. Este software possibilita aida o esboço de curvas o plao e de superfícies o espaço, tedo possibilidade de realizar rotações para uma melhor visualização do gráfico costruído. Smith(1995) apud Morelatti(2001) descreve as seguites experiêcias americaas utilizado o software Mahematica: Kheith Stroya, relatado sua experiêcia a Uiversidade Iowa, efatizado que o software ilustra e reforça coceitos básicos, reduz detalhes, permitido ao aluo cocetrar-se os pricipais coceitos e lidar com aplicações mais realistas. Cálculo&Mathematica, da Uiversidade de Illiois, que é cosiderada como aquela que mais se apoia em tecologia. O curso é baseado em um texto completamete iterativo, cotedo tatos exemplos quatos os aluos desejarem, o que ão é possível em formato de mídia impressa. O curso é estruturado por meio de gráficos iterativos que estimulam os aluos a experimetar, costruir, descrever e explicar com suas próprias palavras. O foco pricipal deste curso é o Give It a Try em que os aluos utilizam o software para resolverem problemas. Segudo Morelatti(2001), quato ao uso do software Mathematica o Brasil, temos duas experiêcias apresetadas em evetos cietíficos de matemática: A do Istituto de Ciêcias matemática da USP/São Carlos que itroduziu atividades o Laboratório de Cálculo em 1996, objetivado permitir ao estudate a utilização de recursos gráficos, de cálculos e de simulações como ferrametas de auxílio para seu apredizado. São feitas em média quatro sessões por semestre, os aluos realizam 42

52 idividual e iterativamete uma experiêcia matemática preparada pelos professores. Estas atividades são acompahadas pelo professor da disciplia e moitores que auxiliam os aluos a realização das atividades e a maipulação dos computadores. A da Uiversidade de Campias, que desde 1996, um grupo de professores e moitores do departameto de Matemática estão desevolvedo o projeto Cálculo com Aplicações, com o objetivo de icorporar o computador como ferrameta de apoio a compreesão de coceitos matemáticos. A carga semaal da disciplia(6h/a) foi dividida em aulas teóricas e aulas práticas. Além destas aulas os aluos desevolvem projetos que visam permitir um maior compromisso do aluo com seu processo de apredizagem. 7.2 Algumas experiêcias utilizado o software Maple A descrição deste software será feita posteriormete o capítulo VI. Uma experiêcia americaa que utiliza o software Maple é desevolvida o curso de Cálculo do Logwood College. Segudo Smith (1995) apud Morelatti (2001) além do uso simbólico do Maple os aluos desevolvem pequeos programas utilizado o software. O curso é deomiado Cálculo, Coceitos, Computadores e Apredizagem Cooperativa, cada uidade é desevolvida por meio da metodologia: atividades-aulas-exercícios. As atividades são realizadas utilizado o computador e ocorrem ates das aulas. Nelas os aluos tetam costruir as pricipais idéias do Cálculo ates de serem discutidas as aulas. Outra experiêcia é a da Duke Uiversity por meio do Cálculo como um curso de laboratório(calc). Os aluos trabalham em grupos e utilizam o software Maple para explorarem problemas, testarem cojecturas, discutirem e escreverem coclusões. Segudo Smith(1995) apud Morelatti(2001), o curso efatiza atividades hads-o (mãos a massa), favorecedo a apredizagem por descoberta, o trabalho em grupo, a utilização do software e o lápis e o papel. Quato às experiêcias brasileiras Morelatti (2001) eleca, detre outras, as experiêcias realizadas a PUC-RS, UFSCar e UFV. 43

53 A experiêcia da PUC-RS utiliza o software como ferrameta para auxiliar a visualização dos coteúdos de Cálculo por meio do projeto: Matemática Elemetar. Este projeto tem por objetivo despertar o iteresse do aluo, suprir deficiêcias e facilitar a compreesão dos coceitos. As aulas são realizadas em laboratórios e servem para revisar e fixar coteúdos já trabalhados e para itroduzir ovos coceitos a serem formalizados. A utilização deste software a Uiversidade Federal de São Carlos o processo esio e apredizagem do Cálculo está iserido um cotexto maior de projetos do Departameto de Matemática, que almejam uma moderização do material didático existete. A diâmica estabelecida são aulas teóricas itercaladas e complemetadas com aulas de laboratório. Os aluos o laboratório formulam problemas, elaboram modelos a partir de situações reais, visualizam graficamete e iterpretam os resultados fazedo simulações e cojecturas. Na Uiversidade Federal de Viçosa a utilização do software tem por fialidade melhorar a performace dos aluos e estimulá-los o uso dos recursos computacioais. O trabalho é desevolvido fora das aulas de Cálculo por moitores, que dão atedimeto aos aluos escolhidos pelo professor. O critério de escolha são otas e relação aluo e professor. Os aluos utilizam o software para resolverem uma lista de exercícios sobre o assuto abordado a aula pelo professor. 7.3 A elaboração da seqüêcia De acordo com a fudametação teórica e a miha realidade profissioal, costruí uma seqüêcia de esio levado em cota as resistêcias das istituições de esio em relação a mudaças e a resistêcia dos aluos, que chegam ao esio superior formados essecialmete por escolas com esio baseado o paradigma tradicioal. Optei por uma seqüêcia baseada a simulação, a qual o aluo será motivado a descrever as várias etapas que compõem a compreesão do coceito da Itegral, implatada o computador por meio do software Maple. A seqüêcia 44

54 forecerá situações previamete defiidas e outras que serão complemetadas pelos aluos. Cada etapa percorrida por eles foi estruturada para que se evolvam e se motivem através da diâmica das atividades, observado as variáveis que compõem e iflueciam o sigificado do coceito da Itegral. Neste evolvimeto com o trabalho, o aluo poderá elaborar uma série de cojecturas que serão validadas ou ão por itermédio da simulação. Portato, ela poderá permitir a compreesão do coceito de Itegral por meio do ciclo descrição-execução-reflexão-depuração-descrição. Embora a seqüêcia de esio seja composta por etapas defiidas e o objetivo fial também seja defiido, procurei estruturar cada uma das atividades baseadas os seguites ites da fudametação teórica: A assimilação e a acomodação descritas por Piaget. A zoa de desevolvimeto proximal defiida por Vygotsky. O papel do professor de mediador e facilitador o processo de esio e a apredizagem. A utilização do computador para o desevolvimeto de uma educação cotextualizada segudo Papert. A criação de um ambiete costrucioista descrito por Papert. A Iformática como uma ova forma de costrução do cohecimeto segudo Lévy. Ecologia Cogitiva de Lévy. A visualização oferecida pelo computador como um dos processos a costrução do cohecimeto. A História da Matemática e o esio da Matemática como compoetes de uma apredizagem sigificativa. Parti também do pressuposto de que o computador pode tato passar iformação ao aluo, quato ser uma ferrameta auxiliar o processo de costrução do cohecimeto, costituido uma verdadeira revolução o processo de esio e apredizagem e uma possibilidade de acelerar as mudaças a Escola reividicadas pela sociedade. 45

