MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Exponenciais e logaritmos Propostas de resolução

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1 MATEMÁTICA A - o Ano Funções - Exponenciais e logaritmos Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios. Usando as propriedades dos logaritmos, temos que: 4 + log a 5 ln a = 4 + ln a log a 5 = 4 + log a a log a e log a 5 = 4 + log a 5 = log a e Resposta: Opção B = 4 + log a 5 log a e = 4 + ln 5 = ln e 4 + ln 5 = lne 4 5 = ln5e 4 Exame 07, Ép. especial... Como duas horas após o início do processo t =, a massa de poluente é metade da existente ao fim de uma hora t =, então temos que p = p Assim, resolvendo a equação anterior e escrevendo o valor de k forma solicitada, vem: p = p 0 e k = 0 e k 0 0 = e k e k = e k k = e k+k = e k k = ln.. Calculando as imagens dos objetos 0 e, temos: p0 = 0 e 0,7 0 = 0 e 0 = 0 = 0 p = 0 e 0,7 = 0 e, 4,69 E assim, calculando a taxa média de variação da função p no intervalo [0, ] e apresentando o resultado arredondado às unidades, temos T V M [0,] = p p0 0 4, , 5 No contexto da situação descrita, o valor da taxa média de variação significa que nas primeiras horas do processo, a massa de poluente no tanque, decresceu, em média, 5 gramas por hora, aproximadamente. Exame 07, Ép. especial Página de

2 . Resolvendo a inequação, temos que: fx > ln x ln x x > ln x ln x > x ln x ln x x ln x > 0 ln x x > 0 x>0 Como o domínio da função é R + estudamos o sinal do produto, em ]0, + [, através de um quadro de variação de sinal, para resolver a inequação: x 0 + ln x n.d. 0 + x n.d. + 0 ln x x n.d Assim, temos que o conjunto solução da inequação é ] [, 4. Temos que f0 = 9,5 e 0, 0 + e 0, 0 = 9,5 e + e,8 Exame 07, a fase E assim, substituindo o valor aproximado de f0 na equação f0 + x =, vem:,8 + x =,8 + x =,8 +x >0,8 +x >0,8 + x = 4 x = 4,8 x =,66 x = ±,66 Como x [0,7], então a solução da equação é x =,66,5 Como SP = OP + OS, e OP = f0 e OS = x, então temos que f0 + x é a distância SP. Assim a solução da equação f0 + x = é a abcissa do ponto S, na posição em que dista duas unidades do ponto P, ou seja, o ponto da superfície do rio que está a metros do topo da parede esquerda que suporta a ponte está a,5 metros de distância da base da mesma parede. 5. Usando a definição de logaritmo, temos que: a = b log b a = Pelas propriedades operatórias dos logaritmos, vem que: Resposta: Opção C 6. Pela definição de função composta temos que: log a b + log b a = log b b log b a + = + = + 9 = 0 f gx = 0 f gx = 0 fln x = 0 Como, pela observação do gráfico, podemos verificar que: Desta forma, vem que: Resposta: Opção D f = 0 f = 0 f gx = 0 ln x = ln x = x = e x = e x = e x = e Exame 07, a fase Exame 06, Ép. especial Exame 06, Ép. especial Página de

3 De acordo com os dados do enunciado temos que x = 5, pelo que a velocidade constante da nave, em quilómetros por segundo, quando termina a queima do combustível é dada por: V 5 = ln = ln 4,0 km/s Assim, como a relação entre o tempo t, a distância d e a velocidade V, em segundos, arredondada às unidades, é: V = d t t = d V Temos que para viajar 00 quilómetros d = 00 a esta velocidade V = 4,0, o tempo necessário é: t = 00 4,0 50 s 7.. Pretende-se determinar o valor de x associado ao valor de V =, ou seja, a solução da equação V x = Resolvendo a equação, e arredondando o resultado às unidades, vem que: V x = ln x + 00 x + 60 = e x + 00 x + 60 = ln x + 00 x + 60 = ln x + 00 x + 60 = x + 00 = ex + 60 x + 00 = ex + 60e x ex = 60e 00 x 60 x e = 60e 00 x = 60e 00 e x 80 milhares de toneladas Exame 06, Ép. especial 8. Simplificando a expressão da inequação, temos que: Atendendo a que: ln k = 0 k = e 0 k = g0 gk < 0 ln0 + k lnk + k < 0 ln k lnk < 0 lnk = 0 k = e 0 k = k = Como k é um número real positivo k ]0, + [ estudamos o sinal do produto, em ]0, + [, através de um quadro de variação de sinal, para resolver a inequação: k 0 + ln k n.d. 0 + lnk n.d g0 gk n.d Pelo que se concluí que se g0 gk < 0, então k ] [, Exame 06, Ép. especial Página de

4 9. Usando as propriedades dos logaritmos, temos que: log a ab = log a a + log a b = + log a b E assim, vem que: Logo, vem que: Resposta: Opção B log a ab = 5 + log a b = 5 log a b = 5 log b a = log a a log a b = log a b = 4 = 4 log a b = 4 Exame 06, a Fase 0. Temos que x = 0,00 e como o empréstimo será pago em prestações mensais de 4 euros então p = 4 Substituindo estes valores na expressão conhecida, e resolvendo a equação, vem: 4 = 6000,00 e n 0,00 4 4e 0,00n =,8 4e 0,00n =,8 4 e 0,00n =, 4 Como n N, n 0, então e 0,00n 0 e 0,00n = 0,95 0,00n = ln 0,95 n = ln 0,95 0,00 Como ln = ln 0,95 0,00 a ln a + a 6, concluímos que o José irá demorar 6 meses a pagar o empréstimo.. Determinando o declive da reta que contém os pontos de abcissas a e a, vem que: a a a ln ln ln ln fa f a a + a + a + m = = = a a a + a a a a + a ln ln a a + a + ln ln = a a + = + ln a a + a Logo a equação da reta é da forma y = fa a = a a a ln ln a + a + = = a a x + b a + a a ln a + a = fa a Exame 06, a Fase = a a + Como o ponto de coordenadas a,fa pertence à reta, podemos substituir estas coordenadas e o valor do declive, na expressão geral de uma reta, para determinar o valor da ordenada na origem: fa = fa a a + b fa = fa + b fa fa = b 0 = b Como a ordenada na origem é zero, podemos concluir que a reta passa na origem do referencial. = Exame 06, a Fase. Como o ponto P pertence ao gráfico de f, substituindo as suas coordenadas na expressão algébrica da função, temos que Resposta: Opção C 8 = e a ln 8 = e ln a 8 = a a = log 8 a = Exame 05, Ép. especial Página 4 de

