Uma Comparação entre o Desempenho de Metodologias de Cálculo do Valor em Risco Aplicadas à Carteiras Lineares e Opções de Compra

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1 Uma Comparação entre o Desempenho de Metodologias de Cálculo do Valor em Risco Aplicadas à Carteiras Lineares e Opções de Compra Autoria: Patrícia Barros Ramos, Josete Florencio dos Santos, Eduardo Luiz Peixoto Fortuna Resumo O presente trabalho analisa o desempenho de metodologias de cálculo do valor em risco de carteiras lineares e opções, utilizando o teste de razão de verossimilhanças proposto por Kupiec (1995). Para a carteira linear, todas as metodologias de avaliação do risco utilizaram o método do alisamento exponencial para a estimativa da volatilidade da carteira dando, entretanto, diferentes tratamentos aos resíduos obtidos pelo EWMA. Embora os números de falhas obtidos com os três métodos tenha se situado dentro da região de não rejeição do teste de Kupiec com 95% de confiança, há indícios de que o método EWMA normal subavalie a exposição ao risco. Dos gráficos comparativos dos três métodos, observa-se o comportamento quase coincidente dos intervalos de confiança das estimativas de VaR com a simulação histórica por bootstrap e com o método que aplica a GPD aos resíduos do EWMA. Quanto aos métodos aplicados às opções de compra, as metodologias Delta e simulação histórica por bootstrap apresentaram desempenho superior ao da metodologia Delta Gama, sobretudo nas opções muito fora do dinheiro. 1. Introdução Pode-se definir risco de mercado como sendo aquele proveniente de flutuações nas condições de mercado, não englobando os riscos de crédito, liquidez ou regulatórios i. Nos últimos anos, a comunidade de investidores vem atribuindo cada vez maior importância à mensuração acurada do risco de mercado e, com a disponibilização da metodologia RiskMetrics TM pelo banco de investimentos J.P. Morgan há alguns anos, ocorreu uma rápida popularização do cálculo desse tipo de risco. A abordagem mais comumente utilizada para a estimação do risco de mercado é a chamada de Value-at-Risk (VaR). Esta abordagem permite que o risco de mercado possa ser demonstrado por um único valor, que representa a perda máxima esperada com um certo nível de confiança e para um determinado horizonte de previsão. Entretanto, são diversas as metodologias utilizadas para o cálculo do valor em risco, desde métodos analíticos até simulações, produzindo resultados bastante distintos entre si. O presente trabalho examina o desempenho de três metodologias para o cálculo do VaR de carteiras de ações: A de alisamento exponencial (EWMA) com aproximação normal, que é a metodologia sugerida pelo RiskMetrics, a aplicação da simulação de bootstrap nos resíduos do EWMA e, finalmente, a utilização da Teoria de Valores Extremos com aplicação da Distribuição Generalizada de Pareto aos resíduos do EWMA. Dessa forma, todas as três metodologias utilizadas estimarão a volatilidade dos retornos da carteira pelo mesmo método, o de alisamento exponencial, aplicando, entretanto, diferentes tratamentos aos resíduos obtidos pelo modelo. Seqüencialmente, são analisadas três metodologias de cálculo do VaR de ativos não lineares aplicadas à opções de compra negociadas na Bovespa. A primeira metodologia, chamada de Delta, incorpora apenas o primeiro termo da expansão em Série de Taylor do valor da opção. A segunda metodologia, sugerida pelo RiskMetrics, é a Delta-Gama, para a qual inclui-se 1

