Parte 1: Matemática Combinatória, Binômio de Newton e Cálculo de Probabilidades

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1 Pós Graduação em Educação Matemática UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA Parte : Matemática ombiatória, Biômio de Newto e álculo de Probabilidades Prof. Ilydio Pereira de Sá

2 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá ÍNDIE Itrodução 3. Matemática ombiatória Valsas de Mozart, AIDS, Mega Sea: O Pricíio Multilicativo e sua Imortâcia a Matemática ombiatória e o álculo de Probabilidades. 4. O Pricíio Multilicativo 8. Problemas lássicos de otagem: Permutações, Arrajos e ombiações 7.3 Exercícios Gerais Matemática ombiatória 9. Biômio de Newto 3 3. Probabilidades 39 Itrodução Origem Histórica Probabilidades Discretas oceitos Básicos Três asos Iteressates: oicidêcia dos Aiversários; O Problema de Moty Hall; Os Jogadores e a cosulta à Galileu ombiação de Evetos oceito de Probabilidade Geeralização Na Sala de Aula: Probabilidade o Esio Fudametal; Loterias e Probabilidades; Não há um úico camiho correto; Probabilidade x Favorabilidade e Eseraça Matemática; Alicações a área Biomédica: Geética e Hereditariedade; Distribuição Biomial em Probabilidades; Probabilidade Geométrica Exercícios Resolvidos sobre Probabilidades Exercícios Gerais sobre Probabilidades Questões de ocursos Amliado Horizotes: Sugestões ara Pesquisa e Arofudameto 78 Aexo 8 Bibliografia 83 A teoria das robabilidades, o fudo, ão é mais do que o bom seso traduzido em cálculo; ermite calcular com exatidão aquilo que as essoas setem or uma esécie de istito... É otável que tal ciêcia, que começou os estudos sobre jogos de azar, teha alcaçado os mais altos íveis do cohecimeto humao. Pierre Simo Lalace (749-87)

3 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 3 Itrodução: Provavelmete todos ós, rofessores ou estudates de Matemática, em algum mometo de ossa vida rofissioal ou de ossa formação já os dearamos com roblemas de Aálise ombiatória ou de Probabilidades que, mesmo com euciados simles, tiveram soluções comlexas ou mesmo de difícil comreesão. Isso se reflete, muitas vezes, em iseguraça ara o esio desses tóicos imortates da Matemática Básica. Essa iseguraça se refletirá, quase semre, a abordagem suerficial do tema ou a aresetação do mesmo como um cojuto de casos isolados e descotextualizados, sem qualquer alicação rática imortate. Em osso curso retedemos abordar algus ricíios básicos e que, muitas vezes, odem ser efocados desde as séries iiciais do Esio Fudametal, com o objetivo de aresetação de técicas orgaizadas ara a solução da maioria desses roblemas e, ricialmete, da sua alicação as mais diversas áreas do cohecimeto. São exemlos, situações, técicas, metodologias que temos usado (e com excelete resultado) em mais de 30 aos como rofessor Regete em classes do Esio Fudametal, Médio e Suerior. Todos ós, Educadores Matemáticos, sabemos que, aesar das lacuas que existem em ossa formação rofissioal, devemos semre rocurar relacioar o que esiamos com as outras áreas do cohecimeto, ossibilitado ao aluo resolver roblemas de seu cotidiao, ao mesmo temo em que retiramos o mofo que existe o esio da matemática e que fometa o mito domiate de discilia árida, ara um seleto gruo de rivilegiados e totalmete deslugada das outras discilias e do mudo em que vivemos. A seguir, algumas recomedações que estão o livro "Aálise ombiatória e Probabilidade" do Prof. Augusto ésar Morgado, ublicação IMPA/VITAE/99) Não faça fórmulas demais ou casos articulares demais. Isso obscurece as idéias gerais e tora as coisas mais comlicadas. Areda e faça com que os aluos aredam com os erros. É imortate, diate de uma solução errada, aalisar o motivo do erro. ombiatória ão é difícil. Resista aos truques imediatos. Devemos rocurar métodos mais gerais e ão truques esecíficos ara determiados formatos de roblemas. Resista às efadohas listas de exercícios que iguém sabe resolver e que só fazem com que os aluos se desiteressem, cada vez mais elo tema. "Quem quer fazer algo ecotra um meio; quem ão quer fazer ada ecotra uma descula". Provérbio árabe.

4 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 4 ) Matemática ombiatória Nota iicial: Ao logo de osso curso daremos algumas sugestões de caráter didático / metodológico. Ates de uma dessas sugestões colocaremos semre o símbolo, de modo a chamar a sua ateção sobre o que vem a seguir. VALSAS DE MOZART, AIDS, MEGA SENA,...O PRINÍPIO MULTIPLIATIVO E SUA IMPORTÂNIA NA MATEMÁTIA OMBINATÓRIA E NO ÁLULO DE PROBABILIDADES. (Uma adatação do livro Aalfabetismo em Matemática e suas coseqüêcias, de Joh Alle Paulos, or Ilydio Pereira de Sá) A título de itrodução ao osso curso vamos aresetar o imortate coceito do ricíio multilicativo e suas diversas alicações os mais diversos camos do cohecimeto humao. O estudo desse tema, as classes do Esio Médio, facilita e reduz cosideravelmete o úmero de fórmulas ecessárias ao bom etedimeto da Matemática ombiatória e do cálculo de Probabilidades. As rimeiras oções de cotagem, iseridas esse tema, odem ser abordadas iclusive as classes iiciais do Esio Fudametal. O PRINÍPIO MULTIPLIATIVO O chamado ricíio multilicativo é egaosamete simles e muito imortate. Segudo ele, se alguma escolha ode ser feita de M diferetes maeiras e alguma escolha subseqüete ode ser feita de N diferetes maeiras, há M X N diferetes maeiras elas quais essas escolhas odem ser feitas sucessivamete. Assim, se uma mulher tem cico blusas e três saias, ela tem 5 x 3 = 5 escolhas de traje, já que cada uma das cico blusas (B,B,B3,B4,B5) ode ser usada com qualquer uma das três saias (S, S, S3), roduzido os seguites trajes (B,S; B,S; B,S3; B,S; B,S; B,S3; B3,S; B3,S; B3,S3; B4,S; B4,S; B4,S3; B5,S; B5,S; B5,S3). A artir de um cardáio de quatro aeritivos, sete etradas e três sobremesas, um cliete ode comor 4 x 7 x 3 = 84 jatares diferetes, desde que eça os três serviços. Do mesmo modo, o úmero de resultados ossíveis quado se laça um ar de dados é 6 x 6 = 36; qualquer um dos seis úmeros do rimeiro dado ode ser combiado com qualquer um dos seis úmeros do segudo dado. O úmero de resultados ossíveis quado o úmero do segudo dado difere do rimeiro é 6 x 5 = 30; qualquer um dos seis úmeros do rimeiro dado ode ser combiado com os cico úmeros restates o segudo dado. O úmero de resultados ossíveis quado se laçam três dados é 6 x 6 x 6 = 6. O úmero de resultados quado os úmeros os três dados diferem é 6 x 5x 4=0. Esse ricíio tem valor iestimável ara o cálculo de úmeros grades, como a quatidade máxima de telefoes, que oderiam ser istalados em uma cidade, ou o úmero de cartões distitos que uma essoa oderia marcar, a Mega Sea, com o jogo mais barato ossível. TELEFONES, PLAAS, FILAS E AS VALSAS DE MOZART Vamos suor que em uma cidade cada úmero é formado or 8 dígitos. Nesse caso, a quatidade máxima de telefoes, com úmeros distitos, que oderiam ser istalados é de 8 0 = (se ão houver qualquer restrição ara as estações, or exemlo). De maeira semelhate, o úmero de ossíveis lacas de automóvel um aís ode cada laca 3 4 é formada or 3 letras e quatro algarismos é 6 x0 ( lacas). aso ão

5 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 5 fossem ermitidas reetições de letras ou de algarismos, o úmero de lacas ossíveis seria 6 x 5 x 4 x 0 x 9 x 8 x 7 = lacas. Quado os líderes de oito aíses do Ocidete se reúem ara o imortate eveto de um ecotro de cúula sedo fotografados em gruo, odem ser alihados de 8x7x6x5x4x3xxl = diferetes maeiras. Por quê? Dessas maeiras, em quatas o residete Bush e o residete Lula ficariam lado a lado? Para resoder a isto, suoha que Bush e Lula sejam efiados um grade saco. Essas sete etidades (os seis líderes restates e o saco) odem ser alihadas de 7x6x5x4x3xx = maeiras (ivocado mais uma vez o ricíio da multilicação). Este úmero deve ser etão multilicado or dois, ois, assim que Bush e Lula tiverem sido retirados do saco, teremos uma escolha quato a qual dos dois líderes situados lado a lado deve ser iserido em rimeiro lugar. Há ortato maeiras ara os líderes se aliharem em que Bush e Lula ficariam lado a lado. Em coseqüêcia, se os líderes fossem aleatoriamete alihados, a robabilidade de esses dois ficarem róximos um do outro seria = = 5% erta vez Mozart comôs uma valsa em que esecificou oze diferetes ossibilidades ara catorze dos dezesseis comassos e duas ossibilidades ara um dos outros comassos. Assim, há x 4 variações a valsa, das quais aeas uma miúscula fração já foi ouvida. As essoas geralmete ão avaliam o quato os exemlos do tio que estamos mostrado odem gerar úmeros tão grades de ossibilidades. São iúmeros os exemlos que odemos listar, em todas as áreas, com alicações desse imortate ricíio fudametal da cotagem (ou multilicativo). Problemas como os que vimos até agora, sem ecessidade de uso de qualquer fórmula esecial, serão estudados or ós, ao logo do curso de Matemática ombiatória ou Aálise ombiatória, o caítulo que chamaremos de ARRANJOS E PERMUTAÇÕES. ASQUINHAS OM TRÊS BOLAS, MEGA SENA E AIDS Uma famosa sorveteria aucia 3 diferetes sabores de sorvete. O úmero ossível de casquihas com três bolas sem ehuma reetição de sabor é, ortato, 3 x 30 x 9 = 6.970; qualquer um dos 3 sabores ode vir em cima, qualquer um dos 30 restates o meio, e qualquer um dos 9 remaescetes embaixo. Se ão estamos iteressados o modo como os sabores são disostos a casquiha, mas simlesmete em quatas casquihas com três sabores há, dividimos or 6, ara chegarmos a casquihas. A razão or que dividimos or 6 é que há 6 = 3 x x l diferetes maeiras de disor os sabores uma casquiha de, digamos, morago-bauilha-chocolate: MB, MB; BM; BM, BM e MB. Uma vez que o mesmo se alica a cada casquiha com três sabores, o úmero dessas casquihas é (3x30x9)/(3xx) = casquihas com 3 sabores, escolhidos detre os 3 oferecidos (sem imortar a ordem de colocação desses 3 sabores a casquiha). Um exemlo meos egordativo é forecido elas muitas loterias existetes em osso aís. A mega-sea, or exemlo cujo jogo míimo cosiste a escolha de 6 dezeas, detre as 60 disoíveis. aso a ordem de escolha dos úmeros fosse imortate a escolha do aostador, teríamos 60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55 jogos distitos, com seis dezeas. Mas como sabemos que a ordem de escolha desses úmeros ão é imortate, temos que dividir esse resultado or 6 x 5 x 4 x 3 x x = 70, já que qualquer uma das seqüêcias de seis úmeros ode ser decomosta em 70 outras aostas iguais. Teremos, ortato ossibilidades de escolha das 6 dezeas, detre as 60 disoíveis a Mega-sea. Verifique que uma essoa que escolher aeas uma dessas aostas (6 dezeas) terá uma ossibilidade em de ser o gahador do rêmio.

6 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 6 Outro exemlo, e este de cosiderável imortâcia ara jogadores de cartas, é o úmero de mãos o ôquer de cico cartas. Há 5 x 5l x 50 x 49 x 48 maeiras ossíveis de receber cico cartas se a ordem das cartas distribuídas for relevate. omo ão é, dividimos o roduto or (5x4x3xxl) e verificamos que há mãos ossíveis. Uma vez que este úmero seja cohecido, várias robabilidades úteis odem ser calculadas. As chaces de 48 receber quatro ases, or exemlo, são de (cerca de uma em 50 mil), já que há modos ossíveis de receber uma mão com quatro ases corresodedo às 48 cartas que oderiam ser a quita carta essa mão. Observe que a forma do úmero obtido é a mesma os 3 exemlos: (3x30x9) / (3xx) diferetes casquihas com três sabores; (60x59x58x57x56x55) /(6x5x4x3xx) maeiras de escolher seis úmeros etre os sesseta da mega-sea e (5x5x50x49x48) / (5x4x3xx) diferetes mãos de ôquer. Números obtidos desta forma são chamados coeficietes combiatórios ou combiações. Eles surgem quado estamos iteressados o úmero de maeiras de escolher R elemetos a artir de N elemetos e ão estamos iteressados a ordem em que os R elemetos são escolhidos. O ricíio da multilicação é tão imortate o âmbito da Matemática ombiatória é tal que, os exemlos que vimos até agora, surgiram os três casos de roblemas clássicos de cotagem: Arrajos, Permutações e ombiações e, mesmo ates de etrarmos em detalhes sobre o tema, já resolvemos diversos exemlos muito imortates. PROBABILIDADES DE EVENTOS INDEPENDENTES Um aálogo do ricíio da multilicação ode ser usado ara calcular robabilidades. Se dois evetos são ideedetes o setido de que o resultado de um ão tem ifluêcia o resultado do outro, a robabilidade de ambos ocorrerem é calculada multilicado-se as robabilidades dos evetos idividuais. Por exemlo, a robabilidade de obter duas caras em dois arremessos de uma moeda é x =, já que etre as quatro ossibilidades igualmete rováveis coroa, coroa; 4 coroa, cara; cara, coroa; cara, cara uma é um ar de caras. Pela mesma razão, a robabilidade de cico laçametos sucessivos de uma moeda resultarem em caras é 5 =, já que uma das 3 ossibilidades igualmete rováveis são cico caras 3 cosecutivas. De maeira similar, dada a robabilidade de uma essoa escolhida aleatoriamete ão ter ascido em julho é, e como os aiversários das essoas são ideedetes, a ossibilidade de ehuma de doze essoas escolhidas aleatoriamete ter ascido em julho é (0,35, ou 35,%). A ideedêcia dos evetos é uma oção muito imortate em robabilidade, e quado vigora, o ricíio da multilicação simlifica cosideravelmete ossos cálculos. Um dos rimeiros roblemas de robabilidade foi sugerido ao matemático e filósofo fracês Pascal elo jogador Atoie Gombeaud, hevalier de Mère. De Mère queria saber qual eveto era mais rovável: obter elo meos um 6 em 4 laces de um úico dado, ou obter elo meos um em 4 laces de um ar de dados. O ricíio da multilicação é suficiete ara determiar a resosta, se os lembrarmos de que a ossibilidade de um eveto ão ocorrer é igual a l meos a robabilidade de ocorrer (uma chace de 0% de chover imlica uma chace de 80% de ão chover).

7 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 7 omo é a robabilidade de ão sair um 6 um úico lace de um dado, 5 é a 6 robabilidade de ão sair um 6 em seis laces do dado. Portato, subtraido esse úmero de l teremos a robabilidade de este último eveto (ehum 6) ão ocorrer; em outras 5 alavras, de sair elo meos um 6 as quatro tetativas: l - = 0,5. Da mesma 6 maeira, verifica-se que a robabilidade de se obter elo meos um em 4 laces de um 4 35 ar de dados é l - = 0,49 o que os mostra que o rimeiro eveto tem maior 36 robabilidade de ocorrer. De acordo com os estudiosos da história da matemática, o estudo da matemática combiatória e do cálculo das robabilidades teve o seu iício as cosultas que os obres aficioados dos jogos de azar faziam aos ilustres matemáticos da éoca. Um exemlo mais cotemorâeo do mesmo tio de cálculo evolve a robabilidade de adquirir AIDS heterossexualmete. Estima-se que a chace de cotrair AIDS um úico eisódio heterossexual desrotegido com um arceiro sabidamete ortador da doeça é de cerca de uma em quihetas (a média dos úmeros de uma série de estudos). Assim, a robabilidade de ão a cotrair em um úico ecotro como este é 499. Se esses riscos 500 são ideedetes, como muitos suõem que sejam, etão as chaces de ão ser vitimado aós dois desses ecotros é , e deois de N desses ecotros, N. Uma vez 499 que é 0,48, tem-se cerca de 48% de chace de ão cotrair Aids tedo relações 500 sexuais iseguras todos os dias de um ao iteiro com alguém que tem a doeça (e ortato, equivaletemete, 5% de chace de cotraí-la). Vejamos agora um exemlo um tatiho derimete e que ode os dar uma certa reocuação. A robabilidade de você ão ser morto um acidete de carro ode ser de 99%. Sua chace de escaar da loucura ode ser de 90%, de uma doeça de ulmão, de 95%, de ão cotrair algum tio de câcer, de 80% de ão ser acometido de doeça do coração, de 75%...legal, ão? É claro que os úmeros que estamos aresetado têm caráter meramete ilustrativos, mas oderíamos ter trabalhado com esquisas acuradas que os fatos seriam semelhates. O desaimador esse caso é que, se cosiderarmos todos esses fatos como ideedetes e alicarmos o ricíio multilicativo, teremos que, embora sejam equeas as chaces isoladas de ocorrêcia dos fatos desastrosos descritos acima, a robabilidade de escaarmos de todos eles (isto é, de você ão sofrer ehum dos ifortúios acima), alicado-se o roduto das robabilidades acima, será meor do que 50%, ifelizmete. Através dos diversos exemlos que aresetamos, udemos erceber a alicabilidade e simlicidade do ricíio fudametal da cotagem (multilicativo), o terreo da Matemática ombiatória. Vimos aida que sem mesmo sem usar qualquer tio de fórmulas, odemos resolver a maioria desses roblemas e isso ode ser um asso fudametal ara o estudo e o etedimeto dos roblemas que se aresetam essa imortate arte da Matemática Básica.

8 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 8 Esses são ara você resolver... ) Num rograma de rádio trasmitido diariamete, uma emissora toca semre as mesmas dez músicas, mas uca a mesma ordem. Quato temo (aroximadamete) será ecessário ara se esgotar todas as seqüêcias ossíveis dessas músicas? ) (UNIFIADO) Durate a oa do Mudo, que foi disutada or 4 aíses, as tamihas de oca-ola traziam semre alites sobre os aíses que se classificariam os três rimeiros lugares (or exemlo: º lugar, Brasil; º lugar, Nigéria; 3º lugar, Holada). Se, em cada tamiha, os três aíses são distitos, quatas tamihas diferetes oderiam existir?.) O ricíio fudametal da otagem (ou multilicativo) A alavra Matemática, ara um adulto ou uma criaça, está diretamete relacioada com atividades e técicas ara cotagem do úmero de elemetos de algum cojuto. As rimeiras atividades matemáticas que viveciamos evolvem semre a ação de cotar objetos de um cojuto, eumerado seus elemetos. As oerações de adição e multilicação são exemlos de técicas matemáticas utilizadas também ara a determiação de uma quatidade. A rimeira (adição) reúe ou juta duas ou mais quatidades cohecidas; e a seguda (multilicação) é ormalmete aredida como uma forma eficaz de substituir adição de arcelas iguais. A multilicação também é a base de um raciocíio muito imortate em Matemática, chamado ricíio multilicativo. O ricíio multilicativo costitui a ferrameta básica ara resolver roblemas de cotagem sem que seja ecessário eumerar seus elemetos (como veremos os exemlos). Os roblemas de cotagem fazem arte da chamada aálise combiatória. Iicialmete vamos mostrar algumas atividades que oderiam ser trabalhadas até as classes iiciais do Esio Fudametal.

9 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 9 EXEMPLO : Maria vai sair com suas amigas e, ara escolher a roua que usar, searou saias e 3 blusas. Vejamos de quatas maeiras ela ode se arrumar. Solução: O ricíio multilicativo, ilustrado esse exemlo, também ode ser euciado da seguite forma: Se uma decisão d ode ser tomada de maeiras e, em seguida, outra decisão d uder ser tomada de m maeiras, o úmero total de maeiras de torarmos as decisões d e d será m. No exemlo aterior havia duas decisões a serem tomadas: d: escolher uma detre as 3 blusas d: escolher uma detre as saias Assim, Maria disõe de 3 = 6 maeiras de tomar as decisões d e d, ou seja, 6 ossibilidades diferetes de se vestir. EXEMPLO : Um restaurate reara 4 ratos quetes (frago, eixe, care assada, salsichão), saladas (verde e russa) e 3 sobremesas (sorvete, Romeu e Julieta, frutas). De quatas maeiras diferetes um freguês ode se servir cosumido um rato quete, uma salada e uma sobremesa? Solução: Esse e outros roblemas da aálise combiatória odem ser reresetados ela cohecida árvore de ossibilidades ou grafo. Veja como reresetamos or uma árvore o roblema do cardáio do restaurate. Observe que esse roblema temos três íveis de decisão: d: escolher um detre os 4 tio de ratos quetes. d: escolher uma detre as variedades de salada. d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas. Usado o ricíio multilicativo, cocluímos que temos 4 3 = 4 maeiras de tomarmos as três decisões, ou seja, 4 oções de cardáio.

10 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 0 As técicas da aálise combiatória, como o ricíio multilicativo, os forecem soluções gerais ara atacar certos tios de roblema. No etato, esses roblemas exigem egehosidade, criatividade e uma lea comreesão da situação descrita. Portato, É reciso estudar bem o roblema, as codições dadas e as ossibilidades evolvidas, ou seja, ter erfeita cosciêcia dos dados e da resolução que se busca. EXEMPLO 3: Se o restaurate do exemlo aterior oferecesse dois reços diferetes, sedo mais baratas as oções que icluíssem frago ou salsichão com salada verde, de quatas maeiras você oderia se alimetar agado meos? Solução: Note que agora temos uma codição sobre as decisões d e d: d: escolher um detre ratos quetes (frago ou salsichão). d: escolher salada verde (aeas uma oção). d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas. Etão há 3 = 6 maeiras de motar cardáios ecoômicos. (Verifique os cardáios mais ecoômicos a árvore de ossibilidades do exemlo aterior). EXEMPLO 4: Quatos úmeros aturais de 3 algarismos distitos existem? Solução: Um úmero de 3 algarismos c d u é formado or 3 ordes: omo o algarismo da ordem das ceteas ão ode ser zero, temos etão três decisões: d: escolher o algarismo da cetea diferete de zero (9 oções). d: escolher o algarismo da dezea diferete do que já foi escolhido ara ocuar a cetea (9 oções). d3: escolher o algarismo da uidade diferete dos que já foram utilizados (8 oções). Portato, o total de úmeros formados ser = 648 úmeros. EXEMPLO 5: De acordo com o exemlo aterior, se desejássemos cotar detre os 648 úmeros de 3 algarismos distitos aeas os que são ares (termiados em 0,, 4, 6 e 8), como deveríamos roceder? Solução: O algarismo das uidades ode ser escolhido de 5 modos (0,, 4, 6 e 8). Se o zero foi usado como último algarismo, o rimeiro ode ser escolhido de 9 modos (ão odemos usar o algarismo já emregado a última casa). Se o zero ão foi usado como último algarismo, o rimeiro só ode ser escolhido de 8 modos (ão odemos usar o zero, em o algarismo j emregado a última casa). Para vecer este imasse, temos três alterativas: a) Decomor o roblema em casos (que é alterativa mais atural). otar searadamete os úmeros que têm zero como último algarismo (uidade = 0) e aqueles cujo último algarismo é diferete de zero (uidade 0). Termiado em zero temos modo de escolher o último algarismo, 9 modos de escolher o rimeiro e 8 modos de escolher o do meio (algarismo da dezea), um total de 9 8 = 7 úmeros.

