Revendo conceitos de fenômenos de transporte e termodinâmica...

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1 Apêndice B conhecimentos prévios Revendo conceitos de fenômenos de transporte e termodinâmica... conceitos básicos definições: volume de controle (VC): é uma região finita, cuidadosamente escolhida por um analista, com contornos abertos pelos quais se permite que massa, quantidade de (White, Mecânica dos fluidos, p. 3) movimento e energia cruzem. energia (U): capacidade que um corpo, uma substância, um sistema físico tem de realizar (na língua portuguesa os primeiros registros da palavra energia datam de 1563) dicionário Houaiss, trabalho. ( energia interna: esta idéia remonta a Aristóteles) é a fração de energia total de um sistema físico que é determinada apenas por seu estado de repouso e correspondente à soma das energias cinéticas e potenciais dos componentes deste sistema, seu valor absoluto não pode ser determinado, porém é possível medir sua variação que para um sistema fechado, corresponde ao calor absorvido pelo sistema. (dicionário Houaiss) A variação de energia interna consiste em um componente sensível ou térmico, que leva em consideração os movimentos de translação, rotação ou vibração dos átomos/ moléculas que compõem a matéria; um componente latente que está relacionado às forças intermoleculares que influenciam as mudanças de fase entre os estados sólido, líquido e gasoso; um componente químico que compreende a energia armazenada nas ligações químicas entre os átomos; e um componente nuclear que representa as forças de coesão existente nos núcleos (Incropera & De Witt, p. 8) dos átomos. se refere à energia das moléculas que constituem a substância de um corpo. Acredita-se que as moléculas de qualquer substância estão em incessante movimento e possuem energia cinética de translação, de rotação e de vibração. Além da energia cinética, as moléculas de qualquer substância possuem energia potencial em virtude das interações dos respectivos campos de força. Numa escala submolecular, há energia associada aos elétrons e aos núcleos atômicos e energia de ligação resultante das forças que mantém os átomos reunidos em moléculas (Smith, J.M.; Van Ness, H.C. Introdução à Termodinâmica da Engenharia Química.). temperatura (T): (primeiros registros na língua grau ou quantidade de calor existente num corpo. portuguesa dicionário Houaiss da língua portuguesa) (White, p. 10) "Temperatura é uma medida do nível de energia interna". "The degree of heat of A, or of any body in thermal equilibrium with A, can thus be very simply defined by the volume of A, or, as is usual, by the difference between the volume of A and an arbitrarily selected normal volume, namely, the volume of A when in thermal equilibrium with melting ice under atmospheric pressure. This volumetric difference, which, by an appropriate choice of unit, is made to read 100 when A is in contact with steam under atmospheric pressure is called the temperature in degrees Centigrade with regard to A as thermometric substance. Two bodies of equal (Max Planck temperature are, therefore, in thermal equilibrium, and vice versa. Treatise on thermodynamics tradução de 196 de sua obra de 19) Apêndices 7