55 IV - ELEMENTOS HISTÓRICOS DA INTEGRAL O Cálculo Diferecial e Itegral teve um grade desevolvimeto o fial do século XVII com Isaac Newto (1736) e Gottfried Wilhel Leibiz (1676), etre outros. Seus pricipais objetos são a derivada e a itegral. Os trabalhos desevolvidos após o século XVII foram importates para o aprimorameto da Matemática, graças às ovas áreas de pesquisas que ela se abriram. A derivada, sob o poto de vista geométrico, está ligada ao problema de traçar tagete a uma curva e a itegral com o problema de determiar a área de figuras. Apostol (1996) destaca que o Cálculo ão é somete um istrumeto técico, mas uma coleção de idéias e coceitos fasciates e atraetes que tem desafiado a mete humaa durate os últimos séculos. As idéias e coceitos estão relacioados com velocidade, área, volume, razão de crescimeto, tagete a uma curva, etre outros. Eves (1995) efatiza que o desevolvimeto histórico de Cálculo se dá a ordem cotrária daquela apresetada os pricipais livros didáticos, ou seja, primeiro surgiu o cálculo itegral e só muito depois o cálculo diferecial. A oção de itegral origiou-se os processos somatórios ligados ao cálculo de algumas áreas, volumes e comprimetos. A difereciação surgiu a partir dos problemas de tagetes a curvas e questões referetes a máximos e míimos de uma fução. Apesar de a maior parte do desevolvimeto histórico da itegral se situar o século XVII, sua origem é grega; ecotra-se pricipalmete os trabalhos de Eudoxo e Arquimedes. O coceito de Itegral foi formalizado por Cauchy, Riema e Lesbegue, etre outros, o século XIX. 1. Método de Exaustão de Eudoxo A origem da Itegral está relacioada com as tetativas de os gregos resolverem problemas ligados a áreas e volumes de algumas figuras plaas, utilizado um procedimeto deomiado método de exaustão. 46

56 Segudo Boyer(1974), foi Atífo, o Sofista (430 a.c); que teria atecipado a idéia de que por sucessivas duplicações do úmero de lados de um polígoo regular iscrito um círculo, a difereça etre a área do círculo e do polígoo seria ula. O método de exaustão é atribuído a Eudoxo (370 a. C). Esse método se baseava o fato de que uma gradeza poderia ser subdividida idefiidamete: se de uma gradeza qualquer subtrair-se uma parte ão meor que sua metade e do resto ovamete se subtrair ão meos que a metade e se esse processo de subtração for cotiuado, fialmete restará uma gradeza meor que qualquer gradeza da mesma espécie. 2. Arquimedes de Siracusa Foi Arquimedes (212a.C) que solidificou o método de exaustão. Segudo Eves, dos matemáticos, quem aplicou de maeira mais elegate o método e quem mais se aproximou da atual itegração, foi ele. Um dos exemplos mais atigos da utilização do método de exaustão, foi a quadratura de um segmeto parabólico. Esse exemplo está em Sobre espirais, cosiderada a mais difícil obra de Arquimedes. Por meio de dupla reductio ad absurdum, utiliza o método de exaustão, para provar que a área de um segmeto parabólico BC ão pode ser em maior em meor que 3 1 da área do triâgulo BCD. O poto D é a itersecção da tagete à parábola em C, com a perpedicular ao segmeto BC em B. potos: Dividido-se o segmeto BD em partes iguais, obtêm-se os seguites R0 B, R 1,R2,...,R D. Uido-se esses potos a C, determiam-se a parábola os potos Q 1, Q 2,... Q-1. Por eles traçam-se paralelas ao eixo de simetria da parábola. São determiados vários polígoos e deota-se por: a) H a uião dos polígoos iteros ao segmeto parabólico. b) H ǹ como sedo a uião dos polígoos que cotêm a parábola. " c) H = H H ǹ 47

57 Arquimedes tiha cohecimeto prévio dos seguites resultados: I) a área do triâgulo BCD é maior que três vezes a área dos polígoos iteros ao segmeto parabólico. II) a área do triâgulo BCD é maior que três vezes a soma da área dos polígoos iteros ao segmeto parabólico com a dos polígoos que cotêm a parábola. III) a área do segmeto parabólico é maior que um terço da área do triâgulo BCD mais as dos polígoos que cotêm a parábola. Utilizado a dupla redução ao absurdo, fez a seguite demostração: 1 i) supôs que a área do segmeto parabólico fosse maior que da área do 3 triâgulo BCD. Deotado-se por ë a área do segmeto parabólico e por å(f) a área da figura F, tem-se que: 1 ë > å(bcd) 3 48

58 Pelo resultado III), tem-se que: 1 ë > å(bcd) + å ( H ) 3 ń Como " H = H H ǹ cotém o segmeto parabólico, segue que: " 1 å ( H ) = å ( H ) + å ( H ) > ë > å(bcd) + å ( H ) 3 ǹ ń Dode: 1 å ( H ) > å(bcd) 3 O que cotradiz o resultado II). 1 ii) ) supôs que a área do segmeto parabólico, fosse meor que da área do 3 triâgulo BCD. 1 ë < å(bcd) 3 1 ë < å(bcd) + å ( H ) 3 ń O que cotradiz o resultado III). Dessa forma se a área do segmeto parabólico ão é meor em 1 maior que da área do triâgulo BCD, só poder ser igual. 3 Como Arquimedes cohecia previamete os resultados que utilizava o método de exaustão? Em 1906, descobriu-se que ele laçava mão desse método para demostrar fórmulas que já tiha obtido por meio do método mecâico. 49

59 3. O Método Mecâico de Arquimedes O método de exaustão é rigoroso, mas depede do cohecimeto da fórmula iicial em questão. Não permite a descoberta de tais fórmulas, mas a sua validação ou ão. Como Arquimedes descobria os resultados que utilizava o método de exaustão? Esta questão itrigou muitos matemáticos até o começo do século XX. A descoberta de uma cópia de O Método, em 1906, mostrou como ele, por meio de um processo de equilíbrio, demostrava as fórmulas. Segudo Gardig(1997), era razoável supor que, a maior parte dos casos, Arquimedes cohecesse a solução dos problemas ates de elaborar as demostrações. Por uma carta a Erastóstees de Alexadria, descoberta em 1906, soube-se o método que ele usava. Chamava-lhe ele de método mecâico. Escreveu: Estou covecido de que este processo ão é meos útil para as demostrações dos próprios teoremas; pois há coisas que se me toram claras pelo método mecâico, embora teham depois de ser demostradas pela geometria, porque o seu estudo pelo dito método ão ofereceu uma autêtica demostração... e acho ecessário expor o método, em parte porque falei dele e ão quero que pesem que proferi palavras vãs, mas igualmete porque estou covecido de que ele ão será de pouca valia para a matemática; porque percebo que algus, meus cotemporâeos ou meus sucessores, com este método, uma vez que ele esteja estabelecido, saberão descobrir outros teoremas que ão ocorreram a mim ( Arquimedes apud Gardig, 1997, p.150) Muito tempo se passou para que essas previsões se torassem verdadeiras. O trabalho de Arquimedes ão teve cotiuação por várias razões, etre elas as idéias avaçadas para a sua época e o efeito egativo da coquista romaa sobre a cultura grega. Mas a razão fudametal foi que o próprio método de exaustão depedia do cohecimeto prévio das relações. O avaço profetizado só se cocretizou o século XVII. 50

