UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL LUTER CAIO DA CRUZ NOBRE ANÁLISE DE PILAR DE PONTES PELOS MÉTODOS DA NBR 6118:2003 FORTALEZA 2010

2 ii LUTER CAIO DA CRUZ NOBRE ANÁLISE DE PILAR DE PONTES PELOS MÉTODOS DA NBR 6118:2003 Trabalho de conclusão de curso submetido à Coordenação do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Civil. Orientador: Prof. (a) Magnólia Maria Campelo Mota Co-orientador: Joaquim Eduardo Mota. FORTALEZA 2010

3 iii N671a Nobre, Luter Caio da Cruz Análise de pilar de pontes pelos métodos da NBR 6118:2003 / Luter Caio da Cruz Nobre. Fortaleza, f. il.; color. enc. Orientadora: Profa. Dra. Mota, Magnólia Maria Campelo Co-orientadora: Prof. Dr. Joaquim Eduardo Mota Monografia (graduação) - Universidade Federal do Ceará, Centro de Tecnologia. Depto. de Engenharia Estrutural e Construção Civil, Fortaleza, Pontes-fundações e pilares 2. Normas técnicas (Engenharia) I. Mota, Magnólia Maria Campelo (orient.) II. Mota, Joaquim Eduardo III. Universidade Federal do Ceará Graduação em Engenharia Civil. IV. Título CDD 620

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5 iv RESUMO Em alguns problemas de engenharia é necessário que a estrutura seja considerada em sua configuração deformada para efetuar uma análise mais precisa. Trazendo essa realidade para o contexto de dimensionamento de pilar, esse fato tem ganhado uma importância crescente devido ao desenvolvimento tecnológico apresentado pela engenharia civil, que proporciona, cada vez mais, uma concepção de projetos com elementos estruturais mais esbeltos. Assim, esse trabalho trás como proposta uma análise dos métodos mais simples (métodos aproximados) da NBR 6118 (ANBT, 2003) a partir de um método mais rigoroso (método geral) de análise de efeitos de segunda ordem proposto pela mesma norma. Essa análise ocorrerá aplicando os três métodos em um pilar de ponte com alturas, e conseqüentemente esbeltez, crescentes e comparando os resultados obtidos. Para isso, é importante que seja exposto os aspectos gerais de um projeto de ponte a fim de obter um maior entendimento das possíveis cargas atuantes em um pilar desse tipo de estrutura. Palavras-chaves: Métodos aproximados, método geral, norma brasileira.

6 v LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 Gráfico tensão deformação do concreto armado (SCADELAI: 2003) Figura 2.2-Diagrama simplificado para o dimensionamento de peças de concreto armado (NBR 6118 ABNT: 2003) Figura 2.3 Relação entre o momento interno e a curvatura para materiais elásticos (SCADELAI: 2004)...17 Figura 2.4 Relação entre o momento interno e a curvatura para materiais inelásticos (SCADELAI: 2004)...17 Figura 2.5 Relação entre momento externo e curvatura para flexo-compressão e compressão axial usando a equação completa (SCADELAI: 2004)...18 Figura 2.6 Relação entre momento externo e curvatura para flexão composta usando a equação reduzida (SCADELAI: 2004)...18 Figura 2.7 Seção genérica de concreto armado...19 Figura 3.1 Cargas e excentricidades iniciais no topo e na base dos pilares (SCADELAI: 2004)...25 Figura 3.2 Esquema estrutural para o cálculo dos momentos no topo e na base do pilar (SCADELAI: 2004)...26 Figura 3.3 Desaprumo do prédio (SCADELAI: 2004)...27 Figura 3.4 Imperfeições locais (PINHEIRO: 2007) Figura 3.5 Pilar biapoiado do caso Figura 3.6 Pilar engastado para o caso Figura 4.1 Método geral por carregamentos sucessivos (SCADELAI: 2004) Figura 4.2 Método geral por excentricidades sucessivas (SCADELAI: 2004)...35 Figura 4.3 Deformada estável (SCADELAI: 2004) Figura 4.4 Elástica do pilar padrão (PINHEIRO: 2007) Figura 4.5 Arranjo de armadura caracterizado pelo parâmetro α s (Figura 17.2 da NBR 6118 ABNT: 2003)...44 Figura 5.1 Trem tipo com o veículo e cargas distribuídas p e p (NBR 7188 ABNT: 1984) Figura 5.2 Veículo do trem tipo (NBR 7188 ABNT: 1984)...52 Figura 5.3 Trem tipo para ponte ferroviária (NBR 7189 ABNT: 1985) Figura 5.4 Linha de influência para reação de apoio em um viga biapoiada Figura 5.5 Linha de influência para reação de apoio de vigas com balanço...54 Figura Veículo na posição mais desfavorável na seção transversal de uma ponte Figura 5.7 Influência do veículo tipo nas vigas...56 Figura 5.8 Trem tipo(vista longitudinal) Figura 5.9 Empuxo de terra numa ponte Figura 5.10 Largura de cálculo de um pilar para determinação do empuxo atuante...60 Figura 5.11 Fator de forma para cada tipo de seção transversal do pilar Figura 5.12 Deslocamento (D) provocado pela força (H)...63 Figura 5.13 Deslocamento total no topo do pilar Figura 6.1 Pilar analisado Figura 6.2 Arranjo da armadura na seção transversal....76

7 vi LISTA DE TABELAS Tabela 3.1 Valores do coeficiente adicional γ n em função de b (NBR 6118 ABNT: 2003).22 Tabela 5.1 Cargas do veículos (NBR 7188 ABNT: 1984)...51 Tabela 5.2 Características dos veículos (NBR 7188 ABNT: 1984)...51 Tabela 5.3 Cargas do trem tipo (NBR 7189 ABNT: 1985)...52 Tabela 5.4 Relação entre a largura real e a largura de cálculo do pilar...60 Tabela 6.1 Comprimento adotado para cada esbeltez Tabela 6.2 Peso próprio para cada caso de esbeltez...71 Tabela 6.3 Normal de cálculo para cada caso de esbeltez...71 Tabela 6.4 Comprimento equivalente (Le) adotado para cada caso...72 Tabela 6.5 Desaprumo e excentricidade acidental para cada caso...72 Tabela 6.6 Esbeltez limite para cada caso Tabela 6.7 Momentos finais pelos métodos da rigidez e da curvatura aproximada...73 Tabela 6.8 Diferença percentual entre os métodos aproximados Tabela 6.9 Momentos obtidos pelo método geral...77 Tabela 6.10 Diferença percentual entre os métodos aproximados e o método geral...78

8 vii SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO Problemática Justificativa Objetivos Objetivo geral Objetivos específicos Estrutura da monografia CONCEITOS BÁSICOS Não linearidades Comportamento do concreto Linha elástica e curvatura Relação momento curvatura Diagrama (M, N, 1/r) Efeitos de segunda ordem DIMENSIONAMENTO DE PILARES Dimensões mínimas Comprimento equivalente Raio de giração Índice de esbeltez Classificação dos pilares Classificação quando às solicitações iniciais Classificação quanto à esbeltez Excentricidade de 1ª ordem Excentricidade inicial Excentricidade acidental Imperfeições globais Imperfeições locais Momento mínimo Excentricidade de forma Excentricidade suplementar Esbeltez limite Excentricidade de segunda ordem MÉTODOS PARA A CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM Método geral Formulação do método Métodos aproximados Pilar padrão Método da curvatura aproximada Método da rigidez κ aproximada Método da rigidez aproximada pelo método direto Pilares retangulares submetidos à flexão composta oblíqua Cálculo simplificado Flexão composta oblíqua ELEMENTOS BÁSICOS DE UM PROJETO DE PONTE Sistemas Estruturais Pontes em lajes Pontes em vigas...47

