MÉTODOS DE PONTOS INTERIORES APLICADOS AO PROBLEMA DE PRÉ-DESPACHO DE UM SISTEMA HIDROTÉRMICO

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1 Vesão ncal submeda em /0/0. Vesão nal ecebda em 07/0/0. Ro de Janeo, v.5, n.,. -0, janeo a abl de 0 MÉTODOS DE PONTOS INTERIORES APLICADOS AO PROLEMA DE PRÉ-DESPACHO DE UM SISTEMA HIDROTÉRMICO Ro Wlhelm Pobs Unvesdade Tecnológca Fedeal do Paaná Deaameno Acadêmco de Maemáca wobs@u.edu.b Auelo Rbeo Lee de Olvea Unvesdade Esadual de Camnas Insuo de Maemáca, Esaísca e Comuação Ceníca auelo@me.uncam.b Resumo Os méodos de onos neoes de ajeóa cenal e edo-coeo são desenvolvdos aa o oblema de mnmzação das edas na geação e ansmssão do é-desacho DC de um ssema de oênca hdoémco e a esuua macal esulane exloada obendo uma mlemenação ecene. No é-desacho de ssemas hdoémcos, as usnas hdoelécas êm uma mea a cum em um deemnado da, esabelecda elo lanejameno de longo azo. As usnas emoelécas, o sua vez, aesenam esções de ama, os necessam de um deemnado emo ano aa aumena quano aa eduz sua odução de enega. A mlemenação dos méodos de onos neoes é esada em esudos de casos com ssemas IEEE. Palavas-Chaves: Ssemas de Poênca, Ssemas Hdoémcos, Méodos de Ponos Ineoes, Pogamação Quadáca. Absac The cenal ah and he edco-coeco neo on mehods ae develoed o he geneaon and ansmsson loss omzaon oblem o a DC owe low model n a hdohemal owe ssem and he esulng sucue s exloed leadng o an ecen mlemenaon. In sho em hdohemal schedulng, he hdo geneang uns need o sas dal ages, esablshed b longem schedulng models. The hemal geneang uns have am consans because he need a cean amoun o me o change de level o owe delve. Case sudes wh he develoed neo on mlemenaon o IEEE owe ssems ae esened. Kewods: Powe Ssems, Hdohemal Ssems, Ineo Pons Mehods, Quadac Pogammng.

2 . Inodução Nesa seção seá ea uma beve nodução sobe o oblema de luxo de oênca ómo, sua genealzação aa o oblema de é-desacho e os méodos de onos neoes... Fluxo de Poênca Ómo Fluxo de oênca ómo é um emo genéco dado a uma classe de oblemas que busca omza uma unção objevo esecíca sasazendo esções ovenenes de aculadades íscas e oeaconas da ede eléca (Momoh e al., 999; Qunana e al., 000. O oblema de luxo de oênca ómo (AC eve sua mea omulação nos anos 60 (Caene, 96. Desde enão, váos méodos de omzação oam oosos aa esolve ese oblema, ene eles: o méodo do gadene eduzdo de Dommel-Tnne (Dommel e Tnne, 968, gadene eduzdo genealzado (Abade e Caene, 969, o méodo de njeção deencal de Caene (Caene, 97, o méodo do Lagangeano ojeado (Muagh e Saundes, 98, méodos de ogamação quadáca sequencal (ggs e Laughon, 977; uche e al., 98; Sun e al., 98, algomos esecícos baseados na esolução de uma sequênca de oblemas de ogamação lnea (Alsaç e al., 990 ou quadáca (Ganvlle e al., 99. A ulzação de méodos de onos neoes aa ese oblema o sugeda ela mea vez em 99, o Ganvlle (Ganvlle, 99. A eesenação lneazada (DC do luxo de oênca ómo em sdo ulzada, os obem-se mao smlcdade com gau de ecsão dos esulados sasaóo (Olvea e Soaes, 00. O oblema de é-desacho ode se modelado como a mnmzação de uma unção objevo quadáca, coesondene aos cusos de geação e edas na ansmssão do ssema de oênca, sujea a esções lneaes eesenando o luxo de oênca ava. O édesacho de um ssema de oênca hdoémco é um oblema de lanejameno oeaconal de cuo azo, onde cuo azo sgnca a oeação hoáa duane um da ou uma semana. O ssema de geação é comoso o um conjuno de undades geadoas, enquano que o ssema de ansmssão é eesenado o um modelo de luxo de caga de coene conínua (DC. Nese modelo, as les de Kchho são eesenadas ndeendenemene. O oblema de luxo de oênca ómo em aenas um nevalo de emo ode se omulado como um modelo esáco (Olvea e Soaes, 00. Já o modelo dnâmco é a exensão desa omulação aa cada nevalo de emo, acescenando as esções de acolameno eeene às meas e às amas (Issa, e al., 998; Olvea e al., 005. As usnas hdoelécas êm uma mea a cum, esabelecda elo lanejameno de longo azo. As usnas emoelécas, o sua vez, aesenam esções de ama, os necessam de um deemnado emo ano aa aumena quano aa eduz sua odução de enega. As usnas hdoelécas ambém ossuem esções de ama, mas sso é muo menos cíco. O oblema de luxo de caga ómo DC é esudado em (Olvea e Soaes, 00; Olvea e al., 00 e a esuua macal do modelo exloada esulando em uma mlemenação basane áda e obusa. Ese abalho o sua vez o esenddo em (Olvea e al., 005 aa o oblema de é-desacho sem a consdeação das esções em ama. O oblema de é-desacho aa ssemas uamene émcos é abodado em (Issa, e al.,