2 é um parâmetro que expressa a energia cinética média das moléculas (Mahan) é o conteúdo médio de calor por átomo de certa quantidade de matéria, e somente matéria pode ter temperatura. (Asimov). energia térmica: entalpia (H): entropia: qualquer troca de energia acompanhada da mudança de (dicionário Houaiss) temperatura. conteúdo de calor de um sistema cuja expressão em outro termodinâmico é definida pela soma de sua energia interna com o produto do volume do (primeiro registro na língua portuguesa é de 194, sistema pela pressão a que está submetido dicionário Houaiss), ou seja, é uma quantidade termodinâmica derivada da energia interna definida como sendo: H = U + PV (P... pressão e V... volume) o termo entropia foi introduzido em 1840 pelo físico alemão Rudolf Clausius, para caracterizar o grau de uniformidade com que a energia, sob qualquer forma, está distribuída. Quanto mais uniformemente distribuída estiver, maior a entropia. Quando a energia estiver distribuída de maneira completamente uniforme, a entropia atinge o valor máximo para o sistema em questão. (...) (exemplo: pondo-se um objeto quente em contato com outro frio, o calor flui de tal maneira que o objeto quente se esfria e o objeto frio fica mais quente, até que ambos atinjam a mesma temperatura) (Asimov) primeira lei da termodinâmica: é uma exposição geral sobre o comportamento da função de estado energia e diz: a energia do universo é constante. Esta lei, assim como a segunda lei da termodinâmica, não são deduzidas. Surgiram de nossas observações sobre o comportamento da matéria como um todo e resumem as características universais de toda nossa experiência. Sua generalidade foi repetidamente demonstrada e esperamos que conclusões nelas baseadas sejam válidas em quaisquer nova experiência que fizermos (Mahan). segunda lei da termodinâmica: é uma exposição geral sobre o comportamento da função de estado entropia. Entropia é uma função de estado. Em um processo reversível, a entropia do universo é constante. Em um processo irreversível, a entropia do universo aumenta. Para provar a segunda lei iremos demonstrar que negá-la implica em que os gases possam comprimir-se espontaneamente e que o calor pode fluir espontaneamente de regiões frias a regiões quentes (Mahan). Clausius afirmou que havia uma regra geral na natureza, segundo a qual as diferenças de concentração de energia tendem a nivelar-se. Em outras palavras, a entropia aumenta com o decorrer do tempo. A sugestão de Clausius de que a entropia aumenta com o tempo parecia enunciar algo fundamental e por isso é chamada de segunda lei da termodinâmica. Podese mostrar que todo processo que nível a concentração de energia é acompanhado de um aumento da desordem. Por conseguinte, essa tendência no aumento da desordem no universo através dos movimentos ao acaso das partículas que o constituem é apenas outro aspecto da segunda lei. Assim sendo, a entropia pode ser considerada uma medida da desordem presente no universo. (Asimov) Propriedades específicas: propriedade dividida pela massa ou número de moles ou pelo volume (menos H H comum) ; e.g. energia interna específica: H = ou H! = m n H Capacidade Calorífica: a pressão constante: cp = em (J/kg.K) ou (J/mol.K) T P Apêndices 8

3 coeficiente de expansão térmica(β): viscosidade cinemática(υ): calor sensível: U a volume constante: cv = T 1 V β = V T P µ υ ρ Apêndices 9 V em (J/kgK) ou (J/molK) ; sendo V o volume molar = (em m /s no SI); sendo µ a viscosidade (dinâmica ou absoluta) e ρ a densidade ou massa molar. calor que cedido a um sistema físico é capaz de provocar um aumento de sua temperatura (Dicionário Houaiss). λ = H H (H V e H L são respectivamente a entalpia da Calor latente (λ): de vaporização - v V L fase gasosa e líquida) de fusão - λ f = HL HS (H L e H S são respectivamente a entalpia da fase líquida e sólida) Camada Limite hidrodinâmica:região próxima a um corpo submerso em um fluido em escoamento onde há um gradiente de velocidades. regime permanente/estacionário ou estado estacionário/permanente: é a condição em que nenhuma variável se altera com o tempo. regime/processo/condição/estado transitório/transiente/dinâmico: é a condição em que pelo menos uma variável se altera com o tempo regime pseudo-estacionário ou condição pseudo-estacionária ou estado pseudo-estacionário: se refere à condição em que a variação de uma variável com o tempo é muito lenta Leis de conservação visão macroscópica: forma geral: t VC ψρdv = ψρvnda +Ψ "" # SC sendo, ψ... grandeza a ser conservada G ψ = Ψ... grandeza específica a ser conservada m Ψ #... taxa de geração da grandeza a ser conservada G n "... o vetor normal à superfície de controle v "... a velocidade relativa das correntes materiais em relação a um referencial fixo dm = m# m# + m# BM VC homogêneo: i i G dt i E i S "" Geral: ρdv = ρvnda + mˆ ; ˆ kg GdV mg( 3 ) t ms VC SC VC " " 0 = β jmv j m j β jmv j m j + F " i BQM VC homogêneo, em e.e.:,, escoamento laminar: média j E # # ; v m velocidade j S 4 β = ; escoamento turbulento: β = 1.0 (no interior de tubos) 3 " " "" " vρdv = vρ vn da + F t VC SC Geral: ( ) i