9 5.1.3 Pontes em arco Pontes em pórtico Pontes estaiadas, suspensas ou pênseis Cargas em pontes Peso da Estrutura Cargas úteis Elementos Naturais Deformações internas Cargas especiais Carga Permanente Carga móvel Trem tipo Linha de influência Impacto Vertical Cálculo do trem tipo utilizando a linha de influência Frenagem e aceleração Força do vento Empuxo de Terra Ação dinâmica da água Esforços devido à variação de temperatura e à retração Esforços atuantes nos pilares Cálculo da rigidez de pilares de concreto armado Coeficiente de rigidez global Coeficiente de Rigidez do Apoio Coeficiente de Rigidez da Função Dedução do coeficiente de Rigidez Global Distribuição dos esforços longitudinais por pilar Distribuição dos esforços transversais por pilar ANÁLISE DE UM PILAR DE PONTE Análise pelos métodos aproximados Análise pelo método geral CONCLUSÕES...80 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...82 APÊNDICE A Tutorial da planilha de cálculo de pilares viii

10 9 1. INTRODUÇÃO Nesse capítulo, será apresentado o tema do trabalho, seus objetivos e a importância de estudar esse tema. 1.1 Problemática Os avanços tecnológicos em várias áreas da engenharia civil acarretaram melhoras no desempenho dos materiais empregados na construção, possibilitando estruturas mais esbeltas e arrojadas, com um menor consumo de material e, conseqüentemente, com maior economia. No entanto, com esse aumento na esbeltez é de fundamental importância que sejam considerados corretamente os efeitos de segunda ordem no dimensionamento dos pilares das estruturas. Khouri (2001 p.1) ressalta as condições fundamentais em um projeto estrutural numa obra de engenharia, especialmente no caso de pontes: Em uma ponte, como nas demais obras de engenharia, há uma condição fundamental relativa à sua função: ter estabilidade e durabilidade por certo período previamente estabelecido. Essas condições, se bem que essenciais em uma ponte, não devem ser únicas e nem exclusivas. De modo geral, a engenharia não deve se limitar ao mero estudo da estabilidade de suas construções. Segundo esse autor, a idéia de responder às exigências de concepção cada vez mais arrojadas das estruturas de pontes e a constante motivação econômica, tem exigido do engenheiro a necessidade de um conhecimento cada vez mais preciso e refinado do comportamento estrutural dessas obras. Os efeitos de segunda ordem ocorrem devido ao deslocamento da estrutura causado pelos carregamentos iniciais, esse efeito proporciona um aumento nos esforços e se somam aos esforços de primeira ordem. A norma brasileira NBR 6118 (ABNT, 2003) apresenta alguns métodos para a consideração desses efeitos. A norma classifica os pilares em curtos, moderadamente esbeltos e esbeltos, os efeitos de segunda ordem só precisam ser considerados nos dois últimos tipos de pilares, para pilares esbeltos usa-se o método geral.

11 10 O método geral fundamenta-se numa metodologia mais rigorosa, aonde as não linearidades são consideradas de forma bastante precisa. Esse método pode ser aplicado a qualquer pilar, porém sua aplicação é trabalhosa e requer o uso de softwares. A NBR 6118 (ABNT, 2003) apresenta ainda dois métodos aproximados para a consideração desses efeitos, o método do pilar padrão com curvatura aproximada e o método do pilar padrão com rigidez κ aproximada, em ambos a não linearidade geométrica é aproximada por uma deformação senoidal da barra, a não linearidade física, no primeiro desses, é considerada a partir da curvatura na seção crítica, enquanto no segundo ela é levada em conta por uma aproximação da rigidez. Os pilares de pontes geralmente estão submetidos a condições iniciais distintas das normalmente encontradas em edifícios, estando submetidos a carregamentos resultantes da frenagem e aceleração dos veículos que transitam sobre a mesma, além de estarem sujeitos a ações do vento, empuxo de terra e eventualmente cargas provenientes de correnteza dos rios. Além disso, um aspecto muito importante no projeto de pontes é a consideração da carga dinâmica e seus efeitos, outro detalhe fundamental em qualquer projeto é a consideração da fluência dos materiais. Khouri (2001 p. 7) faz, em seu trabalho, as seguintes considerações sobre pilares de pontes: Os pilares de pontes não apresentam dificuldades especiais do ponto de vista do cálculo quando tratados como elementos isolados. Tal afirmativa não é verdadeiramente clara quando na análise propõe-se considerar condições mais adequadas de sua vinculação com o contexto estrutural (infra-estrutura e superestrutura), comportamento não linear e formas geométricas especiais. Nesse trabalho, será mostrada uma descrição dos métodos apresentados pela norma brasileira, em seguida serão apresentados os aspectos gerais de um projeto de pontes. Feita essas etapas iniciais, será analisado um pilar de ponte pelos métodos da norma apresentados, no final será realizada uma comparação entre os resultados e uma análise de eficiência dos métodos aproximados. 1.2 Justificativa

12 11 É de fundamental importância que esses métodos aproximados sejam estudados e que seja verificada a sua eficiência em relação ao método geral, visando ainda estabelecer as suas limitações, pois isso contribuirá com o aumento do nível de segurança dos projetos e tornará mais seguro o uso de pilares de concreto armado. 1.3 Objetivos Objetivo geral Os métodos aproximados da NBR 6118 (ABNT, 2003) apresentam a vantagem de uma aplicação mais simples, além de não precisar de um software específico e apresentar resultados satisfatórios dependendo de suas condições de aplicação, já o método geral, apesar de gerar resultados bem mais exatos, apresenta uma aplicação menos prática, sendo necessário o uso de softwares específicos. A análise dos métodos aproximados a partir de um método mais rigoroso (o geral) contribuirá para o conhecimento das limitações dos primeiros. Assim, o objetivo desse trabalho é apresentar cada um desses métodos e aplicá-los a um pilar de ponte, comparando os resultados obtidos a fim de verificar a eficiência dos métodos simplificados Objetivos específicos Para alcançar o objetivo geral desse trabalho, será traçado uma série de objetivos específicos. Inicialmente, pretende-se realizar um estudo sobre os aspectos gerais no dimensionamento de um pilar e dos efeitos locais de segunda ordem, visto a importância da consideração dos mesmos nas estruturas esbeltas que são freqüentemente encontradas nos projetos atuais, bem como será apresentado os critérios de dispensa desses efeitos. Após a apresentação desses conceitos, intenta-se apresentar o método geral e os métodos aproximados para a consideração dos efeitos de segunda ordem, buscando-se

13 12 caracterizá-los e descrevê-los. Esses métodos estão apresentados na NBR 6118 (ABNT, 2003). Serão apresentados aspectos gerais para o projeto de pontes, mostrando uma metodologia para obtenção dos esforços num pilar isolado. Feito isso, será analisado um pilar de ponte conforme os modelos da NBR 6118 (ABNT, 2003). Ao final desse trabalho, visa-se analisar e comparar os resultados obtidos. 1.4 Estrutura da monografia Esse trabalho apresenta sete capítulos, sendo o primeiro destinado à apresentação do trabalho, mostrando o tema de estudo, os objetivos do mesmo, bem como a importância de realizá-lo. O segundo capítulo trás os conceitos básicos necessários ao desenvolvimento desse trabalho, o terceiro mostra aspectos do dimensionamento de um pilar, o quarto apresenta os métodos para consideração dos efeitos de segunda ordem na NBR 6118 (ABNT, 2003), o quinto mostra os aspetos relativos a um projeto de ponte, o sexto mostra a análise de um pilar de ponte e o sétimo conclui o trabalho com as conclusões de toda a análise.

