Resumo. Palavras-chave Vigas protendidas; protensão parcial; abertura de fissuras; força cortante. Introdução

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1 Dimensionamento automático de vigas protendidas biapoiadas considerando a protensão parcial Izaura de Vargas Martins 1, Lorenzo Augusto Ruschi e Luchi 2, Wagner Klippel Dominicini 3 1 Universidade Federal do Espírito Santo / Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil / vargas.izaura@gmail.com 2 Universidade Federal do Espírito Santo / Departamento de Engenharia Civil / lorenzo@rl.eng.br 3 Universidade Federal do Espírito Santo / Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil / wagner.kd@gmail.com Resumo Este artigo trata da elaboração de uma ferramenta computacional para o dimensionamento de vigas protendidas biapoiadas conforme a ABNT NBR 6118:2014 Projeto de Estruturas de Concreto Procedimento. São contemplados os níveis de protensão completa, limitada e, especialmente, parcial. Para diferentes tipos de carregamento, distribuídos e pontuais, o programa realiza o pré-dimensionamento da força de protensão, calcula as perdas imediatas e progressivas, verifica os estadoslimites de serviço e último. Em casos de protensão parcial, é verificada a abertura de fissuras na seção transversal mais solicitada. O programa foi desenvolvido utilizando o Microsoft Excel e o Microsoft Visual Basic for Applications, apresenta interface gráfica com o usuário e geração de memoriais de cálculo, servindo como recurso didático no meio acadêmico a níveis de graduação e pós-graduação. Os resultados obtidos são validados pela comparação com exemplos presentes na literatura. Palavras-chave Vigas protendidas; protensão parcial; abertura de fissuras; força cortante. Introdução A protensão tem sido muito utilizada na engenharia brasileira, tornando possível a execução de estruturas antes inviáveis ao concreto armado convencional. Assim, tornase interessante o investimento no aperfeiçoamento dos métodos de cálculo e dimensionamento de peças protendidas. São poucos os programas que realizam esse dimensionamento, seguindo a ABNT NBR 6118:2014 Projeto de Estruturas de Concreto Procedimento, e os que existem, geralmente são comerciais. O desenvolvimento de ferramentas computacionais para o dimensionamento de estruturas de concreto armado e protendido, assim como para o ensino de engenharia, é um campo de fundamental importância para a pesquisa, uma vez que a utilização de muitos programas fica limitada ao escritório técnico desenvolvedor. VENTRI e LINDENBERG NETO (2001) apontam a importância da utilização da informática e o desenvolvimento de animações no ensino de conceitos fundamentais da mecânica das estruturas, ASSIS et al. (2002) desenvolvem material didático multimídia via web para as disciplinas de concreto armado e concreto protendido. No campo da protensão alguns trabalhos podem ser citados, KLEIN e LORIGGIO (2006), assim como NACHT (2015) apresentam uma ferramenta computacional para o