5 ... Calculando as imagens dos objetos 0 e 0, temos N0 = e 0,5 0 = 00 49, e 5 00 N0 = + 50e 0,5 0 = 00 9,8 + 50e,5 E assim, calculando a taxa média de variação da função N no intervalo [0, 0] e apresentando o resultado arredondado às unidades, temos T V M [0,0] = N0 N ,60 9,8 0 0,4 0,04 No contexto da situação descrita, o valor da taxa média de variação significa que entre os anos de 900 e 000 o número de habitantes, da região do globo em causa, cresceu em média aproximadamente milhões em cada década... Resolvendo em ordem a t, temos: 00 N = + 50e 0,5t + 50e 0,5t = 00 N 50e 0,5t = 00 N 50e 0,5t = 00 N N N 00 N 50e 0,5t = 00 N e 0,5t = 00 N ln 00 N 50N 0,5t = ln t = N 50N 50N 0,5 t = 00 N 0,5 ln t = 00 N ln t = N 50N 5 50N 5 ln 50N N 00 N 50N t = 4 ln t = ln t = ln 50N 50N 00 N Exame 05, Ép. especial 4. Usando as propriedades dos logaritmos, temos que Resposta: Opção D log a a b = log a a + log a b = log a a + log b b log b a = + = + = 5 Exame 05, a Fase 5. Para x ],], fx = + xe x, logo, vem que fx x > + xe x x > xe x x > 0 xe x > 0 Determinando as soluções da equação xe x = 0, temos: xe x = 0 x = 0 e x = 0 x = 0 e x = x = 0 x = ln Estudando a variação do sinal de xe x, em ],], vem: x 0 ln x e x xe x Assim, como fx x > xe x > 0, temos que o conjunto solução de fx x > é C.S. =],0[ ] ln,] Exame 05, a Fase Página 5 de

6 6. Usando as propriedades dos logaritmos, temos que k log = log 9 k log 9 = k log = k Resposta: Opção B Exame 05, a Fase 7. A distância do centro da esfera ao ponto P, no momento em que se inicia o movimento, em centímetros, é P d0 = e 0,05 0 = 0 + 5e 0 = = 5 Como, no momento em que se inicia o movimento, o ponto da esfera mais afastado do ponto P está a 6 cm do ponto P, o raio da esfera, em centímetros, é r = 6 d0 = 6 5 = Pelo que, calculando o volume da esfera em cm, e arredondado o resultado às centésimas, temos dt 6 V = 4 πr = 4 π = 4π 4,9 Exame 05, a Fase 8. Como 0 = 00 log 0 00 =, usando as propriedades dos logaritmos, temos que Resposta: Opção A log00b = log 00 + log b = + 04 = 06 Teste Intermédio o ano Simplificando a condição lne x a 0, como a função logarítmica tem imagens não positivas para x ]0,], temos: lne x a 0 0 < e x a e x a > 0 e x a e x > a e x + a x > lna x ln + a x < lna x ln + a Assim, S = [ ln + a, lna[ Resposta: Opção B 0. Usando as propriedades dos logaritmos, temos que log a a 5 b + a log a b = log a a 5 + log a b + b = 5 + log a Resposta: Opção A = 5 + log a b + b = b = b = 6 + b b Exame 0, Ép. especial + b =. Usando as propriedades dos logaritmos, e sabendo que log a b =, temos que log log b a + log a b = a a log a b + log a b = + log a b = + = = Resposta: Opção D Exame 0, a Fase Teste Intermédio o ano Página 6 de

7 ... Designando por A o centro do balão A, por B o centro do balão B e por P um ponto com a mesma altura do balão A, situado na perpendicular ao solo em que está o balão B, temos que o triângulo [ABP ] é retângulo em P, e pretendemos calcular AB Assim, temos que AP = 7 e BP = b5 a5 Calculado b5 e a5, temos b5 = 6e 0,06 5 0,0 5 + = 6e 0, 0, + 6,45 a5 = e 0,0 5 0,0 5 + = e 0,5 0, +,76 E assim, vem que A B P BP = b5 a5,584 7 m E assim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, vem AB = AP + BP : AB = 7 +,584 AB = 55,677 AB = 55,677 AB 7,5 m.. Calculando o tempo decorrido entre o instante inicial e o instante em que os centros dos dois balões estavam à mesma distância do solo, em segundos, temos: at = bt e 0,0t 0,0t + = 6e 0,06t 0,0t + e 0,0t + = 6e 0,06t + e 0,0t 6e 0,06t + = 0 e 0,0t 6e 0,0t + = 0 e 0,0t 6 e 0,0t + = 0 6 e 0,0t + e 0,0t + = 0 Fazendo a substituição de variável y = e 0,0t, e usando a fórmula resolvente, vem: 6y + y + = 0 y = ± y = ± + 4 y = ± 5 Como y = e 0,0t, temos que: y = ± 5 y = 6 y = 4 y = y = E como a equação e 0,0t = e 0,0t = 0,0t = ln e 0,0t = e 0,0t = é impossível, podemos determinar única solução da equação: t = ln ln 0,0 t = 0 ln 0,0 t = ln 0,0 Assim, arredondado o resultado às unidades, temos t s Teste Intermédio o ano Como log a c = loga c = log a c = log a c = 6 e log a b = c, usando as propriedades dos logaritmos, temos que log a b c = loga b c = log ab c = log a b + log a c = c + 6 c + 6 = = c + Resposta: Opção C Exame 0, Ép. especial Página 7 de

8 4. Resolvendo a equação fx = 0, temos que e x 4e x + 4 e = 0 e e x e 4e x + 4 e = 0 e e x e 4e x + 4 e = 0 ex e 4e x + 4 e = 0 ex e 4e x + 4 e = 0 ex 4e x 4 e = 0 ex 4e x 4 = 0 e 0 e x 4 e x 4 = 0 ex e x e x 4 e x 4ex e x = 0 e x 0 ex 4e x 4 = 0 Fazendo a substituição de variável y = e x, e usando a fórmula resolvente, vem: y 4y 4 = 0 y = 4 ± y = 4 ± y = 4 ± Como y = e x, temos que: y = 4 ± 4 y = + y = e x = + e x = E como < 0, a equação e x = é impossível, pelo que podemos determinar o valor do único zero da função f: e x = + x = ln + 5. Usando as propriedades dos logaritmos, e como b = a π log a b = π, temos que 6. Exame 0, a Fase log a a b 00 = log a a +log a b 00 = log a a+00 log a b = +00 π = +00π 6 Resposta: Opção B 6.. Como fx = + log x, então Teste Intermédio o ano fx 4 + log x 8 + log x 4 + log x 8 log x 4 + log x 8 log x + log x 8 log x log 9 + log x 8 log x log 9 x 8 x 9 x 8 x 9x 7 x 9x 7 8x 7 8x 7 x 9 Mas como log x só está definido para x > 0, então a expressão + log x 4 + log x 8 só está definida se x > 0 x 8 > 0, ou seja, se x > 0 x > 8 Pelo que a condição fx 4 + log x 8 é verdadeira para os valores de x tais que x 9 x > 8, ou seja, no intervalo ],9] ]8, + [=]8,9] 6.. Calculando o valor de f6 000 f4 000, temos que f6 000 f4 000 = + log log = log log 4 = 6 = 000 log log 4 = 000 log 6 log 4 = 000 log 4 = = 000 log 9 = 000 = 000 Teste Intermédio o ano.0.0 Página 8 de