14 13 2 CONCEITOS BÁSICOS trabalho. Apresentam-se aqui os conceitos básicos necessários ao desenvolvimento desse 2.1 Não linearidades É comum a confusão entre os conceitos de linearidade e de elasticidade de um material, no entanto, esses conceitos são distintos, nota-se isso facilmente quando se diz que um material tem comportamento elástico-linear. Um material é dito elástico quando nele é aplicada uma carga que o deforma e, após cessar essa aplicação, a deformação se anula, ou seja, o corpo deformado não apresenta deformação residual. Se ao cessar a aplicação da carga houver deformação residual, o material não tem comportamento elástico. Graficamente esses comportamentos estão representados na figura abaixo. Figura 2.1 Gráfico tensão deformação do concreto armado (SCADELAI: 2004). Se o material apresentar comportamento elástico, ao cessar a força atuante, a deformação retorna pela linha curva, senão ele retorna pela linha reta.

15 14 Em alguns materiais, ocorre uma relação de proporcionalidade entre as tensões e as deformações. Nesse caso, considera-se que eles obedecem à lei de Hooke. Quando isso ocorre, o diagrama das tensões vs. deformações é uma reta. Assim, considera-se que o material apresenta comportamento linear. Quando não ocorre essa proporcionalidade devido à alguma característica do material, tem-se a não linearidade física. Em alguns casos o material apresenta comportamento linear, mas está sujeito a um carregamento que deforma a estrutura a ponto dessas deformações acarretarem esforços adicionais a estrutura. Daí torna-se necessária a consideração da estrutura na sua forma deformada para a análise estrutural. Quando isso ocorre, a relação entre tensão e deformação deixa de ser linear. Nesse caso, ocorre a não linearidade geométrica. 2.2 Comportamento do concreto O concreto armado resulta da associação entre dois materiais, o aço e o concreto, e apresenta um comportamento de difícil descrição. O diagrama tensão deformação do concreto não é linear e varia de acordo com a classe do concreto. Considera-se que o concreto é um material elasto-plástico, apesar disso, para tensões menores que 30% da sua tensão máxima de compressão, ele apresenta comportamento elástico linear. A NBR 6118 (ABNT, 2003) adota um diagrama simplificado para o dimensionamento de peças de concreto de seção qualquer no estado limite último. A Figura 2.2 mostra esse diagrama.

16 15 Figura 2.2-Diagrama simplificado para o dimensionamento de peças de concreto armado (NBR 6118 ABNT: 2003). Nesse diagrama, a primeira parte é uma parábola do 2º grau que vai de 0 a 2º/ oo nas abscissas e tem ordenada máxima 0,85.fcd. A segunda parte é um trecho reto com valores de abscissas de 2º/ oo a 3,5º/ oo. 2.3 Linha elástica e curvatura Scadelai (2004), em seu trabalho, demonstra que a curvatura, numa barra, pode ser calculada em função da segunda derivada da linha elástica de acordo com a expressão abaixo: 1 = r d 2 y 2 dx 2 dy 1 + dx 3/ 2 ( 2.1) É possível simplificar a expressão acima se considerarmos que as deformações na barra são pequenas, sendo o valor dy/dx desprezível e conseqüentemente seu quadrado também. Assim, a expressão simplificada fica na seguinte forma: 1 2 d y dx 2 r = (2.2)

17 16 Ainda em seu trabalho, Scadelai (2004) mostra que, em peças de concreto armado, a curvatura pode ser calculada em função da deformação máxima no concreto e no aço de acordo com a expressão abaixo: 1 ε c ε = s r d (2.3) da lei de Bernoulli. Essa equação é válida para casos de flexão composta, considerando-se a validade 2.4 Relação momento curvatura Se um material apresenta linearidade física, ele obedece a lei de Hooke e então a curvatura relaciona-se ao momento da seguinte forma: 1 = r M EI (2.4) Scadelai (2004) afirma em seu trabalho que se existe proporcionalidade entre tensões e deformações num material (ou seja, o material apresenta linearidade física), a curvatura é proporcional ao momento interno. Caso contrário, se no material não houver proporcionalidade entre tensões e deformações, a relação entre o momento interno e a curvatura não é linear. A figura abaixo representa os dois casos:

18 17 Figura 2.3 Relação entre o momento interno e a curvatura para materiais elásticos (SCADELAI: 2004). Figura 2.4 Relação entre o momento interno e a curvatura para materiais inelásticos (SCADELAI: 2004). Ainda segundo Scadelai (2004), o cálculo do momento externo pode ser realizado pela equação da linha elástica na sua forma reduzida ou completa tanto para casos de compressão simples como de flexão composta, entretanto, apenas com a equação completa é possível calcular esse momento levando em consideração os efeitos de segunda ordem. Em casos de flexão composta, pode-se usar a forma reduzida e encontrar esses momentos considerando os efeitos de segunda ordem, contudo, os deslocamentos de segunda ordem usados no processo não são reais. As figuras 2.5 e 2.6 mostram a relação entre o momento externo e a curvatura para os casos descritos acima.

19 18 Figura 2.5 Relação entre momento externo e curvatura para flexo-compressão e compressão axial usando a equação completa (SCADELAI: 2004). Figura 2.6 Relação entre momento externo e curvatura para flexão composta usando a equação reduzida (SCADELAI: 2004). 2.5 Diagrama (M, N, 1/r) Em seu trabalho Borges (1999 p. 34) faz a seguinte consideração sobre o assunto: A análise de problemas de instabilidade, como de outros problemas da Engenharia, baseia-se em equações de equilíbrio e de compatibilidade. Essas equações referemse a estados de deformação desde solicitações muito baixas até atingir a ruína, seja por esgotamento da resistência do concreto ou deformação excessiva da armadura, seja por perda de estabilidade. Isso se dá porque os diagramas numa seção podem não pertencer aos domínios de deformação, mas serem constituídos por uma reta qualquer correspondente a uma situação de serviço ou a uma fase intermediária entre uma situação de serviço e uma de ruína. Scadelai (2003 p. 20) faz outra consideração importante: A análise de pilares de concreto armado submetidos à flexo-compressão envolve a consideração da teoria de 2a ordem, sendo essencial definir uma relação entre a