4 BEM transformação entre energias (mecânicas) em e.e.: (energias envolvidas: trabalho de fluido - W f, energia cinética - E c, energia potencial -E c, trabalho perdido por atrito (W A ) que resulta no termo de perda de carga, trabalho de máquinas - W M ) Em termos de carga: escoamento laminar: vm P + z+ HA + HM = 0 g α γ α = ; escoamento turbulento: α = 1.0 (no interior de tubos) Relações fundamentais da termodinâmica: Legenda: H... entalpia específica (J/kg) ou (J/mol) U... energia interna específica (J/kg) ou (J/mol) P... pressão T... temperatura V... volume molar c p... calor específico a pressão constante c v... calor específico a volume constante β... coeficiente de expansão térmica H = U + PV dh = du + PdV + VdP H H H dh = dt + dp = cpdt + dp T P P T P T U U U U U du = dt + dv = cvdt + dv ou du = dt + dp T V V T P V T T P T A partir das relações acima é possível deduzir que: P du = T P dv + cv dt T P V V du = T P dp + cvdt T P P T V du = T dp + cpdt PdV = TV βdp + cpdt PdV T V dh = V T dp + cpdt T P P De modo que na prática da engenharia as seguintes simplificações são usuais: Líquidos: U = H; dh = cpdt (porque líquidos são normalmente fluidos incompressíveis e têm valores de β muito pequenos) Gases ideais: du = cvdt Sólidos: du = cpdt (porque em sólidos cp cv) Observação: a determinação experimental de c v é difícil enquanto dados de c p estão disponíveis na literatura Apêndices 10

5 Exercícios de revisão de balanço de massa: Exercício 01 (PAFe das turmas 3D, 3E e 3F FT-I do 1 o semestre de 004): A figura mostra um tanque cilíndrico aberto de m de diâmetro interno, o qual é usado para estocar água à temperatura ambiente. O tanque pode ser alimentado por duas correntes com vazões volumétricas F 1 (cuja vazão volumétrica é mantida constante em l/s) e F. O tanque possui uma única corrente de saída, cuja vazão F s é controlada. Na tubulação a vazão não é constante. Vazão da corrente 1: F1 = t 0min Vazão da corrente : 0 t < 10min F = t 10 t 0 min Vazão da corrente de saída: t < 10min Fs = t < 0 min Pede-se: a) quando não há escoamento pela corrente e a vazão de saída é de l/s, indicar se o processo se encontra em regime permanente ou transitório. dm = m # 1 m # 3 = ρ ( F F 1 3) = 0 (logo processo estacionário) dt Observação: a densidade é assumida constante. b) o escoamento pela corrente se inicia (no instante 10 min) na forma de uma perturbação do tipo rampa, a qual pode ser modelada como: F = t, sendo t o tempo medido em segundos e F dado em (l/s). No instante 10 min a altura do tanque é de.0 m e o engenheiro de processos ajusta a vazão de saída para 1. l/s. Calcule a altura de água no tanque transcorridos mais 10 minutos, ou seja, a altura de água no instante 0min. dm = m # m m 1+ # # 3 dt Assumindo densidade constante (água à temperatura constante): π dh d = F1+ F F3; d=m 4 dt 3 dh 10 = ( t 1.) dt π dh 3 = 10 ( t) dt h 0 60 dh 3 = t dt ( ) h = h =.136 (m) ( ) ( ) 3 Apêndices 11

6 Exercício 0: Qual a vazão volumétrica e velocidade média de escoamento de metano a 150 o F e 3 atm escoando com uma vazão mássica de 1.15ton/dia por uma tubulação de diâmetro interno de.5cm? Dados da equação de Antoine para o metano: A= , B=15.43, C=-7.16, P em mmhg e T em K. A Equação de Antoine: ln P sat = B sat T + C + Determinação do estado físico do metano: ln ( 3*760) = T = 86.95K T 7.16, logo o metano está no estado gasoso! Cálculo da densidade do metano (como a pressão é de 3atm, o metano pode ser considerado como gás ideal): 5 MMP ρ = = = 177 RT ( ) (g/m 3 ) Cálculo da vazão volumétrica: F = = (m 3 /s) 1.77 (4 3600) Apêndices 1