60 A idéia fudametal do método mecâico resulta de uma propriedade de equilíbrio. Esse método, para determiar uma área ou volume, cosiste em cortar a região em questão um úmero grade de tiras plaas ou de tiras paralelas extremamete fias, pedurado-as a extremidade de uma alavaca, de tal maeira a estabelecer-se o equilíbrio com uma figura de área ou volume cohecidos. Arquimedes aplicou esse método para determiar que a área de um 4 segmeto ABC parabólico é igual a da área do triâgulo ABC. 3 Katz (1993) faz a seguite descrição do método mecâico, usado para obter a igualdade aterior. Num segmeto parabólico ACB com vértice em B, determia-se o poto E, resultate da itersecção do eixo da parábola em B com a tagete em C, determiado-se o segmeto ED, com o poto D pertecete ao segmeto AC. No poto A traça-se uma paralela ao eixo da parábola em B, que ecotra a tagete à parábola em C, o poto F. A reta determiada por CB itercepta a 51

61 reta que passa por AF em K. Na reta CK determia-se um poto H tal que CK = KH. Arquimedes cosiderou CH como uma alavaca com poto médio em K. A idéia de sua demostração era mostrar que o triâgulo CFA colocado em H equilibra-se com o segmeto parabólico ABC. Ele fez isto, segmeto por segmeto. No triâgulo CFA tomou um segmeto MO paralelo ao segmeto ED e mostrou que está em equilíbrio com o segmeto PO do segmeto parabólico colocado em H. Para mostrar o equilíbrio, Arquimedes usou duas propriedades da parábola, a primeira é que EB = BD, e a seguda é que MO PO = CA. Estas duas AO propriedades são descritas por Heath(1964). Da igualdade EB = BD segue que FK = KA, MN = NO e que MO PO = CK KN = HK KN. Arquimedes fez a seguite iterpretação sob o poto de vista mecâico: se um segmeto TG, cogruete a PO, é colocado em H por meio de seu poto de equilíbrio, a proporção passa a ser: MO TG = HK. Portato, pela lei da KN alavaca, os segmeto MO e TG estão em equilíbrio por meio do poto K. Ele declarou que o triâgulo é costituído de várias paralelas ao segmeto MO, e o segmeto CBA composto por várias lihas retas detro da curva, isto segue que o triâgulo está em equilíbrio por meio de K com o segmeto CBA colocado em H pelo seu cetro de gravidade. Arquimedes cosiderou o poto W, pertece ao segmeto CK, como o cetro de gravidade do triâgulo CAF, cocluido que TriâguloACF SegmetoABC = HK KW = 3. 1 Chegado a coclusão que a área do segmeto ABC é igual a um terço da área do triâgulo ACF. Ele utilizou a propriedade de que a área do triâgulo ACF é igual a quatro vezes a área do triâgulo ABC, ela está descrita em Heath(1964). Fialmete cocluiu que a área do segmeto parabólico ABC é igual a quatro terços do triâgulo ABC. 52

62 Por ão se satisfazer com este procedimeto, Arquimedes utilizava o método de exaustão para realizar uma demostração mais rigorosa e, segudo ele, mais cosistete. O método mecâico cosistia a idéia de que toda gradeza é formada de um úmero muito grade de partes atômicas, o que estava muito próximo da idéia de limite e, por coseguite, da essêcia da itegral. A fórmula do volume da esfera que ele descreveu em O Método (ão existe uma citação correta da sua publicação) ão pode ser cosidera correta, mas estava muito próxima da que se cohece atualmete. Isso se deve ao fato do descohecimeto do valor e da atureza de ð (pi). No Egito, o valor de ð era adotado como sedo 1 3. Na Babilôia, como 6 1 sedo 3. O próprio Arquimedes estudava a razão da circuferêcia para o 8 diâmetro de um círculo, através de polígoos iscritos e circuscritos que podiam ser duplicados tatas vezes quatas se quisesse. Em outras palavras, o círculo seria o limite das duplicações dos polígoos. Esse método foi por ele utilizado com um polígoo de 96 lados, mostrado que o valor de ð é meor que 3 e maior que 3, uma aproximação muito melhor do que a dos egípcios e a dos babilôios. O uso defiitivo da letra grega ð para a razão da circuferêcia pelo diâmetro um círculo é devido a Euler ( ). 4. A Itegral a Europa Ocidetal No período que vai das otáveis descobertas de Arquimedes até o século XV, a teoria da itegração praticamete ão foi desevolvida. As pricipais obras da literatura e filosofia grega foram impressas a Itália por volta de A matemática da época, represetada pela obra de Cardao, era essecialmete algébrica. Da publicação da obra de Arquimedes em 1544, até cerca de 1670, os matemáticos citavam-o como modelo e fote de ispiração. Os primeiros que 53

63 usaram métodos comparáveis aos seus foram Stevi em 1620, e Valério em Ambos tetaram evitar a dupla redução ao absurdo do método de exaustão, fazedo uma passagem direta ao limite, utilizado-se de um método similar ao de soma de séries ifiitas. A ifluêcia de Arquimedes otabilizou-se através das obras de Galileu ( ) e Kepler ( ) que eram astrôomos e físicos. Kepler foi um dos primeiros europeus a desevolver idéias relativas aos ifiitésimos em trabalhos evolvedo itegração. Teve que recorrer a tais métodos a fim de calcular as áreas evolvidas as suas leis do movimeto plaetário. Mas como outros matemáticos e físicos da sua época, tiha aversão ao extremo rigor do método de exaustão. Assim, cosiderava a circuferêcia como um polígoo regular com um úmero ifiito de lados. Tomado-se cada um desses lados como a base de um triâgulo e o vértice como sedo o cetro da circuferêcia, o círculo ficava dividido uma ifiidade de triâgulos delgados, todos de altura igual ao raio. Como a área desses triâgulos delgados era o semiproduto da base pela altura, cocluía que a área do círculo era o semiproduto do comprimeto da circuferêcia pelo raio. Utilizado-se de um raciocíio aálogo descobriu que o volume da esfera é um terço do produto de sua superfície pelo raio. Os métodos utilizados por Kepler e seus cotemporâeos ão eram matematicamete rigorosos, mas produziram resultados corretos de maeira bem mais simples dos que foram produzidos pelo método de exaustão. 5. Método dos idivisíveis de Cavalieri Cavalieri( ), um dos resposáveis pela itrodução dos logaritmos a Europa e um dos matemáticos mais ifluetes da sua época, foi discípulo de Galileu e iflueciado pela obra de Kepler. Sua obra mais importate foi o tratado Geometria idivisibilibus, publicado o ao de Nesse tratado, apresetou o método dos idivisíveis, cujas raízes remotavam a Arquimedes e às tetativas de Kepler de achar áreas e volumes de algumas figuras geométricas. 54