20 19 (M, N, 1/r): curvatura e os esforços, através de diagramas de interação força normal - momento fletor - curvatura. Esses diagramas são a ferramenta básica de qualquer cálculo de verificação da estabilidade. Utiliza-se a metodologia do trabalho de Borges (1999) para obter-se o diagrama Admitindo-se um pilar esbelto de concreto armado, sendo conhecidos: dimensões, quantidade e distribuição da armadura, tipo de aço e concreto e vinculações, sujeito a força de compressão excêntrica N. Determina-se o máximo momento interno que a seção pode desenvolver em função da curvatura da deformada naquela mesma seção. Figura 2.7 Seção genérica de concreto armado (SCADELAI: 2004). Seja a seção fletida da figura 2.7 com armadura conhecida. Rearranjando a eq. que relaciona curvatura e deformações, tem-se: 1 ε c ε s = (2.5) r d Por semelhança de triângulos: y c ε c = ε o+ (2.6) r y c ε s = ε o (2.7) r

21 20 Para atingir-se o estado limite último devem-se ultrapassar os seguintes limites: y ε 3,5º / oo (2.8) r c c = ε o + y ε 10º / oo (2.9) r c s = ε o Portanto, a seção, para uma dada curvatura 1/r, terá capacidade resistente enquanto não se chegar a um valor (ε o ) máx que faça ser atingida, no concreto ou no aço, suas deformações específicas limites. Assim, para cada par de valores (1/r, ε o ) têm-se definidos os valores de cálculo dos esforços N d e M d capazes de serem resistidos pela seção. Assim, para cada curvatura arbitrada (1/r i ), determinam-se os vários pares de valores (M d, N d ) correspondentes a essa curvatura, ou seja, obtém-se, para uma dada curvatura, os grupos de valores (1/r i, M d, N d ), referentes às variações de ε o, até se atingir ε o,máx. Com isso, tem-se conhecido o terno (M,N,1/r). Adotando-se outros valores da curvatura e mantendo-se fixos os demais dados, obtém-se o diagrama (M,N,1/r). 2.6 Efeitos de segunda ordem Efeitos de segunda ordem são os esforços resultantes da deformação da estrutura, esses efeitos conduzem à não linearidade entre ações e deformações. Chamam-se essas não linearidades de geométrica. Sob atuação das ações, os nós da estrutura se deslocam na direção horizontal, nesse caso têm-se os efeitos globais de segunda ordem. Na estrutura, algumas barras apresentam desvios no eixo, nesse caso têm-se efeitos locais de segunda ordem. A NBR 6118 (ABNT, 2003) define estruturas de nós fixos como aquelas aonde os deslocamentos horizontais dos nós da estruturas são suficientemente pequenos para que os efeitos causados por eles (efeitos globais de segunda ordem) sejam desprezíveis. Nesse caso, consideram-se apenas os efeitos locais de segunda ordem para análise estrutural. Se os deslocamentos não forem desprezíveis, os efeitos globais de segunda ordem não podem ser desprezados. Nesse caso, segundo a NBR 6118 (ABNT, 2003), a estrutura é

22 21 classificada como estrutura de nós móveis. Assim, consideram-se os efeitos de segunda ordem locais e globais. Segundo Scadelai (2004), nas estruturas de nós fixos, permite-se considerar isoladamente cada elemento comprimido, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura segundo a teoria de 1a ordem. Submetida às ações horizontais, a estrutura é sempre calculada como deslocável. O fato de a estrutura ser classificada como sendo de nós fixos dispensa apenas a consideração dos esforços globais de 2a ordem, mas não sua análise como estrutura deslocável. A NBR 6118:2003 considera elementos isolados: a) os elementos estruturais isostáticos; b) os elementos contraventados; c) os elementos das estruturas de contraventamento de nós fixos; d) os elementos das subestruturas de contraventamento de nós móveis desde que, aos esforços nas extremidades, obtidos numa análise de 1a ordem, sejam acrescentados os determinados por análise global de 2a ordem.

23 22 3 DIMENSIONAMENTO DE PILARES Pinheiro (2007) define pilar com elementos estruturais lineares de eixo reto, usualmente disposto na vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes e cuja função principal é receber as ações atuantes nos diversos níveis e conduzi-las até as fundações. No dimensionamento de pilares, a determinação de suas características geométricas é um dos pontos iniciais. 3.1 Dimensões mínimas A NBR 6118 (ABNT, 2003), no seu item , estabelece que a seção transversal dos pilares, qualquer que seja a sua forma, não deve apresentar dimensão menor que 19 cm. Em alguns casos, permitem-se dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que no dimensionamento se multipliquem as ações por um coeficiente adicional dado por: γ = 1,95 0, 05 b (3.1) n b é o menor lado da seção do pilar. Tabela 3.1 Valores do coeficiente adicional γ n em função de b (NBR 6118 ABNT: 2003) b (cm) γ ,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 n 360 cm 2. Em qualquer caso, não se permite pilar com área de seção transversal menor que 3.2 Comprimento equivalente

24 23 A NBR 6118 (ABNT, 2003) define comprimento equivalente (l e ) do pilar, suposto vinculado em ambas extremidades, como o menor dos valores: lo + h le (3.2) l l o é a distancia entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar; h é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura; l é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado. Para pilares engastados: l e = 2 l (3.3) 3.3 Raio de giração transversal. É a raiz quadrada da razão entre o momento de inércia e a área da seção I i= (3.4) A Para seção transversal retangular: h i = (3.5) 12

25 Índice de esbeltez É a relação entre o comprimento equivalente e o raio de giração. l e λ = (3.6) i 3.5 Classificação dos pilares Classificação quando às solicitações iniciais Quanto à solicitação os pilares podem ser internos, de borda ou de canto, sendo que o primeiro não apresenta excentricidade inicial, estando este submetido à compressão simples; no segundo, há excentricidade inicial em uma direção, estando submetido à flexão composta normal; e no último, ocorrem excentricidades nas duas direções, estando submetido à flexão composta oblíqua Classificação quanto à esbeltez Segundo Pinheiro (2007) quanto à esbeltez, podem-se classificar os pilares em: a) Pouco esbeltos λ < λ1; b) Esbeltez média λ1<λ<90; c) Esbeltos 90 <λ< 140; d) Excessivamente esbeltos 140 < λ<200.

26 Excentricidade de 1ª ordem Excentricidade inicial A excentricidade inicial, oriunda das ligações dos pilares com as vigas nelas interrompidas, ocorre em pilares de borda e de canto. As excentricidades iniciais no topo e na base são obtidas pelas equações 3.7 e 3.8, levando em consideração as ações em cada tramo do pilar: M topo ei, topo= (3.7) N M base ei, base= (3.8) N Figura 3.1 Cargas e excentricidades iniciais no topo e na base dos pilares (SCADELAI: 2004). Os momentos são calculados considerando a figura 3.2:

27 26 Figura 3.2 Esquema estrutural para o cálculo dos momentos no topo e na base do pilar (SCADELAI: 2004). Em casos onde não se tenha um estudo rigoroso da influência da solidariedade das vigas com os pilares, pode-se considerar o momento nos apoios extremos como o momento de engastamento perfeito multiplicado pelos coeficientes abaixo: a) Viga: 4r 3r + 3r inf sup vig + 3rinf+ 3r sup (3.9) b) Tramo superior do pilar: 4r 3r sup vig + 3rinf+ 3r sup (3.10) c) Tramo inferior do pilar: 4r 3r inf vig + 3rinf+ 3r sup (3.11) d) r i é a rigidez do elemento i no nó em questão, dada pela seguinte equação:

28 27 I i r= i (3.12) li Excentricidade acidental As imperfeições de eixo dos elementos na estrutura descarregada podem ser classificadas em globais e locais. Essas imperfeições não são consideradas pelos coeficientes de segurança, portanto devem ser consideradas explicitamente devidas sua grande influência na estabilidade da construção Imperfeições globais figura abaixo: Dever ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a Figura 3.3 Desaprumo do prédio (SCADELAI: 2004). θ = l (3.13)

29 θ a= θ n 1 (3.14) 2 l é a altura total da estrutura (em metros); n é o número total de elementos verticais contínuos; θ 1 min = 1/400 para estruturas de nós fixos ou 1/300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais. O valor máximo de θ 1 será de 1/ Imperfeições locais Para verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o efeito do desaprumo ou falta de retilinidade do eixo do pilar. Usualmente, basta considerar o segundo caso.

