Solução positiva de uma equação de Schrödinger assintoticamente linear no innito via variedade de Pohozaev

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1 Solução positiva de uma equação de Schrödinger assintoticamente linear no innito via variedade de Pohozaev Juan Carlos Ortiz Chata Orientador: Prof. Dr.Marcos Tadeu de Oliveira Pimenta Coorientador: Prof. Dr.Giovany de Jesus Malcher Figueiredo Programa: Matemática Aplicada e Computacional Presidente Prudente, 4 de janeiro de 017

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3 UIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Faculdade de Ciências e Tecnologia de Presidente Prudente Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional Solução positiva de uma equação de Schrödinger assintoticamente linear no innito via variedade de Pohozaev Juan Carlos Ortiz Chata Orientador: Prof. Dr.Marcos Tadeu de Oliveira Pimenta Coorientador: Prof. Dr.Giovany de Jesus Malcher Figueiredo Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional da Faculdade de Ciências e Tecnologia da UESP para a obtenção do título de Mestre em Matemática Aplicada e Computacional. Presidente Prudente, 4 de janeiro de 017

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5 FICHA CATALOGRÁFICA O89s Ortiz Chata, Juan Carlos. Solução positiva de uma equação de Schrödinger assintoticamente linear no infinito via variedade de Pohozaev / Juan Carlos Ortiz Chata. - Presidente Prudente : [s.n], p. Orientador: Marcos Tadeu de Oliveira Pimenta Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Ciências e Tecnologia Inclui bibliografia 1. Assintoticamente linear.. Identidade de Pohozaev. 3. Sequência de Cerami. I. Pimenta, Marcos Tadeu de Oliveira. II. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Ciências e Tecnologia. III. Título.

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8 À minha mãe Dimna e meu pai Justiniano

9 Agradecimentos Agradeço a minha mãe, por ter feito o possível para eu chegar ao Brasil e fazer este trabalho. Ela me deu exemplo de força de vontade, generosidade e amor. A meu pai Justiniano por seu apoio para continuar meus estudos (mesmo que longe deles). Por eles terem dado o melhor que puderam oferecer. Agradeço a minha esposa, uma or preciosa que o Senhor deu para mim, seu companheirismo, esforço e ânimo me ajudaram a fazer este trabalho. Agradeço a meu orientador Prof. Dr. Marcos Tadeu De Oliveira Pimenta, por sua disposição para me atender em minhas dúvidas, além de me dar bons conselhos para minha vida prossional e cotidiana. Agradeço a meu coorientador Prof. Dr. Giovany de Jesus Malcher Figueiredo, que chegou em um momento bom, para me ajudar a continuar este trabalho com mais vontade devido às aulas que tivemos. Por tirar minhas dúvidas com bom ânimo e paciência, também agradeço por seus bons conselhos para minha vida. Agradeço a meus professores e ao pessoal do Pós-Mac, por seu bom trabalho e tratarme bem, pelo fato de eu ser estrangeiro. Agradeço a meus colegas do Pós-Mac: Anderson, Letícia, Maria Cecilia, Débora, Guilherme, Tais, Leonardo, Clicia e os demais colegas, por suas ajudas nos momentos que eu precisava. Agradeço às pessoas que encontrei nesta cidade de Presidente Prudente, pois seus ânimos e conselhos, me ajudaram a car rme. Finalmente agradeço à CAPES pelo apoio nanceiro.

10 Alguns dos axiomas devemos admitir; se admitimos poucos mais dos estritamente necessários, o dano não é grande. O essencial é aprender a raciocinar com os axiomas uma vez admitidos. A audiência em um teatro aceita voluntariamente todos os postulados impostos no início, mas uma vez que a cortina é levantada é inexorável na incisão de lógica. Bem, isto é justo o mesmo em matemática. H. Poincaré

11 Resumo este trabalho teórico em Equações Diferenciais Parciais Elípticas, iremos apresentar uma abordagem diferente e mais geral na busca de solução positiva da equação de Schrödinger assintoticamente linear no innito u + λu = a(x)f(u) em, para 3 e λ > 0. Métodos variacionais são usados para o estudo da existência das soluções fracas positivas sobre um apropriado subconjunto da variedade de Pohozaev associado ao problema, sob certas condições na não-linearidade. Palavras-Chave:assintoticamente linear; identidade de Pohozaev; compacidade e concentração; sequência de Cerami; baricentro.

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13 Abstract In this theoretical work in Elliptic Partial Dierential Equation, we will present a dierent and more general approach in the search of positive solution of asymptotically linear Schrödinger equation u + λu = a(x)f(u) in, for 3 and λ > 0. Variational methods are used to study the existence of the weak positive solutions on an appropriate subset of Pohozaev manifold associated with the problem, under certain assumptions on the nonlinearty. Keywords: Asymptotically linear; Pohozaev identity; Concentration compactness; Cerami sequence; Baricenter.

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15 Índice de otações A é a medida de Lebesgue de um subconjunto A ; C k (Ω) = {u : Ω ; u é continuamente k vezes diferenciável}; C k 0 (Ω) = {u C k ; supp(u) é compacto }; u L p(ω) = ( Ω u p dx ) 1 p ; L p (Ω) = {u : Ω R; u é mensurável e u L p (Ω) < }; u L (Ω) = inf{c 0; {x Ω; u(x) c} > 0} ; L (Ω) = {u : Ω R; u é mensurável e u L (Ω) < }; W m,p (Ω) = {u L p (Ω); D α u L p (Ω) α m}, onde α é um multi-índice; u W m,p (Ω) = ( m i=1 Dα u p L p (Ω) ) 1 p ; W m,p 0 (Ω) = C 0 (Ω), onde o fecho é tomado com respeito à norma W m,p (Ω); H m (Ω) = W m, (Ω); H m 0 (Ω) = C 0 (Ω), onde o fecho é tomado com respeito à norma H m, (Ω); u = i=1 u. x i 9

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17 Sumário Resumo 5 Abstract 7 Índice de otações 9 1 Introdução 13 Preliminares 17.1 Distribuições Espaços de Sobolev Imersões contínuas e compactas de Sobolev Uma versão do Teorema do Passo da Montanha A identidade e variedade de Pohozaev Identidade e variedade de Pohozaev Resultados de não-existência 35 5 Existência de uma solução positiva 49 6 Considerações Finais 67 A Um problema modelo de (1.1) 69 B Regularidade da função I e J 73 Referências 77

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19 Capítulo 1 Introdução o trabalho de P. Rabinowitz [18], o autor trata a equação de Schrödinger não-linear iħψ t = ħ m ψ + V (x)ψ γ ψ p 1 ψ, onde x e 1 < p < +. Procurando por solução da forma ψ(x, t) = exp( iet/ħ)u(x), temos a seguinte equação diferencial parcial elíptica u + b(x)u = f(x, u) em, com condições sobre b e f. Uma das condições sobre f é que t 1 zf(x, tz) seja crescente para todo t > 0 e z 0, o qual permite restringir este problema à variedade de ehari, denida por: := {u H 1 ( ) \ {0}; I (u)u = 0}, onde I é o funcional energia associado ao problema. Logo P. Rabinowitz mostra que o nível min-max do Passo da Montanha coincide com o ínmo do funcional I restrito à variedade de ehari e além disso, este é um valor crítico para o funcional. Depois deste trabalho A. Maia e R. Lehrer [15] abordam a equação de Schrödinger assintoticamente linear no innito, para 3 e λ > 0. u + λu = a(x)f(u) em, (1.1) As autoras A. Maia e R. Lehrer [15] consideram uma condição mais geral que f(s) s, para s > 0, seja crescente. Uma pergunta natural seria se o problema (1.1) pode ser tratado utilizando a variedade de ehari, mas a resposta é negativa pois no trabalho de D.Costa e H. Tehrani em [8](Proposition.), é provado que se f(s) para s 0 é s crescente e f(s) é assintoticamente linear no innito, o caminho γ(t) := I(tu) não pode intersectar a variedade de ehari para uma única t > 0. Esta é a principal razão pela qual A. Maia e R. Lehrer [15] procuram uma abordagem diferente, usando a Identidade de Pohozaev e sua variedade. A variedade de Pohozaev P permite-lhes encontrar uma solução positiva nos níveis maiores de energia. Para lograr isto as autoras se inspiraram nos trabalhos recentes de Jeanjean e K. Tanaka [1] e A. Azzollini e A. Pomponio [] dos quais os primeiros mostram sem a monotocidade de f(s) s 13 para s > 0, que o nível min-max