64 Seu argumeto pricipal era de que uma área pode ser formada de segmetos ou idivisíveis e que um volume pode ser cosiderado como composto de áreas que são volumes idivisíveis ou quase atômicos. Embora Cavalieri ão pudesse perceber, estava seguido os passos de Arquimedes. Mas ao cotrário deste, ão hesitava as deficiêcias lógicas de seu método. Em sua obra ão era muito claro o que etedia como sedo idivisível. Parece que, para ele, um idivisível de uma área era uma corda dela e o idivisível de um sólido era uma secção desse sólido. No método de Cavalieri, ão havia processo de aproximação cotíua, em omissão de termos, pois usava uma correspodêcia um a um dos elemetos em duas cofigurações. Seus dois pricípios são: a)se duas figuras plaas são tais que toda a reta secate a elas e paralela a uma reta dada determia as porções segmetos de reta cuja razão é costate, etão a razão etre as áreas dessas figuras plaas é a mesma costate. b) Se dois sólidos são tais que todo o plao secate a eles e paralelo a um plao dado determia os sólidos, secções cuja razão é costate, etão a razão etre os volumes desses sólidos é a mesma costate. Embora seu pricípio teha uma base ituitiva, a utilização dele represeta uma ferrameta poderosa para o cálculo de áreas e volumes. Cavalieri se cocetrou um teorema geométrico que atualmete equivale a dizer que a + 1 a x dx = Comparava potêcias de segmetos um paralelogramo, paralelos, à base com potêcias correspodetes de segmetos em qualquer dos dois triâgulos em que a diagoal divide o paralelogramo. Usado este método ele provou que: a) a soma das primeiras potêcias dos segmetos de um dos triâgulos é a metade da soma das primeiras potêcias dos segmetos o paralelogramo. 55

65 b) a soma dos quadrados dos segmetos o triâgulo é um terço da soma dos quadrados dos segmetos o paralelogramo. Mais tarde a publicação Exercitatioes geometricae sex (1647), ele estedeu a demostração para segmetos de -ésimas potêcias. O euciado e a prova são muito diferetes do que se cohece atualmete, mesmo assim vamos demostrar a soma das quartas potêcias dos segmetos de um triâgulo, preservado o raciocíio de Cavalieri. Ele utilizava as seguites relações os seus cálculos, baseado a figura: A D B C a) b) 2 2 AB + BC = 2AD + 2DB 3 3 AB + BC = 2AC + 3AD.DB c) AB + BC = 2AD + 2 DB + 12AD DB Na figura a seguir temos que: a) E é poto médio de AB 2 b) F é poto médio de c) k é poto médio de " QM " BM d) I é poto médio de AQ 56

66 " " M M " M NP = ( MN + NP ) = (2MH + 2HN + 12MH HN ) = B K K " M " M " M " M = MH + 2 NH + 12 MH. HN K K K K 2 = " " " = 2 4 M 4 M M 2 MH 2 NH 12 MH. HN = 2 K " " " 4 M 4 M 2 M 1 2 = MH + 2 NH + 12 MH. MH = 3 K 4 = MH + 2 NH + 4 MH = K K " " M 4 M K K K 4 K = MH 4 " M NH + 2 MH = K 4 " M = 3 MH + 2 NH = K 4 Observações: 4 M 1, = 3 MH + NP 16 K 4 a) " M 4 4 MH = MH b) B " M 4 MH = K 2 MH 4 " " " " " " M 2 M 2 M 2 M " c) HN 1 1 = FM = MH 3 3 d) 4 M 4 = = M 1 HN NP NP 32 K K K K K B 4 Logo: " M B NP 4 = 1 5 AB 4 Cavalieri, a mesma publicação, fez a geeralização que para -ésimas 1 potêcias a razão etre os segmetos do triâgulo e do paralelogramo é + 1, o que equivale dizer que 1 0 x 1 dx =

67 A partir de Cavalieri, há grades omes como: Fermat( ), Descartes( ), Pascal( ), Wallis( ) e Barrow( ). Todos estes fizeram trabalhos preparatórios para o Cálculo Ifiitesimal propriamete dito que, após 1670 em um breve período, foi criado por Newto( ) e por Leibiz( ). 6. A Teoria dos Fluxos de Newto Isaac Newto asceu a Iglaterra em No período de 1665 a 1666, ele fez uma das descobertas mais importates da Matemática, o método dos fluxos (The Method of Fluxios). Esse método, embora escrito em 1671, só foi publicado em Newto, esse trabalho, admitia que uma curva era gerada pelo movimeto cotíuo de um poto. Por meio dessa suposição, a abscissa e a ordeada de um poto gerador passam a ser quatidades variáveis. A quatidade variável era o fluete e a sua taxa de variação era o fluxo. Se um fluete, como ordeada do poto gerador, era idicado por y, etão o fluxo desse fluete era deotado por ẏ. Newto defiiu também outro coceito, chamado por ele de mometo de um fluete: tratava-se do icremeto ifiitamete pequeo sofrido por um fluete como x, por exemplo, um itervalo de tempo ifiitamete pequeo, ao qual deotou como 0. Assim, o mometo fluete x é dado por ẋ 0. Ele salietou que podemos, em qualquer problema, desprezar os termos que aparecem multiplicados por potêcias de 0 iguais ou maiores que 2 e obter assim uma equação evolvedo as coordeadas x e y do poto gerador da curva e seus fluxos ẏ e ẋ. Eis um exemplo da maeira pelo qual Newto explicou seu método, Method of Fluxios: As variáveis de fluetes eram represetadas por v, x, y e z, as velocidades pelas quais qualquer fluete varia pelo movimeto gerador, represetou-as por. v, ẋ, ẏ e ż. Os mometos fluetes eram represetados por v. 0, ẋ 0, ẏ 0 e ż 0, sedo 0 uma quatidade ifiitamete pequea. Newto em seu método procedeu da seguite forma: 58

68 Dada uma equação x 3 - ax 2 + axy y 3 = 0, substituido x por x + ẋ 0 e y por y + ẏ 0, obter-se-á : 3 2 x + 3x 0 ẋ + 3x ẋ 0 ẋ x - ax 2 2axẋ 0 -a ẋ 0 ẋ 0 + axy + ay ẋ 0 + aẋ 0 ẏ 0 + ax ẏ 0 - y 3 3y 2 ẏ 0-3y ẏ 0 y y 0 = 0. Newto usou o fato de que x 3 - ax 2 + axy y 3 = 0, dividiu os termos remaescetes por 0 chegado ao seguite resultado: 2 3 3x ẋ - 2ax ẋ + ayẋ + axẏ - 3y2 ẏ + 3xẋ ẋ0 - aẋ ẋ0 + aẋ ẏ 0 3y ẏ ẏ x. - y 2 00 = 0 Newto descreve que se 0 é ifiitamete pequeo (o texto em iglês : But whereas zero is supposed to be ifiitely little), e para que possa represetar mometos de quatidades, os termos que estão multiplicados por ele são isigificates em relação aos outros; portato, rejeita-os, resultado: 2 3x ẋ - 2ax ẋ + ayẋ + axẏ - 3y2 ẏ = 0 O exemplo mostra que Newto pesava as derivadas como sedo velocidades, mas existiam algus questioametos a sua demostração, tais como: Os símbolos 0 são zeros? São ifiitesimais? Ou são úmeros fiitos? Newto tetou elucidar o seu método por meio da teoria das primeiras e últimas razões, que itroduziu a sua obra os Picipia (1686), cosiderada a sua obra prima, e que evolveu o coceito de limite, mas de uma tal maeira que é muito difícil etedê-lo. Ele declara que: 59