2 uma componente associada à curvatura de avaliação da opção representada pelo Gama. A terceira e última metodologia consiste em simular os valores do ativo-objeto e da opção para a data imediatamente posterior, utilizando um procedimento de bootstrap. Embora os testes de razão de verossimilhanças não tenham rejeitado nenhum dos procedimentos utilizados para o cálculo do VaR de ativos lineares, são obtidos indícios de que a aproximação normal tende a subavaliar o verdadeiro valor do risco, em especial para níveis de confiança mais elevados. Para os ativos não-lineares, a metodologia Delta-Gama apresentou resultados piores do que os obtidos com a abordagem Delta, em função do elevado número de falhas da primeira na proximidade do vencimento das opções. O presente artigo está organizado da seguinte forma: A seção discute as metodologias que foram empregadas para o cálculo do VaR, onde no item.1 são apresentadas as metodologias para os ativos lineares e, no item., são expostas e criticadas as abordagens aplicadas aos não lineares. Na seção 3 apresentam-se as características da amostra utilizada no estudo. Na seção 4 discutem-se os resultados obtidos para a carteira de ações e para as opções de compra da Telemar. A seção 5 conclui o estudo.. Metodologia A presente seção expõe as metodologias utilizadas para o cálculo do valor em risco dos ativos analisados. A seção.1 apresenta as metodologias aplicadas à carteira de ações da Bovespa e a seção. expõe os métodos utilizados para as opções de compra da Telemar..1. Ativos Lineares Os ativos lineares são aqueles cujo payoff é função linear do valor do ativo. Dessa forma, se um investidor possui por exemplo uma posição comprada em uma ação da Telemar cotada a um valor S, seu retorno será função linear e exclusiva da mudança relativa do valor da ação. No presente artigo, consideramos três metodologias distintas para cálculo do VaR de ativos lineares, a EWMA com resíduos padronizados normalmente distribuídos, a Simulação por Bootstrap e a aplicação da Distribuição Generalizada de Pareto aos resíduos do EWMA EWMA Normal A metodologia EWMA sugerida pelo RiskMetrics para cálculo do VaR de ativos lineares assume que as modificações no preço da ação (S) seguem um movimento geométrico Browniano e, por esta razão, S possui uma distribuição lognormal ii. Assim, considera-se que os retornos da ação são normalmente distribuídos em torno de um valor esperado, geralmente considerado igual a zero. Como a distribuição de probabilidade dos retornos é considerada normal, calcula-se a perda máxima esperada com base no quantil desejado desta distribuição, para um certo período de tempo e com um dado nível de confiança. O método do alisamento exponencial representa uma tentativa de captar o comportamento heterocedástico da série de retornos de um ativo. O método consiste de uma média móvel exponencial das observações históricas, na qual os pesos dados às observações crescem exponencialmente da observação mais antiga até a mais recente. A principal vantagem da volatilidade estimada por alisamento exponencial é a rápida reação a novos choques ocorridos no mercado, uma vez que maior importância é dada a informação mais recente. Segundo, passado o choque de um grande retorno observado, a volatilidade cai exponencialmente à

3 medida em que os pesos atribuídos à observação diminuem, adaptando-se a nova condição existente. A expressão seguinte apresenta a função de projeção para a variância diária de uma ação iii : Onde At, + 1, t Att,, 1 At, σ$ = λσ + ( 1 λ) r r A, t é o retorno da ação A na data t. O símbolo $ σ At, +1, t é a variância estimada para a data t + 1 com informações disponíveis em t, e σ Att,, 1 representa a variância estimada para este ativo na data imediatamente anterior. O fator λ é denominado constante de alisamento ou decaimento e tem o seu valor sempre compreendido no intervalo [0,1]. No presente estudo, não analisamos ações individuias, mas uma carteira formada por seis ações negociadas na Bolsa de Valores de São Paulo. Dessa forma, para estimar a covariância entre dois ativos, o método do alisamento exponencial também foi utilizado, empregando-se a seguinte expressão: $ σ = λσ$ + ( λ)( r. r ) AB, t + 1, t AB, t, t 1 1 A, t B, t ˆ + Onde σ AB, t 1, t é a covariância entre os ativos A e B estimada para t+1 com as informações disponíveis na data t. Em cada dia t, a volatilidade do portfolio pôde então ser estimada para o dia seguinte através da expressão a seguir: σ P = r r WΛ W T Onde, Λ representa a matriz de covariâncias entre os N ativos do portfólio, W r o vetor dos pesos aplicados a cada título da carteira e W r T o vetor transposto desses pesos. Uma vez obtida a estimativa para a volatilidade da carteira, o VaR em termos percentuais para cada dia foi calculado da seguinte forma: VaR = CS *σ P * t Onde o coeficiente de segurança CS é o valor do quantil da distribuição desejada, que no caso da normal padrão é de , para um nível de confiança de 95%, e de.36 para um nível de confiança de 99%. σ P é a volatilidade da carteira estimada para t+1 e t é o intervalo de tempo desejado, ou holding period, que no presente trabalho é igual a 1 dia. Diversas críticas têm sido feitas à metodologia EWMA, em especial no que se refere a leptocurtose na distribuição dos resíduos do modelo. DUFFIE & PAN (1997) ressaltam que a maior parte das distribuições de retornos não passam pelo teste de normalidade, apresentando uma característica conhecida como fat tails iv. Se uma distribuição de retornos possui fat tails a probabilidade da obtenção de valores extremos é maior que a prevista pela distribuição 3

