Notas de Algebra Linear. Eduardo Hernandez, Michelle Pierri

Transcrição

1 Notas de Algebra Linear Eduardo Hernandez, Michelle Pierri

2 Sumário 1 Espaços Vetoriais 4 11 Exercícios 8 12 Exercicios Interseção e Soma de Subespaços vetoriais Exercícios Subespaços gerados Exercícios 20 2 Dependência Linear, Base e Dimensão Exercícios Coordenadas de um Vetor Exercícios Prova teste 1 de Prova Teste 2 de Prova 1 do ano Prova 1 de Transformações Lineares Imagem e Núcleo de uma transformação Isomorsmo e Automorsmo O Espaço Vetorial L(U, V A matriz associada a uma Transformação Linear Exercícios 53 4 Autovalores e Autovetores Polinômio Característico Exercícios Transformações lineares diagonalizaveis Exercícios Prova teste 2 de Prova 2 de Espaços Euclidianos Produto Interno Ortogonalidade Processo de Gram-Schmidt O metodo dos mínimos quadrados Complemento Ortogonal 80 2

3 515 Isometrias Exercícios Prova teste 3 de Prova 3 de Prova de recuperação de Referências Bibliográcas 86 3

4 Capítulo 1 Espaços Vetoriais Neste capítulo introduzimos o conceito de espaço vetorial No que segue desta apostilha, R denota o conjunto dos números reais Denição 11 Seja V é um conjunto não vazio e suponha que existem duas operações denidas em V, uma operação chamada soma que a cada par de elementos u, v V associa um único elemento de V denotado por u + v, e uma operação chamada multiplicação por escalar que a cada u V e todo λ R associa um único elemento de V denotado por λu Dizemos que o triple (V, +, é um espaço vetorial se as seguintes condições são satisfeitas: P 1 u + v = v + u para todo u, v V, (propriedade comutativa P 2 u + (v + w = (u + v + w para todo u, v, w V, (propriedade associativa P 3 existe um elemento 0 V tal que 0 + u = u para todo u V, (elemento neutro P 4 para cada u V (oposto aditivo de u existe v V tal que u + v = 0, P 5 α (β u = (αβ u para todo u V e α, β R, P 6 (α + β u = α u + β u para todo u V, α, β R, P 7 α (u + v = α u + α v para todo u, v V e α R, P 8 1 u = u para todo u V Observação 12 Os elementos de um espaço vetorial (independentemente da natureza do conjunto V são chamados de vetores e os números reais que aparecem na multiplicação λ u são chamados escalares Observação 13 Para simplicar, no que segue de esta apostilha escreveremos simplesmente λu em lugar de λ u A seguir apresentamos alguns exemplos de espaçõs vetorias Exemplo 14 Um exemplo obvio de espaço vetorial é o conjunto R munido com as operações + e usuais 4

5 Exemplo 15 O espaço R n Seja R n o conjunto formado por todas as n-uplas ordenadas de números reais Lembre que uma n-upla de números reais é uma ordenação de números reais da forma (x 1,, x n No conjunto R n denimos a soma de n-uplas e a multiplicação escalar por (x 1,, x n + (y 1,, y n = (x 1 + y 1,, x n + y n, λ (x 1,, x n = (λx 1,, λx n Deixamos como exercício mostrar que R n munido com as operações acima é um espaço vetorial Exemplo 16 O espaço das matrizes de ordem n m Sejam n, m N Lembremos que uma matriz de ordem n m é uma ordenação de números reais a i,j da forma a 1,1 a 1,2 a 1,m a 2,1 a 2,2 a 2,m a i,1 a i,2 a i,m a n,1 a n,2 a n,m formada por n-las e m-colunas Para simplicar, no que segue uma matriz como a anterior será representada na forma A = (a i,j n,m Denimos M(n, m como sendo o conjunto formado por todas a matrizes de ordem n m munido das seguintes operações: Soma: Se A = (a i,j n,m e B = (b i,j n,m a A + B é dada por A + B = (a i,j + b i,j n,m, Multiplicação por escalar: Se λ R e A = (a i,j n,m, a matriz λa é dada por λa = λ (a i,j n,m = (λa i,j n,m Exercício 17 Mostrar que M(n, m é um espaço vetorial Exemplo 18 O espaço de polinômios de grau menor o igual a n Seja n N e P n (R o conjunto formado por todos os polinômios com coecientes reais de grau menor ou igual a n denidos de R em R Lembre que um polinômio com coecientes reais denido de R em R é uma função f : R R da forma f(x = a 0 + a 1 x + + a n x n = n i=0 a ix i onde cada a i é um número real Em P n (R denimos as operações soma e multiplicação por escalar na forma Soma: Se p(x = a 0 + a 1 x + + a n x n = n i=0 a ix i e q(x = b 0 + b 1 x + + b n x n = n i=0 b ix i denimos (p+q(x = (a 0 +b 0 +(a 1 +b 1 x+ +(a n +b n x n = n i=0 (a i + b i x i Multiplicação por escalar: Se p(x = a 0 + a 1 x + + a n x n = n i=0 a ix i e λ R denimos λ p como o polinômio dado por λ p(x = (λa 0 + (λa 1 x + + (λa n x n = n i=0 λa ix i 5

6 Exercício 19 Mostrar que P n (R munido com as operações anteriores é um espaço vetorial Exemplo 110 Espaços de funções Seja A R e denotemos por F(A; R o conjunto formado por todas as funções f denidas de A em R No conjunto F(A; R consideramos as seguintes operações: Soma: Se f, g F (A; R á função soma f +g : A R é dada por (f +g(x = f(x + g(x Multiplicação por escalar: Se λ R e f F (A; R a função λ f é dada por (λ f(x = λf(x Exercício 111 Mostrar que F (A; R munido com as operações anteriores é um espaço vetorial Os exemplos anteriores envolvem conjuntos e operações que já conhecemos O seguinte exemplo é mais abstrato e por isso o estudaremos com maior atenção Exemplo 112 Um exemplo abstrato No conjunto V = (0, denimos a soma entre dois números x e y de V por x y = xy (aqui xy é o produto usual entre x e y e o produto escalar de x e λ R por λ x = x λ Com essas operações temos que V é um espaço vetorial De fato, note que P 1 se x, y V temos que x y = xy = yx = y x para todo x, y V, P 2 x (y z = x (yz = x(yz = (xyz = (x yz = (x y z para todo x, y, z V, P 3 se x V temos que 1 x = 1x = x Logo, o vetor 0 em P 3 é o número 1, P 4 se x V então 1 x V, de onde segue que P 4 é satisfeita com x = 1 x, P 5 λ (µ x = λ x µ = (x µ λ = x µλ = x λµ = (λµ x para todo x V e λ, µ R, P 6 (λ + µ x = x λ+µ = x λ x µ = x λ x µ = (λ x (µ x para todo x V e λ, µ R, P 7 λ (x y = λ (xy = (xy λ = x λ y λ = (λ x (λ y para todo x, y V e λ R, P 8 1 x = x 1 = x para todo x V Exemplo 113 Seja V = {(x, y, z, w R 4 : y = x, z = w 2 } com as operações usuais de R 4 Como (0, 0, 1, 1 V e 1(0, 0, 1, 1 = (0, 0, 1, 1 V, segue que V não é um espaço vetorial Um dos aspectos mais interessantes de qualquer teoria matemática é que ela é desenvolvida a partir de um conjunto de propriedades básicas Em particular, notamos que todos os resultados e aplicações da álgebra linear são obtidos a partir dos axiomas P 1 -P 8 No próximo resultado vemos como é possível obter novas propriedades a partir desses axiomas 6

