MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Exponenciais e logaritmos Propostas de resolução

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1 MATEMÁTICA A - 1o Ano Funções - Exponenciais e logaritmos Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. Como o ponto P pertence ao gráfico de f, substituindo as suas coordenadas na expressão algébrica da função, temos que. Resposta: Opção C 8 = e a ln 8 = ( e ln ) a 8 = a a = log 8 a = 3.1. Calculando as imagens dos objetos 0 e 10, temos N(0) = e 0,5 0 = , e 5 00 N(10) = e 0,5 10 = 00 39, e,5 Exame 015, Ép. especial E assim, calculando a taxa média de variação da função N no intervalo [10, 0] e apresentando o resultado arredondado às unidades, temos T V M [10,0] = N(0) N(10) , 60 39, , , No contexto da situação descrita, o valor da taxa média de variação significa que entre os anos de 1900 e 000 o número de habitantes, da região do globo em causa, cresceu em média aproximadamente 11 milhões em cada década... Resolvendo em ordem a t, temos: 00 N = e 0,5t e 0,5t = 00 N 50e 0,5t = 00 N 1 50e 0,5t = 00 N N N ( ) 00 N 50e 0,5t = 00 N e 0,5t = 00 N ( ) ln 00 N 50N 0, 5t = ln t = N 50N 50N 0, 5 t = 1 ( ) 00 N 0, 5 ln t = 1 ( ) 00 N ln t = 100 ( ) 00 N 50N 5 50N 5 ln 50N 100 ( ) ( ) 4 ( ) 4 00 N 00 N 50N t = 4 ln t = ln t = ln 50N 50N 00 N Exame 015, Ép. especial Página 1 de 30

2 3. Usando as propriedades dos logaritmos, temos que Resposta: Opção D log a ( a b ) = log a (a ) + log a b = log a a + log b b log b a = = + 3 = 5 Exame 015, a Fase 4. Para x ], 3], f(x) = 1 + xe x, logo, vem que f(x) x > xe x x > 1 xe x x > 0 x(e x ) > 0 Determinando as soluções da equação x(e x ) = 0, temos: x(e x ) = 0 x = 0 e x = 0 x = 0 e x = x = 0 x = ln Estudando a variação do sinal de x(e x ), em ], 3], vem: x 0 ln 3 x e x x(e x ) Assim, como f(x) x > 1 x(e x ) > 0, temos que o conjunto solução de f(x) x > 1 é C.S. =], 0[ ] ln, 3] Exame 015, a Fase 5. Usando as propriedades dos logaritmos, temos que ( ) 3 k log 3 = log 9 3 (3 k ) log 3 9 = k log 3 3 = k Resposta: Opção B Exame 015, 1 a Fase 6. A distância do centro da esfera ao ponto P, no momento em que se inicia o movimento, em centímetros, é P d(0) = 10 + (5 0)e 0,05 0 = 10 + (5)e 0 = = 15 Como, no momento em que se inicia o movimento, o ponto da esfera mais afastado do ponto P está a 16 cm (do ponto P ), o raio da esfera, em centímetros, é r = 16 d(0) = = 1 Pelo que, calculando o volume da esfera em cm 3, e arredondado o resultado às centésimas, temos d(t) 16 V = 4 3 πr3 = 4 3 π 13 = 4π 3 4, 19 Exame 015, 1 a Fase 7. Como 10 = 100 log =, usando as propriedades dos logaritmos, temos que log(100b) = log log b = = 016 Resposta: Opção A Teste Intermédio 1 o ano Página de 30

3 8. Simplificando a condição ln(e x a) 0, como a função logarítmica tem imagens não positivas para x ]0, 1], temos: ln(e x a) 0 0 < e x a 1 e x a > 0 e x a 1 e x > a e x 1 + a x > ln(a) x ln(1 + a) x < ln(a) x ln(1 + a) Assim, S = [ ln(1 + a), ln(a)[ Resposta: Opção B 9. Usando as propriedades dos logaritmos, temos que log a (a 5 3 ) b + a log a b ( = log a a 5 ) + log ( 3 a b + b = 5 + log a b 1 3 Exame 013, Ép. especial ) + b = Resposta: Opção A = log a b + b = b = b = 6 + b 10. Usando as propriedades dos logaritmos, e sabendo que log a b =, temos que 11. Resposta: Opção D log log b a + log a b = a a ( ) log a b + log a b 1 = log a b = = 1 3 = 3 Exame 013, a Fase Teste Intermédio 1 o ano Designando por A o centro do balão A, por B o centro do balão B e por P um ponto com a mesma altura do balão A, situado na perpendicular ao solo em que está o balão B, temos que o triângulo [ABP ] é retângulo em P, e pretendemos calcular AB Assim, temos que AP = 7 e BP = b(5) a(5) Calculado b(5) e a(5), temos b(5) = 6e 0,06 5 0, = 6e 0,3 0, 1 + 6, 345 a(5) = e 0,03 5 0, = e 0,15 0, , 761 E assim, vem que A B P BP = b(5) a(5), m E assim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, vem AB = AP + BP : AB = 7 +, 584 AB = 55, 677 AB = 55, 677 AB 7, 5 m Página 3 de 30

4 11.. Calculando o tempo decorrido entre o instante inicial e o instante em que os centros dos dois balões estavam à mesma distância do solo, em segundos, temos: a(t) = b(t) e 0,03t 0, 0t + 3 = 6e 0,06t 0, 0t + e 0,03t + 3 = 6e 0,06t + e 0,03t 6e 0,06t + 3 = 0 e 0,03t 6e ( 0,03t) + 1 = 0 e 0,03t 6 ( e 0,03t) + 1 = 0 6 ( e 0,03t ) + e 0,03t + 1 = 0 Fazendo a substituição de variável y = e 0,03t, e usando a fórmula resolvente, vem: 6y + y + 1 = 0 y = 1 ± (1) 4( 6)(1) ( 6) Como y = e 0,03t, temos que: y = 1 ± 5 1 y = 1 ± y = 6 1 y = 4 1 y = 1 y = 1 3 y = 1 ± 5 1 E como a equação e 0,03t = 1 3 e 0,03t = 1 0, 03t = ln ( 1 e 0,03t = 1 e 0,03t = 1 3 é impossível, podemos determinar única solução da equação: ) t = ln 1 ln 0, 03 Assim, arredondado o resultado às unidades, temos t 3 s t = 0 ln 0, 03 t = ln 0, Como log a c = 3 loga (c) 1 1 = 3 log a c = 3 log a c = 6 e log a b = c, usando as propriedades dos logaritmos, temos que Teste Intermédio 1 o ano log a b c = loga (b c) 1 1 = log a(b c) = 1 (log a b + log a c) = 1 c + 6 (c + 6) = = c + 3 Resposta: Opção C 13. Resolvendo a equação f(x) = 0, temos que e x 4e x + 4 e Exame 01, Ép. especial = 0 e e x e 4e x + 4 e = 0 e e x e 4e x + 4 e = 0 ex e 4e x + 4 e = 0 ex e 4e x + 4 e = 0 ex 4e x 4 e = 0 ex 4e x 4 = 0 e 0 e x 4 1 e x 4 = 0 ex e x e x 4 e x 4ex e x = 0 e x 0 (ex ) 4e x 4 = 0 Fazendo a substituição de variável y = e x, e usando a fórmula resolvente, vem: y 4y 4 = 0 y = 4 ± ( 4) 4(1)( 4) Como y = e x, temos que: y = 4 ± 4 y = 4 ± y = + y = e x = + e x = y = 4 ± 3 E como < 0, a equação e x = é impossível, pelo que podemos determinar o valor do único zero da função f: e x = + x = ln( + ) Exame 01, 1 a Fase Página 4 de 30

