Notas de Aula de SMA-304 Algebra Linear (baseada na Apostila do Prof. Zani) Wagner Nunes Departamento de Matematica ICMC { USP

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1 Notas de Aula de SMA-304 Algebra Linear (baseada na Apostila do Prof. Zani) Wagner Nunes Departamento de Matematica ICMC { USP 2010

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3 Sumário 1 Espaços Vetoriais Introduc~ao e Exemplos Propriedades Exerccios Subespaços Vetoriais Introduc~ao e Exemplos Intersec~ao e Soma de Subespacos Exerccios Combinações Lineares Introduc~ao e Exemplos Geradores Exerccios Dependência Linear Introduc~ao e Exemplos Propriedades da depend^encia linear Exerccios Base, Dimensão e Coordenadas Base Dimens~ao Dimens~ao da Soma de Subespacos Vetoriais Coordenadas

4 4 SUM ARIO 5.5 Exerccios Mudança de Base Introduc~ao, Exemplos e Propriedades Exerccios Exercícios Resolvidos Transformações Lineares Introduc~ao e Exemplos O Espaco Vetorial L (U, V) Imagem e Nucleo Isomorsmo e Automorsmo Matriz de uma Transformac~ao Linear Denic~ao e Exemplos Propriedades Exerccios Exercícios Resolvidos Autovalores e Autovetores Denic~ao, Exemplos e Propriedades Polin^omio Caracterstico Diagonalização Denic~ao e Caracterizac~ao Exerccios Espaços Euclidianos Produto Interno Norma Dist^ancia ^Angulo Ortogonalidade Processo de Gram-Schmidt Complemento Ortogonal

5 SUM ARIO Isometria Operador Autoadjunto Exerccios Forma Canônica de Jordan Introduc~ao e Exemplos Exerccios Apêndice I - Matrizes Introduc~ao Denic~oes Basicas Operac~oes com Matrizes Algumas matrizes importantes Determinante Apêndice II - Sistemas Lineares Denic~oes Basicas O Sistema Linear Homog^enio O Sistema Linear N~ao Homog^enio A Inversa de Matrizes N~ao Singulares Regra de Crammer

6 6 SUM ARIO

7 Capítulo 1 Espaços Vetoriais a a 1.1 Introdução e Exemplos Neste captulo introduziremos o conceito de espaco vetorial real que sera utilizado em todo o decorrer do curso. Porem, antes de apresentarmos a denic~ao de espaco vetorial real, passaremos a analisar em paralelo dois objetos, a saber, o conjunto formado pelas func~oes f : R R, que sera denotado por F (R; R) e o conjunto das matrizes quadradas de ordem n com coecientes reais, que denotaremos por M n (R), ou simplesmente, por M n. A soma de duas func~oes f e g de F (R; R) e denida como sendo a func~ao f + g F (R; R) dada por (f + g)(x). = f(x) + g(x), x R. Note tambem que se λ R, que chamaremos de escalar, podemos multiplicar a func~ao f pelo escalar λ, da seguinte forma resultando num elemento de F (R). (λ f)(x) = λ[f(x)], x R 7

8 8 CAPITULO 1. ESPAC OS VETORIAIS Com relac~ao a M n (R) podemos denir a soma de duas matrizes quadradas de ordem n, A = (a ij ) n n e B = (b ij ) n n, como A + B. = (a ij + b ij ) n n, ou seja, somando-se as correspondentes entradas das matizes, e esta soma resiltara em um elemento de M n (R). Com a relac~ao a multiplicac~ao de uma matriz quadrada de ordem n, A = (a ij ) n n, por um escalar λ R, denimos λ A. = (λa ij ) n n, ou seja, multiplicando-se por λ cada entrada da matiz,o qual tambem resultara em um elemento de M n (R). O que estes dois conjuntos acima, munidos dessas operacoes de adic~ao de seus elementos dos correspondentes conjuntos e multiplicac~ao de seus elementos por escalares, t^em comum? Vejamos: Verica-se facilmente a partir das propriedades dos numeros reais que, para quaisquer func~oes f, g e h em F (R; R) e para todo λ, µ R, s~ao validas as seguintes propriedades: 1. f + g = g + f; 2. f + (g + h) = (f + g) + h; 3. se O representa o func~ao nula(isto e, O(x). = 0 para todo x R) ent~ao O + f = f; 4. a func~ao f denida por e tal que f + ( f) = O; 5. λ (µ f) = (λµ) f; 6. (λ + µ) f = λ f + µ f; 7. λ (f + g) = λ f + λ g; ( f)(x). = [f(x)], para todo x R,

9 1.1. INTRODUC ~AO E EXEMPLOS f = f. Por outro lado, para quaisquer matrizes A, B e C em M n (R) e para todo λ, µ R, tambem s~ao validas as seguintes propriedades: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. se O representa o func~ao nula (isto e, O. = (0) n n ), ent~ao O + A = A; 4. se A = (a i,j ) n n ent~ao a matriz A, denida por A. = ( a i,j ) n n, e tal que A + ( A) = O; 5. λ (µ A) = (λµ) A; 6. (λ + µ) A = λ A + µ A; 7. λ (A + B) = λ A + λ B; 8. 1 A = A. Podemos ver que tanto o conjuntos das func~oes denidas na reta a valores reais como o conjunto das matrizes quadradas de ordem n, quando munidos de somas e multiplicac~ao por escalares correspondentes, apresentam propriedades algebricas comuns. Na verdade muitos outros conjuntos munidos de operac~oes apropriadas apresentam propriedades semelhantes as acima. E por isso que ao inves de estudarmos cada um desses modelos separadamente estudaremos um conjunto arbitrario e n~ao vazio, V, sobre o qual supomos estar denidas uma operac~ao de adic~ao, isto e, para cada u, v V existe um unico elemento de V associado, chamado a soma entre u e v e denotado por u + v, e uma multiplicac~ao por escalar, isto e, para cada u V e λ R existe um unico elemento de V associado, chamado de produto de u pelo escalar λ e denotado por λ u. Mais precsimante, temos a:

10 10 CAPITULO 1. ESPAC OS VETORIAIS Definição 1.1 Um conjunto V, n~ao vazio, munido de uma operac~ao de a- dic~ao, isto e, + : V V V e de uma operac~ao de multiplicac~ao por escalar, ou seja, : R V V sera denominado espaco vetorial real (ou sobre R) se s~ao validas as seguintes propriedades: (ev1) (Comutativa) u + v = v + u para todo u, v V; (ev2) (Associativa) u + (v + w) = (u + v) + w para todo u, v, w V; (ev3) (Exist^encia do elemento neutro) existe um elemento O V tal que O + u = u para todo u V; (ev4) (Exist^encia do elemento oposto) para cada u V existe v V tal que u + v = O; (ev5) (Associativa da multiplicac~ao) λ (µ u) = (λµ) u para todo u V e λ, µ R; (ev6) (Distribuitiva da multiplicac~ao) (λ + µ) u = λ u + µ u para todo u V, λ, µ R; (ev7) (Distribuitiva da multiplicac~ao pela adic~ao) λ (u + v) = λ u + λ v para todo u, v V e λ R; (ev8) (Exist^encia de elemento unitario) 1 u = u para todo u V. Observação 1.2 No caso acima a terna (V, +, ) sera dita espaco vetorial real (ou sobre R), e quando as operac~oes envolvidas forem as naturais de V diremos, apenas, que V e um espaco vetorial real (ou sobre R). E comum chamarmos os elementos de um espaco vetorial de vetores, independentemente da natureza dos mesmos. Tambem chamamos de escalares os numeros reais quando estes desempenham o seu papel na ac~ao de multiplicar um vetor por esses numero real.

