Curso de Análise Matricial de Estruturas 1 INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS DA RIGIDEZ E DA FLEXIBILIDADE

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1 Cuso d Anális Mticil d Estutus III INRODUÇÃO AOS MÉODOS DA RIGIDEZ E DA FEXIBIIDADE III. Mtiz d Comptiilidd ou Incidênci Estátic Mtiz d Comptiilidd (ou Incidênci) Estátic é qul qu pmit xpimi os sfoços {} S (psntdos sgundo s m coodnds locis) m função ds çõs xtns { R }(disposts sgundo s n coodnds glois d stutu): {} S m [] B m,n {} R n A mtiz [ B ] pod s fomuld ditmnt, mdint simpls condiçõs d quilíio, s stutu fo stticmnt dtmind (isostátic). S houv indtminção (hipstticidd), só s chgá à mtiz [ B ] solvndo o polm hipstático, confom sá visto postiomnt. Exmplo: Ot Mtiz d Comptiilidd Estátic d stutu ixo: Estutu Intgd: Coodnds Glois Estutu Dsmmd: Coodnds ocis Aplicndo-s um foç xtn sgundo coodnd glol, ou sj, fzndo-s {} R otém-s { S }. Mticilmnt tímos: [] B

2 Nots d Aul - uiz A. C. Moniz d Agão Filho P { } R otém-s { } S, implicndo m: [] 3 3 B P {} otém-s { } S, ou sj: 3 3 [] B Po fim, pod-s osv qu s coluns d mtiz [ ] B constitum os vtos d sfoços locis, o s impo foçs xtns unitáis sgundo s coodnds glois.

3 Cuso d Anális Mticil d Estutus 3 III. Mtiz d Comptiilidd ou Incidênci Cinmátic (Mtiz opológic) Dfinição: Estutu cinmticmnt dtmind Não tm gu d lidd (dslocmnto nodl) liv qundo sumtid sus pópios vínculos dslocmntos pscitos (nulos) sgundo sus coodnds glois. Exmplo: Qunts coodnds são ncssáis n stutu ixo p qu msm sj cinmticmnt dtmind (no plno)? 4 coodnds (cso gl no plno) coodnds (sm s consid dslocmntos longitudinis) coodnd (considndo-s vig ígid inxtnsívl) Gu d indtminção cinmátic: é o mno númo d dslocmntos nodis cujo conhcimnto é ncssáio p qu s dtmin os dslocmntos m tod stutu (todos os lmntos). Um sistm stutul cinmticmnt dtmindo tvés do stlcimnto d um númo d gus d lidd igul o su gu d indtminção cinmátic, pod lcion ditmnt os dslocmntos {} s ds xtmidds dos lmntos (sgundo s m coodnds locis) m tmos dslocmntos nodis d stutu {} (xpssos sgundo s n coodnds glois): {} s m [ A] m,n {} n ond [ A ] é dfinid como Mtiz d Comptiilidd Cinmátic.

4 4 Nots d Aul - uiz A. C. Moniz d Agão Filho Exmplo: Ot Mtiz d Comptiilidd Cinmátic d stutu ixo: Coodnds Glois Coodnds ocis Fzndo-s {} otém-s {} s, ou sj: [ ] A P {} otém-s {} s, implicndo m: [ ] 3 3 A P {} otém-s {} s, ou sj: 3 3 [ ] A Pod-s osv qu s coluns d mtiz [ ] A constitum os vtos d dslocmntos locis, o s impo dslocmntos unitáios sgundo s coodnds glois.

5 Cuso d Anális Mticil d Estutus 5 III.3 Mtiz d Rigidz d Estutu Intgd Estutu Intgd (montd) Coodnds Glois: Rlçõs Açõs / Dslocmntos: ond {} R é o vto ds çõs xtns; {} [ ] {} R [ K] {} {} []{} F R é o vto dos dslocmntos d stutu sgundo s cood. gois; K é mtiz d igidz d stutu intgd (montd); F é mtiz d flxiilidd d stutu intgd (montd). [] Estutu Dsmmd (dsmontd): Coodnds ocis d stutu dsmmd sgundo os lmntos d vig pln ltivos à mtiz d flxiilidd (método d flxiilidd): Coodnds ocis d stutu dsmmd sgundo os lmntos d vig pln ltivos à mtiz d igidz (método d igidz): Rlçõs Açõs / Dslocmntos: {} S [ ] {} s {} s [ f ] {} S ond {} S m é o vto dos sfoços locis s é o vto dos dslocmntos dos lmntos (sgundo s cood. locis); {} m m [ ] m [ ] m m é mtiz d igidz d stutu dsmmd; f é mtiz d flxiilidd d stutu dsmmd; m é o númo d coodnds locis.