69 Essas razões últimas com as quais as quatidades se desvaecem ão são verdadeiramete as razões das quatidades últimas, mas limites para os quais as razões covergem, decrescedo sem cessar; e dos quais se aproximam mais que qualquer difereça dada, uca ido além dos limites, em efetivamete os atigido, até que as quatidades dimiuam ifiitamete. As quatidades e as razões de quatidades que em qualquer tempo fiito covergem cotiuamete para a igualdade e, ates do fial desse tempo, se aproximam umas das outras mais do que qualquer difereça dada, toram-se fialmete iguais.(newto apud Struik, 1992, p.159) Embora ele teha tetado elucidar a sua teoria, as dúvidas ão desapareceram até que o coceito modero de limite ter sido formalizado e defiido. Newto fez umerosas e otáveis aplicações de seu método dos fluxos. Determiou máximos e míimos de fuções, tagetes a curvas, potos de iflexão e cocavidade de curvas, aplicou-o também em muitas quadraturas e retificações de curvas. Em Tratado sobre a Quadratura das Curvas (1704), Newto dissocia-se dos ifiitésimos. Os seus fluxos eram derivadas e os fluetes eram fuções primitivas. No fial do texto ele descreve o que é cosiderado o teorema fudametal do Cálculo Itegral. Os fluxos comportam-se como icremetos dos fluetes em itervalos de tempo extremamete pequeos. Mais precisamete, elas são diretamete proporcioais a eles.(newto apud Gardig, 1997, p.155) 7. A formalização do Cálculo Ifiitesimal por Leibiz Gottfried Wilhelm Leibiz asceu a Alemaha em 1646 e foi rival de Newto a criação e formalização do Cálculo ifiitesimal. Os últimos sete aos 60

70 de sua vida foram amargurados pela polêmica, com Newto, a respeito da primazia da criação e formalização do Cálculo ifiitesimal. A procura de um método uiversal através do qual pudesse obter cohecimetos, fazer iveções e compreeder a uidade essecial do uiverso foi o pricipal objetivo de sua vida. A scietia geeralis que queria costruir tiha muitos aspectos matemáticos que o levaram a grades descobertas matemáticas. Segudo algus historiadores, poucos matemáticos etederam tão bem a uidade e a forma como Leibiz. A formalização do Cálculo, por Leibiz, foi baseada a procura de uma liguagem uiversal. Equato as abordages de Newto foram basicamete ciemáticas, as de Leibiz foram geométricas. Pesava em termos do triâgulo característico (dx,dy,ds). A primeira publicação de Leibiz foi o artigo: Um ovo método para máximos e míimos, assim como para tagetes, que ão é obstruída pelo uso das quatidades fracioárias ou irracioais, e uma curiosa espécie de cálculo para tal método.(leibiz apud Struik, 1992, p.184). Era uma descrição obscura, mas cotiha os símbolos atuais dx, dy e as regras de difereciação, icluido d(u/v) = udv+vdu e o diferecial para o quociete, com a codição dy = o para valores extremos e d 2 y = 0 para potos de iflexão. Etre 1672 e 1677 Leibiz criou o formalismo básico do Cálculo Ifiitesimal. Desde o iício tetou trasformar em fórmulas algébricas os complicados diagramas geométricos dos predecessores. Um das suas tetativas iiciais foi a fórmula: om.xl = xom.l om.om.l, referetes a áreas. Mais tarde substitui as letras om, que sigificavam soma de pelo sial. A fórmula: om.xl = xom.l om.om.l correspoderia, atualmete, a xdy = xy ydx, que é a fórmula de itegração por partes. A otação atual é devida a Leibiz, assim como os omes calculus differetialis e calculus itegralis. Devido à sua ifluêcia, o sial de = é usado para a igualdade e x para a multiplicação. Os termos fução e coordeadas são devidos a ele. Leibiz tetou achar a iversa da itegração, usado um símbolo d com o setido de difereça. Eis como o próprio Leibiz escreveu algumas regras do Cálculo Diferecial. Note que a sigifica uma costate e os traços superiores sigificam parêteses. 61

71 Adição e subtração. Seja y = v ± w ± a, etão dy será igual a dv ± dw ± 0. Multiplicação. Seja y igual a avw, etão dy ou davw ou advw será igual a avdw + awdv. Na História e Origem do Cálculo Diferecial (1714), em resposta aos ataques de Newto e seus seguidores, Leibiz, falado de si a terceira pessoa, diz: Ora, certamete, uca passou pela mete de ehum outro, ates de Leibiz, istituir a oção peculiar ao ovo cálculo, pela qual a imagiação é libertada da perpétua referêcia a diagramas. Mas, agora, pelo cálculo de Leibiz toda a geometria fica sujeita ao cálculo aalítico, e aquelas retas trascedetes que Descartes chamou mecâicas são também reduzidas a equações escolhidas para lhes covirem quado se cosideram dx... (Leibiz apud Gardig,1997, p.156) As formalizações de Leibiz sobre os fudametos do Cálculo sofreram da mesma imprecisão que as de Newto. Algumas vezes, os seus dx, dy eram quatidades fiitas, outras vezes quatidades meores que qualquer quatidade sigificativa, porém ão ulas. As críticas a obra de Leibiz ispiraram trabalhos posteriores, que geraram uma fudametação rigorosa do Cálculo Diferecial e Itegral. 8. A Itegral de Cauchy A defiição da Itegral de uma fução f como o limite de uma soma ifiita, tal como cohecemos atualmete, foi desevolvida pelo fracês Augusti-Louis Cauchy ( ). Ele cosiderou retâgulos, cuja altura era defiida por f(x) tomada a extremidade esquerda dos subitervalos da partição do itervalo [a,b]. Cauchy, etre outras coisas, deu a defiição de Itegral que cohecemos atualmete. Ele cosiderou fuções defiidas um itervalo [a,b] fazedo uma 62

72 partição desse itervalo, a = x < x < x <... < x b e associado a seguite o 1 2 = soma f (x i= 1 i 1)(xi xi 1). Ele defiiu a itegral de f o itervalo [a,b], como sedo o limite da soma quado o comprimeto máximo dos sub-itervalos [ xi 1, x ] tede a zero. Após a defiição da Itegral, Cauchy demostrou várias de suas propriedades, como a de que toda a fução cotíua um itervalo [a,b] é itegrável, etre outras. i 9. Itegral de Riema O matemático alemão Berhard Riema ( ), setiu ecessidade de rever a defiição de Cauchy. O poto de partida de suas pesquisas foi a seguite questão: em que codições uma certa fução é itegrável? Nesse setido, ele elaborou a defiição de Itegral usado somas superior e iferior e dispesado a exigêcia da cotiuidade por partes da fução, provado as codições suficietes e ecessárias para que uma fução limitada fosse itegrável. Riema fez a seguite demostração para a Itegral: Seja f uma fução defiida um itervalo [a,b] e P = x o, x 1,..., x uma partição desse itervalo, tal que: a = x < x < x <... < x b. Sejam os potos å 1, å 2,..., å tais que x i-1 o 1 2 = å i x i, formado a seguite soma S = f(å 1 ) Ä 1 + f(å 2 ) Ä f(å ) Ä, ode Ä i = x i x i-1. A fução f é itegrável se essas somas têm um certo limite quado a máxima amplitude dos itervalos [x i-1, x i ] tede a zero, idepedetemete da maeira como å i foram escolhidos. Esse limite é a itegral de f o itervalo [a, b]. No capítulo III Objeto Matemático: A itegral farei a demostração da Itegral de Cauchy-Riema e de seus critérios de itegrabilidade. O trabalho de Riema estimulou o desevolvimeto da teoria das fuções reais e outras formalizações do coceito de Itegral, tais como a de Lebesgue etre outras. 63

