Redução de ruído em ambiente industrial

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1 Projecto, Seminário ou Trabalho Final de Curso Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 00/003 Redução de ruído em ambiente industrial Orientadores: Trabalho realizado por: Professor Pedro Guedes de Oliveira José Pedro Gomes Ferreira nº ee9856 Professor Vítor Grade Tavares Nuno Beleza Jerónimo nº ee9804

2 Índice INTRODUÇÃO E OBJECTIVOS... CONCEITO DE CONTROLO ADAPTATIVO INVERSO...3 ALGORITMO DE ADAPTAÇÃO LMS (MÉTODO DO GRADIENTE)...5 DETERMINAÇÃO ADAPTATIVA DA PLANTA...7 O GRADIENTE E A SOLUÇÃO DE WIENER...9 RESULTADOS PRÁTICOS E TEÓRICOS... DETERMINAÇÃO DA INVERSA DA PLANTA...4 CANCELAMENTO DA PERTURBAÇÃO DA PLANTA...8 ANÁLISE DA PERFORMANCE DO SISTEMA... DETERMINAÇÃO DA PLANTA AUSCULTADORES-MICROFONE...4 DETERMINAÇÃO DA PLANTA INVERSA AUSCULTADORES-MICROFONE...7 ELIMINAÇÃO DOS ZEROS FORA DO CÍRCULO UNITÁRIO...7 REFLEXÃO DOS ZEROS PARA DENTRO DO CÍRCULO UNITÁRIO...3 MÉTODO BACK PROPAGATION...36 FILTROS GAMMA...4 MÉTODO DE AUTO-CORRELAÇÃO YULE-WALKER...46 ESQUEMAS ALTERNATIVOS DE CANCELAMENTO DE PERTURBAÇÃO...50 O ALGORITMO FILTERED-E LMS...5 SIMULAÇÃO DO FILTERED-E LMS...5 O ALGORITMO FILTERED-X LMS...55 SISTEMA DE CANCELAMENTO DE RUÍDO BASEADO NO FILTERED-X LMS...63 IMPLEMENTAÇÃO DO SISTEMA DE CANCELAMENTO DE RUIDO EM DSP...68 ALGORITMO DE DETERMINAÇÃO DA PLANTA...69 ALGORITMO DE CANCELAMENTO DE RUÍDO...7 Resultados...73 CONCLUSÃO...77 BIBLIOGRAFIA...78

3 Introdução e Objectivos Este trabalho foca o problema de redução do ruído ambiente. Visto que a exposição prolongada a níveis excessivos de ruído ambiente pode provocar perda permanente de audição, problemas de segurança e diminuição da produtividade de trabalho, a redução do ruído é um objectivo importante. Existem dois tipos de ruído acústico no ambiente. Um é causado por turbulência e com carácter aleatório. O ruído de turbulência tem a sua energia distribuída igualmente através do espectro. É um ruído de banda larga sendo o som do jacto dos aviões e o ruído de uma explosão exemplos disso. Outro tipo de ruído, o ruído de banda estreita, concentra a maior parte da sua energia a numa gama de frequências específica. Este tipo de ruído é normalmente associado a máquinas rotativas, sendo periódico ou quase periódico. Existem duas aproximações para controlar o ruído ambiente: passivas ou activas. As técnicas tradicionais de redução de ruído usam técnicas passivas como os protectores auriculares que servem de barreira ao som. O som é abafado, devido à perda de energia causada pela propagação através do material absorvente (por exemplo almofadas em PVC), conhecidos como silenciadores resistivos. Estes tipos de silenciadores tem como vantagem actuar numa banda de frequência bastante larga, mas têm o inconveniente de ser ineficiente às baixas frequências. Num esforço para superar estes problemas, tem havido um crescimento de interesse no controlo activo de ruído. O sistema controlo activo de ruído contém um elemento electroacústico que cancela o som não desejado, gerando um anti-som de amplitude igual e fase oposta. O som original e o anti-som combinam-se acusticamente, resultando no cancelamento de ambos os sons. A figura mostra as formas de onda do ruído (som original), do correspondente ruído de cancelamento ( anti-som ) e o respectivo ruído residual como resultado do efeito de sobreposição. A eficiência no cancelamento do som primário depende na precisão de amplitude e fase do ruído de cancelamento gerado. Som original + Anti-som Ruído residual Figura

4 As técnicas de controlo activo de ruído podem ser classificadas em dois categorias: fixas e adaptativas. Os controladores fixos (analógicos), que são mais fáceis de implementar, são usados na maioria dos auscultadores passivos comerciais e são baseados em técnicas de controlo analógico por feedbac. Os controladores adaptativos utilizam técnicas de processamento digital de sinal. O sistema de controlo activo de ruído usando um microfone e umas colunas alimentadas de modo a cancelar um som foi proposto e patenteado por P. Lueg em 936. Enquanto a patente descrevia a ideia básica de um sistema de controlo activo de ruído, o conceito não tinha, naquela altura, aplicações no mundo real. Devido ao facto das características das fontes de ruído acústico e o ambiente não serem constantes, a frequência, a amplitude, a fase, e a velocidade do ruído indesejado são variáveis no tempo e um sistema de controlo activo de ruído tem que ser adaptativo de modo a lidar com a variação destas características. No campo de processamento digital de sinal, há uma classe de sistemas adaptativos na qual os coeficientes do filtro digital são ajustados de modo a minimizar o sinal de erro (o sinal desejado menos o sinal actual; o sinal desejado é normalmente definido para ser zero). Um sistema de cancelamento de ruído baseado na teoria de filtros adaptativos foi desenvolvido por J. C. Burgess em 98. No final dos anos oitenta, o desenvolvimento destas técnicas foi fortemente abalado pelo aparecimento de poderosos DSPs (Digital Signal Processors) e o desenvolvimento de algoritmos adaptativos de processamento de sinal (nomeadamente o LMS desenvolvido por B. Widrow e S. D. Stearns). Os DSPs foram desenhados para aplicações em tempo real de processamento numérico de sinais digitais. Estes processadores permitiram implementações robustas de algoritmos adaptativos a baixo custo e encorajaram o desenvolvimento de aplicações de sistemas de controlo de ruído baseados em tecnologia de processamento adaptativo de sinais digitais. Controlo activo é um meio eficaz para realizar grandes reduções de ruído num espaço pequeno, particularmente em baixas frequências (abaixo dos 600Hz). Em frequências baixas, onde baixas taxas de amostragem são adequadas e onde apenas ondas planas se propagam, o controlo activo produz grandes vantagens. Sistemas de controlo activo de ruído estão a desenvolver-se rapidamente pois permitem melhorias significativas no controlo de ruído, muitas vezes com potenciais benefícios no tamanho, peso, volume e custo do sistema. Os algoritmos desenvolvidos para controlo activo de ruído podem também ser aplicados em sistemas de controlo de vibração. O controlo activo de vibração pode ser usado para isolar as vibrações de uma variedade de máquinas e para estabilizar varias plataformas que se encontrem na presença de vibrações. Como a performance e a robustez destes sistemas continua a aumentar e os custos continuam a decrescer, os sistemas activos poderão ser a solução preferida para uma variedade de problemas de controlo de vibração. O objectivo do presente trabalho consiste em desenvolver um sistema de redução de ruído, para um possível uso em ambiente fabril, onde as condições de trabalho são precoces devido à existência de ruído proveniente de maquinaria pesada (maquinas rotativas, ventilação,...). Este sistema baseia-se num controlador activo

5 adaptativo que alimenta uns altifalantes colocados no interior de uns protectores auriculares. O controlador por sua vez recebe através de um microfone o sinal de erro. Numa primeira fase será usado o ambiente de simulação Matlab/Simulin para validação do algoritmo de cancelamento de ruído, e dos respectivos aspectos necessários ao desenvolvimento do mesmo. Após a validação do algoritmo será feita a sua implementação usando um DSP. Conceito de Controlo Adaptativo Inverso Nesta secção serão apresentados alguns conceitos necessários para a compreensão do restante trabalho. O controlo inverso adaptativo tem como objectivo controlar sistemas desconhecidos e possivelmente variáveis no tempo. Os sistemas a controlar, normalmente chamados plantas, podem ser ruidosos, isto é sujeito a perturbações e, na sua maior parte, são desconhecidos. Nalguns casos a planta poderá mesmo ser instável, onde os processos de controlo adaptativo terão vantagem sobre sistemas de controlo fixo, visto os parâmetros do sistema adaptativo poderem ser ajustados para as características desconhecidas e variáveis da planta. Um sistema de controlo convencional, como ilustrado na figura, usa feedbac, que monitoriza a resposta da planta a controlar, e compara esta resposta com a resposta desejada. A diferença entre as duas respostas é usada para alimentar um controlador cuja saída conduz a entrada da planta, levando a planta a seguir a resposta desejada com mais precisão. Figura Sistema convencional de controlo por feedbac A ideia básica de controlo adaptativo inverso é alimentar a planta com um sinal proveniente de um controlador, cuja função de transferência é a inversa da da planta. Como a planta é geralmente desconhecida, é necessário adaptar os parâmetros do controlador de forma a criar uma inversa da planta. Um sinal de erro, a diferença entre a saída da planta e o sinal desejado, é usado por um algoritmo adaptativo para ajustar os parâmetros de forma a minimizar o erro quadrático médio. Este tipo de controlo está ilustrado na figura 3. 3

6 Figura 3 Conceito básico do controlo adaptativo inverso Determinação da planta (modelação adaptativa) A modelação adaptativa de uma planta, ou identificação da planta, é uma parte importante para todos os sistemas de controlo adaptativo. Um modelo adaptativo compara a entrada e a saída da planta e automaticamente ajusta os seus parâmetros internos de forma a produzir uma saída próxima da saída da planta, quando a sua entrada é a mesma da planta. Quando a planta e o modelo adaptativo produzirem saídas similares, a resposta impulsional do modelo é uma boa representação da resposta impulsional da planta (figura 4). Uma forma útil e comum de modelação adaptativa, é a linha de cadeia de atrasos, ou filtro transversal, cujos os pesos (coeficientes) são ajustados por um processo adaptativo. Este tipo de filtro adaptativo é bem conhecido, e no caso da figura 4 converge de forma a produzir a função de transferência P (z), que é uma estimativa da planta, P(z). Durante o processo de adaptação, irá haver diferenças entre a planta e o modelo. Há três causas para estas diferenças:. Uma das causas tem a ver com o facto de que se está a representar uma planta que tem uma resposta impulsional infinita através de um modelo que na realidade apresenta uma resposta finita. Outra causa é o facto do sinal de entrada poder não excitar todos os modos importantes da planta. Isto revela a importância de um bom sinal modulador. 3. A terceira e última causa tem a ver com o ruído existente nos pesos do modelo adaptativo, derivado do processo de adaptação, que sendo um processo de aquisição finito de amostras introduz erros. Só com um processo infinitamente lento e usando uma quantidade infinita de amostras se poderia eliminar este ruído. 4