3 .. Méodos de Ponos Ineoes Pogamação lnea em sdo um assuno domnane em omzação desde que Danzg (Danzg, 96 desenvolveu o méodo Smlex na década de 0. Em 98, a ublcação do abalho de Kamaka (Kamaka, 98 ncou uma nova lnha de esqusa conhecda como méodos de onos neoes, e uma década deos os méodos mas-duas sugam como os méodos mas moanes e úes desa classe de oblemas (Wgh, 996. Em ogamação lnea, a deença ene os méodos de onos neoes e o méodo smlex esá na naueza das soluções obdas em cada eação. No méodo smlex, as soluções eencem à onea da egão acível, enquano que nos méodos de onos neoes as soluções esão no neo da egão acível. Além dsso, no méodo smlex o númeo de eações ende a cesce com o amanho dos oblemas, enquano que nos méodos de onos neoes não exse esa endênca (Adle e al., 989. Em 955, suge o meo méodo de onos neoes, abuído a Fsch (Fsch, 955. Ese méodo o exausvamene esudado o Facco e McComck (Facco e McComck, 968. Em 967, Dkn (Dkn, 967 ublcou um abalho que o a base de muos ouos na áea de onos neoes. Em 979, suge o meo méodo de ogamação lnea de comlexdade olnomal, o méodo das elsódes de Khachan (Khachan, 979. No enano, sua convegênca ea muo lena, não ea obuso na esença de eos de aedondameno e necessava de mua memóa de amazenameno a cada eação (Wgh, 996. Ese méodo ovou se neo ao méodo smlex. Mas a mao descobea no camo dos onos neoes ocoeu em 98, quando Kamaka (Kamaka, 98 aesenou um novo méodo de onos neoes aa ogamação lnea, ambém de comlexdade olnomal. O méodo de Kamaka é um méodo mal (Wgh, 996, ou seja, é desco, movado e mlemenado uamene em emos do oblema mal, sem eeênca ao dual. A cada eação, o méodo az uma ansomação ojeva do conjuno acível mal que leva a solução aual ao ceno do conjuno e camnha no esaço ansomado (Fleche, 987; Kamaka, 98. A classe de méodos de onos neoes que ossu as melhoes oedades ácas e eócas são os chamados méodos mas-duas. Tano exemenos comuaconas como o desenvolvmeno eóco mosam que os méodos mas-duas são sueoes aos demas méodos de onos neoes em oblemas ácos, chegando a se melho que o méodo smlex em oblemas de gande oe (Wgh, 996. Ene os méodos mas-duas, desaca-se o méodo edo-coeo de Mehoa (Mehoa, 99, que assou a se a base da maoa dos códgos elaconados a onos neoes, desde sua ublcação em 99. O méodo ulza aoxmações de segunda odem aa a ajeóa mal-dual, conome sugedo o Megddo (Megddo, 986 e desenvolvdo em (Kamaka e al., 989; Kojma e al., 989; Moneo e al., 990. Além dsso, o méodo ae de um ono neo nacível, conome mlemenado com sucesso em (Lusg e al., 99. A conbução de Mehoa o combna esas déas já exsenes e adcona heuíscas aa escolha do aâmeo de cenagem, amanho do asso e ono ncal. Em 99, Clemens, Davs e Fe (Clemens e al., 99 aesenaam um dos meos esudos de onos neoes alcados a ssemas de oênca. Em 99, Vagas, Qunana e Vanell (Vagas e al., 99 aesenaam um méodo de onos neoes aa esolve o oblema de é-desacho econômco de ssemas de oênca. 6