7 Exercício 04 (P1 da turma 3E FT-I do 1 o semestre de 004): A figura a seguir mostra um vasilhame em que água é evaporada. O vapor na camisa de aquecimento não penetra no vasilhame e fornece a energia suficiente para evaporar a água. O seguinte modelo foi proposto para calcular a variação do nível de água no vasilhame. π dt dh ρ l = # mvap 4 dt sendo, ρ l... densidade da água líquida avaliada na temperatura do interior do vasilhame d T... diâmetro do vasilhame m# vap... vazão mássica de saída de vapor Pede-se: a-) classificar o processo quanto a ser estacionário, pseudo-estacionário ou transiente. Transitório a massa varia com o tempo e a equação é uma equação diferencial com o tempo, mostrando que há acúmulo de massa! b-) explicar as hipóteses adotadas no modelo apresentado. Efetuando um VC no interior do vaso temos: d ( m L + m V) = m # vap dt Hipótese 1: Como a densidade de gases é muito menor que a de líquidos temos: d ( m L) = # m vap dt Hipótese : Na mudança de fase, a temperatura é constante, de modo que a densidade da fase líquida é constante e pode ser colocada para fora do termo diferencial Hipótese 3: O tanque será assumido cilíndrico π dt dh De modo que: ρ l = # m 4 dt vap Apêndices 13

8 Exercícios de revisão de termodinâmica Exercício 01: Calcule a entalpia de uma corrente de glicerina a 40 o C escoando pelo espaço anular entre duas tubulações de diâmetros externo de.5 cm e interno de 5cm com uma velocidade de.5m/s. Dados de Incropera & De Witt T ρ (kg/m 3 ) cp (J/kgK) T ρ (kg/m 3 ) cp (J/kgK) Representação Gráfica dos Dados Tabelados Observação: A inspeção visual indica uma dependência linear da densidade e capacidade calorífica com a temperatura, como também pode ser observada pelos dados da regressão linear apresentados a seguir. Regressão Linear dos valores tabelados de densidade e capacidade calorífica ρ = T ; (T em K; ρ em kg/m 3 ) cp = T ; (T em K; cp em J/kgK) ρ (kg/m 3 ) ρ (ajustado) (kg/m 3 ) cp (J/kgK) cp (ajustado) (J/kgK) T , , , , , , , , , , , ,68 Apêndices 14

9 Cálculo da vazão mássica: Como o fluido está a 40 o C, deve-se obter a densidade a 40 o C. opção 1: interpolação dos dados tabelados: = ρ = (SI) ρ opção : da regressão linear: ρ = = (SI) Observação: Note a concordância dos dados, o que é característico do comportamento linear dos dados tabelados! π = = 4.606(SI) 4 vazão mássica: m# ( ) Cálculo da entalpia específica: Escolha da referência: como a capacidade calorífica apresenta-se tabelada a partir de 73K, escolhemos como referência o valor de 0 o C, uma vez que este é um valor aceito pela comunidade científica (o correto seria ainda verificar qual o valor da temperatura de fusão da glicerina. Por quê?). Opção 1: dado o comportamento linear da capacidade calorífica, escolhemos um valor médio para a capacidade calorífica, obtido como a média dos valores tabelados, a saber: cp = 401. (J/kgK). 313 dt (J/kg) 73 H = = Opção : dado o comportamento linear da capacidade calorífica, o cálculo da integral será feito por trechos, assumindo valores médios em cada trecho. Reduzimos o número de intervalos considerados, também devido ao comportamento linear H = dT dT + dt = Observação: (J/kg) 310 Os valores de 314 e 48.5 são os valores médios nos intervalos considerados. O valor de 51 é o valor da capacidade calorífica a 313K, obtida por interpolação dos dados tabelados. Opção 3: cálculo a partir dos valores da regressão linear. 313 H = 0 + ( T) dt = (J/kg) 73 Apresentação dos valores da entalpia da corrente ( H = mh opção entalpia (kw) erro (obtido em relação ao valor calculado pelos dados da regressão linear) % % //- Apêndices 15