30 29 Figura 3.4 Imperfeições locais (PINHEIRO: 2007). Para pilar em balanço, basta considerar o desaprumo: e a = θ 1 l (3.15) Momento mínimo É dado pela seguinte expressão: M = N (0,015 0,03 ) (3.16) 1d,min d + h

31 30 Usualmente, admiti-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido, se for respeitado esse valor de momento mínimo. Para pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse valor deve ser respeitado em cada uma das direções separadamente Excentricidade de forma Ocorre quando os eixos baricêntricos das vigas não passam pelo centro de gravidade da seção transversal do pilar, as reações da viga apresentam excentricidades que são denominadas excentricidades de forma Excentricidade suplementar Leva em conta o efeito da fluência, sendo obrigatória a sua consideração para pilares com esbeltez maior que noventa. Em sua apostila, Pinheiro (2007) apresenta a seguinte formulação simplificada para seu cálculo: e c M = N sg sg + e a 2,718 ϕn N N e sg sg 1 (3.17) N 10 E l e ci = 2 I c e (3.18) a) M sg e N sg são, respectivamente, o momento e a normal com a combinação quase permanente; b) φ é o coeficiente de fluência; c) N e é a força de flambagem de Euler; d) I c é o momento de inércia no estádio I; e) e a é a excentricidade acidental;

32 31 f) E ci é o módulo de elasticidade secante do concreto. 3.7 Esbeltez limite Segundo a NBR 6118 (ANBT, 2003), os efeitos de 2ª ordem locais em elementos isolados, podem ser desprezados quando o índice de esbeltez for menor que um valor limite, definido pelas expressões: ( ,5. e1 / h) λ1= (3.19) α b 35 λ 1 90 (3.20) α b considerado. Onde e 1 é igual ao menor valor da excentricidade de 1ª ordem, no trecho O coeficiente α b é calculado conforme as equações abaixo: a) Caso 01 Pilares biapoiados sem forças transversais: M b α b = 0,6 + 0,4 ( ) 0,4 (3.21) M a 1 α b 0,4 (3.22) M a é o momento fletor de 1ª ordem no extremo A do pilar (maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado). M b é o momento fletor de 1ª ordem no outro extremo B do pilar (toma-se para M b o sinal positivo se tracionar a mesma face que M a e negativo em caso contrario).

33 32 Figura 3.5 Pilar biapoiado do caso 01. b) Caso 02 Pilares biapoiados com forças transversais significativas, ao longo da altura α = 1 (3.23) b c) Caso 03 Pilares em balanço M c α b = 0,8 + 0,2 ( ) 0,85 (3.24) M a 1,0 α 0,85 (3.25) b M a é o momento fletor de 1ª ordem no engaste; M c é o momento fletor de 1ª ordem no meio do pilar em balanço.

34 33 Figura 3.6 Pilar engastado para o caso 03. d) Pilares biapoiados ou em balanço com momentos fletores menores que o momento mínimo α = 1 (3.26) b 3.8 Excentricidade de segunda ordem Excentricidades de segunda ordem são as deformações geradas pelas forças que atuam na configuração indeformada da estrutura, a determinação dos efeitos gerados por essa excentricidade pode ser feita através dos métodos da NBR 6118 (ABNR, 2003).

35 34 4 MÉTODOS PARA A CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM Agora, serão mostrados os métodos que a NBR 6118 (ABNT, 2003) apresenta para a consideração dos efeitos de segunda ordem. 4.1 Método geral Segundo Scadelai (2004), o método geral consiste em efetuar uma análise nãolinear de 2ª ordem, com discretização adequada da barra, consideração da relação momentocurvatura real em cada seção e consideração não aproximada da não linearidade geométrica. Para Pinheiro (2007), esse método justifica sua utilização pela qualidade dos resultados, que retratam com maior precisão o comportamento real da estrutura, pois considera a não-linearidade geométrica, de maneira bastante precisa. Além disso, é aplicável a qualquer tipo de pilar. Apesar de apresentar ótimos resultados, a aplicação do método geral é trabalhosa, pois requer a solução numérica de equações diferenciais. Assim, sua aplicação requer o uso de softwares. O método geral estuda o comportamento da barra à medida que se dá o aumento da carga aplicada ou de sua excentricidade, determinando seus valores críticos. Além disso, ele considera que a curvatura é igual à segunda derivada da linha elástica. Como a aplicação do método depende da discretização da barra, a qualidade de seus resultados será melhor quanto mais a barra apresentar subdivisões. A análise por carregamentos sucessivos ocorre por etapas. Nela aplica-se uma carga por incrementos progressivos em cada etapa e calcula-se o deslocamento característico do efeito de 2ª ordem, que entra no cálculo do momento da próxima etapa. No diagrama abaixo, o valor assintótico desse processo é o carregamento crítico.

36 35 Figura 4.1 Método geral por carregamentos sucessivos (SCADELAI: 2004). Nessa análise, podem-se utilizar os diagramas (M, N, 1/r) para o cálculo dos deslocamentos. No processo por acréscimos de excentricidades, as etapas são as mesmas, no entanto, adotam-se cargas constantes e excentricidades de 1ª ordem variáveis. No diagrama abaixo o valor assintótico é a excentricidade crítica. Figura 4.2 Método geral por excentricidades sucessivas (SCADELAI: 2004) Formulação do método Ao receber uma carga, o pilar se deforma e gera um momento adicional N d.y, que provoca novas deformações e novos esforços. Se o pilar conseguir resistir às solicitações externas, o processo continua até que se encontre um equilíbrio entre as ações externas e as forças resistentes no pilar (para todas as seções). No caso de forças externas maiores que as resistentes, ocorre a perda de estabilidade.