11 1.1. INTRODUC ~AO E EXEMPLOS 11 Observação 1.3 O elemento O V na propriedade (ev3) e unico. De fato, qualquer outro O V satisfazendo a mesma propriedade (ev3) ent~ao, pelas propriedades (ev3) e (ev1) teramos O = O + O = O + O = O, isto e, O = O. Devido a este fato, chamaremos o vetor O de elemento neutro da adic~ao do espaco vetorial real (V, +, ). Observação 1.4 Em um espaco vetorial real (V, +, ), pela propriedade (ev4), para cada u V existe v V tal que u + v = O. Na verdade, para cada u V existe somente um unico elemento v V com esta propriedade. De fato, dado u V se v e v em V s~ao tais que u + v = O e u + v = O ent~ao, combinando estas equac~oes com as propriedades (ev1),(ev2) e (ev3), obteremos v = v+) = v + (u + v ) = (v + u) + v = (u + v) + v = O + v = v, mostrando que v = v. Denotaremos o vetor v por u e chamaremo-lo de vetor oposto do vetor u em (V, +, ). Tambem denotaremos por u v o vetor u + ( v), isto e, u v. = u + ( v). Observação 1.5 As quatro primeiras propriedades referem-se apenas a operac~ao de adic~ao e s~ao conhecidas, respectivamente, por propriedade comutativa, associativa, exist^encia do elemento neutro e exist^encia do elemento oposto. A quinta e a oitava propriedades s~ao exclusivas da multiplicac~ao por escalar e tambem podem ser chamadas de associativa e elemento unidade da multiplicac~ao, respectivamente. A sexta e a setima propriedades relacionam as duas operac~oes e s~ao ambas conhecidas por distributivas.

12 12 CAPITULO 1. ESPAC OS VETORIAIS Observação 1.6 A rigor, a denic~ao de espaco vetorial real que demos acima se refere a multiplicac~ao de vetores por numero reais, visto que estamos permitindo que os escalares sejam apenas numeros reais. A noc~ao de espaco vetorial complexo (ou sobre C) pode ser introduzida naturalmente a partir da denic~ao acima com as devidas mudancas. Mais precisamente, pedimos que sejam satisfeitas as propriedades (ev1) ate (ev4) e (ev8) enquanto que as propriedades (ev5) ate (ev7) devem valer para todo λ, µ C. No entanto, embora importante, n~ao usaremos com frequ^encia, neste curso, o conceito de espaco vetorial complexo (ou sobre C). Um outro exemplo de espaco vetorial real, alem dos dois apresentados no incio do texto, e o conjunto dos vetores de R 2 (ou R 3 ) como apresentados em Geometria Analtica munido da adic~ao de vetores e da multiplicac~ao por escalar por vetores, introduzidos no curso de Geometria Analtica. Dessa forma, o adjetivo "vetorial" utilizado na denic~ao acima deve ser entendido de uma forma mais ampla, sendo uma refer^encia aos elementos de um espaco vetorial real (V, +, ), independentemente de serem ou n~ao vetores estudados no curso de Geometria Analtica. O exemplo mais simples de espaco vetorial real seja o conjunto dos numeros reais com a adic~ao + e multiplicac~ao de R, ou seja, (R, +, ) e um espaco vetorial real (verique!). Temos tambem os seguintes exemplos s~ao espacos vetoriais reais: Exemplo Para n N, consideremos o conjunto das n-uplas ordenadas de numeros reais, que indicaremos por R n, munido das operac~oes de adic~ao de duas n-uplas ordenadas, saber: se x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, denimos ou seja, x + y. = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) R n, + : R n R n R n,

13 1.1. INTRODUC ~AO E EXEMPLOS 13 e o produto de uma n-upla por um escalar, a saber: se λ R e x = (x 1,..., x n ) denimos λ x. = (λx 1,..., λx n ) R n, : R R n R n. Pode-se mostrar, que (R n, +, ) sera um espaco vetorial real (veri- que!). Observemos que o vetor nulo de (R n, +, ) sera a n-upla nula, isto e, O. = (0,, 0) R n. Alem disso, se x = (x 1,..., x n ) R n ent~ao o vetor oposto associado ao vetor u sera n-upla x. = ( x 1,..., x n ) R n. 2. Para m, n N xados, indiquemos por V. = M m n (R) o conjunto das matrizes de ordem m n com coecientes reais, munido de operac~oes analogas aquelas denidas em M n (R) introduzidas anteriormente. Com isto temos que (M m n (R), +, ) sera um espaco vetorial real (veri- que!). Observemos que o vetor nulo O de (M m n (R), +, ) sera a matriz nula, isto e, O. = (a ij ) m n M m n (R), onde a ij. = 0, i = 1,, m e j = 1, n. Alem disso, se A = (a ij ) M m n (R) ent~ao o vetor oposto associado ao vetor A sera matriz A. = ( a ij ) m n M m n (R).

14 14 CAPITULO 1. ESPAC OS VETORIAIS 3. Para n N xado, consideremos V. = P n (R) o conjunto formado pelos polin^omios de grau menor ou igual a n com coecientes reais. Observemos que p P n (R) p(x) = a o + a 1 x + + a n x n, x R, onde a o, a 1,, a n R. Denimos a adic~ao de elementos de P n (R) e a multiplicac~ao de elementos de P n (R) por escalar da seguinte maneira: Se p, q P n (R) temos que p(x) = a o +a 1 x+ +a n x n e q(x) = b o +b 1 x+ +b n x n, x R onde a o, b o, a 1, b 1, a n, b n R ent~ao denimos p+q como sendo (p+q)(x). = p(x)+q(x) = (a o +b o )+(a 1 +b 1 )x+ +(a n +b n )x n, x R. Observemos que p + q P n (R), ou seja, adic~ao de polin^omios de grau menor ou igual a n e um polin^omio de grau menor ou igual a n, ou ainda: Se p P n (R) ent~ao + : P n (R) P n (R) P n (R). p(x) = a o + a 1 x + + a n x n, x R, onde a o, a 1,, a n R assim see λ R denimos λ p como sendo (λ p)(x). = (λa o ) + (λa 1 )x + + (λa n )x n, x R. Observemos que λ p P n (R),, ou seja, a multiplicac~ao de um polin^omio de grau menor ou igual a n por um numero real e um polin^omio de grau menor ou igual a n, ou ainda:. : R P n (R) P n (R).

15 1.1. INTRODUC ~AO E EXEMPLOS 15 Deste modo (P n (R), +, ) sera um espaco vetorial real (verique!). Observemos que o vetor nulo de (P n (R), +, ) sera o polin^omio identicamente nulo, isto e, O P n (R), onde O(x). = 0, x R. Alem disso, se p P n (R) ent~ao o vetor oposto associado ao vetor p sera o polin^omio p P n (R) onde ( p)(x). = p(x), x R. 4. Sejam I R um intervalo de R e F (I; R) o conjunto de todas as func~oes f : I R. Se f, g F (I; R) e λ R dena f + g : I R por (f + g)(x). = f(x) + g(x) e (λ f)(x) = λf(x), x A. Com isto temos denidas as operac~oes + : F (I; R) F (I; R) F (I; R) e. : R F (I; R) F (I; R). Ent~ao (F (I; R), +, ) e um espaco vetorial real (verique!). Observemos que o vetor nulo de (F (I; R), +, ) sera a func~ao identicamente nulo, isto e, O F (I; R), onde O(x). = 0, x R. Alem disso, se f F (I; R) ent~ao o vetor oposto associado ao vetor f sera a func~ao f F (I; R) onde ( f)(x). = f(x), x R. 5. Indiquemos por C(I; R) o conjunto das func~oes contnuas denidas num intervalo I R, munido das operac~oes de adic~ao de func~oes e multiplicac~ao de func~oes por numero reais denidas em F (I; R) no item 2. acima.