4 normal e, conseqüentemente, a medida de VaR de acordo com esta metodologia tenderá a subavaliar a exposição ao risco. O gráfico a seguir apresenta o histograma para a distribuição de retornos da carteira analisada. Freqüência Histograma de Freqüências da Distribuição de Retornos da Carteira de Ações De 0/1/1999 a 19/1/ ,% -10,5% -8,8% -7,% -5,5% -3,8% -,1% Retornos -0,4% 1,%,9% 4,6% Mais As estatísticas descritivas para a série de retornos da carteira de ações analisada estão apresentadas na tabela a seguir, na qual verifica-se a leptocurtose na distribuição de retornos. Tabela 1: Estatísticas descritivas para a série de retornos da carteira de ações. Estatística Erro Padrão Média -0, ,00084 Mediana -0,00011 Variância 0,00035 Desvio Padrão 0,01874 Mínimo -0,100 Máximo 0,0694 Intervalo 0,18494 Diferença Interquartílica 0,057 Assimetria -0, ,10965 Excesso de Curtose 3,4510 0,1887 Outra dificuldade da aplicação do modelo EWMA é a escolha apropriada do fator de decaimento λ. Métodos distintos como o de maximização da verossimilhança e o de minimização de erros quadráticos chegam a estimativas diferentes para λ. O procedimento seguido pelo RiskMetrics é o de minimização de erros quadráticos que foi o método aqui adotado. Ao serem minimizados os erros ao quadrado a estimativa obtida para o λ da carteira de ações foi de

5 .1.. Simulação Histórica por Bootstrap A segunda metodologia utilizada para o cálculo do VaR de ativos lineares aqui utilizada é a Simulação Histórica por Bootstrap. Neste método, todas as volatilidades e correlações entre os ativos da carteira são estimados como descrito no ítem anterior, ou seja, por alisamento exponencial. A diferença está no cálculo do coeficiente de segurança utilizado no cômputo do VaR. Enquanto o EWMA utiliza um quantil da normal padrão, assumindo dessa forma que os resíduos padronizados do modelo seguem tal distribuição, a simulação histórica por bootstrap utiliza a distribuição empírica dos resíduos do modelo, não assumindo normalidade ou qualquer outra distribuição estatística para os mesmos. Para cada dia de negociação do período de 0/1/1999 a 19/1/001 o valor em risco da carteira foi calculado utilizando-se como coeficiente de segurança o quantil da distribuição de resíduos simulada por bootstrap. Para um determinado dia t, uma simulação com amostragem aleatória com reposição utilizando os resíduos do modelo de dois anos anteriores foi realizada. Dessa forma, para a data de 0/1/1999, por exemplo, foram utilizados na simulação os resíduos obtidos com o modelo EWMA de 19/1/1997 a 17/1/1999. Procedimento idêntico foi realizado até o final do período de análise. Construída a distribuição dos resíduos padronizados por simulação para o dia seguinte, calcula-se o percentil desejado desta distribuição, número este que é utilizado como coeficiente de segurança. O valor em risco para um dia em termos percentuais é então calculado multiplicando-se a estimativa da volatilidade da carteira para t+1 pelo coeficiente de segurança A Distribuição Generalizada de Pareto A última metodologia estudada para o cálculo do VaR de ativos lineares é a que utiliza a Distribuição Generalizada de Pareto (GPD) nos resíduos padronizados do modelo EWMA v. Os os parâmetros da GPD. Novamente, não assume-se normalidade para a distribuição de resíduos. Para cada dia t são utilizados os resíduos obtidos nos dois anos anteriores, ajustando-se uma GPD à cada uma das duas caudas da distribuição dos resíduos e calculandose os quantis desejados da GPD. Além de considerar a leptocurtose, tanto a metodologia de simulação por bootstrap quanto a de ajuste de GPDs às caudas das distribuições de resíduos apresentam ainda a vantagem de considerar a assimetria existente nos resíduos. Diferentemente do enfoque normal, que calcula quantis simétricos, os quantis de 5% e 95% calculados pelos dois outros métodos não apresentam necessariamente o mesmo módulo. As três metodologias aqui apresentadas foram utilizadas para estimar diariamente o valor em risco de uma carteira de seis ações negociadas na Bovespa durante um período de dois anos. Todas as volatilidades e covariâncias foram estimadas por alisamento exponencial, com as metodologias diferenciando-se apenas no tratamento dos resíduos do modelo EWMA... Ativos não lineares 5