20 1. Introdução 14 do Passo da Montanha é o ínmo do funcional I restrito à variedade de Pohozaev, e que este é um valor crítico para o funcional I. o segundo trabalho, mostram que o ínmo do funcional I restrito à variedade de Pohozev, não é atingido e que a variedade de Pohozev é um vínculo natural para I. este trabalho, se realizará um estudo detalhado do artigo [15], onde sua principal tarefa foi mostrar que todas as funções de H 1 ( )\{0} podem ser projetadas na variedade de Pohozev, e para encontrar uma solução positiva foi suciente minimizar o funcional I sobre um subconjunto de P. Uma importante observação a respeito do trabalho de A. Maia e R. Lehrer [15] é que não é possível aplicar o Teorema do Passo da Montanha com a condição de Palais-Smale (PS) para este problema, pois a não linearidade é assintoticamente linear no innito, logo não satisfaz a condição de Ambrosetti e Rabinowitz. Por isso substitui-se esta condição de compacidade pela condição de Cerami [7]: (Ce) O funcional I satisfaz a condição de Cerami se, para qualquer sequência (u n ) em H 1 ( ) tal que I(u n ) é limitada e I (u n ) (1 + u n ) 0, então existe uma subsequência de (u n ) convergente. Assume-se as seguintes condições sobre a função a: (A1) a C (, R + ), com (A) lim a(x) = a > λ; x inf a(x) > 0; x (A3) a(x).x 0, para todo x com a desigualdade estrita para um subconjunto de medida de Lebesgue positiva de ; (A4) a(x) + a(x).x < a, para todo x ; (A5) a(x) + x.h(x).x função a. 0, para todo x, onde H representa a matriz hessiana da Mais tarde neste trabalho assumiremos outra condição (A6), a qual requere que o supremo de a a(x) não seja grande (ver o Lema 5). Além disso consideremos as seguintes hipóteses sobre a função f: (f1) f C (R +, R + f(s) ), lim = 0; s 0 s f(s) (f) lim = 1; s s (f3) se F (s) = s f(t)dt e Q(s) = 1 f(s)s F (s), então existe uma constante D 1 tal 0 que: 0 < Q(s) DQ(t), para todo 0 < s t e lim s Q(s) =. Com tudo isto estabeleceremos o seguinte resultado de existência. Teorema 1 Assumindo (A1) (A6) e (f1) (f3), então a equação (1.1) possui solução positiva u H 1 ( ). Além disso, também vamos provar o seguinte teorema de não existência.

21 1. Introdução 15 Teorema Suponha válidas (A1) (A4) e (f1) (f3). Então, p = inf I(u) não é um u P nível crítico para o funcional I, em particular, o ínmo não é atingido. Observação 1 As condições (A), (A3) e (A4) implicam que Observação Um problema modelo de (1.1) é a(x).x 0, se x. (1.) u + λu = a(x) u 3, em R 1 + u com a(x) = a 1, k > 1 x +k a e a > λ constantes positivas. Pode facilmente ser vericado que a(x) e f(s) = s3 satisfazem as hipóteses anteriores (ver Apêndice ). 1+s Estes problemas aparecem na óptica não-linear e mais detalhes podem ser vistos em [], [3] e suas referências. Observação 3 Uma vez que estamos à procura de soluções positivas, tomamos como de costume f(s) denido em todo s R, tornandof(s) = 0 se s 0. Observação 4 As condições (f1) e (f) implicam que, dado ɛ > 0 e p, existe uma constante positiva C = C(ɛ, p) > 0 tal que para todo s R, F (s) ε s + C s p. (1.3) ossa proposta é apresentar o texto [15], de uma maneira que o torne mais acessível a um iniciante na área. o início deste trabalho, foi necessário um estudo prévio de vários resultados abstratos de Análise ão-linear como a teoria das distribuições, espaços de Sobolev e uma versão do Teorema do Passo da Montanha com a sequência de Cerami ver [3]. Estes resultados serão apresentados no Capítulo.

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23 Capítulo Preliminares este capítulo inicialmente estudaremos a Teoria das Distribuições e os Espaços de Sobolev, e concluiremos com uma versão do Teorema do Passo da Montanha, que mostra a existência de uma sequência de Cerami em um nível min-max(ver [3])..1 Distribuições Seja Ω aberto e φ : Ω R uma função de classe C. Denição 1 Chama-se suporte de φ ao fecho do conjunto nos quais φ não se anula, denotado por supp(φ), isto é, supp(φ) = {x Ω; φ(x) 0}. Se este conjunto é compacto, então diz-se que φ tem suporte compacto. Denição O espaço das funções φ de classe C com suporte compacto contido em Ω é um espaço vetorial denotado por D(Ω), cujos elementos chamamos de funções teste. Agora denimos a convergência de sequências em D(Ω), isto é. Denição 3 Uma sequência de funções {φ m } em D(Ω), é dita convergente para 0, se existe um conjunto compacto xo K Ω tal que supp(φ m ) K para todo m, com φ m e todas suas derivadas convergindo uniformemente para 0 em K. Denição 4 Seja T : D(Ω) R um funcional linear. T é uma distribuição em Ω se para toda φ m 0 em D(Ω), tivermos que T (φ m ) 0. O espaço das distribuições é denotado por D (Ω). Se Ω =, denotamos D ( ) = D. Exemplo 1 Seja f : Ω R localmente integrável, isto é, tal que para qualquer conjunto compacto K Ω, f < +. K 17

24 . Preliminares 18 Dada f localmente integrável, então o seguinte funcional linear dene uma distribuição T f : D(Ω) R, T f (φ) = fφ. Observação 5 Se f L p (Ω), p 1 então T f é uma distribuição. Exemplo (Distribuição de Dirac)O funcional linear δ : D(Ω) R denida por δ(φ) = φ(0), é uma distribuição. Observação 6 δ não é gerada por uma função localmente integrável (ver [13] Exemplo 1..4). Denição 5 Seja x = (x 1,..., x ). Um multi-índice é n-upla de números inteiros não negativos Ω α = (α 1,..., α ). Além disso, associado ao multi-índice α, temos os seguintes símbolos α = α α α! = α 1!...α! x α = x α x α e se α e β são multi-índices, α β se α i β i para todo 1 i n. Finalmente denotamos por D α = α x α x α. Denição 6 Seja T D (Ω), onde Ω é um conjunto aberto. Para qualquer multi-índice α, denimos a derivada de ordem α de T por: (D α T )(φ) = ( 1) α T (D α φ), para todo φ D(Ω). Exemplo 3 Consideremos a função de Heaviside em R { 1, x 0 H(x) = 0, x < 0, a qual é localmente integrável, e portanto dene uma distribuição T H. Seja φ D então Assim temos que d dx T H(φ) = T H ( dφ dx ) = H φ + R x = φ 0 x d dx T H = δ. = φ(0) = δ(φ).

25 . Preliminares 19 Denição 7 O gradiente da distribuição T, denotado por T e denido por ( T T =,..., T ), x 1 x e o Laplaciano de T é dado por T = i=1 T. x i Observação 7 o caso em que uma distribuição é gerada por um função u L p (Ω), com p 1, denotaremos o gradiente da distribuição por: ( ) u u u =,...,, x 1 x e seu laplaciano, por u = i=1 u. x i. Espaços de Sobolev Denição 8 Seja m > 0 um inteiro e 1 p. O espaço de Sobolev W m,p (Ω) é denido por W m,p (Ω) = {u L p (Ω); D α u L p (Ω), para todo α m}, com norma e seminorma u m,p,ω = D α u L p (Ω) (.1) α m u m,p,ω = D α u p L p (Ω). α =m Observação 8 i) Se p = então denotaremos esse espaço como H m (Ω). Isto é, H m (Ω) = W m, (Ω) e para u H m (Ω), denotamos sua norma por u m,ω, isto é, u m,ω = u m,,ω. ii) A norma u m,p,ω no espaço H m (Ω) é induzida pelo seguinte produto interno < u, v> m,ω = D α ud α v, para u, v H m (Ω). α m Ω

