4 Modelos em Espaço de Estado e Filtro de Kalman

Transcrição

1 4 Modelos em Esaço de Esado e Filro de Kalma 4 Modelo em Esaço de Esado As alicações do filro e suavizador de Kalma requerem que os modelos a serem esimados eseam rereseados a forma em Esaço de Esado (EE Nese rabalho os resrigiremos aeas aos modelos lieares, ara os quais seguem uma defiição geral e flexível [cf izziga (4]: Defiição: Sea =,,, ara =,,, um rocesso esocásico - (,,, variado observável defiido em algum esaço de robabilidade ( Ω, Λ, Diz-se que em uma rereseação em Esaço de Esado Liear, se exisem duas equações, uma das medidas e oura do esado, dadas resecivamee or: ( x ( xm ( mx ( x ( x (, H ( x ( x WN( Q = Z α + d + ε, ε ~ WN (3 α + +, + T ( ( c ( R, ~ mx mxm mx ( mx ( mxr ( rx ( rx ara as quais: η =,, η ( rxr (i α é um rocesso esocásico m-variado, em geral ão observável, chamado de veor de esado, ou uramee, esado (ii α é um veor aleaório m-variado de seguda ordem, chamado esado iicial, com veor de médias a e mariz de covariâcias ão egaiva defiida (iii ε é um rocesso esocásico -variado,em geral ão observável e de seguda ordem, chamado de erro da equação das medidas, com veor de médias ulo e mariz de covariâcias ão egaiva defiida H

2 3 (iv η é um rocesso esocásico r-variado, em geral ão observável, chamado de erro da equação do esado, com veor de médias ulo e mariz de covariâcias ão egaiva defiida Q (v ε, ηs e α são veores aleaórios ão correlacioados ara quaisquer isaes e s (vi Z, d, H, T, c, R, e Q são dias marizes do sisema e êm aureza deermiísica, odedo deeder de ermos assados do rocesso A rereseação acima será referida como forma em Esaço de Esado wide sese dada a geeralização com que foi defiida Rereseações com roriedades eseciais surgem com a imosição de resrições Seguem abaixo algus desses modelos, cuas omeclauras são largamee ciadas a lieraura Modelo em Esaço de Esado Liear Gaussiao: Seam as equações em (3 válidas Dizemos que segue um modelo em Esaço de Esado Liear Gaussiao [cf Durbi e Kooma, ] se valem as seguies codições: (i ε ~ NID η (ii ~ N( a, x rx α e H, x rx Q xr rxr, (3 ε (iii η e α são ideedees, Modelo em Esaço de Esado Liear Codicioalmee Gaussiao: Deomia-se modelo em Esaço de Esado Liear Codicioalmee Gaussiao [cf Harvey (989] aos modelos em Esaço de Esado que areseam ermo(s deedee(s de observações assadas de em alguma(s mariz(es do sisema Diversos modelos odem ser esruurados a forma em Esaço de Esado, ere eles, os modelos ARMA, ARIMA, SARIMA, modelos de regressão com coeficiees cosaes ou variaes o emo, modelos esruurais ui ou

3 33 mulivariados, Veores Auo-Regressivos (VAR e modelos de volailidade esocásica, dere ouros Coforme lisado em Marques (9, arofudameos sobre a assagem deses e ouros modelos de séries emorais ara esa forma odem ser ecorados em Harvey (989, Hamilo (994, Durbi e Kooama (, Brockwell e Davis (, e Shumway e Soffer (6 4 O Filro de Kalma O filro de Kalma é um algorimo que forece esimadores ão edeciosos e cosisees do veor de esado, ara cada isae de emo O filro gera um esimador liear óimo sob o oo de visa do erro quadráico médio Quado a hióese de ormalidade dos erros do esado e das medidas é assumida, o esimador obido é óimo ão aeas ere os lieares 8, coicidido com a média do veor α codicioada à σ-álgebra I 9 Sob uma erseciva geomérica, o filro gera a roeção orogoal das coordeadas uivariadas do veor de esado α o subesaço gerado elas coordeadas uivariadas de odas as medidas aé o isae [cf izziga (4], ou iformalmee, do couo de iformações disoíveis aé o momeo De acordo com a σ-álgebra codicioae, odemos ober os seguies ios de esimação do esado: se <, o esimador realiza uma revisão do esado ( a se =, o esimador realiza uma aualização ou filragem do esado ( a / se >, o esimador realiza a suavização do esado ( α ~ 8 Esimadores formados ela combiação liear das variáveis,,,,, 9 Deomia-se I à σ-álgebra gerada elas variáveis,,, covecioalmee deoada or σ,,, (