16 16 CAPITULO 1. ESPAC OS VETORIAIS Assim temos que (C(I; R), +, ) sera um espaco vetorial real (verique!). Observemos que o vetor nulo de (C(I; R), +, ) sera a func~ao identicamente nulo, isto e, (e uma func~ao contnua em I) O C(I; R), onde O(x). = 0, x R. Alem disso, se f C(I; R) ent~ao o vetor oposto associado ao vetor f sera a func~ao (e uma func~ao contnua em I) f C(I; R) onde ( f)(x). = f(x), x R. 6. Denotemos por C k (I; R) o conjunto das func~oes contnuas com derivadas contnuas ate ordem k N, (k e xo) denidas num intervalo aberto I R munido das operac~oes de adic~ao de func~oes e multiplicac~ao de func~oes por numero reais denidas em F (I; R) no item 2. acima. Temos que (C k (I; R), +, ) sera um espaco vetorial real (verique!). Observemos que o vetor nulo de (C k (I; R), +, ) sera a func~ao identicamente nulo, isto e, (e uma func~ao contnua com derivada ate a ordem k contnuas em I) O C k (I; R), onde O(x). = 0, x R. Alem disso, se f C k (I; R) ent~ao o vetor oposto associado ao vetor f sera a func~ao (e uma func~ao contnua com derivada ate a ordem k contnuas em I) f C k (I; R) onde ( f)(x). = f(x), x R. 7. Indiquemos por C (I; R) o conjunto das func~oes com todas as derivadas contnuas denidas num intervalo aberto I R munido das operac~oes de adic~ao de func~oes e multiplicac~ao de func~oes por numero reais denidas em F (I; R) no item 2. acima. Deste modo (C (I; R), +, ) sera um espaco vetorial real (verique!).

17 1.1. INTRODUC ~AO E EXEMPLOS 17 Observemos que o vetor nulo de (C (I; R), +, ) sera a func~ao identicamente nulo, isto e, (e uma func~ao contnua com derivada de qualquer ordem contnua em I) O C (I; R), onde O(x). = 0, x R. Alem disso, se f C (I; R) ent~ao o vetor oposto associado ao vetor f sera a func~ao (e uma func~ao contnua com derivada de qualquer ordem contnua em I) f C (I; R) onde ( f)(x). = f(x), x R a Os espacos vetoriais reais acima envolvem operac~oes com as quais estamos familiarizados. O proximo exemplo e um pouco mais sosticado do que os anteriores e por isso vericaremos que as oito propriedades ocorrem. Exemplo 1.8 Como conjunto tomaremos V. = (0, ), o semi-eixo positivo da reta real. Este conjunto se munido das operac~oes usuais de soma e multiplicac~ao de numeros reais n~ao sera um espaco vetorial real, pois n~ao satisfaz, entre outras, a propriedade da exist^encia de um elemento neutro para a adic~ao (pois 0 V). No entanto, se para x, y V e λ R, denirmos a adic~ao entre de x com y, indicada por x y, como sendo x y. = xy, (o produto usual entre os numeros reais x e y) e o produto de x pelo escalar λ, denotada por λ x, como λ x. = x λ (a potenciac~ao usual de numeros reais) ent~ao (V,, ) se torna um espaco vetorial real.

18 18 CAPITULO 1. ESPAC OS VETORIAIS Resolução: De fato, observemos que : (0, ) (0, ) (0, ) e : R (0, ) (0, ) e veriquemos, uma a uma, as oito propriedades da denic~ao de espaco vetorial real : 1. x, y V temos x y = xy = yx = y x para quaisquer x, y V, logo vale a propriedade (ev1). 2. De modo semelhante temos: x (y z) = x (yz) = x(yz) = (xy)z = (x y)z = (x y) z para quaisquer x, y, z V, logo vale a propriedade (ev2). 3. se x V ent~ao, como 1 V, temos 1 x = 1x = x; ou seja, 1 e o elemento neutro da adic~ao, o qual denotaremos por O, logo vale a propriedade (ev3). 4. se x V, isto e, x > 0, ent~ao x 1 > 0, ou seja, x 1 V e x x 1 = xx 1 = 1 = O, ou seja, o elemento oposto de x V, relativamente a adic~ao, sera x 1 V, logo vale a propriedade (ev4). 5. λ (µ x) = λ x µ = (x µ ) λ = x µλ = x λµ = (λµ) x para quaisquer x V e λ, µ R, logo vale a propriedade (ev5). 6. (λ + µ) x = x λ+µ = x λ x µ = x λ x µ = (λ x) (µ x) para quaisquer x V e λ, µ R, logo vale a propriedade (ev6).

19 1.2. PROPRIEDADES λ (x y) = λ (xy) = (xy) λ = x λ y λ = (λ x) (λ y) para quaisquer x, y V e λ R, logo vale a propriedade (ev7). 1 x = x 1 = x para qualquer x V, logo vale a propriedade (ev8). Com isto podemos concluir que (V,, ) e um espaco vetorial real. 1.2 Propriedades Das oito propriedades que denem um espaco vetorial real podemos concluir varias outras. Listaremos algumas destas propriedades no seguinte resultado: Proposição 1.9 Seja (V, +, ) um espaco vetorial real. Ent~ao: 1. para qualquer λ R, temos que λ O = O, onde 0 R e O e o elemento neutro da adic~ao de (V, +, ). 2. para qualquer u V, 3. se 0 u = O, onde 0 R e O e o elemento neutro da adic~ao de (V, +, ). λ u = O ent~ao λ = 0 ou u = O, onde 0 R e O e o elemento neutro da adic~ao de (V, +, ). 4. para quaisquer λ R e u V, temos que ( λ) u = λ ( u) = (λ u).

20 20 CAPITULO 1. ESPAC OS VETORIAIS 5. para quaisquer λ, µ R e u V, temos que (λ µ) u = λ u (µ u). 6. para quaisquer λ R e u, v V, temos que λ (u v) = λ u (λ v). 7. para quaisquer λ, µ 1,..., µ n R e u 1,..., u n V, temos que n n λ µ j u j = (λµ j ) u j. j=1 j=1 8. para qualquer u V, temos que ( u) = u. 9. se u + w = v + w segue que u = v. 10. se u, v V ent~ao existe um unico w V tal que u + w = v. Demonstração: 1. Pelas propriedades (ev3) e (ev7) temos λ O = λ (O + O) = λ O + λ O. ( ) Utilizando as propriedades (ev1) a (ev4) e a notac~ao da observac~ao (1.4), obtemos isto e, λ O = O. O = λ O + [ (λ O)] ( ) = (λ O + λ O) + [ (λ O)] = λ O + {λ O + [ (λ O)]} = λ O + O = λ O,

21 1.2. PROPRIEDADES Pela propriedade (ev6) temos 0 u = (0 + 0) u = 0 u + 0 u. Utilizando as propriedades (ev1) a (ev4) e a notac~ao da observac~ao (1.4), obtemos isto e, 0 u = O. O = 0 u + [( (0 u)] = (0 u + 0 u) + [ (0 u)] = 0 u + (0 u + [ (0 u)] = 0 u + 0 = 0 u, 3. Se λ 0, pelas propriedades (ev8) e (ev5) e pelo item 1 desta proposic~ao, segue que u = 1 u = (λ 1 λ) u = λ 1 (λ u) = λ 1 O = O. 4. Utilizando a propriedade (ev6) e o item 2 desta proposic~ao, obtemos λ u + ( λ) u = [λ + ( λ)] u = 0 u = O. Pela observac~ao (1.4), (λ u) = ( λ) u. Analogamente, utilizando-se a propriedade (ev7), mostra-se (sera deixado como exerccio para o leitor) que (λ u) = λ ( u). A prova dos outros resultados sera deixada como exerccio para o leitor. Para nalizar temos a Proposição 1.10 Seja (V, +, ) um espaco vetorial real. Mostre que se V {O} ent~ao o conjunto V tem innitos elementos distintos.