7 Figura 4 Modelização adaptativa de uma planta ruidosa Algoritmo de adaptação LMS (Método do gradiente) Para o algoritmo do LMS, a função de transferência H (z) é um filtro variável no tempo cuja sua entrada e saída são descritas por: y L n 0 w n ( ) x n equação Figura 5 Curva típica do erro quadrático mínimo onde a variação temporal dos coeficientes são representados pela notação w n (). Quando o filtro adaptativo é realizado na estrutura FIR na forma directa, a superfície de performance do erro quadrático médio é uma função quadrática dos coeficientes do filtro podendo achar-se também um mínimo ( 0, figura 5). O objectivo do processo 5

8 adaptativo é ajustar os coeficientes do filtro de tal forma que estes possam partir de qualquer solução inicial, em direcção à solução óptima em termos do erro quadrático médio mínimo (MMSE). O LMS usa o método do gradiente para actualizar os seus coeficientes. Pode ser descrito de forma algébrica usando a seguinte notação vectorial: em que o vector de coeficientes: W + W µ [ w ), w ( ),..., w ( ] T L W ) equação 0 ( e o vector gradiente: [ ] E e W sendo µ o passo de adaptação que controla o velocidade de convergência. Na prática, o algoritmo na equação é difícil de implementar devido ao desconhecimento da superfície de performance do gradiente. Existem várias técnicas para estimar. No LMS usa-se uma estimativa do gradiente no erro quadrático instantâneo. e W e ( d y ) W onde e, d e y são definidos no sistema adaptativo básico. Como a resposta desejada d é independente dos coeficientes, e a saída y pode ser expressa através da entrada filtrada da equação, a equação anterior pode ser escrita deste modo: e X equação 3 em que X é o vector de entrada: X [ x x x ] T,...,, L combinando as equações e 3, podemos escrever o algoritmo LMS da seguinte maneira: W + W + µ e X sendo e o sinal de erro. Como se pode observar na equação do LMS, o passo de adaptação tem muita importância no desempenho do sistema adaptativo. O passo de adaptação não pode ser nem muito pequeno nem muito grande. Se for muito pequeno, o sistema não irá 6

9 reagir suficientemente rápido às variações estatísticas do sinal. Caso seja muito elevado, o processo de adaptação poderá nunca convergir para a solução MMSE. Contudo, está provado que o passo de adaptação tem um intervalo, que varia de acordo com a potência do sinal de entrada, onde é garantida a estabilidade do sistema (convergência): 0 < µ < L E [ ] X Tendo em conta este facto uma maneira comum de melhorar o desempenho do algoritmo, em vez de se usar um passo fixo, usa-se um passo variável: µ µ 0 ε + L E [ X ] onde L corresponde ao comprimento do filtro adaptativo, µ 0 é um parâmetro do passo de adaptação geralmente menor que dois, E [ X ] é uma estimativa da potência do sinal de entrada, e ε é um número positivo pequeno adicionado de forma a evitar a divisão por zero se E [ ] 0. X Determinação adaptativa da planta Figura 6 - Modelo de determinação da planta A fim de demonstrar o processo de um modelo adaptativo de determinação de uma planta, foi realizada a seguinte experiência. Para o efeito a planta irá ser 7

10 conhecida para nós mas "desconhecida" para o algoritmo adaptativo (Filtro LMS). Escolheu-se, assim, a seguinte planta estável de fase mínima: com a seguinte resposta impulsional: Figura 7 - Resposta impulsional da planta P(z) A resposta impulsional do modelo adaptativo obtido de acordo com o esquema da figura 6, é mostrada em baixo (Figura 8). O sinal modelador utilizado foi ruído branco gaussiano, utilizou-se um modelo adaptativo com 64 coeficientes, sendo este treinado durante amostras. A fim de mostrar o desempenho deste tipo de adaptação comparou-se os resultados experimentais com alguns cálculos teóricos. Foram realizadas duas experiências usando dois passos de adaptação diferentes. Nas experiências foi calculado a constante de tempo τ p, ξ min e o ξ (Mean Square Error final). 8

11 Figura 8 - Resposta impulsional do modelo adaptado P'(z) O gradiente e a solução de Wiener A análise do filtro adaptativo pode ser feita considerando primeiro o combinador adaptativo linear da figura: Figura 9 Combinador adaptativo linear Na figura são usados n sinais de entrada pesados e somados para formar o sinal de saída. As entradas ocorrem simultaneamente e discretamente no tempo. O vector do sinal de entrada de num determinado instante é: X x x,..., x [ ] T, n 9

12 0 O conjunto de pesos é: [ ] n T w w w W,...,, Consideremos agora que os pesos são fixos. O sinal de saída num determinado instante é: n l T T l l W X X W w x y Os sinais de entrada e a resposta desejada são considerados como estando estacionários no processo. O erro num determinado tempo de amostragem é: W X d X W d y d e T T O quadrado deste erro corresponde: W X X W W X d d e T K T T + O erro quadrático médio ξ, do valor esperado de e, é: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] RW W W P E d W X X E W W X E d E d E e MSE T T T T T + + ξ equação 4 onde o vector de correlação cruzada entre o sinal de entrada e o sinal desejado é definido como: [ ] P x d x d x d E X d E n onde a matriz de correlação simétrica de entrada R do sinal de entrada X é definida como: [ ] R x x x x x x x x x x E X X E n n T O gradiente em qualquer ponto da superfície de performance pode ser obtido diferenciando a função MSE em ordem ao vector de pesos. O vector de gradiente é: [ ] [ ] RW P w E e w E e n + Se se igualar o gradiente a zero, obtemos o vector de pesos óptimo W*: P R W * equação 5

13 Assumindo que R existe, então a equação anterior corresponde à equação Wiener-Hopf na forma matricial. Essa equação dá a solução de Wiener para um filtro digital cuja resposta impulsional é finita (FIR). O MSE mínimo para o caso de uma reposta impulsional finita pode ser obtido da equação Wiener-Hopf (equação 5) e da equação 4: min T [ ] P W * ξ E d equação 6 Substituindo a equação 5 e a anterior na equação 4 obtém-se a formula útil para o MSE: T ξ ξ + ( W W*) R( W W*) equação 7 min Resultados práticos e teóricos Através da equação 5 e das equações R e P, calcula-se a solução de Wiener. A matriz de correlação R, idealmente, se se usasse uma quantidade infinita de amostras, seria uma matriz diagonal de valor unitário, devido ao facto de se estar a usar ruído branco como sinal de adaptação. Sendo assim, P, idealmente, será a resposta impulsional do sistema. Para o cálculo das matrizes R e P foram usadas sessenta mil amostras e um passo de adaptação de 0.000, de onde se obteve, a partir da equação 6, o seguinte MSE mínimo correspondente à solução de Wiener: ξ min Compara-se agora o resultado obtido com a equação 7 e a curva média de aprendizagem correspondente a mil simulações. Figura 0 Pormenor da curva de aprendizagem

14 Utilizando a equação 7 para o calculo do MSE, ξ A figura 0 corresponde às últimas vinte mil amostras do processo de aprendizagem (curva média resultante das mil simulações). Como se pode constatar o resultado está dentro valor esperado obtido nas várias simulações. Devido ao facto de se usar um número finito de amostras, o valor calculado para ξ min, não corresponde ao erro mínimo da solução de Wiener, mas sim ao erro mínimo possível para o conjunto de amostras usado na simulação. Assim em diferentes simulações, o calculo de ξ min retornou diferentes valores, sendo o apresentado correspondente a um valor médio. Pode-se ainda calcular o misadjustment, que é outro indicador da performance do sistema. O misadjustment corresponde a uma medida relativa entre a diferença do MSE final e ξ min. Pode-se então calcular o misadjustment prático como sendo: M ξ ξ min 00* 0.80% ξ valor que não é muito diferente do valor teórico: M 00 * µ * trr 0.64% em trr é o traço de R, que é a soma da diagonal da matriz. Logo como se usa ruído branco e n é igual a 64, trr 64. Além do misadjustment pode-se ainda avaliar o desempenho de um sistema através da constante de tempo, cujo valor é inversamente proporcional ao passo de adaptação. Calculando a constante de tempo para µ e µ 0. 00: τ τ p0.000 p0.00 µ E µ E [ δ ] [ δ ] *0.000* *0.00* valores que podem ser comprovados experimentalmente, analisando as duas curvas de aprendizagem:

15 Figura - Curva de aprendizagem (µ0.00) Figura Curva de aprendizagem (µ0.0) Através da derivada na origem traçou-se a tangente, obtendo-se com o cruzamento no eixo das abcissas a respectiva constante de tempo. Obviamente quando se tem uma constante de tempo menor, o tempo de convergência diminui, tendo o erro final um aumento consequente, isto para o mesmo número de amostras na adaptação. 3