5 14. Usando as propriedades dos logaritmos, e como b = a π log a b = π, temos que 15. log a ( a 1 b 100) = log a ( a 1 ) +log a ( b 100 ) = 1 log a (a)+100 log a (b) = π = 1+100π 36 Resposta: Opção B Como f(x) = + log 3 x, então Teste Intermédio 1 o ano f(x) 4 + log 3 (x 8) + log 3 x 4 + log 3 (x 8) log 3 x 4 + log 3 (x 8) log 3 x + log 3 (x 8) log 3 x log log 3 (x 8) log 3 x log 3 ( 9 (x 8) ) x 9 (x 8) x 9x 7 x 9x 7 8x 7 8x 7 x 9 Mas como log 3 (x) só está definido para x > 0, então a expressão + log 3 x 4 + log 3 (x 8) só está definida se x > 0 x 8 > 0, ou seja, se x > 0 x > 8 Pelo que a condição f(x) 4 + log 3 (x 8) é verdadeira para os valores de x tais que x 9 x > 8, ou seja, no intervalo ], 9] ]8, + [=]8, 9] 15.. Calculando o valor de f( ) f( ), temos que f( ) f( ( ) = + log ) ( ( + log ) ) = log 3 (36) 1000 log 3 (4) = ( ) 36 = 1000 log 3 (36) 1000 log 3 (4) = 1000 log 3 (36) log 3 (4) = 1000 log 3 4 = = 1000 log 3 9 = 1000 = 000 Teste Intermédio 1 o ano Calculando o número de frangos infetados no instante em que o vírus foi detetado (x = 0), temos: f(0) = = ,1(0) = = = 00 5 = 8 O número de dias passados, em que o número de frangos infetados era dez vezes maior (10 8 = 80), é a solução da equação f(x) = 80: f(x) = = ,1x 80 = ,1x, 5 1 = 3 3 0,1x 1, 5 3 = 3 0,1x 0, 5 = 3 0,1x 1 log 0, 5 = 3 0, 1x log = 3 0, 1x log 1 = 3 0, 1x 1 3 = 0, 1x 4 = 1 10 x 40 = x Ou seja, desde que o vírus foi detetado, até que o número de frangos infetados fosse dez vezes maior, passaram 40 dias. Teste Intermédio 1 o ano Página 5 de 30

6 Sabendo que M = 7, 1, podemos calcular a energia sísmica irradiada, substituindo o valor dado em M = 3 log 10(E), 9 : 7, 1 = 3 log 10(E), 9 (7, 1 +, 9) 3 = log 10 (E) log 10 (E) = 15 E = Como a relação entre o momento sísmico e a energia libertada é E = M 0 1, , substituindo o valor de E nesta expressão, vem: = M 0 1, , = M 0 M 0 = 0, Sabemos que M 1 M = 3. M 0 = 6, M 0 = 6, Sejam E 1 a energia sísmica irradiada pelo sismo de magnitude M 1 e E a energia sísmica irradiada pelo sismo de magnitude M. Assim, temos que M 1 = 3 log 10(E 1 ), 9 e M = 3 log 10(E ), 9, pelo que M 1 M = ( ) 3 log 10(E 1 ), 9 3 log 10(E ), 9 Logo: 3 log 10(E 1 ), 9 ( ) 3 log 10(E ), 9 = 3 3 log 10(E 1 ), 9 3 log 10(E ) +, 9 = 3 3 log 10(E 1 ) 3 log 10(E ) = 3 ( ) log 3 10 (E 1 ) log 10 (E ) = 3 log 10(E 1 ) log 10 (E ) = 1 ( ) E1 log 10 = 1 E 1 = 10 1 E 1 = 10 E E E Assim, a energia sísmica irradiada pelo sismo de magnitude M 1 é dez vezes superior à energia sísmica irradiada pelo sismo de magnitude M. Exame 011, Prova especial 18. Como a máquina agrícola funcionou durante 0 minutos e, nesse período de tempo, consumiu litros de combustível, logo a quantidade de combustível que existia no depósito no momento inicial era a quantidade medida ao fim de 0 minutos acrescida dos litros consumidos, ou seja, Logo, determinando o valor de k, temos que Q(0) = Q(0) + Q(0) Q(0) = Q(0) Q(0) = 1 + log 3 (81 k 0 ) ( 1 + log 3 (81 k 0 ) ) = 1 + log 3 (81 0) 1 log 3 (81 400k) = log 3 (81) log 3 (81 400k) = 4 log 3 (81 400k) = log 3 (81 400k) = 4 log 3 (81 400k) = 3 = k 400k = 81 3 k = k = 9 50 Exame 011, Ép. especial Página 6 de 30

7 Começamos por calcular o número de nenúfares, às zero horas do dia 1 de Março de 010, no lago A, ou seja, aos zero dias: N A (0) = e 0, 0 = e 0 = = 10 8 = 15 Calculando o número aproximado de nenúfares, no lago A, 7 dias depois, temos: N A (7) = e 0, 7 = 10 44, e 1,4 Assim temos que o aumento do número de nenúfares, no lago A, nos primeiros 7 dias, arredondado às unidades é N A (7) N A (0) 44, nenúfares 19.. O número de dias necessários, após as zero horas do dia 1 de Março de 010, para que o número de nenúfares existentes no lago A seja igual ao número de nenúfares existentes no lago B é a solução da equação N A (t) = N B (t): N A (t) = N B (t) e 0,t = e 0,4t 10 ( e 0,4t) = 150 ( e 0,t) e 0,4t = e 0,t 6000 e 0,4t 1050 e 0,t = ( e 0,t) 1050 e 0,t 30 = 0 Fazendo a substituição de variável y = e 0,t, e usando a fórmula resolvente, vem: 6000y 1050y 30 = 0 y = 1050 ± ( 1050) 4(6000)( 30) (6000) y = 1050 ± Como y = e 0,t, temos que: E como a equação e 0,t = 1 40 e 0,t = 1 5 0, t = ln ( 1 5 y = 1 40 y = 1 5 e 0,t = 1 40 e 0,t = 1 5 é impossível, podemos determinar única solução da equação: ) t = ln 1 ln 5 0, Assim, arredondando o resultado às unidades, temos t 8 dias t = 0 ln 5 0, t = ln 5 0, Exame 011, a Fase Página 7 de 30