22 22 CAPITULO 1. ESPAC OS VETORIAIS Demonstração: Note que se encontrarmos uma func~ao f : R V que seja injetora ent~ao V tera innitos elementos, pois para cada λ R correspondera um elemento distinto f(λ) de V e como R tem innitos elementos distintos teremos que V tambem tera innitos elementos distintos. Seja v V, v O. Dena f : R V por f(λ) = λ v, λ R. Para mostrar que a func~ao f e injetora, tomemos λ, µ R tais que f(λ) = f(µ). Devemos mostrar que λ = µ. Como λ v = f(λ) = f(µ) = µ v, ou seja, λ v = µ v, ou, equivalentemente: λ v (µv) = O. Pelo item 4 da proposic~ao (1.9) teremos O = λ v (µ v) = λ v + ( µ) v = (λ µ) v. Como v O, pelo item 3 da mesma proposic~ao, segue que λ µ = 0, isto e, λ = µ, mostrando que a func~ao f e injetoda e completando a demonstrac~ao. 1.3 Exercícios

23 Capítulo 2 Subespaços Vetoriais 2.1 Introdução e Exemplos Muitas vezes nos depararemos com certos subconjuntos de um espaco vetorial real que possuem a propriedade de que a soma de dois de seus elementos e um elemento do proprio subconjunto bem como quando multiplicamos um elemento do subconjunto por um escalar, o resultado continua pertencendo ao subconjunto. A estes subconjuntos daremos um nome, como veremos na: Definição 2.1 Seja (V, +, ) um espaco vetorial real. Dizemos que W V, W, e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (V, +, ) se forem satisfeitas as seguintes condic~oes: (sv1) O W, onde O e o elemento neutro da adic~ao de (V, +, ); (sv2) Se u, v W ent~ao u + v W; (sv3) Se u W e λ R ent~ao λ u W. Observação 2.2 Note que todo subespaco vetorial W de um espaco vetorial real (V, +, ), e, ele proprio, um espaco vetorial sobre R com as operac~oes induzidas de V, ou seja, (W, + V, V) e um espaco vetorial sobre R (estamos indicando a operac~ao de adic~ao de elementos de (V, +, ) por + V e operac~ao de multiplicac~ao de escalar por elementos de (V, +, ) por V). 23

24 24 CAPITULO 2. SUBESPAC OS VETORIAIS As propriedades comutativa, associativa, distributivas e (ev8) s~ao herdadas do proprio espaco vetorial (V, +, ). Pela propriedade (sv1) acima, o elemento neutro da adic~ao de (V, +, ) sera um elemento de W. Finalmente, pelo item 4 da proposic~ao (1.9) e por (sv3), se u W ent~ao u = ( 1) u W, mostrando com isso que, realmente, (W, + V, V) e um espaco vetorial real. Observemos tambem que a propriedade (sv1) pode ser obtida da propriedade (sv3), pois se w W temos que O = 0.w W. Observação 2.3 Obviamente W. = {O} ou W. = V s~ao subespacos vetoriais do espaco vetorial real (V, +, ). Eles ser~ao chamados de subespacos vetoriais triviais do espaco vetorial real (V, +, ). Observação 2.4 Note que W e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (V, +, ) se, e somente se, s~ao validas as seguintes condic~oes: (sv1') O W, onde O e o elemento neutro da adic~ao de (V, +, ); (sv2') Se u, v W e λ R ent~ao u + λ v W. Deixaremos a vericac~ao deste fato como exerccio para o leitor. Vejamos alguns exemplos de subespacos vetoriais de um espaco vetorial real: Comecaremos pelo: Exemplo 2.5 Veriquemos que W. = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 0} e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (R 3, +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais em R 3 ).

25 2.1. INTRODUC ~AO E EXEMPLOS 25 Resolução: De fato: 1. E claro que o elemento nulo de R 3, isto e, O. = (0, 0, 0) R 3, pois logo O = (0, 0, 0) W. 2. Se (x, y, z), (u, v, w) S ent~ao = 0, x + y + z = 0 e u + v + w = 0, logo, (x + u) + (y + v) + (z + w) = (x + y + z) + (u + v + w) = 0 }{{}}{{} =0 0 e, portanto, (x, y, z) + (u, v, w) = (x + u, y + v, z + w) W. 3. Se (x, y, z) S e λ R ent~ao x + y + z = 0 logo, λx + λy + λz = λ (x + y + z) = 0, }{{} =0 portanto, λ (x, y, z) = (λx, λy, λz) W. Logo W R 3 e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (R 3, +, ). Deixaremos para o leitor o: Exercício 2.6 Sejam a 1,..., a n R xados e W. = {(x 1,..., x n ) R n : a 1 x a n x n = 0}. Mostre que W e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (R n, +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais em R n ). Um outro exemplo importante e dado pelo: Exemplo 2.7 O conjunto W s das matrizes simetricas quadradas de ordem n com coecientes reais (isto e, A W s se, e somente se, A t = A - ver Ap^endice I) e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (M n (R), +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais em M n (R)).

26 26 CAPITULO 2. SUBESPAC OS VETORIAIS Resolução: De fato: 1. O elemento neutro de M n (R) e a matriz identicamente nula O M n (R) e esta satisfaz O t = O, ou seja, O W s ; 2. Se A 1, A 2 W s ent~ao teremos Logo Logo, A 1 + A 2 W s. 3. Se A W s e λ R ent~ao mostrando que λ A W s. A t 1 = A 1 e A t 2 = A 2. (A 1 + A 2 ) t = A t 1 + A t 2 = A }{{}}{{} 1 + A 2. =A 1 =A 2 A t = A, logo (λ A) t = λ }{{} A t = λ A, =A Portanto W s M n (R) e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (M n (R), +, ). Deixaremos para o leitor o: Exercício 2.8 O conjunto W a das matrizes anti-simetricas quadradas de ordem n com coecientes reais (isto e, A W a se, e somente se, A t = A - ver Ap^endice I) e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (M n (R), +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais em M n (R)). Observação 2.9 Veremos, mais adiante, que toda matriz A M n (R) pode ser escrita como A = A s + A a ( ) onde A s W s e A a W a.

27 2.1. INTRODUC ~AO E EXEMPLOS 27 Alem disso, pode-se mostrar que W s W a = {O}. ( ) As propriedades (*) e (**) ser~ao de grande import^ancia como veremos mais adiante. Temos tambem o: a Exemplo 2.10 Seja P n(r) P n (R), dado por P n(r). = {p P n : p(0) = 0}. Veriquemos que P n(r) e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (P n (R), +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais em P n (R)). Resolução: De fato: 1. O polin^omio nulo, O P n (R), se anula em x = 0, isto e, logo, O P n(r). 2. Se p, q P n(r) ent~ao O(0) = 0, p(0) = 0, q(0) = 0, logo, (p + q)(0) = p(0) + q(0) = 0, }{{}}{{} =0 =0 portanto, p + q P n(r). 3. Se p P n(r) e λ R ent~ao portanto λ p P n(r). λp(0) = 0, logo, (λ p)(0) = λ p(0) = 0, }{{} =0 Logo P n(r) P n (R) e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (P n (R), +, ).

