Ensino Fundamental Anos Finais 9 o Ano 3 o Bimestre

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1 Ensino Fundamental Anos Finais 9 o Ano 3 o Bimestre

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3 Matemática Sumário Álgebra Capítulo 25 Equações do 2º grau...58 Capítulo 26 Equações do 2º grau: valor numérico...64 Capítulo 27 Ainda equações do 2º grau...68 Capítulo 28 Tabelas e gráficos...72 Capítulos 29/30 A fórmula de Bháskara...78 Capítulo 31 O discriminante da equação...84 Capítulo 32 Possibilidades...87 Capítulo 33 Equação do 2º grau...97 Geometria Capítulos 14/15 Ampliação e redução de figuras planas Capítulo 16 Semelhança Capítulos 17/18 Semelhança de triângulos Capítulo 19 Teorema de Pitágoras Capítulo 20 Relações métricas no triângulo retângulo

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5 Matemática Apresentação Como estudar Matemática Assim como em outras matérias, não é decorando os exercícios que você aprenderá Matemática. Você precisa compreender a linguagem matemática e interpretá-la para encontrar uma solução para os problemas e atividades que você está convidado a resolver. Lembre-se de que há muitos caminhos para se resolver um problema matemático, siga aquele que você considera mais fácil. Algumas dicas achamos interessante passar para você: 1 o Preste atenção à aula. Quando o professor estiver explicando, preste atenção, pois ele lhe dará dicas importantes para a sua aprendizagem. 2 o Nunca fique com dúvidas em aula. Pergunte a seu professor e peça-lhe auxílio para compreender determinado assunto ou atividade. 3 o Mantenha um caderno organizado. Se seu professor fizer um resumo do conteúdo da aula ou acrescentar mais algumas informações, registre-os em seu caderno. As resoluções de problemas e cálculos também devem ser registradas organizadamente em seu caderno. Dessa forma, quando for estudar, terá em mãos todo o material necessário. 4 o Estude todos os dias. Faça a tarefa de casa com dedicação e da melhor forma que conseguir. Esforce-se e, se tiver um tempinho a mais, resolva novamente alguma atividade que você fez em aula e que tenha deixado um pouco de dúvida. Dessa forma, quando o professor fizer uma avaliação, você não precisará estudar tudo de uma só vez. 5 o Seja perseverante, isto é, nunca desista. Quando você considerar difícil um conteúdo ou uma atividade, lembre-se de que você tem capacidade para superar as dificuldades. Tenha a certeza de que é comum não conseguirmos resolver um problema na primeira tentativa. 6º Crie o hábito de conferir sua resposta. Após resolver um problema, leia-o novamente e verifique se sua resposta é coerente. 57

6 Matemática Álgebra Capítulo 25 Equações do 2 o grau Para começar Reconhecer uma equação do 2º grau, seus coeficientes e classificá-la. ATIVIDADE Com todos os quadrados e retângulos desenhados abaixo, forme um retângulo. x x x a) Represente-o no quadriculado: b) Quais são as dimensões desse retângulo formado? c) Qual é a área do retângulo formado? 58

7 Para continuar Situação 1 Equações de outro grau Vamos observar algumas situações: 1 a situação: Um campeonato de futebol é disputado por x equipes, que são divididas em dois grupos, A e B, com o mesmo número de equipes em cada grupo. Situação 2 Cada equipe disputa x 1 2 jogos em seu grupo. O campeão de cada grupo disputa o título em uma única partida. Se nesse campeonato está prevista a realização de 181 jogos, qual o número x de equipes participantes? 2 a situação: Um parque possui 136 m² para construir a piscina retangular ABCD representada na figura. A piscina terá uma parte retangular mais funda, com 9 m de comprimento, e outra parte quadrada mais rasa. Quais são as dimensões da piscina? ATIVIDADE 2 Reorganize as equações de modo que todos os termos estejam no 1º membro, ou seja, iguais a zero. Situação 1 A B 9 x C x D ATIVIDADE 1 Escreva uma equação que represente a solução de cada situação. 59

8 Situação 2 O 1o membro dessas equações é formado de polinômios resultantes de alguns produtos notáveis que, consequentemente, podem ser fatorados. Quais são eles? Você pode notar que o maior expoente de x é o 2; por isso, essas equações são chamadas de equações de 2o grau. Para continuar ATIVIDADE 3 Reescreva as equações das situações 1 e 2 de modo que as potências de x estejam em ordem decrescente. Situação 1 Situação 2 Generalizando Geralmente, as equações do 2o grau são representadas pela forma normal ou reduzida: ax 2 + bx + c = 0 As letras a, b e c da forma reduzida são os coeficientes dos termos da equação e representam qualquer número real, com exceção do coeficiente a, pois a deve ser diferente de zero (a 0). Por que a deve ser diferente de zero (a 0)? Porque, se a for igual a zero, a equação deixa de ser do 2o grau. Veja: 2 0 x + 12x + 3 = 0 a = x = x + 3 = 0 (O termo x² desapareceu.) 12x + 3 = 0 (O maior expoente de x é 1, portanto a equação é do 1º grau.) Na equação x 2 + 5x 1 = 0, temos a = 1, b = 5 e c = 1. Na equação 3x 2 6x + 2 =0, temos a = 3, b = 6 e c = 2. Resolvendo outras situações 3 a situação: Uma caixa foi montada a partir de um quadrado de papelão de onde foram retirados quadrados de 3 cm de lado, um de cada canto, como mostra a figura. 60

9 Desse modo, o papelão ficou com 45 cm² de área. Qual a medida inicial do lado da caixa de papelão? Situação x 3 3 x a situação: As áreas do quadrado e do retângulo são iguais. Qual a medida do lado do quadrado? x 8 ATIVIDADE 2 Reorganize as equações de modo que todos os termos estejam no 1º membro da equação; escreva-as na forma reduzida. Situação 3 x 5x ATIVIDADE 1 Escreva uma equação para cada situação. Situação 3 Situação 4 61

10 ATIVIDADE 3 Você observou, ao escrever as equações na forma reduzida, que alguns termos estão faltando. Qual o termo que falta em cada situação? Situação 3 Situação 4 Para finalizar A tradução de uma situação-problema para a linguagem matemática é uma prática muito antiga (mais de 4000 a.c.) e é fundamental para sua resolução. A resolução de problemas é uma prática diária para o ser humano. E é com esses estudos matemáticos, que você aprende e desenvolve na escola, que os problemas da vida real tornam-se mais fáceis de resolver. Hoje EU SIM MAS TENHO ALGUMAS DÚVIDAS NÃO Fiz todas as atividades. Para continuar Generalizando As equações de 2 o grau, na forma reduzida, que têm todos os coeficientes diferentes de zero são chamadas de equações completas: ax 2 + bx + c = 0. Contudo, se na equação os coeficientes b ou c, ou os dois, forem iguais a zero, a equação é chamada de equação incompleta: ax 2 + bx = 0 ou ax 2 + c = 0. Exemplos: Equações completas x 2 5x + 12 =0 5x 2 7x +9 =0 Equações incompletas x 2 5x =0 x =0 x 2 =0 5x 2 7x =0 Li o texto teórico. Compreendi o que li. O que eu mais gostei de aprender hoje 62