16 Determinação da inversa da planta Como foi referido, na área de controlo inverso adaptativo, é necessário o uso de plantas inversas nos sistemas do tipo feedfoward. Atendendo à necessidade da sua utilização, podemos ver o esquema que permite a sua determinação (M(z)): Figura 3 Modelo de determinação da planta inversa O inverso da planta, que irá ser usada como controlador, é designado por C(z). Adaptando C(z) para minimizar o erro quadrático mínimo, fará com que C(z) seja próximo do inverso ideal da planta. Se C(z) fosse de comprimento infinito, modelaria na perfeição a planta inversa ideal, mas se pelo menos for suficientemente longa as diferenças entre C(z) e a inversa ideal serão desprezáveis. Pode-se demonstrar que a solução de Wiener da função de transferência do filtro adaptativo C(z) será igual à inversa ideal de P(z). Se o sinal modelador for ruído branco de variância igual a um, a transformada Z da função de auto-correlação deste sinal é unitária. Portanto, a transformada Z da função de auto-correlação da saída da planta é P ( z) P( z ). Isto é também a transformada de auto-correlação da entrada do filtro adaptativo C(z). A resposta desejada para C(z) pode ser considerada como sendo o próprio sinal modelador. A transformada Z da correlação cruzada entre a entrada de C(z) e a resposta desejada, resulta em P ( z ). Para a figura 3 a solução de Wiener é dada por: P( z ) C ( z) inversa ideal P( z) P( z ) P( z) minimizando assim o erro quadrático produz a inversa correcta. 4

17 5 A titulo de demonstração realizou-se uma experiência em que, para P(z), se usou a seguinte planta de fase não mínima: ) ( Z Z Z Z Z Z z P Sendo a sua resposta impulsional: Figura 4 Reposta impulsional de planta Após o processo de adaptação pode ver-se pela curva de aprendizagem, que o erro final ficou bastante elevado:

18 Figura 5 Curva de aprendizagem do modelo sem atraso (M(z)) Para verificar até que ponto se obteve a inversa da planta, realizou-se a convolução da resposta impulsional com a resposta impulsional da inversa obtida: Figura 6 Convolução entre a planta e a sua inversa 6

19 A razão deste erro elevado é o facto de o filtro de Wiener não ser um bom controlador. Isto advém do facto de se estar a tentar forçar que a planta de fase não mínima responda instantaneamente à sua entrada. Nestes casos, respostas atrasadas produzem geralmente melhores resultados, com erros mais baixos. O que se faz então é adaptar a inversa com um modelo de referência que corresponde a um atraso. Tendo isto em mente, realizou-se uma nova experiência, mas desta vez usando para M(z) 0 um atraso de dez unidades, ou seja, M ( z) z. Constatou-se que efectivamente o erro final de aprendizagem diminui: 0 Figura 7 - Curva de aprendizagem do modelo com atraso ( M ( z) z ) Em termo de comparação voltou a realizar-se a convolução da nova inversa obtida, com o modelo de referência a ser o atraso de dez unidades, com a planta P(z), resultado na figura 8. Como se pode verificar houve melhorias significativas na determinação da inversa. Obteve-se um impulso mais perfeito, isto é, os lóbulos laterais têm amplitude menor, sendo que a amplitude do impulso se aproxima mais da unidade. Este impulso situa-se na amostra dez, o que corresponde ao atraso do modelo de referência. Sendo assim, na determinação do inverso de plantas de fase mínima ou não mínima, consegue-se melhorias significativas através da introdução de um atraso, sendo a única limitação a rapidez da resposta do controlador desejada, já que o facto de se usar uma arquitectura FIR através do algoritmo de LMS e, como não há pólos, não haverá problemas de estabilidade. 7

20 Figura 8 - Convolução entre a planta e a sua inversa atrasada Cancelamento da perturbação da planta Nos métodos de controlo da dinâmica de um sistema existe sempre a presença de alguma perturbação: Figura 9 A sua presença iria fazer sentir-se nos processos adaptativos, pela presença de ruído nos seus coeficientes, e a própria perturbação apareceria inalterada na saída da planta. O objectivo é então eliminar a presença de perturbação, na saída da planta, sem alterar a dinâmica da planta. Na teoria de controlo é comum tratar o problema do cancelamento e do controlo num só processo. Contudo, com controlo adaptativo inverso, é conveniente tratar esses dois problemas em separado. Desta forma, o processo de controlo da 8

21 dinâmica do sistema não fica comprometido com a necessidade de reduzir a perturbação da planta, nem o processo de redução da perturbação é afectado pelo processo de controlo dinâmico do sistema. Para melhor se perceber o processo de cancelamento, será feita a análise de um sistema simplificado de cancelamento de perturbação: Figura 0 Modelo de cancelamento de perturbação Na literatura de controlo, a perturbação da planta é representada como sendo ruído aditivo na saída da planta. O sinal de entrada irá alimentar tanto a planta como o seu modelo, que não está afectado pela perturbação. A diferença entre a saída da planta e o seu modelo será a perturbação como ela aparece na saída da planta. A perturbação é então usada para alimentar a inversa do modelo da planta que irá gerar a perturbação filtrada, que será depois subtraída ao sinal de entrada. No limite a perturbação será eliminada na saída da planta. O esquema completo representado a seguir, acrescenta ao esquema anterior o processo de determinação da planta e da sua inversa. A determinação da inversa é feita num processo offline. De notar que efectivamente não se determina ( ), mas sim z P ( z). P z 9

22 Figura Modelo completo de cancelamento de perturbação A vantagem de determinar a Q(z) (inverso da planta) num processo offline advém do facto de se poder fazer uma adaptação mais rápida do que o funcionamento do sistema, isto é, o processo de determinação poderia realizar várias iterações num período de amostragem do sistema físico. Desta forma num determinado instante estaria imediatamente disponível um Q(z) para o correspondente modelo da planta, P (z). O sistema tem claramente duas vertentes: uma consiste na obtenção de P (z) e outra no cancelamento da perturbação da planta. Cópias de P (z) são precisas para a determinação da perturbação e para o processo de modelação inversa de Q(z). Para a obtenção do modelo da planta P (z) é usado um sinal de treino, normalmente ruído branco gaussiano. Este ruído é injectado na planta juntamente com o sinal de entrada, propagando-se os dois pela planta. É necessário então recuperar somente o ruído branco após a sua passagem pela planta. Isto é conseguido injectando o sinal de entrada numa cópia de P (z), subtraindo a sua saída à saída da planta, 0

23 recuperando desta forma o ruído de treino após a passagem pela planta. Tem-se assim disponível o sinal desejado, sendo este subtraído à saída do filtro adaptativo obtendo o sinal de erro. Análise da performance do sistema Analisando a figura, a função de transferência desde o ponto de injecção do ruído branco para a saída da planta é: P( z) H( z) P( z) P( z) Q( z) z em que P( z) P( z) P (' z). É agora tomado em conta o efeito de P(z). A função de transferência da entrada até a saída da planta é: H ( z) P( z) + P( z) Q( z) P( z) Esta equação é valida quando P(z) for pequeno, o que acontece nas condições normais de operação. O termo isolado, P(z), corresponde à função de transferência da propagação da entrada imediatamente anterior à planta para a sua saída. O segundo termo é proporcional a P(z), que varia lentamente e aleatoriamente. Este segundo termo provoca uma componente de modelação aleatória na distorção de saída do sinal. A potência total desta componente é importante. Por facilidade de computação, é assumido que: z Q( z) P( z) Assim a transformação da distorção de sinal na saída é aproximadamente: transformação da distorção U ( z) P( z) do sinal de saída Isto pode ser escrito em formato de vector no domínio dos tempos: distorção do sinal U T P de saída Disto obtém-se a potência da distorção de saída potência da T T distorção do E[ U P P U ] sinal de saída Assume-se que as flutuações de P são independentes do sinal de entrada U, e que U é estatisticamente estacionário. A covariância de P é dada por: cov[ P ] β I µe[ n ]I em que β é definido como a variância do ruído individual dos pesos, I é a matriz identidade e [ ] E é a energia da perturbação. n z

24 Temos então que: potência da distorção do E U sinal de saída E U T T [ E[ P P ] U ] T [ cov[ P] U ] βe U T [ U ] [( u ) ] βne Obtém-se agora a potência do resíduo da perturbação na saída, quando se usa um sistema de cancelamento óptimo. Este resulta da não existência de uma inversa instantânea perfeita de z P( z). Assumindo que P (z) é muito próximo de P(z), o espectro da perturbação não cancelada da planta é designado por φ (0). A potência do erro total da saída do sistema, é a soma da potência do ruído de treino, da potência da distorção do sinal de saída e da potência perturbação não cancelada da planta: potência do [ ] [ ] E[ n j ] τe [ δ ] ne u erro total E δ p + i + φcc (0) i 0 na saída em que pi corresponde à energia da resposta impulsional de P(z). i0 Após escolher um valor para a constante de tempo τ para o processo de adaptação de P (z) a potência do erro global na saída pode ser minimizado pela escolha da potência de ruído óptima derivando o termo da direita em ordem a E[ δ ], obtém-se: Conclui-se assim: ne [ ] [ u ] E[ n ] E δ equação 8 OPT τ p i 0 i [ ] E[ n ] potência do ne u i erro total τ na saída 0 p i cc + φ (0) cc equação 9 Para verificar as equações anteriores, realizou-se uma experiência usando o esquema da figura com os seguintes parâmetros: z - Planta utilizada: P ( z) z - numero de coeficientes de adaptação da planta: n0 - numero de coeficientes de adaptação da inversa: 3 - potência do sinal de entrada: E [ ] - potência da perturbação: E [ ] n u

25 Escolhendo para constante de tempo τ 500 e utilizando a equação 8 chega-se a 0. τ µ E δ, obtêm-se o um E[ δ ] 09. Com estes dois valores e usando [ ] OPT p valor de µ Recorrendo à equação 9, chega-se a um valor para a potência do erro total na saída de -5.65dB. Isto corresponde a uma atenuação na perturbação de 4,050dB (0log(7.064)-(-5.65)). Nas figuras seguintes mostram-se os resultados obtidos na experiência. Figura - Resposta da planta à onda quadrada Figura 3 - Resposta da planta à onda quadrada com perturbação 3