11 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá Termiado em um algarismo diferete de zero temos 4 modos de escolher o último algarismo (, 4, 6, ou 8), 8 modos de escolher o rimeiro algarismo (ão odemos usar o zero, em o algarismo já usado a última casa) e 8 modos de escolher o algarismo do meio (ão odemos usar os dois algarismos já emregados as casas extremas). Logo, temos = 56 úmeros termiados em um algarismo diferete de zero. A resosta é, ortato, 7 56 = 38 úmeros. b) Igorar uma das restrições (que é uma alterativa mais sofisticada). Igorado o fato de zero ão oder ocuar a cetea, teríamos 5 modos de escolher o último algarismo, 9 modos de escolher o rimeiro e 8 modos de escolher o do meio, um total = 360 úmeros. Esses 360 úmeros icluem úmeros começados or zero, que devem ser descotados. omeçado em zero temos modo de escolher o rimeiro algarismo (0), 4 modos de escolher o último (, 4, 6 ou 8) e 8 modos de escolher o do meio (ão odemos usar os dois algarismos já emregados as casas extremas), um total de 4 8 = 3 úmeros. A resosta é, ortato, = 38 úmeros. c) laro que também oderíamos ter resolvido o roblema determiado todos os úmeros de 3 algarismos distitos (9 9 8 = 648 úmeros), como é o caso do Exemlo 4, e abatedo os úmeros ímares de 3 algarismos distitos (5 a última casa, 8 a rimeira e 8 a seguda), um total de = 30 úmeros. Assim, a resosta seria = 38 úmeros. EXEMPLO 6: As lacas de automóveis eram todas formadas or letras (iclusive K, Y e W) seguidas or 4 algarismos. Hoje em dia, as lacas dos carros estão sedo todas trocadas e assaram a ter 3 letras seguidas e 4 algarismos. Quatas lacas de cada tio odemos formar? Solução: No rimeiro caso: omo cada letra (L) ode ser escolhida de 6 maeiras e cada algarismo (N) de 0 modos distitos, a resosta é: = No segudo caso = = = A ova forma de idetificação de automóveis ossibilita uma variedade 6 vezes maior. A difereça é de , ou seja, 69 milhões de lacas diferetes a mais do que ateriormete. EXEMPLO 7: Quatos são os triâgulos que odem ser costruídos a artir de 0 otos marcados sobre uma circuferêcia? A Solução: B Verifique que esta questão tem uma difereça básica com relação às ateriores. Neste caso, a ordem de disosição dos elemetos de cada coleção ão imorta ao roblema, isto é, o triâgulo AB é o mesmo do triâgulo AB, or exemlo. Na itrodução de osso estudo, o texto sobre o ricíio multilicativo, já vimos como roceder uma situação dessas, como o caso das casquihas de sorvete, ou da mega-sea, or exemlo A quatidade de triâgulos será dada or: = 0 3..

12 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá EXEMPLO 8: Quatos são os segmetos de reta que odemos formar a artir de 8 otos distitos, colaares. Solução: ada segmeto formado, AB, or exemlo, gera um outro (BA) igual a ele. Logo, este exemlo é semelhate ao aterior e a sua solução será: 8.7 Quatidade de segmetos: = 8. ovém cometar aida que, se fossem segmetos de reta orietados, a quatidade seria obtida elo roduto 8. 7 = 56, já que ao mudar a ordem dos elemetos AB, BA, obteríamos segmetos orietados diferetes. EXEMPLO 9: Quatos divisores aturais ossui o úmero 7? Solução: Essa é uma imortate questão que você ode (e deve) trabalhar com seus aluos do Esio Fudametal. É muito comum, ricialmete os cursihos que rearam os aluos ara ocursos de igresso em Escolas Públicas (como olégio Militar, AP da UERJ, Pedro II, etc), os aluos serem treiados ara decorar uma regriha rática ara esse tio de questão. O que ocorre é que ormalmete a justificativa do rocesso (que é através do ricíio multilicativo) ão é mostrada aos aluos. Vejamos o que ocorre esses casos: Primeiramete vamos decomor o úmero 7 em fatores rimos aturais Pela decomosição, temos que: 3 7 = x 3 x y x 3, sedo que x e y devem ser Logo, todo divisor de 7 será um úmero da forma úmeros aturais, com as seguites codições: x = 0 ou x = ou x = ou x = 3 (cocorda?); y = 0 ou y = ou y =. Portato temos 4 ossibilidades ara o exoete x e 3 ossibilidades ara o exoete y e, alicado o ricíio multilicativo, teremos: 4 x 3 = divisores aturais ara o úmero 7. O que você ecotra em algus livros didáticos ou aostilas de cursihos rearatórios? Ecotra uma regriha do tio: Para obtermos a quatidade de divisores de um úmero atural qualquer, devemos fazer a sua decomosição em fatores rimos, somar uma uidade a cada exoete obtido e deois multilicar os resultados obtidos. Acredite, se uder! Sugerimos que, as classes de esio médio, comecemos o estudo de aálise combiatória elo ricíio acima aresetado. Aós o erfeito domíio de suas alicações é que o rofessor deveria estudar os distitos tios de agruametos existetes (arrajos, combiações e ermutações), se achar ecessário.

13 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 3 EXERÍIOS PROPOSTOS Exercício. Numa sala há 5 homes e 5 mulheres. De quatos modos é ossível selecioar um casal homemmulher? Exercício. a) Quatos úmeros aturais de algarismos distitos existem? b) Quatos destes úmeros são divisíveis or 5? Exercício 3. Quatas alavras cotedo 3 letras diferetes odem ser formadas com um alfabeto de 6 letras? Exercício 4. Quatos são os gabaritos ossíveis ara um teste de 0 questões de múltila escolha, com 5 alterativas or questão? Exercício: 5. Em um gruo existem 7 essoas, etre elas Roberto e Aa. Quatas são as filas que odem ser formadas, de modo que Roberto seja semre o rimeiro e Aa seja semre a última de cada fila? Exercício 6: O segredo de um cofre é formado or uma seqüêcia de 4 úmeros distitos de dígitos (de 00 a 99). Uma essoa decide tetar abrir o cofre sem saber a formação do segredo (or exemlo: ). Se essa essoa levar segudo ara exerimetar cada combiação ossível, trabalhado iiterrutamete e aotado cada tetativa já feita ara ão reeti-la, qual ser o temo máximo que oderá levar ara abrir o cofre? Exercício 7: a) Quatas são as lacas de automóvel que odem ser formadas o atual sistema de emlacameto Brasileiro? b) O Sr.José arlos Medeiros gostaria de que a laca de seu automóvel tivesse as iiciais do seu ome (a ordem correta do ome). Quatas lacas existem estas codições? Exercício 8: Uma badeira formada or 7 listras que devem ser coloridas usado-se aeas as cores verde, azul e ciza. Se cada listra deve ter aeas uma cor e ão odem ser usadas cores iguais em listras adjacetes, de quatos modos se ode colorir a badeira? Exercício 9: Quatos divisores iteiros e ositivos ossui o úmero 360? Quatos desses divisores são ares? Quatos são ímares? Quatos são quadrados erfeitos? Exercício 0: Quatos subcojutos ossui um cojuto que tem elemetos? Exercício : Um cojuto tem 8 elemetos. Quatos subcojutos com 6 elemetos, o míimo, ele ossui? "Ode quer que haja mulheres e homes, há semre o que fazer, há semre o que esiar, há semre o que areder". (Paulo Freire)

14 Exercício : ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 4 De quatos modos odemos colocar 8 torres iguais em um tabuleiro 8 8, de modo que ão haja duas torres a mesma liha ou a mesma colua? Exercício 3: Uma turma tem 30 aluos. Quatas comissões de 6 aluos odem ser formadas com os aluos dessa turma? Exercício 4: O cojuto A ossui 4 elemetos, e o cojuto B, 7 elemetos. Quatas fuções f : A B existem? Quatas delas são ijetoras? Exercício 5: Quatos são os aagramas da alavra PRATO, que começam or uma cosoate? Exercício 6: Formado-se todos os úmeros ossíveis, de 5 algarismos, ermutado-se os dígitos,, 3, 4, 5 e escrevedo-os em ordem crescete, resoda: a) Qual será a osição ocuada elo úmero 43 5? b) Qual será o valor da soma de todos esses úmeros formados? Exercício 7: Quatas siglas, de 3 letras distitas, odem ser formadas a artir da escolha detre as letras: A, B,, D, E, F? Exercício 8: São dados oito otos, dos quais cico estão em liha reta. Quatas retas ficam defiidas or esses 8 otos? Exercício 9: Um imortate oliedro, criado or Arquimedes, é costituído or faces etagoais e 0 faces hexagoais. Quatas diagoais ossui esse oliedro? Exercício 0: Num acidete automobilístico, aós se ouvirem várias testemuhas, cocluiu-se que o motorista culado elo acidete dirigia o veículo cuja laca era costituída de três vogais distitas e quatro algarismos diferetes, sedo que o algarismo das uidades era, com certeza o dígito. Qual a quatidade de veículos suseitos? Exercício : Um mágico se areseta em úblico vestido calça e aletó de cores diferetes. Para que ele ossa se aresetar em 4 sessões com cojutos diferetes, determie a quatidade míima de eças que ele deverá ossuir (úmero de aletós mais o úmero de calças). Exercício : Usado os algarismos, 3, 5, 7 e 9, determiar a quatidade de úmeros de 4 algarismos, que odem ser formados com eles, de forma que ao meos dois algarismos sejam iguais. "A árvore quado está sedo cortada, observa com tristeza que o cabo do machado é de madeira."

15 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 5 (Provérbio árabe) DESAFIE O SEU RAIOÍNIO... ) PROVÃO ME 999 A uidade de iformação os comutadores digitais é o bit (abreviatura de biary digit, ou seja, dígito biário), que ode estar em dois estados, idetificados com os dígitos 0 e. Usado uma seqüêcia de bits, odem ser criados códigos caazes de reresetar úmeros, caracteres, figuras, etc. O chamado código ASII, or exemlo, utiliza uma seqüêcia de 7 bits ara armazear símbolos usados a escrita (letras, siais de otuação, algarismos, etc). om estes 7 bits, quatos símbolos diferetes o código ASII ode reresetar? (A) 7! (B) 7 () 4 (D) 49 (E) 8 ) PROVÃO ME 998 Os clietes de um baco devem escolher uma seha, formada or 4 algarismos de 0 a 9, de tal forma que ão haja algarismos reetidos em osições cosecutivas assim, a seha 00 é válida, mas 4 ão é). O úmero de sehas válidas é: (A) (B) () 7.36 (D) 7.90 (E) 8.00 A omeclatura da PI etrado a vida dos Brasileiros que ão ossuem mesalão (Nem semre as coisas fucioam como laejamos...) Um rofessor de ciêcias queria esiar aos seus aluos de esio fudametal os males causados elas bebidas alcoólicas e elaborou uma exeriêcia. Para tato, utilizou um coo com água, outro com uísque e dois vermes. - Agora aluos, ateção. Observem os vermes - disse o rofessor, colocado um deles detro da água. A criatura adou agilmete o coo, como se estivesse feliz e bricado. Deois, o mestre colocou o outro verme o segudo coo, cotedo uísque. O bicho se cotorceu todo or algus mometos, deseseradamete, como se estivesse louco ara sair do líquido, e deois afudou já ierte, como uma edra, absolutamete morto. Satisfeito com os resultados, o rofessor ergutou aos aluos: - E etão, que lição odemos areder desta exeriêcia? O equeo Joãoziho levatou a mão, edido ara falar, e sabiamete resodeu: - Beba muito uísque e você uca terá vermes.

16 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 6 GABARITO PARTE PRINÍPIO MULTIPLIATIVO 0) 5 Modos ) 8! = ) A) 8 Números B) 7 Números 3) comissões 03) alavras 4) a) 7 4 = 40 fuções b) 840 fuções ijetivas 04) gabaritos 5) 7 aagramas 05) 0 filas 6)a) 89ª osição b) ) s 3 aos 7) 0 siglas 07) lacas 8) 9 retas 08) 9 modos 9) 440 diagoais 09) a) 4 divisores b) 8 divisores ares c) 4 divisores quadrados 0) suseitos 0) subcojutos ) 0 eças ) 37 subcojutos ) 505 úmeros PROVÃO : E PROVÃO : D Sabe Quem Sou Eu? Dia de rova a faculdade. Todos os aluos tesos. Etra a sala aquele rofessor carrasco de quem todos têm medo e diz: O horário de etrega das rovas é dez em oto. Ouviram? Dez horas em oto! Se alguém me etregar a rova às dez e um, eu ão vou aceitar. E etão se iicia a rova. Muitos aluos acabam ráido, outros demoram mas coseguem etregar até as dez horas. Aeas um aluo cotiua fazedo o exame. Quado o rofessor está se rearado ara ir embora, o aluo levata e vai etregar a rova: Tá aqui, rofessor! Agora eu ão vou aceitar mais! omo ão? Eu deixei bem claro que só aceitaria rovas até as dez horas. Professor... O sehor sabe com quem está falado? Não, ão sei... Etão o aluo ega a ilha de rovas, coloca a sua o meio, e diz: Etão descobre...

17 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 7.) PROBLEMAS LÁSSIOS DE ONTAGEM A) PERMUTAÇÕES Dados objetos distitos: a, a, a 3,... a, cada ordeação obtida a artir desses objetos é deomiada de uma ermutação simles (orque todos são distitos) desses elemetos. Assim, como vimos ateriormete os roblemas de filas ou de aagramas, or exemlo, temos modos de escolha ara o rimeiro lugar, modos de escolha ara o segudo lugar,... modo de escolha ara o último lugar, ou seja: O úmero de modos de ordear objetos distitos é igual a!. Podemos reresetar o úmero de ermutações simles de objetos distitos or P. Logo, temos que: Exemlos: P =! ) Quatos são os aagramas da alavra FLAMENGO: a) Sem quaisquer restrições? - teremos este caso que determiar o úmero de ermutações simles das 8 letras distitas dessa alavra, ou seja: P 8 = 8! = 4030 aagramas. b) Que comecem or uma vogal e termiem or uma cosoate? teremos esse caso 3 oções de escolha ara a rimeira letra da alavra, 5 oções de escolha ara a última letra e P 6 = 6! = 70 ara as demais osições. Logo, alicado o ricíio fudametal da cotagem, teremos um total de = aagramas. c) Que teham semre jutas as letras A M, em qualquer ordem? Nesse caso, essas duas letras devem ser cosideradas como se fossem uma úica, acarretado a ermutação de 7 elemetos as duas jutas e as 6 letras restates, ou seja 7! = 5040 aagramas. Mas como a ordem ão foi dbefiida, elas oderão também ermutar etre si, gerado! = variações. Logo, alicado ovamete o ricíio fudametal da cotagem, teremos um total de x = aagramas. ) Roberta, Adré e Berardo fazem arte de um gruo de 7 amigos. Obteha o úmero de filas que odemos formar com esses 7 amigos, de modo que: a) Roberta, Adré e Berardo estejam semre jutos? Agora, de forma aáloga ao que vimos o exemlo aterior, basta que cosideremos esses três amigos como se ocuassem uma úica osição a fila, teremos assim a ermutação de 5 elemetos os três jutos e os 4 restates, ou seja 5! = 0 filas. Em seguida, como a ordem deles ão foi defiida, multilicamos o resultado obtido or 3! = 6, que rereseta as ossíveis variações de osição etre eles. Logo, teremos um total de 0. 6 = 70 filas as codições do roblema. b) Roberta, Adré e Berardo uca estejam (os três) jutos a fila? Agora basta determiarmos o totas de filas ossíveis e subtrair o resultado obtido a erguta aterior (Por que?), teremos etão 7! 70 = 430 aagramas. 3) De quatos modos odemos formar uma roda com 5 criaças? Devemos tomar um certo cuidado com esse tio de roblema, ois o resultado ão é igual a 5! = 0 rodas, como oderíamos esar aressadamete. Verifique que a roda ABDE, or exemlo, tem a mesma cofiguração que a roda EABD, já que o que imorta agora é a osição relativa das criaças etre si. Dessa forma cada roda ode ser virada de 5 modos

18 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 8 que reetem a mesma cofiguração. Assim, o úmero de rodas distitas que odemos obter será igual a 0 : 5 = 4 rodas. O exemlo acima é o que defiimos como sedo ermutações circulares de elemetos. Se reetirmos o mesmo raciocíio que usamos o exemlo aterior, teremos que as ermutações circulares de elemetos distitos serão iguais a: P =! = ( )! 4) Quatos são os aagramas da alavra AMORA? Esse é outro caso que demada um certo cuidado. A resosta seria 5! = 0 aagramas, caso todas as letras fossem distitas. omo temos duas letras A, é claro que uma ermutação etre essas duas letras ão geraria aagramas ovos. Assim sedo cada aagrama foi cotado! = vezes (que são as letras reetidas). Logo, o úmero correto de aagramas é 0 : = 60 aagramas. Problemas como esse é o que deomiamos de Permutações com algus elemetos reetidos. No caso da alavra amora, idicaríamos or: P 5 = 5! = 60 aagramas.! Aalogamete, odemos geeralizar ara Pα, β,... =!. α!.β!... α, β,... reresetam a quatidade de reetições de cada um dos elemetos reetidos. 5) Quatos são os aagramas da alavra POROROA? Temos uma alicação direta da fórmula aterior, ou seja: 3, P 8 = 8! = aagramas. (o 3 idica as letras O e o idica as letras R). 3!.! 6) Essa é ara você resolver. Quatos são os aagramas da alavra URUGUAI que começam or vogal? 7) A figura abaixo rereseta uma seqüêcia de 6 símbolos. ^ ^ ^ Quatas são as ossíveis seqüêcias distitas que odemos formar com esses símbolos? Perceba agora que estamos diate de ermutações com algus elemetos reetidos, o caso, temos: 3, 3 P 6 = 6! = 0 seqüêcias 3!.3! 8) Quatas soluções iteiras, ão egativas, ossui a equação x y z = 5?

19 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 9 Aaretemete, esta questão ão tem ada a ver com as ossas ermutações. Mostraremos que esse tio de roblema ode recair exatamete uma situação gráfica, como vimos o exemlo aterior, de ermutações com elemetos reetidos. Vamos imagiar que temos 5 uidades (reresetaremos cada uidade or *) que serão reartidas or três variáveis. Usaremos traços ara searar as variáveis. É claro que, como são três variáveis, recisaremos de dois traços ara esta searação. Vejamos uma ossível solução. x y z * * * * * x y z * * * * * As reresetações gráficas acima idicam duas das ossíveis soluções, a rimeira idica a solução x =, y = e z = e a seguda idica a solução x = 0, y = e z = 4. Podemos fialmete cocluir que qualquer solução da equação dada, defiida or iteiros ão egativos estará associada a uma das cofigurações dos 7 símbolos (cico * e dois ). Logo, a quatidade de soluções iteiras e ão egativas rocurada será dada elo cálculo de: 5, P 7 = 7! = 5!.! Logo a equação x y z = 5 ossui soluções formadas or úmeros iteiros e ão egativos. Podemos, usado raciocíio similar, geeralizar o resultado obtido ara uma equação do tio: x x x 3... x = k O úmero de soluções iteiras e ão egativas dessa equação será dado or: -, k P - k Ou seja, recai um caso de cálculo de ermutações com algus elemetos reetidos. O resultado que acabamos de obter será muito imortate ara o estudo das ombiações omletas que será mostrado em outra arte de osso estudo. 9) Quatas soluções, em iteiros ão egativos, ossui a equação: x x x 3... x 7 = 4 Pelo que vimos ateriormete, a resosta a essa questão será dada elo cálculo de: 6, 4 P 0 = 0! = 0 soluções. 6!.4!

20 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 0 0) Pese essa! Quatas são as soluções iteiras e ão egativas da iequação x y z < 4? ) O SAPO E O PERNILONGO VESTIBULAR PU RGS. Um sao e um erilogo ecotram-se resectivamete a origem e o oto (8, ) de um sistema cartesiao ortogoal. Se o sao só udesse saltar os setidos ositivos dos eixos cartesiaos e cobrisse uma uidade de comrimeto em cada salto, o úmero de trajetórias ossíveis ara o sao alcaçar o erilogo seria igual a: a) 35 b) 45 c) 70 d) 5 e) 56 Solução: osidere a figura a seguir, ode está reresetada uma das trajetórias ossíveis, ode S = sao e P = erilogo. O euciado diz que o sao só ode se mover os setidos ositivos dos eixos cartesiaos, ou seja, ara a direita ou ara cima. ovecioado que um deslocameto ara a direita seja idicado or D e um deslocameto ara cima seja idicado or, o deslocameto idicado a figura seria reresetado or DDDDDDDD. Outros deslocametos ossíveis seriam, or exemlo: DDDDDDDD DDDDDDDD DDDDDDDD... Para eteder isto, basta observar a figura dada. Observe que ara o sao alcaçar o erilogo segudo as regras ditadas, teremos semre 8 deslocametos ara a direita (D) e ara cima (). Logo, estamos diate de um caso de ermutações com reetição de 0 elemetos, com 8 reetições (D) e duas reetições (). 8, Teremos etão: P 0 = 0! = 45 8!.! Portato, são 45 trajetórias ossíveis, ou seja, alterativa B.