4 . Modelo de Fluxo de Poênca Ómo DC Adconando as esções de ama (Pobs, 006 no modelo desco em (Cavalho e al., 988, um modelo de é-desacho hdoémco aa um ssema de oênca, com m baas, n lnhas de ansmssão e g geadoes, ode se exesso como o segune oblema de luxo em edes: mn s. a R Q c A E l mn mn d T 0 q d onde: n R eesena o veo de luxo de oênca ava; g R eesena o veo de geação de oênca ava; nn R R eesena a maz dagonal das essêncas das lnhas;,,,,,,,,,, gg Q R eesena a maz dagonal da comonene quadáca do cuso de geação; g c R eesena a comonene lnea do cuso de geação; mn A R eesena a maz de ncdênca da ede de ansmssão; mg E R é a maz omada elos veoes canôncos coesondenes às baas de geação; ( nm n T R eesena a maz de eaânca da ede de ansmssão; m l R eesena o veo demanda de oênca ava; mn, mn são os veoes de lmes de luxo e de geação de oênca ava;, e d eesena a vaação de enega emda em cada usna emoeléca; q eesena a mea de geação de enega das usnas hdoelécas aa o hozone em esudo; e são ondeações dos objevos a mnmza. mn mn Emboa os veoes,,,, d e c e as mazes R, Q, A, E e T envolvdas no modelo não vaem com o emo, esa noação se az necessáa momenaneamene. 7

5 . Técnca de Solução Modcando o modelo aa que os lmes neoes das vaáves canalzadas sejam guas a zeo e noduzndo a vaável h, obemos o segune oblema equvalene: mn R c Q c. a s a A E l,, b T l,, 0,, 0,, h d,, 0 h d,, q onde h, mn mn, mn,, a mn mn c c Q, l E l A, l b T mn e q q mn. mn c R, mn Inoduzndo as vaáves de olga (o smlcdade de noação elmnamos os ls obemos: mn R c Q c a s. a A E l c, c, T l h C d s q s h s d,, h, s, s, s 0 b são veoes do o a b onde,, l, l, e ( ; h e d são veoes do o h ( h h ; R, Q, A, E e T são mazes bloco dagonas do o R dag( R s R ; [ IgI g I g ] e I g I g I g I g 0 C I g I g Tano as vaáves de olga como as vaáves esuuas do oblema devem se não negavas. Esas esções de não negavdade odem se mosas adconando uma unção de 8

6 baea logaímca (azaaa e al., 979. As condções necessáas de KKT aa oblemas de ogamação quadáca gaanem que as devadas acas do Lagangeano se anulam na solução óma. Inoduzndo as vaáves z F e, z P e e z H e, onde e eesena o veo em que odos os elemenos em valo unáo e a noação F dag( aa mazes dagonas é ulzada, obemos as condções de omaldade do oblema eubado: Facbldade mal A E l T l q h C d s s h s d,, h, s, s, s 0, b a Facbldade dual A E T 0 z, z, z, w, w, w 0, w C w z w z R z c Q c Comlemenadade FZ e e S W e e. PZ e e HZ e e S W e e S W e e. Méodos de Ponos Ineoes Pmas-Duas Os méodos de onos neoes mas-duas odem se desenvolvdos aavés da alcação do méodo de Newon às condções de omaldade (Wgh, 996. Eles aem de um ono esamene osvo e não emem que as vaáves se onem negavas. Obemos assm os méodos de ajeóa cenal e o edo-coeo, onde ulzamos os veoes x ( h s s s e v ( z z z w w w. 9

7 .. Méodo de Tajeóa Cenal 0 0 Dados ( x v 0 e k (0, e (0,. Paa k = 0,,,..., aça 0 lve, k k k k Calcule (, onde u é a dmensão do veo x e ( x v. u k k k Calcule a deção de Newon ( x v. k Calcule o amanho do asso aa emanece em um ono neo, ou seja, k mn( k k k onde (0, e k. k k mn ( x x k k mn ( v v k k k k k k k k k k Calcule o novo ono ( x v ( x v ( x v... Méodo Pedo-Coeo 0 0 Dados ( x v 0 e (0, e (0,. Paa k = 0,,,..., aça 0 lve, k Calcule a deção am-escala ( 0. k Calcule o amanho do asso al que ( k, k x v 0. Calcule k. k k k Calcule a deção de Newon ( x v. k k k! 5 Calcule o amanho do asso al que ( x, v 0. 6 Calcule ( k k k x v ( x k v k k k ( x k v k k. 5. Dealhes da mlemenação Os segunes aâmeos êm valo xo: e u. O segune ono ncal o adoado (Olvea e al., 005: 0 0 s 0 0 s 0 0 h s d z w ( R I e 0 0 z w e 0 0 z w e