7 Proposição 114 Se (V, +, é um espaço vetorial, então as seguintes propriedades são vericadas 1 O elemento 0 da propriedade P 3 é único 2 Para cada u V o vetor da propriedade P 4 é único No que segue este vetor é notado por u 3 Se 0 é o vetor em P 3 e λ R então λ0 = 0 V 4 Se 0 é o número real zero e u V então 0u = 0 V 5 Se λu = 0 então λ = 0 ou u = 0 6 Se u V então 1 u = u 7 Se λ R e u V então ( λu = λ( u = (λu 8 Se u V então ( u = u 9 Se u + w = v + w então u = v 10 Se u, v V então existe um único w V tal que u + w = v Prova: Mostremos as seis primeiras propriedades A prova das outras será deixada como exercicio 1 Suponha que 0 V também satisfaça a propriedade P 3 Então, por P 3 e P 1 temos que 0 = = = 0 2 Suponha que v V é tal que u + v = 0 Usando P 1, P 2 e P 3 vemos que v = v + 0 = v + (u + u = (v + u + u = (u + v + u = 0 + u = u Isto prova que existe um único vetor que verica a propriedade P 4 3 Por P 3 e P 7 temos que λ0 = λ(0 + 0 = λ0 + λ0 Usando isto, vemos que λ0 = λ0 + λ0, / + (λ0 λ0 + (λ0 = (λ0 + λ0 + (λ0 0 = (λ0 + λ0 + (λ0 por P 3 0 = λ0 + (λ0 + (λ0 por P 2 0 = λ0 + 0 por P 4 0 = λ0, por P 3, o que prova a propriedade 4 Note que 0u = (0+0u = 0u+0u Logo, somando (0u ao ambos lados desta igualdade vemos que 0u + (0u = (0u + 0u + (0u 0 = 0u + (0u + (0u por P 2 0 = 0u + 0 por P 4 0 = 0u por P 3 7

8 5 Suponha que λu = 0 e que λ 0 Por P 8, P 5 e propriedade em (3, vemos que u = 1u = (λ 1 λu = λ 1 (λu = λ 1 0 = 0 6 Como 0 = 0 u = ( u = ( 1 u + 1 u = 1u + u, de (2 segue que u = 1 u 11 Exercícios 1 Verique que o conjunto V com as operações indicadas é um espaço vetorial {( } a b (a O conjunto V = : a, b R com as operações usuais de b a M(2, 2 {( } a b (b O conjunto V = : a, b R com as operações usuais de b 3a M(2, 2 (c O conjunto V = { (x, y R 2 : 3x 2y = 0 } com as operações usuais de R 2 (d O conjunto V = {f : R R : f( x = f(x, x R} com as operações do espaço F(R; R (e O conjunto V = n N P n(r com as operações do espaço F(R; R (f O conjunto V = R 2 munido das operações (x 1, y 1 (x 2, y 2 = (2x 1 2y 1, y 1 x 1 e α (x, y = (3αx, αx (g O conjunto V = R 2 com as operações (x 1, y 1 (x 2, y 2 = (x 1 +x 2, y 1 +y 2 e α(x, y = (αx, 0 (h O conjunto V = { (x, y, z, w R 4 : y = x, z = w 2} com as operações de R 4 (i V = R (R \ {0} com as operações (x 1, y 1 (x 2, y 2 = (x 1 + x 2, y 1 y 2, α (x, y = (αx, y α (j Seja ω R e F ω = {f F (R, R : f é ω periodica} (lembre que uma função f R é ω periodica f(s + ω = f(s para todo s R Com as operações do espaço F(R; R, o conjunto F ω é um espaço vetorial? 2 Suponha que (U,, e (W,, são espaços vetoriais No espaço produto U W = {(x, y : x U, y W } denimos as operações (u, v + (w, z = (u w, v z e λ(u, v = (λ u, λ v Com as operações anteriores U W é um espaço vetorial? Observação 115 Para simplicar as notações, no que segue desta apostilha V será um espaço vetorial e as operações soma e multiplicação por escalar serão denotadas por u + v e αu respectivamente Introduzimos agora o conceito de subespaço vetorial Denição 116 Seja W V Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, se W munido das operações soma e multiplicação por escalar de V é um espaço vetorial 8

9 Observação 117 É conveniente lembrar a seguinte frase da denição de espaço vetorial: Uma operação soma que a cada par de elementos u, v V associa um único elemento de V denotado por u + v, e uma multiplicação por escalar que a cada u V e todo λ R associa um único elemento de V denotado por λu " Assim, para que W V seja um subespaço vetorial de V é necessário que u + v e λu sejam elementos de W se u, v pertencen a W e λ R Como veremos no próximo resultado, estas propriedades caracterizam o conceito de subespaço vetorial Proposição 118 Um conjunto W V é um subespaço vetorial de V u+λv W para todo u, v W e todo λ R Prova: Se W é um subespaço vetorial de V, da denição de subespaço vetorial (veja também a observação 117 segue diretamente que u + λv W para todo u, v W e todo λ W Suponha agora que u + λv W para todo u, v W e todo λ R Para provar que W é um espaço vetorial temos que mostrar que as propriedades P 1 -P 8 ( veja Denição 11 são vericadas As propriedades P 1, P 2, P 5, P 6, P 7 e P 8 são trivialmente satisfeitas pois elas são válidas em relação a V Assim, para completar a prova é suciente mostrar que P 3 e P 4 são satisfeitas Seja u W e λ R Da Proposição 114 sabemos que u = 1u Logo, 0 = u + u = u + 1u W o que implica que a condição P 3 é satisfeita Usando agora que 0 W e que u = 1u temos que u = 0 + 1u W o que prova que P 4 é também válida Segue do anterior que W é um subespaço vetorial de V Isto completa a prova Vejamos alguns examplos de sub-espacos vetoriais Exemplo 119 Obviamente os conjuntos {0} e V são subespaços vetorais de V Estes subespaços são chamados de subespaços vetoriais triviais de V Exemplo 120 O conjunto S = {(x, y, z R 3 : x + y + z = 0} é um subsepaço vetorial de R 3 Sejam u = (x, y, z, v = (x 1, y 1, z 1 elementos de S e λ R Para mostrar que W é um subespaço vetorial de R 3 temos que provar que u+λv = (x+λx 1, y+λy 1, z+λz 1 pertence a S Da denição de S segue que x + y + z = 0 e que x 1 + y 1 + z 1 = 0 Logo, x + λx 1 + y + λy 1 + z + λz 1 = x + y + z + λ(x 1 + y 1 + z 1 = 0, o que mostra que u + λv S Por tanto, S é um subespaço de R 3 Exemplo 121 Seja P n(r o subconjunto de P n (R denido por P n(r = {p P n : p(0 = 0} Para mostrar que P n(r é um subespaço vetorial de P n (R usaremos a Proposição 118 Sejam f, g P n(r e λ R Provar f + αg P n(r é equivalente a mostrar que (f + λg(0 = 0 Note agora que (f + λg(0 = f(0 + (λg(0 = f(0 + λg(0 = 0 + λ0 = 0 Exemplo 122 Seja A M(n, n e W = {X M(n, 1 : AX = 0} O conjunto W é um subespaço vetorial de M(n, 1 Sejam X, Y W e λ R Para mostrar que X + λy W temos que provar que A(X + λy = 0 Note agora que da denição de W, temos que AX = 0 e AY = 0, de onde segue que A(X + λy = AX + A(λY = AX + λay = O + λo = O Pela Proposição 118, isto prova que W é um subespaço vetorial de M(n, 1 9