21 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá B) ARRANJOS SIMPLES Dados objetos distitos: a, a, a 3,... a, cada ordeação de objetos (<) obtida a artir desses objetos recebe a deomiação de arrajo simles de elemetos, a taxa ou arrajo de, a (A, ). Você ode verificar que um arrajo simles é, de certa forma, similar a uma ermutação simles, sedo que em cada gruameto formado usamos aeas elemetos, dos distitos disoíveis. Exemlo: osideremos o cojuto A formado elas cico vogais. Os arrajos de três elemetos tomados de A odem ser reresetados da seguite maeira: aei aeo aeu aie aio aiu aoe aoi aou aue aui auo eai eao eau eia eio eiu eoa eoi eou eua eui euo iae iao iau iea ieo ieu ioa ioe iou iua iue iuo oae oai oau oea oei oeu oia oie oiu oua oue oui uae uai uao uea uei ueo uia uie uio uoa uoe uoi Observe que, ara ocuar o lugar da rimeira vogal, temos 5 ossibilidades; or isso escrevemos 5 lihas a horizotal. A seguda vogal ode ser escolhida etre as 4 restates; ortato, searamos quatro gruos em coluas verticais. Por fim, ara a terceira vogal, odemos escolher qualquer uma das três restates. Idicado o úmero dos arrajos das 5 vogais tomadas 3 a 3 or A 5,3 o total, teremos: A 5,3 = 5 X 4 X 3 = 60 Este resultado cofirma o que já fazíamos com o ricíio fudametal da cotagem (ricíio multilicativo). Etedemos or arrajo os modos que odemos osicioar os objetos em gruo. Uma alteração a ordem determiará um ovo agruameto. Exemlo : Quatas siglas, de três letras distitas, odem ser formadas a artir das letras: A, B,, D, E, F e G? Observe que você oderia resolver esse roblema usado o ricíio fudametal da cotagem (multilicativo), e teria: 7 escolhas ara a rimeira letra da sigla, 6 escolhas ara a seguda (já que são letras distitas) e 5 ossibilidades de escolha ara a terceira letra da sigla. Pelo ricíio fudametal da cotagem, teríamos: = 0 siglas. Observe que as siglas fossem com todas as 7 letras, teríamos um caso de ermutações simles e o resultado seria 7!. Note que o resultado obtido o rimeiro caso (arrajos

22 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá simles), se for multilicado or 4!, assará a dar como resultado o segudo caso (ermutações simles). Logo, odemos iferir que (A, ). ( )! = P. Ou seja: A, =!. ( )! Exemlo 3: Dez cavalos disutam um áreo o Jockei lube. Quatos são os ossíveis trios ara as três rimeiras colocações esta corrida? Solução: Trata-se de um caso de arrajos simles, de 0 elemetos, a taxa 3, ou arrajos de 0, 3 a 3. Pelo que mostramos ateriormete, teremos: A 0,3 = 0! = = 70 ossíveis trios de resultados. 7! EXERÍIOS: ) Será que o úmero de arrajos simles de elemetos distitos, a taxa, igual ao úmero de ermutações simles, desses mesmos elemetos? Justifique a sua resosta. ) De um total de romaces e 3 dicioários devem-se tirar 4 romaces e dicioário que serão arrumados uma rateleira de tal modo que o dicioário fique semre o meio. De quatos modos isso oderá ser feito? 3) mulher e 5 homes devem setar-se um baco que ossui 5 lugares. De quatas formas isso oderá ser feito se a mulher deve semre estar setada em algum lugar? 4) Quatos úmeros distitos com 4 algarismos diferetes, odemos formar com os algarismos: 0,,,3,4,5,6,7,8 e 9? 5) Um cofre ossui um disco marcado com os dígitos 0,,,...,9. O segredo do cofre é marcado or uma seqüêcia de 3 dígitos distitos. Se uma essoa tetar abrir o cofre, quatas tetativas deverá fazer(o máximo) ara coseguir abri-lo? 6) Dez essoas, etre elas José, estão reuidas ara escolher a diretoria de um clube, formada or um residete, um vice-residete, um secretário e um tesoureiro. Em quatas das diretorias que odem ser formadas José ão é o residete? 7) Quatas fuções ijetoras odem ser defiidas do cojuto E = {a, b, c, d, e} o cojuto F = {,, 3, 4, 8,, 4, 36}? GABARITO ) Sim, ois A, =! =! 0! ) modos 3) 600 modos 4) úmeros 5) 70 tetativas 6) diretorias 7) A 8,5 = 6 70 fuções ijetoras

23 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 3 ) ARRANJOS OM REPETIÇÃO Seja um cojuto com elemetos distitos e cosidere elemetos escolhidos este cojuto em uma ordem determiada (reetidos ou ão). ada uma de tais escolhas é deomiada um arrajo com reetição de elemetos tomados a. Acotece que existem ossibilidades ara a colocação de cada elemeto, logo, de acordo com o ricíio multilicativo, o úmero total de arrajos com reetição de elemetos escolhidos a é dado or.(... fatores). Idicamos isto or: Exemlos: AR, = a) Quatas são as siglas de três letras, escolhidas a artir das letras: A, B,, D, E, F? omo disomos de 6 letras, ara escolher 3, teremos AR 6, 3 = 6 3 = 6 siglas. b) De quatas maeiras diferetes odemos resoder a uma rova de múltilaescolha, com 0 questões de 5 oções cada uma? omo temos 5 oções de escolha, ara cada uma das 0 questões, teremos este caso AR 5, 0 = 5 0 c) Quatas são as formas distitas de se reecher um volate da loteria esortiva, somete com alites simles, sabedo-se que são 3 jogos e 3 oções de escolha ara cada um? Agora temos 3 oções de escolha, ara cada um dos 3 jogos, logo AR 3, 3 = 3 3 d) A seha de acesso a um jogo de comutador cosiste em quatro caracteres alfabéticos ou uméricos, sedo o rimeiro ecessariamete alfabético. Qual o úmero de sehas ossíveis? omo o rimeiro caractere da seha é obrigatoriamete uma letra, teremos 6 oções de escolha. Para cada um dos três seguites, teremos 36 oções de escolha (6 letras 0 algarismos), Logo, a resosta é: 6 x AR 36, 3 = 6 x 36 3 e) Disodo-se de três cores, de quatos modos diferetes oderemos itar as 5 casas de uma rua, disostas em fila, sedo que cada uma delas estará itada com aeas uma cor? Nesse caso, como temos 5 casas e três oções de escolha da cor da tita, teremos um resultado igual a AR 3, 5 = 3 5 = 43 maeiras. Mas é claro que você ode, e deve, resolver essas questões elo ricíio fudametal da cotagem...muito mais simles e ão recisa ficar decorado fórmulas desecessárias.

24 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 4 D) OMBINAÇÕES SIMPLES Dado um cojuto qualquer, com elemetos distitos, deomiamos uma combiação simles com elemetos distitos, desses disoíveis, a qualquer subcojuto com elemetos, do cojuto dado. Idicamos essas combiações, de elemetos a taxa, or,, ou (forma biomial) Observe que duas combiações são diferetes quado ossuem elemetos distitos, ão imortado a ordem em que os elemetos são colocados. Exemlo: No cojuto E= {a,b.c,d} odemos cosiderar: a) combiações de taxa : ab, ac, ad,bc,bd, cd. b) combiações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd. c) combiações de taxa 4: abcd. Observe que equato dois arrajos odem se distiguir ela ordem ou ela atureza de seus elemetos, duas combiações só se distiguem ela atureza de seus elemetos. otagem do Número de ombiações osideremos o cojuto A = {a, b, c, d}. Vimos que as combiações três a três que se odem formar com os quatro elemetos de B são: abc, abd, acd, bcd. Permutado de todas as formas ossíveis os três elemetos de cada combiação, obtemos os arrajos simles de quatro elemetos três a três, como idica o quadro: abc abd acd bcd acb adb adc bdc bac bad cda cdb bca bda cad cbd cab dab dac dbc cba dba dca dcb ada combiação gera, como vemos, 3! = 6 arrajos. Portato, as quatro combiações geram 4 x 6 = 4 arrajos. Nesta igualdade, 4 é o úmero de combiações e 4 é o úmero de arrajos. Idicado or 4, 3 o úmero de combiações de 4 elemetos 3 a 3, vale, ortato, a relação: 4,3x3! = A 4,3 ou 4,3 = Usado esse mesmo raciocíio, oderemos geeralizar que: A 4,3 3!

25 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 5 A,, = =!! ( - )!.! Exemlo a: Sete otos ertecem a um círculo. Quatos triâgulos são defiidos or esses otos? Solução: Vejamos um dos ossíveis triâgulos triâgulo AFB - Se trocarmos a ordem de seus vértices, cosiderado or exemlo o triâgulo FBA, otamos que trata-se do mesmo triâgulo, logo é um roblema de combiações simles. Teremos etão, 3 7! ! = 4!.3! 4!.6 7 = = 35 triâgulos Exemlo b: Quatos gruos de três essoas odem ser selecioados de um cojuto de oito essoas? Solução: Também esse caso, em qualquer gruo de três essoas que formarmos, a ordem das essoas ão iflueciará a formação do mesmo, também teremos um caso de combiações simles. Ou seja,, 3 8! = 5!.3! ! 5!.6 8 = = 56 gruos Exemlo c: Num lao, marcam-se doze otos dos quais seis estão em liha reta. Quatos triâgulos odem ser formados uido-se três quaisquer desses doze otos? Solução: É uma questão semelhate a do exemlo a, também de combiações simles, sedo que, elo fato de termos seis otos alihados, as combiações desses seis otos, três a três, ão defiirão triâgulos. Sedo assim, oderemos calcular o total de combiações desses otos, três a três e subtrair as que ão formam triâgulos, ou seja a combiação dos 6 otos alihados, três a três. Assim sedo, a quatidade de triâgulos que oderão ser formados com os otos será:! 6!..0.9! !,3 6, 3 = - = = 0 0 = 00 triâgulos 9!.3! 3!.3! 9!.3! 3!.3! Exemlo d: Qual o úmero de diagoais de um olígoo covexo de lados? Solução: Aida esse caso, temos combiações simles, já que a diagoal AB, or exemlo, é a mesma da diagoal BA. Verifique também que teremos que fazer uma subtração, já que uido-se, dois a dois, os vértices de um olígoo covexo, oderemos ter diagoais ou lados desse olígoo. omo queremos obter a quatidade de diagoais, vamos calcular o total de segmetos ossíveis e subtrair a quatidade de lados. Logo, teremos: Solução:!.(-).(- )!.( ).( 3), = - = = = = diagoais ( )!.! ( )!.! OBS: VERIFIQUE QUE OBTIVEMOS EXATAMENTE A VELHA FÓRMULA QUE ENSINAMOS NA 7ª SÉRIE DO FUNDAMENTAL, PARA O ÁLULO DA QUANTIDADE DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO ONVEXO.

26 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 6 Exemlo e: Quatas diagoais ossui o hetágoo covexo? Exemlo f: Uma ura cotém bolas das quais 7 são vermelhas e 5 são bracas. De quatos modos odem ser tiradas 6 bolas das quais são bracas? Solução: Estamos ovamete diate de um caso de combiações simles (verifique) e, como queremos retirar 6 bolas, sedo bracas, é lógico que as outras 4 deverão ser vermelhas. Teremos etão que retirar 4, das 7 vermelhas disoíveis e retirar das 5 bracas disoíveis. omo são fatos simultâeos, os dois resultados deverão ser multilicados (ricíio fudametal da cotagem). 7! 5! 7,4x 5, = x = 35 x 0 = 350 3!.4! 3!.! modos. EXERÍIOS PROPOSTOS (OMBINAÇÕES SIMPLES): ) De um gruo de 7 rofessores e 0 aluos quatas comissões comostas de rofessores e 4 aluos é ossível formar? ) Tomado-se 8 otos sobre uma circuferêcia, quatos segmetos de reta, com extremidades estes otos, ficam determiados? 3) Numa assembléia de quareta cietistas, oito são físicos. Quatas comissões de cico membros odem ser formadas icluido o míimo um físico? 4) Proriedades: Mostre que: a),0 = b), = c), =, - 5) Seis homes e três mulheres iscreveram-se ara trabalhar com meores caretes um rojeto da refeitura local, mas serão escolhidos aeas 5 articiates. De quatas formas odemos escolher a equie de modo que haja semre, elo meos uma mulher? 6) Quatas artidas foram disutadas em um cameoato de futebol, disutado em um só turo (isto é, dois times se efretaram uma úica vez), do qual articiam 6 times? 7) Uma equie de iseção tem um chefe, escolhido etre 4 egeheiros e 0 técicos, escolhidos etre 5 outros rofissioais. De quatas maeiras ode ser comosta essa equie? 8) Qual o úmero de subcojutos com, 3 ou 4 elemetos que tem um cojuto de 9 elemetos? 9) É dado um cojuto E, de 0 elemetos. Quatos subcojutos de E ão são cojutos de 4 elemetos? 0) Duas retas r e s são aralelas. Existem 4 otos marcados sobre r e outros 5 otos, marcados sobre s. Quatos são os triâgulos que odem ser costruídos uido-se 3 desses 9 otos?

27 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 7 ) om 7 cardiologistas e 6 eurologistas que trabalham um hosital, quer-se formar uma juta médica de 5 elemetos. Quatas jutas odem ser formadas se devem semre articiar 3 cardiologistas e eurologistas? ) De quatos modos odemos escolher 6 essoas, icluido elo meos duas mulheres, em um gruo de 7 homes e 4 mulheres? 3) Quatas saladas cotedo exatamete 4 frutas odemos formar se disomos de 0 frutas diferetes? 4) De um gruo de 7 rofessores e 0 aluos quatas comissões de 4 essoas, comostas de rofessores e aluos é ossível formar? 5) Tomado-se 8 otos sobre uma circuferêcia, quatos segmetos de reta, com extremidades estes otos, ficam determiados? GABARITO 0) 440 0) 8 03) ) Alicação direta da fórmula, lembrado que 0! = 05) 0 06) 0 07) 0 08) 46 09) 84 0) 70 ) 55 ) 37 3) 0 4) 945 5) 8 E) OMBINAÇÕES OMPLETAS OU OM REPETIÇÃO Resoda a erguta: De quatos modos é ossível comrar 3 sorvetes em uma loja que os oferece em 5 sabores? Normalmete somos levados a resoder que a solução é 5, 3 = 0. Esta resosta ão está correta. Ela estaria certa caso a erguta fosse: De quatos modos odemos escolher 3 sorvetes diferetes, em uma loja que os oferece em 5 sabores? Essas 0 ossibilidades reresetam as combiações simles de 5 elemetos, tomados 3 a 3. Na questão aresetada, a resosta correta seria R 5, 3, que são as combiações comletas de 5 elemetos, tomados 3 a 3, ou seja, esse caso admitiríamos a hiótese da essoa escolher sabores reetidos. O cálculo das combiações comletas, que veremos a seguir, seguirá um raciocíio que já vimos ateriormete, ao estudarmos as ermutações com elemetos reetidos. Para que ossamos eteder melhor o osso roblema iicial, vamos suor que a loja oferecesse os sabores: maga, abacaxi, goiaba, cereja e limão. Nas combiações simles, desses 5 sabores, tomados 3 a 3, só teríamos comosições do tio: maga, abacaxi, goiaba ou goiaba, cereja, limão ou abacaxi, goiaba, limão, etc...omo se ode erceber, essa oção das combiações comletas dará um resultado maior que a rimeira, que gerou 0 ossibilidades de escolha. Podemos ecarar a solução do roblema das combiações comletas da escolha de 3 sabores (distitos ou ão), uma loja que oferece 5 oções de escolha, como sedo as soluções iteiras e ão egativas da equação: x x x3 x 4 x5 = Temos, ortato, 5 variáveis que reresetam a quatidade comrada, de cada um dos sabores oferecidos. 3

28 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 8 Se você retorar à ágia 6 de osso curso, verificará que já mostramos uma solução ara esse roblema, através de ermutações com algus elemetos reetidos. Na ocasião, vimos que a quatidade de soluções iteiras e ão egativas de uma equação do tio:, x x x x = era dado or P. 3,4 7! No osso exemlo da sorveteria, teremos etão R5,3 = P7 = = 35. 3!.4! Podemos etão cocluir, sobre as combiações comletas de elemetos, a. Exemlos: R, = P, = ( - )! ( )!.! ) De quatos modos odemos comrar 4 salgadihos em uma lachoete que oferece 7 oções de escolha de salgadihos? Solução: Pelo que vimos ateriormete, teremos que determiar a quatidade de soluções iteiras e ão egativas de uma equação do tio: x x x x x x 4. A solução, como mostramos, será dada or: x = 6,4 0! R 7, 4 = P0 = = 0. 6!.4! ) Podedo escolher etre 5 tios de queijo e 4 marcas de viho, de quatos modos é ossível fazer um edido um restaurate, com duas qualidades de queijo e 3 garrafas de viho? Solução: temos que escolher os dois tios de queijo, etre os 5 disoíveis (distitos ou 4, 6! ão). Isto será igual a R 5, = P6 = = 5. Em seguida, temos que escolher 3 4!.! 3,3 6! garrafas etre os 4 vihos disoíveis, ou seja, R 4, 3 = P6 = = 0. Logo, o 3!.3! úmero de edidos de queijo e viho, da acordo como roosto a questão, será dado or 5 x 0 = ) Pese essa! Uma lachoete oferece 3 tios de astéis (care, queijo e almito). De quatas maeiras diferetes uma essoa ode edir 8 astéis se ela deseja que, em cada oção de edido a ser feito existe, elo meos, um astel de cada tio? Para refletir... Por que será que o tóico combiações comletas ou com reetição ão costuma ser abordado os livros didáticos do Esio Médio? Você teve, em algum mometo de sua formação, iformações adequadas sobre esse assuto? Que tal verificar os livros didáticos de Matemática que você ossui (ou que existem a sua Escola) se esse tema é abordado?

29 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 9.3) EXERÍIOS GERAIS MATEMÁTIA OMBINATÓRIA Até agora estudamos vários tóicos imortates da Matemática ombiatória. Todos esses tóicos vieram acomahados de exemlos ilustrativos e exercícios roostos. Vamos agora, ates de cotiuarmos osso estudo, resolver uma série de exercícios sobre todos os tóicos já estudados, a saber: Pricíio Fudametal da otagem, Arrajos, ombiações e Permutações Simles, Arrajos, Permutações e ombiações com Reetição. Todos os exercícios virão com os resectivos gabaritos e você deve, semre que ecessário, recorrer à teoria cotida a aostila ara tirar as suas dúvidas. ) Dez estudates restam um cocurso. De quatas maeiras ode ser comosta a lista dos 4 rimeiros colocados? ) Quatos são os subcojutos, com 5 elemetos, do cojuto {a, b, c, d, e, f, g}, sedo que em cada subcojuto a e b estejam semre resetes? 3) Aida com relação ao roblema aterior, quatos são os subcojutos de 5 elemetos, do cojuto dado, aos quais ão erteçam os elemetos a e b? 4) Sete essoas, etre elas José e Pedro, estão reuidas ara formar uma chaa com residete, secretário, segudo-secretário e tesoureiro ara cocorrer às eleições de um clube. Determie em quatas das ossíveis chaas: a. José é o residete e Pedro é o tesoureiro b. José ão é o residete e Pedro ão é o tesoureiro. 5) Um deutado quer covocar 5 etre 8 olíticos de seu gruo ara uma reuião. No etato, dois desses olíticos têm forte rixa essoal. De quatos modos ode ser feita a covocação de maeira que ão comareçam simultaeamete os dois citados? 6) De quatas maeiras diferetes uma família de 4 essoas ode edir almoço (um rato ara cada essoa), em um restaurate que oferece 8 tios de ratos? 7) Quatas são as fuções ijetoras que odemos defiir do cojuto A, com 5 elemetos, o cojuto B, com 8 elemetos? 8) Os cojutos E e F têm, resectivamete, 4 e 0 elemetos. Quatas são as fuções, de E em F, que ão são ijetoras? 9) Escrevedo-se em ordem crescete a lista de todos os úmeros de 5 algarismos distitos, formados com os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9, que lugar ocua o úmero ? 0) om os algarismos, 3, 4, 5 e 6 formam-se todos os úmeros de 5 algarismos distitos ossíveis. Determie a soma de todos esses úmeros. ) Quatos são os aagramas da alavra BUTANOL, que aresetam a sílaba TO? ) Quatos são os aagramas da alavra BARBARIDADE? 3) O diagrama abaixo rereseta algumas ruas de uma cidade. De quatos modos uma essoa ode dirigir-se do oto A ao oto B, utilizado-se semre dos camihos mais curtos (uma uidade de quadradiho de cada vez, horizotal ou vertical)?

30 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 30 B A 4) Resolva a equação: (x 4)! (x )! = 3.[(x 3)]! 7 6 5) Quatas são as soluções iteiras e ão egativas da equação x y z w g = 5? 6) Quatos são os úmeros iteiros, maiores que 4000 e meores que 9000, formados or algarismos distitos e que são múltilos de 5? 7) Quatas são as diagoais de um icoságoo covexo (olígoo de 0 lados)? 8) Se os telefoes de uma certa vila devem ter úmeros de 5 algarismos, todos começado com 3 e todos múltilos de 5, etão o úmero máximo de telefoes que a vila ode ter é: 9) rofessores, sedo 4 de matemática, 4 de geografia e 4 de iglês, articiam de uma reuião com o objetivo de formar uma comissão que teha 9 rofessores, sedo 3 de cada discilia. O úmero de formas distitas de se comor essa comissão é: 0) O úmero atural 8. 5 k tem 4 divisores iteiros e ositivos. Determie o valor de k. ) De quatas maeiras três mães e seus resectivos três filhos odem ocuar uma fila com seis cadeiras, de modo que cada mãe sete juto de seu filho? ) Quatas são as maeiras de um cietista escolher elo meos duas cobaias, um gruo de seis cobaias? 3) Um feixe de 8 retas aralelas itersecta outro cojuto de 5 retas aralelas. Quatos são os aralelogramos determiados or essas retas? 4) Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado ara tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar etre os ais, de quatos modos distitos os seis odem osar ara a foto? 5) Observe o código abaixo, comosto or 0 siais, de dois tios: e (cico de cada um). Quatos códigos distitos oderemos obter com esses 0 símbolos?