4 É iuiivo que, quao maior o uso de iformações ara a esimação, maior a recisão do esimador obido elo filro de Kalma Desa forma, é fácil mosrar que a variâcia do esado suavizado ( aualizado ( / V ~ 34 é iferior (ou igual à do esado, que or sua vez é iferior (ou igual à do esado reviso ( [vide izziga (4 e Marques (9] O filro de Kalma é cosruído a arir de um couo de equações recursivas, que serão areseadas aós a exosição da seguie oação básica: : úmero oal de observações resee em cada uma das séries do veor ; a Π ( α : roeção orogoal de α o subesaço gerado elo / S couo de odas as combiações lieares das coordeadas de S =,,,,, que sob ormalidade, equivale a média codicioal de α dada ( I ; a a / a / a / : esado reviso; : esado aualizado; : esado suavizado; = MSE a = E[( α a ( α a ' / I ]: mariz de erros / ( / / / quadráicos médios de α codicioados a I, que sob ormalidade equivale a mariz de variâcias e covariâcias de α codicioada a I ; = / V / = ; υ E / : iovações ( I F Var υ / : mariz de variâcias e covariâcias codicioais das iovações ( I

5 35 Seguem as recursões do filro de Kalma ara realização da revisão, aualização e suavização (ela abordagem de iervalo fixo do esado, quado ese ossui aeas variáveis esacioárias de seguda ordem: revisão: a + + = T a = T / / + c T ' + R Q R ' (3 Sedo: a = ( I m T c vec( = ( I m² T T ' vec( Q Aualização: a / = a + Z ' F υ / = Z ' F Z (33 ara F qualquer iversa geeralizada de F Observe que os ius das equações de revisão são os veores aualizados assados, equao os ius das equações de aualização são os veores revisos correes Como o veor de esado é comoso uicamee or comoees esacioárias de seguda ordem, a e são cohecidos a riori, o que ermie que o filro sea iiciado com as equações de aualização ara obeção de a/ e / Uma vez calculados, odemos ober o segudo esado reviso a e a mariz, os quais servirão de ius ara a obeção dos veores aualizados a / e / e assim sucessivamee erceba que subsiuido a / e / de (33, as equações de revisão em (3, obemos as seguies recursões ara o filro, cohecidas como recursões do filro de Kalma em : a + = T ( a = T ( + Z ' F + υ Z ' F + c Z T ' + R Q R ' (34

6 36 Suavização: ˆ α = a + A ( ˆ α V = / / A ( / + a V + + ara = -, -,, A ' (35 sedo: A = / T ' + e + qualquer iversa geeralizada de + Oura rereseação ara o suavizador é dada or: ˆ α = a + r r r N V com F = Z F υ + ( T T Z ' F Z ' r V = N =, = Z ' F Z + ( T T Z ' F Z ' N ( T T Z ' F Z =, qualquer iversa geeralizada de F (36 As vaages da seguda rereseação foram exausivamee exloradas em De Jog (989 e, ere elas, cia-se a eficiêcia comuacioal Quado as marizes o sisema ão ossuem arâmeros descohecidos (caso eórico a esimação do veor de esado ode ser feia direamee aravés da alicação do algorimo de Kalma Caso corário, será ecessário o uso de méodos de esimação esecíficos ara obeção dos hierarâmeros Nese rabalho, uilizaremos o méodo de Quasi Máxima Verossimilhaça (QMV ara obeção de esimaivas dos hierarâmeros 43 Esimador de Quasi Máxima Verossimilhaça e Alicação do Filro de Kalma Em exercícios eóricos é comum suor o cohecimeo a riori da fução de disribuição codicioal de dada a σ algebra I Mais esecificamee, cosuma-se aribuir a disribuição Normal ara o rocesso