10 12 Exercicios 1 Seja V um espaço vetorial e W V um subespaço vetorial de V Mostre que (a se v 1,, v n são vetores de V e λ 1,, α n são números reais então n i=1 α iv i V, (b se w 1,, w n são vetores de W e λ 1,, α n são números reais então n i=1 α iw i V, 2 Sejam a 1,, a n R e W = {(x 1,, x n R n : n i=1 a jx j = a 1 x a n x n = 0} O conjunto S é um subespaço vetorial de R n? 3 Resolver o exercício anterior usando o Exemplo O conjunto das matrizes simétricas de ordem n n é um subespaço vetorial de M(n, n? Lembre que uma matriz A = (a i,j n,n é simétrica se a i,j = a j,i para todo i, j 5 Sejam m, n N com m n O conjunto P m (R é um subespaço de P n (R? 6 Seja S n(r o subconjunto de P n (R dado por S n(r = {f = n a j x j P n (R : a j = 0 se j é par} i=0 Mostre que S n(r é um subespaço vetorial de P n (R 121 Interseção e Soma de Subespaços vetoriais Nesta seção veremos que a interseção e a soma de subespaços vetorias é um subespaço vetorial Para começar, estudemos o caso da interseção Proposição 123 Suponha que U e W são subespaços vetoriais de V conjunto U W = {x V : x U x W } é subespaço vetorial de V Então o Prova: Para mostrar o resultado usamos a Proposição 118 Sejam u, v U W e λ R Como u, v U e U é um espaço vetorial temos que u + λv U Da mesma maneira, como u, v W e W é um espaço vetorial também temos que u + λv W Do anterior, u + λv U e u + λv W o que implica que u + λv U W Agora, pela Proposição 118 segue que U W é sub-espaço vetorial de V Denição 124 Sejam U e W subconjuntos de V O conjunto U + W denido por U + W = {u + w : u U, w W } é chamado soma de U e W A soma U + W é chamada direta se U W = {0} Se a soma U + W é direta, usaremos a notação U W em lugar de U + W Proposição 125 Suponha que U, W são subespaçõs vetoriais de V Então, 1 U + W é um subespaço vetorial de V, 2 U + W é o menor subespaço vetorial de V que contém U W, ou seja, se Q é um subespaço vetorial de V que contém U W então U + W Q, 10

11 3 a soma U + W é direta para cada v U + W existe um único u U e um único w W tais que v = u + w Prova: Para começar, mostremos que U + W é um subespaço vetorial de V Sejam u, v U + W e λ R Como u U + W, temos que existem vetores u 1 U e w 1 W tais que u = u 1 + w 1 Similarmente, como v U + W existem vetores u 2 U e w 2 W tais que v = u 2 + w 2 Como U e W são subespaços vetoriais de V segue que u 1 + u 2 U e que λ(w 1 + w 2 W Usando isto, vemos que u + λv = u 1 + λw 1 + u 2 + λw 2 = u 1 + u 2 + λ(w 1 + w 2 U + W, de onde concluimos via a Proposição 118 que U + W é um subespaço vetorial de V Provaremos agora a segunda propriedade Para começar vejamos que U W U +W Se u U então u = u+0 U +W de onde segue que U U +W Da mesma forma podemos provar que W U + W Do anterior segue que U W U + W Suponha agora que Q é um subespaço vetorial de V tal que U W Q Se u U e w W então u Q e w Q, o que implica que u + w Q pois Q é subespaço vetorial de V Agora, da denição de U + W, vemos que U + W = {u + w : u U, w W } Q Para nalizar, mostremos a propriedade (3 Suponha que a soma U +W é direta e que z U +W Da denição de U +W segue que existem vetores u 1 U e w 1 W tais que z = u 1 + w 1 Suponha agora que z também pode ser representado na forma z = u 2 + w 2 com u 2 U e w 2 W Nas condições anteriores temos que u 1 + w 1 = u 2 + w 2 o que implica que u 1 u 2 = w 2 w 1 (126 Como u 1 u 2 U e u 1 u 2 = w 2 w 1 W, segue que u 1 u 2 U W = {0} o que implica que u 1 u 2 = 0 e u 1 = u 2 Mais ainda, como 0 = u 1 u 2 = w 2 w 1 obtemos que w 1 = w 2 Isto prova que a representação de z como soma de vetores de U e W é única Suponha agora que para cada v U + W existe um único u U e um único w W tais que v = u + w Se z U W então z = 0 + z e z = z + 0 de onde inferimos que z = 0 (pela hipotese, z pode ser escrito em uma única maneira Como z é arbitrário, segue do anterior que U W = {0}, o que implica que a soma U + W é direta A prova está completa Exemplo 127 Sejam U = {(x, y, z R 3 : x + y + z = 0} e W = {(x, y, z R 3 : x = y = 0} Vejamos que R 3 = U W É simple mostrar que U, W são subespaços vetoriais de R 3 (deixamos isto como exercicio! Para mostrar que R 3 = U W, temos que provar que R 3 = U + W e que U W = {0} Suponha que z = (z 1, z 2, z 3 U W Da denição de W segue que z 1 = z 2 = 0 e da denição de U vemos que z 3 = z 1 +z 2 +z 3 = 0, o que prova que z = (z 1, z 2, z 3 = 0 e que U W = {0} Portanto, U + W é um somma direta Vejamos agora que R 3 = U + W Como U e W são sub-espaços vetoriais de R 3, temos que U + W também é sub-espaço vetorial de R 3, o que em particular mostra que U + W R 3 Para completar a prova temos que mostrar que R 3 U + W Equivalentemente, temos que mostrar que todo vetor de R 3 pode ser escrito na forma u + w com u U e w W Suponha que v = (x, y, z R 3 Da denição de U e W temos que 11

12 (x, y, x y U e que (0, 0, z + x + y W, o que implica que v = (x, y, z = (x, y, x y + (0, 0, z + x + y U + W Isto prova que R 3 U + W Agora a prova que R 3 = U W está completa O conceito de soma direta pode ser generalizado Denição 128 Seja V espaço vetorial e suponha que U 1,, U n são subconjuntos de V A soma dos conjuntos U 1,, U n, é o conjunto denido por n U i = U U n = {u u n : u j U j, j = 1,, n} i=1 Denição 129 Sejam U 1,, U n subespaços vetoriais de de V Dizemos que a soma U U n é direta se U j (U U j 1 + U j+1 + U n = {0} para todo j {1, n} No que segue, usaremos a notação U 1 U n = n i=1 U i para indicar que a soma U U n é direta Procedendo como na prova da Proposição 125, podemos mostrar o seguinte resultado Proposição 130 Se U 1,, U n são subespaços vetoriais de V então 1 U U n é um subespaço vetorial de V, 2 U 1 + +U n é o menor subespaço vetorial de V que contém o conjunto n i=1 U i, 3 a soma U 1 + +U n é direta para cada v U 1 + +U n e todo j {1,, n} existe um único vetor u j U j tal que v = u u n Prova: Exercicio Exemplo 131 Vejamos que P n (R é soma direta dos subespaços vetoriais U i = {f P n (R : a R tal que f(x = ax i, x R}, i = 1,, n Se f P n (R então f é da forma f(x = a 0 + a 1 x + a n x n de onde segue que f U U n pois a i x i U i para cada i Isto prova que P n (R U U n e que P n (R = U U n pois U U n P n (R Para completar a prova usamos o item (3 da Proposição 130 Suponha que f P n (R é tal que f(x = a 0 + a 1 x + a n x n e f(x = b 0 + b 1 x + b n x n Do anterior, temos que H(x = (a 0 b 0 + (a 1 b 1 x + + (a n b n x n = 0 para todo x R Como a 0 b 0 = H(0 = 0 segue que a 0 = b 0, de onde temos que H(x = (a 1 b 1 x + (a 2 b 2 x (a n b n x n = 0 para todo x R Assim, x[(a 1 b (a n b n x n 1 ] = 0 para todo x R o que implica que (a 1 b 1 + (a 2 b 2 x + + (a n b n x n 1 = 0 para todo x 0 Se (a 1 b 1 > 0 (resp (a 1 b 1 < 0 então podemos escolher x sucientemente pequeno de modo que (a 1 b 1 > [(a 2 b 2 x+ +(a n b n x n 1 ] (resp (a 1 b 1 < [(a 2 b 2 x + + (a n b n x n 1 ] o que é absurdo pois neste caso temos que (a 1 b 1 + [(a 2 b 2 x + + (a n b n x n 1 ] 0 Assim, única possibilidade é ter que a 1 b 1 = 0 Segundo o anterior, H(x = (a 2 b 2 x (a n b n x n = 0 para todo x R de onde segue que x 2 [(a 2 b (a n b n x n 2 ] = 0 para todo x R e 12