31 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 3 6) Sejam duas retas aralelas r e s. Tomam-se 5 otos distitos em r e 4 otos distitos em s. Qual a razão etre o úmero total de quadriláteros covexos e o úmero total de triâgulos que odem ser formados com vértices esses otos? 7) Sobre uma mesa colocam se seis moedas em liha. De quatos modos odemos obter duas caras e quatro coroas voltadas ara cima? 8) Qual a quatidade de aagramas da alavra ERNESTO que começam e termiam or cosoates? 9) Quatos são os úmeros iteiros ositivos, de cico algarismos, em que dois algarismos adjacetes uca sejam iguais? 30) Um rofessor roôs ara uma de suas turmas uma rova com 7 questões, das quais cada aluo deveria escolher exatamete 5 questões ara resoder. Sabe-se que ão houve duas escolhas das mesmas 5 questões etre todos os aluos da turma. Determie o úmero máximo de aluos que essa turma oderia ter. Gabarito ) 5040 ) 0 3) 4) a) 0 5) 36 b) 80 6) ) ) ) 64º 0) ) 70 ) ) 35 4) x = - 5) 5 6) 504 7) 70 8) 00 9) 64 0) k = 5 ) 48 ) 57 3) 80 4) 48 6) 6 / 7 7) 5 8) 70 9) ) 5 30)

32 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 3 ) BINÔMIO DE NEWTON Um biômio é qualquer exressão da forma x y, ou seja, é a reresetação da soma algébrica de duas quatidades distitas. osidere o roduto dos três biômios. m q r s = mr ms mqr mqs r s qr ( )( )( ) qs Observe que cosiste de oito termos, cada um dos quais ossuido três letras, sedo cada letra escolhida detre as duas, de cada um dos biômios. O ricíio multilicativo e a roriedade distributiva os oferecem a ossibilidade de cotar o úmero de termos de rodutos desse tio, ois se de cada um dos três arêteses vamos escolher uma letra 3 etre as duas existetes, temos que o úmero de termos do roduto será. Naturalmete que este raciocíio ode ser estedido ara um roduto cotedo um úmero qualquer de biômios. Se o roduto for costituído de 4, 5 ou biômios o úmero de termos do 4 5 desevolvimeto será resectivamete, = 6, = 3 ou Vamos tomar agora o roduto de seis biômios, todos iguais. Por exemlo: ( x a)( x a)( x a)( x a)( x a)( x a). omo temos 64 maeiras de selecioarmos 6 letras, uma de cada biômio, e como todos os x a teremos termos reetidos. Por exemlo, se tomarmos a letra a biômios são iguais a ( ) os rimeiros e a letra x os 4 últimos, teremos a x 4, que irá aarecer toda vez que a letra a for escolhida em exatamete dos 6 biômios e a letra x os 4 restates. omo isto ode ser feito de maeiras diferetes, afirmamos que o termo a x 4 irá aarecer este 6 úmero de vezes, o que equivale a dizer que o coeficiete de a x 4 é igual a 6. Observado que qualquer termo cosiste do roduto de 6 letras, o termo geral é da forma a x q, ode q = 6, ou seja, cada termo é da forma a 6 x. omo esse termo aarece 6 vezes a exasão acima, orgaizada segudo as otêcias decrescetes de x, é dada or 6 6 = = 0 ( x a) = 0 6 a 0 6 x a 6 x 6 6 a x 5 6 a x ax 5a x 0a x 5a x 6a x a ), cada termo será da forma a x 6 = x No caso geral ( x a. Note que o termo a x irá aarecer ara cada escolha da letra a em dos fatores. omo tal escolha ode ser feita de formas diferetes, temos: ( x a) = = 0 ( a x) = ( x a) = ( a x) 3 6 a a 3 x 3 x 4 6 a 4 x 5 6 a 5 x. Além disso, como,, odemos cocluir que, ermutado-se as letras x e a teremos, = 0 x a, e isto os garate o fato já cohecido de que 6 6 a 6 x 0 =, uma vez que, elo argumeto aresetado, o coeficiete de a x é dado or ou, em outra alavras, que, a exasão de ( x a), os coeficietes dos termos eqüidistates dos extremos são iguais. x a = = 0 Na exasão de ( ) a x

33 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 33 Deotamos o termo geral or T, o qual é dado or T = a x. Exemlo alcular o quarto termo da exasão de ( k ) 8. Solução: Temos aqui, x =, a = k, = 8 e = 4. Logo = 3 e T 4 = T3 = 8 k = 56k Exemlo alcular o sexto termo da exasão de ( x y). 5 0 Solução: Neste caso a = -5y, =0, = 5 e = 6. Portato, T 5 5 ( y) 5 6 = 0 5 x Exemlo 3 Demostrar a seguite idetidade: 5 0 y = ( 5) x y = x. = 0 Solução: omo ( ), = 0 =... = o x a = a x é fácil ver que, ara x = a =, o lado direito desta igualdade os dá a soma edida, que será igual a. Este valor rereseta também, o úmero de subcojutos de um cojuto cotedo elemetos. Observe que o exemlo 3 os oferece uma imortate roriedade das combiações e que será muito útil a resolução de algus roblemas clássicos de Matemática ombiatória. Vamos ovamete destacar essa roriedade:... = o Exemlo 4: Quatas comissões, com o míimo duas essoas, odemos formar a artir de um gruo de 5 essoas. Solução: É fácil costatar que a solução desse roblema será dada ela soma de várias combiações, já que as comissões oderão ter de a 5 essoas, ou seja: Reare que, ara ficarmos de acordo com a roriedade mostrada ateriormete, visado facilitar ossos cálculos, oderemos acrescetar as combiações que estão faltado (são duas) e deois, subtrair da resosta obtida o valor que foi acrescetado. Logo, teremos: = = 6

34 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 34 Dessa forma, a resosta rocurada será igual a 5-6 = 3 75 comissões. Listamos abaixo a exasão de ( a b) ara algus valores de. 0 ( a b) = ( a b) = a b ( a b) = a ab b 3 ( a b) 3 3 = a 3a b 3ab b 4 ( a b) 4 3 = a 4a b 6a b 3 4 4ab b 5 ( a b) = a 5a b 0a b 0a b 5ab b 6 ( a b) = a 6a b 5a b 0a b 5a b 5 6 6ab b oeficietes Biomiais Triâgulo de Pascal hamamos Triâgulo de Pascal ao triâgulo formado elos coeficietes das exasões acima, isto é, Observe que fato iteressate: Liha 0 ª liha ª liha Os úmeros que surgem em cada liha do triâgulo de Pascal são exatamete os mesmos coeficietes dos termos da exasão de ( a b). A soma de dois termos cosecutivos de uma mesma liha corresode ao termo da liha seguite, que fica abaixo do segudo úmero, ou seja: = que é uma roriedade cohecida como relação de Stifel. col 0 ª col ª col Eumeramos as lihas deste triâgulo de acordo com o exoete da otêcia da qual os coeficietes foram retirados, isto é, a ª liha é a ª e assim sucessivamete. Eumeramos as coluas da mesma forma, isto é, a formada só de dígitos iguais a é a de úmero zero e assim or diate. Observe que a soma dos elemetos da liha 5 é: = 3 =. Para somarmos os elemetos da -ésima liha, só recisamos lembrar que..., rereseta o úmero de subcojutos de um 0 0 cojuto de elemetos e assim,... = Já mostramos que a soma dos elemetos da -ésima liha é igual a e que uma mesma liha termos eqüidistates dos extremos são iguais. No exemlo 4 mostraremos que a soma

35 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 35 dos rimeiros elemetos da colua é igual ao -ésimo elemeto da colua ( ) ésima ada elemeto do triâgulo de Pascal é um úmero biomial e sua osição o triâgulo fica determiada or um ar ordeado que idica a liha e a colua ocuada elo biomial. Se o biomial ocua a liha e a colua sua reresetação será, ode é chamado umerador e é o deomiador do biomial. Devemos observar também que =. Por uma questão de comodidade iremos evitar a otação de úmero biomial dado referêcia a otação de combiações or ser um ouco mais familiar aos estudates que já comletaram um curso de aálise combiatória. É claro que todas as roriedades das combiações são aturalmete legadas aos úmeros biomiais Veja que iteressate: Uma outra justificativa do método aresetado ara o desevolvimeto dos ( ) termos de ( x a). x a = (x a). (x a), rocededo da seguite maeira: Multilicado cada termo de (x a) or x Multilicado cada termo de (x a) or a Somado os termos obtidos e efetuado a redução dos termos semelhates. Você sabe que, odemos obter o desevolvimeto de ( ) Aalogamete, aós a obteção de ( x a) odemos obter os termos de 3 ( x a) = ( x a).( x a), rocededo da seguite maeira: Multilicado cada termo de ( x a) or x x a or a Somado os termos obtidos e efetuado a redução dos termos semelhates. Multilicado cada termo de ( ) Seguido dessa mesma forma, sucessivamete, odemos obter ( x a),( x a),... raciocíio roosto os coduz ao seguite diagrama: (x a) = x a x a x a ( x a) = x ax a x a x a x a ( x a) 3 = x 3 3ax 3a x a 3 x a x a x a x a ( x a) 4 = x 4 4ax 3 6a x 4a 3 x a O No diagrama aterior olhado aeas os coeficietes dos termos, vemos claramete a formação do triâgulo de Pascal, com seus lados semre começado e termiado or, tedo como miolo os úmeros biomiais que odem ser obtidos através da soma dos úmeros vizihos da liha aterior. (Idéia extraída do livro O que é a matemática? de ourat e Robbis). 5

36 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 36 Exemlo 5 Demostrar a seguite idetidade (teorema das coluas)..... = Solução: A ricial roriedade do triâgulo de Pascal (Relação de Stiffel) = Justifica a seqüêcia de igualdades abaixo: = = = = = Se somarmos membro a membro estas igualdades (cacelado termo iguais), teremos,... = que é a igualdade edida, uma vez que = 0. Na figura abaixo ilustramos o que acabamos de demostrar Exemlo 6: Achar uma fórmula ara a soma dos rimeiros iteiros ositivos. Solução: Isto é decorrêcia do exemlo aterior, ois, ( ) = = =

37 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá Exemlo 7: Prove que... ( ) = 0 Solução: Devemos lembrar que ( x a) = = 0 a x, ortato basta tomarmos x = e a = -. 0 Exemlo 8: alcule o termo ideedete de x o desevolvimeto de x 3 x Solução: Escrevemos iicialmete o termo geral do desevolvimeto que é = 0 3 ( x ) T, ortato, T = 0 x x = 0 x. omo queremos que x o termo ideeda de x, devemos fazer 0 5 = 0. Logo = 4 e assim o termo rocurado 4 é o quito termo e seu valor é T = = Exercícios Proostos Biômio de Newto. Determie o termo cetral ou médio do desevolvimeto de: x x. alcule os dois termos médios do desevolvimeto de: ( 3x a) alcule a soma dos coeficietes do desevolvimeto de 3 3 x y 6 4. No desevolvimeto de ( x) Determie., os coeficietes do 4º e do 8º termos são iguais. 5. Determie o quito termo do desevolvimeto de 3 x x 7. Suodo o desevolvimeto ordeado segudo as otêcias decrescetes da rimeira arcela. 6. Determie o termo ideedete de x o desevolvimeto de x x 0 7. Determie o coeficiete de x o desevolvimeto de 3x 4 3 x..

38 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 38 x y 4 x y 8. alcule: ( ) ( ) 4 9. Exlique orque ão existe termo ideedete de x o desevolvimeto de x x. m m m m 0. alcule m sabedo que... = m T GABARITO BINÔMIO DE NEWTON = x 06) T 5 = 0 0) 3 4 T4 = 680 a x 0) 07) T5 = 5040 a x ) 08) x a x a 04) = 40 09) =, logo ão seria atural 05) T = x 0) m = 8 O Matemático e o Motorista Aquele matemático famoso estava a camiho de uma coferêcia quado o seu motorista cometou: - Patrão, já ouvi tatas vezes a sua alestra que teho certeza de que oderia fazê-lo o seu lugar, se o sehor ficasse doete. - Isso é imossível! - Quer aostar?! E fizeram a aosta! Trocaram de roua, e quado chegaram o local da coferêcia o motorista foi ara a Tribua equato o matemático istalou-se a última fila, como se fosse seu motorista. Deois da alestra, começou a sessão de ergutas, que ele resodeu com recisão. No etato, em certo mometo, levatou-se um sujeito que aresetou uma questão dificílima, evolvedo robabilidades. Loge de etrar em âico, ele saiu-se com esta: - Meu jovem, essa erguta é tão fácil... mas, tão fácil... que vou edir ara o meu motorista resoder!

39 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 39 INTRODUÇÃO: 3) PROBABILIDADES Atividade Itrodutória ara o Estudo de Probabilidades: Um jogo com dois dados Uma boa atividade itrodutória ao estudo das robabilidades é aresetar este jogo aos aluos e ergutar-lhes se lhes arece que algum dos jogadores está em vatagem. Você verá que essa rovocação iicial será um excelete modo de começar o estudo desse imortate tóico do Esio Médio. JOGO DOS DOIS DADOS - INSTRUÇÕES Dois jogadores ou duas equies; Em cada jogada, cada jogador (ou equie) laça um dado e somam-se os otos dos dois dados. O jogador (ou equie) A marca um oto se a soma for 5, 6, 7 ou 8. O jogador (ou equie) B marca um oto se a soma for, 3, 4, 9, 0, ou. Gaha quem rimeiro obtiver 0 otos. Deois de ouvir as oiiões dos aluos, mas ates de as discutir, rooha que eles façam algumas aostas. Para isso, devem orgaizar-se em gruos de dois, escolhedo etre si qual deles aosta o jogador A e qual é o B. Uma boa arte dos aluos refere ser o jogador B orque, das oze somas ossíveis, há sete que fazem o jogador B gahar e só quatro que o fazem erder. Um ouco aressadamete cocluem que a robabilidade de gahar seria 7. Deois de cada aluo receber um dado, cada gruo de aluos faz um jogo. Normalmete, o jogador (equie) A gahará a maior arte dos jogos. Isto faz-os suseitar que A está em vatagem. É uma boa hora ara aalisar a questão e verificar se a robabilidade de A ser o vecedor é realmete maior. O rofessor ão deve resolver a questão, mas ode forecer istas, do tio: Será a soma tão fácil de acotecer como a 7? Só sai se em ambos os dados sair, equato que 7 é ossível de várias maeiras: 6 ou 5 ou 3 4 ou... Por outro lado, sair 3 um dado e 4 o outro é diferete de sair 4 o rimeiro e 3 o segudo... Pedir em seguida aos aluos que idetifiquem os dados or exemlo, dado azul e dado vermelho e façam uma tabela de dula etrada com todos os casos ossíveis. Dado Azul Dado Vermelho Vê-se etão que há 36 casos elemetares ossíveis e orgaiza-se um quadro com o úmero de casos favoráveis ara cada resultado. Vejamos quem tem realmete a vatagem...

40 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 40 Resultados asos favoráveis O jogador (equie) A gaha se sair 5, 6, 7 ou 8. Os casos favoráveis a A são = 0. O jogador (equie) B gaha saido, 3, 4, 9, 0, ou. Os casos favoráveis a B são = 6. oclui-se etão que o jogo é favorável ao jogador A, aesar de só lhe servirem quatro resultados. A robabilidade de ele gahar uma jogada é 0 36 ou 55.6%. Para o jogador B, a robabilidade de gahar é 6 ou 44.4%. 36 ometário... você ode aida aroveitar a atividade ara rearar a turma ara a defiição de robabilidade como distribuição de freqüêcia e comarar o resultado obtido a rática da sala de aula com o resultado fial que obtivemos com a aálise das ossibilidades de cada equie. 3.) Origem Histórica É ossível quatificar o acaso? Para iiciar, vamos cosiderar algumas hióteses: Rita esera asiosamete o ascimeto de seu filho, mas ela aida ão sabe qual será o sexo da criaça. Em outro caso, ates do iício de um jogo de futebol, o juiz tira "cara ou coroa" com uma moeda ara defiir o time que ficará com a bola. Numa terceira hiótese, toda semaa, milhares de essoas arriscam a sorte a loteria. Problemas como os acima são, hoje, objeto de estudo das robabilidades. Os rimeiros estudos evolvedo robabilidades foram motivados ela aálise de jogos de azar. Sabe-se que um dos rimeiros matemáticos que se ocuou com o cálculo das robabilidades foi ardao (50-576). Data dessa éoca (a obra Liber Ludo Alae) a exressão que utilizamos até hoje ara o cálculo da robabilidade de um eveto (úmero de casos favoráveis dividido elo úmero de casos ossíveis). Posteriormete tal relação foi difudida e cohecida como relação de Lalace. om Fermat (60-665) e Pascal (63-66), a teoria das robabilidades começou a evoluir e gahar mais cosistêcia, assado a ser utilizada em outros asectos da vida social, como, or exemlo, auxiliado a descoberta da vacia cotra a varíola o século XVIII. Lalace foi, certamete, o que mais cotribuiu ara a teoria das robabilidades. Seus iúmeros trabalhos essa área foram reuidos o moumetal Tratado Aalítico das Probabilidades, ode são itroduzidas técicas oderosas como a das fuções geradoras, que são aroximações ara robabilidades com o uso do cálculo itegral. Atualmete, a teoria das robabilidades é muito utilizada em outros ramos da Matemática (como o álculo e a Estatística), da Biologia (esecialmete os estudos da Geética), da Física (como a Física Nuclear), da Ecoomia, da Sociologia, das iêcias Atuariais, da Iformática, etc.

41 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 4 A roleta, um dos jogos de azar referidos elos aostadores os cassios, teve sua origem a Fraça do século XVIII. É formada or 36 elemetos disostos em três coluas de úmeros e um esaço reservado ara o zero. As chamadas aostas simles são: sair ar ou sair ímar, sair vermelho ou sair reto, e sair úmeros meores (de a 8) ou sair úmeros maiores (de 9 a 36) Exemlo: A robabilidade de ao laçarmos um dado sair um úmero ímar é /. Esta defiição a eas ode ser usada quado o cojuto dos casos é fiito sedo que todos têm a mesma ossibilidade ocorrer (equirováveis)! 3.) Probabilidades Discretas oceitos Básicos Defiições: Exerimeto Aleatório: Dizemos que um exerimeto qualquer é aleatório quado, se reetido diversas vezes as mesmas codições, ode gerar resultados diferetes. Exerimetos aleatórios acotecem a todo mometo o osso cotidiaok ergutas do tio: será que vai chover? Qual será o resultado da artida de futebol? Quatos serão os gahadores da Mega-Sea da semaa? São questões associadas a exerimetos aleatórios e que deedem do acaso. Exerimetos aleatórios são o objeto de estudo do cálculo de robabilidades. Esaço Amostral: (ou de casos ou resultados): de uma exeriêcia é o cojuto de todos os resultados ossíveis. Acotecimeto ou eveto: é qualquer subcojuto do esaço amostral. As três riciais formas de defiição de robabilidades: A) Defiição lássica: A robabilidade de um acotecimeto E, que é um subcojuto fiito de um esaço amostral S, de resultados igualmete rováveis, é: (E) = ( E) ( S) sedo (E) e (S) as quatidades de elemetos de E e de S, resectivamete. Exemlo: a) Qual a robabilidade de, ao laçarmos dois dados distitos, a soma dos dois úmeros ser 7? Solução:

42 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 4 O Esaço amostral será aqui reresetado elos 36 ares ordeados reresetativos das otuações ossíveis desses dois dados. Poderemos reresetá-lo or uma tabela de dula etrada, vejamos: dados (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) 3 (3,) (3,) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,) (4,) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,) (5,) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,) (6,) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Assialamos os ares ordeados que atedem à codição roosta (soma 7), logo, a 6 robabilidade edida será: = = 6,67 % 36 6 rítica à defiição clássica (i) A defiição clássica é dúbia, já que a idéia de igualmete rovável é a mesma de com robabilidade igual, isto é, a defiição é circular, orque está defiido essecialmete a robabilidade com seus rórios termos. (ii) A defiição ão ode ser alicada quado o esaço amostral é ifiito. B) A defiição de robabilidade como freqüêcia relativa Na rática acotece que em semre é ossível determiar a robabilidade de um eveto. Qual a robabilidade de um avião cair? Qual a robabilidade de que um carro seja roubado? Qual a robabilidade de que um liceciado de matemática termie a sua graduação? Resostas ara esses roblemas são fudametais mas, como ão odemos calcular essas robabilidades ela defiição clássica, tudo o que odemos fazer é observar com que freqüêcia esses fatos ocorrem. om um grade úmero de observações, odemos obter uma boa estimativa da robabilidade de ocorrêcia desse tio de evetos. Freqüêcia relativa de um eveto Seja E um exerimeto e A um eveto de um esaço amostral associado ao exerimeto E. Suoha-se que E seja reetido vezes e seja m o úmero de vezes que A ocorre as reetições de E. Etão a freqüêcia relativa do eveto A, aotada or fr A, é o quociete: fr A = m / = (úmero de vezes que A ocorre) / (úmero de vezes que E é reetido) Exemlo (i) Uma moeda foi laçada 00 vezes e foreceu 0 caras. Etão a freqüêcia relativa de caras é: fr A = 0 / 00 = 0,5 = 5% (ii) Um dado foi laçado 00 vezes e a face 6 aareceu 8 vezes. Etão a freqüêcia relativa do eveto A = { face 6 } é: fr A = 8 / 00 = 0,8 = 8% Proriedades da freqüêcia relativa Seja E um exerimeto e A e B dois evetos de um esaço amostral associado S. Sejam fr A e fr B as freqüêcias relativas de A e B resectivamete. Etão.

43 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 43 (i) 0 fr A, isto é, a freqüêcia relativa do eveto A é um úmero que varia etre 0 e. (ii) fr A = se e somete se, A ocorre em todas as reetições de E. (iii) fr A = 0, se e somete se, A uca ocorre as reetições de E. (iv) fr AUB = fr A fr B se A e B forem evetos mutuamete excludetes. Defiição frequecista de robabilidade: Seja E um exerimeto e A um eveto de um esaço amostral associado S. Suohamos que E é reetido vezes e seja fr A a freqüêcia relativa do eveto. Etão a robabilidade de A é defiida como sedo o limite de fr A quado tede ao ifiito. Ou seja: P(A) = lim Deve-se otar que a freqüêcia relativa do eveto A é uma aroximação da robabilidade de A. As duas se igualam aeas o limite. Em geral, ara um valor de, razoavelmete grade a fr A é uma boa aroximação de P(A). É o que chamamos de Lei dos grades úmeros. rítica à defiição freqüecial Esta defiição, embora útil a rática, areseta dificuldades matemáticas, ois o limite ode ão existir. Em virtude dos roblemas aresetados ela defiição clássica e ela defiição freqüecial, foi desevolvida uma teoria modera. ) Defiição axiomática de robabilidade Seja E um exerimeto aleatório com um esaço amostral associado S. A cada eveto A S associa-se um úmero real, reresetado or P(A) e deomiado robabilidade de A, que satisfaz as seguites roriedades (axiomas): (i) 0 P(A) ; (ii) P(S) = ; (iii) P(AUB) = P(A) P(B) se A e B forem evetos mutuamete excludetes. fr A (iv) Se A, A,..., A,..., forem, dois a dois, evetos mutuamete excludetes, i i= i= etão: P( U A ) = P( A ) oseqüêcias dos axiomas (roriedades) (i) P( ) = 0 i Prova Seja A S etão tem-se que A =, isto é, A e são mutuamete excludetes. Etão: P(A) = P(A ) = P(A) P( ), ela roriedade 3. acelado P(A) em ambos os lados da igualdade segue que P( ) = 0. (ii) Se A e A são evetos comlemetares etão: P(A) P( A ) = ou P( A ) = - P(A) Prova Tem-se que A A = e A A = S. Etão: = P(S) = P(A A ) = P(A) P( A ), ela roriedade 3. (iii) Se A B etão P(A) P(B)

44 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 44 Prova Tem-se: B = A (B - A) e A (B - A) = Assim P(B) = P(A (B - A)) = P(A) P(B - A) e como P(B - A) 0 segue que: P(B) P(A) (iv) Se A e B são dois evetos quaisquer etão: P(A - B) = P(A) - P(A B) Prova A = (A - B) (A B) e (A - B) (A B) = Logo P(A) = P((A - B) (A B)) = P(A - B) P(A B). Do que segue: P(A - B ) = P(A) - P(A B). (v) Se A e B são dois evetos quaisquer de S, etão: P(A B) = P(A) P(B) - P(A B) Prova A B = (A - B) B e (A - B) B= Tem-se etão: P(A B) = P((A - B) B) = P(A - B) P(B) = P(A) P(B) - P(A B), ela roriedade (iv). (vi) P(A B ) = P(A) P(B) P() - P(A B) - P(A ) - P(B ) P(A B ) Prova Faz-se B = D e alica-se a roriedade (v) duas vezes. (vii) Se A, A,..., A são evetos de um esaço amostra S, etão: P(A A... A ) = P( U Ai) = P( Ai) - P( A i A j ) P( A i A j A r )... (-) k P(A A... A ) i= i= i< j= i< j< r= 3 PROBABILIDADE X INTUIÇÃO Lace a questão a seguir ara seus aluos, logo as aulas iiciais sobre robabilidades e solicite que tetem estimar o resultado, ituitivamete, ates de alicar a defiição ou qualquer rocesso de resolução. Num determiado aís sabe-se que 0% da oulação está ifectada elo vírus do HIV. Sabe-se também que, os exames ara detectar a doeça, há 90% de acerto ara o gruo dos ifectados e 80% de acerto ara os ão ifectados. Determie :. A robabilidade de que uma essoa, cujo exame deu ositivo ara a doeça, esteja realmete ifectada.. A robabilidade de que uma essoa, cujo exame deu egativo ara a doeça, esteja realmete sadia. Solução: Para facilitar, vamos suor que a cidade tivesse uma oulação de 000 habitates. De acordo com o texto, teremos que 00 são ortadores do vírus HIV e 900 ão são ortadores. ) Total de ortadores detectados elo exame: 90 % de 00 0 % de 900 = 70 essoas. Logo, ara resodermos à rimeira erguta, temos que 90 essoas em 70 são realmete ortadores do vírus, ou robabilidade de 90 / 70 = 33,3%. É or esse motivo que, ormalmete quado um exame HIV tem resultado ositivo, os médicos ormalmete recomedam que o mesmo seja reetido. ) Total de ão ortadores detectados elo exame: 0 % de 00 80% de 900 = 730 essoas, das quais 70 são realmete ão ortadores desse vírus. Logo, temos a