9 7. Calculando o número de frangos infetados no instante em que o vírus foi detetado x = 0, temos: f0 = 00 + = 00 0,0 + = = = 00 5 = 8 O número de dias passados, em que o número de frangos infetados era dez vezes maior 0 8 = 80, é a solução da equação fx = 80: fx = = ,x 80 = + 0,x,5 = 0,x,5 = 0,x 0,5 = 0,x log 0,5 = 0,x log = 0,x log = 0,x = 0,x 4 = 0 x 40 = x Ou seja, desde que o vírus foi detetado, até que o número de frangos infetados fosse dez vezes maior, passaram 40 dias. 8. Teste Intermédio o ano Sabendo que M = 7,, podemos calcular a energia sísmica irradiada, substituindo o valor dado em M = log 0E,9 : 7, = log 0E,9 7, +,9 = log 0 E log 0 E = 5 E = 0 5 Como a relação entre o momento sísmico e a energia libertada é E = M 0,6 0 5, substituindo o valor de E nesta expressão, vem: 0 5 = M 0, ,6 0 5 = M 0 M 0 = 0, Sabemos que M M =. M 0 = 6, M 0 = 6,5 0 9 Sejam E a energia sísmica irradiada pelo sismo de magnitude M e E a energia sísmica irradiada pelo sismo de magnitude M. Assim, temos que M = log 0E,9 e M = log 0E,9, pelo que M M = log 0E,9 log 0E,9 Logo: log 0E,9 log 0E,9 = log 0E,9 log 0E +,9 = log 0E log 0E = log 0 E log 0 E = log 0E log 0 E = E log 0 = E = 0 E = 0 E E E Assim, a energia sísmica irradiada pelo sismo de magnitude M é dez vezes superior à energia sísmica irradiada pelo sismo de magnitude M. Exame 0, Prova especial Página 9 de

10 9. Como a máquina agrícola funcionou durante 0 minutos e, nesse período de tempo, consumiu litros de combustível, logo a quantidade de combustível que existia no depósito no momento inicial era a quantidade medida ao fim de 0 minutos acrescida dos litros consumidos, ou seja, 0. Logo, determinando o valor de k, temos que Q0 = Q0 + Q0 Q0 = Q0 Q0 = + log 8 k 0 + log 8 k 0 = + log 8 0 log 8 400k = log 8 log 8 400k = 4 log 8 400k = log 8 400k = 4 log 8 400k = = 8 400k 400k = 8 k = k = 9 50 Exame 0, Ép. especial 0.. Começamos por calcular o número de nenúfares, às zero horas do dia de Março de 00, no lago A, ou seja, aos zero dias: N A 0 = e 0, 0 = e 0 = = 0 8 = 5 Calculando o número aproximado de nenúfares, no lago A, 7 dias depois, temos: N A 7 = e 0, 7 = 0 44,0 + 7 e,4 Assim temos que o aumento do número de nenúfares, no lago A, nos primeiros 7 dias, arredondado às unidades é N A 7 N A 0 44,0 5 9 nenúfares 0.. O número de dias necessários, após as zero horas do dia de Março de 00, para que o número de nenúfares existentes no lago A seja igual ao número de nenúfares existentes no lago B é a solução da equação N A t = N B t: N A t = N B t e 0,t = e 0,4t e 0,4t = e 0,t e 0,4t = e 0,t 6000 e 0,4t 050 e 0,t = e 0,t 050 e 0,t 0 = 0 Fazendo a substituição de variável y = e 0,t, e usando a fórmula resolvente, vem: 6000y 050y 0 = 0 y = 050 ± y = 050 ± Como y = e 0,t, temos que: E como a equação e 0,t = 40 e 0,t = 5 0,t = ln 5 y = 40 y = 5 e 0,t = 40 e 0,t = 5 é impossível, podemos determinar única solução da equação: t = ln ln 5 0, Assim, arredondando o resultado às unidades, temos t 8 dias t = 0 ln 5 0, t = ln 5 0, Exame 0, a Fase Página 0 de

11 . Resolvendo a equação fx x = ex, no intervalo [, + [, temos que fx x = ex xe x + x x = e x xe x + x = e x x> e x + = e x e x ex + + = 0 e x ex = 0 e x ex + 8 = 0 e x ex e x e x + 8ex e x = 0 e x + 8e x = 0 e x + 8e x + = 0 Fazendo a substituição de variável y = e x, e usando a fórmula resolvente, vem: e x 0 y + 8y + = 0 y = 8 ± 8 4 y = 8 ± y = 8 ± 00 6 Como y = e x, temos que: y = 8 ± 0 6 y = 6 y = 8 6 e x = e x = x = ln }{{ } Eq. Imp. Assim, a única solução da equação, em [, + [, é ln y = y = Teste Intermédio o ano Como o ponto P pertence ao gráfico da função f e tem ordenada, então podemos calcular a sua abcissa recorrendo à expressão algébrica da função f: Resposta: Opção C. Resolvendo a inequação, temos fx = log 9x = x = 9 x = 9 x = Teste Intermédio o ano log 7x log x log 7x + 6 log 9 + log x log 7x + 6 log 9 x 7x + 6 9x 7x 9x 6 x 6 x 6 x 6 x Mas como log x só está definido para x > 0, então a expressão log 7x+6 +log x só está definida se x > 0 7x + 6 > 0, ou seja, se x > 0 x > 6, ou mais simplesmente, se x > 0 7 Pelo que a condição é verdadeira log 7x log x para os valores de x tais que x x > 0, ou seja, no intervalo ],] ]0, + [=]0,] Teste Intermédio o ano Página de

12 Como k = e p =, o número, em milhares, de pessoas que estavam infetadas com a doença, nesta região, t anos após o início de 960 é t e t It = + e = e t + e t E o ano em que o número de pessoas infetadas, nesta região atingiu os 500, ou seja, os,5 milhares é a solução da equação It =,5 Assim, resolvendo a equação, temos e t It =,5 e t + e t =,5 e t =,5 + e t +e t >0 e t =,5 +,5e t t t t,5,5e =,5 0,5e =,5 e = 0,5 e t t = 5 = ln 5 t = ln 5 Logo, como ln 5,9 e 960 +,9 96, temos que o número de pessoas infetadas, nesta região, atingiu os 500 no ano de Como, nesta região, em 96, ou seja ano após o início de 960 t =, se constatou que havia um milhar de pessoas infetadas I =, então temos que I = Logo, substituindo na expressão da função I, resolvendo em ordem a k e escrevendo o resultado na forma k = lna + pb, vem que I = = ek ek = + pek + pe k + pe k = e k = e k pe k +pe k 0 = e k p p = ek k = ln k = ln ln p p k = 0 ln p k = ln p Teste Intermédio o ano Resolvendo a equação, temos: Resposta: Opção C fx = ln x = x = e x = e x = e Exame 00, Ép. especial Página de