26 Figura 4 - Resposta da planta à onda quadrada com cancelamento da perturbação Como se pode verificar pelas figuras, o cancelamento da perturbação é notório, sendo que a potência do erro total na saída corresponde a -4.03dB, tendo assim a perturbação uma atenuação de.5048db. A diferença entre os valores teóricos e práticos da atenuação da perturbação ficou-se pelos %, o que é um valor aceitável, demonstrando assim a validade das equações teóricas. Comprovou-se também a eficácia do sistema da figura, visto este ter atenuado com sucesso a perturbação, bastando para isso comparar as figuras 3 e 4, onde na primeira é imperceptível a onda quadrada e na segunda já se consegue distinguir perfeitamente a onda quadrada filtrada pela planta. Determinação da planta Auscultadores-Microfone Após introdução dos métodos de determinação da planta e sistema de cancelamento de perturbação e das suas respectivas validações, procedeu-se à determinação da planta real auscultadores-microfone. Para este efeito usou-se os módulos disponíveis no Matlab/Simulin para fazer a interface com a placa de som. Na porta de entrada da placa som (Line-In) ligou-se o microfone e à saída (Line-Out) os auscultadores, resultando no seguinte esquema: 4

27 Figura 5 Modelo para determinação da planta auscultadores-microfone O uso dos blocos correspondentes à entrada e saída da placa de som do Simulin no processo de adaptação, introduzem atrasos variáveis ao longo do tempo, impossibilitando a determinação da planta. Para contornar este problema, em vez de se injectar directamente o ruído branco no filtro adaptativo, fez-se passar este pelo segundo canal da placa de som através de um cabo, ficando o canal com a saída ligada directamente à entrada. Assim um canal fazia o trajecto DAC-auscultadoresmicrofone-ADC e o outro DAC-ADC. Embora este processo introduza algum erro na determinação da planta, resolveu o problema das flutuações no atraso, e permitiu assim determinar a planta. Apresenta-se então a resposta impulsional da planta obtida e a sua respectiva resposta em frequência: Figura 6 Reposta impulsional da planta 5

28 Figura 7 Reposta em frequência da planta Figura 8 Plano z da planta 6

29 Estes resultados foram obtidos usando uma frequência de amostragem de.05khz, 64 coeficientes e um passo de adaptação de Determinação da planta inversa Auscultadores-Microfone A determinação da planta inversa usando o esquema da figura não foi possível por estarmos perante uma planta de fase não mínima, o que pode ser comprovado com a análise da figura 8. Como se pode ver, existem zeros fora do circulo unitário, sendo os mais problemáticos os que se encontram muito afastados. Dada esta impossibilidade, tentaram-se diferentes abordagens e técnicas com fim de a ultrapassar. Estas várias técnicas são agora descritas: numa primeira tentativa procedeu-se à eliminação dos zeros que se encontram mais afastados; a segunda abordagem consistiu na reflexão dos zeros que se encontravam fora para o interior do círculo unitário; a seguir recorreu-se ao método de determinação usando Bac- Propagation; tentou-se ainda resolver o problema recorrendo aos filtros gamma e por último ao método de correlação de Yule-Waler. Eliminação dos zeros fora do círculo unitário Nesta experiência fez-se, como já foi dito, uma eliminação dos zeros que estavam fora do círculo unitário. Apenas se procedeu à eliminação dos zeros mais afastados visto que estes são os que menos influenciam a dinâmica do sistema. Logo por inspecção da figura 8 constata-se que foram eliminados quatro zeros. Após a eliminação dos referidos zeros comprova-se através da seguinte imagem que a forma da resposta em frequência se mantêm semelhante, embora o ganho aumente significativamente. Na figura a planta processada está representada a tracejado. Figura 9 Resposta em frequência de ambas as plantas 7

30 A partir da análise das respostas ao degrau das duas plantas demonstra-se que a dinâmica do sistema permanece quase inalterada, a menos da amplitude. Como se pode observar a amplitude da resposta ao degrau da planta processada apresenta um amplitude maior em relação à planta original. Figura 30 Reposta ao degrau da planta original Figura 3 Reposta ao degrau da planta processada 8

31 Realizou-se então o processo de adaptação da inversa da planta processada, usando o esquema da figura. Do processo de adaptação resultou a planta com a seguinte resposta impulsional. Figura 3 Reposta impulsional da inversa obtida E a respectiva resposta em frequência: Figura 33 Reposta em frequência da inversa obtida 9

32 Pode-se verificar pela representação da convolução entre as duas respostas impulsionais (planta processada/inversa), de que se trata de uma boa aproximação da inversa. Figura 34 Convolução entre Planta processada/inversa Fazendo agora a convolução entre a planta original e a inversa da planta processada, obtém-se: Figura 35 Convolução entre Planta original/inversa 30

33 Embora, como se pode observar pela figura 35, se tenha obtido uma inversa razoável, mesmo que um pouco atrasada, este método não foi usado porque as diferenças de ganho não se mantêm constantes ao longo da banda. Isto iria dificultar o controlo do ganho, visto a compensação do ganho ter de variar com a frequência. Se não se fizesse o controlo do ganho o sistema de cancelamento de ruído deixaria de funcionar, pois a malha de realimentação não injectaria um sinal com a amplitude correcta. Realizar um sistema de controlo de ganho deste tipo seria complexo e o processamento automático dos zeros iria dificultar a operação em tempo real. Assim, a performance final do sistema seria certamente abalada, pelo que esta solução foi posta de lado. Reflexão dos zeros para dentro do círculo unitário Em vez de se eliminarem os zeros mais afastados, reflectiram-se todos os zeros "mal comportados" para dentro do circulo unitário e mantendo o power spectrum, realizando uma compensação de ganho. Isto corresponde a uma decomposição de fase mínima. Em baixo representa-se o plano Z da planta auscultadores-microfone. 3 Parte imaginária Parte Real Figura 36 Plano z da planta com 36 coeficientes 3

34 Reflectindo os zeros em torno do círculo unitário, obteve-se: Parte imaginária Parte Real Figura 37 Plano z da planta processada Na figura seguinte pode-se ver que as duas respostas em frequência (a tracejado a planta processada), são quase indistinguíveis Magnitude (db) Frequência (Hz) Figura 38 Resposta em frequência de ambas as plantas 3

35 Contrariamente ao que sucedeu na experiência anterior a dinâmica do sistema sofreu uma modificação com a reflexão dos zeros, o que se comprova a seguir pelas respostas ao degrau das duas plantas: Amplitude Amostras Figura 39 Resposta ao degrau da planta original Amplitude Amostras Figura 40 Resposta ao degrau da planta processada 33

36 Adaptando a inversa da planta processada, e mais uma vez usando o esquema da figura, obteve-se a seguinte resposta impulsional e respectiva resposta em frequência: Amplitude Amostras Figura 4 Resposta impulsiona da inversa da planta processada Magnitude (db) Frequência (Hz) Figura 4 Resposta em frequência da inversa da planta processada 34

37 A convolução entre a planta processada e a sua inversa representa-se a seguir, a qual demonstra que a inversa obtida se trata de uma boa aproximação:. 0.8 Amplitude Amostras Figura 43 Convolução da planta processada com a inversa Mas a convolução entre a resposta impulsional da planta original e da inversa apresenta o seguinte resultado: Amplitude Amostras Figura 44 Convolução da planta original com a inversa de onde se conclui que não se obtém uma inversa da planta original. 35

38 Tal como na solução anterior esta foi abandonada, além de se manter o problema do processamento dos zeros, também a dinâmica da planta processada é diferente da da planta original, fazendo com que não se obtenha desta forma uma inversa da planta original. Método Bac Propagation A figura 45 ilustra o diagrama estrutural do método BPTM. Em vez de se manipular indirectamente o sinal de erro para adaptar C, o sinal de erro do sistema é usado directamente. É propagado para trás (bac-propagated) através da planta, e usado para adaptar o controlador. Por esta razão, o algoritmo tem seguinte nome BacProp Through (Plant) Model (BPTM). Figura 45 Diagrama ilustrativo do método BTMP Qualquer planta estável linear e qualquer controlador linear podem ser aproximados com precisão desejável por filtros FIR. Assim, assume-se que quer o modelo da planta quer o controlador são FIR. A entrada do controlador é um vector de atrasos de tamanho n. Este vector e o correspondente vector dos pesos de adaptação do controlado são definidos como: R [ r, r, r ] T, q [ w w ] T W,,..., Logo: u WR A entrada da planta é análoga à entrada do controlador, é um vector de atrasos de tamanho n: w n U [ u, u, u ] T, p 36

39 Também, tal como no controlador, os coeficientes do modelo da planta e u produzem a uma saída : y W U P Dadas estas definições, podemos definir a variação dos coeficientes do controlador no processo adaptativo como sendo, no instante : ([ e QW dh ] du ) T W µ equação 0 K em que é o passo de adaptação, e é o erro do sistema e Q é uma matriz simétrica que designa diferentes objectivos de performance da saída da planta. H é um vector composto calculado a partir de h(.). h(.) é uma função diferencial que define o custo que está directamente associado com o sinal de controlo u, e é usada para penalizar esforços de controlo excessivo, entre outras coisas. Supondo que a planta não possui dinâmica ( W P ), que h(.) e que Q, a regra de adaptação reduz-se a regra de um filtro LMS normal para adaptar um filtro. Contudo se a planta possuir dinâmica a equação 0 fica: p W µ ek Wp, j R j j 0 que corresponde à regra de adaptação LMS pesada pela resposta impulsional da planta. Procedeu-se então à simulação do método BPTM, usando para isso a seguinte planta já conhecida: 3 Z Z + Z P ( z) Z Z + Z Escolheu-se para o modelo de referência M, para o controlador convergir para a inversa da planta. Utilizaram-se vinte coeficientes quer para o modelo da planta quer para o controlador. E usou-se também, quer para o passo da adaptação do modelo da planta quer para o controlador, o mesmo valor: Correu-se a simulação durante dez mil amostras e as curvas de aprendizagem, a do modelo da planta e a do controlador, foram as seguintes: P 37

40 Figura 46 Curva de aprendizagem da planta Figura 47 Curva de aprendizagem do controlador 38

41 A simulação de facto convergiu para a inversa como se pode comprovar pela figura 48, onde a resposta em frequência do modelo da planta está representada com a linha a cheio e a reposta em frequência do controlador está representada com a linha a tracejado. Na figura 49 temos a convolução das repostas impulsionais do modelo da planta e do controlador. Como se pode observar não se obteve uma inversa perfeita, o que é justificável pelo facto de a planta não ser de fase mínima. Este resultado é muito parecido com o obtido pelo método LMS (ver figura 6), pelo que leva a concluir que o método BPTM nada trás de novo em relação ao LMS. Figura 48 Reposta em frequência de ambas as plantas Figura 49 Convolução entre a planta e a inversa 39