45 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 45 robabilidade de 70 / 730 = 98,6 % de que uma essoa, cujo exame deu egativo ara a doeça esteja realmete sadia. OMENTÁRIO: Essa questão, que foi origialmete roosta aos cadidatos ao Projeto Saies (Uma esécie de vestibular em etaas, o Rio de Jaeiro), roicia através de uma abordagem simles e ituitiva, o efoque de uma questão atual e de iteresse de todos as aulas de matemática e ode, deededo de ossos objetivos, roiciar outras discussões como robabilidade codicioal, or exemlo. 3.3) Três casos iteressates... a) O PROBLEMA DA OINIDÊNIA DOS ANIVERSÁRIOS Questão: Em um gruo de 8 essoas, determie a robabilidade de que duas dessas essoas, elo meos, aiversariem o mesmo dia. Solução: Vamos rimeiro determiar a robabilidade de que todas as oito essoas façam aiversários em datas diferetes e deois, calcular o que se ede elo comlemetar. Vamos resolver elo ricíio multilicativo (que é mais simles). Iicialmete vamos determiar o esaço amostral, ou seja, o úmero total de casos ossíveis ara os aiversários das 8 essoas. N(S) = = Agora vamos determiar o úmero de casos favoráveis a esse eveto ((E)), ou seja, o úmero de ossibilidades de todas as oito essoas aiversariarem em datas distitas N(E) = (observe que 358 é igual a ou 366 8). Logo, a robabilidade que estamos rocurado é: = = ,957 Isto sigifica que temos 9,57% de robabilidade de que as oito essoas façam aiversários em datas distitas. Logo, alicado a roriedade das robabilidades comlemetares, temos que 00% - 9,57% = 7,43% é a robabilidade de que, ao meos duas das oito essoas aiversariem a mesma data. Este resultado é ormal e rovavelmete ão lhe causou esato. Mas, veja o que ocorre se tivéssemos um gruo de 30 essoas... Probabilidade de que as 30 essoas façam aiversários em datas diferetes: = 0,9 (ote que 336 corresode a ou ) Logo, a robabilidade de que, um gruo de 30 essoas, duas delas fizessem aiversário o mesmo dia é de 00% - 9% = 7%. Ou seja, uma sala de 30 aluos, a robabilidade

46 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 46 de dois aluos aiversariarem um mesmo dia é muito grade...acima de 70%...e aí as essoas já começam a se assustar com o resultado... Podemos geeralizar o resultado obtido acima da seguite maeira: Em um gruo de k essoas, a robabilidade de haver elo meos duas que façam aiversário o mesmo dia é de: 365 x 364 x...x (366 k) = k 365 Se você alicar a fórmula acima ara um gruo k = 50 essoas, vai ecotrar o surreedete resultado de que a robabilidade de duas essoas aiversariarem um mesmo dia é de 97%, ou seja, raticamete um eveto certo de acotecer. Abaixo fizemos uma tabela com a robabilidade desse fato acotecer, ara algus valores de k. k essoas = Probabilidade = 5 3 % 0 % 5 5% 0 4% 5 57% 30 7% 40 89% 45 94% 50 97% oisas dessa ciêcia maravilhosa, deomiada matemática! Um excelete exemlo ara ser exlorado em sala de aula...iclusive com o uso de calculadoras ara a cofirmação dos resultados dessa tabela. b) A PORTA DOS DESESPERADOS (O PROBLEMA DE MONTY HALL) Vamos suor que você esteja articiado de um rograma de TV, daqueles de rêmios, como o de Gilberto Barros, Gugu Liberato ou Sílvio Satos. No rograma existe um desafio do tio 'A Porta dos Deseserados'. Trata-se de um desafio aaretemete simles: existem três ortas iguais e atrás de uma delas (aeas uma) existe um rêmio (carro, eletrodoméstico etc.). Atrás das outras ortas ada existe ou há um mostro ara lhe echer a aciêcia, como um atigo quadro do Sérgio Malladro. Você terá que escolher a orta que tem o rêmio ou ada gahará. Você faz a escolha e o aresetador, que sabe ode está o rêmio, ates de abrir a orta que você escolheu, abre uma das outras duas, que mostra estar vazia e lhe erguta se deseja trocar a sua orta ela terceira que aida está fechada. A questão que se coloca esse itrigate e egaador roblema é se a troca lhe será vatajosa ou se ela é idiferete o que diz reseito à robabilidade de gahar o rêmio escodido.

47 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 47 Este equeo roblema, que ão é tão simles quato ossa arecer, torou-se famoso a década de 70, os EUA, como o roblema de Moty Hall, em homeagem ao aresetador de um rograma de TV (Le ts make a deal?) que fazia aos articiates roostas semelhates à que descrevemos acima. Você, rovavelmete, se deixar aeas que a ituição resoda, dirá que tato faz ficar com a rimeira orta escolhida ou mudar ara a que aida está oculta. No etato, um ouco de cohecimeto de cálculo de robabilidades os mostra que a mudaça da orta gera uma robabilidade duas vezes maior de gahar o rêmio do que a mauteção da orta iicial. É claro que, se existem três ortas, vamos desigá-las de A, B e, e você escolhe uma delas (A, or exemlo), a sua chace de gahar o rêmio é de /3 e, coseqüetemete, a chace de ter escolhido errado é de /3. Etedido esse oto, recisamos ter em mete que o aresetador do rograma, ao abrir uma orta que está vazia (digamos, B), está lhe dado uma valiosa iformação: se o rêmio estava uma das duas ortas que você ão escolheu (B ou ), ele agora só ode estar a orta que ele ão abriu (ou seja, ). Isso sigifica que, se você escolheu a orta errada (e a chace disso ocorrer é de /3) irá semre gahar ao trocar ela orta aida ão aberta. omo a chace de você ter escolhido a orta certa é de aeas /3, cofirmamos que a troca da orta tem, matematicamete, o dobro da robabilidade de acerto do que a mauteção da orta iicialmete escolhida. A resosta ituitiva da maioria das essoas é de que tato faz ficar com a orta iicial ou mudar ara a outra, com 50% de chace ara cada uma, ão levado em cota a ação do aresetador do rograma, que uca abriria a orta remiada e que abrirá uma orta ãoremiada a artir da orta que ós tivermos aberto iicialmete. O roblema em questão, também cohecido como aradoxo de Moty Hall, é usado em diversos cursos e livros de estatística / robabilidade, como um exemlo de esaço ão equirovável e tem circulado ela Iteret como roblema-desafio que tem surreedido (e derrubado) muita gete, gerado boas e acaloradas discussões. Aresetamos uma solução bem simles ara o roblema, mas ele ode também ser resolvido (e geeralizado) através do Teorema de Bayes da robabilidade codicioal. Sobre o reveredo Thomaz Bayes: um estudo ublicado em 763, ele descreveu como esar matematicamete sobre ovas iformações a tomada de decisões. Uma das riciais artes do rocesso de tomada de decisão é como lidar com as icertezas, como determiar a robabilidade de que as coisas ocorram. Provavelmete, a rimeira essoa que escreveu sobre este tema foi o reveredo Bayes, que se dedicava a os dizer como odemos mudar as ossas chaces a artir de ovas iformações que as afetam. Etão, or exemlo, agora mesmo eu ficaria muito surreso se assasse diate de mim uma essoa vestida de aveira ou de Hércules. Mas, se de reete eu escutasse música de caraval, a robabilidade de que eu visse alguém fatasiado dessa forma seria muito maior. É disso de que trata o teorema de Bayes: como atualizar as suas creças, as suas robabilidades, quado ovos dados foram obtidos. É o que se chama robabilidade codicioal. De certa forma, é o que ocorreu o roblema de Moty Hall, quado o aresetador do rograma escolhe a orta que deve abrir ao fazer a roosta de troca. É uma iformação fudametal ao etedimeto do roblema.

48 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 48 c) Os Jogadores e a osulta a Galileu No século XVII, os jogadores italiaos costumavam fazer aostas sobre o úmero total de otos obtidos o laçameto de 3 dados. Acreditavam que a ossibilidade de obter um total de 9 era igual à ossibilidade de obter um total de 0. Afirmavam que existiam 6 combiações ara obtermos 9 otos: Aalogamete, obtiham 6 combiações ara o 0: Assim, os jogadores argumetavam que o 9 e o 0 deveriam ter a mesma ossibilidade de se verificarem. otudo, a exeriêcia mostrava que o 0 aarecia com uma freqüêcia um ouco suerior ao 9. Pediram a Galileu que os ajudasse esta cotradição, tedo este realizado o seguite raciocíio: Pite-se um dos dados de braco, o outro de ciza e o outro de reto. De quatas maeiras se odem aresetar os três dados deois de laçados? Sabemos, elo ricíio multilicativo que são = 6 ossibilidades. Galileu listou todas as 6 maeiras de 3 dados se aresetarem deois de laçados. Deois ercorreu a lista e verificou que havia 5 maeiras de obter um total de 9 e 7 maeiras de obter um total de 0. O raciocíio dos jogadores estava errado elo simles fato de que, or exemlo o trio 3 3 3, que dá o 9, corresode uicamete a uma forma dos dados se aresetarem, mas o trio que dá o 0, corresode a 3 maeiras diferetes: A tabela a seguir, mostra o total de maeiras de obtermos 9 ou 0 otos, que realça o erro cometido elos jogadores da éoca. 9 otos maeiras 0 otos maeiras total 5 total 7 Ou seja, a robabilidade da soma dos otos obtidos ser igual a 0 é de 7/6 que é igual a,5% e a robabilidade da soma dos otos obtidos ser igual a 9 é de 5/6, que é aroximadamete igual a,6%. O roblema acima é uma excelete oortuidade de iiciarmos o tema robabilidade com ossos aluos do esio médio, iclusive simulado o jogo com o laçameto de dados e chamado a ateção ara o fato de que essa defiição Lalaceaa de robabilidades só é válida se o esaço dos acotecimetos for do tio equirovável, o que ão acotecia iicialmete o roblema em questão, quado os jogadores esavam que existiam igualmete 6 ossibilidades de saída dos 9 e dos 0 otos.

49 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 49 Esse tio de erro se torou imortate o álculo de Probabilidades e levou muitas essoas a cometerem falhas a aálise de algus roblemas que existem há muitos aos, como o famoso roblema das 3 ortas (e suas mais distitas versões). 3.4) ombiação de evetos Teorema: Seja E um eveto o esaço amostral S. A robabilidade do acotecimeto comlemetar, E, é dada or: ( E ) = - (E) Teorema: Sejam E e E dois evetos do mesmo esaço amostral S. Etão: (E E) = (E) (E) - (E E) Exemlo: Qual a robabilidade de um úmero iteiro ositivo selecioado aleatoriamete do cojuto dos iteiros ositivos meores ou iguais a 00 ser divisível or ou or 5? Solução: Sabemos que o Uiverso dos iteiros ositivos, iferiores ou iguais a 00 ((S) = 00), a quatidade de úmeros divisíveis or é 50 (os ares) e a quatidade dos úmeros divisíveis or 5 é 0 (os termiados em zero ou em cico). Sedo que os que são divisíveis ao mesmo temo or ou or 5 (os múltilos de 0) são 0. Logo, teremos: 50 ( E) = = 00 0 ( E) = = ( E E ) = = Logo, ( E E ) = = = 60% Vamos a seguir aresetar mais algus casos de combiação de evetos, a artir de algus exemlos roostos elo rofessor Luiz Márcio Imees em aostila da Fudação Roberto Mariho. EXEMPLO Num gruo de joves estudates a robabilidade de que um jovem, escolhido ao acaso, teha média acima de 7,0 é /5. Nesse mesmo gruo, a robabilidade de que um jovem saiba jogar futebol é 5/6. Qual a robabilidade de escolhermos um jovem (ao acaso) que teha média maior que 7,0 e saiba jogar futebol? Solução: O fato de ter média maior que 7,0 ão deede do fato de saber jogar futebol, e vice-versa. Quado isso ocorre, dizemos que os evetos são ideedetes. osidere etão os evetos: A: ter média acima de 7,0. B: saber jogar futebol. A e B: ter média acima de 7,0 e saber jogar futebol.

50 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 50 omo queremos calcular P (A e B), ese o seguite: de todos os joves, /5 têm média acima de 7,0 e 5/6 sabem jogar futebol. Ora, 5/6 de /5 ou seja, 5/6. /5 = /6 sabem jogar futebol e têm média acima de 7,0. Portato, P (A e B) = /6. Reare que ara ecotrarmos P (A e B) efetuamos P (A) P (B). Etão, cocluímos que, quado A e B são evetos ideedetes (ão têm ada a ver um com o outro): P (A e B) = P (A) P (B) EXEMPLO : Dos 30 fucioários de uma emresa, 0 são cahotos e 5 vão de ôibus ara o trabalho. Escolhedo ao acaso um desses emregados, qual a robabilidade de que ele seja cahoto e vá de ôibus ara o trabalho? osidere os evetos: A : ser cahoto B : ir de Ôibus ara o trabalho Solução: laro que A e B são evetos ideedetes, ortato um ão deede em ada do outro. A robabilidade de os dois evetos (A e B) ocorrerem simultaeamete é calculada or P(A e B) = P (A) P (B). alculado: P (A) = 0/30 = /3 P (B) = 5/30 = 5/6 P (A e B) = P (A) P (B) = /3. 5/6 = 5/8 A robabilidade de que ele seja cahoto e vá de ôibus ara o trabalho é de 5/8. EXEMPLO 3: Algus atletas articiam de um triathlo (rova formada or 3 etaas cosecutivas: (atação, corrida e ciclismo). A robabilidade de que um atleta escolhido ao acaso termie a rimeira etaa (atação) é 4/7. Para cotiuar a cometição com a seguda etaa (corrida) o atleta recisa ter termiado a atação. Dos atletas que termiam a rimeira etaa, a robabilidade de que um deles, escolhido ao acaso, termie a seguda é ¾. Qual a robabilidade de que um atleta que iiciou a rova, e seja escolhido ao acaso, termie a rimeira e a seguda etaas? A : termiar a a etaa da rova (atação). B : termiar a a etaa da rova (corrida), tedo termiado a a. Note que A e B ão são evetos ideedetes, ois, ara começar a a etaa é ecessário, ates, termiar a a. Nesse caso dizemos que a ocorrêcia do eveto B deede (esta codicioada) à ocorrêcia do eveto A. Utilizamos etão a otação B/A, que sigifica a deedêcia dos evetos, ou melhor, que o eveto B/A deota a ocorrêcia do eveto B, sabedo que A já ocorreu. No caso deste exemlo, temos: B/A termiar a a etaa (corrida), sabedo que o atleta termiou a a etaa (atação). E agora? omo calcular P (A e B)? Simles: o lugar de usarmos P(B) a fórmula P(A e B) = P(A) P(B), usaremos P(B/A) já que a ocorrêcia de B deede da ocorrêcia de A. O euciado deste roblema os diz que P(A) = 4/7 e P B/A = 3/4; assim, P(A e B) = P(A) P B/A = 4/7. ¾ = 3/7. A robabilidade de que um atleta, escolhido ao acaso, termie a a e a ª etaas é 3/7.

51 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 5 Quado A e B ão são evetos ideedetes a robabilidade de ocorrêcia de A e B é calculada or: P (A e B) = P (A) P (B/A) ode P (B/A) é a robabilidade de B, dado que A já ocorreu (Probabilidade odicioal). EXEMPLO 4: No exame ara tirar a carteira de motorista, a robabilidade de arovação a rova escrita é 9/0. Deois de ser arovado a arte teórica, há uma rova rática de direção ara os que já assaram o exame escrito, a robabilidade de assar essa rova rática é /3. Qual a robabilidade de que, escolhido um cadidato ao acaso, ele seja arovado em ambas as rovas escrita e rática e tire a carteira de motorista? Solução: osidere os evetos: A: arovação a rova escrita. B: arovação a rova rática de direção. Os evetos A e B ão são ideedetes, ois é reciso ter arovação a rova escrita ara fazer a rova rática de direção. omo a ocorrêcia de B está codicioada à ocorrêcia de A, criamos o eveto: B/A: ter arovação a rova rática de direção, sabedo que o cadidato foi arovado a rova escrita. Para calcular P(A e B), usamos: P(A e B) = P(A) P(B/A) alculado: P(A) = 9/0 P(B/A) = /3 P(A e B) = 9/0. /3 = 3/5 A robabilidade de assar a rova escrita e a rova de direção é 3/5. EXEMPLO 5: Uma ura cotém 4 bolas bracas e vermelhas. Uma bola é retirada e, sem reosição, uma seguda bola é retirada. Qual a robabilidade de ambas serem bracas? osidere os evetos: A: retirada da rimeira bola braca. B: retirada da seguda bola braca. Eles são deedetes, ois a robabilidade de ocorrêcia de B deede do que ocorreu a retirada da rimeira bola. Etão: P(A) = Tedo sido retirada uma bola braca e ão havedo reosição a ura, restam 5 bolas sedo 3 bracas, logo, a robabilidade de retirar-se outra bola braca é P(B\A) = 5 3

52 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 5 Portato P(A B) = P(A) P(B\A) = P(A B) = OBS: Este resultado oderia ser obtido diretamete da defiição P(A B) = EXEMPLO 6: Na oa América de 995, o Brasil jogou com a olômbia. No rimeiro temo, a seleção brasileira cometeu 0 faltas, sedo que 3 foram cometidas or Leoardo e outras 3 or Adré ruz. No itervalo, os melhores laces foram rerisados, detre os quais uma falta cometida elo Brasil, escolhida ao acaso. Qual a robabilidade de que a falta escolhida seja de Leoardo ou de Adré ruz? Solução: Das 0 faltas, 3 foram de Leoardo e 3 de Adré ruz. Portato, os dois jutos cometeram 6 das 0 faltas do Brasil. Assim, a robabilidade de que uma das faltas seja a escolhida detre as 0 é 6/0 = 3/5. Também odemos resolver este roblema da seguite maeira: Probabilidade de ser escolhida uma falta do Leoardo = 3/0. Probabilidade de ser escolhida uma falta do Adré ruz = 3/0. A robabilidade de ser escolhida uma falta de um destes dois jogadores = 3/0 3/0 = 6/0 = 3/5. Lembre-se de que qualquer uma das duas escolhas terá um resultado favorável. Se A e B são os evetos (escolher uma falta de Leoardo ou escolher uma falta de Adré ruz), estamos iteressados a robabilidade do eveto A ou B. Temos etão, ara esse caso que: P(A ou B) = P(A) P(B) Note que isso vale orque uma falta ão ode ser cometida elos dois jogadores ao mesmo temo, ou seja, o eveto A e B é imossível. 3.5) oceito de Probabilidade (geeralização): Problema: Se eu tiver uma moeda viciada e a laçar várias vezes o que osso eserar como resultado? Defiição: Dado um esaço de amostras S, de um exerimeto com um úmero fiito de resultados ossíveis, chama-se robabilidade de um resultado, (s), a um valor: 0 ( s), s S s S s = Modelar uma exeriêcia deve ser medir a freqüêcia relativa de um acotecimeto quado o úmero de exeriêcias se tora muito grade. Exemlo 7: Qual a robabilidade de sair caras ou coroas uma moeda viciada em que a chace de aarecer cara é duas vezes a chace de aarecer coroa. ) (A) = (O) ) (A) (O) =, or defiição. Solução:

53 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 53 3) (O) (O) = 3 (O) =, de ) e ) (O) = /3 (A) = /3 Defiição: A robabilidade de um acotecimeto E é igual à soma das robabilidades dos resultados em E. (E) = s s E Exemlo: Admita que tem um dado viciado de modo que o úmero 3 aarece duas vezes mais que qualquer dos outros úmeros. Qual a robabilidade de sair um úmero ímar quado laçamos o dado uma vez? Solução: P(3) = s P() = () = (4) = (5) = (6) = s Logo, s 5 s = ou s = /7 Seja E o eveto eserado (sair um úmero ímar), teremos: (E) = () (3) (5) = 4/7 Uma atividade exloratória: Um jogo de cico dados Uma outra boa exeriêcia que ode ser feita em classe e que, através do aumeto do úmero de registros, odemos verificar a aroximação do resultado obtido a rática, com o teórico. Laçam-se cico dados. Para gaharmos tem de sair o úmero 5 mas ão ode sair o 6. Qual é a robabilidade de gahar? Numa fase iicial do estudo das robabilidades, os aluos aida ão têm cohecimetos que lhes ermitam resoder à erguta com o valor exato. No etato, odem obter exerimetalmete uma aroximação razoável. Para isso, a cada gruo de aluos deve ser distribuído um cojuto de 5 dados (ou solicitar que eles tragam de casa), edimos que cada gruo faça uma série de sorteios (50, or exemlo) e que registre os resultados obtidos, destacado de alguma forma os casos que forem favoráveis ao eveto roosto. aso haja codições, odemos até simular tais sorteios uma calculadora gráfica (TI-83, or exemlo). Seja, or exemlo os seguites resultados que oderiam ser obtidos or um gruo: Verificamos facilmete que dos três sorteios ateriores, o úico que os é favorável é o terceiro, ou seja, um uiverso de 3 sorteios, obtivemos a freqüêcia relativa de /3, ou 33%. Se, uma turma, cada gruo fizer us 50 sorteios, registrado o úmero de exeriêcias e o úmero de vezes favoráveis, facilmete chegamos a 500 resultados. Podemos jutar os resultados de duas turmas, or exemlo e chegamos a 000 exeriêcias. Num dos olégios em que fizemos a exeriêcia, em 000 exeriêcias, aotamos 76 sucessos, o que corresode a uma freqüêcia relativa de 0,76 ou 7,6%.

54 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 54 Podemos etão rever que a robabilidade de gahar uma jogada vai ser róxima deste valor, ão loge dos 8%. laro que quatas mais exeriêcias fizermos, mais cofiaça oderemos ter os resultados ( e isso devemos assar a ossos aluos, a exeriêcia com grades úmeros). Se coseguirmos jutar os resultados de várias turmas (0 000 sorteios, or exemlo), verificaremos que a robabilidade de ocorrêcia do eveto estará erto de 7%. Em seguida veremos o resultado exato desta robabilidade, com o auxílio da Aálise ombiatória. álculo da robabilidade Laçam-se cico dados. Para gaharmos tem de sair o úmero 5 mas ão ode sair o 6. Qual é a robabilidade de gahar? Já vimos, exerimetalmete, que o resultado rocurado está róximo dos 7%. Agora vamos obter o resultado exato. O úmero de casos ossíveis quado laçamos 5 dados são os arrajos com reetição dos 6 úmeros, ou, elo ricíio multilicativo: 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6 5 = 7776 O úmero de casos favoráveis (sair 5 mas ão sair 6) tem de ser feito em duas etaas: Primeiro, ão ode sair 6: são os arrajos com reetição dos úmeros de a 5. asos em que ão sai 6 = AR 5,5 = 5 5 = 35 Segudo, ão ode sair 6 mas tem de sair 5. Etão, aos 35 casos ateriores temos de subtrair os casos em que também ão sai 5. asos em que ão sai 6 em 5 = AR 4,5 = 4 5 = 04 asos em que ão sai 6 mas sai 5 = = 0 Logo: P(sair 5 mas ão sair 6) = ,709 A robabilidade de gahar o jogo é raticamete igual a 7%. Rearemos que o valor obtido exerimetalmete está bastate erto do valor teórico. Um homem que viaja muito estava reocuado com a ossibilidade de haver uma bomba a bordo do avião em que viajava. alculou a robabilidade disso, verificou que era bastate baixa, mas ão suficietemete baixa ara ele, de modo que agora semre viaja com uma bomba em sua mala de mão. Raciocia que a robabilidade de haver duas bombas a bordo seria raticamete ula, ifiitesimal.