6 ..1. Delta Analítica A primeira metodologia utilizada para o cálculo do valor em risco de opções é a chamada Delta Analítica. Embora o valor C T de uma opção de compra não seja uma função linear do ativo objeto S T, recorre-se à uma expansão em série de Taylor para aproximar o valor da opção por sua primeira derivada, utilizando assim apenas a primeira componente da série de Taylor. O delta representa a variação do valor da opção em relação a modificações no preço do ativo-objeto C sendo portanto, a tangente à curva da opção conforme pode ser S observado na figura a seguir. C T C T S E S 95% S T C E VaR C E C 5% VaR C 95% S 5% S E S T Assim, o Value-at-Risk da opção de compra de acordo com a metodologia Delta pode ser aproximado através da seguinte expressão: VaR = *( St+ 1 St) = * VaR( S) Onde VaR(S) é o VaR do ativo-objeto S calculado pela aproximação normal e é o delta da opção avaliado pela fórmula de Black & Scholes na data t. Como pode ser observado na figura anterior, a aproximação do tipo Delta apresenta discrepâncias em relação ao real valor do VaR. No lado esquerdo da figura temos uma call em posição comprada e, como a curva real da opção de compra localiza-se acima da tangente à curva, a aproximação do tipo Delta tende a superavaliar a exposição ao risco em opções emcima-do-dinheiro.... Delta Gama Analítica Com a finalidade de corrigir parcialmente as discrepâncias no cálculo do VaR de opções ocasionadas pela utilização da aproximação Delta, a abordagem Delta Gama Analítica propõe a inclusão de uma componente associada a curvatura da função de avaliação da opção. Dessa forma, mais um termo da expansão em série de Taylor é introduzido na expressão do VaR das opções e a fórmula passa a ser escrita: 6

7 VaR Γ / = * Var( S) + 1 Γ*( Var( S)) Onde Γ é o gama C da opção na data t. S C T C E C 5% VaR /Γ S 5% S E S T Uma crítica à utilização da abordagem Delta Gama para opções isoladas reside no fato de que, se a opção estiver muito em-cima-do-dinheiro e com prazo para o vencimento inferior a 5 dias úteis, o termo em gama cresce drasticamente, produzindo também grandes discrepâncias no cálculo do VaR. De acordo com o documento técnico do RiskMetrics, um elevado número de falhas também pode ser obtido com opções muito fora-do-dinheiro vi e próximas a data de vencimento...3. Simulação Histórica por Bootstrap Na abordagem por Simulação Histórica por Bootstrap, o valor do ativo para uma data futura é simulado de forma aleatória em conformidade com a seguinte expressão: z St+ = σ 1 St * e Onde z é a distribuição empírica dos resíduos gerada aleatoriamente com reposição e σ a volatilidade estimada para t+1 por alisamento exponencial. Assim como no caso da simulação por bootstrap realizada para a carteira de ações, a distribuição dos resíduos padronizados do EWMA não é considerada uma normal. Uma vez gerados os valores futuros para o ativo-objeto S, os valores possíveis para a opção de compra em t+1 são calculados de acordo com a fórmula de Black & Scholes (1973). Toma-se então a diferença entre os valores simulados para a opção na data t+1 e o valor atual 7