26 . Preliminares 0 iii) o espaço W 1,p (Ω) a função é uma isometria. u W 1,p (Ω) iv) O espaço (L p (Ω)) n+1 tem norma, ( u, u x 1,..., ) u (L p (Ω)) n+1 x n+1 u = u i 0,p,Ω ou u = i=1 )1 / p u i p 0,p,Ω ( n+1 para u = (u i ) (L p (Ω)) n+1. Com isto obtemos o seguinte resultado. Teorema 3 Seja 1 p, o espaço W 1,p (Ω) é um espaço de Banach. Se 1 < p <, W 1,p (Ω) é reexivo. Demonstração. Seja {u m } uma sequência de Cauchy em W 1,p (Ω). Então pela norma denida em (.1), temos que {u m } e { um x i } quando 1 i são sequências de Cauchy em L p (Ω). Como L p (Ω) é completo, então u m u e um x i v i em L p (Ω) para 1 i. A completude do espaço W 1,p (Ω) é provado se mostramos u x i = v i no sentido das distribuições, pois i=1 u m u p 1,p,Ω = u m u p L p (Ω) + u m x i i=1 u x i p L p (Ω) 0 quando m. Seja φ D(Ω). Então como u m W 1,p (Ω), temos x i T um (φ) = T Si (φ), S i L p (Ω). e em seguida considerando S i = um x i Ω com 1 i, temos φ u m u m = φ. (.) x i Ω x i Desde que φ D(Ω) e φ L q (Ω) para todo 1 q, quando m + em (.), temos T u (φ) = u φ = v i φ = T vi (φ) x i x i Ω o que signica que v i = u x i q.t.p em Ω. Logo u m u em W 1,p (Ω). Assim W 1,p (Ω) é um espaço completo. Agora como (L p (Ω)) n+1 é reexivo para 1 < p < e como W 1,p (Ω) é um espaço completo, imagem de W 1,p (Ω) pela isometria da Observação (8), então é um subespaço fechado de (L p (Ω)) n+1. Logo W 1,p (Ω) é reexivo. Agora denimos W m,p 0 (Ω) := D(Ω) m,p,ω W m,p (Ω) e temos o seguinte resultado. Ω

27 . Preliminares 1 Teorema 4 Seja 1 p <. Então para qualquer inteiro m 0, W m,p ( ) = W m,p 0 ( ). Demonstração. Passo 1: Seja {ρ ε } a família de Molliers. Então se u L p ( ), temos ρ ε u u em L p ( ). Agora seja φ uma função contínua com suporte compacto tal que φ u 0,p, < δ / 3, onde δ é um número escolhido anteriormente. Em seguida escolhemos ε > 0 sucientemente pequeno tal que Assim, φ ρ ε φ 0,p, < δ / 3. u u ρ ε 0,p, u φ 0,p, + φ ρ ε φ 0,p, + ρ ε φ u ρ ε 0,p, < δ, pois (u φ) ρ ε 0,p, ρ ε 0,1, u φ 0,p, < δ / 3. Passo : Agora, se u W 1,p ( ), então u ρ ε é C e D α (u ρ ε ) = D α u ρ ε = u D α ρ ε para qualquer multí-indice. Pelo Passo 1, D α (u ρ ε ) = ρ ε D α u D α u em L p ( ). Assim u ρ ε u em W 1,p ( ). Passo 3: Seja ς uma função em D( ) tal que 0 ς 1 e ς = 1 em B 1 (0) e supp(ς) B (0). Em seguida consideremos a seqüência {ς k } em D( ), denida por ς k (x) = ς( x / k ). Agora seja ε k 0, denimos u k = ρ εk u que é innitamente diferenciável, e pelo Passo, temos u k u em W 1,p ( ). Logo denimos φ k D( ) por φ k (x) = ς k (x)u k (x), e mostremos que φ k u em W 1,p ( ). De fato, desde que ς k = 1 em B k (0) temos u k = φ k em B k (0) e u k φ k 0,p, = x k x k u k (x) φ k (x) p dx 1 p p max{ u k p, φ k p }dx 1 p x k u k p dx 1 p pois, φ k = ς k u k 1 u k = u k. Assim u φ k 0,p, u u k 0,p, + u k φ k 0,p, u u k 0,p, + x k 1 p u k p dx, e consequentemente φ k u em L p ( ).

28 . Preliminares Similarmente, desde que φ k x i φ k u k x i x i 0,p, = x k = u k x i em B k (0) e φ k u p k x i x i 1 p x k φ k x i p + x k p u k x i 1 p 0, quando k. Daí temos que φ k x i u x i em L p ( ). Portanto φ k u em W 1,p ( ). Teorema 5 (Friedrichs) Seja 1 p < e u W 1,p (Ω). Então existe uma sequência {u m } em D( ) tal que u m u em L p (Ω) e um x i Ω u x i Ω em L p (Ω ) para todo 1 i n e Ω Ω. Teorema 6 (Desigualdade de Poincaré) Seja Ω um conjunto aberto e limitado em. Então existe C = C(Ω, p) > 0 tal que u 0,p,Ω C u 1,p,Ω u W 1,p 0 (Ω). Em particular u u 1,p,Ω dene uma norma em W 1,p 0 (Ω) a qual é equivalente a. 1,p,Ω...1 Imersões contínuas e compactas de Sobolev As imersões contínuas e compactas de Sobolev estabelecem certas desigualdades úteis. Portanto enunciaremos algumas propriedades destas imersões. Teorema 7 (Desigualdade de Sobolev) Seja 1 p <, então existe uma constante C = C(p, ) > 0, tal que Em particular, temos a imersão contínua onde p = p p u 0,p, C u 1,p,. W 1,p ( ) L p ( ), Corolário 1 Se 1 p <. Então temos a imersão contínua W 1,p ( ) L q ( ), para todo q [p, p ]. Demonstração. Seja u W 1,p ( ) e p q p. Então podemos escolher α [0, 1] tal que 1 q = α p + 1 α p e u αq L p/αq ( ), também u (1 α)q L p /(1 α)q ( ), assim pela Desigualdade de Hölder, temos u 0,q, u α 0,p, u 1 α 0,p, α u 0,p, + (1 α) u 0,p, C u 1,p,, donde também usamos a Desigualdade de Sobolev. Assim u L q ( ) com p q p.

29 . Preliminares 3 Observação 9 Temos que H 1 ( ) está imerso continuamente em L q ( ) para todo q [, ]. Corolário Seja Ω aberto e u W 1,p 0 (Ω). Então u L q (Ω) para todo q [p, p ] e existe C = C(p, ) > 0 tal que para todo u W 1,p 0 (Ω). u 0,p,Ω C u 1,p,Ω, u 0,q,Ω C u 1,p,Ω, Teorema 8 (Rellich- Kondrachov). Seja Ω as seguintes são imersões compactos: aberto limitado de classe C 1. Então (i) Se p <, W 1,p (Ω) L q (Ω), 1 q < p, (ii) Se p =, W 1, (Ω) L q (Ω), 1 q <, (iii) Se p >, W 1,p (Ω) C( Ω)..3 Uma versão do Teorema do Passo da Montanha Denição 9 Seja X um espaço de Banach. I C 1 (X, R) e X = {u X; I (u) 0} o conjunto dos pontos regulares de I. Dizemos que a função ϕ : X X é um campo pseudo-gradiente para I quando ϕ é localmente lipschitziana e a) ϕ(u) X I (u) X b) I (u)ϕ(u) I (u) X. Proposição 1 Se I C 1 (X, R) então existe um campo pseudo-gradiente para I. A demonstração desta proposição pode se encontrada no apêndice de [17]. Lema 1 (Lema de Deformação). Seja X um espaço de Banach, I C 1 (X, R), c R e ε > 0 tais que (1 + u ) I (u) 8ε, para todo u I 1 ([c ε, c + ε]). Então existe η C([0, 1] X, X) vericando : (i) η(t, u) = u, se t = 0 ou se u / I 1 ([c ε, c + ε]), (ii) I(η(, u)) é não-crescente em [0, 1] e (iii) η(1, I c+ε ) I c ε.