11 Para casa TAREFA A Reescreva as equações da coluna A na forma reduzida e relacione- -as as equações da coluna A com o grau da coluna B. A y (y + 2) = 0 B 1º grau (4 3x) 2 = 64 2º grau (2z 4) 2 = 4z 2 2z 3º grau t 4 5t = 0 (2x 4) 2 = 2x 2 (x 2) º grau TAREFA B Observe os coeficientes de cada equação do 2 o grau e complete a tabela. Equação a b c 3x 2 + 4x 5 = 0 7z 2 + 3z + 3 = y 2 + y 3 = t 2 3t + 8 = TAREFA C Classifique as equações do 2º grau em completas ou incompletas. Equação x 2 9x + 20 = 0 Completa/ Incompleta 16x = 0 2y 2 + 3y 31 = 0 4x 2 + 2x = 0 9m 2 + 6m + 1 = 0 x = 0 63

12 Matemática Álgebra Capítulo 26 Equações do 2 o grau: valor numérico Para começar Para continuar Calcular o valor numérico de uma expressão do 2o grau. ATIVIDADE Paulo é dono de uma fábrica de móveis. Para calcular o preço V de venda de cada móvel que fabrica, ele usa a seguinte fórmula: V = 1,5 C + R$ 10,00, sendo C o preço de custo desse móvel. Considere que o preço de custo de um móvel que Paulo fabrica é R$ 100,00. Então, ele vende esse móvel por: a) R$ 110,00 c) R$ 160,00 b) R$ 150,00 d) R$ 210,00 Valor numérico da expressão do 2 o grau Resolver uma equação significa determinar o valor da incógnita, o conjunto solução dessa equação ou, ainda, a raiz da equação. Um número é raiz ou solução de uma equação do 2o grau com uma incógnita se esse número, quando substituído pela incógnita, transformar a equação numa sentença verdadeira. Uma equação de 2o grau pode ter até duas raízes. Por quê? Como o maior expoente de uma equação do 2o grau é 2 (x 2 ), vamos pensar em um número que, elevado ao quadrado, dê 16, por exemplo: x 2 = 16 Logo, pensamos no número 4, porque 4 2 = 16. Entretanto, não podemos nos esquecer de que ( 4) 2 também é igual a 16. Então, os números 4 e 4 são os números que satisfazem a nossa condição inicial. Pense um pouco mais sobre isso! Encontrando as raízes de uma equação do 2 o grau Considere a equação x 2 28x = 0. Vamos verificar se os números 8 e 10 são soluções ou raízes dessa igualdade. PARTE 1 Comecemos pelo número 8. Substitua a incógnita x por = 0 Resolva a potência e a multiplicação indicadas = 0 64

13 Efetue a adição e a subtração. = 0 Você classifica a sentença acima como verdadeira ou falsa? Se as operações do 1º membro resultaram em zero (0 = 0), a sentença é verdadeira. Se o resultado for diferente de zero, a sentença é falsa. PARTE 2 Realize as mesmas atividades anteriores substituindo x pelo número 10. ATIVIDADE 1 Se o valor de x for igual a 5, a área da figura será 200 cm²? x x x x x x x 3x Isso significa que o número é raiz da equação x 2 28x = 0. ATIVIDADE 2 Juca desafiou seu colega dizendo que ele não descobriria em que número ele estava pensando. Se elevar ao quadrado o número pensado, somar ao resultado o quádruplo do mesmo número e subtrair cinco, teremos zero como resultado. Será que Juca pensou no número 5 ou 5? 65

14 Para finalizar O cálculo do valor numérico é uma forma de realizar a prova real para verificar se um número é ou não solução de um problema e pode ser feito mentalmente. Fazemos esses tipos de cálculos sem que percebamos; por exemplo, ao calcular o troco de um compra, ao estimar a altura de algo ou de alguém em relação à nossa altura. Então, abuse desses cálculos. Hoje EU SIM MAS TENHO ALGUMAS DÚVIDAS NÃO Fiz todas as atividades. Li o texto teórico. Compreendi o que li. O que eu mais gostei de aprender hoje 66

15 Para casa TAREFA A Verifique se os números 4 e 3 são soluções da equação x 2 + 7x + 12 = 0. TAREFA B A figura é um quadrado. A área do quadrado é dada pela expressão A = a 2 + 2ab + b 2. b a I b II a III IV Nessa expressão, a área correspondente ao termo 2ab é dada pela: a) área do quadrado. b) soma das áreas dos quadrados II e III. c) soma das áreas dos retângulos I e IV. d) soma das áreas do retângulo IV e do quadrado III. 67

16 Matemática Álgebra Capítulo 27 Ainda equações do 2 o grau Para começar Resolver uma equação incompleta do 2º grau. ATIVIDADE Qual das figuras abaixo em relação à área hachurada representa a expressão algébrica (m + 2) 2? a) 2 c) 2 m m m 2 m 2 b) 2 d) 2 m m m 2 m 2 Para continuar Fator comum em evidência Muitas situações envolvem equações do 2 o grau e podemos encontrar as soluções usando casos simples de fatoração. Fatorar uma expressão significa reescrevê-la utilizando um produto de fatores que a represente. O número 15, por exemplo, pode ser escrito como 3 5. Utilizaremos esse caso quando o coeficiente c da equação for igual a zero (ax 2 + bx = = 0 c = 0). Colocar um fator comum em evidência significa fatorar cada termo da equação e encontrar um ou mais fatores que sejam comuns a todos os termos da equação. Vamos descobrir! Vamos encontrar a solução da equação: 3x 2 + 9x = 0. PARTE 1 Transforme cada termo do 1 o membro da equação num produto 3x 2 + 9x = 0 de fatores. 3x 2 + 9x = = 0 68

17 PARTE 2 Circule os termos comuns e vamos escrevê-los separadamente, em evidência, fora dos parênteses; os termos que não foram circulados não são comuns e ficam dentro dos parênteses. ( + ) = 0 PARTE 3 Agora vamos encontrar os valores de x. Primeiramente, torne o termo que está fora dos parênteses igual a zero e resolva a sentença. todos os termos em forma de potência e depois escrevê-los na forma de um produto de expressões, uma soma e uma diferença. Vejamos: Vamos resolver a equação x 2 64 = 0. PARTE 1 Você se lembra de quando estudou fatoração: quando há diferença de dois quadrados, podemos transformá-la em produto da soma pela diferença. Para isso, basta extrair a raiz quadrada dos dois termos: x 2 64 = 0 = 0 x = PARTE 4 Agora torne a expressão de dentro dos parênteses igual a zero e resolva. PARTE 2 Com esses dois termos, basta escrever um produto de uma soma entre eles e de uma diferença entre eles: + = 0 x = PARTE 5 Você encontrou dois valores para x. Na primeira igualdade, x =. Na segunda igualdade, x =. Portanto, as raízes da equação 3x 2 + 9x = 0 são e. Para continuar Diferença de quadrados Utilizaremos esse caso quando o coeficiente b da equação for igual a zero e o coeficiente c for negativo (ax 2 c = 0 b = 0). Fatorar pela diferença de quadrados significa reescrever uma expressão colocando ( + ) ( ) = 0 PARTE 3 Nós já vimos que, quando um produto é igual a zero, significa que um ou os dois fatores são iguais a zero. a) Dessa forma, igualando a zero o primeiro fator, temos: Portanto: x = + = 0 b) Igualando a zero o segundo fator, temos: Portanto: x = = 0 PARTE 4 Você encontrou os números e. Eles são as raízes da equação x 2 64 = 0. 69