8 de mercado da mesma. Calcula-se então um percentil desta distribuição de valores de acordo com o nível de confiança desejado. 3. Amostra Com o objetivo de comparar os valores em risco fornecidos por três metodologias empregadas à uma carteira de ações, foram utilizadas as séries históricas de preços de fechamento das ações Petrobrás PN, Vale do Rio Doce PNA, Acesita PN, Inepar PN, Ambev PN e Eletrobrás PNB para o período de 19/1/1997 a 19/1/001. Embora o período das séries de preços seja de quatro anos, o VaR pelas três metodologias foi calculado apenas para os últimos dois anos da amostra, ou seja, de 19/1/1999 a 19/1/001. A necessidade de séries mais longas reside no fato de que, para simularmos o valor em risco para a data de 19/1/1999, por exemplo, utilizamos a distribuição dos resíduos do EWMA para os dois anos anteriores. Do mesmo modo, a GPD utilizada para o cálculo do VaR em um dia t é a estimada para os resíduos dos dois anos anteriores até a data t-1. Para a comparação das metodologias de cálculo do VaR de ativos não lineares, utilizamos como ativo objeto a ação Telemar PN, obtendo uma série histórica de preços de fechamento para o período de 1/09/1998 a 15/10/001. Os preços de fechamento das opções de compra analisadas foram conseguidos junto à Bolsa de Valores de São Paulo e as cotações do ativo objeto, bem como as cotações das ações utilizadas na carteira linear, foram obtidas do software Economática. Como parâmetro da taxa de juro livre de risco, utilizou-se a taxa de CDI pré-fixado 30 dias over, cuja série temporal foi obtida junto a ANDIMA. Uma tabela com as características das opções utilizadas e respectivos períodos de análise está apresentada a seguir. Tabela : Séries de Opções de Compra utilizadas na amostra com seus respectivos preços de exercício, datas de vencimento e períodos de análise. Código da Preço de Data de Opção Exercício Vencimento TNLPJ6 6,00 15/10/001 TNLPH3 3,00 0/08/001 TNLPF34 34,00 18/06/001 TNLPD40 40,00 16/04/001 TNLPB13 44,00 19/0/001 TNLPL16 4,00 18/1/000 TNLPJ10 44,00 16/10/000 Período de Análise De 0/08/001 a 11/10/001: 38º dia útil anterior a data de exercício até a véspera da data de vencimento. De 18/06/001 a 17/08/001: 44º dia útil anterior a data de exercício até a véspera da data de vencimento. De 16/04/001 a 15/06/001: 43º dia útil anterior a data de exercício até a véspera da data de vencimento. De 19/0/001 a 1/04/001: 37º dia útil anterior a data de exercício até a véspera da data de vencimento. De 18/1/000 a 16/0/001: 41º dia útil anterior a data de exercício até a véspera da data de vencimento De 16/10/000 a 15/1/000: 43º dia útil anterior a data de exercício até a véspera da data de vencimento. De 9/09/000 a 13/10/000: 10º dia útil anterior a data de exercício até a véspera da data de vencimento. As opções foram escolhidas de modo que tenham sido negociadas em todos os dias dos respectivos períodos de análise, evitando-se dessa forma o uso de interpolação para obtenção 8

9 dos preços de fechamento das opções. Começamos a seleção pela opção mais recente, calculando os valores em risco desde a véspera de sua data de exercício até o vencimento anterior, quando a opção foi substituída por outra. O mesmo procedimento foi realizado até a seleção da opção mais antiga, que teve valores em risco calculados apenas para os 10 últimos dias de sua vida útil, com o objetivo de deixar dois anos de dados anteriores para a realização da simulação. Não foram calculados os valores em risco para a data de vencimento de nenhuma das opções da amostra, em função da existência de assincronismo entre os preços de fechamento das ações e das opções nestas datas. Os preços de fechamento das ações nestes dias correspondem ao encerramento do pregão, enquanto os preços de fechamento das opções ocorreram horas antes. 4. Resultados 4.1. Resultados das Avaliações para a Carteira de Ações Para a carteira de ações igualmente ponderada foram calculados os valores em risco pelas três metodologias apresentadas na seção.1 do presente estudo. Para o último dia da amostra, correspondente a data de 19/1/001, um investidor com posição comprada na carteira linear teria um VaR de.898% de acordo com a metodologia EWMA normal, de.91% pela simulação histórica com bootstrap dos resíduos e de.989% com a utilização da GPD nos resíduos do EWMA. Como todas as metodologias utilizaram a mesma volatilidade estimada por alisamento exponencial para a carteira, cujo valor foi de 1.76%, as diferenças existentes para as estimativas do valor em risco resultam de diferentes tratamentos aos resíduos do modelo EWMA. Um investidor em posição vendida no dia 19/1/001 teria um valor em risco de,898% de acordo com o método EWMA normal, de,69% pela simulação histórica com bootstrap nos resíduos e de,765% com a utilização da GPD. O leitor deve observar que o valor em risco da posição vendida pelo método EWMA normal é igual em módulo ao da posição comprada, uma vez que o método de alisamento exponencial utilizado é o de média condicional igual a zero. Os outros dois métodos apresentaram estimativas diferentes em módulo das obtidas para a posição comprada, indicando um tratamento adequado para a assimetria da distribuição dos resíduos. Seqüencialmente, foi realizado um procedimento de Backtest com o objetivo de verificar a acurácia das metodologias empregadas no cálculo do valor em risco. Em cada um dos 496 dias úteis do período de análise o VaR percentual estimado para a data foi comparado com o retorno observado para a carteira. Foram utilizados os níveis de confiança de 95% e 99%. Os resultados encontram-se na tabela a seguir. Tabela 3: Resultados obtidos com realização de Backtest para a carteira de ações em posição comprada e vendida. Utilização de três metodologias de cálculo do valor em risco: EWMA assumindo normalidade, aplicação de simulação por bootstrap nos resíduos do EWMA, e aplicação da distribuição GPD nos resíduos do EWMA. Holding Period de 1 dia e níveis de confiança de 95% e 9