73 10. A importâcia da História da Matemática o esio e apredizagem de coceitos A icorporação da História da Matemática o esio e apredizagem é fudametal para se perceber como teorias e aplicações matemáticas foram criadas, desevolvidas e utilizadas um cotexto sociocultural de suas épocas. Viaa(1995) apreseta as mais recetes tetativas de aplicação da História da Matemática o seu esio e apredizagem. Do seu trabalho destaco duas vertetes. O pricípio geético, segudo o qual um aluo percorreria em seu apredizado as etapas que os coceitos historicamete percorreram em seu desevolvimeto. A adoção do pricípio geético em relação ao esio tem a teoria de Piaget como referêcia. A história social da ciêcia, em particular da Matemática, que parte da costatação de que a maioria dos livros de História da Matemática dá pouca importâcia ao cotexto das descobertas matemáticas e seu desevolvimeto. A Matemática é observada sob o poto de vista que cosidera apeas as questões e problemas referetes a ela própria. Essa preocupação tem origem as diversas corretes marxistas. A adoção da história social em relação ao esio tem a teoria de Vygotsky como referêcia. Nota-se que é recete a preocupação etre os historiadores de apresetar o cotexto das descobertas em Matemática, essa perspectiva, o autor destaca duas tedêcias: a) Apresetação de uma história social da matemática, dado êfase ao cotexto político, ecoômico, religioso que determiava o mometo da criação das idéias matemáticas. b) Estudos etográficos e atropológicos com a perspectiva de observar o surgimeto e desevolvimeto das idéias matemáticas em diversos povos e culturas. 64

74 O mesmo autor levata algumas possibilidades de uso didático da História da Matemática. No seu trabalho ele destaca algumas fuções pedagógicas atribuídas a História da Matemática, tais como: fote de motivação para o esio e apredizagem; fote de problemas práticos, curiosos ou recreativos a serem icorporados episodicamete as aulas; um istrumeto a formalização de coceitos matemáticos; um istrumeto a costrução de um pesameto crítico; um istrumeto uificador dos vários campos da matemática; um istrumeto de promoção da apredizagem sigificativa e compreesiva; um istrumeto revelador da atureza da Matemática. Há, portato, uma preocupação recete em discutir a aplicabilidade didática da História da Matemática. Ela tem História. Como qualquer outra ciêcia, ão é estática. A evolução dos coceitos matemáticos dificilmete se percebe pela observação do estágio atual dessa ciêcia. Para se cohecer a sua História é ecessário percorrer camihos diferetes das defiições, teoremas e demostrações que atualmete são o alicerce do esio e apredizagem da Matemática. Há um distaciameto etre os coteúdos esiados as escolas e o seu desevolvimeto histórico. A idéia dos aluos que ela é uma ciêcia exata está muitas vezes associada ao seu descohecimeto histórico, gerado uma cocepção de que ela é uma ciêcia prota, acabada e estática.. Uma Matemática, diâmica, ou seja, em costrução, surge para os aluos quado se recorre à História. Segudo Viaa(1995), a ordem lógica mais adequada para o esio dela ão é a do cohecimeto sistematizado, mas sim aquela que a revela como uma ciêcia em costrução. O recurso à História da Matemática tem, portato, um papel importate a orgaização do coteúdo que se quer esiar, relacioado-a com um cohecimeto que se quer costruir. 65

75 Esta abordagem cotribuiu para a costrução da miha seqüêcia de esio que procurou mostrar que o esio da Matemática e a História Matemática são duas ciêcias idissociadas, revelado etre elas uma relação itríseca, o cohecimeto matemático costruído a História pode ser recostruído as aulas de matemática, propiciado um esio e apredizagem mais sigificativos para os aluos e professores. 66

76 V - OBJETO MATEMÁTICO: A INTEGRAL A itegral O coceito de Itegral foi formulado por Newto e Leibiz o século XVII, mas a primeira tetativa de uma coceituação precisa foi feita por volta de 1820, pelo matemático fracês Augusti Louis Cauchy ( ). Os estudos dele foram icompletos, mas muito importates por terem dado iício a ivestigações sobre os fudametos do Cálculo Diferecial e Itegral. As cocepções de Itegral domiates até o século XVII eram baseadas em coceitos geométricos de área, uma época em que a tradição grega era muito forte e o rigor matemático era baseado a gradeza geométrica. A defiição de Cauchy ão era baseada a oção de gradeza, ao cotrário, ela era baseada a idéia de úmero. Mais tarde, a própria oção de área seria defiida rigorosamete em termos de itegral, portato fudametada em úmeros. A defiição de Cauchy se mostrou um istrumeto muito útil para a resolução de vários problemas da época. No etato, era isuficiete para outros como, por exemplo, a busca da solução da equação da oda. Para tetar resolver tal questão o matemático alemão Berhard Riema ( ) tetou ampliar a defiição formulada por Cauchy. Nesse setido, ele elaborou a sua defiição estededo a possibilidade de itegrar também fuções ão cotíuas, usado somas superiores e iferiores dispesado a exigêcia da cotiuidade das fuções, estabeleceu as codições suficietes e ecessárias para que uma fução limitada fosse itegrável. 1. Soma Superior e Soma Iferior Relativas a uma Decomposição Seja f a fução defiida e limitada um itervalo fechado [ a,b] e cosiderese a região R do plao coordeado, limitado por duas retas verticais que iterceptam o eixo das abscissas em a e b, respectivamete pelo eixo das abscissas e pelo gráfico de f. 67

77 { x, x,..., x } o 1 Uma partição do itervalo [ a,b] é um subcojuto fiito de potos P = [a, b] tal que: a = xo < x1 < x2 < x3 <... < xi 1 < xi <... < xk < xk + 1 <... < x = b, 0 i P decompõe o itervalo [a,b] em subitervalos fechados: [x o, x 1 ], [x 1, x 2 ], [x 2, x 3 ],..., [x -1, x ] Sedo P e Q partições do itervalo [ a,b], diz-se que Q refia P quado P Q. A maeira simples de refiar uma partição é acrescetar-lhe um úico poto. 68