2 dimensionamento de vigas protendidas, nos níveis de protensão completa e limitada, que verificam apenas os estados-limites de serviço. Em LAZZARI et al. (2013) é proposta uma ferramenta automática para o cálculo de vigas de concreto submetidas à flexão, protensão completa, limitada e parcial, utilizando a norma brasileira NBR 6118:2007 e a francesa Règles BPEL 91. SILVA (2015) apresenta o desenvolvimento de um programa para a verificação de seções poligonais de concreto armado e protendido submetidas à flexão composta oblíqua. LABADAN (2016) desenvolve um programa para o dimensionamento de vigas contínuas protendidas pós-tracionadas. Observa-se que o concreto protendido é amplamente estudado, entretanto, poucos são os programas que abordam o nível de protensão parcial. Fato que contraria o mercado atual, uma vez que a protensão parcial proporciona um aproveitamento mais racional dos materiais, dosando-se convenientemente as armaduras ativas e passivas, como expõe EMERICK (2005). Assim, este trabalho visa à elaboração de uma ferramenta computacional para o dimensionamento de vigas protendidas, contemplando em especial a protensão parcial e o dimensionamento a força cortante, que possa ser utilizada no meio acadêmico como recurso didático adicional na disciplina Concreto Protendido. O programa é desenvolvido utilizando o Microsoft Excel e o Microsoft Visual Basic for Applications, a partir de DOMINICINI (2014), que desenvolve uma ferramenta para o dimensionamento de vigas biapoiadas protendidas, para os níveis de protensão completa e limitada, de acordo com a NBR 6118:2007. Protensão parcial O nível de protensão parcial produz tensões de compressão mais brandas do que a limitada e completa. É especificado para a pré-tração na classe de agressividade ambiental I e pós-tração nas classes I e II. Deve-se verificar o estado-limite de serviço de abertura das fissuras, com valor limite de 0,2 mm, para a combinação frequente. CHOLFE e BONILHA (2013) apresentam um roteiro para a verificação de peças com protensão parcial. Inicialmente, deve-se escolher o par das áreas de armadura passiva e ativa A s e A p, definir o número de barras e cabos e o seu alojamento. Então, é calculada a força de protensão provocada pelo pré-alongamento dos cabos, e verificada se a seção ultrapassou o estado-limite de serviço de formação de fissuras na combinação frequente, chegando ao estádio II, configurando a protensão parcial. Passa-se ao cálculo do acréscimo de tensão da armadura ativa, com exceção daquela dentro de bainhas, e da armadura passiva que controla a fissuração no estádio II. Considera-se o diagrama linear do concreto comprimido, desprezando-se a sua resistência à tração (ver Figura 1). Figura 1 Equilíbrio da seção transversal no estádio II

3 Do equilíbrio das forças, obtém-se a tensão na armadura passiva, ver equação (1). pré é o pré-alogamento dos cabos, A cc é área de concreto comprimida, e é a relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto, x é a posição da linha neutra, d e A s são a altura útil e a área da armadura passiva, respectivamente. Do equilíbrio dos momentos, chega-se a expressão (2). ( ) ( ) Onde é o acréscimo de momento entre o estado-limite de descompressão e o carregamento na combinação frequente, e d p é a altura útil da armadura ativa. As equações (1) e (2) permitem o cálculo da tensão na armadura passiva de forma interativa para cada posição da linha neutra. A resposta será o par e x que atender simultaneamente as duas equações. O programa desenvolvido calcula o par e x tanto para seções retangulares quanto para seções T, neste último caso as equações de tensões nas armaduras passivas foram desenvolvidas de maneira análoga à apresentada anteriormente para seções retangulares. Determinada a tensão, deve-se calcular o valor característico da abertura de fissuras w k conforme a NBR 6118:2014. Assim, para cada elemento ou grupo de elementos de armaduras passiva e ativa aderente que controla a fissuração, excluídos cabos em bainhas, considera-se uma área da região de envolvimento do concreto, constituída por retângulos com lados à distância máxima de 7,5 ϕ do eixo de cada elemento de armadura, ver Figura 2. (1) (2) Figura 2 Concreto de envolvimento da armadura O valor característico da abertura de fissuras, calculado para cada parte da região de envolvimento, deve ser o menor dos obtidos nas equações (3) e (4). (3) ( ) (4) Em que,, e são definidos para cada área de envolvimento em exame; é a área da região de envolvimento protegida pela barra ; é o módulo de elasticidade do aço da barra considerada; é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; é a taxa de armadura passiva ou ativa aderente, exceto em bainhas, em relação à área da região de envolvimento ; é o acréscimo de tensão entre o estado-limite de descompressão e o carregamento frequente, no centro de