13 (a 2 b 2 + (a 3 b 3 x + + (a n b n x n 2 = 0 para cada x 0 Argumentando como antes podemos provar que a 2 b 2 = 0 Continuando o processo anterior, segue que a i b i = 0 para todo i {1,, n}, o que implica que a representação de f é única Isto completa a prova que P n (R = U U n 13 Exercícios Ex 132 Nos seguintes casos estude se W é um subespaço vetorial de V 1 V = M(2, 2 e W = {( a b a c 2 V = R 4 e W = {(x, x, y, y : x, y R} } : a, b, c, R 3 V = P n (R e W = {p P n (R : p(0 = p(1} 4 Sejam V = M(n, n, B M(n, n e W o subconjunto de V dado por W = {A M n : BA = 0} 5 Sejam V = M(n, 1, A M(n, n uma matriz dada e W o subconjunto de V denido por W = {X V : AX = 0} 6 V = M(n, n e W = { A M(n, n : A T = A } onde A T denota a matriz transposta de T Note que A T = (a j,i n,m quando A = (a i,j n,n 7 V = R 3 e W = {(x, y, z R 3 : x = 0}, 8 V = R 3 e W = {(x, y, z R 3 : x = 1}, 9 V = R 3 e W = {(x, y, z R 3 : x 2 + y + z = 0}, 10 V = R 3 e W = {(x, y, z R 3 : x y z}, 11 V = R 3 e W = {(x, y, z R 3 : x + y Q}, (Q é o conjunto dos números racionais 12 V = R 3 e W = {(x, y, z R 3 : x Z}, (Z é o conjunto dos números inteiros 13 V = R 3 e W = {(x, y, z R 3 : y é irracional}, 14 V = R 3 e W = {(x, y, z R 3 : x 3z = 0}, 15 V = P 3 (R e W = {f P 3 (R : f tem grau maior que 2}, 16 V = P 3 (R e W = {f P 3 (R : f(0 = 2f(1}, 17 V = P 3 (R e W = {f P 3 (R : f(t > 0, t R}, 18 V = P 3 (R e W = {f P 3 (R : f(1 > 0} Ex 133 Achar subespaços vetoriais de R 2 Quantos subespaços vetoriais de R existem? 13

14 Ex 134 Estudar as seguintes armações (se você considera que a armação é verdadeira prove ela e se acha que é falsa invente um contra exemplo: 1 Se W 1 e W 2 são susbespaços vetoriais de V então W 1 W 2 é subespaço vetorial de V 2 Suponha que W 1 e W 2 são subespaços de V Então W 1 W 2 é subespaço de V W 1 W 2 ou W 2 W 1 3 Se W 1 e W 2 são susbespaços vetoriais de V então o conjunto {w 1 αw 2 : w i W i, α R} é um subespaço vetorial de V 4 Se W 1 e W 2 são susbespaços vetoriais de V então o conjunto W 1 W 2 = {(w 1, w 2 : w 1 W 1, w 1 W 1 } é um subespaço vetorial de V V (Note que V V é um espaço vetorial quando munido das operações (v 1, v 2 + (v 3, v 4 = (v 1 + v 3, v 2 + v 4 e λ(v 1, v 2 = (λv 1, λv 2 5 Se U = {(x, y, z R 3 : x = 0} e W = {(x, y, z R 3 : y = 0} então R 3 = U W Ex 135 Nos seguintes casos, achar os subespaços U + W e U W de V 1 V = R 2, U = { (x, y R 2 : y = 0 } e W = { (x, y R 2 : x = αy } onde α é um número real não nulo {( } {( } a 0 0 c 2 V = M((2, 2, U = : a, b R e W = : c, d R 0 b 0 d 3 Se V = R 2, U = { (x, y R 2 : 2x + 3y = 0 } e W = { (x, y R 2 : x y = 0 } então V = U W 4 Sejam V = M(3, 3 e U, W os subespaços de V dados por a b 0 U = 0 0 c : a, b, c, d R 0 0 d 0 0 e W = f g 0 ; e, f, g, h, i R h i 0 Ex 136 Nos seguintes casos, achar um subespaço W de V de modo que V = U W 1 V = R 3 e U = {(x, y, 0 : x, y R} 2 V = M(3, 3 e U = { A M(3, 3 : A T = A } 3 V = M(2, 1 e U = {X M(2, 1 : AX = 0} sendo A = ( Ex 137 Suponha que U e W são subespaços vetoriais do espaço V Provar que: 1 U W U + W = W 2 U W U W = U 3 U + W = U U W 4 U W = U U W 14

15 131 Subespaços gerados Nesta seção veremos como obter um subespaço vetorial de V a partir de um subconjunto de V Para começar introduzimos o conceito de combinação linear de vetores Denição 138 Seja S = {u 1,, u n } V e u V Dizemos que u é uma combinação linear dos vetores u 1,, u n (ou uma combinação linear dos vetores em S se existem números reais α 1,, α n tais que u = n i=1 α iu i Exemplo 139 Seja S P n (R o conjunto denido por S = {1, x, x 2,, x n } Os vetores 1 + x, 1 + x 2, 1 + 2x + 3x 2 são combinações lineares dos vetores em S Mais ainda, todo vetor de P n (R (equivalentemente, todo polinômio de grau n é combinação linear dos vetores em S Exemplo 140 Seja S o subconjunto de P 2 (R dado por S = {1, 1 + x, 1 + x + x 2 } Mostre que o polinômio p(x = 1 + x 2 é combinação linear dos vetores em S Observação 141 Seja n N Nesta apostilha, para i {1,, n} usaremos a notação e i para o vetor de R n dado por e i = (x 1,, x i,, x n onde x j = 0 se j i e x i = 1 Os vetores e 1,, e n são chamados de vetores canónicos de R n Exemplo 142 Seja y R n Como y = (y 1,, y i,, y n = n i=1 y ie i, vemos que todo vetor de R n é combinação linear dos vetores e 1,, e n Exemplo 143 Sejam n, m N, k {1,, n} e p {1,, m} Nesta apostilha, usamos a notação A p,k para a matriz A p,k = (a i,j n,m M(n, m tal que a i,j = 0 quando (i, j (k, p e a k,p = 1, ou seja, A k,p = onde o número 1 aparece no lugar (k, p É facil ver que toda matriz de M(n, m é combinação linear das matrizes em {A i,j : i = 1,, n, j = 1,, m} Mais ainda, se A = (a i,j n,m então A = n i=1 m j=1 a i,ja i,j = i,j a i,ja i,j Denição 144 Seja S V não vazio Denimos o conjunto [S] como sendo o subconjunto de V formado por todas as combinações lineares dos elementos de S, ou seja, [S] = {v = n i=1 α isi : α i R, s i S, n N} O conjunto [S] é chamado de conjunto gerado por S Observação 145 Se na denição anterior temos que S = {u 1,, u n } V, então [S] = { n i=1 α iu i : α i R} Observação 146 Seja S V Do Exercicio 12 segue que [S] V Exemplo 147 Seja n N e S = {e 1,, e n } = {e i : i = 1,, n} Como todo vetor de R n é combinação linear dos vetores e 1,, e n segue que R n [S], o que implica que R n = [S] pois R n [S] 15

