Exemplo Chamadas Telefônicas

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1 Exemplo Chamadas Telefônicas Gilberto A. Paula Departamento de Estatística IME-USP, Brasil 2 o Semestre 2016 G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

2 Chamadas Telefônicas Sumário 1 Chamadas Telefônicas 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Mínimos Quadrados 4 Diagnóstico Modelo Ajustado 5 Ajuste Crítério Robusto 6 Conclusões 7 Referências G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

3 Chamadas Telefônicas Chamadas Telefônicas Descrição dos Dados Para motivar a comparação do procedimento de estimação de mínimos quadrados com o procedimento de estimação robusta proposto por Huber vamos considerar o conjunto de dados disponível no software R sobre G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

4 Chamadas Telefônicas Chamadas Telefônicas Descrição dos Dados Para motivar a comparação do procedimento de estimação de mínimos quadrados com o procedimento de estimação robusta proposto por Huber vamos considerar o conjunto de dados disponível no software R sobre chamadas telefônicas (em milhões) na Bélgica no período de 1950 a G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

5 Chamadas Telefônicas Chamadas Telefônicas Descrição dos Dados Para motivar a comparação do procedimento de estimação de mínimos quadrados com o procedimento de estimação robusta proposto por Huber vamos considerar o conjunto de dados disponível no software R sobre chamadas telefônicas (em milhões) na Bélgica no período de 1950 a Esses dados são discutidos, por exemplo, em Venables e Ripley (2003, Capítulo 8). G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

6 Análise de Dados Preliminar Sumário 1 Chamadas Telefônicas 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Mínimos Quadrados 4 Diagnóstico Modelo Ajustado 5 Ajuste Crítério Robusto 6 Conclusões 7 Referências G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

7 Análise de Dados Preliminar Medidas Resumo Descrição Medida Chamadas n 24 Média 50,00 D.Padrão 65,53 CV 131% Mínimo 4,40 1 o Quartil 7,90 Mediana 15,50 3 o Quartil 62,00 Máximo 232,00 G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

8 Análise de Dados Preliminar Dispersão Chamdas versus Ano Chamadas Ano G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

9 Análise de Dados Preliminar Boxplot Chamadas Chamadas Chamadas G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

10 Ajuste Mínimos Quadrados Sumário 1 Chamadas Telefônicas 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Mínimos Quadrados 4 Diagnóstico Modelo Ajustado 5 Ajuste Crítério Robusto 6 Conclusões 7 Referências G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

11 Ajuste Mínimos Quadrados Modelo Linear Normal Descrição Nota-se um aumento do número de chamadas telefônicas com o ano, havendo forte destaque para 6 anos consecutivos (64 a 69) em que o número de chamadas é bastante acentuado. Vamos considerar para ilustração o seguinte modelo linear: G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

12 Ajuste Mínimos Quadrados Modelo Linear Normal Descrição Nota-se um aumento do número de chamadas telefônicas com o ano, havendo forte destaque para 6 anos consecutivos (64 a 69) em que o número de chamadas é bastante acentuado. Vamos considerar para ilustração o seguinte modelo linear: y i = β 1 +β 2 ano i +ǫ i, G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

13 Ajuste Mínimos Quadrados Modelo Linear Normal Descrição Nota-se um aumento do número de chamadas telefônicas com o ano, havendo forte destaque para 6 anos consecutivos (64 a 69) em que o número de chamadas é bastante acentuado. Vamos considerar para ilustração o seguinte modelo linear: y i = β 1 +β 2 ano i +ǫ i, para i = 1,...,24, em que y i denota o número de chamadas telefônicas no i-ésimo ano com ǫ i iid N(0,σ 2 ). G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

14 Ajuste Mínimos Quadrados Estimativas Descrição As estimativas dos parâmetros são dadas abaixo. G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

15 Ajuste Mínimos Quadrados Estimativas Descrição As estimativas dos parâmetros são dadas abaixo. Efeito Estimativa Erro padrão valor-t valor-p Constante -260, ,607-2,53 0,02 Ano 5,041 1,658 3,04 0,00 R 2 0,30 R 2 -ajustado 0,26 s 56,22 F 9,25 (1 e 22 g.l.) 0,00 G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

16 Ajuste Mínimos Quadrados Estimativas Descrição As estimativas dos parâmetros são dadas abaixo. Efeito Estimativa Erro padrão valor-t valor-p Constante -260, ,607-2,53 0,02 Ano 5,041 1,658 3,04 0,00 R 2 0,30 R 2 -ajustado 0,26 s 56,22 F 9,25 (1 e 22 g.l.) 0,00 Todas os parâmetros são marginalmente significativos. G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

17 Ajuste Mínimos Quadrados Ajuste Mínimos Quadrados Chamdas Ano G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

18 Diagnóstico Modelo Ajustado Sumário 1 Chamadas Telefônicas 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Mínimos Quadrados 4 Diagnóstico Modelo Ajustado 5 Ajuste Crítério Robusto 6 Conclusões 7 Referências G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

19 Diagnóstico Modelo Ajustado Diagnóstico Modelo Ajustado Distância de Cook Ano G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