10 Exercício 0: Calcule a energia interna de 0.m o C. de aço inoxidável AISI 30 a Observações: para sólidos: U H Referência para cálculo da entalpia: 0 o C Dados de Incropera & De Witt: ρ = 8059(SI) T=300 : cp=480 (J/kgK) T=400 : cp=51 (J/kgK) (também estão disponíveis dados de cp a temperaturas mais altas) Análise dos valores tabelados: Observação: analisando a figura, vemos que o comportamento da capacidade calorífica com a temperatura não é linear. Por interpolação: T=100 o C : cp=503.4 (SI) Valor médio da capacidade calorífica para o cálculo da entalpia: cp=490 (SI) (Como não está disponível o dado de cp a 0 o C, uma estimativa possível é obtida como o valor médio entre 300K e 373K, o que resulta no valor aproximado de 490 (SI). Um procedimento mais rigoroso seria, extrapolar o valor de capacidade calorífica para 73K, usando os valores disponíveis e efetuando uma regressão dos dados tabelados. A dificuldade é que não mais uma regressão linear é possível, a figura indica que uma dependência quadrática com a temperatura é possível, e o ajuste é obtido por mínimos quadrados). Ajuste quadrático por mínimos quadrados (cálculos foram feitos usando o programa Matlab): cp T T = (cp no SI e T em K) Apêndices 16

11 Resultado do ajuste: T cp (J/kgK) cp (ajustado) (J/kgK) , , , , ,68 Observação: Observação: A 73K o valor de cp pode ser estimado como: 473.1, de modo que uma melhor estimativa para o cp médio seria = 488., ou seja o valor de 490 é razoável (erro em torno de apenas 0.4%!). Na falta de outros dados de densidade, o valor da densidade será assumido constante. Opção 1: Cálculo da entalpia específica: 100 dt (J/kg) 0 H = = Opção : ( ) 73 m= ρv = 161 (kg) H = T T dt = (J/kg) Cálculo da massa: Valores de energia interna opção U (kj) erro (em relação à opção ) % // - Apêndices 17

12 Exercício 03: Calcule a variação de entalpia entre a entrada e saída de um duto de seção quadrada de cm de lado interno por onde escoa água. A temperatura da água na entrada do duto é de 15 o C e na saída é de 45 o C. Valores tabelados de Incropera & De Witt: T ˆ V (l/kg) cp (kj/kgk) Observação: note a relativa constância das propriedades tabeladas! Referência para cálculo da entalpia: 0 o C Interpolando o valor de volume específico a 15 o C: = 1 = ρ Donde a densidade a 15 o C é: (kg/m 3 ) Em uma tubulação em operação normal não pode haver acúmulo de massa de modo que a vazão mássica é constante e pode ser obtida em relação à velocidade média à entrada do tubo como (note que a velocidade média de escoamento não será constante!): m# = ρv A = 999.4v 0.0 = v m ST m, e m, e Cálculo das entalpias específicas na entrada e saída: H e = 0 + Te Tref Ts Hs = 0 + Tref cpdt cpdt Apêndices 18

13 Te Donde: He Hs = cpdt = 4.181(15 45) = 15.4 (kj/kg) (foi adotado para a TS capacidade calorífica um valor médio dos valores tabelados entre 85K e 30K) Cálculo da diferença das entalpias das correntes de entrada e saída: ( ) H# H# = m# H m# H = m# H H = v (kw) e s e e s s e s m Apêndices 19

14 Exercício 04: Calcule a variação de entalpia entre a entrada e saída de um tubo de 5 cm de diâmetro interno por onde escoa ar a atm com uma vazão volumétrica de 19 (l/s). A temperatura do ar na entrada da tubulação é de 15 o C e na saída é de 45 o C. Ar é gás, assim a sua densidade pode ser obtida por uma equação de estado. Como a pressão da corrente gasosa é de atm, podemos utilizar a equação de estado dos gases ideais, a saber: 5 MMP ρ = = = 437 (g/m 3 ) RT Vazão mássica de ar: 3 # = ρf = = (kg/s) m Dados de Incropera & De Witt T cp (kj/kgk) T cp (kj/kgk) Observação: o comportamento da capacidade calorífica assume um coportamento linear com a temperatura acima de 400K, sendo o comportamento da figura com a temperatura quadrático. Nota-se contudo, uma região em torno de 50K em que a capacidade calorífica é aproximadamente Apêndices 0