18 Para continuar Resolvendo uma equação através da operação inversa A equação que acabamos de resolver por fatoração pode ser resolvida de outra forma: Vamos resolver a equação x 2 64 = 0 de outra maneira. Passo 1 Passe o termo c para o 2o membro. x 2 64 = 0 x 2 = Passo 2 A operação inversa da potenciação é a radiciação. Então podemos extrair a raiz dos dois membros. Dessa forma, temos: x 2 = 64 x = ± 64 x = ± Passo 3 Os dois valores que servem como resultado da raiz encontrada acima são: x = + e x = Você encontrou os números e. Eles são as raízes da equação x 2 64 = 0. Para continuar Encontrando a generalização Ao resolver equações incompletas do 2 o grau, vamos encontrar duas situações diferentes: I. ax 2 ± bx = 0 c = 0 Fatora-se o 1 o membro da equação colocando-se os fatores comuns em evidência: x (ax ± b) = 0. Iguala-se cada fator a zero e resolve-se cada nova equação, agora do 1º grau. b x = 0 ou ax ± b = 0 x = ± a Nas equações incompletas em que c = 0, teremos sempre uma das raízes da equação igual a zero. Exemplo: 4x 2 + 8x =0 0 4x 2 + 8x = 0 4x = 0 x = 4 x = 0 4x (x + 2) = 0 x + 2 = 0 x = 2 R.: Os números 0 e 2 são raízes da equação. II. ax 2 c = 0 b = 0 A maneira mais simples é resolver a equação através das operações inversas. Coloca-se o termo c no 2º membro usando-se a operação inversa (adição ou subtração). ax 2 = c O coeficiente a dividirá o 2o membro. c x 2 = a Extraímos a raiz quadrada do 1o e do 2o membros. c x = a Exemplo: 9x 2 36 = 0 9x 2 = 36 x 2 36 = 9 x 2 = 4 x = 4 x = ± 2 Resposta: Os números + 2 e 2 são raízes da equação. Na equação ax 2 + c = 0, quando c é um número positivo, não existe solução ou raiz da equação. Dizemos, então, que a solução é um conjunto vazio, pois não existe raiz quadrada de número negativo. Veja o exemplo: x = 0 x 2 = 64 x = 64 70

19 ATIVIDADE 1 Existem dois valores de x que satisfazem a equação 2x 2 8x = 0. Quais são esses valores? Hoje EU SIM MAS TENHO ALGUMAS DÚVIDAS NÃO ATIVIDADE 2 Determine os valores de t para que a expressão algébrica (2t + 1) 2 2 (2t + 1) seja igual a 8. Fiz todas as atividades. Li o texto teórico. Compreendi o que eu li. O que eu mais gostei de aprender hoje ATIVIDADE 3 A expressão x 2 a 2 é equivalente a: a) 2ax b) (x a) 2 c) (x + a) 2 d) (x a) (x + a) Para casa TAREFA Observe o quadrado. Escreva uma equação e determine o valor de x. x 2 x 6 Para finalizar As equações incompletas do 2º grau são facilmente resolvidas com cálculo mental, porém a grande maioria dos problemas pede uma justificativa, e nada melhor que uma equação para justificar a resolução mental de uma situação-problema. 71

20 Matemática Álgebra Capítulo 28 Tabelas e gráficos Para começar Resolver problemas que envolvam gráficos e tabelas. ATIVIDADE O gráfico mostra a contagem da população do Brasil obtida pelos censos e estimativas realizados pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Evolução da população Brasil População (em milhões de habitantes) ,7 51,9 70,1 93,1 119,0 146,8 157,1 184, IBGE Analisando esse gráfico, pode-se afirmar que o primeiro ano em que se verificou que a população brasileira ultrapassou a marca de 100 milhões de habitantes foi o de: a) b) c) d)

21 Para continuar Gráficos e tabelas Você vem estudando Estatística ao longo do Ensino Fundamental. Já sabe da importância de se analisar adequadamente um gráfico ou uma tabela. Por isso, hoje, você irá resolver diversas atividades que envolvem gráficos e tabelas. Bom trabalho. ATIVIDADE 1 Foi perguntado a um total de 100 pessoas em uma cidade se frequentavam cinema e se frequentavam teatro. A tabela abaixo resume o resultado desta pesquisa. Cinema Sim Não Teatro Sim 52 8 Não 36 4 Se os dados dessa pesquisa forem transportados para o gráfico a seguir, a coluna pintada de laranja deve representar o número de pessoas que: 73

22 Número de pessoas Legenda: Pessoas que... Pessoas que... Pessoas que... Pessoas que... a) frequentam teatro e não frequentam cinema. b) frequentam cinema e não frequentam teatro. c) frequentam cinema e teatro. d) não frequentam nem cinema nem teatro. ATIVIDADE 2 O aquecimento global traz graves consequências ecológicas. O aumento da temperatura dos oceanos, por exemplo, coloca em risco a flora e a fauna marinhas. O gráfico abaixo mostra como vem aumentando a temperatura dos oceanos desde 1860 e a projeção para os próximos anos. Considerando que a temperatura crítica para a sobrevivência dos corais é de 29 o C, podemos afirmar que, segundo essa projeção, essa temperatura será atingida: 30 Temperatura (Celsius) a) entre os anos de 1950 e b) entre os anos de 2000 e c) entre os anos de 2050 e d) após o ano de

23 ATIVIDADE 3 Após medir a altura de cada um dos 27 alunos de uma turma, o professor resumiu os resultados obtidos em 5 classes, cujas frequências estão na tabela a seguir. Altura (em metros) Frequência 1,52 a 1,55 7 1,56 a 1,59 9 1,60 a 1,63 5 1,64 a 1,67 4 1,68 a 1,72 2 É correto afirmar que: a) 7 alunos têm altura entre 1,60 m e 1,63 m. b) 16 alunos têm altura menor que 1,60 m. c) 4 alunos têm altura entre 1,60 m e 1,63 m. d) 5 alunos têm altura entre 1,68 m e 1,72 m. ATIVIDADE 4 O gráfico abaixo mostra como variou a temperatura em uma cidade durante certo dia. 30 TEMPERATURA (ºC) Pode-se afirmar que: a) a temperatura máxima foi atingida ao meio-dia. b) a temperatura mínima ocorreu por volta das 4 horas da manhã. c) no período entre 0 e 12 horas, a temperatura foi crescente. d) no período entre 12 e 24 horas, a temperatura foi decrescente. 75