55 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá ) NA SALA DE AULA... A) PROBABILIDADES NA ESOLA FUNDAMENTAL O esio de Probabilidades deve fazer arte do currículo do Esio Fudametal tedo em vista que um dos mais imortates objetivos do esio da Matemática é levar o aluo a utilizá-la em alicações da vida cotidiaa, iterretado assim o mudo à sua volta. Grades omes o mudo da esquisa como Piaget e Fichbei e teses de doutorado como as de Maria do armo Vila da UFMG e José Luis Damasceo da UB demostram que fases etárias bem joves já começam a desevolver caacidades cogitivas que levam à comreesão dos coceitos ão só de robabilidades como outros, como o de estatística, também cosiderados elos tradicioais como iacessíveis se levados a cohecimeto do aluo ates de uma adolescêcia já defiida. Essa idéia se afirma, ricialmete, quado observamos oções de robabilidades itegrado currículos de séries iiciais em aíses como, or exemlo, a Hugria. oceitos robabilísticos como jogos e loterias, esquisas eleitorais, sorteios, características hereditárias, codições meteorológicas, estudos oulacioais e outros relacioados às ciêcias aturais e à vida social estão, a todo dia e toda hora, fazedo arte dos jorais, outdoors, rádio e televisão. Desta forma, o jovem, vivedo a sociedade atual, ecessita do desevolvimeto cogitivo, mesmo que um tato rematuro, e da aredizagem de ferrametas teóricas que lhe roiciem iterretar e agir o cotidiao de sua vida. Situações-roblema simles e curiosas os colocam a esar sobre usos iformais da robabilidade. Frases e alavras relacioadas a evetos imrevisíveis odem ser exloradas, levado o aluo a se aroximar do coceito de robabilidade, como or exemlo levado-o a esquisar em que cotexto odem ser emregadas alavras como: ocasioal, acidetal, aleatório, azar, casual, evetual, fortuito, revisível ou imrevisível, rovável ou imrovável, certo ou icerto, eserado ou ieserado, ossível ou imossível, resumível, revisível, rovável, sorte, viável, etc, etc, etc. Portato, itroduzir oções como as de Probabilidades a Escola Fudametal é o míimo que se ode fazer ara ão rivar o jovem do direito à vida a Sociedade atual. UM EXEMPLO om os objetivos de, etre outros, idetificar resultados ossíveis ara determiada situação e reresetá-los; resolver roblemas de cotagem, utilizado recursos como tabelas e árvores de ossibilidades, e viveciar jogos de resultados aleatórios (mas ão equirováveis), odem-se aresetar o Esio Fudametal jogos diversos que colocarão o aluo, de forma agradável e descotraída, diate do mudo das robabilidades. Assim, jogado e se divertido, ele estará arededo a iterretar o mudo à sua volta. Jogo: Soma da Sorte Na classe, formam-se times. Um terá o úmero, outro o 3 e assim or diate até. ada time, a sua vez, joga dois dados e soma os otos. O time cujo úmero é igual à soma faz um gol. Alguém deve aotar o quadro o úmero de gols de cada time. Aós 50 laçametos, acaba o jogo e gaha o time com maior úmero de gols. ANALISANDO OS RESULTADOS DO JOGO Trascrevedo o cadero os resultados gravados o quadro e sua oiião essoal, o aluo deve refletir sobre o time vecedor: será que ele gahou aeas or ter tido mais sorte? Quado laçamos dois dados, de que maeiras eles odem cair? Podemos ver todas as ossibilidades fazedo uma tabela:

56 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 56 Dado Dado Jutos, os dois dados roduzem 36 ossibilidades. Observe, a tabela, quatas das ossibilidades dão soma 4 e quatas dão soma 7. A soma tem 3 ossibilidades em 36. Em outras alavras, ela tem das chaces. Já a soma 7 tem das chaces. om essa tabela, ode-se eteder que algus times começam o jogo da soma com mais chaces que outros. A vitória de certos times ão é ura sorte. URIOSIDADES QUE ENSINAM A artir do fial do jogo, ode-se laçar ao aluo uma ifiidade de ergutas iteressates: Olhado a tabela, será que ele vê muitas chaces ara a soma? Qual é realmete a chace da soma? (Ele deve exressar esse resultado em forma de fração e em forma de orcetagem). Será que ele escolheria a soma, caso udesse escolher? Qual a orcetagem obtida em cada uma das somas 5, 7, 9 e? Será que as orcetages obtidas o jogo são aroximadamete iguais às orcetages teóricas? No laçameto de um úico dado, qual seria a chace do resultado ser 6? e qual a chace do resultado ser um úmero rimo? Laçado dois dados e multilicado o úmero de otos obtido em cada um, o aluo deve costruir uma tabela mostrado todas as ossibilidades de laçameto dos dois dados. Em quatas ossibilidades o roduto é? Quais as chaces do roduto ser 6? Há chace de o roduto ser 7? ONLUSÃO No trabalho com Probabilidades o Esio Fudametal, os roblemas odem e devem ser simles ara serem coduzidos raidamete. As atividades são umerosas e simles ara os objetivos que se devem atigir. omo se trata quase semre de rocessos gráficos e de levatametos em um dado uiverso, o iteresse certamete será desertado elo tio de trabalho realizado. Uma vatagem é a ão ecessidade de grades cálculos algébricos e outros artifícios. Por equato, a teoria deve ser aeas sulemetar. Partem-se das exeriêcias ráticas ara exlicá-la. O grade arquiteto do Uiverso começa a arecer-os um uro matemático. James Jeas

57 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 57 B) AS LOTERIAS E AS PROBABILIDADES Probabilidades e a Mega Sea Tudo elos milhões Prêmio da Mega-sea será sorteado hoje O rêmio acumulado de R$ 3 milhões da Mega-sea movimetou otem milhares de cariocas, em filas itermiáveis as casas lotéricas. O rêmio está acumulado há seis semaas e, segudo a aixa Ecoômica Federal, deverão ser feitas 59 milhões de aostas. O sorteio será realizado hoje, às 0 horas, a cidade de Sato Atoio da Platia, o Paraá. Otem, o Rio, casas lotéricas fizeram romoções, como a da Novo México, se roodo a trocar um mosquito Aedes Aegyti, or um bilhete com seis dezeas. Outra romoção essa loja era a troca de um bilhete da Mega-sea ara quem agasse a cota de luz com baixo cosumo. Os aostadores estão cofiates e já fazem laos com o rêmio acumulado. ''Teho fortes eseraças de gahar. Faço aostas há dez aos com os mesmos úmeros e doaria a metade do rêmio ara uma istituição de caridade'', disse o admiistrador de emresas Jorge Luiz amos. As loterias dos shoigs e da Zoa Sul ficarão abertas até uma hora ates do sorteio das dezeas. Em algus sites da Iteret, é ossível aostar as 9h45. As reetidas - Para quem acomaha os sorteios da Mega-sea existem algumas robabilidades que oderão fazer algum milioário o teste de logo mais. As dezeas que mais aareceram os resultados até agora são: 4 (34 vezes), 3 (33 vezes), 4 e 43 (30 vezes); 5, 37 e 53, que saíram 9 vezes. Joral do Brasil sábado, 4 de março de 00 INTRODUÇÃO Etre todas as loterias existetes o Brasil, a Mega Sea é, ao meos em determiadas ocasiões, a que deserta o maior iteresse a oulação. Isso se deve ao fato de que, elas regras do jogo, de vez em quado, as quatias oferecidas serem bastate reseitáveis. A mídia dá amla divulgação ao fato, tratado desde as chaces de que alguém gahe o rêmio máximo até o que o gahador oderia fazer com todo aquele diheiro gaho. Nós, rofessores de matemática, somos semre cosultados sobre o fucioameto do jogo e esecialmete sobre a existêcia de alguma estratégia que ossa melhorar as ossibilidades de vitória. O resete artigo faz um breve relato sobre o jogo, mostra resostas às ergutas mais comus e, tem como maior cotribuição, o mérito do aroveitameto de um tema de iteresse de todos em ossas aulas de matemática do Esio Médio. O JOGO Faremos um breve relato do jogo ara os que or ricíios ou or iteligêcia uca se iteressaram elo mesmo. As aostas odem ser feitas escolhedo-se o míimo 6 e o máximo 5 dezeas detre as 60 disoíveis, e eumeradas de a 60. ada aosta simles de 6 dezeas custa,50 reais e, se você marca 8 dezeas, or exemlo, terá de agar 4 reais (ois estas 8 dezeas lhe ossibilitam cocorrer com 8 jogos simles, que é o resultado de 8,6. Logo, 8 x,50 = 4 reais). A aixa Ecoômica Federal, que admiistra o jogo, sorteia seis

58 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 58 dezeas distitas e são remiadas as aostas que cotêm 4 (quadra), 5 (quia) ou todas as seis (sea) dezeas sorteadas. Se um determiado cocurso iguém acerta as seis dezeas, o rêmio fica acumulado ara o cocurso seguite. Existem 60,6 resultados ossíveis ara um sorteio. Esse úmero é suerior a 50 milhões, mais recisamete, ele é igual a Acho que todos cocordamos que só alguém muito otimista acredita que vai gahar com uma úica aosta. VOÊ SABIA? Que é mais fácil obter 5 caras em 5 laçametos de uma moeda erfeita do que acertar a Mega Sea com um úico jogo de 6 dezeas? AS PROBABILIDADES DE SUESSO NA MEGA-SENA O cálculo das robabilidades de que um aostador gahe os rêmios oferecidos é um exercício simles e iteressate de Aálise ombiatória. Vamos, através de um exemlo, mostrar como ele é resolvido. Vamos suor que um aostador fez um jogo com 0 dezeas e estará, ortato, cocorredo com 0,6 (0) jogos simles de 6 dezeas. Verificamos que a robabilidade de gahar a sea vale 0 / , ou aroximadamete 0,0004 %. Para que este aostador gahe a quadra, é ecessário que quatro das seis dezeas aostadas estejam etre as dez as quais ele aostou e duas estejam etre as outras 50. As quatro odem ser escolhidas de 0,4 = 0 maeiras e as outras duas de 50, = 5 maeiras. Existem, ortato 0 x 5 = resultados que dariam o rêmio da quadra ara o aostador. De modo aálogo mostra-se que existem 600 resultados que dariam ao aostador o rêmio da quia. Logo, os valores aroximados das robabilidades de que um aostador, que jogou 0 dezeas, gahe os rêmios da sea, quia e quadra são, resectivamete iguais a: 0,0004%; 0,05 % e 0,53 %. om raciocíio aálogo são calculadas as robabilidades de aostas com um úmero qualquer de dezeas. A AUMULAÇÃO PROGRAMADA Nas diversas loterias admiistradas ela aixa, semre que o rêmio maior ão saía e a quatia ele destiada acumulava ara o cocurso seguite, o iteresse dos aostadores crescia, resultado um aumeto cosiderável o úmero de aostas. Embora essa situação fosse iteressate ara a aixa, o govero e os lotéricos, a sua ocorrêcia deedia do acaso. om o objetivo de mater o iteresse dos aostadores e coseqüetemete aumetar a arrecadação, foi criada a acumulação forçada que reserva uma arte do rêmio (0% do total destiado à Sea) ara ser acrescetada ao rateio dos cocursos cujos úmeros termiam em zero. Assim, or exemlo, em cada um dos cocursos de úmeros 0, 0,... 09, vite or ceto do rêmio da Sea ficam retidos ara serem acrescetados ao rêmio do cocurso 0. No segudo semestre de 999, reetidas acumulações fizeram com que o rêmio suerasse 60 milhões de reais. Esse valor, em toro de 30 milhões de dólares, está o ível dos rêmios de loterias do rimeiro mudo, ricialmete se levarmos em cota que, aqui o Brasil, ele é iseto de imosto de reda.

59 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 59 PERGUNTAS MAIS FREQÜENTES. Ituitivamete o que sigifica ter uma chace em ciqüeta milhões? Usualmete as essoas solicitam que se façam comarações etre a ossibilidade de se gahar a Mega Sea, com outros evetos, como morrer de um desastre de avião, ser atigido or um raio ou mesmo morrer de câcer. A maior dificuldade em fazer tais comarações está o fato de que em todos os idivíduos da oulação têm a mesma robabilidade de sofrer uma dessas desgraças, equato que todos os que aostam 6 dezeas, or exemlo, têm a mesma chace de gahar. Fica mais fácil as essoas etederem usado exemlos uramete aleatórios. Por exemlo, o úmero de habitates do Brasil é quase igual a três vezes o úmero de resultados ossíveis do sorteio. Se fosse realizado um sorteio de três rêmios etre todas os brasileiros, a sua chace de gahar um desses rêmios seria raticamete igual à de gahar o rêmio máximo da Mega Sea com um jogo míimo, de 6 dezeas.. Existe alguma forma de aostar que melhore as chaces do aostador? Essa erguta é geralmete feita a sala de aula or aluos curiosos em saber se cohecemos algum truque que os facilite gahar o rêmio. A aálise dos sorteios realizados até hoje idica que toas as dezeas são igualmete rováveis e que os resultados de diferetes sorteios são ideedetes. Não existem elemetos cocretos que os ermitam costruir um sistema que melhore ossas chaces de vitória (se existisse, rovavelmete ão estaríamos dado mais aulas). 3. Se eu estiver disosto a jogar 4 reais, é melhor fazer um úico jogo de 8 dezeas ou vite e oito jogos de 6 dezeas? Essa é uma questão iteressate, ois, embora as duas formas de jogar sejam equivaletes (suodo 8 jogos distitos de 6 dezeas) o que diz reseito à sea, isso ão é verdade com relação à quadra e à quia. De fato, com um úico jogo de 8 dezeas existirão 8,5. 5, = 9 resultados ossíveis que darão o rêmio da quia ao aostador. om um úico jogo de 6 dezeas, o aostador terá 6,5. 54, = 34 resultados cotedo uma quia. Se os 8 jogos ão tiverem ehuma quia em comum, o total de resultados favoráveis será igual a 8 x 34 = 907. A robabilidade de acertarmos uma quia com o segudo sistema é mais do que três vezes maior do que com o rimeiro. Essa difereça é, elo meos arcialmete, comesada elo fato de que, acertado uma quia com o jogo de 8 dezeas, receberemos três vezes o valor do rêmio. 4. Vale a ea jogar? Do oto de vista teórico, é fácil ver que a resosta é ão. De fato, você estaria colocado diheiro um jogo que destia aeas 44% da arrecadação ara os rêmios e o qual a sua robabilidade de gahar alguma coisa que valha a ea é muito equea. Para aqueles que acreditam a sorte e gostam de arriscar de vez em quado, vejam algumas sugestões: a) Nuca aoste muito diheiro de fato, com a aosta de 5 dezeas, que custará 5005 reais (verifique), a sua robabilidade de gahar o rêmio é aroximadamete igual a /0000 ou 0,0%. Portato, a robabilidade de que você erca o seu diheiro é bem grade (99,99%). Se você é caaz de erder cerca de 7000 reais sem se imortar, é lógico que é uma essoa que ão recisa de loterias.

60 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 60 b) Aoste, de referêcia os cocursos de fial zero Nesses cocursos você ão estará cotribuido ara o rêmio de futuros gahadores, estará cocorredo a um rêmio maior e ricialmete a quatias que os outros já erderam. EXERÍIOS: Para justificar a fraqueza de algus em arriscar de vez em quado, veja que, se você ode, sem sacrifício disor de 0 reais or semaa e decidir alicá-los um ivestimeto de cerca de % de juros ao mês, teria, em valores corrigidos, cerca de 678 reais aós um ao e. coseqüetemete, cerca de reais aós 0 aos. om esse rocedimeto, sua robabilidade de ficar rico é zero. Se você jogar 0 reais or semaa, a robabilidade de que fique rico é quase zero, mas ão é zero...(oderemos coferir esses dados o curso de Matemática Fiaceira Básica). ) DETERMINE AS PROBABILIDADES DE AERTAR NA SENA, NA QUINA E NA QUADRA, DE UM ONURSO DA MEGA SENA, PARA UM APOSTADOR QUE JOGOU DEZENAS. ) QUANTAS QUADRAS E QUINAS AERTOU TAMBÉM UM JOGADOR QUE APOSTOU 0 DEZENAS E AERTOU A SENA? Adatado da Revista do Professor de Matemática, º 43 - Flavio Wager Rodrigues (IME-USP) ) MOSTRE A SEUS ALUNOS QUE NÃO HÁ UM ÚNIO AMINHO ORRETO Uma questão que se coloca muitas vezes erate os roblemas de Probabilidades é o fato de que eles ormalmete ossibilitam várias formas distitas de solução. Quase semre isso ocorre orque, erate a situação descrita o roblema, odemos ecotrar diversos esaços amostrais, deededo da abordagem que se faça. Para calcular a robabilidade alicado a defiição de ardao/lalace, devemos dividir o úmero de casos favoráveis elo úmero de casos ossíveis. Ora, a cada esaço de resultados irá corresoder um diferete úmero de casos ossíveis e, claro, um diferete úmero de casos favoráveis. O ricial cuidado a ter é usar exatamete o mesmo método a cotagem dos casos favoráveis e a cotagem dos casos ossíveis, ou seja, ão mudar de esaço de resultados durate a resolução. Vamos tomar como exemlo um roblema e os vários modos de resolvê-lo: Três bilhetes de ciema A rofessora de História resolveu levar os seus 5 aluos ara ver um filme. omo o ciema tem filas de recisamete 5 cadeiras, comrou uma fila iteira e distribuiu os bilhetes ao acaso elos aluos. As aluas Aa, Beth e arla, or serem muito amigas, gostariam de ficar jutas e uma das extremidades da fila. Qual a robabilidade de que isso ocorra? Fazer um esquema ajuda, muitas vezes, a visualizar melhor o que se assa.

61 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 6 As três amigas querem ficar os lugares, e 3 ou 3, 4 e 5. Existem elo meos quatro rocessos de resolver o roblema. º Processo Vamos esar aeas os três bilhetes destiados às três amigas, ão os iteressado a ordem como elas ocuarão deois esses três lugares. O esaço de resultados é o cojuto dos teros ão ordeados. Por exemlo, um dos seus elemetos é o tero {5, 7, 5}, que corresode às três amigas receberem os bilhetes 5, 7 e 5 embora ão saibamos o lugar exato em que cada uma delas se vai setar. Os casos ossíveis são as diferetes maeiras delas receberem os 3 bilhetes de um cojuto de 5, ou seja, todos os teros ão ordeados formados a artir do cojuto de 5 bilhetes. asos Possíveis = 5,3 = 455 Os casos favoráveis são aeas : ou recebem os bilhetes --3 ou os bilhetes P(ficarem jutas uma ota) = 455 º Processo Vamos esar os três bilhetes destiados às três amigas, mas iteressado-os agora a ordem como elas ocuarão deois esses três lugares. otiuamos a igorar os outros bilhetes. O esaço de resultados é o cojuto dos teros ordeados. Por exemlo, um dos seus elemetos é o tero {5, 7, 5}, ou seja, a Aa fica o lugar 5, a Bela o 7 e a arla o 5. Os casos ossíveis são ortato as diferetes maeiras de elas receberem 3 bilhetes de um cojuto de 5, mas em que a ordem or que recebem os bilhetes é imortate. asos Possíveis = A 5,3 = 730 Se os bilhetes que elas receberem forem, e 3, como a ordem iteressa, há seis maeiras de elas os ocuarem (são as ermutações de 3). O mesmo se assa ara os bilhetes 3, 4 e 5. Logo, os casos favoráveis são P 3, ou seja,. P(ficarem jutas uma ota) = 730 = 455 3º Processo Desta vez vamos cosiderar todas as maeiras como os 5 aluos odem setar-se os 5 lugares. O esaço de resultados é costituído or todas as ermutações dos 5 aluos elas cadeiras. Os casos ossíveis são, ortato as ermutações de 5. asos Possíveis = P 5 = 5! Se as três amigas ficarem os lugares, e 3, odem ermutar etre si, e os outros aluos também. O mesmo se assa se ficarem os três últimos lugares. Etão: asos Favoráveis = P 3 P P(ficarem jutas uma ota) = P 3 P P 5 = 455 4º Processo Vamos calcular a robabilidade edida admitido que os bilhetes vão ser etregues um a um às três amigas. A rimeira vai receber o seu bilhete. Dos 5 lugares, há 6 que lhe servem (os três rimeiros e os três últimos). hegou a vez da seguda. Há 4 bilhetes e a ela só servem os dois lugares que restam a ota ode a rimeira ficou. Fialmete, a terceira, dos 3 bilhetes restates, tem de receber o úico que sobra a ota ode estão as amigas.

62 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 6 P(ficarem jutas uma ota) = = 730 = 455. D) Probabilidade e Favorabilidade: (Erros comus que são cometidos o cotidiao) Trataremos agora de algus asectos simles da Teoria das Probabilidades e que ormalmete ão são exlorados em sala de aula. cofusão etre as duas medidas usuais de chace ou acaso: robabilidade e favorabilidade (hace) a oção de valor eserado ou eseraça matemática. a) ofusão etre as medidas usuais de chace ou acaso Existem duas medidas de chace: a robabilidade e a favorabilidade. As duas são facilmete relacioáveis, mas equato a escola trata exclusivamete da robabilidade, muitas são as situações do cotidiao ode se usa exclusivamete a favorabilidade, como é o caso dos jogos esortivos e as aostas em jogos de azar. Além disso, a oção de favorabilidade está mais róxima da medida subjetiva de chace. Está assim delieada uma situação que tede a roduzir cofusões. Vale a ea recordarmos esses coceitos: A robabilidade de ocorrer um eveto é o quociete etre a quatidade ou medida dos casos favoráveis ela quatidade ou medida de todas as ossibilidades (favoráveis ou desfavoráveis). Já a favorabilidade desse eveto é o quociete etre as quatidade ou medida de casos favoráveis ela dos casos desfavoráveis. No caso de um eveto com um úmero fiito de resultados, b bos ou favoráveis e r ruis ou desfavoráveis, temos que essas defiições odem ser escritas como: = b / ( r b ) f = b / r É imediato ver que o valor de (da robabilidade) semre tem de estar etre 0 e, e o valor f (da favorabilidade) etre 0 e ifiito. As duas medidas imlicam um modo diferete de esar. Por exemlo: em termos de robabilidade, um eveto tem mais chace de ocorrer do que de ão ocorrer quado sua robabilidade for maior do que 0.5 = 50%. em termos de favorabilidade, um eveto tem mais chace de ocorrer do que de ão ocorrer quado sua favorabilidade for maior do que um. Aesar dessa difereça, as duas oções estão relacioadas. om efeito, uma ráida maiulação algébrica os ermite exressar uma em termos da outra: = f / ( f ) f = / ( - ) (VERIFIQUE) EXEMPLO Um micro-emresário cocluiu que há uma chace de 3 em que seu ovo egócio teha sucesso. Traduzir isso em termos de robabilidade. Solução: O emresário exressou-se da maeira comum o cotidiao. Traduzido isso ara a termiologia matemática, ele disse que a favorabilidade de seu egócio ter sucesso é f = 3/ =,5, de modo que a robabilidade de sucesso é =,5/,5 = 0.6 = 60%.