10 99%. Método Posição Comprada Posição Vendida 95% 99% 95% 99% Falhas Proporção Falhas Proporção Falhas Proporção Falhas Proporção EWMA Normal 30 6,05% 9 1,81% 6 5,4% 5 1,01% Bootstrap 4,44% 5 1,01% 0 4,03% 5 1,01% Valores Extremos 3 4,64% 5 1,01% 0 4,03% 4 0,81% Utilizando um nível de confiança de 95% espera-se que a proporção de vezes que o retorno observado ultrapasse a estimativa do VaR fique em torno de 5%. Da tabela anterior verificase que a maior proporção de falhas, igual a 6.05%, foi obtida com o método EWMA normal para a posição comprada e a menor proporção, de 4.03%, foi obtida com os métodos simulação histórica e GPD nos resíduos. Entretanto, de acordo com o teste de razão de verossimilhanças apresentado por Kupiec(1995) vii, todas as proporções observadas de falhas podem ser consideradas estatisticamente iguais a proporção desejada de 5%. O gráfico a seguir apresenta uma comparação visual entre as estimativas do valor em risco obtidas pelas três metodologias durante todo o período de análise, utilizando-se um nível de confiança de 95%. Pode ser observado que, tanto para a posição comprada quanto para a vendida, a simulação histórica por bootstrap nos resíduos e a distribuição GPD da Teoria de Valores Extremos apresentam estimativas muito próximas para o valor em risco, com os valores praticamente se sobrepondo durante todo o período. Comparação entre três Metodologias de Cálculo do VaR para Carteiras Lineares. Nível de Confiança de 95% 10% 8% 6% 4% % 0% -% 6/1/99 15/03/00 3/06/00 1/10/00 9/01/01 19/04/01 8/07/01 5/11/01-4% -6% -8% -10% Retornos da Carteira Linear EWMA Normal Bootstrap nos Resíduos Valores Extremos Para o VaR com nível de confiança de 99%, as proporções observadas de falhas com as três metodologias podem, novamente, serem consideradas iguais a proporção desejada, agora de 1%, de acordo com o teste de Kupiec. Entretanto, de acordo com o teste de Kupiec, a região de não rejeição da hipótese nula do teste compreende um número de falhas entre 1 e 9 e, 10