8 0. Resolvendo a equação f(x) x = ex, no intervalo [1, + [, temos que 3 f(x) x = ex 3 xe x + x x = e x 3 x(e x + ) x = e x 3 x>1 e x + = e x 3 1 e x ex = 0 1 e x ex = 0 1 e x ex = 0 3 3e x 3ex e x 3e x + 8ex 3e x = 0 3 3(e x ) + 8e x = 0 3(e x ) + 8e x + 3 = 0 Fazendo a substituição de variável y = e x, e usando a fórmula resolvente, vem: 3e x 0 3y + 8y + 3 = 0 y = 8 ± 8 4( 3)(3) ( 3) y = 8 ± y = 8 ± Como y = e x, temos que: y = 8 ± 10 6 y = 6 y = 18 6 e x = 1 e x = 3 x = ln 3 }{{ 3 } Eq. Imp. Assim, a única solução da equação, em [1, + [, é ln 3 y = 1 3 y = 3 Teste Intermédio 1 o ano Como o ponto P pertence ao gráfico da função f e tem ordenada 1, então podemos calcular a sua abcissa recorrendo à expressão algébrica da função f: Resposta: Opção C. Resolvendo a inequação, temos f(x) = 1 log 9(x) = 1 x = 9 1 x = 9 x = 3 Teste Intermédio 1 o ano log 3 (7x + 6) + log 3 (x) log 3 (7x + 6) log log 3 (x) log 3 (7x + 6) log 3 (9 x) 7x + 6 9x 7x 9x 6 x 6 x 6 x 6 x 3 Mas como log 3 (x) só está definido para x > 0, então a expressão log 3 (7x+6) +log 3 (x) só está definida se x > 0 7x + 6 > 0, ou seja, se x > 0 x > 6, ou mais simplesmente, se x > 0 7 Pelo que a condição é verdadeira log 3 (7x + 6) + log 3 (x) para os valores de x tais que x 3 x > 0, ou seja, no intervalo ], 3] ]0, + [=]0, 3] Teste Intermédio 1 o ano Página 8 de 30

9 Como k = 1 e p = 1, o número, em milhares, de pessoas que estavam infetadas com a doença, nesta região, t anos após o início de 1960 é t 3e 1 t I(t) = e = 3e 1 t 1 + e t E o ano em que o número de pessoas infetadas, nesta região atingiu os 500, ou seja, os,5 milhares é a solução da equação I(t) =, 5 Assim, resolvendo a equação, temos 3e t I(t) =, 5 3e t 1 + e t ) =, 5 3e t =, 5 (1 + e t 1+e t >0 3e t =, 5 +, 5e t t t t, 5, 5e =, 5 0, 5e =, 5 e = 0, 5 e t t = 5 = ln 5 t = ln 5 Logo, como ln 5 3, 19 e , , temos que o número de pessoas infetadas, nesta região, atingiu os 500 no ano de Como, nesta região, em 1961, ou seja 1 ano após o início de 1960 (t = 1), se constatou que havia um milhar de pessoas infetadas (I = 1), então temos que I(1) = 1 Logo, substituindo na expressão da função I, resolvendo em ordem a k e escrevendo o resultado na forma k = ln(a + pb), vem que I(1) = 1 1 = 3ek 1 3ek 1 = 1 + pek pe k 1 + pe k = 3e k 1 = 3e k pe k 1+pe k 0 1 = e k (3 p) 1 ( ) 1 3 p = ek k = ln k = ln 1 ln (3 p) 3 p k = 0 ln (3 p) k = ln (3 p) Teste Intermédio 1 o ano Resolvendo a equação, temos: Resposta: Opção C f(x) = ln( 3x) = 3x = e x = e 3 x = 1 3 e Exame 010, Ép. especial Página 9 de 30

10 5. Temos que h( 4) = ln ( ( 4) + 1 ) = ln(16 + 1) = ln(17) Assim, resolvendo a inequação, em ], 0], temos : y 16 x h(x) > h( 4) ln ( x + 1 ) > ln(17) x + 1 > 17 x > 17 1 x > 16 x < 4 x > 4 4 O 4 x Como o domínio de valência da inequação é ], 0], o conjunto solução é ( ) ], 0] ], 4[ ]4, + [ =], 4[ Exame 010, Ép. especial 6. Como o ponto B é o ponto de intersecção do gráfico da função g com o eixo das abcissas, podemos determinar a sua abcissa, calculando o zero da função g: y 5 A g(x) = 0 ln(x + ) = 0 x + = e 0 x = 1 x = 1 E assim, considerando o lado [OB] do triângulo como a base, a altura será a ordenada do ponto A, (independentemente da sua abcissa), pelo que a área do triângulo é: A [OAB] = OB y A = x B y A = 1 5 = 5 B base O altura g x Resposta: Opção A Exame 010, 1 a Fase Aplicando as regras operatórias dos logaritmos, vem que, para qualquer valor de t [0, 5]: N(t) = 8 log 4 (3t + 1) 3 8 log 4 (3t + 1) = 8 3 log 4 (3t + 1) 8 log 4 (3t + 1) = = 4 log 4 (3t + 1) 8 log 4 (3t + 1) = 16 log 4 (3t + 1) 7.. Como N(t) é o número de bilhetes vendidos, em centenas, t horas após o início da venda, e 400 bilhetes são 4 centenas de bilhetes, o tempo necessário para vender 400 bilhetes é a solução da equação N(t) = 4: N(t) = 4 16 log 4 (3t + 1) = 4 log 4 (3t + 1) = 4 16 log 4(3t + 1) = 3 3t + 1 = 4 3 3t + 1 = 4 3 3t + 1 = 64 3t + 1 = 8 3t = 8 1 t = 7 3 Escrevendo o resultado em horas e minutos, temos que t = 7 3 = + 1 3, e como 1 de hora são 0 3 minutos, temos que serão necessárias horas e 0 minutos para que sejam vendidos 400 bilhetes. Exame 010, 1 a Fase Página 10 de 30

11 8. Os zeros da função g são as soluções da equação g(x) = 0, que pertencem ao domínio de g Assim, temos que: g(x) = 0 x + ln (f(x) 3) = 0 x + ln ( 3 + 4x e x 3 ) = 0 x + ln ( 4x e x) = 0 x + ln ( 4x ) + ln ( e x) = 0 x + ln ( 4x ) + ( x) = 0 ln ( 4x ) = 0 4x = e 0 4x = 1 x = x = ± 4 x = 1 x = 1 { Como o domínio da função g é R \ {0}, então o conjunto dos zeros da função é 1, 1 } Teste Intermédio 1 o ano Usando as propriedades dos logaritmos, temos que: ( ) ( log 5 = log ) ( log 5 5 = 1000 log 5 5 ) = 1000 = Resposta: Opção D Supondo que k = 10, temos que: f(t) = 10 3 e 0,13t Teste Intermédio 1 o ano Assim, como f(t) é o número de coelhos, em milhares, t semanas após a deteção da doença, a solução da equação f(t) = 9 é o número t de semanas após a deteção da doença em que existiam 9 milhares de coelhos. Resolvendo a equação temos que: f(t) = 9 = 9 3 e 0,13t 9 = 3 e 0,13t e 0,13t = e 0,13t = ( ) 17 e 0,13t = 17 9 e 0,13t = 17 ( ) ln , 13t = ln t = , 13 ( ) 17 ln 18 Logo, o número de coelhos existentes na região é igual a 9000 ao fim de 0, 4397 semanas. 0, 13 Como cada semana tem 7 dias, o número de coelhos existentes na região é igual a 9000 ao fim de 0, dias. Página 11 de 30