24 ATIVIDADE 5 As médias de taxa de desemprego na Grande São Paulo no período são apresentadas no gráfico abaixo. Com relação ao período apresentado no gráfico, podemos dizer que: 16 Desemprego (%) Fonte SEP: convênio Seade-Dieese a) a taxa de desemprego diminuiu no período b) a menor taxa de desemprego foi em c) a taxa de desemprego aumentou no período d) a maior taxa de desemprego foi em ATIVIDADE 6 A figura abaixo apresenta o desempenho das vendas obtidas pela Companhia Delta entre os anos de 1995 e ,00 Movimento anual de vendas da Companhia Delta

25 Com base nessas informações, qual o percentual (aproximado) a mais nas vendas obtido pela Companhia Delta em 2001, em relação a 1995? a) 43% b) 60% c) 75% d) 100% ATIVIDADE 7 Para mostrar como se distribui a preferência dos alunos de uma escola por estilo de música (rock, MPB, funk ou pagode), foi preparado o gráfico abaixo, cuja legenda foi omitida. Se os alunos que preferem MPB correspondem a aproximadamente 25% do total, a região correspondente no gráfico é: a) b) c) d) 77

26 Matemática Álgebra Capítulos 29/ 30 A fórmula de Bháskara Para começar Conhecer e aplicar a fórmula de Bháskara. ATIVIDADE Para achar as raízes da equação x 2 7x + 12 = 0, Ana desenhou todas as possibilidades pensando na área do retângulo indicada pelo 3º termo (12). Ela pensou em retângulos com as seguintes dimensões: Possibilidades Dimensões do retângulo de área 12 Representação Verificação: área de I + área de II = 7x 1 1 e 12 x x II 1 I 12 área I = área II = área I + área II = 2 2 e 6 x x 6 I área I = área II = II 2 área I + área II = 3 3 e 4 x x 3 I área I = área II = II 4 área I + área II = a) Em quais das possibilidades a área de I + área de II = 7x? 78

27 b) Quais as raízes da equação? Para continuar Resolvendo uma equação de 2 o grau Como você pôde observar na atividade inicial, é muito extensa a resolução de uma equação de 2 o grau na forma geométrica. Vamos estudar outra forma que simplifica a resolução, a qual foi desenvolvida há muitos anos. Um pouco de história Não é de hoje que os problemas que envolvem equação de 2º grau são resolvidos. Essa constatação é provada por um registro feito por antigos babilônios há aproximadamente anos. A forma como se resolvia a equação não era a mesma que a atual. Um dos motivos para isso era que, naquele período, não existia o conceito de número negativo. Muitos séculos depois, um sábio muçulmano, Al-Kowarizmi, que você já conhece (lembra da história dos algarismos indo-arábicos?), propôs em uma de suas obras um método para resolver as equações de 2º grau. Séculos mais tarde, um matemático hindu, Bháskara Akaria, também buscou possíveis soluções para resolver essas equações. Mas a fórmula tal qual a conhecemos não foi desenvolvida por ele, e sim por matemáticos franceses, como Viète e Descartes. Mas, para nós, a fórmula que resolve uma equação, do 2 o grau ficou conhecida como Fórmula de Bháskara. A fórmula de Bháskara Vamos demonstrar a fórmula de Bháskara. Talvez você ache um pouco complicada a demonstração, mas ela só utiliza conceitos que você já aprendeu. E o mais interessante é que você pode, assim, perceber como os matemáticos citados anteriormente chegaram à fórmula final. Consideremos a equação ax 2 + bx + c = 0, em que a 0. 1º passo: Dividimos por a os dois membros da equação para tornar o coeficiente de x 2 igual a 1. 2 ax bx c = a a a a 2º passo: Obtemos, então: x 2 b a x c + + = 0 a 3º passo: Passemos o termo independente para o 2º membro da equação. b x 2 a x c + = a 4º passo: Devemos completar o primeiro membro com um número, para que seja um trinômio quadrado perfeito: Veja outro exemplo para que você possa entender o número procurado. Para verificar se um trinômio é quadrado perfeito, devemos extrair a raiz quadrada do 1º termo e do 3º termo. O 2º termo deverá ser igual a 2 vezes os resultados das raízes. x 2 + 6x + 9 x 2 9 x 3 2 x 3 = 6x Dessa forma, o trinômio será: ( x + 3 ) 2. 79

28 Para que o 1º membro da equação se torne um trinômio quadrado perfeito, deve- b mos adicionar o termo 2a. Para não alterar a igualdade, somaremos esse mesmo número ao 2º membro. Portanto: x 2 bx b c b + + a 2a = + a 2a O trinômio quadrado perfeito do 1º membro será: x b b a = a b b x + a = 2 2 4a c a c a Calculando o mmc do 2º membro: x b b a = 2 4ac 4a Extraindo a raiz quadrada dos dois termos, temos: b x + = ± 2a b x + = ± 2a Subtraindo b 2a b x = ± 2a x b b ac 4a 2 4ac 2a de ambos os membros: b 2 2 4ac 2a = b ± b 4ac 2a Essa é a fórmula de Bháskara. Generalizando Você percorreu o caminho dos matemáticos para deduzir a fórmula de Bháskara, que pode ser aplicada na resolução de qualquer equação do 2º grau, e encontrou a fórmula: b b ac x = ± 4 2a Essa fórmula pode ser dividida em duas menores, chamando-se a expressão b 2 4ac de discriminante da equação, o (lê-se delta). Assim, teremos: b x = ±, em que = b 2a 2 4ac Vamos utilizar a fórmula dessa maneira (dividida), para facilitar nossos estudos. Resolvendo uma equação completa de 2º grau Vamos trabalhar com a equação da atividade inicial: x 2 7x + 12 = 0 Passo 1 Identificando os coeficientes da equação Como você sabe, a equação do 2º grau é do tipo: 2 ax 2 + bx + c = 0 Dessa forma, na nossa equação, temos: a = 1 b = 7 c = 12 Passo 2 Calculando o discriminante da equação = b 2 4ac = ( 7) = = 1 Passo 3 Usando a fórmula de Bháskara b x = ± 2a 80

29 Substituindo os valores de b, a e : x = ( 7) ± ATIVIDADE 2 A área do quadrado a seguir é 49 cm 2. Assinale a alternativa que mostra corretamente o valor de x, em cm. Extraindo a raiz quadrada de 1, temos: x = 7 ± 1 2 Passo 4 Calculando as raízes da equação Dessa fórmula, temos dois valores para x: x 1 = = = a) 5 b) 6 c) 9 d) 11 x + 2 x x = = = Passo 5 Escrevendo o conjunto solução ou verdade V = {3, 4} ATIVIDADE 1 Quais são as raízes da equação x 2 5x + 6 = 0? a) 2 e 4. b) 2 e 3. c) 2,5 e 3,5. d) 3 e 4. ATIVIDADE 3 Um quadrado cuja medida do lado é (x + k) tem área dada por x 2 + 8x x + k x + k Pode-se concluir que o valor de k é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 81