4 gravidade da armadura, calculado no estádio II, considerando toda a armadura ativa; e é o coeficiente de conformação superficial da armadura considerada. Dimensionamento à força cortante NAAMAN (2012) aponta duas vantagens do concreto protendido em relação ao armado, relativas à resistência à força cortante: para mesmo carregamento e condições, o cortante no concreto protendido é menor, devido à angulação da força de protensão que gera uma componente vertical geralmente oposta ao carregamento externo, ver Figura 3; e a redução da tração diagonal devido à compressão induzida pela protensão. O seu ângulo de inclinação em relação ao eixo longitudinal da peça é reduzido. Figura 3 Redução da força cortante no caso de cabo inclinado No valor da força cortante solicitante de cálculo,, deve ser considerado o efeito da força de protensão na sua direção,, com o valor de cálculo correspondente ao tempo t considerado. será dado pela soma dos cortantes de cálculo devido às cargas permanentes e acidentais, com o cortante de cálculo devido à protensão, ver a equação (5), em que são os coeficientes de ponderação. No dimensionamento de vigas, devem ser satisfeitas, simultaneamente, as equações (6) e (7). (5) (6) (7) Em que é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto; é a força cortante resistente de cálculo relativa à ruína por tração diagonal; é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao da treliça; e é a parcela resistida pela armadura transversal. O programa desenvolvido realiza o dimensionamento de vigas protendidas à força cortante pelos modelos de cálculo I e II, apresentados na NBR 6118:2014. Funcionamento geral do programa O programa desenvolvido apresenta tela inicial com uma barra de ferramentas com ícones para entrada de dados e geração de memórias de cálculo, ver Figura 4. Figura 4 Barra de ferramentas da tela inicial

5 Inicialmente, o usuário deve definir a geometria da seção tranversal, que pode ser T ou retangular, o vão da viga e o número de seções de análise. Então, devem ser informadas a resistência característica à compressão do concreto, a resistência à compressão do concreto no momento da protensão e o módulo de elasticidade da armadura ativa, ver Figura 5. Na próxima janela, ver Figura 6, são definidas a classe de agressividade ambiental e o nível de protensão. Para o caso de protensão parcial, deve-se informar a porcentagem do momento permanente a balancear, para o cálculo da área de armadura ativa necessária. Então, o usuário deve definir os carregamentos permanentes e acidentais, distribuídos e ou concentrados. Além disso, deve ser informada a excentricidade e porcentagem estimada de perda para o pré-dimensionamento da força de protensão inicial necessária. Figura 5 Definição das propriedades geométricas da seção e materiais Figura 6 Definição do nível de protensão e cargas O programa calcula a força de protensão inicial necessária e fornece opções para o aço a ser adotado, realizada a escolha, e é calculado o número necessário de fios, cordoalhas ou barras. O usuário deve definir em quantos cabos estes elementos devem ser alojados e definir o perfil dos cabos, ver Figura 7 e 8. Para os níveis de protensão completa e limitada, o programa fornece também o fuso limite para os cabos.

6 Figura 7 Definição da armadura ativa Figura 8 Cálculo das perdas de protensão Em seguida são calculadas as perdas de protensão imediatas e progressivas. O programa calcula a força de protensão ao longo do cabo e tensões nas seções de análise após as perdas, verifica os estados-limites de serviço e último no ato da protensão. Para protensão parcial, nas seções que ultrapassam o estado-limite de formação de fissuras na combinação frequente emite-se um aviso indicando a verificação do estado-limite de abertura das fissuras, que é analisado pelo programa posteriormente. O usuário deve informar a largura da alma, dimensões da mesa, altura útil para as armaduras passiva e ativa, área de armadura dupla e sua altura útil. Então, o programa realiza o dimensionamento no estado-limite último e gera um relatório com a área de aço necessária em cada seção de análise (não é considerada a decalagem), ver Figura 9. Figura 9 Estado-limite último: dados de entrada e relatório Obtida a área de armadura passiva necessária, realiza-se a verificação do estadolimite de abertura das fissuras na seção mais solicitada. Inicialmente, o usuário deve definir o diâmetro da armadura passiva longitudinal e da armadura transversal, bem como o número de ramos dos estribos. A partir destes dados, o programa aloja a armadura longitudinal e indica quantas camadas serão utilizadas e o número de barras por camada, assim é calculada a área da região de envolvimento da armadura. Em seguida, o programa calcula a tensão na armadura passiva, s, e a posição da linha neutra, de maneira que as equações (1) e (2) sejam satisfeitas simultaneamente.