13 6. Temos que h 4 = ln 4 + = ln6 + = ln7 Assim, resolvendo a inequação, em ], 0], temos : y 6 x hx > h 4 ln x + > ln7 x + > 7 x > 7 x > 6 x < 4 x > 4 4 O 4 x Como o domínio de valência da inequação é ], 0], o conjunto solução é ], 0] ], 4[ ]4, + [ =], 4[ Exame 00, Ép. especial 7. Como o ponto B é o ponto de intersecção do gráfico da função g com o eixo das abcissas, podemos determinar a sua abcissa, calculando o zero da função g: y 5 A gx = 0 lnx + = 0 x + = e 0 x = x = E assim, considerando o lado [OB] do triângulo como a base, a altura será a ordenada do ponto A, independentemente da sua abcissa, pelo que a área do triângulo é: A [OAB] = OB y A = x B y A = 5 = 5 B base O altura g x Resposta: Opção A Exame 00, a Fase Aplicando as regras operatórias dos logaritmos, vem que, para qualquer valor de t [0,5]: Nt = 8 log 4 t + 8 log 4 t + = 8 log 4 t + 8 log 4 t + = = 4 log 4 t + 8 log 4 t + = 6 log 4 t Como Nt é o número de bilhetes vendidos, em centenas, t horas após o início da venda, e 400 bilhetes são 4 centenas de bilhetes, o tempo necessário para vender 400 bilhetes é a solução da equação Nt = 4: Nt = 4 6 log 4 t + = 4 log 4 t + = 4 6 log 4t + = t + = 4 t + = 4 t + = 64 t + = 8 t = 8 t = 7 Escrevendo o resultado em horas e minutos, temos que t = 7 = +, e como de hora são 0 minutos, temos que serão necessárias horas e 0 minutos para que sejam vendidos 400 bilhetes. Exame 00, a Fase Página de

14 9. Os zeros da função g são as soluções da equação gx = 0, que pertencem ao domínio de g Assim, temos que: gx = 0 x + ln fx = 0 x + ln + 4x e x = 0 x + ln 4x e x = 0 x + ln 4x + ln e x = 0 x + ln 4x + x = 0 ln 4x = 0 4x = e 0 4x = x = 4 x = ± 4 x = x = { Como o domínio da função g é R \ {0}, então o conjunto dos zeros da função é }, Teste Intermédio o ano Usando as propriedades dos logaritmos, temos que: log 5 = log log 5 5 = 000 log 5 5 = 000 = Resposta: Opção D 4.. Supondo que k = 0, temos que: ft = 0 e 0,t Teste Intermédio o ano Assim, como ft é o número de coelhos, em milhares, t semanas após a deteção da doença, a solução da equação ft = 9 é o número t de semanas após a deteção da doença em que existiam 9 milhares de coelhos. Resolvendo a equação temos que: 0 0 ft = 9 = 9 e 0,t 9 = e 0,t e 0,t = 0 9 e 0,t = e 0,t = 7 9 e 0,t = 7 ln 7 8 0,t = ln t = 8 8 0, 7 ln 8 Logo, o número de coelhos existentes na região é igual a 9000 ao fim de 0,497 semanas. 0, Como cada semana tem 7 dias, o número de coelhos existentes na região é igual a 9000 ao fim de 0,497 7 dias. Página 4 de

15 4.. O número de coelhos no início da primeira semana t = 0, é dado por f0 e no final da primeira semana t = é dado por f Como durante a primeira semana, morreram dois mil coelhos milhares e não nasceu nenhum, sabemos que f = f0 Como k f0 = e 0, 0 = k = k = k k f = e 0, = k e 0, Assim, resolvendo a equação para determinar o valor k, vem: f = f0 Considerando a aproximação e 0,,48 vem: k e 0, = k k = k k =,48k,48,4876 = k,48,48,4876 = k,48,4876 0,48 = k Arredondando o valor de k às décimas, temos que k 0, 4. Temos que: b = a a = b a = b a> Assim, usando as propriedades dos logaritmos, vem que: + log b a = + log b b = + = + = Resposta: Opção D Teste Intermédio o ano Exame 009, Ép. especial 4. Como a abcissa do ponto P é positiva, porque este se deslocar sobre o semieixo positivo das abcissas, então podemos considerar a base do triângulo o lado [OP ] e a sua medida é a abcissa do ponto P, pelo que OP = x Como relativamente à base [OP ], a altura é o lado [P A], e a medida da altura é a ordenada do ponto A, temos que P A = fx = e x Assim, a área do triângulo [OAP ] em função de x abcissa do ponto P é: Resposta: Opção B A [OAP ] = OP P A = x fx = x.ex Exame 009, Ép. especial Como M = 0,67 log E,5 e M = 0,67 log E,5, temos que M M = 0,67 log E,5 0,67 log E,5 = 0,67 log E,5 0,67 log E +,5 = 0,67 log E 0,67 log E = 0,67log E log E = log E log E = 0,67 log E = E 0,67 E = 0 0,67 E E assim temos que E E Página 5 de

16 44.. Como o sismo teve magnitude 4,7, na escala de Richter, vem que M = 4,7 E assim, substituindo o valor de M na expressão M = 0,67 log E,5, e calculando o valor de E, vem: 4,7 = 0,67 log E,5 4,7 +,5 = 0,67 log E 7,95 7,95 log E E = 0 0,67 0,67 Assim, a energia libertada nesse sismo, em notação científica, foi de, aproximadamente 7 0 joules Exame 009, Ép. especial 45. Calculando as imagens das abcissas dos pontos indicados em cada uma das opções pela função f, temos: f = e + = e 0 = fln = e ln + = e ln e = e = e fln 5 = e ln 5+ = e ln 5 e = e = 5e f = e + = e = e Pelo que podemos verificar que, de entre os pontos apresentados, o ponto de coordenadas ln, e é o único que pertence ao gráfico de f Resposta: Opção B Exame 009, a Fase 46. Calculando a área afetada quando a doença foi detetada t = 0, e a área afetada uma semana depois t =, temos: A0 = ln0 + = = A = + 5 ln + = + 5 ln Assim, o aumento da área afetada registado na primeira semana, em hectares, arredondado às centésimas é de A A0 = + 5 ln = 5 ln,47 ha 47. Usando as propriedades das potências e dos logaritmos, temos que: Resposta: Opção C e 4 ln x 0 log x = e ln x4 0 log x = x 4 x Exame 009, a Fase Exame 009, a Fase 48. Como os domínios de f e g são, respetivamente ], + [ e ], [, então a condição fx + hx está definida em ], + [ ], [=],[ Assim, vem que: fx + hx log x + log x log x log + log x como log x é crescente no seu domínio log x log x log x log 4 x x 4 x x + x 4 + x 5 x 5 Como fx + hx está definida em ],[, o conjunto solução é [ [ [ [ 5 5, + ],[ =, Exame 009, a Fase Página 6 de

17 49. Usando as propriedades dos logaritmos temos que: log a x = + 5 log a y log a x = log a a + log a y 5 log a x = log a a y 5 x = ay 5 Resposta: Opção A Teste Intermédio o ano Como x > 0 x > x > 0 x > x < Então os valores de x para os quais a inequação está definida são: ], + [ ], [=],[ E, resolvendo a inequação, vem que: log x + log x 5 log x x log 5 como log x é crescente no seu domínio x x 5 x x +x x +4x 0 x +4x 45 0 x 5x 9 0 x 5 x 9 Cálculos auxiliares: y x + 4x 45 = 0 x = 4 ± x = 4 ± 6 x = x = 4 4 O 5 9 x x = 5 x = 9 Como a inequação está definida para x ],[, representando a interseção dos conjuntos, temos: E assim, o conjunto solução da inequação é ],5] [9,[ Teste Intermédio o ano Página 7 de