30 ATIVIDADE 4 O conjunto solução da equação 2x 2 + 9x 5 = 0 é: a) 2 e 5. b) 2 e 5. 1 c) 2 e 5. d) 1 2 e 5. ATIVIDADE 6 Em uma sala retangular, deve-se colocar um tapete de medidas 2 m 3 m, de modo que se mantenha a distância em relação às paredes, como indicado no desenho a seguir: Sabendo que a área dessa sala é 12 m², o valor de x será: x 2 3 x x x a) 0,5 m b) 0,75 m c) 0,80 m d) 0,05 m ATIVIDADE 5 Dada a equação 5x 2 6x 1 = 0,sendo x 1 e x 2 suas raízes, calcule o valor da expressão x x 1 2 Para finalizar A fórmula de Bháskara, chamada assim apenas no Brasil, pode ser utilizada para auxiliar o cálculo das raízes de uma equação de 2º grau, seja ela completa ou incompleta. Mesmo sendo aparentemente longa, é muito útil. 82

31 Hoje EU Fiz todas as atividades. Li o texto teórico. SIM MAS TENHO ALGUMAS DÚVIDAS NÃO Para casa TAREFA A maior raiz da equação 2x 2 + 3x + 5 = 0 vale: a) 1 b) 2 c) 1 d) 2,5 Compreendi o que li. O que eu mais gostei de aprender hoje 83

32 Matemática Álgebra Capítulo 31 O discriminante da equação Para começar Para continuar Analisar o discriminante de uma equação. ATIVIDADE Qual dos discriminantes abaixo é negativo? a) x 2 3x + 1 = 0 b) x 2 3x + 2 = 0 O discriminante e o número de raízes Há uma relação entre o valor do discriminante e a quantidade de raízes da equação. Quando é um número positivo, a equação possui duas raízes. Se > 0, x 1 e x 2 são números reais diferentes (x 1 x 2 ). Quando é igual a zero, a equação possui duas raízes iguais. Se = 0, x 1 e x 2 são números reais iguais (x 1 = x 2 ). Quando é um número negativo, a equação não possui raízes. Se < 0, não existem raízes reais. Então, é possível saber quantas raízes tem a equação calculando apenas o valor de. ATIVIDADE Por meio do cálculo do discriminante, fale o que se conclui sobre as raízes das equações abaixo a) x 2 10x +25 = 0 c) x 2 3x + 6 = 0 84

33 b) x 2 5x 14 = 0 ATIVIDADE 1 Sabe-se que a equação 3y y 2m = 0 tem duas raízes reais diferentes. a) A situação indica que a equação tem duas raízes reais diferentes. Então é maior, menor ou igual a zero? c) x 2 + 2x + 3 = 0 b) Interprete o resultado, ou seja, quais os valores de m que satisfazem à condição? Para continuar Generalizando Para encontrar o valor do coeficiente de uma equação de 2º grau, dada uma condição, usamos o cálculo de para encontrar esse valor. Veja o exemplo em que vamos encontrar o valor de k na equação x 2 + 6x k = 0 para que essa equação tenha duas raízes reais diferentes. Para que isso ocorra, é necessário que > 0. b 2 4 a c > ( k) > k > 0 4 k > 36 k > 9 Interpretando o resultado: Para que a equação tenha duas raízes reais diferentes, k deve ser maior que 9. ATIVIDADE 2 Sabe-se que a equação (s 5) x 2 x + 8 = 0 tem duas raízes reais iguais. a) A situação indica que a equação tem duas raízes reais iguais. Então é maior, menor ou igual a zero? b) Interprete o resultado, ou seja, quais os valores de s que satisfazem à condição? 85

34 Para finalizar O discriminante tem grande importância no raciocínio envolvendo as equações de 2º grau. Por esse motivo, muitos matemáticos usam a fórmula de Bhaskara separando o discriminante, e não da forma como foi escrita inicialmente. Para casa TAREFA Determine o valor de p para que a equação 4x 2 4x + 2p 1 = 0 tenha duas raízes reais diferentes. Hoje EU SIM MAS TENHO ALGUMAS DÚVIDAS NÃO Fiz todas as atividades. Li o texto teórico. Compreendi o que eu li. O que mais gostei de aprender hoje 86

35 Matemática Álgebra Capítulo 32 Possibilidades Para começar Para continuar Construir um espaço amostral. ATIVIDADE Em uma caixa havia quatro bolas numeradas de 1 a 4. Mônica retirou duas bolas, uma de cada vez, dessa caixa a) Quantas possibilidades de retirar duas bolas ela possui? As possibilidades Para saber quantas eram as possibilidades de Monica retirar duas bolas, vamos utilizar um recurso que é chamado de árvore das possibilidades. Você já o utilizou em anos anteriores, mas agora vamos revê-lo para dar a ele um novo enfoque. Na árvore são colocadas todas as possibilidades de Mônica retirar duas bolas da caixa. Se Monica retirasse a bola 1, ela teria as outras três bolas para retirar b) Quantas são as possibilidades de retirar duas bolas cuja soma seja 5? Podemos verificar que há 12 possibilidades de Mônica retirar duas bolas da caixa. 87

36 ATIVIDADE 1 Por meio da árvore das possibilidades, determine as possibilidades de se escolher uma bola de sorvete, uma cobertura e um tipo de casquinha na sorveteria: Sabores de sorvete Morango chocolate creme Cobertura chocolate caramelo casquinha cone copinho ATIVIDADE 2 Analisando a atividade anterior, você poderia resolver de outra forma, sem fazer a árvore das possibilidades? Para continuar As possibilidades de ocorrer Na atividade inicial, a seguinte pergunta foi feita: Quantas são as possibilidades de retirar duas bolas cuja soma seja 5? Vamos analisar a árvore de possibilidades que já foi feita: Analisando este ramo da árvore, é possível perceber que a soma 5 será obtida se as bolas forem 1 e 4. Portanto, há uma possibilidade

37 No outro ramo, teremos, também uma possibilidade, com 2 e 3. Nos outros ramos, também isso ocorre: há uma possibilidade em cada um Portanto, há 4 possibilidades de haver soma 5 na retirada de duas dessas bolas. ATIVIDADE 1 Verifique quantas são as possibilidades de se formar um sorvete de morango com calda de chocolate em um copinho. Para continuar Probabilidade de ocorrer Você viu, no exemplo das bolas, que há 12 possibilidades de se retirarem duas bolinhas da caixa. Também você teve oportunidade de verificar que há 4 possibilidades de se retirarem duas bolinhas que somam 5. Falta apenas responder à seguinte questão: Quantas chances, ou qual é a probabilidade de se retirarem duas bolinhas da caixa que somem 5? 89

38 Para realizar esse cálculo, devemos pensar que há 4 possibilidades em 12. Isto é, nas 12 possíveis retiradas de duas bolas, há apenas 4 que somam 5. Probabilidade = númerode possibilidades de se retirarem2bolinhas que somem5 número de possibilidades de se retirarem2bolinhas dacaixa Dessa forma, teremos: Probabilidade = 4 12 = 1 3 É possível dar esse resultado na forma de porcentagem: basta dividir 1 por 3, obtendo, aproximadamente, o valor de: Probabilidade = 4 12 = % ATIVIDADE 1 Teresa jogou três vezes seguidas uma moeda para o alto e, quando esta caiu, a menina observou se a face da moeda que havia ficado para cima era cara ou coroa. a) Complete a árvore das possibilidades, registrando as diferentes possibilidades de cair cara ou coroa nos três lançamentos. Veja uma das possibilidades já registradas: 1º Lançamento cara 2º Lançamento cara 3º Lançamento cara Resultado cara cara cara 90