7 Então, é calculado automaticamente o valor da abertura das fissuras, pelas equações (3) e (4). Assim, é verificado o estado-limite de abertura das fissuras, ver Figura 10. Figura 10 Verificação da abertura das fissuras Para o dimensionamento à força cortante, o usuário deve optar pelo modelo de cálculo I ou II, informar o diâmetro da bainha da armadura ativa. É apresentada a opção de redução do cortante solicitante no caso de cargas próximas aos apoios. O programa verifica as diagonais comprimidas de concreto e calcula as armaduras transversais necessárias. O usuário deve arbitrar três faixas de distribuição para os estribos, onde serão automaticamente alojados, conforme escolha do diâmetro, ver Figura 11. Figura 11 Dimensionamento à força cortante

8 Protensão parcial: aplicação numérica CHOLFE e BONILHA (2013) apresentam uma aplicação do dimensionamento de uma viga com protensão parcial e verificação do estado-limite de abertura das fissuras, cujos resultados são comparados com os obtidos pelo programa. Trata-se de uma seção retangular de 0,3m x 1,0m, dimensionada no estado-limite último resultando em A p = 5,6 cm² (4 15,2) e A s = 18,11 cm² (6 20; 18,90 cm²), ver Figura 12. Figura 12 Aplicação numérica: seção transversal Utiliza-se o concreto C30, aço CP190 (E p = MPa; pré = 5,50 ) e CA50 (E s = MPa, e = E s /E c = 15). As solicitações são M g1k = 350 kn.m, M g2k = 227 kn.m, M q1k = 220 kn.m ( 1 = 0,6; 2 = 0,4) e M q2k = 120 kn.m ( 1 = 0,7; 2 = 0,6). Não é indicado o vão da viga nem o carregamento, apenas os momentos fletores solicitantes. Porém, estes não são dados de entrada no programa, que os calcula a partir do peso próprio da estrutura, cargas permanentes, acidentais e vão da viga. Portanto, para utilização da ferramenta, devem ser calculados o vão da viga e carregamentos que resultem nos momentos fletores apresentados. Considerando M g1k = 350 kn.m referente ao peso próprio da estrutura, é calculado o vão da viga, L = 19,322m, e a partir dele, obtém-se as cargas distribuídas g 2 = 4,864 kn/m, q 1 = 4,714 kn/m e q 2 = 2,571 kn/m. A Tabela 1 apresenta a comparação dos resultados obtidos, observa-se que são muito próximos. CHOLFE e BONILHA (2013) arbitram o valor do pré-alongamento dos cabos como 5,5, enquanto o programa calcula este valor em função da força de protensão após as perdas, encontrando o valor 5,789. Ao arbitrar o mesmo valor no programa, são encontrados resultados semelhantes para N p, M, x, s e w k. Tabela 1 Protensão parcial: comparação dos resultados CHOLFE e BONILHA (2013) Programa Área de armadura ativa Ap (cm²) 5,6 5,6 Alojamento da armadura ativa 15,2 Área de armadura passiva necessária As (cm²) 18,11 16,448 Alojamento da armadura passiva 20 (1ª cam) 20 (1ª cam) Momento fletor na combinação frequente Mcf (kn.m) ,98 Pré-alongamento dos cabos pré 0,0055 0, Força de protensão provocada pelo pré-alongamento dos cabos Np (kn) ,35 Acréscimo momento entre ELS-D e carregamento comb frequente (kn.m) 522,25 508,67 Área da região de envolvimento da armadura Acr (cm²) Posição da linha neutra x (cm) 63 68,3 Acréscimo de tensão na armadura passiva s (kn/cm²) 6 4,33 Valor característico da abertura das fissuras wk (mm) 0,013 0,007