18 Escrevendo os dados apresentados com recurso à função descrita, temos que: A massa de carbono-4 presente no fóssil, mil anos depois de um certo instante inicial, era de,9g, significa que m =,9 A massa de carbono-4 presente no fóssil, dois mil anos depois do mesmo instante inicial, era de,58g, significa que m =,58 Assim, temos que: ae b =,9 e que ae b =,58 Como o valor de a é o mesmo porque é a massa da substância no referido instante inicial, então como: a =,9 e b e como a =,58 e b Calculando o valor de b e arredondando o resultado às centésimas, vem que:,9 e b =,58 e b eb e b =,58,9 eb b =,58,9 eb =,58,58,9 b = ln,9 b 0, Utilizando o valor de b para determinar o valor de a, ou seja, a massa de carbono-4 que existia no fóssil, no referido instante inicial, e arredondando o resultado final às centésimas, temos: m =,9 ae b =,9 ae 0,0,9 a 0,887,9 a,9 0,887 a,8 g 5.. Considerando b = 0,4 temos que: mt +,6 mt = ae 0,4t+,6 ae 0,4t = e 0,4t+,6 e 0,4t = e 0,4t+,6 0,4t = e 0,4t 0,688+0,4t = e 0,688 Assim, temos que mt +,6 mt é constante e o valor dessa constante, arredondado às décimas, é e 0,688 0,5 E assim temos que: mt +,6 mt 0,5 mt +,6 0,5 mt o que significa que a passagem de,6 milhares de anos, ou seja, 600 anos, implica uma diminuição da massa de radio-66 para metade. Teste Intermédio o ano Usando as propriedades dos logaritmos temos que: x. ln e e = x.e ln e = x.e = ex Resposta: Opção A Exame 008, Ép. especial Página 8 de

19 5. Equacionado o problema e resolvendo a equação, vem: T t = e 0,05t = 6 48e 0,05t = 6 5 e 0,05t = 48 0,05t = ln ln 48 t = 48 0,05 t 9,466 Assim temos que o tempo corresponde a 9,466 minutos, aproximadamente. E como cada minuto tem 60 segundos, fazendo a conversão de 0,466 minutos para segundos, vem 0, = 7, s Pelo que se concluí que demorou 9 minutos e 8 segundos, após o início do arrefecimento, para que a temperatura da água atingisse os 6 o Celsius. Exame 008, Ép. especial 54. Como o ponto P, pertence ao gráfico da função, substituindo as coordenadas na expressão algébrica da função, e resolvendo a equação, podemos determinar o valor de a: Resposta: Opção A = a + = a 4 = a a = log 4 a = Exame 008, a Fase 55. Determinando a massa inicial da amostra da substância radioativa, ou seja a massa ao fim de zero horas t = 0, vem que: M0 = 5 e 0,0 0 = 5 e 0 = 5 = 5 Assim, equacionado o problema e resolvendo a equação vem: Mt = 5 5 e 0,0t = 5 e 0,0t = 5 5 e 0,0t = 0,0t = ln t = ln 0,0 t 4,657 Assim temos que o tempo corresponde a 4,657 horas, aproximadamente. E como cada hora tem 60 minutos, fazendo a conversão de 0,657 horas para minutos, vem 0, = 9,40 9 min Pelo que se concluí ao fim de 4 horas e 9 minutos a massa inicial da amostra da substância radioativa se reduz a metade. 56. Usando as propriedades dos logaritmos temos que: log a a = log a a = log a a = = Resposta: Opção D 57. Equacionado o problema e resolvendo a equação, vem: Nt = 000 Exame 008, a Fase Exame 008, a Fase = e 0,0t 000 = +99e 0,0t = 99e 0,0t 99 = e 0,0t 0,0t = ln ln 99 t = 99 0,0 t 59,0 Assim, podemos observar que ao fim de 59 dias ainda a associação ainda não contava com 000 associados e que este número foi atingido durante o 50 o dia. Exame 008, a Fase Página 9 de

20 58. Usando as propriedades dos logaritmos temos que: 59. Resposta: Opção C log a + log a 5 = log a + log a 5 = log a 5 = log a 5 = log a Supondo que foram introduzidos 00 peixes no lago, temos que: f0 = = 00 = 00 + ke 0, 0 + ke0 + k Teste Intermédio o ano = = 00 + k 000 = k = 00k = k 9 = k 59.. O número de anos que decorre até que o número de peixes no lago atinge o meio milhar 500, é a solução da equação ft = 500 Assim, considerando k = 4, resolvendo a equação e apresentando o resultado arredondado às unidades, temos que: 000 ft = e 0,t = = e 0,t 000 = e 0,t = 000e 0,t = e 0,t 8 = e 0,t 0,t = ln 8 0,t = ln ln 8 0,t = ln 8 t = ln 8 0, t = ln 8 0, t Usando as propriedades dos logaritmos, vem que: 6. Resposta: Opção C Teste Intermédio o ano log 5 x = π x = 5 π 5 x = 5 5 π 5x = 5 +π 5x = 5 π Teste Intermédio o ano Como o número de indivíduos que existiam no instante inicial é a, então r vezes o número de indivíduos que existiam no instante inicial é r a Por outro lado a população de indivíduos ao fim de n dias é P n = ae kn Assim, temos que: r a = ae kn r = aekn a r = e kn kn = lnr k = lnr n 6.. Como no instante inicial em cada colónia foram colocadas 500 bactérias temos que a = 500, e decorrido exatamente um dia, a estirpe A estava reduzida a 50 indivíduos, pelo que P = 50 Assim, resolvendo a equação podemos calcular o valor de k A, com quatro casas decimais: P = e k A = 50 e k A = ek A = k A = ln k A 0,69 Relativamente à estirpe B, como após seis dias a população era de 000 indivíduos, temos que P 6 = 000 Assim, resolvendo a equação podemos calcular o valor de k B, com quatro casas decimais: P 6 = e k B 6 = 000 e 6k B = e6k B = 6k B = ln k B = ln 6 k B 0,55 Teste Intermédio o ano Página 0 de

21 6. As abcissas dos pontos de interseção do gráfico de f com o eixo Ox são as soluções da equação fx = 0. Resolvendo a equação, temos que: fx = 0 ln x = 0 = ln x x = e x = e x = ± e Assim, temos que as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de f com o eixo Ox são: e,0 e e,0 Exame 007, a Fase 6. Resolvendo a inequação temos que: lnx ln e > 0 lnx > ln e x > e x > e Como e,4, temos que, de entre as opções apresentadas, o único valor possível para x é Resposta: Opção D Exame 007, a fase 64. Calculando a intensidade da luz solar à superfície da água, ou seja a zero metros de profundidade temos: I0 = ae b 0 = ae 0 = a = a Como a 0 metros de profundidade, a intensidade da luz solar era metade da sua intensidade à superfície da água, temos que I0 = I0 Resolvendo a equação, e apresentando o resultado arredondado às centésimas, vem que: I0 = I0 ae b 0 = a e 0b = a a a 0 e 0b = ln 0b = ln b = b 0, Resolvendo a inequação, temos que: e x > 0, x R e x > e e x > e e > ex e > e x > x x < e x é crescente no seu domínio Escrevendo as soluções na forma de intervalo de números reais temos: ],[ Resposta: Opção B 66. Usando as propriedades dos logaritmos, vem que: Exame 007, a Fase Teste Intermédio o ano log a a a = log a a + log a a = + log a a = + log a a = + = + = 4 Resposta: Opção B Teste Intermédio o ano Página de