30 . Preliminares 4 Demonstração. o que segue considere os seguintes subconjuntos de X, A = {u X; c ε I(u) c + ε} B = {u X; c ε I(u) c + ε}. Usando A e B, denimos a função ψ : X R por ψ(u) = dist(u, X \ A) dist(u, X \ A) + dist(u, B), a qual é localmente lipschitziana pois dist(, A) é lipschitziana. Além disso note que ψ esta bem denida em X. Caso contrário suponha que o denominador seja zero, isto é, existe u X tal que dist(u, X \ A) + dist(u, B) = 0, então dist(u, X \ A) = 0 e d(u, B) = 0, daí u (X \ A) B. Logo, existe uma sequência (u n ) X \ A tal que u n u em X, ou seja, I(u n ) < c ε ou I(u n ) > c + ε. Passando o limite quando n + nas últimas desigualdades e da continuidade do funcional I, encontramos I(u) c ε ou I(u) c + ε. o que contradiz ao fato de que u B. Portanto ψ está bem denida. Observemos também que ψ = 1 em B e ψ = 0 em X \ A. Além disso, desde que a função I C 1 (X, R), pela Proposição 1, existe um campo pseudo-gradiente φ : X X para I e denimos a função W (u) = { ψ(u) φ(u) φ(u) X ote que W é localmente lipschitziana e, se u A X 0, se u X \ A X. W (u) 1 φ(u) 1 I (u) 1 + u 8ε (.3) para todo u X. Assim, para cada u X, o problema de Cauchy com as condições sobre W { σt (t, u) = W (σ(t, u)) para t 0, σ(0, u) = u, possui uma única solução σ(t, u), denida para todo t 0. Além disso, σ(t, u) é contínua em RxX. Desta forma ca bem denida a função contínua η : [0, 1] X X por η(t, u) = σ(8εt, u), que satisfaz η(0, u) = u. Agora se u / A, dena σ(t, u) = u. ote que σ t (t, u) = 0 = W ( σ(t, u)) e σ(0, u) = u.

31 . Preliminares 5 Segue da unicidade da solução do problema de Cauchy que σ(t, u) = σ(t, u) = u u / A, mostrando (i). Vejamos agora, que I(η(, u)) é não crescente em [0, 1]. De fato, notemos que para todo σ(t, u) X \ A. Para σ(t, u) A, encontramos I t (σ(t, u)) = I (σ(t, u))σ t (t, u) (.4) I t (σ(t, u)) = I (σ(t, u))σ t (t, u) = I (σ(t, u))w (σ(t, u)) = 0, (.5) = I (σ(t, u))w (σ(t, u)) = I φ(σ(t, u)) (σ(t, u))ψ(σ(t, u)), φ(σ(t, u)) X e desde que φ é um campo Pseudo-Gradiente para I, por b), temos que I t (σ(t, u)) ψ(σ(t, u)) I (σ(t, u)) X φ(σ(t, u)) X 0, (.6) e por (3.3) e (3.4), temos que I(σ(, u)) é não decrescente em t 0. Com isto provamos (ii). Agora considerando que u I c+ε, se existir t 0 [0, 1] tal que I(σ(t 0, u)) < c ε ou equivalentemente se existir t 1 [0, 1] tal que I(σ(8εt 1, u)) < c ε e usando a monotonicidade da função I(σ(, u)), temos que I(η(1, u)) = I(σ(8ε, u)) I(σ(8εt 1, u)) < c ε, mostrando que η(1, u) I c ε. Por outro lado, se então o qual implica que Assim c ε I(σ(8εt 1, u)), 0 t 1, c ε I(σ(8εt, u)) I(σ(0, u)) = I(u) c + ε, η(t, u) = σ(8εt, u) B 0 t 1. I(η(1, u)) = I(σ(8ε, u)) = I(σ(0, u)) + = I(u) + = I(u) I(u) 8ε 0 8ε 0 8ε c + ε ε 8ε 0 I s (σ(s, u))ds I (σ(s, u))w (σ(s, u))ds I (σ(s, u)) I (σ(t, u)) X dt φ(σ(t, u)) X 0 ds = c ε ψ(σ(s, u))φ(σ(s, u)) ds φ(σ(s, u))

32 . Preliminares 6 donde usamos o item a) e b) da denição de campo Pseudo-Gradiente e ψ(σ(s, u)) = 1 quando σ(s, u) B. Portanto em ambos casos temos η(1, u) I c ε. Agora enunciaremos uma versão do Teorema do Passo da Montanha (ver [3]). Teorema 9 Sejam X um espaço de Banach e I C 1 (X, R) com I(0) = 0. Suponha que existem α, ρ > 0 tais que (M1) I(u) α > 0 para todo u X com u = ρ, (M) existe e X tal que e > ρ e I(e) < 0. Então para cada ɛ > 0 existe u ɛ X tal que (a) c ɛ I(u ɛ ) c + ɛ (b) (1 + u ɛ ) I (u ɛ ) < 8ɛ, onde c = inf max I(γ(t)) > 0, γ Γ t [0,1] Γ = {γ C([0, 1], X); γ(0) = 0, γ(1) = e}. Demonstração. Primeiro mostremos que c é positivo. De fato, desde que γ(0) = 0 B ρ (0), γ(1) = e X \ B ρ (0) e γ([0, 1]) é conexo, temos que Logo da hipótese (M1), temos γ([0, 1]) B ρ (0). max I(γ(t)) α. t [0,1] Portanto c > 0. Agora suponhamos que para algum ɛ 0 > 0 as condições (a) e (b) não ocorram, ou seja, para todo u X (c) I(u) < c ɛ 0 ou I(u) > c + ɛ 0 ou (d) (1 + u ) I (u) 8ɛ. Analisando o primeiro caso (c), temos que não pode ocorrer pois existe γ Γ tal que c ɛ 0 < c max t [0,1] I(γ(t)) < c + ɛ 0. Logo, podemos supor para c ɛ 0 I(u) c + ɛ 0, temos que (1 + u ) I (u) 8ɛ 0. Desde que c > 0 e diminuindo ɛ 0 > 0 se for necessário, obtemos I(e) < I(0) = 0 < c ɛ 0. (.7)

33 . Preliminares 7 Assim do Lema da Deformação, existe η C([0, 1] X; X) e pela condição (i), temos η(t, 0) = 0 e η(t, e) = e, pois 0, e / I 1 ([c ɛ 0, c + ɛ 0 ]). Da denição de c que existe γ Γ tal que Consideremos ˆγ : [0, 1] X denido por ote que max I( γ(t)) c + ɛ 0. t [0,1] ˆγ = η(1, γ(t)). ˆγ(0) = η(1, γ(0)) = 0, ˆγ(1) = η(1, γ(1)) = e, logo ˆγ Γ. ovamente do Lema da Deformação pela condição (ii), temos que daí ˆγ(t) = η(1, γ(t)) I c ɛ 0, c max t [0,1] I(ˆγ(t)) c ɛ 0 < c. O que é um absurdo, logo o teorema é provado.

34

35 Capítulo A identidade e variedade de Pohozaev Identidade e variedade de Pohozaev Antes de enunciar a identidade de Pohozev consideremos as seguintes notações a ser usadas no resto deste trabalho. A norma no espaço H 1 ( ) é dado por: u ( λ = u + λu ) dx para todo u H 1 ( ), onde λ é equivalente a 1,. Por simplicidade denotaremos a norma no espaço L p ( ) por p, isto é, p = L p ( ) = 0,p,. O funcional associado ao problema (1.1) é dado por: I(u) = 1 ( u + λu ) dx a(x)f (u)dx, que é de classe C 1 (H 1 ( ), R) (ver o Apêndice B.1). Proposição Seja u H0(Ω) 1 \ {0} uma solução da equação u = g(x, u) em Ω e G(x, u) = u g(x, s)ds tal que G(, u( )) e x 0 ig xi (, u( )) estão em L 1 (Ω), então u satisfaz : Ω u x ηds x = Ω G(x, u)dx + i=1 Ω x i G xi (x, u)dx ( ) Ω u dx, onde Ω é um domínio regular em e η denota o vetor unitário e normal exterior a Ω. Além disso, se Ω =, então G(x, u)dx + x i G xi (x, u)dx = ( ) i=1 u dx, (3.1) Demonstração. Segue da Teoria de Regularidade Elíptica que u C ( Ω, R) e daí multiplicando u = g(x, u) por x u e calculando cada lado da equação, obtemos ) u(x u) = div ( u(x u) x u + u. 9

36 3. A identidade e variedade de Pohozaev 30 Pelo Teorema da Divergência, obtemos u(x u)dx = Ω Ω = Ω ou ainda, u(x u)dx = Ω Por outro lado, temos que Ω g(x, u)x u = G(x, u) + (div( u(x u) x u ) + ) u dx ( u(x u) x u ) ηds x + ( u(x u) x u ) ηds x x i G xi (x, u) i=1 = div(xg(x, u)) G(x, u) e novamente aplicando o Teorema da Divergência, obtemos g(x, u)x udx = xg(x, u) ηds x G(x, u)dx Ω Ω Igualando (3.) e (3.3), temos que ( u(x u) x u ) ηds x Ω Ω Ω u dx = Ω Ω Ω x i G xi (x, u), i=1 i=1 Ω u dx, u dx. (3.) x i G xi (x, u)dx. (3.3) xg(x, u) ηds x i=1 Ω Ω x i G xi (x, u)dx Mas desde que u 0 em Ω, temos G(x, u) = 0 em Ω e u = ( u η)η implica que ( u(x u) x u ) η = ( u(x u)) η x η u = ( u η)(x u) x η u = ( u η)(x ( u η)η) x η u = ( u η) (x η) x η u = 1 u x η, = u (x η) x η u e substituindo isto, nas integrais anteriores, temos que 1 u x ηds x u dx = xg(x, u) ηds x Ω Ω Ω i=1 Ω Ω x i G xi (x, u)dx, G(x, u)dx G(x, u)dx