20 Diagnóstico Modelo Ajustado Resíduos Modelo Ajustado Residuo Studentizado Percentil da N(0,1) G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

21 Ajuste Crítério Robusto Sumário 1 Chamadas Telefônicas 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Mínimos Quadrados 4 Diagnóstico Modelo Ajustado 5 Ajuste Crítério Robusto 6 Conclusões 7 Referências G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

22 Ajuste Crítério Robusto Modelo Linear Normal Descrição A fim de reduzir a influência das observações discrepantes será aplicado o critério de Huber para ajustar o seguinte modelo linear: G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

23 Ajuste Crítério Robusto Modelo Linear Normal Descrição A fim de reduzir a influência das observações discrepantes será aplicado o critério de Huber para ajustar o seguinte modelo linear: y i = β 1 +β 2 ano i +ǫ i, G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

24 Ajuste Crítério Robusto Modelo Linear Normal Descrição A fim de reduzir a influência das observações discrepantes será aplicado o critério de Huber para ajustar o seguinte modelo linear: y i = β 1 +β 2 ano i +ǫ i, para i = 1,...,24, em que y i denota o número de chamdas no i-ésimo iid ano com ǫ i N(0,σ 2 ). G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

25 Ajuste Crítério Robusto Modelo Linear Normal Critério de Huber O critério de Huber consiste em minimizar a função G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

26 Ajuste Crítério Robusto Modelo Linear Normal Critério de Huber O critério de Huber consiste em minimizar a função S ρ (β) = n ρ(z i ), i=1 G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

27 Ajuste Crítério Robusto Modelo Linear Normal Critério de Huber O critério de Huber consiste em minimizar a função S ρ (β) = n ρ(z i ), i=1 em que z i = ǫ i s com G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

28 Ajuste Crítério Robusto Modelo Linear Normal Critério de Huber O critério de Huber consiste em minimizar a função S ρ (β) = n ρ(z i ), i=1 em que z i = ǫ i s com { ρ(z) = z 2 2 se z c c{ z c 2 } se z > c. G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

29 Ajuste Crítério Robusto Estimativas Descrição As estimativas dos parâmetros pelo critério de Huber com c=1,345 são dadas abaixo. G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

30 Ajuste Crítério Robusto Estimativas Descrição As estimativas dos parâmetros pelo critério de Huber com c=1,345 são dadas abaixo. Efeito Estimativa Erro padrão valor-z valor-p Constante -102,622 26,608-3,86 0,00 Ano 2,041 0,430 4,75 0,00 s 9,032 G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

31 Ajuste Crítério Robusto Estimativas Descrição As estimativas dos parâmetros pelo critério de Huber com c=1,345 são dadas abaixo. Efeito Estimativa Erro padrão valor-z valor-p Constante -102,622 26,608-3,86 0,00 Ano 2,041 0,430 4,75 0,00 s 9,032 Todas os parâmetros são altamente significativos. G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

32 Ajuste Crítério Robusto Peso versus Chamadas Peso Chamadas G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

33 Ajuste Crítério Robusto Peso versus Ano Peso Ano G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

34 Ajuste Crítério Robusto Comparação Métodos de Estimação Chamadas M.Q. Ruber Ano G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

35 Conclusões Sumário 1 Chamadas Telefônicas 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Mínimos Quadrados 4 Diagnóstico Modelo Ajustado 5 Ajuste Crítério Robusto 6 Conclusões 7 Referências G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

36 Conclusões Conclusões Considerações Finais G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

37 Conclusões Conclusões Considerações Finais Neste conjunto de dados há 6 observações discrepantes com alta influência nas estimativas do intercepto e inclinação da reta ajustada pelo método de mínimos quadrados. G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

38 Conclusões Conclusões Considerações Finais Neste conjunto de dados há 6 observações discrepantes com alta influência nas estimativas do intercepto e inclinação da reta ajustada pelo método de mínimos quadrados. O procedimento de estimação usando o critério de de Huber reduz consideravelmente a influência desses anos que recebem os menores pesos no processo de estimação. G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

39 Conclusões Conclusões Considerações Finais Neste conjunto de dados há 6 observações discrepantes com alta influência nas estimativas do intercepto e inclinação da reta ajustada pelo método de mínimos quadrados. O procedimento de estimação usando o critério de de Huber reduz consideravelmente a influência desses anos que recebem os menores pesos no processo de estimação. Os últimos três anos também têm uma redução dos pesos no processo de estimação. G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

40 Referências Sumário 1 Chamadas Telefônicas 2 Análise de Dados Preliminar 3 Ajuste Mínimos Quadrados 4 Diagnóstico Modelo Ajustado 5 Ajuste Crítério Robusto 6 Conclusões 7 Referências G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

41 Referências Referências Referência G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25

42 Referências Referências Referência Venables, W. N. e Ripley, B. D. (2003). Modern Applied Statistics with S-Plus, Fourth Edition. New York: Springer. G. A. Paula (IME-USP) Chamadas Telefônicas 2 o Semestre / 25