37 36 aplicar o método geral: Banki (2004 apud Scadelai 2004), em seu trabalho, apresenta um roteiro para a) Divide-se o pilar em n trechos de comprimento: x = L / n (4.1) b) Arbitra-se um valor para a flecha a: y = a 0 (4.2) c) Conhecendo-se a força normal N d, calcula-se o momento de 2ª ordem no engastamento: M 2 do = N d a (4.3) seção engastada: Conhecendo-se a excentricidade inicial e 1, calcula-se o momento fletor total na = (4.4) M 0 M 1 d + M 2d d) A partir do diagrama (µ, ν, 1/r), para ω, ν, e µ o conhecidos, obtém-se a correspondente curvatura 1/r o. e) Usando-se a fórmula aproximada da curvatura e com o emprego das diferenças finitas, obtém-se y 1 : 2 d y 2 y1 2 yo + y1 1 x 1 = = y = 2 dx 2 1 x r o 2 r o + y o (4.5) f) De posse de y 1, repete-se o processo a partir do item c: ( M = N y (4.6) ) 2 d 1 d 1

38 37 M = + (4.7) 1 ( m1 m2 ) 1 g) Utilizando novamente o diagrama (µ, ν, 1/r), obtém-se a curvatura (1/r) 1. h) Calcula-se y 2 através da expressão: 2 d y = dx y 2 y + y 1 = = 1 o y x 2 x r 1 r 1 + y 1 (4.8) i) Continua-se o processo para as demais seções utilizando-se a expressão genérica. 2 1 yi+ 1 = 2 yi yi 1 x (4.9) r i j) Chegando-se à seção do topo deve-se ter y n = 0; caso contrário, recomeçam-se as tentativas arbitrando-se novo valor da flecha a. A Figura 4.3 ilustra o método: Figura 4.3 Deformada estável (SCADELAI: 2004).

39 Métodos aproximados Os métodos aproximados apresentam a vantagem de maior praticidade em sua aplicação, não sendo necessitando do uso de computador, entretanto, sua aplicação exige que várias condições sejam satisfeitas. Segundo Araújo. (2007 p. 7), as normas adotam dois tipos básicos de métodos simplificados para o dimensionamento de pilares de concreto armado, sendo o primeiro: Em um primeiro tipo de formulação arbitra-se uma configuração deformada para o eixo do pilar, bem como a curvatura máxima na seção crítica. Com isto, obtém-se uma expressão para a excentricidade de segunda ordem e pode-se calcular o momento fletor máximo para o dimensionamento. Araújo.(2007 p. 7) define, no mesmo trabalho, o segundo tipo como: Em um segundo tipo de formulação, resolve-se a estrutura de maneira exata, considerando um comportamento elástico linear do material. Para isto, arbitra-se uma rigidez à flexão equivalente e obtém-se o momento fletor máximo para o dimensionamento Pilar padrão Segundo Pinheiro (2007), é um pilar em balanço com uma distribuição de curvaturas que provoquem, na sua extremidade livre, uma flecha (a) dada por: 2 l a = 0,4 r base 2 e l 1 = 10 r base (4.10) figura abaixo: Demonstra-se a expressão de acordo com a formulação do mesmo autor segundo a

40 39 Figura 4.4 Elástica do pilar padrão (PINHEIRO: 2007). Assim, tem-se: = x l l a y π π cos. ' (4.11) = x l sen l a y π π. '' 2 (4.12) Como: dy x d r = (4.13) Para seção média, tem-se: ( ) 2 2 / 2 / '' 1 = = = = l a y r l x l x π (4.14) Assim, a flecha máxima pode ser: 2 / l x r l a = = π 4.15)

41 40 Para o caso do pilar em balanço, tem-se: 2 e l 1 a = 10 r base (4.16) Em que π 2 = 10. O momento total é obtido a partir da flecha máxima: M base 2, = N a (4.17) M 2 le 1 2, base = N (4.18) 10 r base Método da curvatura aproximada O método é válido para pilares com esbeltez menor que 90, seção transversal constante e armadura simétrica e constante ao logo do pilar. A não linearidade geométrica é aproximada por uma configuração deformada seinodal da barra. Uma expressão para curvatura na seção crítica aproxima a não linearidade física. A excentricidade de segunda ordem é dada por: e 2 2 le 1 = (4.19) 10 r A curvatura é aproximada pela seguinte expressão: 1 0,005 0,005 = (4.20) r h( ν + 0,5) h

42 41 por: Aonde h é a altura de seção transversal e ν é a força normal adimensional dada l 1 = α 10 r (4.21) 2 e M d, tot bm1d, A + N d M 1d, A Método da rigidez κ aproximada Esse método é válido para pilares retangulares de seção transversal constante, com esbeltez menor que 90 e armadura constante e simétrica ao longo do pilar. Nesse método, a não linearidade geométrica é considerada através uma deformação senoidal da barra e a não linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da rigidez. Assim o momento total é dado por: α M = λ 1 120κ ν b 1d, A M d, tot M 1d, A (4.22) E a rigidez k é dada por: M, κ = d tot ν (4.23) h N d Como o momento depende da rigidez, na primeira expressão, e a rigidez depende o momento, na segunda expressão, a NBR 6118 (ABNT, 2003) propõe um método iterativo para obtenção desse momento, entretanto, existe um método direto para sua obtenção Método da rigidez aproximada pelo método direto

43 42 forma: Banki (2004 apud Scadelai 2004) apresenta uma formulação direta da seguinte Substituindo a equação da rigidez na equação do momento total e considerando: κ 1 2 λ = 1 (4.24) 3840 Tem-se: ( K h N 5 ) M h N α M 0 5 M dtot + d b M d, tot d b 1d, A α (4.25) 1 = 1 d, A Resolvendo-se a equação, obtém-se: M dtot ( 2 h N k ) M 1 k2 + k + 10 M 1 d M 1 = (4.26) 10 Aonde M 1 = α b. M 1d,A (4.27) e k 2 = k 1. h. N d (4.28) Pilares retangulares submetidos à flexão composta oblíqua Nesse caso, pode-se aplicar o método da rigidez k nas duas direções, desde que a esbeltez seja menor que 90.

44 43 Devem ser verificados se os momentos de 1ª e 2ª ordem obtidos estão contidos na envoltória de momentos resistentes para a armadura escolhida Cálculo simplificado Para Pinheiro (2007), quando a força normal reduzida ν for maior ou igual a 0,7. Pode-se considerar o caso como de compressão centrada equivalente da seguinte forma: N sd e, ed = N sd 1+ β (4.29) h M Sd,eq = 0 (4.30) N A f sd ν = (4.31) c cd e h M sd = (4.32) N h sd 1 β 2 = (4.33) d' (0,39 + 0,01 α ) 0,8 h Sendo o valor de α dado por: α = -1/α S, se α S < 1 em seções retangulares; α = α S, se α S 1 em seções retangulares; α = 6, se α S > 6 em seções retangulares; α = -4, em seções circulares. Sendo, ainda:

45 44 ( nh 1) α s = (4.34) ( n 1) v cálculo. A disposição da armadura na seção deve seguir fielmente as considerações de Figura 4.5 Arranjo de armadura caracterizado pelo parâmetro α s (Figura 17.2 da NBR 6118 ABNT: 2003) Flexão composta oblíqua Ainda segundo Pinheiro (2007), a expressão abaixo representa outro método para considerar a flexão oblíqua simples ou composta: M M Rd, x Rd, xx α M + M Rd, y Rd, y α = 1 (4.35) M Rd,x ; M Rd,y são as componentes do momento resistente de cálculo em flexão oblíqua composta, segundo os dois eixos principais de inércia x e y, da seção bruta, com um

46 45 esforço normal resistente de cálculo N Rd igual à normal solicitante N Sd. Esses são os valores que se deseja obter; M Rd,xx ; M Rd,yy são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um dos referidos eixos em flexão composta normal, com o mesmo valor de N Rd. Esses valores são calculados a partir do arranjo e da quantidade de armadura em estudo; α é um expoente cujo valor depende de vários fatores, entre eles o valor da força normal, a forma da seção, o arranjo da armadura e de suas porcentagens. Em geral pode ser adotado α = 1, a favor da segurança. No caso de seções retangulares, pode-se adotar α = 1,2.