78 Como f é limitada em [ a,b], o cojuto { f (x) : x [ a,b] } é limitado. Desigarei por M = sup{ f(x) : x [ a,b] } e por m = if{ f(x) : x [ a,b] }, respectivamete, o extremo superior e iferior de f em [ a,b] e por M i e m i extremo superior e iferior, respectivamete, de f o subitervalo [ x i-1, x i ]. O úmero Äxi = xi xi 1 chama-se amplitude do subitervalo [ x i-1, x i ]. Para simplificar a expressão dos cálculos, o que se segue, idicarei Ä xi por h. i Em cada subitervalo costruímos três retâgulos de mesma base xi 1 um de altura m i, um de altura M i e o outro de altura f(åi ), sedo f(åi ) um poto x, i arbitrário tal que x i 1 f(å) i xi. A área do primeiro é dada pelo produto m i h i, a do segudo é dada por M i h i e a do terceiro por f(åi ) h i. A soma s = m h + m h + m h m h represeta a área total dos retâgulos que estão abaixo do gráfico da fução f. A soma S = M h + M h + M h M h represeta a área total dos retâgulos que estão acima do gráfico e a soma I = f(å )h + f(å )h + f(å )h f(å ) h, com x i 1 å i x, represeta a soma das áreas dos retâgulos itermediários. Cada i uma dessas somas depede da partição P e, além disso, a última também depede da escolha å i em cada itervalo [ x i-1, x i ]. 2. Propriedades Cosiderei as partições P P... P..., do itervalo [ a,b] 1 2 somas defiidas acima valem as seguites propriedades:. Para as 2.1 A sucessão ( S ) P 1 das somas superiores é moótoa decrescete e a sucessão (s ) P 1das somas iferiores é moótoa crescete, isto é, aumetado ilimitadamete o úmero de subdivisões, as somas superiores decrescem e as somas iferiores crescem, como será ilustrado a seguir. 69

79 Itercalado-se um poto x 1 do itervalo geérico [ x i-1, x i ], o produto m i h i relativo a esse itervalo é substituído por dois produtos cuja soma ão pode ser meor que o produto primitivo; aalogamete, o produto M i h i por dois outros cuja soma ão pode superar o produto primitivo. é substituído De fato, o itervalo [ x i-1, x i ] é decomposto pelo poto x 1 em dois subitervalos [ x i-1, x 1 1 ] e [ x, x i ] de amplitude 1 h i e 2 h i, respectivamete, e h i = hi hi. Idicarei por 1 i m e 1 M i, respectivamete, os extremos iferiores e superiores da fução f o itervalo [ x i-1, x] 1, e por 2 m i e 2 M i, respectivamete, 1 os extremos iferiores e superiores, da fução f o itervalo [ x, x i ]. O extremo iferior da fução um subitervalo [ x i-1, 1 1 x ] ou [ x, x i ] ão é meor do que o extremo iferior do itervalo [ x i-1, x i ]. Do mesmo modo, o extremo superior o subitervalo [ x i-1, x 1 1 ] ou [ x, x i ] ão é maior que o extremo superior do itervalo [ x i-1, x i ]. Desse modo, temos: 1 2 a) mi mi e mi mi 1 2 b) Mi Mi e Mi Mi 70

80 Multiplicado a desigualdade m m por 1 i i 1 h i e a desigualdade m m 2 i i por 2 h i e somado membro a membro, resulta: 1 1 mihi 2 2 mi hi m h + m h i i i 2 i mh mh 1 2 m (h + h ) i 1 i i 2 i i i i m h + m h mh (I) 1 1 i i 2 2 i i Vê-se assim, que o valor da parcela m h de s i i é meor ou igual do que a soma das parcelas referetes aos subitervalos obtidos, itercalado-se o poto 1 x o itervalo [ x i-1, x i ]. por Multiplicado a desigualdade 1 i i M M por 2 h i e somado membro a membro, resulta: i i 1 h i e a desigualdade M M 2 i i 1 1 Mihi 2 2 Mi hi M h + M h i i i 2 i Mh Mh 1 2 M (h + h ) i 1 i i 2 i i i i M h + M h Mh (II) 1 1 i i 2 2 i i i i Assim o valor da parcela M h de S i i é maior ou igual do que a soma das parcelas referetes aos subitervalos obtidos, itercalado-se o poto x 1 o itervalo [ x i-1, x i ]. Somado-se s mh aos dois membros da desigualdade (I), obtemos: i i s mh + m h + m h i i 1 1 i i 2 2 i i mh + s i i mh i i m 1h 1 + m2h mihi + mi hi mh m1h 1 + m2h mh i i mh s+ 1 Vê-se portato, que, com o crescimeto de, as somas iferiores também crescem. Somado-se S Mh aos dois membros da desigualdade (II), obtemos: i i s S Mh + M h + M h i i 1 1 i i 2 2 i i Mh + S i i Mh i i 71

81 M 1h 1 + M2h Mi hi + Mi hi Mh M1h 1 + M2h Mh i i Mh S + 1 S Coclui-se que, com o crescimeto de, as somas superiores decrescem. Se ao ivés de um úico poto, itercalam-se dois ou mais potos, repetese as desigualdades da forma s s + 1 e S S + 1, e podedo-se etão escrever: s s + p e S S + p, para qualquer e p As somas superiores S possuem um extremo iferior I, as somas iferiores possuem um extremo superior S e as somas itermediárias I estão sempre etre i i s e S. De fato, o itervalo [x i-1,x i ], tem-se que mi f( åi ) Mi i para todo å i, com m å M e o itervalo [ a, b] tem-se que m i m e M i M. Assim: m m f i ( å ) M M i i Multiplicado-se a desigualdade acima por h i, obtemos: mh i mh i i f ( åi ) hi Mh i i Mhi. Dode: mhi mh i i f( åi ) hi Mh i i i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 m hi mh i i f( åi ) hi Mh i i M i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 Mh h i i m(b a) s I S M(b a) Essas desigualdades valem para toda partição do itervalo [ a,b]. Isto sigifica que o cojuto das somas superiores correspodetes a todas as partições de [ a,b], é limitado iferiormete por m(b-a), logo, admite ífimo S. Por outro lado, o cojuto de todas as iferiores é limitado superiormete por M(b-a), portato, admite um supremo I. 72

82 b a Defiição: I se chama itegral iferior de f em [ a,b] e idica-se por f (x)dx. S se chama itegral superior de f em [ a,b] e é idicada por b a f (x)dx. Sedo m > tem-se que s m > s, etão a seqüêcia das somas iferiores é crescete. Logo covergirá para o supremo I, isto é: lim s b = I = f(x)dx a Aalogamete, S m < s e, portato, a seqüêcia das somas superiores covergirá para o ífimo S, ou seja: lim S = S = b a f(x)dx Defiição: A fução f se diz itegrável em [,b] a se lim S = lim s, isto é, se b = a b f (x)dx f(x)dx. Neste caso idica-se por a b a f (x)dx. Vê-se etão que, quado f é itegrável em [ a,b], verifica-se lim S = lim I = lim s = f(x)dx. b a Uma demostração de que toda fução cotíua f: [ a,b] IR é itegrável, ecotra-se em Lima (1976). Este fato mostra que a defiição dada de fuções itegráveis de Riema egloba a defiição dada por Cauchy. 3. Codição de Itegrabilidade de Riema. Segudo Cauchy, a itegral defiida era baseada as hipóteses: a) A fução f é cotíua em um itervalo fechado [a, b]. b) A fução f é ão egativa para todo x pertecete ao itervalo [a, b]. c) Todos os subitervalos [x i-1, x i ] defiidos pela partição do itervalo [a, b] têm a mesma amplitude h i. 73