28 28 CAPITULO 2. SUBESPAC OS VETORIAIS Um outro exemplo importante e dado pelo: Exemplo 2.11 Considere o seguinte conjunto W. = {y C 2 (R; R) : y (x) y(x) = 0, x R} onde y = y (x) representa a derivada de segunda ordem da func~ao y = y(x) no ponto x R. Mostremos que W e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (C 2 (R; R), +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais em C 2 (R; R)). Resolução: De fato: 1. O elemento neutro de C 2 (R; R) e a func~ao identicamente nula O C 2 (R; R) e esta satisfaz O (x) O(x) = 0, x R, logo O W; 2. Se y 1, y 2 W ent~ao teremos Logo y 1 (x) y 1(x) = 0 e y 2 (x) y 2(x) = 0 x R. (y 1 + y 2 ) (x) (y 1 + y 2 )(x) = [y 1 } (x) {{ y 1(x)] + [y 2 } (x) y 2(x)] = 0. }{{} =0 =0 Logo, (y 1 + y 2 ) W. 3. Se y W e λ R ent~ao y (x) y(x) = 0, x R logo (λ y) (x) λ y(x) = λ [y (x) y(x)] = 0, }{{} =0 mostrando que λ y W. Portanto W C 2 (R; R) e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (C 2 (R; R), +, ).

29 2.2. INTERSEC ~AO E SOMA DE SUBESPAC OS 29 Deixaremos para o leitor os: Exercício 2.12 Sejam m, n N xados, com m n. Ent~ao W. = P m (R) e um subespaco do espaco vetorial real (P n (R), +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais em P n (R)). Exercício 2.13 O conjunto W das func~oes contnuas da reta na reta, denotado por C(R; R), e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (F (R; R), +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais em F (R; R)). Exercício 2.14 O conjunto W. = {f C([a, b]; R) : b a f(x) dx = 0} e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (C([a, b]; R), +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais em C([a, b]; R)). 2.2 Interseção e Soma de Subespaços Proposição 2.15 (Interseção de subespaços) Sejam U e W subespacos vetoriais do espaco vetorial real (V, +, ). Ent~ao U W e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (V, +, ). Demonstração: De fato: 1. Como U e W s~ao subsepacos vetoriais do espaco vetorial real (V, +, ) temos que O U e O W ent~ao O U W; 2. Se x, y U W e λ R, como U e W s~ao subsepacos vetoriais do espaco vetorial real (V, +, ), temos que Portanto, x + λ y U W. x + λ y U e x + λ y W.

30 30 CAPITULO 2. SUBESPAC OS VETORIAIS De 1.e 2. e da observac~ao (2.4) segue que U W e subespaco vetorial do espaco vetorial real (V, +, ). Questão: Com a notac~ao da proposic~ao acima, podemos armar que U W e subespaco vetorial de V? Resposta : N~ao. Para ver isto, basta considerar V. = R 2, U. = {(x, y) R 2 : x = 0} e W. = {(x, y) R 2 : y = 0}. Deixaremos como exerccio para o leitor vericar que U e W s~ao subespacos vetoriais do espaco vetorial real (R 2, +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais de R 2 - s~ao os eixos Oy e Ox, respectivamente, do plano xoy). Notemos que mas ou seja, u. = (0, 1) U U W e w. = (1, 0) W U W u + w = (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) U W, u, w U W, mas u + w U W, (verique!) logo U W não e subespaco vetoria do espaco vetorial real (R 2, +, ) Observação 2.16 Se U e W s~ao subespacos vetoriais de um espaco vetorial real (V, +, ) e V tambem e um subespaco de (V, +, ) que contem U e W (isto e, U W V ) ent~ao V tera que conter todos os vetores da forma u + w, onde u U e w W. Isto motivamos a introduzir a: Definição 2.17 Sejam U e W subespacos vetoriais de um espaco vetorial real (V, +, ). Denimos a soma de U e W, indicada por U + W, como Com isto temos a: U + W. = {u + w : u U, w W}.

31 2.2. INTERSEC ~AO E SOMA DE SUBESPAC OS 31 Proposição 2.18 [Soma de subespacos] Sejam U, W e V como na denic~ao acima. Ent~ao U + W e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (V, +, ). Alem disso, U W U + W. Demonstração: Veriquemos que U + W e subespaco vetorial do espaco vetorial real (V, +, ). 1. Como U e W s~ao subsepacos vetoriais do espaco vetorial real (V, +, ) temos que O U e O W ent~ao O = O+O U+W, mostrando que o elementro neutro da adic~ao de (V, +, ) pertence U + W (isto e, O U + W); 2. Sejam x 1, x 2 U + W ent~ao x j = u j + w j, para u j U e w j W, j = 1, 2. Se λ R ent~ao, das propriedades comutativa e associativa da operac~ao + e do fato que U e W s~ao subespacos vetoriais do espaco vetorial real (V, +, ), teremos: x 1 + λ x 2 = [u 1 + w 1 ] + λ [u 2 + w 2 ] = (u 1 + λ u 2 ) + (w }{{} 1 + λ w 2 ) U + W. }{{} U W De 1. e 2. e da observac~ao (2.4) segue que U + W e subespaco vetorial do espaco vetorial real (V, +, ). Mostremos que U W U + W. Para isto, seja v U W. Se v U ent~ao v = v + O U + W. Se v W ent~ao v = O + v U + W, ou seja, em qualquer um desses dois casos teremos U W U + W. Observação 2.19 Ainda usando a notac~ao acima, suponha que V seja um subespaco vetorial do espaco vetorial real (V, +, ) que contenha os subconjuntos n~ao vazios U e W. Neste caso, para todo u U V e todo w W V temos u + w V, ou seja, U + W V. Esta observac~ao nos fornece a demonstrac~ao da:

32 32 CAPITULO 2. SUBESPAC OS VETORIAIS Proposição 2.20 Sejam U e W subespacos vetoriais do espaco vetorial real (V, +, ). Ent~ao U+W e o menor subespaco vetorial do espaco vetorial real (V, +, ) que contem U W. Em outras palavras, se V e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (V, +, ) que contem U W ent~ao Demonstração: Ver a observac~ao acima. U W U + W V. Podemos agora introduzir a importante noc~ao dada pela: Definição 2.21 Sejam U e W subespacos vetoriais de um espaco vetorial real (V, +, ). Diremos que a soma U + W e a soma direta de U e W se U W = {O}. Neste caso usaremos a notac~ao U W para representar a soma U + W. Observação 2.22 Note que sempre temos {O} U W, pois U e W s~ao subespacos vetoriais do espaco vetorial real (V, +, ). Logo U V nos diz que U W somente podera conter o vetor nulo O. A seguir daremos uma caraterizac~ao equivalente a fornecida pela denic~ao acima, a saber: Proposição 2.23 (Soma direta de subespaços vetoriais) Sejam U e W subespacos vetoriais do espaco vetorial (V, +, ). Temos que V = U W se, e somente se, para cada v V existir um unico u U e existir um unico w W tal que v = u + w, ou seja, cada elemento de U + W se escrece, de modo unico, como soma de um vetor de U com um vetor de W.

33 2.2. INTERSEC ~AO E SOMA DE SUBESPAC OS 33 Demonstração: Suponhamos que V = U W, isto e, V = U + W e U W = {O}. Ent~ao, dado v V, como V = U + W, existem u U e w W satisfazendo v = u + w. Queremos mostrar que tal decomposic~ao e única. Suponha que existam u U e w W tais que Ent~ao, v = u + w. u + w = u + w, o que implicara que u } {{ u } = w } {{ w }. U W Mas u u U e w w W e, portanto, ou seja, ou, equivalentemente, u u = w w U W = {O}, u u = w w = O u = u e w = w, mostrando que u U e w W s~ao os unicos tal que v = u + w. Reciprocamente, suponhamos agora que para cada v V existam um unico u U e um unico w W satisfazendo v = u + w, ( ). Em particular teremos V = U + W. Resta mostrar que U W = {O}. Como U e W s~ao subespacos vetoriais do espaco vetorial (V, +, ) segue que O U e O W, logo O U W.