63 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 63 EXEMPLO Vejamos agora uma situação mais roesa a cofusões: tratemos de exressar a chace de tirarmos um 3 ao laçarmos um dado. Se usarmos a robabilidade como medida de chace, diremos que a robabilidade de sucesso é / 6. Mas o jogador refere dizer que a favorabilidade do sucesso é / 5. laro que maior cofusão resultará se o jogador afirmar que a chace de sucesso é / 5. O ouvite oderá eteder que ele estava se referido à robabilidade. A ricial razão dos aostadores referirem a favorabilidade, em vez de a robabilidade, é que essa lhe ermite formular diretamete suas aostas. om efeito, se ele acha que tem favorabilidade 3/ de gahar, ele está roto ara aostar R$ cotra R$ 000, ou R$ 50 cotra R$ 00, etc. Isso leva a outro asecto iteressate. A maioria dos jogadores escolhe sua aosta de um modo ituitivo e assim, ao dizer que aosta R$ 300 cotra $ 00, em semre sigifica que ele teha calculado o verdadeiro valor da favorabilidade e que a mesma teha dado f = 3/. aso isso efetivamete ocorra, dizemos que a aosta é hoesta. EXEMPLO 3 O time de José matém uma erformace de 8 vitórias or cada 9 artidas jogadas e José, cofiate, aosta R$ 30 cotra R$ 4 que seu time de futebol gaha a róxima artida. Perguta-se: essa aosta é hoesta? Solução: Para resoder, recisamos calcular a chace de vitória de seu time. Poderemos dizer que = 8/9 e que f = 8/9 / ( - 8/9 ) = 8. De modo que a aosta seria hoesta se fosse R$ 3 cotra R$ 4. omo são aeas R$ 30 cotra os R$ 4, José está fazedo uma aosta desoesta e que o favorece. c) Erros com a oção de valor eserado (eseraça matemática) Esse coceito surgiu ates da oção de robabilidade. Historicamete, foi itroduzido ara quatificar o rovável gaho de um jogador, mas hoje é alicado as mais diversas situações. omo é muito mal etedido, vale a ea recordar sua defiição: DEFINIÇÃO: Se uma variável aleatória assume valores v, v,..., v cujas robabilidades são, resectivamete:,,...,, sedo que... =, etão o valor eserado dessa variável é: v v... v EXEMPLO O govero avalia em %, 36%, 8% e 4% a robabilidade de que a veda da estatal XYZ reda um lucro de R$ 500, R$ 500 e R$ 500, ou um rejuízo de R$ 500 (em milhares de reais). Qual o lucro eserado? Solução: valor eserado = 500 x x x x 0.4 = 60 milhares de reais.

64 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 64 EXEMPLO Usado a oção de valor eserado, odemos facilmete ver o quão equivocada é a exectativa dos aostadores de jogos de cassio, jogo do bicho e loterias. Nesses jogos, em média, o jogador semre erde. omecemos or uma loteria simles e fácil de eteder: jogadores aostam $5 em um úmero de 000 a 999, recebedo $ 500 se o mesmo for sorteado. Iteressado? Vejamos: as robabilidades de acertar e errar são: 0.00 e 0.999, de modo que, em cada aosta, o jogador em média recebe: 500 * * = -,495, ou seja: ele erde, em média, $.50 cada vez que jogar. No caso da roleta mais comumete usada o Brasil: a roda traz os úmeros de a 36 e mais duas casas eseciais deotadas or 0 e 00. Na aosta chamada "jogo o leo" o jogador aosta um desses 38 úmeros e o cassio aga $36 or cada $ aostado. oseqüetemete, o gaho eserado do jogador é: 36 * /38 - * 37/38 = Ou seja, o jogador erde, em média, $ or cada $ jogado. Observe que é mais lucrativo ter cassio do que loteria. Procure verificar que o roubo aida é maior se forem usadas mais duas casas, lua e meia-lua, e que fica meor o caso das chamadas roletas iteracioais, que tem os úmeros de a 36 e mais uma casa 0. Deu ara eteder or que tatas "boas almas" querem a legalização dos cassios o Brasil? E) Alicações a Área Biomédica Geética Um dos ramos de grade alicabilidade do cálculo combiatório e das robabilidades é a Geética e as questões sobre Hereditariedade. Muito se tem falado sobre a Iterdisciliaridade mas as essoas cotiuam sedo formadas como esecialistas de determiadas áreas sem saber, a maioria das vezes, os usos e relações dos cohecimetos dessa área com as outras áreas do cohecimeto. É o caso em questão, sobre a alicação do cálculo das robabilidades a área biomédica, mais esecificamete as questões sobre Geética e Hereditariedade. Pretedemos agora mostrar algus coceitos e exemlos básicos, que ossam auxiliar um rofessor de matemática a estabelecer as tão rocuradas relações etre a matemática e a biologia. Sobre a questão da Hereditariedade uma ota histórica: Por volta de 865, Gregor Medel, aós realizar cruzametos com ervilhas, começava a estabelecer os ricíios da hereditariedade. Ates de Medel, idéias icorretas eram emregadas ara exlicar o mecaismo da hereditariedade, como or exemlo:- teoria da réformação (existêcia de miiaturas resetes os gametas), heraça elo sague (que as características hereditárias eram trasmitidas aos descedetes através do sague), mistura de caracteres (existêcia de caracteres ateros e materos os filhos). Os trabalhos exerimetais de Medel foram ublicados a Sociedade de História Natural, em 866, mas ão foram etedidos a éoca. O desiteresse relativo, se deve talvez ao fato, de que este mesmo eríodo, harles Darwi ublicava suas idéias evolucioistas, roubado a ateção do mudo cietífico. Em 900, os cietistas Tschermak, De Vries e orres, de forma ideedete, refazem os exerimetos de Medel e cofirmam os seus resultados. Fracis Galto (8 9) arece ter sido o rimeiro a itroduzir o método estatístico os estudos de hereditariedade, mais tarde, Karl Perso ( ) cotiuado as esquisas com recursos estatísticos e robabilísticos, deu iício à chamada Biometria.

65 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 65 A artir dos trabalhos medeliaos, ovas esquisas e cohecimetos relativos à Geética, foram gradativamete acrescetados :- estrutura do DNA, rojeto geoma humao e de outras formas vivas, cloagem, trasgêicos, teraia gêica, etc. Elemetos de Geética: Nos orgaismos vivos existem duas artes comoetes: o soma e o gérmem. A seguda arte é relacioada com a rerodução, que os aimais corresode aos gametas (óvulo e esermatozóide). Esses gametas são formados em órgãos eseciais chamados gôadas, que são os testículos e os ovários. Os gametas, tato os masculios como os femiios, trasortam 3 cromossomas que são estruturas em forma de filametos. Na esécie humaa, os homes, a rodução de esermatozóides é cotíua, equato que as mulheres, a dos óvulos se restrige, ormalmete a um em cada 8 dias. Nos cromossomas é que estão cotidos os ges, que são os resosáveis ela trasmissão dos caracteres hereditários. A costituição química dos ges é feita de um ácido ácido desoxirriboucleico, DNA ou ADN, como também é cohecido. Quado há fecudação (uião do esermatozóide ao óvulo) forma-se a célula ovo ou zigoto, com 46 cromossomas, disostos aos ares é o iício de uma ova vida. om exceção das gôadas, todas as outras artes do coro corresodem ao soma. O soma é costituído or células que tem 46 cromossomas cada uma e que se dividem or mitose, divisão esta em que cada célula dá origem a duas outras com igual úmero de cromossomas. No gérmem, a formação dos gametas, a divisão que ocorre é a meiose, isto é, cada célula dá origem a quatro outras com o úmero de cromossomas reduzidos à metade. Quado ocorre a fecudação os cromossomas (3) do ai se disões aos ares com os 3 da mãe, de maeira que as células ficam 46 cromossomas disostos em 3 ares. Dessa forma, existe um ar de cromossomas º (costituído or um vido do ai e outro vido da mãe), um ar de cromossomas º...e assim sucessivamete, até o ar º 3. Em cada ar, os ges codicioadores das características do ser existem tato o cromossoma roveiete do ai, como o cromossoma roveiete da mãe. Assim, se em determiado lugar de um cromossoma existir um ge ara albiismo (falta de igmeto a ele), or exemlo, o mesmo lugar o outro costituite do ar também existirá um ge ara o mesmo caráter, o osso exemlo, ara o albiistmo. Os dois cromossomas que costituem cada ar são deomiados cromossomas homólogos e os ges que se localizam o mesmo lugar os cromossomas homólogos são os que chamamos de ges alelos ou simlesmete alelos. Os ges odem ser domiates ou recessivos e costuma-se idicar os domiates or letras maiúsculas e os recessivos or letras miúsculas, dessa forma, um ar reresetado or AA sigifica dois ges domiates. Quado um orgaismo tem dois alelos iguais ara uma determiada característica (AA, se dois domiates ou aa, se dois recessivos) dizemos que os ges ara esse caráter estão em homozigose e o orgaismo, ara essa característica é homozigoto. Quado os ges são diferetes (Aa, um domiate e um recessivo), dizemos que há heterozigose e o orgaismo é dito heterozigoto ara essa característica. O ge domiate quer esteja em homozigose ou em heterozigose semre maifesta seu caráter. O ge recessivo só ode se exressar quado estiver em homozigose (aa).

66 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 66 Idicaremos or P (geração aretal) o cruzameto de dois orgaismos. Os descedetes corresodem ao F (rimeira geração de filhos). Quado se cruzam dois descedetes F, os seus filhos corresoderão ao F e assim or diate. Modelo Matemático: Geração aretal (gametas 50% A e 50% a) A é domiate e a é recessivo. A AA = ou 5% 4 A a Aa = ou 5% 4 A aa = ou 5% 4 a a aa = ou 5% 4 Heterozigoto = ou 50% O modelo acima iforma que ode-se eserar ara os descedetes: ¼ homozigoto AA, ½ ara heterozigotos Aa e ¼ ara homozigotos recessivos aa. O quadro de ossibilidades com suas resectivas robabilidades é o seguite: A a A AA Aa 4 4 Havedo domiâcia, teremos ¼ ½ = ¾ dos descedetes aresetado características dos domiates e ¼ aresetado a característica dos recessivos, isto é, a roorção de 3 ara, que é o que de fato se cofirma exerimetalmete e o que ecotramos a rática. Devemos aida saber que os cruzametos há dois tios de segregação: feotíica e geotíica. O feótio caracteriza a aarêcia extera de um orgaismo e o geótio são os ges que caracterizam a aarêcia. Nos casos de domiâcia a segregação feotíica e a segregação geotíica odem aresetar roorções diferetes. Observação: O feômeo de domiâcia, etretato, ão se alica ara todos os caracteres. Há algus caracteres que, obtedo-se o orgaismo heterozigoto, ão há maifestação do caráter relativo ao domiate e em ao recessivo, roduzido-se um itermediário, o híbrido; assim, algumas latas de flor vermelha, or exemlo, cruzadas com uma lata de flor braca, odem roduzir latas de cor rosa, etc. riatividade cosiste aeas em erceber o que já esta lá.você sabia que os saatos direito e esquerdo só foram ivetados há ouco mais de um século? (Berice Fitz-Gibbo) Aa a aa 4 4

67 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 67 APLIAÇÕES: ) Realizou-se cruzametos de ervilhas de flores bracas com ervilhas de flores vermelhas, obtedo-se só flores vermelhas. ruzado-se etre si a geração filial (F ), obteve-se 600 flores, quais as quatidades eseradas de vermelhas e bracas? SOLUÇÃO: omo o euciado diz que F só ossui flores vermelhas, é de se suor que a geração aretal P houve cruzameto do tio AA x aa, ou seja, cruzou-se vermelha homozigoto com ge domiate com braca de ge recessivo. Dessa forma, a geração filial ficou formada só or gametas heterozigotos (Aa). Fazedo-se ovos cruzametos (Aa x Aa) ara a rodução da geração F, teremos a roorção que mostramos o modelo matemático da ágia 64, ou seja, ¼ AA, ½ Aa, ¼ aa. Isso acarreta que teremos ¾ de vermelhas (domiate) e ¼ de bracas (recessivas). Logo, como foram geradas 600 flores, é de se eserar que tehamos: ¾ de 600 = 450 vermelhas e ¼ de 600 = 50 bracas. ) Um casal heterozigoto com igmetação ormal teve como rimogêito uma criaça albia. Determiar a robabilidade de que seus dois róximos filhos sejam albios, lembrado que albiismo é determiado or um gee recessivo a. SOLUÇÃO Se olharmos a tabela e o modelo mostrados ateriormete, otamos que, elo fato de ser um ge recessivo, essa característica só se maifestará o caso aa ( 4 ). Lembramos também que o fato da rimeira criaça ter sido albia ão iflueciará, esse asecto, o hereditariedade das futuras criaças. Logo, a robabilidade de ascer uma criaça albia será de 4, e a de que os dois róximos filhos sejam albios será de 4. 4 = 6 = 6,5%. 3) A queratose (aomalia a ele) é devida a um gee domiate Q. Uma mulher com queratose, cujo ai era ormal, casa-se com um homem com queratose, cuja mãe era ormal. Se esse casal tiver 3 filhos, determie a robabilidade de que os três aresetem queratose. SOLUÇÃO: Mulher Homem Qq x Qq QQ Qq Qq qq 3 Q é domiate, logo = ara cada filho ascido com queratose. omo os evetos 4 são ideedetes, teremos ara os três ascerem com a aomalia, a robabilidade de: = = 4,9%

68 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 68 F) DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL EM PROBABILIDADES osideremos um exerimeto com aeas dois resultados ossíveis, que chamaremos de sucesso e seu comlemetar, que chamaremos de fracasso. Vamos reresetar or s, a robabilidade de ocorrêcia do sucesso e or f = s, a robabilidade de ocorrêcia do fracasso. Por exemlo: Jogamos um dado hoesto e cosideramos sucesso a obteção do úmeros 3 ou 4. O fracasso 4 será costituído dos resultados:,, 5 ou 6. Teremos, esse caso, s = = e f = = Note, os dois exemlos aresetados que s f = ou 00%. Temos o seguite teorema, deomiado Teorema Biomial em Probabilidade: A robabilidade de ocorrerem exatamete k sucessos em uma seqüêcia de rovas ideedetes, a qual a robabilidade de sucesso em cada rova é s e a de fracasso é f k k = - s, é igual a, k.s.f Vamos fixar da seguite forma: obteção dos sucessos as k rimeiras rovas e dos fracassos, as k rovas seguites. Dessa forma, alicado o ricíio multilicativo, teremos a k robabilidade s.s.s... (k fatores). f.f.f.f... ( k) fatores, ou seja: s k.f É claro que, em outra ordem, a robabilidade seria a mesma ois aeas a ordem dos fatores se alteraria. A robabilidade de obtermos k sucessos e k fracassos, em qualquer ordem é: k s k.f. omo temos, k ordes ossíveis, teremos o resultado eserado:, k.s k.f k APLIAÇÕES: ) Um aluo marca, ao acaso, as resostas em um teste de múltila-escolha, com 0 questões e cico alterativas ara cada uma, com aeas uma certa. Qual a robabilidade dele acertar exatamete 4 questões? Solução: Sabemos que s = /5 ou 0, e que f = 4/5 ou 0,8. omo queremos exatamete 4 sucessos em = 0 rovas e os evetos são ideedetes, odemos alicar o teorema biomial: 4 6 P =.0,.0,8 0,088 ou 8,8% 0, 4 = ) Risco do efeito fatal Admitamos que a robabilidade de que uma essoa ão morra, o razo de um mês aós uma determiada oeração de câcer é 8%. Qual a robabilidade de que três essoas que fizeram tal oeração, sobrevivam, ou seja, ão morram em até um mês da cirurgia? Solução: Temos, este caso, s = 0,8 e f = 0,8. Estamos queredo que os três sobrevivam, ou seja, k= 3, etão teremos:

69 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá P=.0,8.0,8 0,554 ou 55,4% 3,3 = G) Probabilidade Geométrica Algus roblemas de robabilidades são equivaletes à seleção aleatória de otos em esaços amostrais reresetados or figuras geométricas. Nesses modelos, a robabilidade de um determiado eveto se reduz à seleção ou ao seu limite, caso exista, etre medidas geométricas homogêeas, tais como comrimeto, área ou volume. Diversas atividades iteressates odem itroduzir esse coceito a seus aluos, desde o esio fudametal, como o disco das cores, o jogo dos discos e ladrilhos. Ao logo de osso estudo mostraremos algumas dessas atividades, bem como o estudo teórico relativo ao tema. A título de itrodução, vamos reroduzir o relato do rofessor Eduardo Wager, de uma exeriêcia desevolvida com seus aluos do Esio Médio. Esse relato se ecotra a Revista do Professor de Matemática, º 34, ág. 8. No esio médio, o esio de robabilidades se restrige ao caso fiito e os roblemas são basicamete de cotagem de casos favoráveis e casos ossíveis. Existem, etretato, roblemas muito simles e iteressates de robabilidades ode o esaço amostral ossui a situação aáloga ao seguite exemlo : um atirador, com os olhos vedados, rocura atigir um alvo circular com 50 cm de raio, tedo o cetro um disco de 0 cm de raio. Se em certo mometo temos a iformação de que o atirador acertou o alvo, ergutamos qual deve ser a robabilidade de que teha atigido o disco cetral. Teho sugerido esse roblema a aluos do esio médio e freqüetemete obteho deles resostas corretas, baseadas uicamete a ituição. omo obviamete ão se ode cotar casos favoráveis e ossíveis e como ara um atirador vedado ão há otos rivilegiados do alvo, a robabilidade de acertar o disco cetral deve ser a razão etre as áreas do disco e do alvo. Um cálculo elemetar leva à resosta certa: 4%. Esse é um exemlo do que se chama Probabilidade Geométrica. ATIVIDADE : O jogo do disco colorido Idicada ara aluos do Esio Fudametal. Material ecessário: Um disco colorido, subdividido em duas artes como a figura abaixo (/4 vermelho e ¾ azul). Um cli metálico e um láis ou estilete ara reder o cli o cetro do disco. Istruções: Os aluos, em dulas, deverão girar o cli 0 vezes e aotar a quatidade de vezes que o arame ara a área Deverão, em seguida, assar ara um aotador (o quadro) que registrará uma tabela o úmero de vezes que arou o vermelho e o úmero de vezes que o cli girou (o caso 0). Ao fial, somam-se todos os registros e calcula-se a razão etre a freqüêcia de vermelhos obtidos, sobre o total de realizações do exerimeto a turma. ohecimeto real é saber a extesão da rória igorâcia. (ofúcio)

70 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 70 É claro que, ara uma quatidade muito grade de exerimetos, de acordo com a Lei dos Grades Números, o resultado deverá se aroximar de 5%. O iteressate é aroveitar essa atividade ara ressaltar que o valor dessa robabilidade ada mais é do que exatamete a razão etre a área vermelha e a área total do disco (/4 = 5%). É um excelete mometo ara colocar as rimeiras oções sobre robabilidade geométrica, mesmo que esse caso tehamos como fazer a clássica razão etre casos favoráveis e casos ossíveis. ATIVIDADE : O Problema do Macarrão (adatado de: SBM Revista do Professor de Matemática, º Eduardo Wager) Novamete, vamos relatar uma exeriêcia cotada elo rofessor Eduardo Wager, a Revista do Professor de Matemática, º 34, ágias 30, 3 e 3. Em 994, durate um curso de aerfeiçoameto de rofessores do esio médio romovido elo IMPA, fiz uma iteressate exeriêcia, que asso a relatar. Em uma aula com 60 rofessores, distribuí um esaguete ara cada um deles. Sem que eles soubessem o que iria ocorrer, edi a cada um que artisse o esaguete, ao acaso, em três artes. Em seguida, edi que cada um verificasse se coseguiam formar um triâgulo com os seus três edaços. Dos 60 rofessores, 4 coseguiram formar um triâgulo com as três artes de esaguete. Escrevi o quadro um roblema : DIVIDINDO, ALEATORIAMENTE, UM SEGMENTO DE RETA EM 3 PARTES, QUAL É A PROBABILIDADE DE QUE ESSES NOVOS SEGMENTOS FORMEM UM TRIÂNGULO? Niguém imagiava a ocasião como esse roblema oderia ser resolvido, mas a exeriêcia feita com o macarrão idicava que essa robabilidade deveria ser algo róximo de 4/40 ou, aroximadamete 68%. É claro que 60 exeriêcias é ouco ara que se ossa cofiar o resultado, mas era oiião geral que a resosta correta ão deveria estar muito distate disso. Houve um grade susto dos articiates quado rof. Wager iformou que a resosta era 5% e que o resultado seria obtido através de robabilidade geométrica. Duas ergutas ficam, ara discutirmos em classe: ) Por que será que o resultado teórico é tão distito do resultado obtido a rática? ) omo odemos obter esse valor exato da robabilidade através de robabilidade geométrica? Verifique o aexo, o fial da aostila, as resostas dessa iteressate questão. ATIVIDADE 3: O jogo dos discos e dos ladrilhos (adatado de um artigo do rof. Roberto Ribeiro Paterlii em oleção Exlorado a Matemática vol. 3 ME) Trata-se da arrativa de um jogo que tem sido alicado com grade sucesso em aulas de Prática de Esio as Liceciaturas de Matemática, bem como as aulas do Esio Médio de diversos colegas, Educadores Matemáticos, como itrodução do coceito de Probabilidade Geométrica. O jogo Uma escola estava rearado uma Feira de iêcias e foi edido aos estudates que bolassem um jogo que servisse ara arrecadar fudos ara uma sala ambiete de matemática. Os estudates observaram que o iso do salão ode se realizaria a feira era

71 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 7 formado or lacas quadradas de Paviflex, com 30 de lado, cada uma. Pesaram etão em costruir discos de aelão ou de madeira, de um certo diâmetro d que seriam etregues aos visitates, a R$,00 cada um ara que jogassem sobre o iso. ombiaram o seguite desafio: o articiate só seria remiado se o disco caísse detro de uma laca sem tocar um de seus lados. Se a essoa fosse vitoriosa, receberia R$,00 (um gaho de 00%). Verifique a roosta o esquema abaixo: Posição favorável ao jogador. Posições favoráveis à Escola. O roblema ara os estudates que tiham bolado a bricadeira era saber qual o valor do diâmetro d do disco a ser costruído, de modo que o jogo resultasse em favor da Escola. Sabiam aida que quato meor o valor desse diâmetro, melhor seria ara o jogador e quato maior ele fosse, melhor seria ara a Escola, sedo que, tiham em mete também que esse favorecimeto da Escola ão oderia ser exagerado ois se o jogo fosse muito desfavorável aos aostadores, iguém iria querer jogar. Acordaram que uma robabilidade de 60% em favor da Escola seria adequada aos roósitos. Questão : Qual o valor do diâmetro d, adequado à roosta, ou seja, que gera uma robabilidade de 40% favorável ao jogador e 60% favorável à Escola? Questão : Qual será, em média, o gaho da Escola, se 500 discos forem arremessados durate a realização da feira? Trabalhado com ossos aluos Ates de resolvermos (e geeralizarmos também) esse roblema, vamos mostrar uma exeriêcia do rof. Roberto Paterlii, que fez uma exerimetação com algus colegas rofessores da UFSar (São Paulo) que a desevolveram juto a seus aluos do Esio Médio. Teho certeza de que você vai achar aqui uma excelete sugestão ara as suas aulas como rofessor regete do Esio Médio. Para resolver o roblema dos discos, de forma exerimetal, foram costruídos diversos discos de madeira (ou borracha) com diâmetros iguais a 4, 6, 8, 0,, 4 cm. Os rofessores que elaboraram a exeriêcia acordaram que deveriam ser feitos, o míimo, us 00 laçametos ara cada diâmetro costruído. Para facilitar e oderem cotar com várias essoas exerimetado, costruíram 0 discos de cada tio (ara 0 articiates) e cada um realizou 0 laçametos, or tio de diâmetro. Foram aotado a freqüêcia de laçametos vitoriosos ara cada diâmetro usado e, ao fial, fazedo a razão etre os casos favoráveis, sobre 00 (que foi o total de arremessos), chegaram à seguite tabela: A morte do homem começa o istate em que ele desiste de areder (Albio Teixeira)