39 b) Quantas possibilidades havia para cada lançamento? ATIVIDADE 2 Uma caixa contém cinco bolas numeradas de 1 a 5. Dela são retiradas ao acaso duas bolas. Qual a probabilidade de que o maior número assim escolhido seja o 4? a) 1 10 b) 1 5 c) 3 10 d) 2 5 e) 1 2 c) Quantos resultados foram obtidos? d) Em quantos resultados obtivemos cara apenas duas vezes? ATIVIDADE 3 Brasil e Argentina participam de um campeonato internacional de futebol no qual competem oito seleções. Na primeira rodada serão realizadas quatro partidas, nas quais os adversários são escolhidos por sorteio. Qual é a probabilidade de Brasil e Argentina se enfrentarem na primeira rodada? a) 1 8 b) 1 7 c) 1 6 d) 1 5 e) 1 4 e) Qual a razão entre o número de vezes em que o lado cara saiu duas vezes e o total dos resultados? 91

40 ATIVIDADE 4 Num saco, há 5 bolas pretas e 2 brancas, todas iguais. A probabilidade de uma pessoa tirar uma bola branca do saco, de olhos fechados, é de: a) 1 2 b) 1 7 c) 2 5 d) 2 7 ATIVIDADE 5 Em uma rifa, os bilhetes são numerados de 1 a 100 e apenas um número será sorteado. Pedro comprou todos os números que são múltiplos de 7. A probabilidade de Pedro ganhar o prêmio é de: a) 12% b) 14% c) 18% d) 20% Para continuar Aprofundando alguns conceitos Para determinar a probabilidade de um evento acontecer, devemos calcular a razão entre o número de resultados (possibilidades) favoráveis e o número total de resultados (possibilidades) possíveis. númeroderesultados (possibilidades)favoráveis Probabilidade = número total de resultados (possibilidades) possíveis No exemplo das bolinhas da caixa, o total de possibilidades de se retirarem duas bolinhas é chamado de número total de resultados possíveis. Já o número de possibilidades de se retirarem 2 bolinhas que somem 5 é o número de resultados favoráveis. O conjunto de todos os resultados possíveis é chamado de espaço amostral. Vamos compreender melhor esses conceitos por meio de um exemplo: Lourdes jogou um dado comum. Qual é a probabilidade de ela obter um número ímpar? Você sabe que um dado possui as seis faces: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Dessa forma, temos: 92

41 Número total de resultados possíveis 6 Número de resultados favoráveis para que ela possa obter um número ímpar três (faces 1, 3 e 5) Espaço amostral 1, 2, 3, 4, 5 e 6 Retorne às atividades anteriores de 1 a 5 e complete para cada uma delas o quadro a seguir: ATIVIDADE 1 Número total de resultados possíveis Número de resultados favoráveis para que se possa obter a mesma face da moeda nas 3 jogadas Espaço amostral ATIVIDADE 2 Número total de resultados possíveis Número de resultados favoráveis para que se possa retirar o 4 como maior número Espaço amostral ATIVIDADE 3 Número total de resultados possíveis Número de resultados favoráveis para que Brasil e Argentina se enfrentem na primeira rodada Espaço amostral ATIVIDADE 4 Número total de resultados possíveis Número de resultados favoráveis para que uma pessoa possa tirar uma bola branca do saco, de olhos fechados Espaço amostral ATIVIDADE 5 Número total de resultados possíveis Número de resultados favoráveis para que Pedro possa ganhar o prêmio Espaço amostral 93

42 ATIVIDADE 6 Paula ganhou uma caixa com 50 bombons de mesmo tamanho e forma, dos quais 10 são recheados com doce de leite, 25 com geleia de frutas e 15 com creme de nozes. Retirando-se, de olhos fechados, um bombom qualquer dessa caixa, a probabilidade de ele ser recheado com creme de nozes é: a) b) c) d) 5 50 ATIVIDADE 7 Após corrigir as provas de 30 alunos da mesma classe de 8ª série, a professora de Matemática anotou, em ordem crescente, as notas a eles atribuídas: 1,0 2,0 2,5 3,0 3,0 4,0 4,0 4,0 4,0 5,0 5,0 5,0 5,5 5,5 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,5 6,5 7,0 7,5 7,5 7,5 8,0 8,0 8,5 9,0 9,0 Se a professora sortear uma dessas 30 provas, a probabilidade de que a nota a ela atribuída seja maior do que 6,5 é: a) 3 30 b) 9 30 c) d)

43 Para casa TAREFA A Uma urna contém 8 cartões coloridos, sendo 2 brancos, 3 vermelhos, 1 verde e o restante azul. a) Se Paulo for retirar um cartão, qual cor terá mais possibilidade de sair? Justifique sua resposta. b) Ao se retirarem dois cartões dessa urna, qual é a possibilidade de eles terem a mesma cor? Preencha o quadro abaixo com os dados do problema para encontrar esse resultado. Número total de resultados possíveis Número de resultados favoráveis para que Paulo possa tirar dois cartões de mesma cor Espaço amostral 95

44 96

45 Matemática Álgebra Capítulo 33 Equação do 2 o grau Para começar Relacionar as raízes e os coeficientes da equação do 2º grau. ATIVIDADE No quadro a seguir, aparecem duas equações do 2º grau e suas respectivas raízes: Equação 1 Equação 2 x 2 5x + 6 = 0 x 2 + 7x + 10 = 0 raízes: 2 e 3 raízes: 2 e 5. a) Some as raízes da equação 1. Qual é o resultado? b) Multiplique as raízes da equação 1. Qual é o resultado? c) Compare os resultados obtidos e a equação 1. O que você verificou? d) Some as raízes da equação 2. Qual é o resultado? e) Multiplique as raízes da equação 2. Qual é o resultado? f) Compare os resultados obtidos com a equação 1. O que você verificou? Para continuar As raízes e os coeficientes Você pôde constatar que os coeficientes b e c de uma equação do 2 o grau estão relacionados com as raízes dessa equação. Mas será que isso sempre ocorre? Vamos demonstrar a partir da equação geral do 2 o grau. Acompanhe a demonstração: Vamos resolver a equação geral do 2º grau utilizando Bhaskara: ax 2 + bx + c = 0 b x = ± 2a Sabemos que as raízes dessa equação são: x x 1 2 = b + 2a = b 2a Parte 1 Somando essas duas raízes, temos: x 1 + x 2 = b + 2a x + b 2a b b 2b b + x = + = = 2a 2a a 1 2 Portanto, x 1 + x 2 = b a. Parte 2 Multiplicando essas duas raízes, temos: x 1 x 2 = b + b = 2a 2a 97