34 34 CAPITULO 2. SUBESPAC OS VETORIAIS Mostremos que O e o unico elemento em U W. Para isto seja v U W, isto e, v U e v W. Por hipotese, existem um unico u U e um unico w W satisfazendo v = u + w. Observe que das propriedades da exist^encia do elemento neutro, comutativa, associativa do espaco vetorial real (V, +, ), segue que: v = u + w = (u + w) + O = (u + w) + (v v) [v U W] = (u + v) + (w v) }{{}}{{} U W com u + v U e w v W. Da unicidade da decomposic~ao (*), deveremos ter u = u + v e w = w v, o que implicara que v = O, logo, U W = {O}, ou seja, V = U W, como queramos mostrar. Observação 2.24 Uma prova alternativa para mostrar que U W = {O} seria supor a exist^encia de v O em U W. Logo v U e v W. Com isto obteramos v = }{{} 2v }{{} v U W = }{{} 4v U }{{} 3v, W ou seja, duas decomposic~oes distintas (pois v O) para o vetor v ja que 2v, 4v U, 2v 4v e v, 3v W, o que seria um absurdo. Temos os seguinte exemplos: Exemplo 2.25 Verique que o espaco vetorial real (R 3, +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais em R 3 ) e a soma direta dos seguintes subespacos vetoriais U. = {(x, y, z) R 3 : x = y = 0} e W. = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 0} do espaco vetorial real (R 3, +, ).

35 2.2. INTERSEC ~AO E SOMA DE SUBESPAC OS 35 Resolução: Notemos que U e de fato um subespaco vetorial do espaco vetorial real (R 3, +, ), pois U = {(x, y, z) R 3 : x = 0} {(x, y, z) R 3 : y = 0} que s~ao dois subespacos vetoriais do espaco vetorial real (R 3, +, ) (deixaremos a vericac~ao destes fatos como exerccio para o leitor). Uma outra vericac~ao alternativa para mostrar que U e de fato um subespaco vetorial do espaco vetorial real (R 3, +, ) seria: 1. Obviamente temos que O. = (0, 0, 0) U; 2. Se ent~ao u 1 = (x 1, y 1, z 1 ), u 2 = (x 2, y 2, z 2 ) U logo x 1 = y 1 = e x 2 = y 2 = 0, logo, u 1 = (0, 0, z 1 ) e u 2 = (0, 0, z 2 ), u 1 + u 2 = (0, 0, z 1 ) + (0, 0, z 2 ) = (0, 0, z 1 + z 2 ) que, claramente, e um elemento de U; 3. Se λ R ent~ao que, e um elemento de U. λ u 1 = λ (0, 0, z 1 ) = (λ0, λ0, λz 1 ) = (0, 0, λz 1 ) Logo de 1., 2. e 3. segue que U e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (R 3, +, ). Deixaremos como exerccio para o leitor mostrar que W e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (R 3, +, ). Observemos que W. = {(x, y, z) R 3 : z = x y}, logo, dado (x, y, z) R 3 podemos escrever (x, y, z) = (0, 0, z + x + y) + (x, y, x y) }{{}}{{} U W

36 36 CAPITULO 2. SUBESPAC OS VETORIAIS e como (0, 0, z + x + y) U e (x, y, x y) W obtemos R 3 = U + W. Resta agora mostrar que U W = {O}. Para isto, seja (x, y, z) U W. Se (x, y, z) U deveremos ter x = y = 0 e se (x, y, z) W deveremos ter x + y + z = 0, logo, temos que encontrar todas as soluc~oes do sistem linear: x = 0 y = 0 (x, y, z) = (0, 0, 0) = O, x + y + z = 0 logo U W = {O}, mostrando que R 3 = U W a Exemplo 2.26 Considere U e W os seguintes subespacos do espaco vetorial real (R 3, +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais de R 3 ) dados por U. = {(x, y, z) R 3 : x = 0} e W. = {(x, y, z) R 3 : y = 0}. Mostre que R 3 = U + W, mas a soma não e direta. Resolução: Deixaremos como exerccio para o leitor a vericac~ao que U e W s~ao subespacos do espaco vetorial real (R 3, +, ). Dado (x, y, z) R 3 podemos escrever (x, y, z) = (0, y, z) + (x, 0, 0) U + W, }{{}}{{} U W pois (0, y, z) U e (x, 0, 0) W. Portanto, R 3 = U + W. No entanto, a soma não e direta pois U V {(0, 0, 0)}, pois, por exemplo, (0, 0, 1) U V. Deixaremos a cargo do leitor os: Exercício 2.27 Vimos no exemplo (2.7) e no exerccio (2.8) que W s. = {A Mn (R) : A t = A} e W a. = {B Mn (R) : B t = B}

37 2.2. INTERSEC ~AO E SOMA DE SUBESPAC OS 37 s~ao subespac~oes vetoriais de (M n (R), +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais de M n (R)). Mostre que M n (R) = W s W a (Exerccio 12 (c) da 2.a lista de exerccios). Resolução: Sugest~ao para o item 2.: mostre que se C M n (R) ent~ao e note que A W s e B W a. C = C + Ct + C Ct, }{{ 2 }}{{ 2 }.. =A Observação 2.28 Logo o item 2. do exerccio acima nos diz que toda matriz C M n (R) pode ser escrita, de modo unico, como soma de uma matriz simetrica com uma matriz anti-simetrica. Exercício 2.29 Sejam e =B P(R; R). = {f : F (R; R) : f( x) = f(x), x R} I(R; R). = {g : F (R) : g( x) = g(x), x R}, onde (F (R; R), +, ) e um espaco vetorial real (onde + e s~ao as operac~oes usuais de F (R; R)). 1. Mostre que P(R : R) e I(R; R) s~ao subespac~oes vetoriais de (F (R; R), +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais de F (R; R)). 2. Mostre que F (R; R) = P(R; R) I(R; R) (Exerccio 5 da 2.a lista de exerccios). Resolução: Sugest~ao para o item 2.: mostre que se h F (R; R) ent~ao h(x) + h( x) h(x) h( x) h(x) = +, x R }{{ 2 }}{{ 2 }.. =f(x) e note que f P(R; R) e g I(R; R). =g(x)

38 38 CAPITULO 2. SUBESPAC OS VETORIAIS Observação 2.30 P(R; R) (I(R; R), respectivamente) e o conjunto formado por todas as func~oes de F (R; R) que s~ao func~oes pares (mpares, respectivamente). Logo o item 2. do exerccio acima nos diz que toda func~ao de F (R; R) pode ser escrita, de modo unico, como soma de uma func~ao para com uma func~ao mpar. Podemos estender a noc~ao de soma de subespacos de um espaco vetorial real para um numero nito de subestacos vetoriais, a saber: Definição 2.31 Sejam U 1,..., U n subespacos vetoriais de um espaco vetorial real (V, +, ). Denimos soma dos n subsepacos vetoriais U 1,, U n, que sera indicada n por U j, por j=1 n U j = U U n j=1. = {u1 + + u n : u j U j, j = 1,..., n}. Como isto podemos enunciar a: Proposição 2.32 Sejam U 1,..., U n subespacos vetoriais de um espaco vetorial real (V, +, ). Ent~ao U 1 + +U n e U 1 U n s~ao um subespacos vetoriais do espaco vetorial real (V, +, ). Demonstração: As demonstrac~oes s~ao semelhantes a da proposic~ao (2.18) e da proposic~ao (2.15), respectivamente, as suas elaborac~oes ser~ao deixadas como exerccio para o leitor. Com isto podemos estender a noc~ao de soma direta para um numero nito de subespacos vetoriais de um espaco vetorial real, a saber:

39 2.2. INTERSEC ~AO E SOMA DE SUBESPAC OS 39 Definição 2.33 Sejam U 1,..., U n subespacos vetoriais de um espaco vetorial (V, +, ). Dizemos que a soma dos n subsepacos vetoriais U 1 a U n e uma soma direta se para cada j = 1,, n temos: U j (U U j 1 + U j+1 + U n ) = {O}. Neste caso usaremos a notac~ao U 1 U n ou n j=1 U j, para denotar a soma dos n subsepacos vetoriais U 1 a U n. Observação A express~ao sera denotada por (U U j 1 + U j+1 + U n ) (U Ûj + + U n ), onde smbolo Ûj signica que a parcela U j deve ser omitida da soma considerada. 2. Para cada j = 1,, n temos que U j e um subsepaco vetorial do espaco vetorial real (V, +, ), logo O U j, assim sempre teremos que ) O U j (U Ûj + + U n. Com isto temos a: Proposição 2.35 Sejam U 1,..., U n subespacos vetoriais de um espaco vetorial real (V, +, ). Ent~ao V = U 1 U n se, e somente se, dado v V existe, para cada j = 1,..., n, um unico u j U j tal que v = u u n.

40 40 CAPITULO 2. SUBESPAC OS VETORIAIS Demonstração: A prova e feita por induc~ao sobre n e e analoga a da proposic~ao (2.23) e por isso deixaremos os detalhes como exerccio para o leitor. Apliquemos isto ao: Exemplo 2.36 Mostre que o espaco vetorial real (P 2 (R), +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais de P 2 (R)) e soma direta dos seguintes subespacos vetoriais U 1. = {po : p o (x) = a o, x R para a o R},. U 2 = {p1 : p 1 (x) = a 1 x, x R para a 1 R}. = {p2 : p 2 (x) = a 2 x 2, x R para a 2 R}. U 3 Resolução: Deixaremos como exerccio para o leitor a vericac~ao que U 1, U 2 e U 3 s~ao subespac~oes vetoriais do espaco vetorial real (P 2 (R), +, ) Armamos que P 2 (R) = U 1 U 2 U 3. Mostremos, primeiramente, que P 2 (R) = U 1 + U 2 + U 3. Para isto, seja p P 2. Logo existem a o, a 1, a 2 R tais que p(x) = a o + a 1 x + a 2 x 2 mostrando que P 2 = U 1 + U 2 + U 3. Veriquemos que a soma e direta. = p o (x) + p }{{} 1 (x) + p }{{} 2 (x), x R, }{{} U 1 U 2 U 3 1. Armamos que U 1 (U 2 + U 3 ) = {O}. Seja p U 1 (U 2 + U 3 ). Ent~ao existem a o, a 1, a 2 R tais que p(x) = a o U 1 ( ) e p(x) = a 1 x + a 2 x 2 U 2 + U 3, ( ) x R.

41 2.2. INTERSEC ~AO E SOMA DE SUBESPAC OS 41 Se o polin^omio p n~ao fosse o polin^omio nulo teramos, por (*), que o polin^omio p deveria ter grau 0, coincidindo com o polin^omio p, dado por (**), de grau no mnimo 1 o que e um absurdo. Logo, p deve ser o polin^omio nulo, ou seja, p(x) = 0, x R, mostrando que U 1 (U 2 + U 3 ) = {O}. 2. Armamos que U 2 (U 1 + U 3 ) = {O}. Seja p U 2 (U 1 + U 3 ). Ent~ao existem a o, a 1, a 2 R tais que p(x) = a 1 x U 2 ( ) e p(x) = a o + a 2 x 2 U 3 ( ), x R. Se o polin^omio p n~ao fosse o polin^omio nulo teramos, por (*), que o polin^omio p teria grau 1, coincidindo com o polin^omio p, dado por (**), que teria grau 0 (se a 2 = 0) ou 2 (se a 2 0), o que e um absurdo. Logo, p deve ser o polin^omio nulo, ou seja, p(x) = 0, x R, mostrando que U 2 (U 1 + U 3 ) = {O}. 3. Armamos que U 3 (U 1 + U 2 ) = {O}. Seja p U 3 (U 1 + U 2 ). Ent~ao existem a o, a 1, a 2 R tais que p(x) = a 2 x 2 U 3 ( ) e p(x) = a o + a 1 x U 1 + U 2 ( ), x R. Se o polin^omio p n~ao fosse o polin^omio nulo teramos que o polin^omio p, dado por (*), deveria ter grau 2, coincidindo com o polin^omio p, dado por (**), que tem grau 0 (se a 1 = 0) ou 1 (se a 1 0), o que e um absurdo. Logo, p deve ser o polin^omio nulo, ou seja, p(x) = 0, x R, mostrando que U 3 (U 1 + U 2 ) = {O}.

42 42 CAPITULO 2. SUBESPAC OS VETORIAIS Com isto, podemos conlcuir que P 2 (R) = U 1 U 2 U Exercícios

43 Capítulo 3 Combinações Lineares 3.1 Introdução e Exemplos Vimos no captulo anterior que um subespaco vetorial e um subconjunto de um espaco vetorial real que e fechado com relac~ao a adic~ao de vetores e tambem com relac~ao a multiplicac~ao de vetor por escalar. Em outras palavras, quando somamos dois vetores de um subespaco vetorial ou multiplicamos um vetor do subespaco por um escalar, o resultado e um elemento deste subespaco. Quando combinamos repetidas vezes estas ac~oes temos o que chamamos de combinac~ao linear entre vetores. Mais precisamente, Definição 3.1 Sejam u 1,..., u n elementos de um espaco vetorial real (V, +, ). Diremos que o vetor u V e uma combinac~ao linear dos vetores u 1,..., u n se existirem escalares α 1,..., α n R tais que u = α 1 u α n u n. Observação 3.2 Sejam (V, +, ) um espaco vetorial real e U V um subespaco vetorial do espaco vetorial real (V, +, ). Se u 1,..., u n U e α 1,..., α n R ent~ao a combinac~ao linear α 1 u α n u n pertence a U, isto e, α 1 u α n u n U. 43

44 44 CAPITULO 3. COMBINAC ~OES LINEARES Exemplo 3.3 Consideremos o espaco vetorial real (P 2 (R), +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais de P 2 (R)) e o polin^omio p P 2 (R) dado por p(x). = 2 + x 2, x R. Mostre que o polin^omio p e uma combinac~ao dos polin^omios p o, p 1, p 2 P 2 (R), onde Resolução: Observemos que ver que p(x) = 2+x 2 = 2. 1 }{{} =p o (x) p o (x). = 1, p 1 (x). = x e p 2 (x). = x 2, x R. +0. x }{{} =p 1 (x) + x 2 }{{} =p 2 (x) = }{{} 2.p o (x)+}{{} 0.p 1 (x)+}{{} 1.p 2 (x),... =α o =α 1 =α 2 para todo x R, mostrando que realmente o polin^omio p P 2 (R) dado e uma combinac~ao dos polin^omios p o, p 1, p 2 P 2 (R) Exemplo 3.4 Mostre que no espaco vetorial real (P 2 (R), +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais de P 2 (R)), o polin^omio p P 2 (R) dado por p(x). = 1 + x 2, x R e uma combinac~ao dos polin^omios q o, q 1, q 2 P 2 (R), onde q o (x). = 1, q 1 (x). = 1 + x e q 2 (x). = 1 + x + x 2, x R. Resolução: Para mostrarmos o que e pedido precisamos encontrar numeros reais α, β e γ de modo que p = α q 1 + β q 2 + γ q 3. Ou seja, precisamos encontrar α, β e γ de tal modo que: 1 + x 2 = p(x) = αq o (x) + βq 1 (x) + βq 2 (x) = α + β(1 + x) + γ(1 + x + x 2 ) = (α + β + γ) + (β + γ)x + γx 2, x R,