16 Suponha agora que S = {A i,j : i = 1,, n, j = 1,, m} onde A i,j são as matrizes denidas no Exemplo 143 É fácil ver que uma matriz A = (a i,j n,m pode ser representada na forma A = n m i=1 j=1 a i,ja i,j de onde obtemos que M(n, m [S], o que implica que M(n, m [S] Como M(n, m [S] segue do anterior que M(n, m = [S] Similarmente, se S é o subconjunto de P n (R dado por S = {1, x, x 2,, x n } então P n (R = [S] Observação 148 Nos exemplos anteriores, S V e sempre temos que [S] = V Em geral isto não é assim Considere como exemplo V = R 3 e S = {e 1, e 2 } Neste caso temos que [S] = {(x, y, 0 : x, y R} = R 3 Exemplo 149 Se S P 3 (R é o conjunto S = {1, t, t 2, 1 + t 3 } então P 3 (R = [S] Para mostrar esta propriedade, observe que um polinômio da forma p(t = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 pode ser representado na forma p(t = (a 0 a 3 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 (t [S] Isto mostra que P 3 (R [S] o que implica que P 3 (R = [S] Exemplo 150 Se S M(2, 2 o conjunto dado por S = Note que os vetores [S] são da forma ( 0 1 A = α 0 0 ( β 1 0 = {( ( 0 α β 0 ( 0 0, 1 0 com α, β R Como α, β são arbitrários, vemos que [S] está formado por todas as matrizes com diagonal principal nula Proposição 151 Suponha que S = {u 1,, u n } V As seguintes propriedades são válidas 1 [S] é um subespaço vetorial de V e S [S], 2 [S] é o menor subespaço vetorial de V contendo S, equivalentemente, se M é um subespaço vetorial de V e S M então [S] M, 3 se T S então [T ] [S], 4 [S T ] = [S] + [T ], 5 [[S]] = [S], 6 dado um vetor y V, [{u 1,, u n }] = [{u 1,, u n, y}] y é combinação linear dos vetores u 1,, u n Prova: Provemos a primeira propriedade Para mostrar que [S] subespaço vetorial de V, xemos u, v [S] e α R Pela denição de [S] podemos supor que u = α 1 u α n u n e v = β 1 v β n v n onde α 1,, α n, β 1,, β n são números reais Assim, temos que, } u + αv = α 1 u α n u n + αβ 1 v αβ n v n = n (α i + αβ i u i, i=1 16

17 que mostra que u + αv [S] pois u + αv é uma combinação linear de vetores em S Agora, pela Proposição 118 segue que [S] subespaço vetorial de V O fato que S [S] é óbvio pois cada vetor u i pode ser escrito na forma u i = j i 0u j + 1u i Mostremos agora que [S] é o menor subespaço vetorial de V que contem o conjunto S Suponha que M é um subespaço vetorial de V tal que S M Se u [S] então existem números reais α 1,, α n tais que u = α 1 u α n u n Como cada vetor u i é também um elemento de M e M é subespaço vetorial temos que u = α 1 u α n u n M, o que implica que [S] M Isto prova que [S] é o menor subespaço vetorial de V que contem S Suponha agora que T S Neste caso podemos supor que T = {u i1,, u ip } onde i j {1,, n} e p é algum número em {0, n} Da denição de [T ] vemos que um vetor u [T ] pode ser escrito na forma u = p j=1 α i j u ij onde α ij, j {1,, p} são números reais Como u = k i j 0u k + p j=1 α i j, obtemos que u [S] o que prova que [T ] [S] pois u é arbitrário Provemos agora que [S T ] = [S]+[T ] É fácil ver que S [S]+[T ] e T [S]+[T ], de onde segue que S T ([S]+[T ] ([S]+[T ] [S]+[T ] Como [S T ] é o menor subespaço contendo S T segue que [S T ] [S]+[T ] Por outro lado, notando que [S] [S T ] e que [T ] [S T ] vemos que [S] + [T ] [S T ] + [S T ] = [S T ] Do anterior, segue que [S] + [T ] = [S T ] Mostremos agora que [[S]] = [S] Como S [S] segue que [S] [[S]] Mais ainda, como [S] é um subespaço vetorial e [[S]] é o menor subespaço vetorial contendo [S] segue que [[S]] [S] Assim, [S] [[S]] e [[S]] [S] o que implica que [[S]] = [S] Para nalizar, provemos a última propriedade Suponha que [{u 1,, u n }] = [{u 1,, u n, y}] sendo y V De esta igualdade é imediato que y [{u 1,, u n }] de onde segue que y é combinação linear do vetores u 1,, u n Suponha agora que y V é combinação linear do vetores u 1,, u n e xemos números reais α 1,, α n tais que y = n i=1 α iu i Se x [{u 1,, u n, y}] então existem números reais β 1,, β n, θ tais que x = n i=1 β iu i + θy Do anterior, temos que x = n β i u i + θy = i=1 n β i u i + θ i=1 n α i u i = i=1 n (β i + θα i u i, o que implica que x [{u 1,, u n }] Como x é arbitrário, o anterior mostra que [{u 1,, u n, y}] [{u 1,, u n }] o que prova que [{u 1,, u n }] = [{u 1,, u n, y}] pois [{u 1,, u n }] [{u 1,, u n, y}] Isto completa a prova Argumentando como na prova do resultado anterior, podemos mostrar um resultado mais geral A prova do seguinte resultado é omitida Proposição 152 Suponha que S V As seguintes propriedades são válidas 1 [S] é um subespaço vetorial de V e S [S], 2 [S] é o menor subespaço vetorial de V contendo S, equivalentemente, se M é um subespaço vetorial de V e S M então [S] M, 3 se T S então [T ] [S], 4 [S T ] = [S] + [T ], 5 [[S]] = [S], i=1 17

18 6 se S é subespaço vetorial de V então S = [S], 7 dado um conjunto W V, [S] = [S W ] W [S] cada elemento de W é combinação linear dos elementos de S Denição 153 Seja S V O espaço vetorial [S] é chamado subespaço vetorial gerado por S e os elementos de S são chamados de geradores de [S] Se S = {u 1,, u n }, usaremos a notação [S] = [u 1,, u n ] Denição 154 Dizemos que um espaço vetorial W é um espaço nitamente gerado se existe um conjunto S = {u 1,, u n } W tal que W = [S] Do Exemplo 147 temos que os espaços P n (R, R n e M(n, m são espaços vetoriais nitamente gerados Exemplo 155 O espaço W denido por W = {X M(3, 1 : AX = 0} onde A = é nitamente gerado Para rovar nossa armação, é conveniente caracterizar os elementos de W Se α α 0 X = β W então β = 0 de onde segue que α = β = γ = 0 γ γ 0 Logo, o único elemento em W é o vetor zero Assim, W = [{0}] Exemplo 156 Seja W = {X M(4, 1 : AX = 0} sendo A = Supondo que W é um subespaço vetorial de M(4, 1, mostre que W é nitamente gerado Para começar, caracterizemos de uma forma mais explicita o espaço W Se α X = β γ W então δ α β γ = 0 0 de onde segue que δ 0 Do anterior obtemos que { α = γ/2 δ/2 β = 3γ/2 + δ/2 γ/2 δ/2 1/2 1/2 X = 3γ/2 + δ/2 γ = γ 3/2 1 + δ 1/2 0, δ

19 1/2 1/2 o que permite concluir que W = 3/2 1, 1/ No seguinte exemplo, vemos o caso de um espaço vetorial que não é nitamente gerado Exemplo 157 Seja P (R conjunto formado por todos os polinômios de grau nito munido das operações soma e multiplicação por escalar usuais O espaço P (R não é nitamente gerado Para mostrar nossa armação, suponha que existem polinômios p 1,, p n tais que P (R = [p 1,, p n ] e seja N o grau mais alto dentre os graus dos polinômios p 1,, p n Como x N+1 P (R e P (R = [p 1,, p n ], segue que existem números reais α 1,, α n tais que x N+1 = n i=1 α ip i Neste caso, 1 = n i=1 α p i i x N+1 para todo x 0 Porém isto é absurdo, pois para valores grandes de x temos que p i < 1 Como a contradição surge de supor que P (R = [p 1,, p n ], segue n i=1 α i x N+1 que P (R não pode ser nitamente gerado Vejamos uma segunda prova do fato anterior De maneira similar, suponha que existem polinômios p 1,, p n tais que P (R = [p 1,, p n ] e seja N o grau mais alto dentre os graus dos polinômios p 1,, p n Como antes, existem números reais α 1,, α n tais que x N+1 = n i=1 α ip i Como cada polinômio p j é de grau menor o igual a N, vemos que x N+1 pode ser representado na forma x N+1 = N i=1 β ix i onde os coecientes β i são obtidos a partir dos números α i Avaliando X N+1 em zero obtemos que 0 N+1 = N i=1 β i0 = β 0 = 0, de onde segue que X N+1 = β 1 x + β 2 x 2 β N X N para todo x Logo, x N = β 1 + β 2 x 2 + β N 1 x N 1 Avaliando o polinomio x N 1 em zero obtemos que β 1 = 0 e que x N 1 = β 2 x + β N 1 x N 2 Continuando o processo anterior, obtemos que 1 = β N 1 x para todo x 0, o que é absurdo Portanto, P (R não pode ser nitamente gerado Exemplo 158 Sejam U = {(x, y, z, t R 4 : x y + t + z = 0} e V = {(x, y, z, t R 4 : x + y t + z = 0} No que segue, acharemos um conjunto gerador para cada um dos espaços U, V, U V e U + V Para começar, estudemos o espaço U Se (x, y, z, t U então y = x + z + t e (x, y, z, t = (x, x + z + t, z, t = x(1, 1, 0, 0 + z(0, 1, 1, 0 + t(0, 1, 0, 1, de onde segue que U = [S] onde S = {(1, 1, 0, 0, (0, 1, 1, 0, (0, 1, 0, 1} Vejamos agora o espaço V Se (x, y, z, t V então t = x + y + z e (x, y, z, t = (x, y, z, x + y + z = x(1, 0, 0, 1 + y(0, 1, 0, 1 + z(0, 0, 1, 1, de onde podemos concluir que V = [T ] onde T = {(1, 0, 0, 1, (0, 1, 0, 1, (0, 0, 1, 1} Se (x, y, z, t U V então { x y + t + z = 0 x + y t + z = 0, o que implica em x = z e y = t Deste modo, temos que (x, y, z, t = (x, y, x, y = x(1, 0, 1, 0 + y(0, 1, 0, 1 de onde podemos concluir que U V = [W ] onde W = {(1, 0, 1, 0, (0, 1, 0, 1} 19