7 dada a vaagem do esimador resulae ser óimo ão somee ere os / I esimadores lieares e oder ser ierreado como a média codicioal de dada a σ algebra I Em um ambiee eórico ode a disribuição dos dados é cohecida, o esimador que maximiza a fução de verossimilhaça ossui roriedades deseáveis como cosisêcia e eficiêcia Ereao, quado assamos da eoria ara a ráica, lidamos com o descohecimeo da fução de disribuição dos dados Ao suor ormalidade ara dados que a verdade ão ossuem al disribuição, gera-se uma fução de verossimilhaça diferee daquela que seria obida aravés da disribuição verdadeira das séries Coseqüeemee, o esimador que maximiza a fução de verossimilhaça oimiza uma fução que ão reflee a realidade Ese esimador é dio eão de Quasi Máxima Verossimilhaça (QMV e, embora ão sea eficiee, ossui boas roriedades assióicas, cosisêcia e ivariâcia em relação a fuções bieivas oso isso, imoremos a suosição de Normalidade à disribuição codicioal de : I ~ N[ E( / I, V ( / I ], / de forma que a fução de verossimilhaça defiida or: L( ψ = (,, = Π ( / I (ode: ψ é o veor dos arâmeros e I = { φ, } é a σ-álgebra miimal, = Ω 37 α ode ser escria, de acordo com a eoria da disribuição Normal Mulivariada, como: L( ψ = (π L( ψ = (π L( ψ = (π de[ V( de[ F ] de[ Z / / I ] / ex υ '( F Z ' + H ] ex ( / E( υ ex ( Z / I a d '( V( '( Z / I ( Z ' + H E( ( Z / I a d (37 (38 (39 ossui variâcia míima

8 38 de erceba que a equação (39 descreve a verossimilhaça como uma fução a, e das marizes de rasição ara efeio de simlificação dos cálculos da oimização, oamos or maximizar a fução l ( ψ = l[ L( ψ ] ao ivés de L (ψ l( ψ = l(π l( ψ = l(π = [ l(de( F + ν ' F ν ] [ l(de( ZZ ' + H + ( Za d '( ZZ ' + H ( Za d ] (4 = (4 Observe que os arâmeros descohecidos esão resees as marizes do sisema, as quais aarecem como ius das recursões do filro de Kalma, o qual or sua vez gera a e, ius da fução de verossimilhaça Desa forma, a esimação dos arâmeros erá de ser feia cocomiaemee com a esimação da média e variâcia codicioais do esado (suodo ormalidade elo filro de Kalma, como ilusrado a seguir: Figura Fluxo da esimação dos hierarâmeros em um modelo de EE liear gaussiao f Tal oção faz-se ossível em decorrêcia da moooicidade crescee e esria da fução ( x = l( x, x R+

9 39 Aós a obeção do veor óimo de arâmeros, calcula-se ela úlima vez as marizes do sisema e alicam-se o filro e o suavizador de Kalma ara obeção dos esados fiais reviso e suavizado 44 Iicialização do filro de Kalma Na reseça de variáveis ão esacioárias de seguda ordem o esado, o veor a e a mariz (que sob ormalidade deoam resecivamee a média e variâcia icodicioais do veor iicial α ão são bem defiidos, violado a codição (ii resee a defiição da forma em Esaço de Esado Liear e ivalidado, orao, odas as recursões subseqüees ara comrovar iso, basa observar que ara a e ão defiidos, as recursões em (3 e (33 (ou (34 areseam roblema de iicialização, iso é, ão é ossível ober os esados revisos seguies Há diferees roosas ara lidar com ese icoveiee Duas delas esão areseadas a seguir: Iicialização Difusa Aroximada Big Kaa [cf Harvey e hillis (979] Iicialização Difusa Exaa [cf Kooma (997 e Durbi e Kooma (] Aes da areseação formal das abordages acima, segue oação esecial [cf Durbi e Kooma (] ara rereseação do veor de esado iicial, a qual se basearão as exlaações oseriores Sea α o veor de esado iicial Reresea-se α da seguie forma: α = a + A δ + R η (4 mx mx mxq qx mx( mq ( mq x η ~ (( mq x, ( mq,( m Q ( mq x q Adoaremos aqui o ermo veor aleaório difuso ara raar de variáveis como δ, com disribuição N(, κ I quado κ De forma iformal, são variáveis ão esacioárias que areseam variâcias arbirariamee grades Desa forma, coforme Durbi e Kooma (,, deomia-se iicialização difusa do filro de Kalma a qualquer rocedimeo que vise a alicação do filro de Kalma quado houver o veor iicial elo meos uma coordeada difusa