8 A deção de Newon é denda elo segune ssema lnea (o índce k seá desconsdeado a a de agoa aa eva uma noação muo caegada: A E T hc s 5 s 6 hs 7 A T w z R 8 E C w z Q 9 w z 0 Fz Z Pz Z Hz Z h S w W s Sw Ws 5 S w W s 6 onde os esíduos são dados o a l A E b l T q d h C 5 s 6 s 7d hs 8c A T w zr 9 c E C w z Q 0 w z efze e PZe e HZ e e S W e e S W e 5 e S W e 6

9 5.. Resolução do Ssema Lnea A maz do ssema dos méodos ode e sua dmensão sgncavamene eduzda aavés da elmnação de vaáves sem modca sua esuua esasa. Pmeamene subsuímos as vaáves de olga mas e duas: s 5 s 6 s h 7 z F ( Z z P ( Z z H ( Z h w S ( W s w S ( W s 5 w S ( W s 6 onde Com esas subsuções, o ssema se eduz a: A E T hc A T D 5 E C D Dh 7 D S W F Z R D S W P Z Q D S W H Z 58 S S W 5F 69 S 5S W6 P 70S 6S W7 H 6 Somene nvesas de mazes dagonas são envolvdas. Agoa as vaáves mas odem se elmnadas: D ( 5 A T eduzndo o ssema aa: D ( E C 6 h D ( 7

10 ( ( D C CD CD E CD C E T TD A TD C ED ED T AD E ED A AD onde CD D TD ED AD Uma análse na esuua de mosa que esa maz é dagonal com enadas osvas, logo ode se solado no eceo bloco de equações: C E eduzndo o ssema aa: ( ( D CM C E CM T TD A TD EM C T AD E EM A AD onde. ( ( ( ` ` CD ED D D M 6. Resulados Numécos Os eses comuaconas ealzados ulzaam a lnguagem de ogamação MATLA 7.0 em um ssema oeaconal Lnux, ocessado Inel Penum. GHz. A ecsão adoada é de 0 -. Em odos os exemenos oam adoados os valoes mn aa as lnhas de ansmssão e 0 mn aa os geadoes. Somene unções quadácas uas oam ulzadas, ou seja, 0 c, e os coecenes quadácos são os mesmos aa odos os geadoes. Os ssemas de ese ulzados oam o IEEE0 e o IEEE8 e o hozone em quesão é de hoas (=. Paa odos os geadoes oam esabelecdas meas (emboa na áca esas esções se alquem aenas às usnas hdoelécas e amas (emboa esas esções sejam mas moanes aa as usnas emoelécas. A Tabela mosa a vaação da demanda ao longo do da. Eses aoes coesondem a um da íco de semana onecdos ela CESP (Chavegao e al., 00.

11 Hoa Fao Hoa Fao :00 0,798 :00,0557 :00 0,75 :00,08 :00 0,755 5:00,08 :00 0,7 6:00,086 5:00 0,75 7:00, 6:00 0,786 8:00,7 7:00 0,90 9:00,998 8:00 0,98 0:00,9 9:00,055 :00,658 0:00,0896 :00,089 :00,0976 :00,0000 :00,0888 :00 0,888 Tabela : Faoes de Caga A Tabela esume os esulados obdos elos méodos nos váos casos aa o ssema IEEE0, quano ao númeo de eações e esoço comuaconal. Nos meos casos, os lmes oam escolhdos de oma que na omaldade não exsam esções de caacdade avas. O Caso consdea aenas as edas de ansmssão ( e 0. No Caso são consdeados aenas os cusos de geação ( 0 e. No Caso são consdeados ambos os objevos. As edas de ansmssão são dadas em MW e os cusos de geação em undades moneáas, logo as ondeações e devem leva em consdeação esa deença de undades ene os objevos. Se xamos, enão deve se o cuso magnal de uma undade de eda de ansmssão o undade moneáa. Paa valdação da mlemenação consdeamos nese abalho. Os óxmos eses buscam analsa o desemenho dos méodos em suações mas esas. No Caso a caacdade de geação das usnas é lmada em 7 MW. No Caso 5 a caacdade de ansmssão das lnhas é lmada em 6 MW. No Caso 6 a vaação de geação emda (ama é de 0 MW. No Caso 7 os ês lmes cados aneomene são consdeados em conjuno. Tajeóa Cenal Pedo-Coeo Caso Ie. Temo Ie. Temo 6 0,80 0,7 6 0,8 0,7 6 0,8 0,56 7 0,9 0,7 5 8,06 5 0, ,9 5 0,89 7,5 6,05 Tabela : IEEE0 - Ie. e Temo de CPU (s A Fgua mosa o gáco do desacho aa o Caso, em que o desacho de cada geado acomanha a cuva da demanda, os os cusos de geação consdeados são odos guas.