12 30.. O número de coelhos no início da primeira semana (t = 0), é dado por f(0) e no final da primeira semana (t = 1) é dado por f(1) Como durante a primeira semana, morreram dois mil coelhos ( milhares) e não nasceu nenhum, sabemos que f(1) = f(0) Como k f(0) = 3 e 0,13 0 = k 3 1 = k 1 = k k f(1) = 3 e 0,13 1 = k 3 e 0,13 Assim, resolvendo a equação para determinar o valor k, vem: f(1) = f(0) Considerando a aproximação 3 e 0,13 1, 438 vem: k 3 e 0,13 = k k = k k = 1, 438k 1, 438, 4876 = k(1, 438 1) 1, 438, 4876 = k(1, 438 1) Arredondando o valor de k às décimas, temos que k 10,, , 438 = k 31. Temos que: b = a a = b a = b 1 a>1 Assim, usando as propriedades dos logaritmos, vem que: ) 1 + log b a = 1 + log b (b 1 = = + 1 = 3 Resposta: Opção D Teste Intermédio 1 o ano Exame 009, Ép. especial 3. Como a abcissa do ponto P é positiva, porque este se deslocar sobre o semieixo positivo das abcissas, então podemos considerar a base do triângulo o lado [OP ] e a sua medida é a abcissa do ponto P, pelo que OP = x Como relativamente à base [OP ], a altura é o lado [P A], e a medida da altura é a ordenada do ponto A, temos que P A = f(x) = e x Assim, a área do triângulo [OAP ] em função de x (abcissa do ponto P ) é: Resposta: Opção B A [OAP ] = OP P A = x f(x) = x.ex Exame 009, Ép. especial Como M 1 = 0, 67 log E 1 3, 5 e M = 0, 67 log E 3, 5, temos que M 1 M = 1 0, 67 log E 1 3, 5 (0, 67 log E 3, 5) = 1 0, 67 log E 1 3, 5 0, 67 log E + 3, 5 = 1 0, 67 log E 1 0, 67 log E = 1 0, 67(log E 1 log E ) = 1 log E 1 log E = 1 0, 67 log E 1 = 1 E 0, 67 E 1 = ,67 E E assim temos que E 1 E 31 Página 1 de 30

13 33.. Como o sismo teve magnitude 4,7, na escala de Richter, vem que M = 4, 7 E assim, substituindo o valor de M na expressão M = 0, 67 log E 3, 5, e calculando o valor de E, vem: 4, 7 = 0, 67 log E 3, 5 4, 7 + 3, 5 = 0, 67 log E 7, 95 7,95 log E E = 10 0,67 0, 67 Assim, a energia libertada nesse sismo, em notação científica, foi de, aproximadamente joules Exame 009, Ép. especial 34. Calculando as imagens das abcissas dos pontos indicados em cada uma das opções pela função f, temos: f( 1) = e 1+1 = e 0 = 1 f(ln ) = e ln +1 = e ln e 1 = e = e f(ln 5) = e ln 5+1 = e ln 5 e 1 = e = 5e f( ) = e +1 = e 1 = 1 e Pelo que podemos verificar que, de entre os pontos apresentados, o ponto de coordenadas (ln, e) é o único que pertence ao gráfico de f Resposta: Opção B Exame 009, a Fase 35. Calculando a área afetada quando a doença foi detetada (t = 0), e a área afetada uma semana depois (t = 1), temos: A(0) = ln(0 + 1) = = A(1) = ln(1 + 1) = ln() Assim, o aumento da área afetada registado na primeira semana, em hectares, arredondado às centésimas é de A(1) A(0) = ln() = 5 ln() 1, 47 ha 36. Usando as propriedades das potências e dos logaritmos, temos que: Resposta: Opção C e 4 ln x 10 log x = e ln x4 10 log x = x 4 x Exame 009, a Fase Exame 009, 1 a Fase 37. Como os domínios de f e g são, respetivamente ]1, + [ e ], [, então a condição f(x) 1 + h(x) está definida em ]1, + [ ], [=]1, [ Assim, vem que: f(x) 1 + h(x) log (x 1) 1 + log ( x) log (x 1) log + log ( x) (como log x é crescente no seu domínio) log (x 1) log ( ( x)) log (x 1) log (4 x) x 1 4 x x + x x 5 x 5 3 Como f(x) 1 + h(x) está definida em ]1, [, o conjunto solução é [ [ [ [ 5 5 3, + ]1, [ = 3, Exame 009, 1 a Fase Página 13 de 30

14 38. Usando as propriedades dos logaritmos temos que: log a x = log a y log a x = log a a + log a y 5 log a x = log a ( a y 5 ) x = ay 5 Resposta: Opção A Teste Intermédio 1 o ano Como x 1 > 0 x > 1 13 x > 0 x > 13 x < 13 Então os valores de x para os quais a inequação está definida são: ]1, + [ ], 13[=]1, 13[ E, resolvendo a inequação, vem que: log (x 1) + log (13 x) 5 log ( (x 1) (13 x) ) log 5 (como log x é crescente no seu domínio) (x 1) (13 x) 5 13x x 13+x 3 x +14x x +14x 45 0 (x 5)(x 9) 0 x 5 x 9 Cálculos auxiliares: y x + 14x 45 = 0 x = 14 ± 14 4( 1)( 45) ( 1) x = 14 ± 16 x = x = 14 4 O 5 9 x x = 5 x = 9 Como a inequação está definida para x ]1, 13[, representando a interseção dos conjuntos, temos: E assim, o conjunto solução da inequação é ]1, 5] [9, 13[ Teste Intermédio 1 o ano Página 14 de 30

15 Escrevendo os dados apresentados com recurso à função descrita, temos que: A massa de carbono-14 presente no fóssil, mil anos depois de um certo instante inicial, era de, 91g, significa que m(1) =, 91 A massa de carbono-14 presente no fóssil, dois mil anos depois do mesmo instante inicial, era de, 58g, significa que m() =, 58 Assim, temos que: ae b 1 =, 91 e que ae b =, 58 Como o valor de a é o mesmo (porque é a massa da substância no referido instante inicial), então como:, 91, 58 a = e b e como a = e b Calculando o valor de b e arredondando o resultado às centésimas, vem que:, 91, 58 e b = e b ( ) eb, 58 = eb, 91, 58 eb b =, 91, 58, 58 eb =, 91 b = ln, 91 b 0, 1 Utilizando o valor de b para determinar o valor de a, ou seja, a massa de carbono-14 que existia no fóssil, no referido instante inicial, e arredondando o resultado final às centésimas, temos: m(1) =, 91 ae b =, 91 ae 0,10, 91 a 0, 887, 91 a, 91 0, 887 a 3, 8 g 40.. Considerando b = 0, 43 temos que: m(t + 1, 6) m(t) = ae 0,43(t+1,6) ae 0,43t = e 0,43(t+1,6) e 0,43t = e 0,43(t+1,6) ( 0,43t) = e 0,43t 0,688+0,43t = e 0,688 Assim, temos que m(t + 1, 6) m(t) é constante e o valor dessa constante, arredondado às décimas, é e 0,688 0, 5 E assim temos que: m(t + 1, 6) m(t) 0, 5 m(t + 1, 6) 0, 5 m(t) o que significa que a passagem de 1,6 milhares de anos, ou seja, 1600 anos, implica uma diminuição da massa de radio-66 para metade. Teste Intermédio 1 o ano Usando as propriedades dos logaritmos temos que: x. ln (e e ) = x.e ln e = x.e 1 = ex Resposta: Opção A Exame 008, Ép. especial Página 15 de 30