15 constante, assim um valor razoável para cálculos é assumir um valor constante de kj/kgk. T Ajuste dos dados: cp (ajustado) (kj/kgk) T cp (ajustado) (kj/kgk) 150 1, , , , , , , , , ,0519 cp T T kj/kgk) 7 = (T em K, cp em Cálculo da variação da entalpia específica: TE E s = TS H H cpdt Cálculo através da correlação quadrática: (kj/kg) Cálculo aproximado: (kj/kg) - (erro de 0.009%) Variação de entalpia entre E/S: 1.4 (kw) Apêndices 1

16 Exercício 06: Calcule a entalpia específica das fases líquida e vapor de uma corrente bifásica saturada de etileno glicol a 470K e 1 atm. Dados de Incropera & De Witt Ponto normal de ebulição: Calor latente de vaporização a 470K: 470K 81 kj/kg T cp (J/kgK) (ajustado regressão linear) cp (J/kgK) , , , , , , , , , , , ,1 Ajuste da capacidade calorífica: cp = T (cp no SI e T em K) Referência para o cálculo da entalpia: 73K Cálculo da entalpia específica da fase líquida: Apêndices

17 HL 470 ( ) T dt (kj/kg) 73 = = Cálculo da entalpia específica da fase vapor: H = H + λ = = 1385(kJ/kg) V L vap Observação: O uso de um valor médio para a capacidade calorífica para os dados tabelados fornece um erro significativo, uma vez que os valores tabelados são fornecidos até a temperatura de 373K, significativamente menor que o valor de 470K. Contudo dado o comportamento linear um outro cálculo aproximado pode ser feito. Pode-se obter a capacidade calorífica em 470K por interpolação (extrapolação) dos valores e este valor pode ser mediado com o valor à temperatura de 73K, como mostram os cálculos a seguir: Calor especifíco médio dos valores tabelados: 54.6 (J/kg) Cálculo da entalpia da fase líquida: ( ) H L = = (kj/kg), valor não muito razoável (erro de 7%) Calor específico em 470K: = cp470k = cp 74 Cálculo da entalpia da fase líquida: H L = ( ) = = (kj/kg) note a boa aproximação erro de 0.4% em relação aos valores obtidos da integração da correlação ajustada, sendo este cálculo bastante mais simples. Percebe-se assim a importância da análise preliminar dos dados para se saber se os dados apresentam um comportamento linear, quando o procedimento de interpolação e cálculo de médias é bastante preciso. Apêndices 3

18 Exercício 10: Pede-se: a-) b-) c-) Calcular a energia cinética de uma corrente de água líquida a 15 o C escoando por um tubo de.5 cm de diâmetro interno com uma velocidade média de m/s. Calcular a variação de energia potencial entre a entrada e saída de uma corrente de água líquida a 15 o C escoando por um tubo de.5 cm de diâmetro interno com uma velocidade média de m/s, sendo que a saída situa-se a 80m acima da entrada. Comparar os valores das energias obtidos nos itens a-) e b-) com aqueles obtidos no exercício 3. Cálculo da vazão mássica: Do exercício 3: densidade a 15( o C) : (kg/m 3 ) Vazão mássica: π 4 # = ρvmast = = (kg/s) m 1 Energia cinética: Ec = mv # m = m# = (W) α Observação: nas condições do escoamento, este é turbulento, donde não é necessário se corrigir o valor da energia cinética (i.e., α 1). Variação de energia potencial: Ep = mg # z = m# = 784m# = (W) Variação das entalpias (exercício 3) : H # = 15.4m # = 00.5 (kw) = (W) Observação: Percebe-se nitidamente que os valores das energias mecânicas são menores que os da variação da energia térmica! Apêndices 4