42 Contudo foi feita ainda a mesma experiência anterior, mas agora com a planta auscultadores-microfone. Os resultados foram, mais uma vez, desanimadores. Na figura 50 e 5 está representada a curva de aprendizagem do modelo da planta e do controlador respectivamente. Da figura 5, conclui-se que o controlador não conseguiu convergir para a solução. Figura 50 Curva de aprendizagem da planta Figura 5 Curva de aprendizagem do controlador 40

43 A convolução entre a planta e o controlador está ilustrada na figura 5, de onde se comprova que, de facto, não se obteve uma inversa da planta auscultadoresmicrofone. Figura 5 Convolução entre a planta e a inversa Assim, o método BPTM foi também abandonado, pois não consegue produzir uma inversa para a planta auscultadores-microfone. Conclui-se que, após algumas experiências realizadas, este método não trás nada de novo em relação ao método LMS. Ou seja, as plantas para as quais é possível extrair a inversa usando o método LMS, o método BPTM também as extrai, para as plantas em que o método LMS falha, verifica-se o mesmo com o método BPTM. Não se está aqui a querer dizer que o método BPTM não possui vantagens. A análise aqui feita foi simplista, isto é, este método foi desenvolvido para ser aplicado em sistemas lineares e em sistemas não lineares, aplicando-se também quer em sistemas MIMO quer em sistemas SISO. Mas, para o presente caso a análise foi desenvolvida para sistemas lineares e de entrada e saída única (SISO), pelo que o método não produz vantagens visíveis em relação ao método LMS. Filtros Gamma Esta classe de filtros adaptativos combina propriedades de filtros de resposta impulsional finita, filtros FIR, com filtros de resposta impulsional infinita, filtros IIR. Este caso particular, os filtros gamma, generalizam os filtros adaptativos transversais de Widrow para um filtro de reposta impulsional infinita. As condições de estabilidade para os filtros gamma são triviais, e a adaptação LMS é do mesmo grau de complexidade computacional que uma estrutura transversal convencional. 4

44 Os filtros IIR são mais eficientes que os filtros FIR, mas no processamento digital de sinal, os filtros FIR são usados quase exclusivamente. Isto é devido à dificuldade de assegurar estabilidade no processo de adaptação de um sistema IIR. Além do mais, processos de adaptação através do método do gradiente não garantem que se encontre a solução óptima na superfície de erro não convexas dos sistemas IIR. OS sistemas IIR possuem uma importante vantagem sobre os sistemas FIR. Para um filtro FIR de ordem, quer a região de suporte da resposta impulsional quer o número de parâmetros adaptativos é igual a. Para um sistema IIR, o comprimento da resposta impulsional é independente da ordem (e do numero de parâmetros) do sistema. Como o comprimento da resposta impulsional do filtro é relacionada com a profundidade de memória do sistema, sistemas IIR são preferidos para modelar sistemas e sinais caracterizados por uma grande profundidade de memória e um numero baixo de parâmetros livres. Estas características são típicas em sinais de frequência baixa, como é o caso da maior parte de sinais biológicos e do mundo real. Os filtros gamma são um caso particular dos filtros feedforward, e apresentam características desejáveis de ambos os sistemas IIR e FIR: estabilidade trivial, adaptação fácil, o facto da região de suporte da resposta impulsional e a ordem do filtro serem independentes. O filtro gamma, no domínio do tempo, é definido do seguinte modo: K y( n) w x ( n) equação 0 x ( n) ( µ ) x ( n ) + µ x ( n ) equação,..., K onde x ( n) x( ) é o sinal de entrada e y(n) a saída do filtro, tal como 0 n descrito na figura 53. Assume-se que os parâmetros do filtro adaptativos. w,..., 0, w w e µ são Figura 53 Estrutura do filtro gamma E a função de transferência G(z) é dada por: µ G ( z) z ( µ ) 4

45 43 O filtro gamma é estável se os pólos estiverem dentro do círculo unitário. O filtro gamma tem o pólo de ordem em µ p z. Assim, o filtro gamma é estável quando 0 < < µ. De seguida deriva-se as regras de adaptação do algoritmo LMS para adaptar os parâmetros w e µ. Tendo em conta as equações e que descrevem o filtro gamma, e considerando a performance do sistema como sendo a medida do erro total E, definido como: [ ] T n T n T n n n y n d n e E E ) ( ) ( ) ( Onde d(n) é o sinal desejado. O algoritmo LMS ajusta os coeficientes proporcionalmente ao negativo do gradiente local, isto é, o ajuste dos coeficientes são em direcção do negativo do gradiente: µ η µ η E w E w Onde η é o passo de adaptação. Primeiro desenvolvemos w: T n T n n x n e w n y n e w E w 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( η η η Fazendo o mesmo à equação de µ: T n K K T n n w n e n x w n e E ) ( ) ( ) ( ) ( α η µ η µ η µ Onde ( ) µ α ) (n x. O sinal de gradiente ) (n α pode ser calculado computacionalmente do seguinte modo: K n x n x n n,..., )], ( ) ( [ ) ( ) ( ) ( µα α µ α α O conjunto das três ultimas equações constituem o algoritmo de adaptação. Na prática, uma aproximação amostra por amostra, na forma K n w n e K n x n e n w 0 ) ( ) ( 0,..., ), ( ) ( ) ( α η µ η funciona bem se η for suficientemente pequeno. Tendo em consideração as equações acima foi então criado um algoritmo que realizasse a adaptação do filtro gamma. Fez-se então a adaptação do sistema com a função de transferência:

46 Z Z + Z P ( z) Z Z + Z que é um sistema de fase não mínima, já nosso conhecido. Para um filtro de ordem 0, com o passo de adaptação 0.5 e 0. adaptouse o filtro durante dez mil amostras. A curva de aprendizagem, que foi obtida realizando mil simulações, está representada a seguir: 3 3 Figura 54 Curva da aprendizagem do filtro gamma 5 O erro final cifrou-se em cerca de 6 0 e para ficou pelos 0.9. De facto o sistema convergiu para uma boa solução o que se pode comprovar pelas duas figuras seguintes. Na primeira imagem, onde está representada quer a resposta impulsional da planta obtida quer a resposta impulsional da planta real, os pontos sobrepõem-se não havendo, aparentemente, qualquer diferença entre as duas respostas impulsionais. Na segunda imagem estão representadas as repostas em frequência da planta real (linha a cheio) e da planta obtida (linha a tracejado). Também aqui as diferenças são mínimas, não se distinguindo quase uma reposta da outra. 44

47 Figura 55 Reposta impulsional de ambas as planta Figura 56 Reposta em frequência de ambas as planta 45

48 Observando agora o plano z da planta obtida, constata-se, infelizmente, que estamos perante uma planta de fase não mínima, tal e qual como a obtida usando o método de adaptação LMS. Figura 57 Plano z da planta obtida Além desta experiência, foram também feitas tentativas de adaptação da planta auscultadores-microfone, para vários graus de profundidade e para diferentes passos de adaptação, mas nunca se obteve plantas satisfatórias, e o processo de adaptação levava, quase sempre, a plantas de fase não mínima. Com tudo isto, concluiu-se que de facto, os benefícios dos filtros gamma, não eram aplicáveis ao nosso problema, pelo que esta solução foi também posta de lado. Método de auto-correlação Yule-Waler Uma forma de contornar o problema da planta a determinar ser de fase não mínima, é usar um método de determinação da mesma, que use métodos de autocorrelação. Um método possível, é usar o estimador auto-regressivo de Yule-Waler que produz uma estimativa paramétrica do modelo, minimizando o erro quadrático de predição. Assim o método de Yule-Waler forma uma estimativa polarizada da função de auto-correlação do sinal. Isto resulta nas equações de Yule-Waler: 46

49 r() r() r( p) r() r() r() r( p) a() r( p ) a() r() a( p + ) r() r(3) r( p + ) O uso de uma estimativa polarizada da função de auto-correlação garante que a matriz de auto-correlação anterior é positiva definida. Assim, a matriz tem inversa e é garantida a existência de uma solução. Além disso os parâmetros auto-regressivos calculados resultam sempre num modelo estável só com pólos. As equações de Yule- Waler podem ser resolvidas pelo algoritmo de Levinson eficazmente, que aproveita a estrutura de Toeplitz presente na matriz de auto-correlação. Figura 58 Esquematização do Método Yule-Waler Simulando o esquema da figura 58 e usando uma ordem de estimativa de 6 para o modelo auto-regressivo de Yule-Waler, obteve-se a seguinte resposta em frequência para P ˆ( z ). Na figura P ˆ ( z) está representado a tracejado, sendo que a cheio se tem P(z): Figura 59 Resposta em frequência de ambas as plantas 47

50 Após se obter a estimativa P ˆ( z ) determinou-se a sua inversa, recorrendo, mais uma vez, ao esquema da figura. Na figura 60 está representada a reposta impulsional da inversa obtida e na figura 6 a correspondente resposta em frequência. Figura 60 Reposta impulsional da inversa obtida Figura 6 - Reposta em frequência da inversa obtida 48

51 Pode-se verificar pela representação da convolução entre as duas respostas impulsionais (Planta Yule-Waler / Inversa), de que se trata de uma boa inversa Figura 6 Convolução entre a planta e a sua inversa Seria de esperar que com resultados tão interessantes como os obtidos, esta fosse a abordagem a seguir para resolver o problema da obtenção da planta inversa. Mas tal não acontece bastando para isso ter em consideração o seguinte resultado: Figura 63 - Convolução entre a planta original e a sua inversa 49