22 Substituindo na equação o valor do ph por 7,4, resolvendo a equação e apresentando o resultado na forma solicitada, temos: 7,4 = logx 7,4 = logx x = 0 7,4 x mol/dm 67.. Designando por l a concentração de iões H O + no leite, temos que: o ph do leite é logl a concentração de iões H O + no café é l o ph do café é logl Assim a diferença entre o ph do leite e o ph do café é: logl logl Simplificando a expressão e apresentando o resultado arredondado às décimas, vem: logl logl = logl + logl = logl logl = log l l = log 0,5 Teste Intermédio o ano Como o ponto A é o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo Ox, então resolvendo a equação fx = 0, temos: fx = 0 e x c = 0 e x = c x = ln c E assim, o ponto A tem coordenadas Aln c,0 Como o ponto B é o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo Oy, então calculando f0 temos: E assim, o ponto B tem coordenadas B0, c f0 = e 0 c = c Determinando o declive da reta AB recorrendo às coordenadas dos pontos A e B, vem: m AB = y B y A x B x A = c 0 0 ln c = c ln c Como o declive da reta AB é c, estabelecendo a igualdade e resolvendo a equação, temos: m AB = c c ln c = c c c = ln c c c = ln c = ln c c = e c = e 69. Como o ponto 0, pertence ao gráfico de f, temos que f0 =, e assim vem que: f0 = a 0 + b = + b = b = b = Teste Intermédio o ano Como o ponto, pertence ao gráfico de f, temos que f =, e como b = vem que: Resposta: Opção A f = a + b = a + = a = a = Exame 006, a Fase Página de

23 70. Usando as propriedades dos logaritmos, vem que: Resposta: Opção C hx = ln e x = ln e x = x ln e = x = x 4 Exame 006, a fase 7. Como o triângulo [OP Q] é isósceles, então a abcissa do Q é o dobro da abcissa do ponto P, pelo que a abcissa do ponto Q é x Como o ponto P pertence ao gráfico de f, então a ordenada de P é fx = e x Considerando o lado [OQ] como a base do triângulo, temos que a área do triângulo [OP Q] é: Ax = x e x = xe x Exame 006, a fase 7. Resolvendo a equação temos: e x = e e x = e Resposta: Opção B e x = e x = x = + x = Teste Intermédio o ano Resolvendo a inequação, temos que: log x log x log x x > 0 x x > x x < log x é crescente no seu domínio e só está definida para valores positivos Escrevendo as soluções na forma de intervalo de números reais temos: [,[ Resposta: Opção A Teste Intermédio o ano Podemos determinar a ordenada do ponto A, calculando a imagem de zero pela função f: y A = f0 = e 0 = Como AC = OA, então a ordenada do ponto C é o dobro da ordenada do ponto A: y C = y A = = Pelo que, podemos calcular a ordenada do ponto E, ou seja, a medida da base do triângulo: Como a abcissa do ponto B é: Logo a ordenada do ponto D é: ln x = x = e ln x = 0 x = e 0 x = y D = f = e = e Desta forma, a altura do triângulo relativamente ao lado [CE] é: E assim, a área do triângulo é: Resposta: Opção D y D y C = e A [CDE] = x E y D y C = e e Teste Intermédio o ano Página de

24 75. Como x é o preço de venda ao público, em euros, de litro de azeite, e por cada litro de azeite vendido a empresa tem uma despesa de euros, então o lucro obtido por cada litro de azeite é x Assim, o lucro obtido Lx será o produto do lucro obtido por litro de azeite x, pela quantidade de litros de azeite vendida V x: Lx = x V x = x e 4 x 76. Usando a definição e as propriedades dos logaritmos, temos que: ln ln ln 0 ln f = = = Relativamente ao planeta Úrano, temos que: Como t = 84, então, vem que: Teste Intermédio o ano = + ln = + ln = ln e + ln = ln e = ln 4e ln84 = k + lnd U = + ln = Teste Intermédio o ano Como a distância média de Úrano ao Sol d U é o dobro da distância média de Saturno ao Sol d S, ou seja: d U = d S Logo, temos que: ln84 = k + lnd S ln84 = k + ln + lnd S ln84 k ln = lnd S Assim, calculando o tempo, em anos, que demora o planeta Saturno a realizar uma translação completa em torno do Sol t S e apresentando o resultado arredondado às décimas, temos: lnt S = k + lnd S lnt S = k + ln84 k ln lnt S = lnt S,9 t S e,9 t S 9,7 ln84 ln 77.. Como, no caso da Terra, t = e d = 49,6, determinando o valor de k, e apresentando o resultado arredondado às unidades, vem que: ln = k + ln49,6 0 = k + ln49,6 ln49,6 = k k 5 Exame 005, Ép. especial cód Recorrendo à definição de taxa de variação média de uma função num intervalo, e das propriedades dos logaritmos: h h T V M [,] hx = = + 0 ln 0, + 0 ln 0, = = ln 0, + 0 ln 0, ln0,7 0 ln0,9 = = ln = ln0,7 ln0, = = ln e ln = ln e + ln 9 0,7 0,9 0,7 = + 5 ln = 0,9 7 [ 5 ] 5 7 = ln e 9 9 Exame 005, a Fase cód. 45 Página 4 de

25 79. Relativamente à base [OB], a altura é o segmento [BA], e assim temos que a medida da altura é a abcissa do ponto A e a medida da base é a ordenada do ponto A: BA = x A = OB = y A = f = log + = log 4 = Pelo que a área do triângulo [ABO] é: Resposta: Opção C A [ABO] = BA OB = = Exame 005, a fase cód A população de aves que existia no início de 970, ou seja zero anos após o início de 970 é: P 0 = 5, 0 7 e N M 0 = 5, 0 7 e 0 = 5, 0 7 = 5, 0 7 Como no início de 000 tinham passado exatamente = 0 anos, e a população era metade da que existia no início de 970, então temos que: P 0 = 5, 07 Como a taxa de natalidade é 7,56, podemos determinar a taxa de mortalidade M, e arredondar o valor às centésimas: 5, 0 7 e 7,56 M 0 = 5, 07 ln0,5 = 07,56 M ln0,5 0 e 7,56 M 0 = 5, 07 5, 0 7 e7,56 M 0 = = 7,56 M M = 7,56 ln0,5 0 M 7,58 Exame 005, a Fase cód Relativamente à base [RQ], cuja medida é igual à abcissa do ponto Q, a altura é a diferença das ordenadas dos pontos Q e P, e assim temos que as medidas da da base b e das alturah, são: b = x Q = 9a 9a h = y Q y P = f9a fa = log 9a log a = log = log a 9 = Pelo que a área do triângulo [P QR] é: Resposta: Opção B 8. Usando a definição de logaritmo, temos que: A [P QR] = b h = 9a = 9a Exame 004, Ép. especial cód. 45 Resposta: Opção C log p 6 = 4 p 4 = 6 p>0 p = 4 6 p = Exame 004, a Fase cód Usando a definição e as propriedades dos logaritmos, e como log a =, temos que: 5 a 5 log = log 8 a 5 log 8 = 5 log a log 8 = 5 5 = = Resposta: Opção B Exame 004, a Fase cód. 45 Página 5 de