72 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 7 Diâmetro d Prob. de acertos 4 cm 75,5% 6 cm 68,5% 8 cm 6% 0 cm 50% cm 38% 4 cm 3% Assumiram etão uma resosta exerimetal (aroximada, é claro) de que o diâmetro ideal ara a roosta deveria ser de,5 cm (ara gerar uma robabilidade 40% favorável ao jogador). Resolução do Problema: Podemos imagiar o caso ideal de cosiderar que laçar o disco aleatoriamete o iso é o mesmo que laçar seu cetro, também aleatoriamete. Assim, a robabilidade do jogador gahar (o osso caso 40%) é a mesma robabilidade de um oto, laçado aleatoriamete detro de um quadrado de lado 30 cm, cair detro de um outro quadrado, cocêtrico, de lado igual a 30 d. Verifique o modelo que aresetamos abaixo que se esse oto caísse sobre um dos lados do quadrado meor (afastado em d/ dos lados do maior) o disco seria tagete a um dos lados do iso (quadrado maior) e se o oto (cetro do disco) caísse fora do quadrado meor, o disco seria secate a um dos lados do quadrado maior. 30 d/ 30 d d/ Usado ovamete a oção de robabilidade geométrica, temos que: area do quad. meor (30 - d) = = area do quad. maior 30 omo queremos uma robabilidade de 40%, temos que igualar a razão aterior a 0,4, ou seja: (30 - d) = 0,4 ou etão, 30 - d = 900 x 0,4 8,97 30 Isso acarreta que o valor do diâmetro d seja, aroximadamete,,03 cm. Percebemos que tal resosta ão difere muito do valor que havia sido obtido a exeriêcia desevolvida a UFSar. Podemos geeralizar o resultado aterior ara isos quadrados de lado L e discos de diâmetro igual a d (0 d 30)

73 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 73 A robabilidade, favorável ao jogador será igual a: = (L - d) L Para fializar o tóico sobre robabilidade geométrica, aós a realização de algumas atividades iteressates sobre o assuto, vamos dar uma defiição formal do que ela sigifica. Vamos dar a defiição evolvedo áreas de regiões do lao, mas oderíamos usar defiições semelhates ara comrimetos de segmetos ou volumes de regiões ão laas. Se tivermos uma região B, do lao, cotida uma região A, admitimos que a robabilidade de um oto de A também ertecer a B (e que chamamos de robabilidade geométrica) é roorcioal à área da região B e ão deede da osição que B ocua em A. Em outras alavras, se B está cotido em A, a robabilidade de que um oto de A, selecioado ao acaso também erteça a B é igual a: area de B = area de A

74 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 74 4) EXERÍIOS RESOLVIDOS PROBABILIDADES Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais rováveis de aarecer do que as coroas. Determie a robabilidade de um laçameto sair coroa. Solução: Seja k a robabilidade de sair coroa. Pelo euciado, a robabilidade de sair cara é igual a 3k. A soma destas robabilidades tem de ser igual a. Logo, k 3k = etão k = /4. Portato, a resosta é /4 = 0,5 = 5%. Um dado é viciado, de modo que cada úmero ar tem duas vezes mais chaces de aarecer um laçameto, que qualquer úmero ímar. Determie a robabilidade de um laçameto aarecer um úmero rimo. Solução: Pelo euciado, odemos escrever: () = (4) = (6) =.() =.(3) =.(5). Seja () = k. Poderemos escrever: () (4) (6) () (3) (5) =, ou seja: a soma das robabilidades dos evetos elemetares é igual a. Etão, substituido, vem: k k k k/ k/ k/ =, logo, teremos k = /9. Assim, temos: () = (4) = (6) = /9 () = (3) = (5) = /8 = /9. O eveto sair úmero rimo corresode a sair o, ou o 3 ou o 5. Logo, () (3) (5) = /9 /9 /9 = 4/9. 3 Das 0 aluas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso, qual é a robabilidade de ambas terem os olhos azuis? Solução: Existem 0, ossibilidades de se escolher duas essoas etre 0 e, existem 3, ossibilidades de escolher duas aluas de olhos azuis etre as três. Logo, a robabilidade rocurada será igual a: P = 3, / 0, = 3/45 = /5 4) Laça-se um dado 8 vezes. Qual a robabilidade de sair exatamete 5 úmeros iguais a 3? Solução: Sejam os evetos: Eveto A: sair o úmero 3; Eveto comlemetar de A = A : ão sair o úmero 3. Teremos: (A) = /6 = e (A ) = /6 = 5/6

75 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 75 Portato, a robabilidade rocurada, alicado-se o teorema biomial, será dada or: 0,004 ou 0,4% 5) UNESP Numa cidade com domicílios, 0000 domicílios recebem regularmete o joral da loja de eletrodomésticos X, 8000 recebem regularmete o joral do suermercado Y e metade do úmero de domicílios ão recebe ehum dos dois jorais. Determie a robabilidade de um domicílio da cidade, escolhido ao acaso, receber o joral da loja de eletrodoméstico X e ão receber o joral do suermercado Y. SOLUÇÃO: Seja o úmero de essoas que recebem os dois jorais: Teremos: = Logo, = Portato, 3000 domicílios recebem os dois jorais. Dessa forma, teremos = 7000 domicílios que só recebem o joral do suermercado X. Logo, a robabilidade rocurada será 7000 / = 0,33 = 3,3 % 6) (UFF RJ) B I N G O Em um jogo de bigo são sorteadas, sem reosição, bolas umeradas de a 75 e um articiate cocorre com a cartela reroduzida ao lado. Qual é a robabilidade de que os três rimeiros úmeros sorteados estejam essa cartela? Logo, a robabilidade edida será igual a: 4! ! = = 04 3!.! 6.! 04 = 0,03 = 3% ª solução: Poderíamos alicar direto o roduto das robabilidades isoladas, cosiderado que são sorteios cosecutivos, ou seja: ª solução: Total de casos ossíveis: 75! ! 75,3 = = = !. 7! 6. 7! Total de casos favoráveis: 4,3 = 4 3 =.. 0,03 = 3% Se você quer os acertos, esteja rearado ara os erros. (arl Yastrzemski)

76 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 76 5) EXERÍIOS GERAIS PROBABILIDADES QUESTÕES DE ONURSOS )(ocurso ara Professores do Esio Médio Govero do Estado do Rio de Jaeiro 990) A tabela seguite forece, or sexo e or curso, o úmero de estudates matriculados um colégio estadual. Homes Mulheres Form. Geral Form. De Professores Escolhedo, ao acaso, um desses estudates obteha as seguites robabilidades: A) do elemeto escolhido ser homem ou ser do curso de formação geral B) do elemeto escolhido ser mulher, dado que é do curso de formação de rofessores. ) (ocurso ara Professores Macaé Esio Fudametal) Uma comissão de 3 elemetos será escolhida etre os aluos: Ari, Berardo, arlos, David, Eurico, Ferado e Gustavo. A robabilidade de Gustavo ertecer a essa comissão é de, aroximadamete: a) 43% b) 45% c) 47% d) 49% 3) (ocurso ara Professores EI RJ 996) 0 3 A figura ao lado sugere uma roleta de um rograma de televisão. Girase o oteiro e aota-se o úmero que ele aota ao arar; reete-se a oeração. A robabilidade de que o roduto dos úmeros obtidos seja igual a 6, é: a) /9 b) /6 c) ¼ d) /3 e) ½ 4) (ocurso ara Professores Esio Médio Rede Estadual RJ 997) Um jogo de loteria, cohecido como Quia da Felicidade, é comosto de uma cartela umerada de a 50 (0, 0,...50). É cosiderado vecedor o aostador que coseguir acertar a quia (coleção de 5 úmeros) sorteada detre os 50 úmeros. João fez aeas um jogo com 0 dezeas e Pedro fez 50 jogos distitos de 5 dezeas. Quem tem maior robabilidade de vecer e qual o valor dessa robabilidade? 5) (ocurso ara Professores Esio Fudametal SME Valeça RJ 998) A turma 80 da Escola Eseraça é costituída de meias e 8 meios. om o objetivo de orgaizar uma gicaa a escola, deseja-se selecioar 3 aluos ara reresetates de turma. Qual a robabilidade aroximada de que essa comissão de reresetates teha exatamete meias e meio? 6) (ocurso ara Professores Esio Fudametal SME de São Goçalo RJ 998) Dois dados (cúbicos) distitos e hoestos são laçados sobre uma mesa. A robabilidade da soma dos valores obtidos as faces sueriores ser igual a 5 é de: a) /3 b) ¼ c) /5 d) /6 e) /9 7) (ocurso ara Professores Esio Médio FAETE RJ 998) Num setor em que trabalham 6 homes e 4 mulheres, será escolhida, or sorteio, uma comissão de reresetates desse setor. A robabilidade de que a comissão veha a ser formada somete or homes é de: a) ½ b) /3 c) ¼ d) /5 e) /6

77 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 77 8) (ocurso ara Professores Fudação Educacioal de Barra Masa 998) Uma caixa cotém 00 bolas umeradas de a 00. Retirado-se uma delas ao acaso, a robabilidade de que ela esteja umerada com um úmero múltilo de 3 é de: a) 6,5% b) 7,0% c) 7,5% d) 8,0% e) 8,5% 9) (ocurso de Professores SME do Rio de Jaeiro 998) Teresa deseja comrar eriquitos uma loja que tem igual úmero de machos e fêmeas. Se Teresa escolhe ao acaso dois eriquitos, a robabilidade de que ela comre dos eriquitos machos é: a) 5% b) 50% c) 75% d) 80% e) 85% 0) (UF PI) A E H D I L J B K F Suoha que um atirador semre acerte a tábua quadrada ABD da figura ao lado. A chace de que ele acerte um determiado oto da tábua é semre a mesma, qualquer que seja esse oto. A artir dos otos médios de ABD foi costruído um segudo quadrado EFGH e a artir dos otos médios desse segudo, foi costruído um terceiro quadrado IJKL, que é o alvo. A robabilidade de que tal atirador acerte esse alvo é de: a) 50% b) 75% c) 0% d) 30% e) 5% G ) (ocurso de Professores SME de Mesquita 00) Retirado-se 4 bolas de uma caixa cotedo 3 bolas bracas, 4 bolas vermelhas e 5 bolas retas, a robabilidade de que elo meos uma das 4 bolas retiradas seja braca é: a) 4/55 b) 4/55 c) 55/4 d) /55 ) (ocurso ara Professores Esio Médio Rede Estadual RJ 00) Marcos e elia querem ter 3 filhos. A chace de que o casal teha três filhas é de: a) % b),5% c) 33,3% d) 37,5% 3) (ocurso ara Professores Esio Médio Rede Estadual RJ 00) Oito otos sobre uma circuferêcia são os vértices de um octógoo regular. Se 4 desses oito otos forem escolhidos aleatoriamete, a robabilidade de se obter um quadrado é: a) /70 b) /35 c) /35 d) /7 4) (ocurso ara Professores Esio Fudametal SME de Duque de axias 00) Em um gruo de 0 essoas, a robabilidade de que ele haja, elo meos, duas essoas ascidas um mesmo mês é igual a: a) 0, b) 0,6 c) 0,8 d) e) 5/3 5) (ocurso ara Professores Esio Fudametal SME de Niterói 003) Dois dados ão viciados são laçados simultaeamete. A robabilidade de sair a soma meor do que 5, as faces voltadas ara cima desses dois dados, é: a) /8 b) 5/8 c) /9 d) /36 e) 5/9 GABARITO 0) a) 68% b) 80% 0) A 03) A 04) João - 0,09 % 05) 46 % 06) E 07) B 08) 09) A 0) E ) A ) B 3) B 4) D 5) B Não sobrecarregues os teus dias com reocuações desecessárias, a fim de que ão ercas a oortuidade de viver com alegria. (Adré Luiz)

78 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 78 6) AMPLIANDO HORIZONTES... SUGESTÕES PARA PESQUISA E APROFUNDAMENTO. Vamos forecer agora algumas sugestões, tato de Matemática ombiatória, como de Probabilidades, que oderão ser arofudadas em esquisas e em suas aulas de Matemática. Uma boa sorte ara você e um bom trabalho... 6.) PRINÍPIO DAS GAVETAS DIRIHLET Na aálise combiatória muitas vezes somos levados a muito mais do que simlesmete cotar os elemetos de cojutos ou seqüêcias. Em algumas ocasiões o que se retede é verificar a existêcia, ou ão, de cojutos que satisfaçam a determiadas roriedades. Uma imortate ferrameta ara essas situações é o ricíio das gavetas de Dirichlet ( , matemático alemão). PRINÍPIO DAS GAVETAS - Se disomos de objetos ara colocar em, o máximo,, gavetas, etão ao meos uma delas coterá elo meos dois objetos. Prova (or absurdo) se cada uma das gavetas cotiver, o máximo, objeto, o úmero total de objetos colocados será igual a, o que cotraria a hiótese de disormos de objetos. Logo, em uma das gavetas elo meos teremos que colocar objetos, ao meos. EXEMPLOS: ) Em um gruo de k essoas, elo meos duas delas terão de aiversariar o mesmo mês, de acordo com o ricíio das gavetas de Dirichlet, qual deve ser o meor valor de k? ) Quatas essoas devemos tomar, em um gruo, o míimo, de modo a que ossamos garatir que duas delas asceram o mesmo dia da semaa? 3) Quatas essoas devemos tomar, em um gruo, o míimo, de modo a que ossamos garatir que três delas asceram o mesmo dia da semaa? 4) Em uma caixa há meias bracas e meias retas. Quatas meias devemos retirar, ao acaso, o míimo, ara que ossamos garatir que retiramos um ar de meias de mesma cor? 5) Qual o úmero míimo de essoas que deve haver em um gruo ara que ossamos garatir que ele haja, elo meos, 5 essoas ascidas o mesmo mês? GABARITO 0) 3 0) 8 03) 5 04) 3 05) 49 Educai as criaças, ara que ão seja ecessário uir os adultos. (Pitágoras)

79 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 79 6.) O DESENVOLVIMENTO DAS APLIAÇÕES DAS PROBABILIDADES Vamos aresetar agora algumas sugestões ara esquisa e arofudameto sobre robabilidades e matemática combiatória. Eseramos que, com o estudo que fizemos e as istas que estamos aotado, o rofessor ou liceciado de matemática ossa desevolver esquisas comlemetares, materiais edagógicos e estudos comlemetares tão ecessários à sua rática edagógica. No eríodo que vai dos rimeiros estudos matemáticos de robabilidades até a metade do século assado, surgiram varias alicações da Teoria das Probabilidades, alicações que chamamos de clássicas: os cálculos atuariais, esecialmete os associados aos seguros de vida os estudos demográficos e, em esecial, os estudos de icidêcia de doeças ifecciosas e o efeito da vaciação (exemlo de grade reercussão a éoca sedo o da varíola) a costrução das loterias acioais e o estudo dos jogos de azar: carteados, roleta, lotos, etc Se estudarmos as robabilidades como uma teoria, ão os devemos esquecer que a virtude do álculo das Probabilidades reside o fato da sua alicação desde a vida cotidiaa até às ciêcias atuais. A verdade é que em qualquer ciêcia o acaso e a icerteza ocuam um lugar imortate que é ecessário quatificar ara miorar a margem de erro. Quado falamos de ciêcias ecoômicas e sociais, falamos também de leis que são baseadas muitas vezes a aálise de grade quatidade de fatos semelhates, tedo or base o cálculo robabilístico. Na química quâtica, as robabilidades desemeham também um ael muito imortate a distribuição de elétros um átomo. A artir do cohecimeto da robabilidade de determiado elétro estar em determiado camo criamse uves eletrôicas. Outro cotributo de eso da Teoria das Probabilidades ara o mudo modero reorta-se à Biologia e à Geética, mais roriamete à Hereditariedade, camo em que Gregor Medel se torou ioeiro e que mostramos, de forma resumida, em osso trabalho. Este moge austríaco, já o século XIX, iiciou um estudo de hereditariedade, o qual realizava exeriêcias sobre cruzametos feijões e ervilhas. Sobre isto ublicou uma obra ( A Matemática de Hereditariedade ), que marcou uma éoca de grades alicações robabilísticas o camo da Biologia. Mas é talvez o camo da Estatística que as Probabilidades gaham mais relevo. Na olítica or exemlo, cosegue-se fazer revisões, relativamete róximas, de qual o cadidato vecedor. Trata-se da Estatística Iferecial, a qual o cálculo das robabilidades é a base matemática fudametal. Por exemlo: Uma comahia de aviação deseja saber o temo médio que seus assageiros gastam ao desembarcarem o aeroorto XYZ. Numa amostra de 30 assageiros, o temo médio foi de 3 mi. om 95% de chaces de certeza, o que oderá a comahia dizer sobre o erro cometido ao afirmar que o temo médio de desembarque de seus assageiros seu é 3 mi, o aeroorto XYZ? Os ais da Iferêcia Estatística são J. Neyma e Karl Pearso, os quais a criaram em varios artigos escritos c Embora os estudos de Neyma e Pearso estivessem associados à questões de hereditariedade, os métodos e até as exressões que criaram,

80 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 80 tais como "hiótese ula" e "ível de sigificâcia", fazem hoje arte da rotia diária de todo estatístico e cietista. São rojeções desevolvidas or órgãos e istitutos esecíficos que coduzem esquisas e etrevistas uma amostra sigificativa, um cojuto reresetativo da oulação em estudo, que deois de tratados, odem dar origem a uma coclusão geeralizada dos resultados. Mas as alicações da Teoria das Probabilidades ão se reortam aeas a estes camos. Podemos aida citar o uso modero das robabilidades as seguites áreas: Ecologia, Egeharia, a Física Quâtica, Teoria dos Grafos e das Filas. Vamos abaixo, de forma resumida, mostrar dois desses moderos camos ode o matemático ecessita das iformações do cálculo de robabilidades: Teoria da Iformação Partido de cosiderações robabilistas, essa teoria desevolveu uma medida da quatidade de iformação em mesages. Usado essa medida, a teoria estuda maeiras de codificar, trasmitir e decodificar as mesages que são trasmitidas elos sistemas de comuicação: TV, radio, telefoia, satélites, etc. Os riciais obstáculos a vecer são a existêcia de ruídos aleatórios, roduzidos elas comoetes dos sistemas de comuicação e or iterferêcias, e a existêcia de uma caacidade limite de todo caal de comuicação. As bases dessa teoria foram estabelecidas or laude Shao c Teoria do Risco Trata de roblemas evolvedo decisões alterativas e cujas coseqüêcias só odem ser avaliadas robabilisticamete. Uma situação imortate sedo o estudo das aes em sistemas de egeharia comlexos, como redes de distribuição de eergia elétrica, redes telefôicas, redes de comutadores, etc. Tiicamete, deseja-se maximizar a duração do fucioameto ormal do sistema a um custo míimo de ivestimeto em equiameto.

81 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 8 ANEXO: ) Resostas da atividade da ágia 66 (roblema do macarrão) a) Quado os rofessores dividem o macarrão em três artes, isso ão é feito tão aleatoriamete quato a teoria exige...dificilmete uma essoa irá, or exemlo, recortar o macarrão em uma arte muito equea ( mm, or exemlo). O mais atural é que divida em três artes de tamahos róximos, acarretado a ossibilidade de costrução do triâgulo. Daí a grade difereça etre o resultado da exeriêcia e o resultado teórico. Isso ão acoteceria com um sorteio, or exemlo, que garatiria a aleatoriedade ecessária a um exerimeto. b) Solução do roblema do macarrão (or robabilidade geométrica) Vamos suor um segmeto de reta AB, reresetado o macarrão. Vamos adotar que ele teha comrimeto uitário. Em seguida, através dos otos M e N, vamos dividir o osso segmeto (macarrão) em três artes, AM, MN e NB, que reresetaremos, resectivamete, or: x, y e x y. A x M y N x y B Logo, cada uma das maeiras de dividir o segmeto em três artes fica defiida elo ar ordeado (x, y), que atede às seguites codições: x > 0 y > 0 x y < Sabemos que essas três codições, o lao cartesiao, defiem uma região triagular que reresetamos abaixo: Logo, cada ar ordeado (x,y) que defie uma divisão do segmeto em 3 artes iguais rereseta um oto iterior ao triâgulo da figura ao lado. Mas ão são todas essas divisões que gerarão triâgulos. Mostraremos, em seguida, quais desses otos atederão a essa codição. Basta lembrar que o triâgulo só estará defiido se cada segmeto for meor do que a soma dos outros dois (codição de existêcia de um triâgulo). Isso equivale a dizer que cada lado é iferior ao semierímetro do triâgulo, vejamos: Se desigarmos os três lados de um triâgulo qualquer or a, b, c, a codição de existêcia desse triâgulo diz que a < b c (). Se reresetarmos o erímetro a b c or,

82 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 8 teremos: a b c = ou etão b c = a (). Substituido a relação () a relação (), teremos: a < a ou a < ou fialmete a <, o que rova a ossa afirmativa. Voltado ao osso roblema do macarrão, temos que cada triâgulo formado terá erímetro igual a (comrimeto do segmeto gerador AB que é o macarrão). Disso tiramos que cada um dos três segmetos terá de ser iferior a ½ (semierímetro), ou seja: x < y < - x - y < ou x y < Essas três ovas codições (casos favoráveis ao osso roblema) defiem uma ova região, iterior ao triâgulo formado elos otos médios dos lados do osso triâgulo iicial. Vejamos a figura a seguir: / / É claro que a razão etre a área desse triâgulo (casos favoráveis) e a área do triâgulo iicial (total de casos ossíveis) é igual a ¼ ou 0,5 ou 5%. Dessa forma odemos dizer, usado ovamete a oção de robabilidade geométrica, que a robabilidade de que os três segmetos cortados aleatoriamete formem um triâgulo é de 5%. Nada lhe osso dar que já ão exista em você mesmo. Não osso abrir-lhe outro mudo de images, além daquele que há em sua rória alma. Nada lhe osso dar a ão ser a oortuidade, o imulso, a chave. Eu o ajudarei a torar visível o seu rório mudo, e isso é tudo. (Herma Hesse)

83 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 83 BIBLIOGRAFIA. BARBOSA, Ruy Madser ombiatória e Probabilidades SP, Ed. Nobel, 968. BATSHELET, E. Itrodução à Matemática ara Biocietistas, SP, Iterciêcia, BRASIL Revista do Professor de Matemática, SBM, º DANTE, L. Roberto Matemática, otexto e Alicações, RJ, Ed. Ática, IEZZI, G ET ALLI Fudametos de Matemática Elemetar. SP Ed. Atual, IMENES, L. M, Telecurso 000 Fudação Roberto Mariho Esio Médio 7. INTERNET LIMA, ELON ET ALLI A Matemática o Esio Médio, RJ, SBM, MORGADO, A. ésar e outros Aálise ombiatória e Probabilidades IMPA / SBM, PAULOS, J. A. Aalfabetismo em Matemática e suas coseqüêcias. RJ:Nova Froteira, REVISTA: EDUAÇÃO E MATEMÁTIA APM Associação dos Professores de Matemática de Portugal.. SBM. Sociedade Brasileira de Matemática Revista do Professor de Matemática vols. 0, 34, SIMON, G. & Freud J. Estatística Alicada: Ecoomia, Admiistração e otabilidade. Bookma, Porto Alegre TROTTA, F. Aálise ombiatória, Probabilidades e Estatística. São Paulo: Ed. Sciioe, 988 4ª Edição julho de 005 Ilydio Pereira de Sá [email protected] htt://ilydio.wordress.com O que o sol é ara as flores, os sorrisos são ara a humaidade. Não assam de isigificâcias mas, semeados ao logo da vida fazem um bem icocebível (Joseh Addiso)