46 2 2 ( = b + )( b ) ( = b) ( ) = 2 2 4a 4a b) x 2 + x 2 = 0 = b 2 4a 2 = 2 2 b b + 4ac 4ac = = 2 2 4a 4a c a Portanto, x x c 1 2 = a. Dessa forma, é possível verificar que a soma e o produto das raízes estão relacionados com os coeficientes da equação. c) x 2 + 4x + 4 = 0 Exemplo: x 2 + 6x 16 = 0 A soma das raízes é igual a x 1 + x 2 = b a = 6. O produto das raízes é igual a x 1 x 2 = c a = 16. Raízes Produto 16 Soma 6 1 e 16 ou 16 e ou 16 ( 1) 2 e 8 2 ( 8) = = 6 2 e 8 2 e 8 4 e 4 4 e 4 ATIVIDADE 1 Sem resolver a equação, determine as raízes das seguintes equações: a) x 2 3x + 2 = 0 d) x 2 12x + 20= 0 ATIVIDADE 2 Quais são as raízes da equação x x +16 = 0? a) 2 e 8 c) 5 e 5 b) 2 e 8 d) 16 e 4 ATIVIDADE 3 Se Eduardo acertasse os números que são as respostas a um desafio, sua tia daria a ele, em reais, o maior valor entre as respostas do desafio. 98

47 Um número é elevado ao quadrado, e do resultado deve-se subtrair oito vezes o valor desse número para resultar 20. Qual é esse número? Eduardo acertou e recebeu de sua tia: a) 20 reais c) 10 reais b) 12 reais d) 8 reais Hoje EU Fiz todas as atividades. SIM MAS TENHO ALGUMAS DÚVIDAS NÃO Li o texto teórico. Compreendi o que li. O que eu mais gostei de aprender hoje ATIVIDADE 4 A equação de 2 o grau x 2 x 2 = 0 possui as raízes 1 e 2. Se dobrássemos o valor de cada uma das raízes, a equação seria: a) 2x 2 2x 4 = 0 b) x 2 2x 4 = 0 c) 2x 2 x 6 = 0 d) x 2 2x 8= 0 Para casa TAREFA Resolva a equação x 2 5x + 6 = 0 por Bhaskara e por soma e produto das raízes. Para finalizar Você viu que há outra maneira de se resolver uma equação de 2º grau. Escolha sempre aquela que você considerar mais simples. 99

48 Matemática Geometria Capítulos 14/ 15 Ampliação e redução de figuras planas Para começar Desenvolver experimentalmente a ampliação e a redução de figuras planas simples. ATIVIDADE Reproduza o desenho da figura 1, desenhada em uma malha quadrada de 1 cm x 1 cm, em cada uma das seguintes malhas: C B D A E Figura 1 Malha 1 C B D A E 100

49 Malha 2 C B D A E 101

50 Figura 1 C B D A E Malha 3 C B D A E 102

51 Malha 4 C B D A E Malha 5 C B D A E 103

52 Para continuar Analisando o que ocorre ATIVIDADE 1 Com a régua, meça os segmentos da figura 1 e os da transformação realizada na malha 1. Preencha a tabela. C b) Quais os segmentos que tiveram as medidas duplicadas? B D c) Quais os segmentos cujas medidas permaneceram inalteradas? A E Medida do segmento na figura 1 na malha 1 AB = AB = BC = BC = CD = CD = DE = DE = d) Existem segmentos que não tiveram as medidas duplicadas na reprodução da malha 1, porém não permaneceram constantes? Quais são esses segmentos? EA = EA = ATIVIDADE 2 Responda: a) O que aconteceu com a figura na malha 1 em relação à figura dada? A forma da casa se manteve? Por quê? e) Os ângulos retos foram alterados? 104

53 ATIVIDADE 3 Copie as medidas dos segmentos da figura 1 que você mediu na atividade 1 e, com a régua, meça os segmentos da transformação realizada na malha 2. Preencha a tabela. Medida do segmento na figura 1 na malha 2 AB = AB = BC = BC = CD = CD = DE = DE = EA = EA = ATIVIDADE 5 Copie as medidas dos segmentos da figura 1 que você mediu na atividade 1 e, com a régua, meça os segmentos da transformação realizada na malha 3. Preencha a tabela. Medida do segmento na figura 1 na malha 3 AB = AB = BC = BC = CD = CD = DE = DE = EA = EA = ATIVIDADE 4 Responda: a) A casa reproduzida na malha 2 está deformada em relação ao desenho da figura 1? Por quê? ATIVIDADE 6 Responda: a) O que aconteceu com a figura na malha 3 em relação à figura dada? A forma da casa se manteve? Por quê? b) As medidas dos segmentos foram alteradas? b) Quais os segmentos que tiveram as medidas duplicadas? c) Os ângulos retos foram alterados? c) Quais os segmentos cujas medidas permaneceram inalteradas? 105

54 d) Existem segmentos que não tiveram as medidas duplicadas na reprodução da malha 3, porém não permaneceram constantes? Quais são esses segmentos? c) Os ângulos retos foram alterados? e) Os ângulos retos foram alterados? ATIVIDADE 9 Copie as medidas dos segmentos da figura 1 que você mediu na atividade 1 e, com a régua, meça os segmentos da transformação realizada na malha 5. Preencha a tabela. Medida do segmento ATIVIDADE 7 Copie as medidas dos segmentos da figura 1 que você mediu na atividade 1 e, com a régua, meça os segmentos da transformação realizada na malha 4. Preencha a tabela. Medida do segmento na figura 1 na malha 4 AB = AB = BC = BC = CD = CD = DE = DE = EA = EA = na figura 1 na malha 5 AB = AB = BC = BC = CD = CD = DE = DE = EA = EA = ATIVIDADE 10 Responda: a) O que aconteceu com a figura na malha 5 em relação à figura dada? A forma da casa se manteve? Por quê? ATIVIDADE 8 Responda: a) O que aconteceu com a figura na malha 4 em relação à figura dada? A forma da casa se manteve? Por quê? b) Quais os segmentos que tiveram as medidas reduzidas à metade? b) Quais os segmentos que tiveram as medidas multiplicadas por 1,5? 106

55 c) Os ângulos retos foram alterados? ATIVIDADE 11 Compare as reproduções e diga quais delas são semelhantes à casa original. A réplica em miniatura de um carro. ANDREEADOBRESCU/DREAMSTIME.COM Para continuar Generalizando Você observou, nas atividades anteriores, que somente as reproduções das malhas 4 e 5 são semelhantes à figura 1. Isso significa que não houve deformação nestas transformações, pois os segmentos de reta mantiveram-se proporcionais e os ângulos internos, congruentes. Assim, vemos a ampliação e a redução das figuras planas e podemos observar essas figuras em vários exemplos do dia a dia. Observe as imagens a seguir. SEBASTIAN KAULITZKI/DREAMSTIME.COM MOKE/DREAMSTIME.COM A maquete da Torre Eiffell, em Paris. A imagem ampliada de uma célula. 107