83 d) A escolha dos úmeros å i de modo que f( å i ) seja sempre o míimo ou máximo de f em [x i-1, x i ]. Estas codições são suficietes para a existêcia da itegral, mas ão são ecessárias. Riema percebeu a isuficiêcia dessa teoria da itegral, defiido a itegral e caracterizado as fuções itegráveis, baseadas as seguites hipóteses: a) A fução pode ser descotíua em potos de [a, b]. b) A fução f pode ser egativa. c) As amplitudes dos subitervalos [x i-1, x i ] podem ser diferetes. d) ù i é qualquer úmero pertecete ao itervalo [x i-1, x i ]. O poto de partida de Riema foi a seguite questão: em que codições uma fução é itegrável? Percebeu a isuficiêcia da teoria de Cauchy e começou suas ivestigações defiido a itegral e caracterizado as fuções itegráveis partido de uma fução f defiida um itervalo [a, b ] e uma partição P = {x 0, x 1,..., x } desse itervalo, sedo: a= x x < x < x <... < x < x <... < x < x <... < x b o < i 1 i k k + 1 =. A amplitude do itervalo [x i-1, x i ] será represetada Ä xi. O maior dos úmeros Ä x será chamado de orma da partição P, e será 1, Äx2,..., Äx represetado por p. Defie-se soma de Riema de f em relação a P como sedo qualquer expressão da forma: f(ù i)äx i para i = 1, 2,..., ; f( ù i ) ão i= 1 será ecessariamete um máximo ou míimo de f em [x i-1, x i ]. Segudo Riema, f é itegrável se as somas têm um certo limite quado a máxima amplitude dos itervalos tede a zero, idepedetemete da maeira como ù i são escolhidos. Por defiição, esse limite é a itegral de f o itervalo [a, b].se o limite lim p 0 i= 1i f (ù i)äx i = I, ode I é um úmero real, existe, etão I será 74

84 b chamado de itegral de f o itervalo fechado [a, b] e será deotada por f (x)dx. a b Isto é f (x)dx = a lim p 0 i f (ù i)äx i, desde que o limite exista. Em seguida serão apresetados as escolhas metodológicas para a tetativa de atribuir sigificação à Itegral. 75

85 VI OBJETIVOS E METODOLOGIA DA PESQUISA Neste capítulo procurei apresetar o objetivo desta pesquisa, bem como defiir os procedimetos utilizados e seu delieameto metodológico, buscado respoder a perguta da pesquisa, que se refere ao fato de elaborar uma sequêcia de esio, baseada o uso do computador e a busca de um esio e apredizagem sigificativos e cotextualizados. 1. Objetivo O objetivo deste trabalho é respoder à questão da pesquisa: Os aluos são capazes de costruir o coceito da Itegral, por meio de atividades que levem em cota sua gêese, utilizado um software matemático? Para tato, elaborei uma seqüêcia de esio para ser trabalhada um ambiete computacioal, bem como aplicá-la e aalisar os resultados. Na aplicação pretedo observar e registrar como se dá a implatação e o desevolvimeto da seqüêcia de esio em uma turma de Cálculo Diferecial e Itegral I, verificado como ocorre a apropriação do coceito de Itegral os procedimetos desevolvidos pelos aluos e a sua relação com o computador utilizado a seqüêcia de esio. 2. Escolhas metodológicas Para atigir este objetivo, durate o segudo semestre de 2001, criei uma seqüêcia de esio baseada a fudametação teórica e os elemetos históricos levatados. Mihas escolhas foram cetradas os seguites ites: Características atuais do esio do Cálculo. Perfil do professor e do aluo que atuarão uma sociedade cada vez mais iformatizada. Atitudes e postura dos aluos. 76

86 Desevolvimeto de atividades que sejam sigificativas e cotextualizadas. Aplicabilidade do computador o esio e apredizagem. Optei por uma metodologia do tipo aálise qualitativa, baseada a realização de uma seqüêcia esio, trabalhado com duplas de estudates em um ambiete computacioal. A escolha por lidar com duplas de estudates foi baseada o fato que, ao trabalhar em cojuto produzem-se diálogos, troca de hipóteses e coclusões de forma mais espotâea. Segudo Fotaa&Frey apud Villarreal(1999) os grupos apresetam algumas vatages: proporcioam maior riqueza de dados, são estimulates para os participates e há um auxilio mútuo etre eles. No etato, também aparecem algumas dificuldades: o grupo pode ser domiado por um aluo e as expressões idividuais podem sofrer iterferêcias. Nesse setido, o professor pesquisador deve estar ateto para que haja uma participação equilibrada dos membros do grupo. Cobb&Steffe(1983) citados em Villarreal(1999) afirmam que a realização de um experimeto de esio implica a elaboração de um modelo que dê cota da costrução do cohecimeto matemático do estudate. Assim, esta pesquisa é apresetada uma seqüêcia de esio em um cotexto computacioal, que procurou caracterizar os processos de pesameto dos aluos e a relação que eles estabelecem com os computadores a apredizagem. 2.1 O software Neste trabalho utilizou-se o software Maple V Release 4 que permite efetuar maipulações simbólicas e uméricas e costruir gráficos a partir de expressões algébricas. O Maple apreseta três áreas de trabalho: Álgebra, Gráficos em duas dimesões(2d) e Gráficos em três dimesões(3d). Na escolha desse software levei em cosideração os seguites critérios: a) facilidade a sua maipulação sem ecessidade de cohecimeto prévio de computação ou programação, b) possibilidade de trabalhar o coteúdo 77

87 matemático proposto, c) o software está implatado o laboratório de iformática da Istituição ode a seqüêcia será aplicada, d) trata-se de um software já utilizado as aulas de Cálculo. Este software é cosiderado um sistema de computação matemática, tato simbólica, como umérica e gráfica. Foi desevolvido o Caadá, pela Uiversidade de Waterloo e ele podem ser realizados diversos tópicos de Cálculo Diferecial e Itegral, tais como: operações básicas de matemática; limite e cotiuidade; derivada; itegral; itegração por substituição, por partes, frações parciais e múltiplas; gráficos bidimesioais em coordeadas especiais: polar, paramétrica, implícitas, etc.; gráficos tridimesioais em coordeadas cilídricas, esféricas, paramétricas, etc.; aplicações a Matemática: cálculo de comprimeto de arco, área de uma região limitada, área e volume de um sólido, sólido de revolução, etc. Abaixo apreseto a área de trabalho ode são digitados os comados e visualizadas as respostas apresetadas pelo Maple. Para exemplificar calcularei a itegral de f(x) = -x o itervalo [-3,3]. 78

88 No cálculo da itegral utilizei os seguites comados: solve para determiar os potos de itersecção das curvas com o eixo das abscissas; plot para traçar o gráfico da curva; it para calcular a área abaixo da curva; value para calcular o valor da expressão matemática. No Maple pode-se obter uma represetação gráfica para trabalhar o coceito de itegral defiida, que é usualmete utilizada pelos professores. Por exemplo, utilizado o comado middlebox(-x^2+9,x=-3..3,10); costróem-se retâgulos abaixo da curva cuja altura é o valor da fução - x 2 + 9, o poto médio dos subitervalos da partição do itervalo [-3,3] e terá a seguite represetação a teclado computador: 79