47 46 5 ELEMENTOS BÁSICOS DE UM PROJETO DE PONTE Denomina-se ponte a obra destinada a transposição de obstáculos à continuidade do leito normal de uma via, tais como rios, braços de mar, vales profundos ou outras vias etc. Dependendo do seu uso, podem ser classificadas em rodoviárias, ferroviárias ou passarelas. Quando estão cruzando um rio, geralmente recebem a denominação de pontes. Se estiverem cruzando uma área urbana podem receber o nome de viaduto e se estiverem atravessando um pequeno córrego recebem o nome de galeria. As pontes de uma maneira geral podem ser dividias em três partes principais: infraestrutura, mesoestrutura e superestrutura: a) Infraestrutura ou Fundação Constituída pelos elementos que transmitem diretamente os esforços ao solo. São portanto os blocos, sapatas, estacas ou tubulões e ainda as peças de ligação destes elementos como os blocos de coroamento de conjunto de estacas e vigas de rigidez. b) Mesoestrutura Constituída pelos elementos intermediários que transmitem os esforços atuantes na pista de rolamento ou tabuleiro aos elementos da fundação. É constituída normalmente por pilares isolados ou aporticados e de aparelhos de apoio metálicos ou de borracha. A mesoestrutura sofre também ações diretas como a pressão do vento e da água em movimento e eventualmente de empuxos de terra. c) Superestrutura - Constituída basicamente pelos elementos que recebem diretamente a carga útil da ponte como a laje do tabuleiro, vigas principais e secundárias. 5.1 Sistemas Estruturais Quanto ao tipo estrutural, as pontes podem ser classificadas em: a) laje; b) vigas retas;

48 47 c) alma cheia; d) treliça; e) quadros rígidos; f) arcos ou abóbadas; g) pênseis ou suspensas Pontes em lajes sem vigamentos. Sendo utilizadas para vãos pequenos, tem como sistema estrutural a própria laje, Pontes em vigas Geralmente apresentam duas ou mais vigas longitudinais (longarinas ou vigas principais) ligadas por vigas secundárias transversais (transversinas) Pontes em arco Apresentam um arco como estrutura principal. Nessas estruturas as solicitações são transmitidas para os suportes por força de compressão axial no arco Pontes em pórtico Nelas o tabuleiro e os pilares funcionam como um todo, havendo engastamento da viga com os pilares e com os encontros.

49 Pontes estaiadas, suspensas ou pênseis Nelas tabuleiro é apoiado pôr meio de cabos fixados em torres. 5.2 Cargas em pontes Peso da Estrutura Além das cargas externas atuantes na estrutura, a ponte deve também resistir a seu próprio peso. O peso próprio depende do material empregado e das dimensões da ponte Cargas úteis São as cargas dos veículos que cruzam a ponte. Deve-se considerar a influência do movimento dessas cargas na estrutura, para isso usa-se o chamado coeficiente de impacto vertical. Essas cargas geram também esforços horizontais na estrutura devido à frenagem e a aceleração dos carros. Em obras curvas ocorrem ainda esforços horizontais devido à força centrífuga Elementos Naturais Ocorrem devido à ação do vento, da água ou da terra, que geram pressões sobre a estrutura quando estão em contato com ela.

50 Deformações internas São originadas pelas deformações internas da estrutura que, por sua vez, resultam de variações de temperatura, retração ou resultam da fluência Cargas especiais Outras cargas também têm que ser consideradas: a) Carga horizontal sobre guarda-corpos; b) Carga horizontal sobre guarda-rodas ou barreiras de proteção; c) Carga horizontal sobre pilares de viadutos, sujeitos a choques acidentais de veículos Carga Permanente É a carga resultante do peso próprio de elementos da estrutura e de elementos construtivos que ficam sobre a estrutura (pavimentação, guarda-corpo, postes). Primeiramente, essas ações são calculadas baseadas na geometria inicial da ponte. Se após o dimensionamento baseado em todas as cargas atuantes, for necessário mudar a geometria inicial da ponte, deve-se verificar se é necessário o redimensionamento da ponte baseado no novo peso próprio. Em casos onde esse novo peso próprio diferir menos de 5% do inicial, não é necessário recalcular essa ponte Carga móvel

51 50 A consideração da carga móvel deveria considerar os máximos esforços para cada carga móvel de acordo com sua posição, no entanto, isso é extremamente complicado. Assim, adota-se uma simplificação utilizando-se o conceito de trem tipo. Trem tipo de uma longarina é a carga móvel que leva em conta a geometria da ponte, ele é posicionado transversalmente de forma a gerar esforços máximos na longarina em questão. Numa ponte com duas longarinas, essa posição é a extremidade da seção transversal (próxima ao guarda rodas). Na direção longitudinal, o trem tipo pode ocupar qualquer posição. Assim é necessário determinar, para cada seção da longarina, a posição da carga que gera o máximo esforço, bem como o valor desse último. Esse processo é feito a partir da linha de influência. Com os máximos valores para cada seção, determina-se a envoltória de esforços. Assim, dimensiona-se a longarina a partir dessas (e por conseqüência, com os maiores esforços possíveis) garantindo a segurança da longarina para qualquer posição da carga móvel Trem tipo A NBR 7188 (ABNT, 1984) define trem tipo como sistema de carga representativo dos valores característicos provenientes do tráfego a que a estrutura está sujeita em serviço. Essa norma classifica as pontes de acordo com o trem tipo utilizado (de peso 450 kn, 300 kn ou 120 kn) no seu projeto. Ainda segundo essa norma, os trens tipos compõem-se de um veículo e de cargas uniformemente distribuídas. Apresentam-se as tabelas 5.1 e 5.2 e as figuras 5.1 e 5.2 aonde a norma classifica os trens tipos e os descreve.