52 Como se pode verificar a inversa obtida, embora seja quase perfeita quando comparada com a planta obtida pelo método Yule-Waler, P ˆ( z ), não produz uma inversa satisfatória da planta P(z). Mesmo assim este método foi testado modificando o processo offline no esquema da figura, para o da figura 64. Figura 64 Processo offline modificado A partir de uma cópia de P (z), P ˆ( z ) é determinado utilizando o método Yule- Waler. A determinação da inversa é feita como anteriormente, mas utilizando a planta P ˆ( z ) em vez da planta P (z). Esta abordagem foi também abandonada por não se conseguir obter resultados. Isto porque o sistema de cancelamento de perturbação não produzia qualquer efeito, e tornou-se altamente instável. A instabilidade deveu-se provavelmente ao facto do bloco Yule-Waler não ser um método recursivo, isto é, não se basear no cálculo de amostra a amostra correspondente à janela de adaptação. O facto de o sistema não cancelar a perturbação pode ser justificado pelo analisado da figura 63. Esquemas alternativos de cancelamento de perturbação Devido à dificuldade em determinar a inversa da planta por esta ser de fase não mínima, tentou-se o uso do Filtered-E LMS e do Filtered-X LMS. Tentaram-se estas novas abordagens pois, no caso do Filtered-E LMS, este em vez de tentar determinar a inversa, calcula uma versão atrasada da inversa P '. Já o Filtered-X LMS não depende directamente do cálculo da inversa. Ambos os algoritmos são bastantes insensíveis a erros em P (z). 50

53 O algoritmo Filtered-E LMS As técnicas de controlo adaptativo inverso descritas anteriormente são bastante eficazes, assumindo que se usa um número adequado de coeficientes na determinação da planta e sua inversa. Por outro lado, se os erros de truncagem fossem significativos, os esquemas anteriores produziriam um controlador cuja sua resposta impulsional seria polarizada em relação à do controlador ideal, aquele que reduz o erro global do sistema. Um sistema cujo desempenho não está totalmente dependente de uma boa determinação da planta, é o Filtered-E LMS. Este sistema está representado na figura a seguir: Figura 65 Modelo completo do algoritmo Filtered-E LMS Se o controlador fosse C (z), em vez da cópia de C(z), o erro ε seria minimizado. O objectivo é fazer C(z) o mais próximo possível do controlador ideal 5

54 C (z). A diferença entre as saídas da cópia de C(z) e de C (z), alimentadas ambas pelo sinal de entrada, resulta no erro ε '. Se o erro ε ' estivesse disponível na adaptação de C(z), a sua adaptação seria rápida e em direcção do controlador ideal C (z). O problema é que ε ' não existe no processo de adaptação. Ao filtrar-se ε, obtém-se um erro filtrado em substituição de ε '. O filtro corresponde à inversa atrasada de P(z). Se esta inversa fosse perfeita e não existisse perturbação, então o erro filtrado seria igual a ε ' no que concerne ao processo de adaptação. Mesmo tendo em conta essas limitações, o erro filtrado continua a proporcionar um bom desempenho na adaptação de C(z). As razões para isto acontecer, devem-se ao facto de (i) a perturbação da planta é descorrelacionada com a sua entrada, e (ii) erros em P ' não são críticos na correcta convergência de C(z), como se pode mostrar (consultar livro). Como a inversa atrasada P ' é usada para filtrar o erro global do sistema ε, a entrada de C(z) tem que sofrer o atraso correspondente para que o erro e a entrada estejam sincronizados. Um processo offline utiliza uma cópia de P (z), para obter a inversa. Normalmente, é vantajoso usar um atraso de modulação na determinação da inversa. Não advém nenhuma degradação do desempenho, no uso do atraso, desde que a entrada de C(z) sofra o mesmo atraso. Assume-se que o sinal da entrada é estacionário. De notar que se a planta P(z) for de fase mínima, uma excelente inversa é obtida sem o atraso. Assim, o erro filtrado não seria atrasado e este erro podia ser usado para adaptar directamente o controlador. Desta forma simplificava-se o sistema visto não haver necessidade de existir dois filtros separados, C(z) e a sua cópia. Simulação do Filtered-E LMS Com a experiência pretende-se mostrar que o sistema é bastante imune a erros na determinação de P (z). Para isso avalia-se a variância do erro dinâmico do sistema e a inversa obtida. O erro dinâmico do sistema é causado pela passagem do sinal de entrada no controlador C(z), alimentando este depois a planta P(z). O ruído presente em C(z) ( C ) modula aleatoriamente o sinal de entrada, criando assim um ruído na saída de C(z). Este ruído propaga-se por P(z), introduzindo na saída da planta uma componente de ruído, o erro dinâmico do sistema. A figura seguinte ajuda a avaliar o erro dinâmico do sistema. Nela está representado o mecanismo que gera este erro. Figura 66 Erro dinâmico do sistema com o Filtered-E LMS 5

55 A variância do erro dinâmico do sistema pode ser calculada através da expressão: variância do erro dinâmico E do sistema [( u * P) ] µ n E[ ] + E[ n * P' ] δ ( ) em que P ' P ( z ) z. Como se assumiu para a perturbação ruído branco, então: [ * P' ] E[ n ] E n Da mesma forma ( u * P) E n 5 [ ] soma dos quadrados da resposta - impulsional P'( z) 4 4 [ ] E[ u ] 3 E. O esquema da figura 65 foi simulado usando os seguintes parâmetros: - P ( z) z - Modelo de referência (z) - potência do sinal de entrada (ruído branco) E [ ] - potência do ruído branco de treino E[ δ ] u - potência da perturbação (ruído branco) E [ ] 0 - número de coeficientes para a planta e controlador n0 n Como P(z) é de fase mínima, igualou-se o atraso a zero. Obtém-se assim um valor estimado de para a variância do erro dinâmico do sistema. O valor experimental é obtido quando o sistema já se encontra numa fase estável, resultando em para a variância do erro dinâmico do sistema, validando assim o resultado teórico. Para comprovar que este esquema é praticamente imune aos erros presentes na determinação, introduziu-se propositadamente erros em P (z): 53

56 Figura 67 P (z) (a cheio) e P (z) com erros introduzidos (a tracejado) A curva a cheio representa a planta obtida no processo de adaptação e a curva a tracejado corresponde a P (z) com os erros introduzidos. Simulando o sistema usando P (z) com os erros introduzidos, ou seja, não fazendo a adaptação de P (z) obtém-se uma variância do erro dinâmico do sistema de Pode-se ainda verificar que em ambos os casos C(z) representa a inversa de P(z). Na figura 68 temos a convolução da resposta impulsional de P(z) com o C(z) que resulta de adaptar P (z), e na figura 69 está representada a convolução da resposta impulsional de P(z) com o C(z) obtido usando P (z) com os erros introduzidos. Como se pode verificar pelas duas figuras, é quase impossível distingui-las. Tendo em conta que o erro introduzido em P (z) é de 40%, mostra-se que efectivamente o sistema é imune a erros na determinação em P (z). Este esquema não foi usado, pelo que não se apresenta um esquema de eliminação de perturbação baseado no Filtered-E LMS, pois mesmo usando para o atraso uma valor elevado, não é possível adaptar P ' da planta auscultadoresmicrofone, isto porque o erro de adaptação é sempre muito elevado. 54

57 Figura 68 Convolução das respostas impulsionais (P(z) com C(z) resultante de P (z)) Figura 69 - Convolução das respostas impulsionais (P(z) com C(z) resultante de P (z) com erros) O algoritmo Filtered-X LMS O nome deste algoritmo deriva do facto da entrada do filtro adaptativo C(z), o vector X de entrada, ser filtrado. Mesmo se existirem erros em P (z) e por isso este não for uma boa aproximação de P(z), o algoritmo tende a minimizar o erro global do sistema através da optimização de C(z). Na figura 70 está representado o esquema do algoritmo. 55

58 Figura 70 - Modelo completo do algoritmo Filtered-X LMS De forma a demonstrar que a adaptação de C(z) é relativamente insensível a erros em P (z), simplifica-se a figura anterior trocando a planta P(z) com o seu controlador C(z), como se pode ver na figura a seguir. A perturbação da planta mantém a mesma intensidade e o mesmo ponto de injecção. O ruído de treino δ é propagado através da planta P(z). Figura 7 Diagrama de análise do sistema Filtered-X LMS 56

59 Usando a mesma notação que na figura 7, será analisado o algoritmo para a adaptação de C(z). Será mostrado que este algoritmo faz com os pesos de C(z) sejam os melhores possíveis em relação à inversa de P(z). O filtro C(z) converge para uma solução de Wiener invulgar. Será agora mostrada esta solução. Vamos supor que a resposta impulsional de C(z) é não constrangida. A solução de Wiener é obtida da seguinte maneira. A correlação cruzada entre o erro e o sinal de entrada é zero para um filtro de Wiener. O gradiente usado pelo algoritmo LMS na adaptação de C(z), é proporcional ao produto do erro ε e do vector do sinal de entrada X '. Para o sistema da figura 7, a adaptação continua de C(z) através do LMS, faz com que o produto de ε e X ' se torne pequeno e eventualmente este produto tenderá para zero. Por mais estranho que possa parecer, ao adaptar C(z) através de um algoritmo de quadrados mínimos, não leva à minimização do erro quadrático ε se P (z) for diferente de P(z). A razão para tal acontecer advém do facto da saída de C(z) não ser usada e não fazer parte do erro ε. O que efectivamente acontece é que a adaptação faz com que correlação entre ε e X ' seja zero. Deste modo: 0 E x' ε E E [ + m ] [ x' ( d + m y+ m n+ m δ + m * P) ] [ x' ( d y )] Ex' d φ x' d + m + m ( m) + m l l l l c φ c x x' x l+ m ( m l). x' equação 3 Esta é a equação de Wiener-Hopf do filtro C(z). Para se chegar a este resultado, assumiu-se que tanto a perturbação da planta como o ruído de treino na saída da planta são descorrelacionados com x'. A equação 3 envolve uma simples convolução e é fácil fazer a sua transformada Z: φ x ( z) C( z) φ x( z). ' d x Desta obtém-se: φ x C( z) φ ' d x' x ( z). ( z) É útil comparar-se este resultado com a solução básica de Wiener. Para se obter C(z), é necessário obter φ ' ( z x d ) e φ x' x. Tomando como referência a figura 7, Também da figura 7, φ ( z) φ ( z) P (' z) P (' z x' d ii φ ( z) P (' z ii ) M ( z). M ( z) ) P (' z) 57