9 Dimensionamento à força cortante: aplicação numérica A seguir, apresentam-se os cálculos do dimensionamento à força cortante para a viga exposta anteriormente, para comparação com os resultados obtidos pelo programa. A distribuição dos estribos é realizada em três faixas, a primeira até a coordenada x f1 = x i2 = 6,5 m, a segunda até x f2 = x i3 = 12,822 m e a terceira até o segundo apoio. Para consideração do efeito da armadura ativa, utiliza-se a carga equivalente ao esforço de protensão, q eq, dada pela equação (8), onde L é o vão da viga, P final é a força de protensão após as perdas e e p é a excentricidade do cabo no meio do vão. Então, são calculados os cortantes solicitantes de cálculo máximos para cada faixa, conforme as equações (9) e (10), que satisfazem a expressão (11). ( ) (9) ( ) (10) (11) A força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas é dada por (12), e observa-se que é maior que o cortante solicitante de cálculo máximo. ( ) ( ) (12) O momento fletor de cálculo solicitante máximo é M sd,max = 1283,76 kn.m e o momento fletor que anula p na borda tracionada por M sd, M 0, é dado por (13). ( ) ( ) 362,5 knm (13) A parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao da treliça é dada por (14). ( ) ( ) (14) A área de armadura transversal necessária para a primeira e terceira faixa é obtida da equação (15). Logo, é necessário adotar nas três faixas, a armadura mínima dada por (16), em que é a inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal e s = 100 cm. Portanto, as armaduras transversais podem ser alojadas em 2 ramos de 5 mm c/13. Os resultados dos cálculos e os obtidos pelo programa são semelhantes. (Tabela 2) Tabela 2 Dimensionamento à força cortante: comparação dos resultados Cálculos Programa Carga equivalente ao esforço de protensão (kn/m) -6,179-6,18 Cortante solicitante de cálculo máximos para 1ª e 3ª faixa (kn) 212,03 212,03 Cortante solicitante de cálculo máximos para 2ª faixa (kn) 69,37 69,373 Cortante resistente de cálculo relativa à ruína das diagonais comprimidas (kn) 1466, ,33 Parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao da treliça (kn) 320,9 320,92 Área de armadura transversal necessária para 1ª e 3ª faixa (cm²/m) -2,42-2,42 Área de armadura transversal mínima (cm²/m) 2,9 2,9 (8) (15) (16)

10 Conclusões O programa desenvolvido é capaz de realizar o dimensionamento de vigas protendidas biapoiadas de maneira satisfatória, inclusive para o nível de protensão parcial, verificando o estado-limite de aberturas das fissuras, área ainda pouco explorada pelos programas acadêmicos. A ferramenta também apresenta bons resultados para o dimensionamento à força cortante, além de apresentar interface gráfica com o usuário, o que facilita e amplia sua utilização. A geração de relatórios e memórias de cálculo torna a ferramenta mais didática, possibilitando sua adoção como recurso auxiliar no meio acadêmico a níveis de graduação e pós-graduação. O programa continua em desenvolvimento para a inclusão do cálculo e verificação das flechas, e futuramente pretende-se, ainda, expandi-lo para análise e dimensionamento de vigas hiperestáticas e lajes. Referências ASSIS, W. S.; BITTENCOURT, T. N.; NORONHA, M. Desenvolvimento de recursos multimídia para o ensino de engenharia de estruturas. Instituto Brasileiro do Concreto. São Paulo, ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de Estruturas de Concreto Procedimento. NBR Rio de Janeiro, BPEL 91. Règles techniques de conception et de calcul des ouvrages et reconstructions en béton précontraint suivant la méthode des états limites. Paris, CHOLFE, L.; BONILHA, L. Concreto Protendido: Teoria e prática. São Paulo: PINI, DOMINICINI, W. K.; COELHO, L. H. Desenvolvimento de software educacional para análise e dimensionamento de estruturas em concreto protendido. Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia. Juiz de Fora, EMERICK, A. A. Projeto e Execução de Lajes Protendidas. Rio de Janeiro, Ed. Interciência, KLEIN, R.; LORIGGIO, D. D. Dimensionamento por computador de vigas simplesmente apoiadas de concreto protendido pós tracionadas. Anais do VI Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto. São Paulo, 2006; p LABADAN, R. S. Design of post-tensioned prestressed concrete beam using Excel spreadsheet with Visual Basic Applications. International Journal of Advances in Mechanical and Civil Engineering, v. 3, p , NAAMAN, A. E. Prestressed Concrete Analysis and Design: Fundamentals. 3.Ed. Michigan: Techno Press 3000, NACHT, P. K. K. Ferramenta gráfico-interativa de verificação de tensões no estado limite se serviço de vigas protendidas com pós-tração aderente. Dissertação de Mestrado, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, SILVA, L. M. Programa computacional para análise e verificação de seções de concreto armado e protendido com flexão oblíqua composta. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, VENTRI, D. A. B.; LINDENBERG NETO, H. Utilizando animações para introduzir conceitos fundamentais da mecânica das estruturas. XXIX Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia. Porto Alegre, 2001.