26 84. O parâmetro a corresponde a uma translação vertical do gráfico da função definida por gx = e x, e como a assintota horizontal do gráfico de f é y = e a do gráfico de g é y = 0, então temos que: a = Como o gráfico contém o ponto de coordenadas 0,, substituindo as coordenadas do ponto na expressão fx = + be x, podemos calcular o valor de b: Resposta: Opção A = + be 0 + = b = b Exame 00, Prova para militares cód Como a função logarítmica só está definida para valores positivos do argumento do logaritmo, temos que o domínio da função g é o conjunto ou qualquer subconjunto deste: Assim, resolvendo a inequação, temos: {x R : x > 0} Cálculos auxiliares: x > 0 x > x < x > x < x = x = ± x = x = y O x Pelo que, o conjunto solução da inequação e o domínio da função, é: ],[ Resposta: Opção B Exame 00, a fase cód Como, no modelo, o valor de t é o número de anos decorridos após 864, no início de 00 decorreram = 9 anos, pelo que no final de 00 decorreram = 40 anos. E assim, substituindo o valor t = 40, na expressão do modelo, podemos calcular a população de Portugal Continental no final do ano de 00, e arredondar o resultado às décimas: p40 =,5 + 6,8 9,8 milhões de habitantes +,8e 0, Vamos primeiro determinar o número de anos após 864 em que a população de Portugal Continental foi de,7 milhões de habitantes: 6,8 pt =,7,5 + +,8e 0,06t =,7 6,8 =,7,5 +,8e 0,06t 6,8 0, = +,8e 0,06t 4 = +,8e 0,06t 4 0,06t = ln,8 t = ln,8 0,06,8 = e 0,06t t 6,07 Como t = 0 corresponde ao início do ano 864, então o ano em que população de Portugal Continental foi de,7 milhões de habitantes aconteceu mais de 6 anos anos, ou seja, 7 anos antes, nomeadamente no ano de = 87 Exame 00, a Fase cód. 45 Página 6 de

27 Como x é a distância à parede A, então para x = 0 a altura da rampa é a altura da parede A. Calculando a altura da rampa, em metros, arredondado às décimas, para x = 0, temos: h0 = 5 4 ln = 5 4 ln 5,4 m 87.. Recorrendo às propriedades dos logaritmos, temos que: h5 x = 5 4 ln 5 x +05 x+ = 5 4 ln 5 0x+x x+ = = 5 4 ln 5 + 0x x + 6 0x = 5 4 ln x + 6 h5 + x = 5 4 ln 5 + x +05 +x+ = 5 4 ln 5+0x+x +50+0x+ = = 5 4 ln 5 0x x x = 5 4 ln x + 6 Pelo que podemos concluir que h5 x = h5 + x, o que, no contexto da situação descrita significa que a altura da rampa em dois pontos equidistantes do ponto central - situado a 5 metros da parede A x = 5 - é igual. Exame 00, a fase - a chamada cód Como o tempo uma hora e trinta minutos da tarde corresponde ao valor t =,5, então, calculando o nível de poluição e apresentando o resultado arredondado às décimas, temos: P,5 = ln,5 +,5 + 0,8 mg/l 89. Usando as propriedades dos logaritmos, e como ln = 0, temos que: Resposta: Opção C Exame 00, a fase - a chamada cód. 45 ln a = ln b ln a + ln b = 0 lna b = ln a b = Exame 00, Prova para militares cód Como gπ = sen π cos π = 0 =, resolvendo a equação e apresentando a solução na forma solicitada, vem que: 9. fx = gπ + e x = e x = e x = e x = e x = ln = x x = ln x = ln e ln 9.. Usando as propriedades dos logaritmos, temos que: x = ln e x = ln e Exame 00, a Fase cód. 45 N = 0 log 0 0 I = 0 log log 0 I = 0 log log 0 I = = 0 log log 0 I = log 0 I = log 0 I 9.. Recorrendo à igualdade anterior e, identificando que N = 40, podemos determinar o valor de I, correspondente, em watt por metro quadrado: 40 = 0+0 log 0 I 40 0 = 0 log 0 I 0 0 = log 0 I = log 0 I I = 0 I = 00 Exame 00, a fase - a chamada cód. 45 Página 7 de

28 Como o tempo é medido em horas, quinze minutos corresponde a t =, pelo que o valor da concentração do antibiótico no sangue da Ana, quinze depois minutos de ela o ter tomado, arredondado às 4 centésimas é: A = 4 4 e 4 0,05 mg/l Os instantes em que as concentrações são iguais são as soluções da equação At = Ct. Assim, resolvendo a equação, temos: At = Ct 4t e t = t e 0,7t 4t e t t e 0,7t = 0 t e t e 0,7t = 0 t = 0 e t e 0,7t = 0 t = 0 e t = e 0,7t t = 0 = e 0,7t e t t = 0 = e 0,7t t t = 0 = e 0,t t = 0 0,t = ln t = 0 t = ln 0, Logo, para além do instante t = 0 correspondente ao instante em que as duas pessoas tomam o medicamento a concentração volta a ser igual no instante t = ln,0. E como cada hora tem 0, 60 minutos, fazendo a conversão de 0,0 horas para minutos, vem: 0, min Pelo que se concluí a concentração do medicamento, no sangue da Ana e do Carlos, volta a ser igual ao fim de horas e 9 minutos depois da toma simultânea. Exame 00, a fase - a chamada cód O tempo necessário para a temperatura do pudim seja igual a doze graus é a solução da equação ft =. Resolvendo a equação, para valores de t < 60, vem: ft = ,05t = 80 0,05t = ,05t = 0 0,05t = ,05t = 0, 0,05t = log 0, Equação impossível Resolvendo a equação, para valores de t 60, vem: ft = ,05t 60 = 4 0,05t 60 = 6 0,05t 60 = 6 4 0,05t 60 = 4 0,05t 60 = log t = t = t 60 = log log 4 0, t = t = 00 min Desta forma, a única solução da equação ft = é t = 00, o que significa que demorou 00 minutos para que a temperatura do pudim fique igual a doze graus. 94. Usando as propriedades dos logaritmos e das potências, temos que: Resposta: Opção A y = log x x = y x = y x = y x = 8 y Exame 00, Prova para militares cód. 45 Exame 00, Ép. especial cód. 45 Página 8 de