37 3. A identidade e variedade de Pohozaev 31 o que é equivalente a Ω u x ηds x = Ω G(x, u)dx + i=1 Ω x i G xi (x, u)dx ( ) Ω u dx. Agora consideremos Ω não limitado. Então, dado R > 0 o conjunto D R = Ω B R (0) é limitado. Logo de maneira análoga aos cálculos anteriores, temos D R u x ηds x = G(x, u)dx + x i G xi (x, u)dx D i=1 R D R ( ) u dx G(x, u)x ηds x. D R D R Finalmente, dos seguintes fatos: u dx D R Ω G(x, u)dx u dx quando R ; G(x, u)dx quando R ; D R Ω u η xdx u η xdx quando R ; temos que Ω D R i=1 D R u x ηds x = Ω x i G xi (x, u)dx i=1 Ω x i G xi (x, u)dx e D R G(x, u)η xdx 0 quando R ; Ω G(x, u)dx + i=1 Ω x i G xi (x, u)dx ( ) Ω u dx, quando R. Daí, se Ω = segue-se (3.1) Aplicando a Proposição ao Problema (1.1), vemos que a identidade d Pohozaev assume a seguinte forma ( ) u dx = G(x, u)dx + a(x) xf (u)dx (3.4) onde G(x, u) = a(x)f (u) λu. Além disso, denimos a variedade de Pohozaev associado ao problema (1.1) por P = u H1 ( ) \ {0}; ( ) u dx = G(x, u)dx + a(x) xf (u)dx.

38 3. A identidade e variedade de Pohozaev 3 Lema Seja o funcional J : H 1 ( ) R denido por: ( ) J(u) = u dx G(x, u)dx a(x) xf (u)dx. Então, (a) u 0 é um ponto isolado de J 1 ({0}). (b) P = { u H 1 ( ) \ {0}; J(u) = 0 } é fechado. (c) P é uma variedade de classe C 1. (d) Existe σ > 0 tal que u λ > σ para todo u P. Demonstração. (a) De fato, J(u) = = = > = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u dx u dx u dx u dx ( ) u λ G(x, u)dx ( u + λu ) dx a F (u)dx (a(x)f (u) λu ( (a(x) a(x) x (a F (u) λu a(x) xf (u)dx ) dx ) dx (a F (u) λu )F (u) λu a(x) xf (u)dx ) dx ) ( ) dx Agora dado ε > 0 e p por (1.3), existe C = C(ɛ, p) > 0 tal que temos a ɛ a F (u)dx u dx a C u P dx. Como a norma em H 1 ( ) é dada por u ( λ = u + λu ) dx, λu dx então u λ λu dx ɛa λ u λ ɛa λ λu dx.

39 3. A identidade e variedade de Pohozaev 33 E também das imersões continuas de Sobolev existe uma constante K > 0 tal que a C u p a CK u p λ. Portanto, J(u) > ( ) u λ ɛa ( λ ɛa λ = 1 u p λ a CK u λ ) u λ a CK u λ p. Se consideramos ɛ > 0 sucientemente pequeno, tal que λ( ) ɛa > 0, se u λ = ρ, p e ρ for tal que ( 1 ɛa ) ρ > ρ p, 4a CK λ então, J(u) > 1 4 ( ɛa ) ρ > 0. λ Logo J(u) > 0 se 0 < u λ < ρ. Daí concluímos que existe ρ > 0 tal que: B ρ (0) J 1 (0) = {0}. Portanto u = 0 é um ponto isolado de J 1 ({0}). (b) Como J(u) é um funcional de classe C 1 (ver Apêndice Proposição B.), então J 1 ({0}) é um conjunto fechado. Mas J 1 ({0}) = P {0} e como já foi mostrado que u = 0 é um ponto isolado de J 1 ({0}) então P é um conjunto fechado pois contém todos seus pontos de acumulação. (c) Denimos o funcional J := J H 1 ( )\{0} de classe C 1 com a propriedade J 1 ({0}) = P. Assim para mostrar que P é uma variedade basta mostrar que 0 é um valor regular para o funcional J, o que é equivalente a mostrar que J (u) = J (u) 0 para todo u P. Consideremos a derivada de J em u, aplicado em u, isto é, J (u)u = ( ) u ( dx ) a(x)f(u)u λu dx a(x) xf(u)udx. G(x, u)dx + a(x) xf (u)dx (3.6) (3.5) Desde que u P segue que ( ) u dx =

40 3. A identidade e variedade de Pohozaev 34 e usando (3.6) em (3.5), obtemos: J (u)u = G(x, u)dx + a(x) xf (u)dx R a(x) xf(u)udx ( a(x)f(u)u λu ) dx = = ( a(x) + a(x) x ) F (u)dx ( a(x) + a(x) x ) (F (u) 1 ) f(u)u dx < 0 ( a(x) + a(x) x ) f(u)u onde temos usado (A1), (A3) e (f3). Portanto se u P, então J (u)u 0. Isto mostra que P é uma variedade C 1. (d) o item (a) podemos considerar J(u) > 0 se 0 < u λ ρ. Assim, se u P temos que u λ > ρ. dx

41 Capítulo 4 Resultados de não-existência este capítulo vamos apresentar as principais relações entre a variedade de Pohozaev P associada com o problema não autônomo (1.1), e a variedade de Pohozaev P associada com o problema autônomo no innito dado por onde u + λu = a f(u), em, (4.1) P = { u H 1 ( ) \ {0} ; J (u) = 0 }, J (u) = u dx G (u)dx e G (u) := a F (u) λ u. Para os nossos propósitos, é preciso considerar o funcional associado a (4.1), dada por: I (u) = 1 ( u + λu ) dx a F (u)dx, e o conjunto de caminhos, para denir Γ (u) = { γ C([0, 1], H 1 ( )) γ(0) = 0, I (γ(1)) < 0 }, c := inf γɛγ max 0 t 1 I (γ(t)) > 0. A existência do conjunto de caminhos e o nível min-max do Passo Da Montanha serão justicados no Lema 3. osso objetivo neste capítulo será mostrar que: p := inf u P I(u) = c, e que o nível p não é atingido na variedade de Pohozaev P, o que signica que p não é nível critico para o funcional I. Este fato motiva nossa busca por soluções em níveis maiores de energia do funcional I. Mais precisamente, no seguinte capítulo mostraremos que existe um ponto crítico do funcional no intervalo de energia (c, c ). Este método foi devido às pesquisadoras A. Maia e R. Lehrer em [15] que foram inspiradas por argumentos aplicados à equação u + V (x)u = g(u) em, desenvolvido por A. Azzollini e A. Pomponio em []. 35

42 4. Resultados de não-existência 36 Lema 3 O funcional I satisfaz a primeira e segunda geometria do Teorema do Passo da Montanha. Demonstração. Primeira Geometria. Da propriedade (1.3) e das imersões contínuas de Sobolev segue-se: I (u) = 1 u + λu dx a F (u)dx 1 u λ ɛa λ u p λ a C u λ 1 ( 1 ɛa ) u λ a C u p λ λ. Assim, para ɛ > 0 sucientemente pequeno tal que λ a ɛ > 0 e escolhendo ρ > 0 tal que 1 4λa C (λ ɛa )ρ > ρ p e se u λ = ρ, temos que I (u) > 1 4 ( λ a ɛ λ ) ρ > 0. Portanto existem ρ > 0 e α = 1 4 ( λ a ɛ ) λ ρ > 0 tal que I (u) α > 0 para todo u λ = ρ. Armação. Existe um ζ > 0 tal que G (ζ) > 0. De fato, como pelo Teorema do Valor Médio, existe s (0, s) tal que F (s) = f(s )s. Logo usando la Regra de L'Hospital, temos que Logo, G (s) lim s + s F (s) lim s + s f(s) = lim s + s = 1. ( F (s) = lim a λ ) = a s + s λ > λ λ = 0. Assim existe um úmero positivo ζ > 0 tal que G (ζ) > 0. Segunda Geometria. Consideremos a função W R denida por: ζ, se x R W R (x) = ζ(r + 1 r), se r = x [R, R + 1] 0, se x R + 1. Se denota a medida de Lebesgue e V (w) = G (w)dx, então ( ) V (W R ) G (ζ) B R B R+1 \ B R max G (s). s [0,ζ]