16 4. Equacionado o problema e resolvendo a equação, vem: T (t) = e 0,05t = 60 48e 0,05t = 60 5 e 0,05t = , 05t = ln 35 ln 48 t = 48 t 6, , 05 Assim temos que o tempo corresponde a 6,3171 minutos, aproximadamente. E como cada minuto tem 60 segundos, fazendo a conversão de 0,3171 minutos para segundos, vem 0, = 19, s Pelo que se concluí que demorou 6 minutos e 19 segundos, após o início do arrefecimento, para que a temperatura da água atingisse os 36 o Celsius. Exame 008, Ép. especial 43. Como o ponto P (1, 3) pertence ao gráfico da função, substituindo as coordenadas na expressão algébrica da função, e resolvendo a equação, podemos determinar o valor de a: Resposta: Opção A 3 = a = a 4 = a a = log 4 a = Exame 008, a Fase 44. Determinando a massa inicial da amostra da substância radioativa, ou seja a massa ao fim de zero horas (t = 0), vem que: M(0) = 15 e 0,0 0 = 15 e 0 = 15 1 = 15 Assim, equacionado o problema e resolvendo a equação vem: M(t) = e 0,0t = 15 e 0,0t = e 0,0t = 1 0, 0t = ln 1 ln 1 t = t 34, 657 0, 0 Assim temos que o tempo corresponde a 34,657 horas, aproximadamente. E como cada hora tem 60 minutos, fazendo a conversão de 0,657 horas para minutos, vem 0, = 39, min Pelo que se concluí ao fim de 34 horas e 39 minutos a massa inicial da amostra da substância radioativa se reduz a metade. 45. Usando as propriedades dos logaritmos temos que: ) log a (a 1 3 = 1 3 log a a = 3 log a a = 3 1 = 3 Resposta: Opção D 46. Equacionado o problema e resolvendo a equação, vem: N(t) = 1000 Exame 008, a Fase Exame 008, 1 a Fase = e 0,01t 1000 = 1+199e 0,01t 1 = 199e 0,01t = e 0,01t 1 0, 01t = ln 1 ln 199 t = 199 t 59, 330 0, 01 Assim, podemos observar que ao fim de 59 dias ainda a associação ainda não contava com 1000 associados e que este número foi atingido durante o 530 o dia. Exame 008, 1 a Fase Página 16 de 30

17 47. Usando as propriedades dos logaritmos temos que: 48. Resposta: Opção C log a 3 + log a 5 = log a 3 + log a ( 5 ) = log a ( 3 5 ) = log a (3 5) = log a Supondo que foram introduzidos 100 peixes no lago, temos que: f(0) = = 100 = ke 0, ke0 1 + k 1 Teste Intermédio 1 o ano = = 100 (1 + k) 000 = k = 100k = k 19 = k 48.. O número de anos que decorre até que o número de peixes no lago atinge o meio milhar (500), é a solução da equação f(t) = 500 Assim, considerando k = 4, resolvendo a equação e apresentando o resultado arredondado às unidades, temos que: 000 f(t) = e 0,13t = = 500 ( 1 + 4e 0,13t) 000 = e 0,13t = 1000e 0,13t = e 0,13t 1 ( ) 1 8 = e 0,13t 0, 13t = ln 8 0, 13t = ln 1 ln 8 0, 13t = ln 8 t = ln 8 0, 13 t = ln 8 0, 13 t Usando as propriedades dos logaritmos, vem que: 50. Resposta: Opção C Teste Intermédio 1 o ano log 5 (x) = π 1 x = 5 π 1 5 x = 5 5 π 1 5x = 5 1+π 1 5x = 5 π Teste Intermédio 1 o ano Como o número de indivíduos que existiam no instante inicial é a, então r vezes o número de indivíduos que existiam no instante inicial é r a Por outro lado a população de indivíduos ao fim de n dias é P (n) = ae kn Assim, temos que: r a = ae kn r = aekn a r = e kn kn = ln(r) k = ln(r) n 50.. Como no instante inicial em cada colónia foram colocadas 500 bactérias temos que a = 500, e decorrido exatamente um dia, a estirpe A estava reduzida a 50 indivíduos, pelo que P (1) = 50 Assim, resolvendo a equação podemos calcular o valor de k A, com quatro casas decimais: P (1) = e k A 1 = 50 e k A = ek A = 1 k A = ln ( 1 ) k A 0, 6931 Relativamente à estirpe B, como após seis dias a população era de 1000 indivíduos, temos que P (6) = 1000 Assim, resolvendo a equação podemos calcular o valor de k B, com quatro casas decimais: P (6) = e k B 6 = 1000 e 6k B = e6k B = 6k B = ln() k B = ln() 6 k B 0, 1155 Teste Intermédio 1 o ano Página 17 de 30

18 51. As abcissas dos pontos de interseção do gráfico de f com o eixo Ox são as soluções da equação f(x) = 0. Resolvendo a equação, temos que: f(x) = 0 1 ln ( x ) = 0 1 = ln ( x ) x = e 1 x = e x = ± e Assim, temos que as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de f com o eixo Ox são: ( e, 0 ) e ( e, 0 ) Exame 007, a Fase 5. Resolvendo a inequação temos que: ( ) ln(x) ln e 1 3 ( ) > 0 ln(x) > ln e 1 3 x > e 1 3 x > 3 e Como 3 e 1, 4, temos que, de entre as opções apresentadas, o único valor possível para x é Resposta: Opção D Exame 007, 1 a fase 53. Calculando a intensidade da luz solar à superfície da água, ou seja a zero metros de profundidade temos: I(0) = ae b 0 = ae 0 = a 1 = a Como a 0 metros de profundidade, a intensidade da luz solar era metade da sua intensidade à superfície da água, temos que I(0) = I(0) Resolvendo a equação, e apresentando o resultado arredondado às centésimas, vem que: ( ) 1 I(0) = I(0) ae b 0 = a e 0b = a a a 0 e 0b = 1 ( ) ln 1 0b = ln b = b 0, Resolvendo a inequação, temos que: (1) e x > 0, x R e x > 1 e 1 e x > 1 e (1) e > ex e 1 > e x () 1 > x x < 1 () e x é crescente no seu domínio Escrevendo as soluções na forma de intervalo de números reais temos: ], 1[ Resposta: Opção B 55. Usando as propriedades dos logaritmos, vem que: Exame 007, 1 a Fase Teste Intermédio 1 o ano ( log a a 3 a ) = log a a + log ) 3 a a = 1 + log a (a 1 3 = log a a = = = 4 3 Resposta: Opção B Teste Intermédio 1 o ano Página 18 de 30