11 observando o número de falhas obtido com a metodologia EWMA normal para a posição comprada na tabela, verificamos que o número de falhas com este método foi igual a 9, situando-se portanto no limite da região de não rejeição. O gráfico a seguir apresenta uma comparação visual entre os valores em risco percentuais calculados com as três metodologias utilizadas no presente trabalho, para o nível de confiança de 99%. Para este nível de confiança de 99% verifica-se que, mais uma vez, os valores obtidos com a simulação histórica por bootstrap e com a GPD nos resíduos do EWMA foram muito próximos durante todo o período. Diferentemente, os valores em risco obtidos com o EWMA normal são visualmente inferiores aos obtidos com as outras duas metodologias, tanto para a posição comprada quanto para a vendida. Comparação entre três Metodologias de Cálculo do VaR para Carteiras Lineares. Nível de Confiança de 99% 14% 9% 4% -1% 6/1/99 15/03/00 3/06/00 1/10/00 9/01/01 19/04/01 8/07/01 5/11/01-6% -11% -16% Retornos da Carteira Linear EWMA Normal Bootstrap nos Resíduos Valores Extremos 4.. Resultados das Avaliações para as Opções de Compra Para as opções de compra da amostra foram calculados os valores em risco pelas metodologias Delta, Delta Gama e por simulação histórica com bootstrap nos resíduos do EWMA. Embora o período de análise de cada opção seja curto, o que diminui a potência do teste de Kupiec, foram realizados procedimentos de Backtest para os valores em risco de 95% e 99% de confiança calculados para as opções em posição comprada. Os resultados para os valores em risco de 95% encontram-se na tabela a seguir. Tabela 4: Resultados dos procedimentos de Backtest para os valores em risco de 95% calculados pelas metodologias Delta, Delta Gama e Simulação Histórica. A região de não rejeição apresentada corresponde ao intervalo para o número de falhas do teste Kupiec com 99% de confiança. Delta Delta Gama Simulação por 11

12 bootstrap Código da Número de Número de Proporção Número de Proporção Número de Proporção Região de Opção dias testados falhas de falhas falhas de falhas falhas de falhas não rejeição TNLPJ ,8% 9 4,3% 5 13,5% 0-6 TNLPH ,0% 3 7,0% 0 0,0% 0-6 TNLPF34 4 1,4% 1,4% 3 7,1% 0-6 TNLPD ,1% 11 30,6% 0 0,0% 0-6 TNLPB ,0% 3 7,5% 5,0% 0-6 TNLPL ,5% 5 11,9% 0 0,0% 0-6 TNLPJ ,1% 3 33,3% 0 0,0% 0- Da tabela anterior verifica-se que a metodologia Delta Gama apresentou desempenho inferior as demais em três casos. Analisando-se estas opções individualmente, verificou-se que são opções que terminaram a sua vida útil muito fora-do-dinheiro. Para estas opções, a maior parte das falhas observadas com a metodologia Delta Gama ocorreram nos últimos cinco dias úteis do período de análise e, como descrito na seção.., esta metodologia apresenta um elevado número de falhas nesta situação. Os resultados dos procedimentos de Backtest para os valores em risco de 99% de confiança estão apresentados na tabela a seguir. Novamente, das três metodologias analisadas a Delta Gama apresentou o pior desempenho, em particular em opções muito fora-do-dinheiro. Tanto a metodologia Delta quanto a simulação histórica obtiveram números de falhas dentro da região de não rejeição do teste de Kupiec, embora deva ser ressaltada a baixa potência deste teste, em função do número de dias analisados por opção ser bastante reduzido. Tabela 5: Resultados dos procedimentos de Backtest para os valores em risco de 99% calculados pelas metodologias Delta, Delta Gama e Simulação Histórica. A região de não rejeição apresentada corresponde ao intervalo aceitável para o número de falhas do teste Kupiec com 99% de confiança. 1