20 Finalmente, estudemos o espaço U + V Como U + V = [U] + [V ] = [S] + [T ] = [S T ], temos que U + V = [(1, 1, 0, 0, (0, 1, 1, 0, (0, 1, 0, 1, (1, 0, 0, 1, (0, 0, 1, 1] Mais ainda, como (1, 1, 0, 0 = (1, 0, 0, 1 + (0, 1, 1, 0 (0, 0, 1, 1 temos que U + V = [(0, 1, 1, 0, (0, 1, 0, 1, (1, 0, 0, 1, (0, 0, 1, 1] 14 Exercícios Ex 159 Em cada caso, achar [S] como subespaço de V 1 S = {(1, 0, (2, 1}, V = R 2 2 S = {(1, 1, 1, (2, 2, 0}, V = R 3 3 S = { 1, t, t 2, 1 + t 3}, V = P 3 (R {( ( } S =,, V = M(2, Ex 160 Em cada um dos itens abaixo achar um conjunto nito que gere o espaço W 1 W = { (x, y, z R 3 : x 2y = 0 } 2 W = {p P 3 (R : p (t = 0, t R} 3 W = { A M(2, 2 : A t = A } 4 W = {X M(3, 1 : AX = 0} onde A = Ex 161 Em cada um dos itens abaixo achar um conjunto (o menor possível gerador de U, W, U W e U + W 1 U = [(1, 0, 0, (1, 1, 1] e W = [(0, 1, 0, (0, 0, 1], 2 U = { (x, y, z R 3 : x + y = 0 } e W = [(1, 3, 0, (0, 4, 6], 3 U = { A M(2, 2 : A t = A } [( ] 1 1 e W =, U = [t 3 + 4t 2 t + 3, t 3 + 5t 2 + 5, 3t 3 ] e W = [t 3 + 4t 2, t 1, 1] como subespaços de P 3 (R Ex 162 Achar um subconjunto nito de P 3 (R que seja gerador de 1 U = {p P 3 (R : p(1 = p(0 = 0}, 20

21 2 W = {p P 3 (R : p = 0}, 3 U W Ex 163 Mostre que as funções 1 e cos 2x pertencem a [ sen 2 x, cos 2 x] Ex 164 Verique se P 2 (R = [1 + x, x + 2x 2, 1 x 2 ] Ex 165 Achar um conjunto nito que seja gerador de 1 U = {(x, y, z R 3 : x 2y = 0}, 2 V = {(x, y, z R 3 : x + z = 0 e x 2y = 0}, 3 W = {(x, y, z R 3 : x + 2y 3z = 0}, 4 U V e V + W Ex 166 Achar um conjunto de geradores para o conjunto dos números complexos C munido das operações usuais (a+ib+(c+id = a+c+i(c+d e α(a+ib = αa+iαb Mostre que {2 + 3i, 1 2i} é um conjunto gerador de C Ex 167 Os conjuntos {(1, 1, 2, (3, 0, 1} e {( 1, 2, 3, (3, 3, 4} geram o mesmo subespaço vetorial de R 3? {( ( ( ( } Ex 168 O conjuto de matrizes,,, é um conjunto gerador de M(2, 2? 21

22 Capítulo 2 Dependência Linear, Base e Dimensão No Exemplo 147 foi observado que os conjuntos S = {e 1,, e n } e T = {A i,j : i = 1,, n, j = 1,, m} são geradores de R n e M(n, m respectivamente É interessante notar para qualquer vetor e i temos que S \ {e i } não é gerador de R n Similarmente, para cada matriz A i,j temos que T \ {A i,j } não é gerador de M(n, m A propriedade descrita acima não é restrita a esses conjuntos e a essses espaços Mais ainda, como veremos neste capítulo nenhum subconjunto de R n com menos de n vetores pode ser gerador de R n e nenhum subconjunto de M(n, m com menos de mn elementos pode ser gerador de M(n, m De isso, vemos que os conjuntos geradores de um espaço vetorial com o menor número de elementos possiveis são muito especiais Este tipo de conjunto serão chamados de bases Para formalizar as ideias anteriores, temos que introduzir algumas denições Denição 21 Sejam u 1,, u n vetores não nulos de V Dizemos que os vetores u 1,, u n são linearmente independentes ou que o conjunto {u 1,, u n } é linearmente independente, se nenhum dos vetores u i é combinação linear dos outros vetores No próximo Lema reformulamos o conceito acima Lema 22 Um conjunto {u 1,, u n } V de vetores não nulos é linearmente independente a única solução da equação n i=1 α iu i = 0 é a solução nula, ou seja, a solução com α 1 =, α n = 0 Prova: Suponha que {u 1,, u n } é linearmente independente e que a equação n i=1 α iu i = 0 possui uma solução não nula Então existem escalares α 1, α 2,, α n não todos zero, tais que n i=1 α iu i = 0 Se j é um índice tal que α j 0, então u j = n i=1,j i α i α j u i o que implica que {u 1,, u n } não é linearmente independente, o que é absurdo Isto prova que a equação n i=1 α iu i = 0 tem uma única solução se {u 1,, u n } é linearmente independente Suponha que agora que a equação n i=1 α iu i = 0 possui uma única solução (no caso, a solução nula Se o conjunto {u 1,, u n } não é li, então um desses vetores, digamos u j, é combinação linear dos outros Neste caso, existem números reais β 1, β 2,, β j 1, β j+1,, β n tais que u j = n i=1,j i β iu i Nessas condições, temos que os números β 1, β 2,, β j 1, 1, β j,, β n são uma solução não nula de n i=1 α iu i = 0, o que é aburdo Portanto, {u 1,, u n } é LI 22