19 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXX EM CONSTRUÇÃO XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 56. A acidez de uma solução é medida pelo valor do seu ph, que é dado por ph = log(x) onde x designa a concentração de iões H 3 O +, medida em mol/dm 3. Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes: Admita que o ph do sangue arterial humano é 7,4. Qual é a concentração (em mol/dm 3 ) de iões H 3 O +, no sangue arterial humano? Escreva o resultado em notação científica, isto é, na forma a 10 b, com b inteiro e a entre 1 e 10. Apresente o valor de a arredondado às unidades A concentração de iões H 3 O + no café é tripla da concentração de iões H 3 O + no leite. Qual é a diferença entre o ph do leite e o ph do café? Apresente o resultado arredondado às décimas. Sugestão: comece por designar por l a concentração de iões H 3 O + no leite e por exprimir, em função de l, a concentração de iões H 3 O + no café. Teste Intermédio 1 o ano Seja c um número real maior do que 1. Na figura ao lado está representada uma parte do gráfico da função f, de domínio R, definida por f(x) = e x c. Tal como a figura sugere A é o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo Ox B é o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo Oy Mostre que: Se o declive da reta AB é c 1, então c = e 58. Sejam a e b dois números reais positivos. Na figura ao lado está parte do gráfico de uma função f, de domínio R, definida por f(x) = a x + b. Tal como a figura sugere, os pontos (0, ) e (1, 3) pertencem ao gráfico de f. Quais são os valores de a e de b? (A) a = e b = 1 (B) a = e b = 3 (C) a = 3 e b = (D) a = 3 e b = Seja h a função, de domínio R, definida por h(x) = ln ( e x) (ln designa logaritmo de base e) Qual das seguintes expressões pode também definir h? Teste Intermédio 1 o ano Exame 006, a Fase (A) x (B) x (C) x 4 (D) x Página 19 de 30

20 Exame 006, 1 a fase 60. Na figura ao lado estão representados: parte do gráfico da função f, de domínio R, definida por f(x) = e x um triângulo isósceles [OP Q], ( P O = P Q ) em que: O é a origem do referencial; P é um ponto do gráfico de f; Q pertence ao eixo das abcissas. Considere que o ponto P se desloca no primeiro quadrante (eixos não incluídos), ao longo do gráfico de f. O ponto Q acompanha o movimento do ponto P, deslocando-se ao longo do eixo das abcissas, de tal modo que P O permanece sempre igual a P Q. Seja A a função, de domínio R +, que faz corresponder, à abcissa x do ponto P, a área do triângulo [OP Q]. Mostre que, para cada x R +, se tem A(x) = xe x Exame 006, 1 a fase 61. Indique o número real que é solução da equação e x = 1 e (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 6. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação log 3 (1 x) 1 (A) [, 1[ (B) [ 1, [ (C) ], ] (D) [, + [ 63. Na figura abaixo estão representadas, em referencial o. n. xoy: parte do gráfico da função f, de domínio R, definida por f(x) = e x Teste Intermédio 1 o ano Teste Intermédio 1 o ano parte do gráfico da função g, de domínio R, definida por g(x) = ln x (ln designa logaritmo de base e) O ponto A é o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo Oy e o ponto B é o ponto de interseção do gráfico de g com o eixo Ox. Na figura está também representado um triângulo [CDE]. O ponto C pertence ao eixo Oy, o ponto D pertence ao gráfico de f e o ponto E pertence ao gráfico de g. Sabe-se ainda que: Página 0 de 30

21 a reta [BD] é paralela ao eixo Oy e a reta [CE] é paralela ao eixo Ox AC = OA Qual é a área do triângulo [CDE]? (A) (e 1) ln (B) (e 1) ln (C) e(e ) (D) e (e ) Teste Intermédio 1 o ano Um estudo de mercado, encomendado por uma empresa de venda de produtos alimentares, concluiu que a quantidade de azeite Azeitona do Campo, vendida num mês por essa empresa, depende do preço de venda ao público, de acordo com a função V (x) = e 14 x sendo x o preço de venda ao público, em euros, de 1 litro desse azeite e V (x) a quantidade vendida num mês (medida em litros). A empresa tem um conjunto de despesas (compra ao produtor, empacotamento, publicidade, transportes, etc.) com a compra e a venda do azeite. Sabendo que cada litro de azeite vendido acarreta à empresa uma despesa total de 3 euros, justifique que o lucro mensal da empresa (em euros), resultante da venda do azeite, é dado por L(x) = (x 3)e 14 x Teste Intermédio 1 o ano Considere a função f, de domínio ]0, + [, definida por f(x) = 1 ln x ( ) x 1 Sem recorrer à calculadora, mostre que f = ln ( 4e ) (ln designa logaritmo de base e). Teste Intermédio 1 o ano Com o objectivo de estudar as leis do aquecimento e do arrefecimento, realizou-se, num laboratório de Física, a seguinte experiência: aqueceu-se ao lume uma certa quantidade de água, durante cinco minutos; passado este tempo, apagou-se o lume e deixou-se a água a arrefecer. A temperatura da água foi sendo medida, ao longo do decorrer da experiência. Admita que: neste laboratório, a temperatura ambiente é constante; a temperatura da água, no instante em que começou a ser aquecida, era igual à temperatura ambiente; depois de se ter apagado o lume, a temperatura da água tende, com o passar do tempo, a igualar a temperatura ambiente. Em resultado da experiência, concluiu-se que a relação entre a temperatura da água e o tempo t, contado em minutos, a partir do instante em que se colocou a água ao lume, é modelada por uma, e uma só, das quatro funções a, b, c e d, definidas a seguir: 4 t se 0 t 5 1(t + ) se 0 t 5 a(t) = b(t) = 4 10e 0,04(t 5) se t > e 0,04(t 5) se t > 5 14(t + 1) se 0 t 5 c(t) = e 0,04(t 5) se t > 5 1(t + ) se 0 t 5 d(t) = e 0,04(t 5) se t > 5 Qual das quatro funções é a correta? Numa pequena composição, explique porque não pode ser nenhuma das outras três, indicando, para cada uma delas, uma razão pela qual a rejeita, explicando a sua inadequação, relativamente à situação descrita. Teste Intermédio 1 o ano Página 1 de 30

22 67. O tempo t, medido em anos, que um planeta demora a realizar uma translação completa, em torno do Sol, está relacionado com a distância média, d, desse planeta ao Sol, medida em milhões de quilómetros, por meio da fórmula ln(t) = k + 3 ln(d) (k é uma constante real e ln designa o logaritmo de base e) Sem utilizar a calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes: Sabe-se que: a distância média de Urano ao Sol é (aproximadamente) o dobro da distância média de Saturno ao Sol; o planeta Urano demora (aproximadamente) 84 anos a realizar uma translação completa em torno do Sol. Determine quanto tempo demora o planeta Saturno a realizar uma translação completa em torno do Sol. Apresente o resultado em anos, arredondado às décimas. Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais Sabendo que a distância média da Terra ao Sol é, aproximadamente, de 149,6 milhões de quilómetros, determine o valor de k (apresente o resultado arredondado às unidades). Exame 005, Ép. especial 68. Na figura ao lado está representada a trajetória de uma bola de futebol, depois de ter sido pontapeada por um jogador de da seleção portuguesa, durante um treino de preparação para o EURO-004. Designou-se por a a distância, em metros, entre o ponto onde a bola foi pontepeada e o ponto onde ela caiu. Considere a função h definida em [0, a] por h(x) = x + 10 ln(1 0, 1x) (ln designa logaritmo de base e) Admita que h(x) é a distância, em metros, da bola ao solo, no momento em que a sua projeção no solo se encontra a x metros do local onde foi pontapeada. Sem utilizar a calculadora, mostre que a taxa de variação média da função h, no intervalo [1, 3] é [ ) ] 5 ln e ( 7 9 Exame 005, a Fase Página de 30