45 3.2. GERADORES 45 que e equivalente ao sistema linear: α + β + γ = 1 β + γ = 0 cuja (unica) soluc~ao sera α = 1, β = 1 e γ = 1, γ = 1 mostrando que o polin^omio p e combinac~ao linear dos vetore q o, q 1, q 2 em (P 2 (R), +, ). 3.2 Geradores Tendo a denc~ao de combinac~ao linear podemos introduzir a: Definição 3.5 Sejam (V, +, ) um espaco vetorial real e S um subconjunto n~ao vazio de V. Denotaremos por [S] o conjunto formado por todas as combinac~oes lineares dos elementos de S. Em outras palavras, u [S] se, e somente se, existirem α 1,..., α n R e u 1,..., u n S tais que Com isto temos a: u = α 1 u α n u n. Proposição 3.6 Sejam (V, +, ) um espaco vetorial real e S um subconjunto n~ao vazio de V. Ent~ao [S] e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (V, +, ). Demonstração: 1. Como S existe u S. Mas: O = 0 u [S], ou seja, o vetor nulo e combinac~ao linear (o escalar sera o numero real 0) do vetor u S, assim O [S].

46 46 CAPITULO 3. COMBINAC ~OES LINEARES 2. Se u, v [S], da denic~ao de [S], dever~ao existir escalares α 1,..., α n, β 1,..., β m R e vetores u 1,..., u n, v 1,..., v m S de modo que u = α 1 u α n u n e v = β 1 v β m v m. Assim, para todo λ R, segue, das propriedades basicas de espacos vetoriais reais, que u + λ v = [α 1 u α n u n ] + λ (β 1 v β m v m ) = α 1 u α n u n + (λβ 1 ) v (λβ m ) v m [S], mostrando que u + λ v [S] e assim [S] sera um subespaco vetorial do espaco vetorial real (V, +, ). Definição 3.7 Sejam S e V como na denic~ao acima. Diremos que [S] e o subespaco vetorial gerado por S. Os elementos do conjunto S ser~ao denominados geradores do subespaco vetorial [S]. Se S = {u 1,..., u n } utilizaremos a seguinte notac~ao [S] = [u 1,..., u n ]. Observação 3.8 Com as denic~oes acima, se u 1,, u n V, temos que [u 1,..., u n ]. = {α 1 u α n u n : α 1,, α n R}. Com isto temos a: Proposição 3.9 Sejam S e T subconjuntos, n~ao-vazios, de um espaco vetorial real (V, +, ). Temos que: 1. S [S]; 2. Se S T ent~ao [S] [T];

47 3.2. GERADORES [[S]] = [S]; 4. Se S e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (V, +, ) ent~ao S = [S]; 5. [S T] = [S] + [T]. Demonstração: 1. Se u S ent~ao u = 1 u, ou seja, o vetor u e combinac~ao linear (com escalar igual a 1) do proprio vetor u que pertence a S logo mostrando que S [S]; u = 1 u [S], 2. Se u [S] ent~ao existem escalares α 1,..., α n R e vetores u 1,..., u n S tais que u = α 1 u α n u n. Como S T temos u 1,..., u n T e, portanto, o vetor u e combinac~ao linear de vetores de T, ou seja, u [T]; 3. Pelo item 1. desta proposic~ao temos que S [S], logo do mesmo resultado segue que [S] [[S]]. Para mostrar a outra inclus~aao, seja u [[S]]. Segue da denic~ao de subespaco gerado que o vetor u e uma combinac~ao linear de elementos de [S]. Mas como cada elemento de [S] e uma combinac~ao linear de elementos de S resulta que o vetor u sera uma combinac~ao linear de elementos de S, ou seja, u [S], ; mostrando que [[S]] [S]. Portanto [[S]] = [S]; 4. Pelo item 1. desta proposic~ao temos S [S]. Mostremos a outra inclus~ao. Para isto, seja u [S].

48 48 CAPITULO 3. COMBINAC ~OES LINEARES Ent~ao o vetor u e uma combinac~ao linear de elementos de S. Como S e um subespaco vetorial do espaco vetorial real (V, +, ), esta combinac~ao linear sera um elemento de S, ou seja, [S] S. Portanto S = [S]; 5. Mostremos que [S T] [S] + [T]. Para isto, seja u [S T]. Da denic~ao de subespaco gerado segue que, existir~ao escalares α 1,..., α n, β 1,..., β m R e vetores u 1,..., u n S e v 1,..., v m T tais que u = α 1 u α n u n + β 1 v β m v m = (α 1 u α n u }{{ n ) + (β } 1 v β m v m ) [S] + [T]. }{{} [S] [T] Mostremos agora que [S] + [T] [S T]. Para isto, seja u [S] + [T]. Ent~ao u = v + w com v [S] e w [T]. Da denic~ao de subespaco gerado, dever~ao existir escalares α 1,..., α p, β 1,..., β q R e vetores v 1,..., v p S e w 1,..., w q T tais que u = v + w = (α 1 v α p v p ) + (β 1 w β q w q ) = α 1 v }{{} α p v p }{{} +β 1 w }{{} β q w q }{{} [S T], S S T S S T T S T T S T completando a demonstrac~ao. Com as denic~oes acima podemos introduzir a: a Definição 3.10 Dizemos que um espaco vetorial real (V, +, ) e nitamente gerado se existir um subconjunto nito S V tal que V = [S]. A seguir temos os seguintes exemplos.

49 3.2. GERADORES 49 Exemplo 3.11 O espaco vetorial real (R 4, +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais de R n ) e nitamente gerado. Resolução: De fato, consideremos os seguintes vetores de R 4 : e 1. = (1, 0, 0, 0), e2. = (0, 1, 0, 0), e3. = (0, 0, 1, 0), e4. = (0, 0, 0, 1). Ent~ao se u R 4 temos que existem escalares a 1, a 2, a 3, a 4 R tais que ou seja, u = (a 1, a 2, a 3, a 4 ) u = (a 1, a 2, a 3, a 4 ). = (a 1, 0, 0, 0) + (0, a 2, 0, 0, 0) + (0, 0, a 3, 0) + (0, 0, 0, a 4 ) = a 1 (1, 0, 0, 0) + a 2 (0, 1, 0, 0, 0) + a 3 (0, 0, 1, 0) + a 4 (0, 0, 0, 1) = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + a 4 e 4 mostrando que qualquer vetor u R 4 pode ser escrito como combinac~ao linear dos vetores e 1, e 2, e 3, e 4 R 4, ou seja, R 4 = [e 1, e 2, e 3, e 4 ], portanto o espaco vetorial real (R 4, +, ) e nitamente gerado (o conjunto S. = {e 1, e 2, e 3, e 4 } e um conjunto nito formado por geradores do espaco vetorial real (R 4, +, )). Podemos estender o exemplo acima a seguinte situac~ao: Exercício 3.12 Seja n N xado. O espaco vetorial real (R n, +, ) (onde + e s~ao as operac~oes usuais de R n ) e nitamente gerado. Resolução: De fato, consideremos os vetores de R n : e 1. = (1, 0,..., 0), e2. = (0, 1, 0,..., 0),..., en. = (0,..., 0, 1).