60 φ x' x Resulta então na solução de Wiener: φ ( z) P (' z) P (' z ii φ ( z) P (' z ii ) P( z). φ ' d M ( z) C( z) x. φ P( z) x' x P( z) ) P (' z) Obtém-se assim uma solução perfeita na adaptação de C(z). De notar que o valor de P (z) não tem qualquer efeito na solução de Wiener. Na prática, a solução perfeita não é alcançada. A razão para isto acontecer deve-se ao facto de na realidade C(z) ser constrangida, um filtro causal e FIR. Outra razão porque a solução não é obtida advém do algoritmo adaptativo poder não convergir. A convergência de C(z), na figura 70, só é evidente se P (z)p(z). Caso contrário, o processo de convergência envolve alguns desconhecimentos. A única razão para que se queira que haja semelhanças entre P (z) e P(z), é para garantir a convergência de C(z). Para melhor se entender o processo de convergência, aplica-se o algoritmo LMS à figura 7. Os efeitos da perturbação da planta e do ruído de treino na saída da planta irão desaparecer, portanto serão omitidos. Obtém-se então C + C C + µ ( d + µ d ( I µ X ' X X X ' µ X ' X T T ) C C ) X ' T + µ d Calculando a esperança em ambos os termos resulta em onde R E T [ X ' ] ' e P E [ d X ' ] X E C X '. [ C ] ( I µ R )' E[ C ] +,' µ P + equação 4 '. Para obter este resultado assumiu-se que X 'são descorrelacionados com C. Se a equação 4 convergir, então: e tem-se que [ ] lim E[ C ], lim E C lim E + [ C ] ( R )' P'. Torna-se evidente a partir da equação 4 que a convergência de C, em média, corresponde a: lim ( I µ R )' 0. equação 5 Deve-se notar que a matriz R geralmente não é simétrica. É possível que P (z) possa ser escolhida com um certo erro, que a matriz R resultante, quando usada na equação 5, venha a causar instabilidade independentemente da escolha de µ. Mas na maioria dos casos isto não é um problema. Particularmente quando P (z) está próxima X e 58

61 de P(z). Então R fica próxima de se tornar simétrica e obter estabilidade torna-se simples. Quando se usa o Filtered-X LMS, não é necessário esperar pela total convergência de P (z) antes de começar a adaptar C(z). Isto acontece porque não é preciso uma P (z) perfeita para uma boa adaptação de C(z), desde que o processo de adaptação seja estável. A rapidez de convergência do sistema da figura 70 geralmente não é muito mais lenta que a de P (z). Simulação do Filtered-X LMS O esquema da figura 70 foi simulado com a intenção de mostrar a sua insensibilidade a erros na determinação da inversa. Será ainda mostrado que embora não seja possível determinar a inversa da planta auscultadores-microfone, o sistema é capaz de produzir um controlador C(z) válido. Primeiro simulou-se o sistema usando como planta: z P ( z) 3. z Tanto na determinação da planta como na determinação do controlador foram usados 0 coeficientes, em que o passo de adaptação usado foi µ 0. 0para ambos. Para o modelo de referência usou-se. Para esta planta, como para o Filtered-E LMS, determinou-se C(z) através do P (z) adaptado e de P (z) com erros introduzidos propositadamente. Na figura a seguir estão representadas as duas respostas impulsionais:.5 Amplitude Amostras Figura 7 P (z) (a cheio) e P (z) com erros introduzidos (a tracejado) 59

62 Podemos ver pelas duas figuras a seguir, que quer usando o P (z) adaptado ou P (z) com 40% de erro se obtém excelentes inversas:. 0.8 Amplitude Amostras Figura 73 Convolução das respostas impulsionais (P(z) com C(z) resultante de P (z)) Amplitude Amostras Figura 74 - Convolução das respostas impulsionais (P(z) com C(z) resultante de P (z) com erros) 60

63 A experiência realizada a seguir teve como objectivo demonstrar que este algoritmo conseguia resolver o problema da determinação da inversa, pois não precisa de a determinar para conseguir o controlador C(z). Assim voltou-se a simular o sistema mas usando para P(z) a planta auscultadores-microfone (figuras 6 e 7), e mudando o número de coeficientes para 64 e o passo de adaptação para µ Para mostrar que o algoritmo consegue produzir um controlador C(z) para a planta, primeiro fez-se passar uma onda quadrada pela planta. Na figura 75 temos a onda quadrada injectada na entrada planta e na 76 a saída da planta Amplitude Tempo(s) Figura 75 Onda quadrada injectada na planta Amplitude Tempo(s) Figura 76 Resposta da planta à onda quadrada da figura 75 6

64 Observando a figura 76 não é possível distinguir a onda quadrada da figura 75. Simulando agora com o sistema da figura 70 a funcionar, obtém-se o seguinte sinal à saída do sistema: Amplitude Tempo(s) Figura 77 Saída do sistema Os resultados obtidos são extremamente bons. De notar que o ruído de treino não é eliminado, por ser ruído branco, aparecendo imune na saída do sistema. Está assim mostrado que o algoritmo Filtered-X LMS consegue obter um controlador C(z) para a planta auscultadores-microfone, mesmo que não consiga obter a sua inversa: 3 Amplitude Amostras Figura 78 Convolução entre a resposta impulsional da planta auscultadores-microfone e controlador C(z) 6

65 Tendo sido alcançada uma forma de contornar o problema da determinação da inversa da planta auscultadores-microfone, elegeu-se o Filtered-X LMS para ser o algoritmo a implementar no sistema de cancelamento de ruído. Como o esquema de cancelamento de ruído proposto (figura ) necessita da determinação da inversa da planta, que não foi possível determinar pois a planta auscultadores-microfone é de fase não mínima, será apresentado um novo sistema baseado neste último algoritmo. Sistema de cancelamento de ruído baseado no Filtered-X LMS Um sistema feedfoward de cancelamento de ruído baseado no Filtered-X LMS é apresentado na figura 79. Figura 79 Sistema feedfoward de cancelamento de ruído baseado no algoritmo Filtered-X LMS O sinal de referência x(n) provém do microfone de entrada, que captará o ruído a eliminar. No caso dos auscultadores activos este microfone estaria montado no exterior dos mesmos. Este sinal irá alimentar C(z), o controlador, e P (z), o modelo da planta. Ao passar por C(z), se o sistema já tiver convergido para o controlador óptimo, este produzirá um sinal, y(n), que terá a mesma amplitude que x(n) e em oposição de fase, eliminando assim o ruído (x(n)) na situação limite. O resultado da soma acústica de y(n) com x(n), é captado por um segundo microfone produzindo o sinal de erro e(n). O sinal de erro será então usado para controlar o processo de adaptação de C(z). Assim, ao adaptar C(z) por forma a minimizar o erro e(n)y(n)+x(n) (soma acústica por sobreposição equivalente à subtracção eléctrica), vai-se estar a eliminar o ruído x(n). No processo de adaptação de C(z), a entrada do filtro adaptativo é filtrada pela planta P (z), daí o nome Filtered X-LMS, para assegurar a convergência do algoritmo, ficando esta mais rápida. Como o sistema será implementado numa DSP, e esta só tem disponível uma entrada, o microfone de detecção do sinal de referência (ruído a eliminar) não estará disponível. Sendo assim será usada uma estrutura de feedbac. Uma estimativa do sinal de referência x(n) é então obtida, como ilustrado na figura

66 Figura 80 Sistema feedbac de cancelamento de ruído baseado no algoritmo Filtered-X LMS O modelo da planta P (z) em vez de ser adaptado durante o processo de cancelamento de ruído, é adaptado previamente numa fase de treino. Isto não terá muito impacto no desempenho do sistema porque, como já foi provado, erros em P (z) não afectam a convergência de C(z) para a solução que minimiza o erro. Menos impacto terá ainda se para cada utilizador for realizada uma fase prévia de treino, diminuindo assim ao máximo as diferenças entre P(z) e P (z). Assim após se obter P (z), o sistema da figura 80 foi simulado. O ruído utilizado foi a soma de três sinusóides. Para o controlador C(z) foram usados 64 coeficientes com um passo de adaptação de µ Na figura a seguir mostram-se P(z) e P (z): Amplitude Amostras Figura 8 Respostas impulsionais de P(z) (a cheio) e P (z) 64

67 Após a simulação obteve-se o espectro original do ruído e o espectro resultante do processo de cancelamento. Os resultados estão representados na figura 8. Como se pode observar houve uma atenuação de mais de 40dB para o pior caso, ficando a atenuação média por volta dos 55dB. Figura 8 Espectro original do ruído (cinzento claro) e espectro atenuado (tracejado) Neste tipo de sistemas os atrasos presentes na planta são críticos. Assim estes devem ser diminuídos ao máximo, de forma a não prejudicar o desempenho do sistema. Para comprovar este facto foi simulado o mesmo sistema, mas introduzindo um atraso de 5 amostras. Para isolar o efeito dos atrasos, igualou-se P (z) a P(z) de modo a não se diminuir o desempenho devido a erros de adaptação. A figura a seguir mostra o espectro obtido: 65

68 Figura 83 - Espectro original do ruído (cinzento claro) e espectro atenuado (tracejado) Como se pode ver o atraso faz com que o sistema deixe de funcionar, demonstrando assim a importância dos atrasos da planta. Ainda outro factor relativo à planta, é complexidade da sua resposta. Torna-se então a simular o sistema usando para P(z) e P (z), a planta cuja resposta impulsional está representada na figura 8 a cheio, eliminando assim diminuição de desempenho devido a erros de adaptação em P (z). O sinal de ruído desta vez é uma amostra áudio extraído de um ambiente fabril. Este ruído é filtrado previamente por um filtro passabaixo com uma frequência de corte a 3dB de cerca de 800Hz, isto porque este tipo de sistemas só é capaz de eliminar ruído eficazmente na banda dos 50Hz aos,5khz (aprox.), sendo que fora destes limites não produz qualquer atenuação. Na figura 84 mostra-se o espectro do ruído fabril e o resultado da atenuação. Prova-se assim que a planta não pode ter uma dinâmica muito complexa, se compararmos esta figura com a da figura 86. Na figura 86 temos o resultado da mesma simulação, mas usando para P(z) uma planta mais simples. A resposta impulsional da planta P(z) usada está representada na figura 85, onde observar que a sua dinâmica é muito mais simples do que a da planta determinada anteriormente para os auscultadores-microfone. Analisando a figura 86 verifica-se que o sistema foi capaz de produzir uma atenuação média de cerca de 0dB. Com estes resultados valida-se este esquema de cancelamento de ruído, baseado no algoritmo Filtered-X LMS, sendo o próximo passo passar à sua implementação em DSP. 66