23 69. Na figura ao lado, está representada, em referencial o.n. xoy, parte do gráfico da função f, definida, em ] 1, + [, por f(x) = log (x + 1) Na mesma figura, está também representado um triângulo retângulo [ABO]. O ponto A tem abcissa 3 e pertence ao gráfico de f. O ponto B pertence ao eixo Oy. Qual é a área do triângulo [ABO]? (A) 1 (B) (C) 3 (D) 4 Exame 005, 1 a fase 70. Admita que o número de elementos de uma população de aves, anos após o início de 1970, é dado aproximadamente por P (t) = 5, 10 7 e (N M)t, t 0, em que N e M são duas constantes, denominadas, respetivamente, por taxa de natalidade e taxa de mortalidade da população. No início de 000, a população era metade da que existia no início de Sabendo que a taxa de natalidade é 7,56, determine a taxa de mortalidade, sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos. Apresente o resultado arredondado às centésimas. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. Exame 005, 1 a Fase 71. Na figura seguinte está parte da representação gráfica da função f, de domínio R +, definida por f(x) = log 3 x. Na figura está também representado um triângulo [P QR]. Os pontos P e Q pertencem ao gráfico de f e as suas abcissas são a e 9a, respetivamente (a designa um número real positivo). O ponto R pertence ao eixo Oy e tem ordenada igual à de Q. Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo [P QR]? (A) 9a (B) 9a (C) 9a (D) 9a + 1 Exame 004, Ép. especial 7. Indique o valor de p para o qual se verifica a igualdade log p 16 = 4 (A) 4 (B) 4 (C) (D) Exame 004, a Fase Página 3 de 30

24 73. Sabe-se que log a = 1 5 Qual é o valor de log ( a 5 8 )? (A) -1 (B) - (C) -3 (D) -4 Exame 004, 1 a Fase 74. Para um certo valor de a e para um certo valor de b, o gráfico da função, de domínio R, definida por f(x) = a + be x, está parcialmente representado na figura ao lado. Tal como a figura sugere, a reta de equação y = 1 é assintota do gráfico de f o gráfico de f interseta o eixo Oy no ponto de ordenada 1 Quais são os valores de a e de b? (A) a = 1 e b = (B) a = 1 e b = 1 (C) a = 1 e b = 1 (D) a = 1 e b = Exame 003, Prova para militares 75. Seja g uma função de domínio A, definida por g(x) = ln(1 x ) Qual dos seguintes poderá ser o conjunto A? (A) ] e + 1, e 1[ (B) ] 1, 1[ (C) ]0, + [ (D) ], 1[ Exame 003, a fase 76. Admita que, ao longo dos séculos XIX e XX e dos primeiros anos do século XXI, a população de Portugal Continental, em milhões de habitantes, é dada, aproximadamente, por p(t) = 3, 5 + 6, , 8e 0,036t (considere que t é medido em anos e que o instante t = 0 corresponde ao início do ano 1864) De acordo com este modelo, qual foi a população de Portugal Continental no final do ano de 003? Apresente o resultado em milhões de habitantes, arredondado às décimas. Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais Sem recorrer à calculadora (a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos), resolva o seguinte problema: De acordo com este modelo, em que ano a população de Portugal Continental foi de 3,7 milhões de habitantes? Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. Exame 003, a Fase Página 4 de 30

25 77. Uma rampa de desportos radicais foi construída entre duas paredes, A e B, distanciadas de 10 metros, como se mostra na figura ao lado. Considere a função h definida por A B h(x) = 15 4 ln( x + 10x + 11) (ln designa logaritmo de base e) Admita que h(x) é a altura, em metros, do ponto da rampa situado a x metros à direita da parede A. x h(x) 10 m Determine a altura da parede A. Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas. Nota: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais Mostre, analiticamente, que h(5 x) = h(5 + x) Interprete esta igualdade no contexto da situação descrita. Exame 003, 1 a fase - a chamada 78. Num laboratório, foi colocado um purificador de ar. Num determinado dia, o purificador foi ligado às zero horas e desligado algum tempo depois. Ao longo desse dia, o nível de poluição do ar diminuiu, enquanto o purificador esteve ligado. Uma vez o purificador desligado, o nível de poluição do ar começou de imediato a aumentar. Admita que o nível de poluição do ar no laboratório, medido em mg/l de ar, às t horas desse dia, pode ser dado por P (t) = 1 ln(t + 1) t + 1, t [0, 4] (ln designa logaritmo de base e) Qual é o nível de poluição à uma hora e trinta minutos da tarde? Apresente o resultado na unidade considerada, arredondado às décimas e sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 79. Sejam a e b dois números reais positivos. Qual das seguintes igualdades é equivalente a ln a = ln b? Exame 003, 1 a fase - 1 a chamada (A) a + b = 1 (B) a b = 1 (C) a b = 1 (D) a b = 1 Exame 00, Prova para militares 80. Considere as funções f e g de domínio R, definidas por f(x) = e1 x g(x) = sen x cos x Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva a equação f(x) = g(π), apresentando a solução na forma ln(ke), onde k representa um número real positivo. (ln designa logaritmo de base e) Exame 00, a Fase 81. O nível intensidade N de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade I, medida em watt por metro quadrado, de acordo com a igualdade N = 10 log 10 (10 1 I), para I > 0 Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes. Página 5 de 30

26 81.1. Verifique que N = log 10 I 81.. Admita que o nível de ruído de um avião a jato, ouvido por uma pessoa que se encontra na varanda de um aeroporto, é de 140 decibéis. Determine a intensidade desse som, em watt por metro quadrado. Exame 00, 1 a fase - a chamada 8. O gráfico da função f, de domínio R, definida por f(x) = 0, 1 + 0, e 0,3x uma única assíntota. Qual das condições seguintes é uma equação dessa assíntota? (A) y = 0 (B) y = 0, 1 (C) y = 0, (D) y = 0, 3 Exame 00, 1 a fase - 1 a chamada 83. Doses terapêuticas iguais de um certo antibiótico são administradas, pela primeira vez, a duas pessoas: a Ana e o Carlos. Admita que, durante as doze primeiras horas após a tomada simultânea do medicamento pela Ana e pelo Carlos, as concentrações de antibiótico, medidas em miligramas por litro de sangue, são dadas, respectivamente, por A(t) = 4t 3 e t e C(t) = t 3 e 0,7t A variável t designa o tempo, medido em horas, que decorre desde o instante em que o medicamento é tomado (t [0, 1]). Recorrendo a métodos analíticos e utilizando a calculadora para efectuar cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes Determine o valor da concentração deste antibiótico no sangue da Ana, quinze depois minutos de ela o ter tomado. Apresente o resultado, em miligramas por litro de sangue, arredondado às centésimas. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais No instante em que as duas pessoas tomam o medicamento, as concentrações são iguais (por serem nulas). Determine quanto tempo depois as concentrações voltam a ser iguais. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. Exame 00, 1 a fase - 1 a chamada 84. A Sofia preparou um pudim, para servir como sobremesa ao jantar. Depois de o ter confeccionado, a Sofia colocou o pudim a arrefecer, na bancada da cozinha. Uma hora depois, colocou-o no frigorífico, para ficar bem frio. Admita que a temperatura do pudim, em graus centígrados, t minutos depois de ter sido colocado na bancada, é dada, para um certo valor de A, por ,05t, 0 t < 60 f(t) = 6 + A 0,05(t 60), t 60 Quanto tempo deverá o pudim estar no frigorífico, para que a sua temperatura fique igual a doze graus? Apresente o resultado em minutos e utilize métodos exclusivamente analíticos. 85. Considere a equação 3y = log x (x > 0) Qual das seguintes condições é equivalente a esta equação? ( x ) (A) x = 8 y (B) x = 3y (C) y = 9 x (D) y = 3 Exame 001, Prova para militares Exame 001, Ép. especial Página 6 de 30