13 Delta Delta Gama Simulação por bootstrap Código da Número de Número de Proporção Número de Proporção Número de Proporção Região de Opção dias testados falhas de falhas falhas de falhas falhas de falhas não rejeição TNLPJ6 37 1,7% 4 10,8% 5,4% 0- TNLPH3 43 1,3% 4,7% 0 0,0% 0- TNLPF ,0% 0 0,0% 4,8% 0- TNLPD ,0% 8,% 0 0,0% 0- TNLPB ,0% 0 0,0% 0 0,0% 0- TNLPL16 4 1,4% 3 7,1% 0 0,0% 0- TNLPJ ,1% 4 44,4% 0 0,0% Conclusão Em uma primeira etapa, o presente estudo analisou as diferenças obtidas para as estimativas do VaR calculadas por três metodologias aplicadas a uma carteira de ações igualmente ponderada. Os três métodos utilizados, EWMA normal, simulação histórica por bootstrap e aplicação da GPD nos resíduos, utilizaram a mesma estimativa da volatilidade para cada dia t do período de análise. Dessa forma, os diferentes valores obtidos para o VaR por essas três metodologias devem-se, unicamente, a diferentes tratamentos dos resíduos do modelo EWMA. Enquanto o EWMA normal assume que a distribuição dos resíduos padronizados é uma normal padrão, a simulação histórica por bootstrap não assume qualquer distribuição estatística para os resíduos, utilizando uma amostragem aleatória com reposição da série empírica dos resíduos passados. Por sua vez, a GPD da Teoria dos valores extremos é uma distribuição usada para modelar apenas as caudas das distribuições dos resíduos. Como a distribuição empírica dos resíduos do EWMA apresenta excesso de curtose, em função da existência de caudas mais pesadas do que as previstas pela distribuição normal, acreditamos que tanto a simulação histórica quanto a GPD fornecem estimativas mais acuradas para o valor em risco. Entretanto, ao utilizarmos um procedimento de Backtest para as três metodologias e testar os resultados obtidos com testes de razão de verossimilhanças, nenhum dos métodos apresentou um número de falhas que pudesse causar a rejeição da hipótese nula do teste com 95% de confiança. Para os valores em risco de 99%, o EWMA normal para a posição comprada apresentou um número de falhas igual a 9, situando-se ainda no limite superior do teste de Kupiec. Dessa forma, a proporção de falhas de 1.81% obtida com este método ainda pode ser considerada igual a proporção desejada de 1% com 95% de confiança. Na segunda etapa do trabalho, analisamos três metodologias de cálculo do VaR de ativos não lineares, aqui aplicadas a opções de compra da Telemar em posição comprada. Os resultados dos procedimentos de Backtest indicaram que, para todas as opções analisadas, as metodologias Delta e simulação histórica apresentaram um número de falhas dentro da região 13

14 de não rejeição do teste de Kupiec com 99% de confiança. Por outro lado, a metodologia Delta Gama apresentou, como já era esperado, um desempenho inferior ao das outras duas metodologias nas proximidades do vencimento das opções muito fora-do-dinheiro. A simulação histórica com bootstrap nos resíduos do EWMA apresentou, portanto, desempenho satisfatório tanto para a carteira de ações quanto para as opções de compra analisadas. 6. Bibliografia BLACK, F. & SCHOLES, M. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81 (3): , May DUFFIE, D. & PAN, J. An overview of Value at Risk. The Journal of Derivatives, vol. 4, number 3, Spring EMBRECHTS, P.; KLÜPPELBERG, C. AND MIKOSCH, T. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Berlin: Springer Verlag, HULL, J. C. Options, Futures and Other Derivatives. Prentice Hall, JORION, P. Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Derivatives Risk. Irwin Professional Publishing, KUPIEC, P. Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Measurements Models MENDES, B.V.M. Teoria dos Valores Extremos. Livro não Publicado. RISKMETRICS TM - Technical Document - 3 a Edição (1995) e 4 a Edição - Dezembro de 1996, Reuters/J.P. Morgan. Notas i Veja DUFFIE & PAN (1997). ii Para uma discussão mais aprofundada e demonstrações sobre a propriedade lognormal dos preços das ações ver HULL (1997), pp. 8. iii No presente trabalho a média dos retornos do ativo foi considerada igual a zero para a estimação da volatilidade. Se, entretanto, puder ser observada uma tendência na série de retornos da ação ou carteira, pode-se incluir a média dos retornos observados, obtendo-se a expressão para o alisamento exponencial com média diferente de zero. σˆ A, t+ 1, t = λσ A, t, t 1 + λ(1 λ) onde ( r r ) A, t A, t 14

15 r A, t = λra, t 1 + ( 1 λ) ra, t iv DUFFIE & PAN (1997) citam como exemplo a distribuição de retornos diários do índice S&P 500 para o período de 1986 a 1996, para o qual a curtose da distribuição real foi 30 vezes superior a da distribuição normal com mesma média e desvio-padrão. v Para maiores detalhes sobre a estimação dos parâmetros da distribuição generalizada de Pareto e de suas características ver EMBRECHTS, KLÜPPELBERG E MIKOSCH (1997). Para uma descrição aprofundada do método de estimação do valor em risco usando a GPD consulte MENDES (livro em fase final de publicação). vi Ver RiskMetrics Technical Document, quarta edição, página 51. vii O nível de confiança utilizado no teste de Kupiec foi o de 95%. 15