Distribuição Gama Inversa: conceitos e propriedades

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Liliana de Paiva Domingos
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1 Distribuição Gama Inversa: conceitos e propriedades Kelly Pereira de Lima 1 Rafael Bráz Azevedo Farias 1 1 Introdução Na teoria estatística e das probabilidades, a distribuição gama inversa, também chamada de gama invertida, vêm sendo muito difundida entre os especialistas da área de estatística, principalmente os estatísticos com vertente bayesiana. Esta família de distribuições pertencem à classe de distribuições contínuas. Ela é caracterizada por dois parâmetros, α e β, os quais representam, respectivamente, os parâmetros de escala e de localização. A distribuição gama inversa foi inicialmente obtida a partir de uma transformação recíproca em uma variável aleatória com distribuição pertencente a família de distribuições gama (Johnson; Kotz & Balakrishnan, 1994). Como citado anteriormente, a distribuição gama inversa é amplamente utilizada em modelagem bayesiana. O eemplo mais comum de uso ocorre quando consideramos que os dados foram gerados de um modelo gaussiano (normal) com variância σ 2 desconhecida, e o interesse fazer inferências quanto a variabilidade dos dados. Neste caso, tem-se que a distribuição a posteriori de σ 2 é gama inversa quando assume-se a priori distribuição não informativa ou uma distribuição gama inversa para σ 2, ou seja, a distribuição gama inversa é uma distribuição conjugada do modelo normal com variância desconhecida. A distribuição gama inversa não é usualmente apresentada nos cursos de graduação em estatística no Brasil e, quando é apresentada, não o faz com profundidade de conteúdo. Dessa maneira, o presente trabalho tem como objetivo divulgar a distribuição gama inversa entre os estudantes de graduação, pois os mesmos teriam uma visão mais clara à respeito da distribuição, no qual poderão usufruir em trabalhos futuros. 2 Material e métodos A metodologia usada neste trabalho será baseada nas definições e conceitos sobre a distribuição gama inversa disponíveis na literatura. Consultar, por eemplo, em Balakrishnan & Nevzoro (2003), Cook (2013), Johnson; Kotz & Balakrishnan (1994) e Ehlers (2009) para maiores detalhes. Este trabalho oferece uma fonte de pesquisa para estudos futuros sobre a distribuição gama inversa. Auiliando quem deseja iniciar seus estudos neste tópico. Neste sentido, serão apresentadas: a caracterização, as propriedades e as relações com outras distribuições de probabilidade, de forma que possibilite aos estudantes uma boa compreensão desta distribuição. Além 1 DEMA - UFC kellylima.gauss@gmail.com 1

2 disso, tem se o intuito de motivar e divulgar o uso desta distribuição tanto no meu acadêmico quanto em trabalhos aplicados. Auiliando quem deseja usar uma alternativa de distribuição assimétrica com variação no reais positivos. 3 Resultados e discussões A distribuição gama inversa é uma transformação da distribuição gama que é muito versátil e pode ser utilizada em inúmeras situações práticas, principalmente nas áreas de análise de sobrevivência e confiabilidade. Na literatura pode-se citar Pescim (2013). Eemplos de aplicação são: teste de tempo de vida, problemas de controle de qualidade, tempo de falha de um determinado material e etc. Esta distribuição tem como vantagem de possuir um elevado grau de assimetria e curtose. Seja Y uma variável aleatória com distribuição gama, cuja a função densidade de probabilidade (f.d.p) é dada por (Balakrishnan & Nevzoro, 2003) f(y;α,β)= βα Γ(α) yα 1 ep( βy), e considere a seguinte transformação de variáveis X = 1 Y. (1) Tem-se que o resultado desta transformação é uma distribuição gama inversa com função densidade de probabilidade definida como (Cook, 2008): f(;α,β)= βα Γ(α) α 1 ep( β/). Vamos denotar as distribuições gama e gama inversa, respectivamente, por Gama(α, β) e GI(α, β). A transformação de variáveis definida em (1) pode ser demonstrada utilizando-se técnicas simples de transformações de variáveis apresentadas em Magalhães (2013). A Figuras 1 apresenta as curvas das funções densidade de probabilidade da distribuição gama inversa para alguns valores dos parâmetros α e β. Observa-se na Figura 1 (a) o efeito de escala e na Figura 1 (b) o efeito de localização quando varia-se os valores dos parâmetros α e β. Com o objetivo de ter uma melhor visualização das diversas formas da distribuição gama inversa, também apresentamos na Figura 2 as curvas das funções de distribuição acumulada da distribuição gama inversa para alguns valores dos parâmetros α e β. 2