12 Fgua : Caso - Aenas cusos de geação A Fgua (Caso mosa uma suação nemedáa ene os casos e, os são consdeadas ano as edas de ansmssão como os cuso de geação. Fgua : Caso - Pedas de ansmssão e cusos de geação Na Fgua (Caso7, a caacdade de geação da baa 8 esá no lme às 9h, além de ouas esções de caacdades avas. 5

13 Fgua : Caso 7 - Tês os de esções avas A Tabela se eee aos eses ealzados com o ssema IEEE8. Os Casos 8 eoduzem suações semelhanes aos Casos 7, mas aa o ssema IEEE8. No Caso 8 os lmes são escolhdos aa que na omaldade não exsam esções de caacdade avas. No Caso 9 a caacdade de geação é lmada em 0 MW. No Caso 0 a caacdade de ansmssão é lmada em 0 MW. No Caso a vaação de geação emda é de 8 MW. No Caso os ês lmes aneoes são consdeados em conjuno. Tajeóa Cenal Pedo-Coeo Caso Ie. Temo Ie. Temo 8 6 5,86 7, ,7 7,09 0 7,76 7,0 9 5,08 5,85 66, 7 8,6 Tabela : IEEE8 - Ie. e Temo de CPU (s A Tabela comaa os esulados obdos com um modelo que não consdea as esções de ama (Olvea e al., 005, ulzando o méodo edo-coeo. Os Casos 5 oam escolhdos oque há esção de ama ava. A Tabela 5 comaa o valo das unções objevo nos casos onde a esção de ama esá ava. Esa deença mosa a naueza dsna dos modelos. Com Rama Sem Rama Caso Ie. Temo Ie. Temo 0,56 0,6 0,7 7 0, ,88 0,7 Tabela : Modelos - Ie. e Temo de CPU (s 6

14 Caso Valo com Rama D. sem Rama 6,5 x 0 6,9 7,5 x 0 6 9,0, x 0 7,96, x 0 7 0, Tabela 5: Deença na Função Objevo 7. Conclusões e Pesecvas Fuuas Nese abalho o oblema de é-desacho de um ssema de oênca hdoémco é omulado como um oblema de luxo em edes e o modelo esulane é esolvdo o méodos de onos neoes. Uma caaceísca a se desacada elo méodo de onos neoes é a obusez. Mesmo aa oblemas basane sobecaegados, o méodo convege bem, sem aesena nsabldade numéca com uma ecsão mao que a necessáa em uma alcação áca. Oua caaceísca é a velocdade. O mao númeo de eações aa os ssemas esados o 7 aa o méodo edo-coeo e aa o méodo de ajeóa cenal, mesmo aa ssemas muo sobecaegados. Comaando os dos méodos, o edo-coeo obeve desemenho sueo em odos os casos esados, consegundo um emo comuaconal meno mesmo consdeando o mao esoço comuaconal o eação. Comaando o modelo aesenado nese abalho com os modelos que não levam em consdeação as esções de ama, a mlemenação se mosou ecene e comeva. Ese abalho, oano, eesena um asso adconal na modelagem do oblema com os ocedmenos que devem se uuamene adoados na áca em convêno com o ONS Oeado Naconal do Ssema Eléco. Nos méodos de onos neoes o ono ncal ulzado é cucal, os ajuda a eduz o númeo de eações. Como sugesão de melhoa, ouo ono ncal ode se obdo a a do modelo esáco (Olvea e Soaes, 00; Olvea e al., 005. Paa cada nevalo de emo, um oblema de luxo de oênca ómo é esolvdo com uma oleânca elaxada, e esa solução é usada como ono ncal aa ese nevalo de emo no oblema de édesacho. Nesa abodagem, aenas as esções de meas e amas não são saseas. Oua sugesão é exloa anda mas a esuua macal acula do oblema, eduzndo a dmensão do ssema a se esolvdo. Nos eses mlemenados o ulzado um ssema que não envolve a nvesão de nenhuma maz não dagonal. Paa elmna ou do ssema esulane, sea necessáo nvee mazes não dagonas. A mlemenação desas elmnações em MATLA mosou-se necene. Se o ossível ca um méodo ecene aa nvee esas mazes exloando suas esuuas macas esasas, o esoço comuaconal ode dmnu. Além dsso, sea convenene aze a mlemenação dos méodos em ouas lnguagens (C ou FORTRAN, o exemlo, a m de eduz o emo comuaconal e exloa a esuua macal. Agadecmenos Ese abalho o nancado ela FAPESP Fundação de Amao à Pesqusa do Esado de São Paulo e elo CNPq Conselho Naconal de Desenvolvmeno Ceníco e Tecnológco. 7