23 Observação 23 Do Lemma 22, vemos que para mostrar que um conjunto de vetores {u 1,, u n } é linearmente independente, é suciente provar que a equação n i=1 α iu i = 0 possui uma única solução Denição 24 Dizemos que um conjunto de vetores não nulos {u 1,, u n } V é linearmente dependente (ou que os vetores u 1,, u n são linearmente dependentes se {u 1,, u n } V não é linearmente independente Observação 25 Um conjunto de vetores {u 1,, u n } V não nulos é linearmente dependente se é possível encontrar números reais α 1,, α n não todos nulos tais que α 1 u α n u n = 0 Exemplo 26 Os vetores (1, 1, 1, (1, 1, 0, (1, 0, 0 são linearmente independente em R 3 De fato, note que a equação α(1, 1, 1 + β(1, 1, 0 + γ(1, 0, 0 = (0, 0, 0 é equivalente ao sistema de equações α + β + γ = 0 α + β = 0 γ = 0 Como este sistema possui uma única solução, a soluçaõ nula, segue que {(1, 1, 1, (1, 1, 0, (1, 0, 0} e linearmente independente Exemplo 27 Sejam u 1 = (x 1,1, x 2,1,, x n,1, u 2 = (x 1,2, x 2,2,, x n,2,, u n = (x 1,n, x 2,n,, x n,n vetores de R n Como foi observado anteriormente, para ver se os vetores u 1,, u n são lineramente independentes, temos que estudar a equação n i=1 α iu i = 0 Esta equação é equivalente ao sistema de equações α 1 x 1,1 + +α i x 1,i + α n x 1,n = 0, α 1 x 2,1 + +α i x 2,i + α n x 2,n = 0, α 1 x j,1 + +α i x j,i + α n x j,n = 0, (28 α 1 x n,1 + +α i x n,i + α n x n,n = 0, o qual pode ser re-escrito na forma x 1,1 x 1,2 x 1,n x 2,1 x 2,2 x 2,n x j,1 x j,2 x j,n x n,1 x n,2 x n,n α 1 α i α n = Aα = 0 (29 Se a matriz A é inversível (o que é equivalente a ter que det A 0, podemos multiplicar a equaçao (226 por A 1 obtendo que α = A 1 0 = 0 Isto prova que se A é inversível, então os vetores u 1,, u n são linearmente independentes Se A não é inversível (o que é equivalente a ter que det A = 0, o problema Aα = 0 tem uma quantidade não nita de soluções, de onde segue que os vetores u 1,, u n são linearmente dependentes 23

24 Resumimos as observações do Exemplo 27 na seguinte proposição Proposição 210 Sejam u 1 = (x 1,1, x 1,2,, x 1,n, u 2 = (x 2,1, x 2,2,, x 2,n,, u n = (x n,1, x n,2,, x n,n vetores de R n e A a matriz denida em (226 Os vetores u 1,, u n são linearmente independentes det(a 0 Exemplo 211 As matrizes ( , ( , ( são linearmente independentes? Para resolver o problema temos que estudar a equação α ( β 0 1 ( γ 0 1 ( 0 1 = 0 0 ( 0 0 ( Desta equação segue que ( α + β β + γ = 0 α + β ( 0 0, 0 0 de onde inferimos que β = α e γ = α Logo, dado um número real não nulo θ, temos que os números α = θ, β = θ e γ = θ são soluções de (212, o que implica que as matrizes são linearmente dependentes Exemplo 213 As funções cos( e sen ( são linearmente independentes? Como antes, temos que estudar a equação α cos( + β sen ( = 0 Se α, β R são soluções desta equação, então teremos que α cos(x + β sin(x = 0 para todo x R Se avaliamos em x = 0 obtemos que α = 0, de onde segue que β sin(x = 0 para todo x R Se avaliarmos agora em x = π/2 obtemos que β = 0 Portanto, a única solução da equação α cos( + β sen ( = 0 é α = β = 0, o que implica que as funções cos( e sen ( são linearmente independentes O próximo resultado resume algumas propriedades associadas ao conceito de conjunto linearmente independente Teorema 214 Seja A = {u 1,, u n } V 1 Se {u 1,, u n } é linearmente dependente então pelo menos um dos vetores é combinação linear dos outros, 2 Se {u 1,, u n } é linearmente dependente e B é um conjunto nito tal que {u 1,, u n } B então B é linearmente dependente, 3 Se {u 1,, u n } é linearmente independente e B {u 1,, u n }, então B é linearmente independente, 4 Se {u 1,, u n } é linearmente independente e {u 1,, u n, v} é linearmente dependente então v é combinação linear dos vetores u 1,, u n 5 Se {u 1,, u n } é linearmente independente, então todo vetor v [u 1,, u n ] se escreve de uma única maneira como combinação linear dos vetores u 1,, u n, ou seja, se v = α 1 u α n u n e v = β 1 u β n u n então α i = β i para cada i = 1,, n 24

25 Prova: A propriedade em (1 segue diretamente da deniçaõ de conjunto linearmente independente Para mostrar (2, suponha que B = {u 1,, u n, v 1,, v p } Como A é linearmente dependente existem números reias β 1,, β n não todos nulos tais que n i=1 β iu i = 0 Em particular, temos que β 1 u β n u n + 0v v p = 0, o que implica que os vetores u 1,, u n, v 1,, v p são linearmente dependente Provemos agora (3 Sem perda de generalidade, podemos supor que B = {u 1,, u k } para algum k n Se α 1,, α k é uma solução da equação k i=1 β iu i = 0 então α 1 u α k u k + 0u k u n = 0, e os números α 1,, α k, 0,, 0 são uma solução da equação n i=1 θ iu i = 0, o que implica que α 1 = α 2 = α k = 0 pois os vetores u 1,, u n são linearmente independentes Do anterior, vemos que a única solução da equação k i=1 β iu i = 0 é α 1 = α 2 = α k = 0 o que prova que B é linearmente independente Mostremos agora (4 Suponha que u 1,, u n são linearmente independentes e que u 1,, u n, v são linearmente dependentes Como os vetores u 1,, u n, v são linearmente dependentes, existem números reias β 1,, β n, γ não todos nulos tais que n i=1 β iu i + γv = 0 Se γ = 0 então n i=1 β iu i = 0 o que implica que β 1 = = β n = 0 pois os vetores u 1,, u n são linearmente independentes Assim, temos que necessariamente γ 0 de onde obtemos que v = n β i i=1 γ u i Isto mostra que v é combinação linear dos vetores u 1,, u n Para nalizar, mostremos (5 Se v = α 1 u α n u n e v = β 1 u β n u n então 0 = v v = n i=1 (α i β i u i = 0 de onde segue que α i β i = 0 para todo i pois {u 1,, u n } é linearmente independente Portanto, α i = β i para cada i 21 Exercícios 1 Estude se o conjunto S V é linearmente independente (a S = {(1, 2, ( 3, 1}, V = R 2 (b S = { 1 + t t 2, 2 + 5t 9t 2}, V = P 2 (R {( ( } (c S =,, V = M(2, (d S = {(1, 2, 2, 3, ( 1, 4, 2, 0}, V = R (e S = 3 0 1, 0 0 0, e V = M(3, (f S = {f 1, f 2 }, sendo V = F(R; R e f 1, f 2 : R R as funções denidas por f 1 (x = xe x e f 2 (x = x (g S = {f 1, f 2, f 3 }, sendo V = F(R; R e f 1, f 2, f 3 : R R as funções denidas por f 1 (x = 1, f 2 (x = e x e f 3 (x = e 2x 2 Suponha que o conjunto S = {u, v, w} é linearmente independente Os conjuntos S 1 = {u, u+v, u+v+w}, S 2 = {u v, v w, w u} e S 3 = {u+v, u+v+w, w} são linearmente independentes? 25