29 Usando as propriedades das potências, verificamos que At + At é constante, porque: At + At = 6e0,t+ 6e 0,t = e0,t+0, e 0,t = e0,t e 0, e 0,t = e 0,, No contexto da situação descrita, temos que a razão das áreas das manchas observadas com uma diferença de uma hora é,, ou seja, a cada hora a mancha aumenta 0, vezes a sua área, o que significa que a mancha aumenta 0% a cada hora. At + At, At +, At At + At + 0, At 95.. Como a mancha de crude é circular, com um raio de sete quilómetros, a área da mancha é: A M = π 7 = 49π Determinando o tempo a que corresponde este valor da área, temos: 49π At = 49π 6e 0,t = 49π e 0,t = 49π ln 49π 6 0,t = ln t = 6 6 0, t,640 Como cada hora tem 60 minutos, fazendo a conversão de 0,640 horas para minutos, vem: 0, min Assim, temos que a mancha de crude atingirá a costa às horas e 8 minutos do dia seguinte ao acidente. Exame 00, a Fase cód Temos que: Por exemplo, para x = temos que > >, existe pelo menos um valor de x R que é solução da inequação fx > gx Por exemplo, para x = temos que < <, existe pelo menos um valor de x R + que não é solução da inequação fx > gx Assim, como identificamos uma solução da inequação, podemos garantir que é possível e como identificamos um valor de x R + podemos garantir que o conjunto solução não é R, nem é R +, pelo que de, entre as opções apresentadas, podemos concluir que o conjunto solução é R Em alternativa, podemos recorrer à representação gráfica das duas funções para verificar que as ordenadas dos pontos do gráfico de f são superiores às ordenadas dos pontos do gráfico de g para valores negativos de x, como se pode observar na figura ao lado. Resposta: Opção B y 0 g f x Exame 00, a fase - a chamada cód. 45 Página 9 de

30 Como a altura do Ricardo é A =,4, determinando o peso correspondente, e apresentando o resultado em quilogramas, arredondado às unidades.vem: Ap =,4 0,5 + 0,55 ln p =,4 0,55 ln p =,4 + 0,5 ln p =,9 0,55 p = e,9 0,55 p Kg 97.. Recorrendo às propriedades dos logaritmos podemos verificar que Ap Ap é constante porque: Ap Ap = 0,5 + 0,55 lnp 0,5 + 0,55 ln p = 0,5 + 0,55 lnp + 0,5 0,55 ln p = = 0,55 lnp 0,55 ln p = 0,55 lnp ln p p = 0,55 ln = 0,55 ln 0,8 p No contexto da situação descrita, o valor da constante calculada significa que a diferença entre as alturas de duas crianças do sexo masculino, cujos pesos sejam o dobro um do outro, é de 0,8 metros, ou seja, segundo este modelo, a duplicação do peso de uma criança do sexo masculino corresponde um crescimento de 8 centímetros. Exame 00, a fase - a chamada cód Usando as propriedades das potências e a definição de logaritmo, temos que: 99. Resposta: Opção D e ln a = e ln a = a Exame 00, a fase - a chamada cód Como a altitude do cume do Pico é 50 metros, ou seja,,5 quilómetros, então, calculando a pressão atmosférica, em quilopascal, de acordo com o modelo, e arredondado o valor obtido às unidades, temos: P,5 = 0e 0,,5 76 KPa 99.. Resolvendo a equação, e arredondado a solução às décimas, vem que: P h + x = P h 0e 0,h+x = 0e 0,h 0e 0,h 0,x 0e 0,h = e 0,h 0,x e 0,h = e 0,h 0,x 0,h = e 0,x = ln 0,x = ln x = 0, x 5,8 No contexto da situação descrita, P h + 5,8 P h significa que para um acréscimo de 5,8 Km de altitude a pressão atmosférica correspondente se reduz para metade. Exame 000, a fase cód Resolvendo a equação, temos que: e x ln [fx] = x ln = x ln e x lnx = x x lnx = x x x x = lnx 0 = lnx x = e 0 x = x = Exame 000, a fase - a chamada cód. 45 Página 0 de

31 0. A abcissa do ponto P, é a solução da equação fx = : Resposta: Opção D fx = log 8 x = x = 8 x = 8 x = 0. Sabendo que log a b = c, e recorrendo às propriedades dos logaritmos, temos que: Resposta: Opção A log a ab = log a a + log a b = + c Exame 000, a fase - a chamada cód. 45 Exame 000, Prova modelo cód Como o gráfico de f interseta o eixo Oy no ponto de ordenada, ou seja no ponto de coordenadas 0,, substituindo as coordenadas do ponto na expressão algébrica da função f, podemos calcular o valor de a: Resposta: Opção A f0 = e 0+a = e a = a = ln Exame 000, Prova para militares cód Usando as propriedades dos logaritmos e das potências, temos que: gx = log. x = log + log x = + log x = + log x = + log x Resposta: Opção C = + log x Exame 999, Prova modelo cód Como o momento em que o pára-quedas se abre, corresponde a zero segundos após a abertura do páraquedas, então calculando a distância, em metros, ao solo no momento da abertura do pára-quedas, temos: 06. d0 = e,70 = e 0 = = 865 m Como a distância ao solo no momento do salto é de 500 metros, a distância percorrida em queda livre, ou seja, entre o salto do helicóptero e a abertura do pára-quedas é: = 65 m Exame 998, Prova para militares cód Como o valor da magnitude é 8,6 M = 8,6, determinando o valor correspondente da energia total libertada, em Joule, vem que: log 0 E = 5,4 +,44 8,6 log 0 E = 7,64 E = 0 7,64 E 4, Como cinco vezes a energia total libertada pelo terremoto de Lisboa de 755 é 5 4, 0 7 =, 0 8 ou seja E =, 0 8, determinando o valor correspondente da da magnitude, e apresentando o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas, temos: log 0, 0 8 = 5,4 +,44M log 0, + log = 5,4 +,44M log 0, + 8 = 5,4 +,44M log 0, + 8 5,4 =,44M log 0, +.76,44 = M M 9, J Exame 998, a fase cód. 5 Página de

32 Usando as propriedades dos logaritmos, temos que: x fx = log 8x log x = log 8 + log x log x = + log = + log x x 07.. A abcissa do ponto do gráfico de f que tem ordenada 8 é a solução da equação fx = 8. Usando a expressão algébrica anterior, e resolvendo a equação, vem que: fx = 8 + log x = 8 log x = 8 log x = 5 x = 5 x = 08. Calculando a ordenada do ponto do gráfico de f, cuja abcissa é e, temos que: Resposta: Opção B fe = lne = ln + ln e = ln + = + ln 09. Como o primeiro poste está a zero metros dele próprio, a sua altura é dada por: f0 = 5 e 0, 0 + e 0, 0 = 5 e + e = 5 e + e 0. Exame 998, a fase - a chamada cód. 5 Exame 998, Prova modelo cód. 5 Analogamente, como o segundo poste está a 0 metros do primeiro poste, a sua altura é dada por: f0 = 5 e 0, 0 + e 0, 0 = 5 e + e = 5 e + e E assim, calculando a diferença, em metros, das alturas dos dois postes, e apresentando o resultado na forma de dízima, com aproximação às décimas, temos: f0 f0 = 5 e + e 5 e +, m e Exame 998, Prova modelo cód O valor inicial da atividade, corresponde a t = 0, pelo que o valor de R correspondente é: Desta forma, metade do valor inicial é A Rt = A A e Bt = A e Bt = R0 = A e B 0 = A e 0 = A = A e o valor de t correspondente é a solução da equação: A A e Bt = Bt = ln Bt = ln ln Bt = 0 ln t = ln B t = ln B 0.. Pelo cálculo do item anterior, sabemos que o valor inicial da atividade é o valor de A, pelo que, para esta substância temos que: A = 8 Substituindo os valores de A = 8, t = e R = 6, na expressão dada, determinamos o valor de B: 6 = 8 e B 6 8 = e B 4 = e B B = ln 4 B = ln ln 4 B = ln 4 ln Exame 997, a fase cód. 5 Página de