69 Figura 84 - Espectro original do ruído (a claro) e resultado da atenuação Figura 85 Reposta impulsional 67

70 Figura 86 - Espectro original do ruído (a claro) e resultado da atenuação Implementação do sistema de cancelamento de ruído em DSP O sistema de cancelamento de ruído baseado no algoritmo Filtered-X LMS foi implementado usando o DSK (DSP Starter Kit) da Texas Instruments baseado no processador TMS30C3. Esta plataforma simples de desenvolvimento é indicada para processamento digital de sinal em tempo real. O seu processador é de vírgula flutuante, com precisão de 3bits, e operando a uma velocidade de 50MHz. O it contém ainda um interface analógico (AIC Analog Interface Circuit) com conversores A/D e D/A, com uma resolução de 4bits admitindo frequências de amostragem até 0Hz. Este interface possui também um filtro passa-baixo antiimagem e um filtro passa-banda anti-sobreposição (anti-aliasing) removível, ambos de tecnologia de condensadores comutados. A comunicação com o PC é feita através de uma interface paralela, permitindo deste modo descarregar a aplicação para o DSK e fazer o debugging do mesmo. Para o sistema de cancelamento de ruído foram montadas no interior de uns auscultadores passivos, da 3M modelo 435, uns altifalantes e um microfone. Os altifalantes terão que ser capazes de gerar uma pressão acústica superior à da fonte de ruído, ter uma boa resposta em frequência na banda de interesse, boa resistência à humidade e ser compacto. O microfone é seleccionado de modo a satisfazer os requerimentos de baixa impedância, boa relação sinal ruído, ser não direccional e possuir grande sensibilidade. É feito um condicionamento de sinal, tanto ao sinal proveniente do DSP para os altifalantes, como ao sinal proveniente do microfone que alimenta a DSP. Este circuito está representado em anexo conjuntamente com uma breve descrição. 68

71 Foram então desenvolvidas duas aplicações, usando linguagem assembly, um para a determinação da planta e outro que implementa o sistema de cancelamento de ruído. Algoritmo de determinação da planta Para que seja possível implementar o algoritmo Filtered-X LMS, é necessário determinar o modelo da planta P (z). A figura 87 mostra os componentes presentes na planta cujo processo de adaptação tem que modelar. Figura 87 Componentes presentes na planta P(z) O condicionamento feito ao sinal proveniente do D/A consiste num circuito cuja função é fornecer a corrente necessária para alimentar os altifalantes. O tratamento efectuado ao sinal vindo do microfone antes de alimentar o A/D, consiste na amplificação do sinal e na filtragem anti-aliasing. Não se usou o filtro anti-aliasing presente no DSK, pois veio-se a verificar que o it, devido ao processo de conversão D/A - A/D, introduz um atraso fixo de 0 amostras. Caso o filtro de anti-aliasing fosse usado, este atraso era acrescido de 4 amostras. Como os atrasos são críticos foi usado um filtro analógico externo de anti-aliasing. Embora o sistema de cancelamento de ruído só opere eficazmente até cerca de Hz, foi usada uma frequência de amostragem de 0Hz, quando bastava uma de cerca de 3Hz. Isto deve-se ao facto de não ser possível eliminar o atraso fixo de 0 amostras. Desta forma ao se usar uma frequência de amostragem superior reduz-se o atraso temporal efectivo. Assim, usou-se um filtro anti-aliasing com frequência de corte de cerca de 5Hz, quando se podia eliminar todas as componentes acima de Hz. Isto não se fez pois a diferença relativa de banda, entre a frequência de amostragem e a frequência de corte do filtro, faziam com que a resposta impulsional da planta se tornasse extensa, contrariando assim o requisito de simplificar ao máximo a resposta da planta. Para a determinação da planta usou-se um esquema semelhante ao da figura 6. Para a sua adaptação usa-se o LMS normalizado, entrando assim em linha de conta com a potência do sinal, que é estimada de acordo com a seguinte expressão recursiva: [ x ( n + ) ] E' [ x ( n) ] x ( n + ) x ( n L + ) E' + L 69

72 De seguida será apresentado o fluxograma da implementação em DSP da adaptação da planta. Figura 88 Fluxograma da implementação em DSP Na figura 89 está representada a resposta impulsional obtida na adaptação da planta com os auscultadores colocados na cabeça de um utilizador. 70

73 .5.5 Amplitude Amostras Figura 89 Resposta impulsional obtida no DSP Como se pode observar a partir da figura 89, existe um atraso de 0 amostras, o qual já tinha sido referido anteriormente. Após realizar várias adaptações com diferentes utilizadores, verificou-se que as variações nas respostas impulsionais das respostas obtidas eram mínimas. Estas pequenas variações são devidas as diferenças do canal auditivo de cada utilizador. Como as variações são mínimas poder-se-á extrair várias plantas de diferentes utilizadores e achar uma planta média. Essa planta pode então ser usada no algoritmo de cancelamento de ruído. Este método poderá ser preferível ao de determinar uma planta previamente por utilizador, porque além do incómodo de sujeitar o utilizador ao ruído de treino, a própria determinação da planta pode ficar deteriorada quer pela má colocação dos auscultadores, quer pela presença do ruído ambiente elevado, na altura de determinação da planta. Algoritmo de cancelamento de ruído No algoritmo de cancelamento de ruído em vez de usar o LMS normalizado usou-se o leay LMS. Quando é implementada filtragem adaptativa num processador de sinal com tamanho fixo de words, o ruído de arredondamento é realimentado para os coeficientes do filtro e acumulado continuamente. Isto pode fazer com que os coeficientes crescem mais do que a gama dinâmica do processador (overflow), o que resulta numa performance do filtro imprecisa. Uma solução para o problema é baseada em adicionar uma pequena função de esquecimento, que tende a levar o valor 7

74 de cada um dos coeficientes do filtro para zero. O leay LMS pode ser expresso como: W γ W µ e X + + onde γ é um valor pouco menor do que. Desta forma obtém-se um algoritmo de cancelamento de ruído mais robusto. O fluxograma do algoritmo é apresentado na figura 90. Na descrição do fluxograma é usada a notação da figura 80. Após a inicialização, o programa mantém-se no main à espera de uma interrupção. Quando a interrupção ocorre, a amostra presente no A/D, e(n), é capturada. Usando esta amostra é calculada a estimativa do ruído: x ( n) e( n) y (' n ). É também calculada a saída do controlador C(z): y(n) C(z,n- ) x(n), y(n) é então enviado para os auscultadores (escrita de y(n) no D/A). A rotina principal adapta os coeficientes do controlador C(z). Primeiro o sinal y(n) é filtrado com o modelo da planta P (z) de forma a gerar y (n); então, a estimativa do ruído x(n) é filtrada com o modelo da planta P (z) de forma a produzir x (n). De seguida os coeficientes do controlador são actualizados de acordo com a equação do leay LMS e, usando os sinais e(n), multiplicado por - da interrupção anterior, e o sinal x (n). O programa volta então a main e espera por uma nova interrupção. 7

75 Resultados Para verificar a capacidade de atenuação do sistema de cancelamento de ruído implementado em DSP, foram realizadas várias experiências. Cada experiência consistiu em verificar a redução de ruído para frequências singulares. As frequências testadas foram: 00Hz, 400Hz, 600Hz, 800Hz, 000Hz,.Hz e.4hz. Para cada uma destas frequências foi efectuada a medida da atenuação, em db, usando a placa de som de um PC, e analisando os resultados no Matlab. Na figura 9 é mostrado o espectro da sinusóide original e o espectro do resultado do processo de eliminação de ruído. O resultado para as diferentes frequências é apresentado na figura 9. Figura 9 - Espectro original da sinusóide a 400Hz (cinzento claro) e espectro atenuado (tracejado) 73

76 60 50 Atenuação (db) Frequência (Hz) Figura 9 Comparação da atenuação às diferentes frequências Como se pode observar tirando para a frequência simples de 00Hz, o sistema foi capaz de atenuar as frequências simples sempre mais de 40dB. Isto pode ser justificado pelo facto da planta não ter uma boa resposta abaixo dos 50Hz (figura 93), dificultando assim o desempenho do controlador a esta frequência. Figura 93 Resposta em frequência da planta Outra experiência realizada consistiu em usar para ruído, à semelhança da experiência realizada em Matlab, a soma de três sinusóides: 400Hz, 600Hz e 800Hz. Os resultados obtidos (figura 94), embora não tão bons como os obtidos em ambiente 74

77 de simulação, foram satisfatórios. Isto porque se tivermos em consideração a presença do atraso na planta, de 0 amostras, pode-se afirmar que os resultados até são melhores que os esperados. Obteve-se assim uma atenuação média de 4dB para as três sinusóides. Figura 94 - Espectro original das sinusóides (cinzento claro) e espectro atenuado (tracejado) De notar que os valores medidos representam a atenuação só do sistema activo de cancelamento, isto é, não contemplam a atenuação provocada pelos auscultadores passivos, que segundo o fabricante anda por volta dos 9dB para baixas frequências (até Hz). Tal como aconteceu no ambiente de simulação, o sistema não foi capaz de atenuar o ruído captado no ambiente fabril (filtrado a 800Hz). Na tentativa de mostrar que isso se deveu à presença dos atrasos na planta, recorreu-se mais uma vez ao Simulin, usando para P(z) a planta obtida na DSP, com e sem o atraso de 0 amostras. Os resultados foram animadores. Quando simulado com os atrasos, o sistema não produz qualquer atenuação como na DSP. Já se se eliminar as 0 amostras de atraso, o sistema produz os resultados presentes na figura

78 Figura 95 - Espectro original do ruído (a claro) e resultado da atenuação Verifica-se que acima dos 300Hz, o sistema é capaz de produzir uma atenuação de cerca de 0dB. Este resultado leva a pensar que se o atraso de 0 amostras fosse eliminado, o sistema funcionaria como previsto inicialmente. 76