27 86. Um petroleiro que navegava no Oceano Atlântico, encalhou numa rocha e sofreu um rombo no casco. Em consequência disso, começou a derramar crude. Admita que, às t horas do dia a seguir ao do acidente, a área, em Km, de crude espalhado pelo oceano é dada por A(t) = 16e 0,1t, (t [0, 4]) A(t + 1) Verifique que, para qualquer valor de t, é constante. A(t) Determine um valor aproximado dessa constante (arredondado às décimas) e interprete esse valor, no contexto da situação descrita Admita que a mancha de crude é circular, com centro no local onde o petroleiro encalhou. Sabendo que esse local se encontra a sete quilómetros da costa, determine a que horas, do dia seguinte ao do acidente, a mancha de crude atingirá a costa. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. Exame 001, a Fase 87. Considere as funções f e g, de domínio R, definidas por f(x) = x e g(x) = 3 x Qual é o conjunto solução da inequação f(x) > g(x)? (A) Conjunto vazio (B) R (C) R + (D) R Exame 001, 1 a fase - a chamada 88. Considere que a altura A (em metros) de uma criança do sexo masculino pode ser expressa, aproximadamente, em função do seu peso p (em quilogramas) por A(p) = 0, 5 + 0, 55 ln p (ln designa o logaritmo de base e) Recorrendo a métodos analíticos e usando a calculadora para fazer cálculos numéricos, resolva os dois itens seguintes O Ricardo tem 1, 4 m de altura. Admitindo que a altura e o peso do Ricardo estão de acordo com a igualdade referida, qual será o seu peso? Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais Verifique que, para qualquer valor de p, a diferença A(p) A(p) é constante. Determine um valor aproximado dessa constante (com duas casas decimais ) e interprete esse valor, no contexto da situação descrita. Exame 001, 1 a fase - a chamada 89. Qual das expressões seguintes é, para qualquer número real positivo a, igual a e ln a? (ln designa o logaritmo de base e) (A) a (B) + a (C) a (D) a Exame 001, 1 a fase - 1 a chamada 90. A pressão atmosférica de cada local da Terra depende da altitude a que este se encontra. Admita que a pressão atmosférica P (medida em quilopascal) é dada, em função de h em quilómetros, por P (h) = 101e 0,1h Página 7 de 30

28 90.1. A montanha mais alta de Portugal é o Pico, na ilha do Pico - Açores. A altitude do cume do Pico é 350 metros. Qual é o valor da pressão atmosférica nesse local? Apresente o resultado em quilopascal, arredondado às unidades Determine x tal que, para qualquer h, P (h + x) = 1 P (h). Apresente o resultado arredondado às décimas. Interprete o valor obtido, no contexto do problema. Exame 000, a fase 91. Considere a função f, de domínio R \ {1}, definida por f(x) = ex x 1 Resolva a equação ln [f(x)] = x, recorrendo exclusivamente a processos analíticos (ln designa logaritmo de base e). Exame 000, 1 a fase - a chamada 9. Na figura ao lado está parte da representação gráfica da função f, de domínio R +, definida por f(x) = log 8 x y P é um ponto do gráfico de f que tem ordenada 1 3 Qual é a abcissa do ponto P? (A) 8 3 (B) 1 (C) ln ( ) 8 3 (D) 1 3 f 0 x Exame 000, 1 a fase - 1 a chamada 93. Sejam a, b e c três números reais tais que log a b = c Qual é o valor de log a (ab)? (A) 1 + c (B) a + c (C) ac (D) a + bc Exame 000, Prova modelo 94. Considere uma função f, de domínio R, definida por f(x) = e x+a, onde a designa um certo número real. O gráfico de f interseta o eixo Oy no ponto de ordenada Indique o valor de a. (A) ln (B) (C) e (D) e + ln Exame 000, Prova para militares (prog. antigo) 95. Ao ser lançado, um foguetão é impulsionado pela expulsão dos gases resultantes da queima de combustível numa câmara. Desde o arranque até se esgotar o combustível, a velocidade do foguetão, em quilómetros por segundo, é dada por v(t) = 3 ln(1 0, 005t) 0, 01t (ln designa logaritmo de base e). A variável t designa o tempo, em segundos, após o arranque. A massa inicial do foguetão é de 150 toneladas, das quais 80% correspondem à massa do combustível. Sabendo que o combustível é consumido à taxa de 0,75 toneladas por segundo, justifique que t [0, 160]. Exame 1999, 1 a fase - a chamada (prog. antigo) Página 8 de 30

29 96. Seja g a função, de domínio R +, definida por g(x) = log (. 3 x) Qual das expressões seguintes também pode definir a função g? (A) + log ( 3 x) (B). log ( 3 x) (C) 3 + log x 3 (D) 1 + log x Exame 1999, Prova modelo (prog. antigo) 97. Um pára-quedista salta de um helicóptero. Ao fim de algum tempo, o pára-quedas abre. Admita que a distância (em metros) a que o pára-quedista se encontra do solo, t segundos após a abertura do pára-quedas, é dada por d(t) = 840 6t + 5e 1,7t Sabendo que, no momento em que o pára-quedista salta do helicóptero, este se encontra a 1500 metros do solo, determine a distância percorrida em queda livre pelo pára-quedista (desde que salta do helicóptero até ao momento da abertura do pára-quedas). Exame 1998, Prova para militares (prog. antigo) 98. A magnitude M de um sismo e a energia total E libertada por esse sismo estão relacionadas pela equação log 10 E = 5, + 1, 44M (a energia E é medida em Joule) Um físico português estimou que o terramoto de Lisboa de 1755 teve magnitude 8,6. Mostre que a energia total libertada nesse sismo foi aproximadamente 4, Joule A ponte Vasco da Gama foi concebida para resistir a um sismo cuja energia total libertada seja cinco vezes a do terremoto de Lisboa de Qual é a magnitude de um sismo com essa característica? Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas. 99. Seja f a função definida em R + por f(x) = log (8x ) log x Mostre que f(x) = 3 + log x, para qualquer x R + Exame 1998, a fase (Prog. antigo) 99.. Determine a abcissa do ponto de interseção do gráfico de f com a reta de equação y = 8 Exame 1998, 1 a fase - 1 a chamada (Prog. antigo) 100. Considere a função f, de domínio R +, definida por f(x) = ln(3x) (ln designa logaritmo de base e). Qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico da função f? (A) (e, ln 3) (B) (e, 1 + ln 3) (C) (e, e + ln 3) (D) (e, e ln 3) 101. Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 30 metros. Considere a função f, definida por f(x) = 5 ( e 1 0,1x + e 0,1x 1) x [0, 30] Exame 1998, Prova modelo (prog. antigo) Admita que f(x) é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio situado x metros à direita do primeiro poste. Determine a diferença de altura dos dois postes. Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às décimas. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 1 o Poste x 30 m f(x) o Poste Página 9 de 30