6 6 Nots d Aul - uiz A. C. Moniz d Agão Filho ([ ][, f ]) P stisfção d tis quçõs, s mtizs d stutu dsmmd dvm s fomulds ditmnt, colocndo-s m nd s mtizs d flxiilidd (ou d igidz) dos lmntos considdos isoldmnt, s quis funcionm como su-mtizs do conjunto. Dst fom, Mtiz d Rigidz d stutu dsmmd fici: [ ] [ ] 3 4 [ ] Ond stutu dsmmd podi t sus Gs locis psntdos po: () () Sndo Mtiz d Rigidz do lmnto d vig pln: EJ 6EJ EJ 6EJ 3 3 6EJ 4EJ 6EJ EJ [ ] EJ 6EJ EJ 6EJ 3 3 6EJ EJ 6EJ 4EJ D fom nálog, mtiz d flxiilidd d stutu dsmmd si: f f [ f ] f f [ f ] [ ] f f f34 f f44 Ond stutu dsmmd podi t sus Gs locis psntdos po: () ()

7 Cuso d Anális Mticil d Estutus 7 Sndo Mtiz d Flxiilidd do lmnto d vig pln: [ f ] 3 3EJ EJ EJ EJ Compnd-s potnto qu, s s mtizs d flxiilidd ou d igidz dos lmntos fom tlds é fácil compo mtiz totl [ f ] ou [ ] lmnto não intf nos outos., poqu cd O msmo não s pss com mtiz [ F ] ou [ K ] p stutu intgd, poqu os fitos são copldos, ou sj, os gus d lidd glois fm-s glmnt à mis d um gu d lidd locl. Ot sss mtizs é pticmnt qus solv stutu. Até go, fom nlisdos csos stutuis simpls m qu sss mtizs podim s otids ditmnt, sm o mpgo do dsmmmnto d stutu. A fom gl d dtminção ds mtizs d igidz flxiilidd d stutu intgd pod s dduzid pti d otnção d xpssão d ngi d dfomção: U S i si Colocndo-s so fom mticil, otém-s: Sndo { S} [ ] {} s {} s [ A] {} U {} S {} s {} s { S}, sustituindo-s n xpssão ntio otém-s: U {} s [ ] {} s {} [ A] [ ] [ A] {} () Enttnto, ngi pod tmém s psntd m função d mtiz d igidz d stutu complt (intgd): Sndo { R} [ R] {} U {} { R} sustituindo-s n xpssão ntio otém-s: U {} [ K] {} Igulndo-s à xpssão d ngi ncontd ntiomnt (qução ), otém-s: U {} [ K] {} {} [ A] [ ] [ A] {}

8 8 Nots d Aul - uiz A. C. Moniz d Agão Filho Implicndo m: [ K] [ A] [ ] [ A] D mni nálog, pod-s most qu: [] F [] B [ f ][] B Dst fom, ton-s possívl otnção ds mtizs d igidz flxiilidd d stutus mis complxs, pti do dsmmmnto do sistm stutul.

9 Cuso d Anális Mticil d Estutus 9 III.4 Cgmnto Nodl Equivlnt Sj um stutu gnéic sumtid um cgmnto distiuído. Dsj-s s os sfoços xistnts m nós disctos do sistm stutul, dconts d plicção d tl cgmnto. S-s ind qu s çõs d fixção no ngstmnto (psntds ixo) são quls qu gntm condição d dslocmntos otçõs nulos ns xtmidds d cd lmnto: Potnto, o s stlc um cgmnto distiuído num ptição d stutu (lmnto), simultnmnt s plic çõs d fixção d ngstmnto m sus xtmidds, o stnt do sistm stutul não sntiá xistênci do cgmnto distiuído plicdo. Enttnto, loclmnt, sugião sfoços dconts ds çõs d fixção imposts. Pod-s ntnd o cgmnto cim como um supposição d cg distiuíd ds cgs nodis plicds: + Os sfoços locis xistnts do cgmnto distiuído podm ntão s clculdos pl supposição d dus situçõs conhcids d cgmnto: -

10 Nots d Aul - uiz A. C. Moniz d Agão Filho A sgund pcl, po stmos no gim lástico lin, pod s sustituíd po um cgmnto nodl d sntido invso àquls ds çõs d fixção: + ogo, os sfoços finis nos lmntos podm s otidos plo cálculo d stutu (glol) tvés d plicção d um cgmnto nodl quivlnt (CNE), otndo-s pimi pcl dos sfoços, somndo-s à l (loclmnt) os sfoços gdos pls çõs d fixção: {} S { S } + [ ] {} s { S } + { S} ond {} S m {} s m [ ] m m {} S m { S } m é o vto dos sfoços locis é o vto dos dslocmntos dos lmntos (sgundo s cood. locis); é mtiz d igidz d stutu dsmmd; é o vto dos sfoços locis sugidos pl plicção do CNE; é o vto ds çõs d fixção no fncil locl; m é o númo d coodnds locis.