43 4. Resultados de não-existência 37 Logo existem C, C > 0, tais que V (W R ) C C 1. Assim para R sucientemente grande, V (W R ) > 0. Seja R 0 sucientemente grande tal que V (W R0 ) > 0. Denimos W := W R0. Avaliando I em W ( /θ), temos que I (W ( /θ)) = θ W dx θ G (W )dx. Portanto, para θ sucientemente grande temos que I (W ( /θ)) < 0. Logo pelo Teorema do Passo da Montanha de Willem (ver [4]), temos que está bem denida c := inf max I (γ(t)) > 0, γɛγ 0 t 1 onde Γ = { γ C([0, 1], H 1 ( )) γ(0) = 0, I (γ(1)) < 0 }. ote que as hipóteses (A3), (A4) e da denição de F, implicam que I (u) I(u) para todo u H 1 ( ). De fato, I (u) = 1 u + λu dx a F (u)dx 1 1 u + λu dx u + λu dx (a(x) + R a(x)f (u)dx a(x) x )F (u)dx = I(u). Lema 4 Suponha que P e u( θ ) P. G (u)dx > 0. Então existem únicos θ 1, θ > 0 tais que u( θ 1 ) Demonstração. Primeiro mostremos a projeção sobre P, para isso denimos a função ψ (θ) := I (u( /θ)) = θ u dx θ G (u)dx R ) = θ u dx θ (a F (u) λu dx, R com derivada ψ (θ) = ( )θ 3 Então ψ (θ) = 0 se, e somente se θ = 0 ou u dx θ 1 θ = ( ) u dx G (u)dx. G (u)dx.

44 4. Resultados de não-existência 38 Logo existe um único θ 1 > 0 tal que ψ (θ 1 ) = 0, e com isto u( θ 1 ) P. Agora para mostrar a projeção sobre P, denimos também ψ(θ) := I(u( /θ)) = θ u dx G(x, u(x/θ))dx R = θ u dx a(x)f (u(x/θ)) λ u (x/θ) dx R = θ u dx θ a(θx)f (u(x)) λ u (x) dx. R Derivando ψ(θ) e recordando que estamos considerando 3, temos que: ψ (θ) = θ 3 u dx θ 1 a(θx)f (u(x)) λ u (x) dx R θ a(θx).(θx)f (u(x))dx { = θ 3 u dx θ a(θx)f (u(x)) λ u (x) dx R } θ R a(θx).(θx)f (u(x))dx. Logo observamos que u( ) P se, e somente se θ ψ (θ) = 0 para algum θ > 0. Adicionalmente note que pela condição (A) e pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, obtemos: lim θ (a(θx)f (u) λ u De fato, por (A) temos que ) dx = lim a(θx) = a. θ ) (a F (u) λ u dx = G (u)dx. Também, se θ n então Portanto, lim a(θ nx) = a. n a(θ n x)f (u(x)) λ u(x) a F (u(x)) λ u(x) e a(θ nx)f (u(x)) λ u(x) a(θ nx)f (u(x)) + λ u(x) q.t.p. em com a F (u(x)) + λ u(x) a ɛ u(x) + a C u(x) p + λ u(x) h(x) <. = h(x) q.t.p. em,

45 4. Resultados de não-existência 39 Logo, pelo Teorema do Convergência Dominada de Lebesgue, temos que ) ) lim (a(θ n x)f (u) λ u dx = (a F (u) λ u dx = G (u)dx. n R R Agora como θ n, obtemos lim (a(θx)f (u) λ u θ ) dx = ) (a F (u) λ u dx = G (u)dx. Por outro lado, usando (1.) e o Teorema do Convergência Dominada de Lebesgue, temos que lim a(θx) (θx)f (u)dx = 0. θ Portanto, se θ > 0 é sucientemente grande, temos { ( )} ψ (θ) = θ 3 u dx θ G (u)dx + o θ (1), mas desde que G (u)dx > 0, segue-se que ψ (θ) < 0 para θ > 0 sucientemente grande. Por outro lado pela condição (A4), temos que ψ (θ) = ( ) θ 3 u dx θ 1 a(θx) (θx) a(θx) + F (u) λ u dx θ 3 u dx θ 1 G (u)dx, Assim, tomando θ sucientemente pequeno, temos que ψ (θ) > 0. Desde que ψ é continua, existe ao menos θ = θ (u) > 0, tal que ψ (θ ) = 0 o que signica que u( /θ ) P. Para mostrar a unicidade de θ, note que ψ (θ) = 0 implica u dx = θ com θ > 0, ou equivalentemente onde ϕ(θ) = [(a(θx) + a(θx).(θx)) F (u) λ u u dx = θ ϕ(θ) [( a(θx) + a(θx).(θx) ) ] F (u) λ u dx. ] dx Tomando a derivada de ϕ e usando as propriedades das funções envolvidas, temos que ϕ (θ) = 1 [ ] (θx) H(θx) (θx)dx a(θx) (θx) a(θx) (θx) + + F (u)dx, θ e das hipóteses (A3) e (A5), com as condições sobre a F, implicam que ϕ (θ) > 0. Portanto, ϕ(θ) é uma função crescente de θ e daí existe um único θ > 0 tal que u dx = θ ϕ(θ). Assim a unicidade de θ é vericada, e o lema é provado.

46 4. Resultados de não-existência 40 Observação 10 ote que a hipótese (A5) foi usada no lema anterior somente para mostrar a unicidade de θ. Lema 5 Seja O = { u H 1 ( ) \ {0}; G (u)dx > 0 }. A função θ 1 : O R + denida por u θ 1 (u), tal que u( /θ 1 (u)) P, é contínua. Demonstração. Consideremos (u n ) O tal que u n u O. Mostraremos que θ 1 (u n ) θ 1 (u). Primeiro note que θ 1 (u n ) é limitado. De fato, considere a expressão ψ (θ) = 0 na prova do lema anterior aplicado a u n e θ 1 (u n ), u n dx = θ 1 (u n ) [( a(θ 1 (u n )x) + a(θ 1(u n )x) (θ 1 (u n )x) ) F (u n ) λ u n (4.) e suponha por contradição que θ 1 (u n ) +. Como u n u O, pelas imersões continuas de Sobolev, temos u n u em L p ( ), para p. Logo pelo Teorema de Vainberg (ver [6] Teorema 4.9), temos que: u n (x) u(x) q.t.p. em, e existe h L p ( ) tal que u n h(x) q.t.p. em. ] dx, Daí, pela condição (A), (1.) e a continuidade da F, temos que ( a(θ 1 (u n )x) + a(θ ) 1(u n )x) (θ 1 (u n )x) F (u n ) λ u n(x) a F (u(x)) λ u(x), q.t.p. em. Também por (A4) e (1.3), temos ( a(θ 1 (u n )x) + a(θ ) 1(u n )x) (θ 1 (u n )x) F (u n ) λ u n(x) a F (u n ) + λ u n(x) ( ɛ ) a h (x) + Ch p (x) + λ h (x) onde ĥ(x)dx <. = 1 (a ɛ + λ)h (x) + a Ch p (x) = ĥ(x), Logo do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, temos que [ ( a(θ 1 (u n )x) + a(θ ) ] 1(u n )x) (θ 1 (u n )x) F (u n ) λ u n(x) dx G (u)dx > 0 Assim, o lado direito de(4.) tende a + quando n. Entretanto o lado esquerdo converge para u dx que é xo, o que gera uma contradição. Portanto concluímos que (θ 1 (u n )) é uma sequencia limitada e assim, a menos de uma subsequencia, temos que θ 1 (u n ) θ 1. Usando de novo o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, temos que a(θ 1 (u n )x)f (u n )dx a( θ 1 x)f (u)dx,