56 ANDRESR/DREAMSTIME.COM as imagens e colocá-las no papel. Observe tudo aquilo que o cerca e veja se você reconhece objetos que são transformações de um outro objeto. Faça um exercício! Pegue uma folha de papel, faça um buraco do tamanho de uma moeda de 1 real, feche um dos olhos e olhe através desse buraco. Você vai notar que muitas coisas parecem caber nesse buraco, porém na realidade elas nunca caberiam. Interessante, não é? Isso é Física, é Ciência, é Matemática! Hoje EU SIM MAS TENHO ALGUMAS DÚVIDAS NÃO A fotografia de uma pessoa. Fiz todas as atividades. Li o texto teórico. Compreendi o que li. Para finalizar O que eu mais gostei de aprender hoje Ao observar uma imagem na tela da TV ou uma foto em um jornal, em uma revista ou em qualquer tipo de mídia, reconhecemos a figura, pois ela se mantém proporcional à figura que conhecemos originalmente, mesmo que esteja ampliada ou reduzida. E foi observando a natureza que o homem descobriu essa semelhança. Assim, em razão da curiosidade, o homem inventou o microscópio, capaz de ampliar milhões de vezes uma imagem, possibilitando estudar as menores partículas de nosso meio ambiente, e as câmeras fotográficas, que possibilitam reduzir 108

57 Para casa TAREFA O gato II da figura abaixo é uma ampliação do gato I, ambos desenhados em malha pontilhada. A distância entre dois pontos da malha II é uma vez e meia a distância entre os pontos da malha I. I II Se o contorno do gato I mede p cm, qual é a medida, em cm, do contorno do gato II? a) 6 p b) 3 p c) 2 p d) 1,5 p 109

58 Matemática Geometria Capítulo 16 Semelhança Para começar Desenvolver o conceito de semelhança. ATIVIDADE Dada a figura abaixo: reproduzir a figura dobrando-a de tamanho. Para continuar Definindo semelhança a partir de uma construção Você ampliou uma figura na atividade inicial. Se, na ampliação feita, a forma e os ângulos que se correspondem foram mantidos e se houve a proporcionalidade dos lados, 110

59 dizemos que a figura ampliada ou reduzida é semelhante à figura original. Como a figura ampliada está na mesma posição que a figura original, dizemos que essas figuras são homotéticas. Figuras homotéticas: figuras semelhantes com mesma disposição. Como verificamos quando duas figuras são semelhantes? Vamos estudar mais sobre semelhança construindo figuras semelhantes. Primeiro passo: Marcar um ponto O a certa distância da figura. distância ou, de forma mais rápida e mais precisa, coloque a ponta seca do compasso em O e abra o compasso até A. Não feche o compasso, pois, com essa mesma abertura, você deverá colocar a ponta seca do compasso em A e marcar na semirreta AO. Da mesma forma é feito com as outras semirretas. Agora é sua vez, faça o mesmo com os outros vértices. A A B B A B E C O E Segundo passo: Traçar as semirretas AO, OB, OC, OD, OE. Já traçamos as semirretas AO e OB; agora é você quem deve continuar. O E Terceiro passo: Você pode decidir em quantas vezes você quer ampliar ou reduzir. Vamos fazer a duplicação dessa figura, por uma questão de espaço. Meça a distância entre O e A e dobre o valor dessa A D D B C C O Quarto passo: Una os pontos A, B, C, D e E, que se tornarão os vértices da figura duplicada. As duas figuras (ambas um pentágono) são semelhantes, pois seus: lados correspondentes são proporcionais; neste caso, a razão de proporcionalidade é de 1 para 2; ângulos que se correspondem são congruentes. Identificando polígonos semelhantes Podemos identificar se dois polígonos são semelhantes medindo os lados correspondentes e os ângulos que se correspondem. Se os polígonos são semelhantes, a razão de proporcionalidade ou semelhança é constante, ou seja, é a mesma para todos os lados correspondentes. Os ângulos, que se correspondem, por sua vez, são congruentes. Veja o exemplo a seguir, em que esses polígonos são semelhantes. D 111

60 A 3 cm B 2 cm C 5 cm 135º 2 2 cm 45º D 1 cm A C 1,5 cm B 135º 45º 2,5 cm 2 cm D Lado AB BD CD AC Figura Figura 2 1, ,5 1 Razão 2/1 2/1 2/1 2/1 Ângulo A B D C Figura Figura Ângulos que se correspondem são congruentes. ATIVIDADE 1 Observe os losangos abaixo: 3 cm 120º 2 cm 150º 2 cm 60º 90º I II III IV Quais desses losangos são semelhantes entre si? a) I e II b) II e III c) II e IV d) I e III 112

61 ATIVIDADE 2 Analisando os polígonos abaixo, pode-se afirmar que: 1,5 cm A γ E 1,7 cm 3,5 cm α β D B θ 2,5 cm 2 cm γ C A γ 10,5 cm B θ 6 cm 4,5 cm α γ C E 5,1 cm β D 7,5 cm Lados homólogos: lados que se correspondem. a) são semelhantes, pois seus lados homólogos não são proporcionais. b) não são semelhantes, pois os polígonos não possuem lados ordenadamente proporcionais. c) são semelhantes, pois os lados que se correspondem são proporcionais. d) são semelhantes, pois os lados que se correspondem são proporcionais e os ângulos que se correspondem são iguais. ATIVIDADE 3 Dois terrenos retangulares são semelhantes e a razão de semelhança é 2. Se o terreno maior tem 50 m de frente e 150 m de comprimento, quais são as 5 dimensões do terreno menor? 50 m Rua 150 m a) 25 m e 75 m. c) 20 m e 60 m. b) 25 m e 30 m. d) 5 m e 15 m. x y 113

62 ATIVIDADE 4 A planta de uma casa foi feita na escala 1 : 50 (o que significa que cada 1 cm na planta corresponde a 50 cm no real). Sendo a cozinha de forma retangular, medindo na planta 9 cm e 10 cm, então as dimensões reais dessa cozinha são: a) 4 m e 5 m. b) 4,5 m e 5 m. c) 9 m e 10 m. d) 18 m e 20 m. ATIVIDADE 6 O galo maior da figura é uma ampliação perfeita do menor. Então: N M O R S a) ON OM = OS OR ATIVIDADE 5 Patrícia fez dois xales semelhantes, um para si e outro para a filha, como na figura abaixo. 180 cm 80 cm 90 cm Se o comprimento do xale da filha é a metade do comprimento do xale da mãe, a medida x vale, em cm: a) 20 c) 35 b) 25 d) 40 x b) ON OS = OR OS c) OM e ON são perpendiculares. d) OM e ON são paralelos. Para finalizar Apesar de estarem em posições diferentes, algumas figuras geométricas são semelhantes por apresentarem propriedades semelhantes. Nossos olhos nos enganam, por isso recorremos aos materiais de medição, como régua e compasso, e até a recortes para nos certificarmos da semelhança de figuras. 114

63 Hoje EU Fiz todas as atividades. Li o texto teórico. SIM MAS TENHO ALGUMAS DÚVIDAS NÃO Para casa TAREFA A A figura a seguir mostra duas pipas semelhantes, mas de tamanhos diferentes. Considerando as medidas conhecidas das duas pipas, o comprimento x mede, em cm: 30 cm x Compreendi o que li. 90 cm 75 cm O que eu mais gostei de aprender hoje a) 20 b) 25 c) 35 d) 40 TAREFA B Na grade quadriculada a seguir, há 3 figuras semelhantes entre si e apenas uma que não é semelhante a nenhuma outra. Indique qual é esta figura que não é semelhante às outras: II a) I. b) II. c) III. d) IV. I IV III 115