3 (a) (b) f() GI(1,1) GI(2,1) GI(3,1) f() GI(1,2) GI(1,3) GI(1,4) Figura 1: (a) Gráfico da função densidade de probabilidade da distribuição gama inversa para α variando e β fio e (b) Gráfico da função densidade de probabilidade da distribuição gama inversa para α fio e β variando. (a) (b) F() GI(1,1) GI(2,1) GI(3,1) F() GI(1,2) GI(1,3) GI(1,4) Figura 2: (a) Gráfico da função de distribuição acumulada da distribuição gama inversa para α variando e β fio e (b) Gráfico da função de distribuição acumulada da distribuição gama inversa para α fio e β variando. Após alguma álgebra pode-se obter os momentos não-centrais e os centrais da distribuição gama inversa, entre eles vale destacar a média, a variância, a assimetria e a curtose. As suas respectivas fórmulas são dada abaio: Média β α 1, α>1; Variância β 2 (α 1) 2 (α 2), α>2; 3

4 Assimetria 4 α 2 α 3, α>3; Curtose 30α 66 (α 3)(α 4), α>1. É importante aprensentar as relações que a distribuição gama inversa tem com outras distribuições de probabilidade. Entre elas destacam-se as seguintes relações: Se X GI(α,β) e k é uma constante real, temos que kx GI(α,kβ); Se X GI(α, 2 1) então X Inversa χ2 (2α); Se X Gama(k,θ), assim X 1 GI(k,1/θ). em que Inversa χ 2 (2α) denota uma distribuição Chi quadrado inversa com 2α graus de liberdade. 4 Conclusões A distribuição gama inversa vem recebendo bastante atenção, pois está sendo utilizada nos mais variados trabalhos no ambiente acadêmico. Dentre eles, pode-se citar os trabalhos de Mazin & Marinez (2009) e Nogueira et al (2003). Dessa forma, torna-se de suma importância o reconhecimento da mesma para alunos de graduação. Com isso, esse trabalho será um meio de divulgação da distribuição gama inversa entre estudantes de graduação, no qual será apresentado os conceitos e suas propriedades de forma clara e objetiva. Referências [1] BALAKRISHNAN, N., NEVZOROV, V. B. A primer on Statistical distributions. Willey - Interscience p. [2] COOK, J. D. Inverse Gamma Distribution Disponível em: gamma.pdf. Acesso em: 02 de abril de [3] EHLERS, R. S. Inferência Estatística p. [4] JOHNSON, N. L., KOTZ, S e BALAKRISHNAN, N. Continuous Univariate Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics p. 4

5 [5] MAGALHÃES, M. N. Continuous Univariate Distributions. Edusp- Editora da Universidade de São Paulo p. [6] MAZIN,S. C. & MARTINEZ, E. Z.. Métodos Estaísticos em Metanálise II: Modelos de Regressão. Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.27, n.2, p [7] NOGUEIRA, D. A.; SAFADI, T.; BEARZOTI, E. & FILHO, J. S.. Análises clássica e bayesiana de um modelo misto aplicado ao melhoramento animal: uma ilustração.ciênc. agrotec., Lavras. Edição Especial, p , dez., 2003 [8] PESCIM, R. Caracterização e etensões da distribuição gama com aplicações em análise de sobrevivência e confiabilidade. Disponível em: Acesso em: 02 de abril de

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