47 4. Resultados de não-existência 41 a(θ 1 (u n )x) (θ 1 (u n )x) a( F (u n )dx θ 1 x) ( θ 1 x) F (u)dx. Como u n u em H 1 ( ), obtemos que [ u dx = θ 1 a( θ 1 x) a( θ 1 x).( θ 1 x) F (u) λ u ] dx. Assim θ 1 é tal que u( θ1 ) P. Pela unicidade da projeção em P, temos que θ 1 = θ 1 (u). Logo θ 1 (u n ) θ 1 (u). Lema 6 Se u P então existe θ > 0 tal que u( θ ) P e θ > 1. Demonstração. Se u P, então G (u)dx > 0 e pelo Lema 4 existe um único θ tal que u( ) P. Agora mostraremos que θ > 1. De fato, avaliando J em u( ) obtemos: θ θ 0 = ) θ u dx θ (a(θx)f (u) λ u dx θ a(θx).(θx)f (u)dx R R { [ ) ]} = θ u dx θ (a(θx)f (u) λ u a(θx).(θx) dx+ F (u)dx, R e desde que θ > 0, segue-se do anterior que u dx = θ Agora pela condição (A4), obtemos: u dx < θ [( a(θx) + a(θx).(θx) R a F (u) λ u dx = θ G (u)dx, ) ] F (u) λ u dx. ou equivalentemente ( ) 1 u dx < θ G (u)dx. Mas desde que u P, temos que ( ) 1 u dx = G (u)dx. Logo, G (u)dx < θ G (u)dx e portanto θ > 1. Lema 7 Se u P então existe θ > 0 tal que u( θ ) P e θ < 1. Demonstração. Primeiro veriquemos que se u P, então G (u)dx > 0.

48 4. Resultados de não-existência 4 De fato, se u P então u satisfaz : [( u dx = a(x) + a(x) x < (a F (u) λ u R = G (u)dx, ) dx ) ] F (u) λ u dx onde temos utilizado a condição (A4). E desde que u 0 e u H 1 ( ), temos u dx > 0 e, portanto G (u)dx > 0. A existência de uma única θ > 0 tal que u( ) P θ é garantida pelo Lema 4. A m de mostrar que θ < 1, notamos que: u dx < G (u)dx. Entretanto, se u( /θ) P então θ satisfaz: θ = ( ) 1 u dx G (u)dx Portanto θ < 1 e o lema é provado. < R G (u)dx G (u)dx = 1. Observação 11 Uma consequência imediata do lemas anteriores é que u H 1 ( )\{0} pode ser projetada em P e P se, e somente se G (u)dx > 0. Lema 8 Se u P, então u( y) P para todo y. Além disso, existe θ y > 1 tal que u( y θ y ) P, e lim y θ y = 1 Demonstração. Se u P. Segue-se a partir da invariância sob traslação de J que u( y) P, para todo y. Além disso, do Lema 6 existe θ y > 1 tal que u( y θ y ) P. Suponha agora, por contradição, que exista uma sequência y n tal que θ yn A > 1 ou θ yn. Agora vamos denir K(θ yn x + y n ) := a(θ yn x + y n ) + a(θ y n x + y n ).(θ yn x + y n ) e pela condição (A4) e (1.3), temos que K(θ y n x + y n )F (u) λ u (x) a F (u) + λ u (x) a Cu (x). Usando o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, obtemos: ( ) lim K(θ yn x + y n )F (u) λ u (x) dx = G (u(x))dx. (4.3) θ yn R Mas para cada y n segue-se que u( yn θ yn ) P com θ yn > 1, isto é, ( ) u dx = θy n K(θ yn x + y n )F (u) λ u (x) dx. (4.4) R Agora o lado direito de (4.4) vai para o innito ou A G (u(x))dx, entretanto, o lado esquerdo é xado em u dx. Desde que u P e A > 1 ou + chegamos a uma contradição.

49 4. Resultados de não-existência 43 Lema 9 sup y θ y = θ e θ > 1. Demonstração. Do lema anterior, dado ɛ = 1, existe R > 0 tal que θ, se y > R. Vamos mostrar que existe M > 0 tal que sup 0 y R θ y M. Suponha que este supremo não exista, ou equivalentemente, que exista uma sequência y n com y n [0, R] tal que θ yn. Como no lema anterior, mas agora com θ yn, temos que ( ) lim K(θ yn x + y n )F (u) λ u (x) dx = G (u(x))dx. θ yn Portanto, segue-se de (4.4) a igualdade ( ) u dx = θy n G (u)dx + o yn (1). Mas, desde que θ yn e o lado esquerdo é um número xo, isto é um absurdo. Assim o lema é provado. Lema 10 Existe um número real ˆσ > 0 tal que inf u P u ˆσ. Demonstração. Seja u P então u satisfaz (3.4) e pela condição (A4), temos que: ) u dx = (a(x)f (u) λ u dx + a(x) xf (u)dx R R [( = a(x) + a(x) x ) ] F (u) λ u dx ) < (a F (u) λ u dx. Por outro lado, da condição (1.3), com p = e dado 0 < ɛ < λ a, segue que 1 ( ɛ u < [a u + C u ) ] λ u dx R ( ɛ = a R λ ) u dx + a C u dx. a Logo, temos que 1 u < a C u, e usando o Teorema Sobolev-Gagliardo-irenberg (ver [6,Teorema9.9]) obtemos: 0 < 1 a C < u. ( Logo podemos concluir que inf u P u ˆσ, com ˆσ = Lema 11 p := inf u P I (u) = c 1 a C ) 1. Demonstração. Seguimos as ideias encontradas em [1]. Seja ω uma solução de menor energia do problema autônomo no innito(4.1), isto é, I (w) = inf { I (u); u H 1 ( ) \ 0; é uma solução de (4.1) },

50 4. Resultados de não-existência 44 e também consideremos L > 1, e ν Γ denido por: { ω(x/lt) se 0 < t 1 ν(t)(x) = 0 se t = 0. Então é claro que para t = 1 L < 1, ω ν([0, 1]). Avaliando o funcional I em ν(t), temos que com derivada, I (ν(t)) = (Lt) ω (Lt) G (ω)dx, di (ν(t)) dt = ( )L t 3 ω L t 1 G (ω)dx. Daí para 0 < t < 1/L temos que di (ν(t)) di > 0 e para 1/L < t < 1, (ν(t)) < 0. dt dt Logo max t [0,1] I (ν(t)) = I (ω). E como I (ω) = inf u P I (u),(ver o Lema 3.1 em [1]) temos que c inf u P I (u). Por outro lado, para qualquer γ Γ, temos γ (0) = 0. Ainda J (γ (1)) = I (γ (1)) u I (γ (1)) < 0, e também existe σ > 0 tal que 0 < u λ σ implica J (u) > 0 (o que se prova analogamente a d) no Lema ). Logo existe t 0 (0, 1) tal que J (γ (t 0 )) = 0 e portanto, Isto completa a prova. c inf u P I (u). Observação 1 Se u H 1 ( ), com G (u)dx > 0 e θ > 0 é tal que u( ) P θ, então podemos escrever I (u( /θ)) = θ u dx. (4.5) De fato, como u( ) P θ, temos que R a F (u(x/θ)) λu(x/θ) dx = substituindo isto no funcional I, temos a armação feita. Lema 1 inf u P I(u) = c. u(x/θ) dx, Demonstração. Seja w H 1 ( ) uma solução de menor energia de (4.1). Pelo lema anterior temos que I (w) = c. Dado qualquer y, denimos w y := w( y). Da invariância sob translação das integrais, obtemos w y P e I (w y ) = c. Agora do

51 4. Resultados de não-existência 45 Lema 8, para qualquer y, existe θ y > 1 tal que w y = w y ( /θ y ) P. Portanto, temos que I( w y ) c = I( w y ) I (w y ) = 1 w y dx G(x, w y )dx 1 w y dx R R + G (w y )dx = 1 θ y w y dx G(x, w y )dx 1 w y dx R R + G (w y )dx = 1 (θ y 1) w y dx a(x)f ( w y ) λ w y R dx R + a F (w y ) λw y dx = 1 R (θ y 1) w dx θy a(xθ y + y)f (w) λ w R dx R + a F (w) λw dx = 1 R (θ y 1) w dx (θ λw y 1) R dx θy a(xθ y + y)f (w)dx + a F (w)dx R θ y 1 R w dx + θ λw y 1 R dx+ F (w) a θy a(xθ y + y) dx. e desde que θ y 1 quando y, segue que I( w y ) c o y (1) + o y (1) + a θ y a(xθ y + y) F (w) dx. Como a(x + y) a, temos lim I( w y) = c. y Portanto como, p = inf u P I(u) I( w y ), fazendo y, temos que p c. Por outro lado, considere u P e 0 < θ < 1 tal que u( /θ) P (pelo Lema 7). Desde que u P, então u satisfaz: I(u) = 1 u dx + 1 a(x) xf (u)dx > 1 R u dx θ u dx = I (u(x/θ)) c, onde usamos (4.5) e (A3). Assim, para qualquer u P, I(u) > c e portanto inf u P I(u) c. Por isto, podemos concluir que p = c.