10 4 Ode, q é o úmero de variáveis ão esacioárias o veor esado; δ é um veor cuas coordeadas são variáveis ão esacioárias e, E( δ = e V ( δ = κι ara qx qxq κ (κ lê-se kaa η é um veor aleaório de seguda ordem, de forma que Q é uma mariz osiiva defiida Sea a [ ] a i-ésima liha do veor a Eão, a [ i E( α[ i], se α[ i] é uma variável esacioária i] =, se α[ i] é uma variável ão esacioária Seam i, i,, i q as lihas do veor esado que ossuem variáveis ão esacioárias Eão a mariz A é al que os elemeos da -ésima, colua ara =,,,q são: ara a liha i = i A[ i][ ] = ara as demais lihas De forma sucia, a -ésima colua da mariz A corresode à i -ésima colua de uma mariz ideidade de ordem m Seam i', i',, i' mq as lihas do veor esado que ossuem variáveis esacioárias Eão a mariz R é al que os elemeos da -ésima colua, ara =,,,m-q, são: ara a liha i = i' R [ i][ ] = ara as demais lihas, erceba, orao, que a mariz R ossui as coluas da mariz ideidade de ordem m que falam a mariz A, logo A ' R qxm = qx( qm As marizes A e R são dias marizes de seleção Dada a defiição em (4 odemos ober a média e a variâcia icodicioais do veor iicial: mx( q m

11 4 a = E( α = a = V ( α = AV ( δ A' + R Q R ' = A( κi A' + R Q R ' (43 44 Iicialização Difusa Aroximada Big Kaa A abordagem aroximada sugerida or Harvey e hillis (979 cosise em fixar um valor arbirariamee alo ara κ, e em seguida subsiuir ese valor a equação (43, obedo bem defiido Uma vez que a e esão bem defiidos, as recursões em (3 e (33 (ou (34 odem ser imlemeadas exaamee como o caso esacioário Em resumo, a irodução da cosae κ a variâcia do bloco ão esacioário (δ do esado iicial em como obeivo descrever a grade icereza acerca do comorameo desa comoee A variâcia das coordeadas difusas é, orao, imosa a criério do aalisa, sedo κ, em geral, suerior a 3 A simlicidade de imlemeação areseada elo méodo é acomahada de algumas desvaages como uma oecial isabilidade comuacioal e esimaivas ossivelmee divergees ara diferees valores de κ 44 Iicialização Difusa Exaa rooso or Kooma (997, ese méodo cofere uma forma ão arbirária de lidar com a icereza em relação à variâcia icodicioal do esado iicial Ese io de iicialização cosise basicamee em recohecer que as equações do filro de Kalma em e do suavizador de Kalma deedem de κ a forma de fuções suaves, escrever esas fuções como fórmulas de Maclauri, e omar κ esas exressões [cf Marques (9] Tal