15 Reeêncas blogácas AADIE, J. E CARPENTIER, J. (969. Genealzaon o he Wole gaden mehod o he case o nonlnea conans, Omzaon Academc Pess, London, ADLER, I., RESENDE, M.G.C., VEIGA, G. E KARMARKAR, N. (989. An mlemenaon o Kamaka s algohm o lnea ogammng, Mahemacal Pogammng,, ALSAÇ, O., RIGHT, J., PRAIS, M. E SCOTT,. (990. Fuhe develomens n Lbased omal owe low, IEEE Tansacon on PAS, 5, AZARAA, M. S., SHERALI, H. D. E SHETTY, C. M. (979. Nonlnea Pogammng: Theo and Algohms, John Wlle & Sons, Inc. IGGS, M.C. E LAUGHTON, M.A. (977. Omal elecc owe schedulng: a lage nonlnea ogammng es oblem solved b ecusve quadac ogammng, Mahemahcal Pogammng,, URCHETT, R.C., HAPP, H.H. E VIERATH, D.R. (98 Quadacall convegen omal owe low, IEEE Tansacon on PAS, 0, CARPENTIER, J. (96. Conbuon a l eude du dsachng economque, ullen de la Socee Fancase des Eleccens,,. 7. CARPENTIER, J. (97. Deenal njecon mehods: a geneal mehod o secue and omal load lows, Poc. o IEEE PICA Coneence, Mnneaols, CARVALHO, M. F., SOARES, S. E OHISHI, T. (988. Omal acve owe dsach b newok low aoach, IEEE Tansacons on Powe Ssems (: CHIAVEGATO, F. G., OLIVEIRA, A. R. L. E SOARES, S. (00. Pé-desacho de ssemas de enega eléca va elaxação Lagangeana e méodos de onos neoes, Anas do nd. Ibean Lan- Amecan Congess on Comuaonal Mehods n Engneeng CILAMCE, Camnas SP, CIL0.. CLEMENTS, K.A., DAVIS, P.W. E FREY, K.D. (99. An neo on algohm o weghed leas absolue value owe ssem sae esmaon, IEEE/PES Wne Meeng, New Yok, Pae no 5-. DANTZIG, G.. (96. Lnea Pogammng and Exensons, Pnceon Unves Pess, Pnceon. DIKIN, I.I. (967. Ieave soluon o oblems o lnea and quadac ogammng, Soves Mah. Doklad, 8, DOMMEL, H.W. E TINNEY, W.F. (968. Omal owe low soluon, IEEE Tansacons on PAS, 87, FIACCO, A.V. E MCCORMICK, G.P. (968. Nonlnea ogammng: sequenal unconsaned mnmzaon echnques, John Wlle & Sons, Inc.. FLETCHER, R. (987. Paccal Mehods o Omzaon, John Wlle & Sons, Inc.. FRISCH, K.R. (955. The logahmc oenal mehod o convex ogammng, Techncal eo, Unves Insue o Economcs, Oslo. GRANVILLE, S. (99. Omal eacve owe dsach hough neo on mehods, IEEE Tansacons on Powe Ssems, 9, GRANVILLE, S., LIMA, M.C., LIMA, L.C. E PRADO, S. (99. Planva - an omzaon sowae 8

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