52 4. Resultados de não-existência 46 Agora estamos prontos para provar o Teorema 1., o qual é o principal resultado desta seção. Demonstração. (Prova do Teorema 1.) Suponha, por contradição, que exista z H 1 ( ) um ponto crítico do funcional I no nível p. Em particular, considere z P e I(z) = p. Seja θ (0, 1) tal que z(x/θ) P. Então p = I(z) = 1 z dx + 1 a(x) xf (z)dx > 1 R z dx θ z dx = I (z( /θ)) c, portanto p > c o que contradiz o lema anterior Lema 13 Suponha (A1), (A5) e (f1), então, P é um vínculo natural do problema (1.1), isto é, se u P for um ponto crítico de I P, então I (u) = 0. Demonstração. Esta prova é baseada em argumentos encontrados em [19], onde um lema semelhante é provado para uma equação autônoma. Seja u P e denimos o espaço tangente de P em u por: T u P := { v H 1 ( ); J (u)v = 0 }, e também denimos a norma da derivada restrita de I para P por: Agora, se para v T u P temos I (u) = sup I (u)v. v T up, v =1 I (u)v = I (u)v + J (u)v, e pelo teorema de Hanh-Banach, existe um funcional f que estende a I (u), o qual é igual a I (u) no conjunto T u P, isto é, f(v) = I (u)v, para todo v T u P. Portanto ker( f I (u)) T u P = ker J (u). Assim, existe µ R tal que f = I (u) + µj (u). ovamente pelo Teorema de Hanh-Banach, temos que I (u) + µj (u) = I (u). Agora, se consideramos a u como ponto crítico de I restrito a P, isto é, I (u)v = 0 para todo v T u P. Então I (u) + µj (u) = 0. Mostraremos que µ = 0. Avaliando o funcional lineal anterior em u P, obtemos que: I (u)u + µj (u)u = 0 (4.6)

53 4. Resultados de não-existência 47 o que equivalente a 0 = u + λu dx a(x)f(u)udx R ( + µ ( ) u dx ( a(x) + a(x) x ) ) f(u)u λu dx. Esta expressão pode ser associada com a equação, ( ( u + λu a(x)f(u) + µ ( ) u + λu a(x) + a(x) x ) ) f(u) = 0, que pode ser reescrita como: (1 + µ( )) u + λ(1 + µ)u = [(1 + µ)a(x) + µ a(x) x]f(u) (4.7) Além disso, as soluções da equação satisfazem uma identidade Pohozaev e tem uma variedade de Pohozaev associada denida por P 1 ({0}), onde (1 + µ( ))( ) P (u) = u dx G (x, u)dx G x i x i dx, com e i=1 G (x, u) = ((1 + µ)a(x) + µ a(x) x)f (u) λ i=1 (1 + µ) u, x i G x i (x, u)dx = ((1 + µ) a(x) x + µx H(x) x)f (u)dx. Portanto, P pode ser visto como (1 + µ( ))( ) P (u) = u dx R (1 + µ) ((1 + µ)a(x) + µ a(x) x)f (u) λ u dx R ((1 + µ) a(x) x + µx H(x) x)f (u)dx (1 + µ( ))( ) = u dx R ( (1 + µ) a(x) + a(x) x ) F (u) λ u dx ( µ a(x) x + x H(x) x ) F (u)dx. Mas recordando que u P e substituindo (3.7) na equação acima, segue-se que (1 + µ( ))( ) P (u) = u dx (1 + µ) u dx R R ( µ a(x) x + x H(x) x ) F (u)dx = µ( ) u dx R ( µ a(x) x + x H(x) x ) F (u)dx.

54 4. Resultados de não-existência 48 Por outro lado, u é uma solução da equação (4.7) e assim satisfaz P (u) = 0. Logo, ( µ( ) u dx = µ a(x) x + x H(x) x ) F (u)dx. Da observação 3 e da hipóteses (A5), temos que o lado direito da equação é sempre não negativo, enquanto o lado esquerdo é sempre negativo, se µ > 0 (ou vice-versa, seµ < 0 ), a menos que µ = 0. Portanto pela equação (4.6), temos que I (u) = 0. Assim u é um ponto crítico para o funcional I.

55 Capítulo 5 Existência de uma solução positiva este capítulo mostraremos a existência de uma solução positiva da equação (1.1). Como vimos anteriormente, o ínmo c restrito a variedade de Pohozaev P não é atingido. Assim procuramos por soluções que possuam níveis de energia maior que c. Para isto aplicaremos ideias semelhantes às empregadas por A. Ambrosetti, G. Cerami e D. Ruiz em [1], onde um argumento de "linking"é utilizado em um sistema de equações não linear de Schrödinger, restrito sobre a variedade de ehari, o qual foi feita a partir da construção da função baricentro (ver também[0], [1]). Começaremos este capítulo mostrando que I satisfaz a geometria Teorema do Passo da Montanha. Lema 14 O funcional I : H 1 ( ) R associado ao problema (1.1), satisfaz a geometria do Teorema do Passo da Montanha. Demonstração. Para a primeira hipótese geométrica, veja que I(u) = 1 u λ a(x)f (u)dx 1 u λ 1 u λ a F (u)dx. ( a(x) + a(x) x ) F (u)dx Pelo crescimento da função F para ɛ > 0 e p, temos que I(u) 1 a ɛ u λ R u dx + a C u p dx. Pelas imersões contínuas de Sobolev, existem c 1 > 0 e c > 0, tais que I(u) 1 u λ a ɛc 1 u λ a Cc u p λ = 1 (1 a ɛc 1 ) u λ a Cc u p λ. Para ɛ > 0 sucientemente pequeno 1 a ɛc 1 > 0 e se u λ = ρ com temos que ( ) 1 1 a ɛc p 1 a Cc > ρ, 49

56 5. Existência de uma solução positiva 50 I(u) 1 (1 a ɛc 1 )ρ a Cc ρ p > 0. Portanto existe α = α(ɛ, ρ) = 1 (1 a ɛc 1 )ρ a Cc ρ p > 0, tal que I(u) α > 0. Para a segunda hipótese geométrica do Teorema do Passo da Montanha, seja w uma solução de menor energia para o problema autônomo no innito (4.1) (para a existência ver [5]). Se w P então w( y) P, para todo y. Além disso, consideremos t > 0 e denamos z 1 := w( y t I(z 1 ) = 1 w( y t = t ). Logo avaliando I em z 1 = w( y t ( x y ) a(x)f λ R w dx t ( w )) )dx ), temos t (a(tx + y)f (w) λ w Da condição (A), para y sucientemente grande, temos que ) dx. I(z 1 ) < t w dx t Assim para t > 0 sucientemente grande, temos G (w)dx. I(z 1 ) < 0. Além disso z 1 > ρ, pois caso contrario z 1 λ ρ e assim concluiríamos que I(z 1 ) > 0, o que é uma contradição. Dena o nível min-max c = inf max I(γ(t)) > 0, γ Γ 0 t 1 onde Lema 15 c = c Γ := { γ C([0, 1], H 1 ( )) γ(0) = 0, I(γ(1)) < 0 }. Demonstração. Considere os conjuntos de caminhos Γ e Γ, tal como denimos anteriormente. Tomemos γ Γ. Desde que I I, note que I (γ(1)) < 0. Portanto, γ Γ e assim Γ Γ. Segue-se também de I I, que se γ Γ, então e daí max I (γ(t)) max I(γ(t)), 0 t 1 0 t 1 inf max I (γ(t)) inf max I(γ(t)). γ Γ 0 t 1 γ Γ 0 t 1 Além disso, da inclusão Γ Γ, obtemos c = inf γ Γ max 0 t 1 I (γ(t)) inf γ Γ max 0 t 1 I (γ(t)) inf γ Γ max 0 t 1 I(γ(t)) = c e assim c c. Para mostrar que c c, seja ɛ > 0 arbitrário e tomemos γ Γ tal que I (γ(t)) max 0 t 1 I (γ(t)) < c + ɛ. Tomemos y e façamos a translação