12 4 exercício é rabalhoso e aresea-se dealhado em Durbi e Kooma (, ca 5 A iuição que ermeia as recursões do Filro de Kalma com Iicialização difusa Exaa (FKIE é, ereao, simles e deriva da seguie exesão da equação (43: = V( α = AV( δ A' + R Q R ' = A( κi A' + R Q R = κ = κ ( AA' + ( R Q R ', +, ' (44 Observe que dada a oação do esado iicial areseada em (44, a mariz ode ser searada em duas comoees disias: uma bem comorada e oura mal comorada quado κ, resecivamee rereseadas or, e κ, elo FKIE, as variâcias dos esados seguies ambém odem ser decomosas em duas comoees (bem e mal comoradas quadoκ, de modo que o cálculo de deede de, o cálculo de 3 deede de, e assim sucessivamee As recursões do FKIE ermiem que a esruura difusa do veor iicial se roague elos veores de esado seguies Tal roagação é reduzida a cada ieração aé a eveual dissiação oal do comoee difuso, quado eão a mariz se esabiliza Deomiamos o úlimo isae ara o qual o esado assume comorameo difuso (ou equivaleemee, úlimo isae ara o qual é ão ula como isae d 3 A arir de =d+ a variâcia do esado assa a ser bem comorada (, coicidir com as do filro origial = e, mais do que isso, as recursões do FKIE assam a 3 ara modelos esruurais, a eoria aoa que d coicide com o úmero de comoees ão esacioárias o veor de esado Ereao, ara séries emorais curas al fao eórico ode ão ser observado a ráica

13 43 45 Traameo Uivariado ara Séries Mulivariadas Uma das vaages do filro de Kalma é a facilidade com que suas recursões odem ser alicadas a séries mulivariadas Ereao, quado o veor aresea dimesão ala (, as recursões do filro de Kalma odem aresear roblemas comuacioais relacioados às reeidas iversões das marizes de variâcia das iovações F Ouro foco de ieficiêcia comuacioal da alicação do filro ara séries mulivariadas advém do rocesso de oimização da fução de verossimilhaça, a qual, sob hióese de ormalidade, ambém deede de F (vide equação 38 Sob a hióese de que os erros do veor ε são ão correlacioados (ou, equivaleemee, que a mariz H é diagoal é ossível alicar um raameo uivariado às séries mulivariadas, elimiado a dificuldade mecioada acerca de iversão de marizes Tal rocedimeo cosise em: (i Seccioar as marizes de rasição Z e d : de modo que M, resecivamee,, Z, i e Z = Z M Z,,, d + d α M d, Observe que sob a hióese de,, ε + ε M ε,,,, (45 d, i rereseam a i-ésima liha das marizes Z e d, H diagoal odemos reescrever as equações do modelo mulivariado clássico areseado em (3 da seguie forma: =, ~ ( H, Z, α + d, + ε, α + ε, WN,, ara =, (46 + = Tα + c R η, η ~ WN (, Q

14 44 ode H, reresea o elemeo da liha e colua da mariz H e, é uma série uivariada (ii Escrever o modelo (46 a forma de Esaço de Esado: Embora o modelo (46 coeha as mesmas iformações que o exoso em (3, o rimeiro ão esá a forma EE, oso que há rês equações de medidas ara cada equação de esado ara colocar al modelo a forma EE é reciso cosruir um ovo veor de esado [ ( α ara =,,] al que, ara cada equação de,, haa uma equação defiido ( α Esa cosrução deve ser feia cuidadosamee, de modo a reservar odas as iformações forecidas origialmee ara α (em 3 Observado aeamee o modelo (46, verifica-se que ara um dado isae de emo, a equação das medidas varia com o sub-ídice, mas o esado resee o segudo ermo da equação é o mesmo ara odo Desa forma a relação correa ere α e ( α é: α ara =,,, (47 ( ( mx ( mx α + ara =,,, ( ( mx + ( mx Orgaizado serialmee as variáveis dos veores, e ( α emos:,,,,,,,,,,,, = ª coordeada de = ª coordeada de = ª coordeada de = ª coordeada de = ª coordeada de = ª coordeada de = ª coordeada de = ª coordeada de = ª coordeada de α α α α α α α α α α α α,,,,,,,,,,,, (48

15 45 Com base esa orgaização serial, segue o modelo uivariado a forma em Esaço de Esado que reserva odas as iformações origiais do modelo mulivariado em (3: ara =,,,- 4 :, = Z, α, + d + ε, α =, + α,, ara = (49, = Z, α, + d, + ε, α = T α + c + R η +,,, 4 Observe que ara =,,,-, assume-se que T I, c = e R = Desa forma a equação do esado reseia odas as hióeses defiidas em (3 =