11 Cuso d Anális Mticil d Estutus III.5 Apsntção dos Métodos d Rigidz d Flxiilidd Exmplo: Buscndo-s solv vig contínu psntd ixo, são oddos os pincípios dos métodos d igidz flxiilidd: Coodnds Glois: Coodnds ocis: O cgmnto contínuo pod s disctizdo sgundo um cgmnto nodl quivlnt (CNE), confom ilust figu: Cgmnto plicdo nos nós d stutu

12 Nots d Aul - uiz A. C. Moniz d Agão Filho Método d Flxiilidd Gu d indtminção státic: Método d Rigidz Gu d indtminção cinmátic: 3 Sistm Pincipl: Equçõs d coênci (hipstático): δ vt B δq + δb RB Mtiz d comptiilidd státic do sistm pincipl (isostático): [] B / / / / / / Mtiz d comptiilidd státic d stutu complt (com hipstático): [ B] / / / / / / Mtiz d flxiilidd lmnt: [ f ] 3EJ 6EJ 6EJ 3EJ / / Mtiz d flxiilidd d stutu dsmmd: [ f ] [ f ] [ f ] Mtiz d flxiilidd do SP intgdo: [] F [ B] [ f ] [ B] [] F 4x4 7 4EJ EJ 4EJ 3EJ EJ 6EJ EJ EJ 4EJ EJ 7 4EJ 3EJ 3EJ EJ 3EJ 3 3EJ Mtiz d comptiilidd cinmátic: [ ] A Mtiz d igidz lmnt: 4EJ EJ [ ] EJ 4EJ Mtiz d igidz d stutu dsmmd: [ ] [ ] [ ] Mtiz d igidz d stutu intgd: [ K] [ A] [ ] [ A] 3x3 4EJ EJ EJ 8EJ EJ EJ 4EJ

13 Cuso d Anális Mticil d Estutus 3 Método d Flxiilidd Cálculo dos Hipstáticos dslocmntos: [ ] X R F Cálculo dos Esfoços: {} { } [ ] + X R B S S Método d Rigidz Cálculo dos dslocmntos: {} [ ] {} K R {} [ ] {} A s Cálculo dos Esfoços: {} { } [ ] {} { } { } S S s S S + +

14 4 Nots d Aul - uiz A. C. Moniz d Agão Filho III.6 Compção dos Métodos Os métodos d flxiilidd igidz são idênticos n su fomulção mtmátic, mos qundo o pincípio d supposição p ot s quçõs fundmntis. As smlhnçs nt os dois pocdimntos, m como s difnçs podm s vists pidmnt qundo s compm m pllo, como fito ntiomnt. As coluns cim mostm tods s tps pincipis n solução d um stutu po mos os métodos. No método d flxiilidd, scolh d dundnts hipstáticos pod t um fito significtivo n quntidd d tlho d cálculo quido. Po xmplo, m vigs contínus os momntos fltos nos poios são scolhidos como hipstáticos, poqu stutu lid consist num séi d vigs simplsmnt poids. Est stutu lid é fácil d nlis tnto p os fitos ds cgs, como p os fitos dos vlos unitáios ds dundnts. A plicção d um vlo unitáio d cd dundnt influi unicmnt nos vãos djcnts d vig. Outs scolhs p s dundnts não dão st vntjos loclizção d fitos -, plo contáio, os fitos d um dundnt unitái podm-s popg po tod stutu. No cso d stutus qu não sjm vigs contínus, nomlmnt não é possívl locliz os fitos qundo s utiliz o método d flxiilidd. No método d igidz nunc xist qulqu qustão cc d scolh d stutu stingid, visto qu só há um possiilidd. A nális d stutu stingid usulmnt não é difícil, poqu todos os fitos stão loclizdos. Po xmplo, o fito d um dslocmnto unitáio num só stá limitdo os mmos qu chgm st nó. Em gl, mos os métodos d nális são útis p cálculos mnuis. O método d solução pfido comumnt sá o qu nvolv mno númo d incógnits. P pogmção computcionl, o método d igidz é nomlmnt muito mis dqudo qu o método d flxiilidd. A vntgm do método d igidz sult d dtminção utomátic d stutu stingid do fto d qu todos os fitos stão loclizdos. A convniênci d um ou outo método stá indicd m tmos gis n l psntd sgui. Ntulmnt, dv-s dmiti qu um vz ou out são ncontds xcçõs à g gl. Gu d Indtminção Método popido Estátic Cinmátic Cálculo mnul Cálc. Aux. Computdo Bixo Bixo Qulqu Rigidz Bixo Alto Flxiilidd Rigidz Alto Bixo Rigidz Rigidz Alto Alto Nnhum Rigidz