26 3 Quais dos seguintes subconjuntos de R 3 são linearmente independentes? (a {(1, 0, 0, (0, 1, 0, (0, 0, 1, (2, 3, 5}, (b {(1, 1, 1, (0, 1, 0, (1, 0, 2}, (c {(0, 0, 0, (1, 2, 3, (4, 1, 2}, (d {(1, 1, 1, (1, 2, 1, (3, 2, 1}, 4 Quais dos seguintes subconjuntos de P 4 (R são linearmente independentes? (a {1, x 1, x 2 + 2x + 1, x 2 }, (b {2, x 2 + 1, x + 1, x 2 1}, (c {x(x 1, x 3, 2x 3 x 2, x}, Introduzimos agora o conceito de base de um espaço vetorial Denição 215 Dizemos que um conjunto de vetores não nulos {u 1,, u n } V é uma base de V se {u 1,, u n } é linearmente independente e [u 1,, u n ] = V Exemplo 216 O conjunto {e 1,, e n } é uma base de R n e o conjunto de matrizes {A i,j : i = 1,, n, j = 1,, m} é uma base de M(n, m, veja Exemplo 143 O conceito de base é um conceito restritivo Porém, um espaço vetorial (diferente do espaço trivial {0} sempre possui uma innidade de bases diferentes Considere os seguintes exemplos Exemplo 217 Se {u 1,, u n } V é uma base de um espaço vetorial V, é fácil mostrar que {αu 1,, αu n } com α R não nulo, é também uma base de V Assim, vemos que V possui uma innidade de bases diferentes Vejamos alguns exemplos mais gerais Exemplo 218 Seja (a, b R 2 diferente de (0, 0 Veremos como achar vetores (c, d de modo que {(a, b, (c, d} seja uma base de R 2 Sejam c, d R de modo que ad bc 0 (note que isto é sempre possível de fazer No que segue, veremos que {(a, b, (c, d} de R 2 é uma base de R 2 Como {(a, b, (c, d} tem que ser um conjunto gerador, todo vetor (x, y R 2 deve poder ser escrito como combinação dos vetores (a, b, (c, d Considere a equação em α, β dada por α(a, b + β(c, d = (x, y Esta equação é equivalente a equação ( a c Como det b d onde obtemos que ( a c b d ( α β = ( x y (219 ( a c = ad bc 0, segue que a matriz é inversível de b d ( α β ( a c = b d 1 ( x y, (220 o que implica que a equação α(a, b + β(c, d = (x, y tem uma única solução e que x [(a, b, (c, d] Isto mostra que R 2 = [(a, b, (c, d] 26

27 Além do anterior, precissamos mostrar que {(a, b, (c, d} é linearmente independente, o que é equivalente a mostrar ( que a equação α(a, b + β(c, d = (0, 0 possui a c uma única solução Como det = ad bc 0, de (220 segue que a única b d solução é (α, β = (0, 0, o que implica que {(a, b, (c, d} é linearmente independente ( a c Do cometários anteriores vemos que {(a, b, (c, d} é uma base se det = b d ad bc 0, o que nos permite armar que existe uma quantidade não nita de bases de R 2 Usemos agora o que sabemos de Geometria analítica para achar bases de R 2 Seja (a, b R 2 diferente de (0, 0 e xemos (c, d que não seja paralelo a (a, b (note que existe uma innidade de vetores não paralelos a (a, b De nosso estudo de geometria analítica, sabemos que neste caso, todo vetor (x, y pode ser escrito na forma α(a, b + β(c, d, o que implica que R 2 = [(a, b, (c, d] Mais ainda, como os vetores (a, b, (c, d não são paralelos segue que a equação α(a, b+β(c, d = 0 possui uma única solução, a solução nula Do anterior vemos que se (a, b, (c, d não são paralelos, então {(a, b, (c, d} é uma base de R 2 Exercício 221 Usando o exemplo anterior, achar bases de R 2 ( da forma {(1, 1, (c, d} 1 c Para que {(1, 1, (c, d} seja base de R 2, é suciente que det = d c 0 1 d Logo, os conjuntos {(1, 1, (1, 2}, {(1, 1, (1, π}, {(1, 1, (π, 2} são bases de R 2 Exemplo 222 As ideias do Exemplo 218 podem ser usadas para achar bases de R 3 Sejam (a, b, (c, d vetores R 2 de modo ad bc 0 Pelo Exemplo 218 sabemos que {(a, b, (c, d} é uma base de R 2 Armamos que {(a, b, 0, (c, d, 0, (0, 0, γ} com γ 0 é uma base de R 3 Seja (x, y, z R 3 Como {(a, b, (c, d} é uma base de R 2, existem números reais α, β tais que (x, y = α(a, b + β(c, d de onde segue que (x, y, z = α(a, b, 0 + β(c, d, 0 + z γ (0, 0, γ, o que mostra que R3 = [(a, b, 0, (c, d, 0, (0, 0, γ] Mostremos agora que {(a, b, 0, (c, d, 0, (0, 0, γ} é linearmente independente Se (0, 0, 0 = α(a, b, 0+β(c, d, 0+θ(0, 0, γ, então (0, 0 = α(a, b+β(c, d e θ = 0 pois γ 0 Mais ainda, usando que {(a, b, (c, d} é base de R 2, obtemos que α = β = 0 Assim, α = β = θ = 0 o que mostra que {(a, b, 0, (c, d, 0, (0, 0, γ} é linearmente independente Do feito acima segue que {(a, b, 0, (c, d, 0, (0, 0, γ} é uma base de R 3 e que existe uma innidade de bases diferentes de R 3 Como no Exemplo 218, também podemos achar bases de R 3 usando geometria analítica De fato, sejam (a, b, c, (d, e, f vetores não paralelos de R 3 e xemos um terceiro vetor (g, h, i que não seja paralelo ao plano determinado pelos vetores {(a, b, c, (d, e, f} (observe que existe uma innidade de vetores (g, h, i com esta propriedade No que segue mostraremos que {(a, b, c, (d, e, f, (g, h, i} é uma base de R 3 De Geometria analítica sabemos que nas condições anteriores, todo vetor w = (x, y, z R 3 pode ser escrito na forma α(a, b, c + β(d, e, f + θ(g, h, i o que implica que R 3 = [(a, b, c, (d, e, f, g, h, i] Por outro lado, suponha que α(a, b, c + β(d, e, f + θ(g, h, i = 0 Se θ 0, então α θ (a, b, c β θ (d, e, f = (g, h, i o que implica que w está no plano deteminado por pelos vetores (a, b, c, (d, e, f, o que é absurdo Assim, θ = 0 e α(a, b, c + β(d, e, f = 0 Se α 0, então (a, b, c, (d, e, f 27

28 são paralelos, o que é absurdo Isto implica que α = 0 o que por sua vez implica que β = 0 Portanto, α = β = θ = 0 o que mostra que {(a, b, c, (d, e, f, (g, h, i} é linearmente independente Isto completa a prova que {(a, b, c, (d, e, f, (g, h, i} é uma base de R 3 Exemplo 223 Sejam u 1 = (x 1,1, x 2,1,, x n,1, u 2 = (x 1,2, x 2,2,, x n,2,, u n = (x 1,n, x 2,n,, x n,n vetores de R n e A a matriz dada por A = x 1,1 x 1,2 x 1,n x 2,1 x 2,2 x 2,n x j,1 x j,2 x j,n (224 x n,1 x n,2 x n,n Suponha que det(a 0 Mostraremos a seguir que {u 1,, u n } é uma base de R n Do Exemplo 419 sabemos que o conjunto de vetores {u 1,, u n } é lineramente independente Mostremos agora que R n = [u 1,, u n ] Seja u = (a 1,, a n e considere a equação n i=1 α iu i = u Esta equação é equivalente ao sistema de equações α 1 x 1,1 + +α i x 1,i + α n x 1,n = a 1, α 1 x 2,1 + +α i x 2,i + α n x 2,n = a 2, α 1 x j,1 + +α i x j,i + α n x j,n = a i, (225 α 1 x n,1 + +α i x n,i + α n x n,n = a n, o qual pode ser re-escrito na forma x 1,1 x 1,2 x 1,n x 2,1 x 2,2 x 2,n x j,1 x j,2 x j,n x n,1 x n,2 x n,n α 1 α i α n = Aα = a 1 a i a n (226 Como A é inversível segue que α = A 1 u o que implica que n i=1 α iu i = u Isto completa a prova que {u 1,, u n } é uma base de R n Mais ainda, é fácil ver de este exemplo que existe uma innidade de bases diferentes de R n Exemplo 227 Achar uma base do subespaço vetorial U de R 3 gerado pelo conjunto {(1, 0, 1, (1, 2, 0, (0, 2, 1} Seja U = [(1, 0, 1, (1, 2, 0, (0, 2, 1] É fácil ver que o vetor (0, 2, 1 é combinação linear dos vetores (1, 0, 1 e (1, 2, 0 e que {(1, 0, 1, (1, 2, 0} é linearmente independente Mais ainda, como [(1, 0, 1, (1, 2, 0] = [(1, 0, 1, (1, 2, 0, (0, 2, 1 (veja Proposição 151 segue que {(1, 0, 1, (1, 2, 0} é um conjunto gerador de U Do anterior vemos que {(1, 0, 1, (1, 2, 0} é uma base de U 28