52 51 Tabela 5.1 Cargas do veículos (NBR 7188 ABNT: 1984). de Veículo Carga Uniformemente distribuída Classe da ponte Tipo Peso total P P Disposição kn tf kn/m 2 Kgf/m 2 Kn/m 2 Kgf/m 2 carga Carga p em toda pista Carga p nos passeios devido aos pedestres. Aqui P é a carga devido aos outros veículos que trafegam na pista e P é a carga Figura 5.1 Trem tipo com o veículo e cargas distribuídas p e p (NBR 7188 ABNT: 1984). Tabela 5.2 Características dos veículos (NBR 7188 ABNT: 1984) Unidade Tipo 45 Tipo 30 Tipo 12 Quantidade de eixos Eixo Peso total do veículo KN-tf Peso de cada roda dianteira KN-tf 75-7, Peso de cada roda traseira KN-tf 75-7, Peso de cada roda intermediária KN-tf 75-7, Largura de contato b 1 de cada roda dianteira m 0,50 0,40 0,20 Largura de contato b 3 de cada roda traseira m 0,50 0,40 0,30 Peso b 2 de cada roda intermediária m 0,50 0,40 - Comprimento de contato de cada Roda m 0,20 0,20 0,20 Área de contato de cada roda m 2 0,20 x b 0,20 x b 0,20 x b Distância entre os eixos m 1,50 1,50 3,00 Distância entre os centros de roda de cada eixo m 2,00 2,00 2,00

53 52 Figura 5.2 Veículo do trem tipo (NBR 7188 ABNT: 1984) Há ainda outra norma, que define os trens tipos para ferrovias. Nessa norma, os trens tipos são classificados por eixo (Tb Tb 270, Tb - 240, Tb 270). A figura 5.3 tabela 5.3 discriminam as características de cada um desses trens tipos: Figura 5.3 Trem tipo para ponte ferroviária (NBR 7189 ABNT: 1985). Tabela 5.3 Cargas do trem tipo (NBR 7189 ABNT: 1985) TB Q (kn) q (kn/m) q (kn/m) a (m) b (m) c (m) ,00 2,00 1, ,00 2,00 2, ,00 2,00 2, ,00 2,50 5,00 Q = carga por eixo;

54 53 e descarregados. q e q = cargas distribuídas na via, simulando, respectivamente, vagões carregados Linha de influência Se f(x) é a linha de influência do esforço E na seção S da estrutura abaixo, então a ordenada f(x) é o valor de E na seção S quando uma carga vertical unitária é aplicada no ponto de abscissa x. Linhas de influência de reações de apoio viga biapoiada: Figura 5.4 Linha de influência para reação de apoio em um viga biapoiada. Linha de influência de reações de apoio com balanço nas extremidades

55 54 Figura 5.5 Linha de influência para reação de apoio de vigas com balanço Impacto Vertical Representa o aumento das cargas devido ao movimento das mesmas sobre a estrutura, sendo causado pelos seguintes fatores: a) Efeito do deslocamento das cargas; b) Irregularidades no pavimento. Sua determinação é feita experimentalmente através da determinação dos coeficientes de impacto, que representam os aumentos relativos dos efeitos elásticos provocados pelo deslocamento de cargas. Sua fórmula, empírica, é dada por: ϕ = 1,4 0,7% L (5.1) Aqui L é o vão (em metros) do tramo considerado. Para vãos simplesmente apoiados, L é o próprio vão teórico. Para vigas contínuas, com ou sem articulações, aonde o menor vão é no mínimo 0,7 do maior, considera-se L como média aritmética de todos os vãos. Para balanços, adota-se L como o dobro do comprimento do balanço. Esse efeito não é considerado nas ações das cargas móveis sobre o solo, nem no caso de encontros entre pilares e fundações e nem nas cargas dos pedestres (atuantes sobre o passeio) devido a sua pequena influência nesses casos.

56 Cálculo do trem tipo utilizando a linha de influência Para esse cálculo, posiciona-se veículo na posição mais desfavorável da seção transversal, colocando-se a primeira roda do veículo próximo ao guarda roda e a outra roda 2m afasta da primeira (distancia entre rodas). Figura Veículo na posição mais desfavorável na seção transversal de uma ponte. P e P são, respectivamente, a multidão que atravessa a ponte e as cargas adicionais que representam veículos mais leves que ao mesmo tempo estão utilizando a ponte, em uma faixa secundária. Para calcular a influência das cargas do veículo tipo nas vigas, utiliza-se o processo de Linha de Influência, através do cálculo da máxima reação de apoio.

57 56 Figura 5.7 Influência do veículo tipo nas vigas. Com isso monta-se o trem tipo longitudinal da seguinte forma: R = ( Peso Total do Veículo Tipo / 6 ). ( n3 + n4) =... KN m 1 = P (carga dos veículos adicionais). A1 =... KN/m m 2 = P (passeio). A2 =... KN/m (φ). Cada um desses parâmetros é multiplicado pelo coeficiente de impacto vertical Figura 5.8 Trem tipo(vista longitudinal).

58 57 Após obter o valor das cargas do Trem-Tipo, podem-se calcular as reações e os esforços máximos e mínimos que estão atuando na ponte, em relação à carga móvel. Para isso, deve ser utilizado o processo de linha de influência, na vista longitudinal da ponte da seguinte forma: a) Colocam-se cada uma das forças concentradas R nas 3 ordenadas máximas da linha de influência da seção examinada respeitando o espaçamento de 1,5m entre elas; b) Colocam-se as cargas m1 e m2 através da vista longitudinal do trem tipo; c) Multiplica-se cada carga concentrada por sua ordenada e cada carga m por sua área de influência; d) Somam-se todas essas influências e multiplica-se o resultado pelo coeficiente de impacto para obter a reação na seção escolhida. Posicionando o trem na parte positiva do diagrama, tem-se os valores de reação positiva e posicionando-o na parte negativa tem-se os valores de reação negativa. O ideal é se fazer diagramas de Linha de Influência para várias seções, pois dessa forma estará se aplicando o conceito de carga móvel. Após a obtenção dos esforços máximos e mínimos, para as n seções, tem-se que fazer uma Envoltória desses resultados, para finalmente chegar nos valores mais desfavoráveis para o dimensionamento Frenagem e aceleração Esses esforços seguem a seguinte fórmula: a F = m a = Q (5.2) g m é a massa do veículo; a é a aceleração do veículo;

59 58 Q é o peso do veículo; g é a aceleração da gravidade. Considerando-se a aceleração constante, a força representará uma fração do peso no veículo. Assim, para pontes rodoviárias tem-se o seguinte: a) Aceleração 5% da carga móvel aplicada sobre o tabuleiro; b) Frenagem 30% do peso do veículo tipo. No caso de pontes ferroviárias: a) Aceleração 25% do peso dos motores: b) Frenagem 15% da carga sobre o tabuleiro. Esses esforços se referem ao peso do veículo sem a aplicação do coeficiente de impacto vertical, pois se considera aplicado sobre uma superfície lisa Força do vento Essa carga, considerada horizontal e normal ao eixo da ponte, é representada por uma pressão horizontal média de: a) Ponte descarregada: 150 kgf/m 2 ; b) Ponte carregada: 100 kgf/m 2 ; c) Passarela de pedestres: 70 kgf/m Empuxo de Terra

60 59 É a força resultante do contato do solo com a estrutura. Numa ponte, pode-se considerar a sua atuação na cortina e nos pilares. Figura 5.9 Empuxo de terra numa ponte. Empuxo de terra na cortina devido ao solo (Eg 1 ); Empuxo de terra na cortina devido carga móvel (Eg 3 ); Empuxo de terra no pilar (Eg 2 ). 1 Eg1 = Eg 2 = K a γ h 2 2 (5.3) Eg3 = K a q h (5.4) Coeficiente te impulso ativo do solo; K a = tg 45 (5.5) 2 2 ϕ

61 60 φ é o ângulo de atrito interno do solo. Largura de cálculo do pilar para empuxo: Figura 5.10 Largura de cálculo de um pilar para determinação do empuxo atuante. Tabela 5.4 Relação entre a largura real e a largura de cálculo do pilar. Largura real Largura de cálculo b < 1m 3b 1m<b<3m b>3m 3m b Ação dinâmica da água É dada pela seguinte fórmula: q 2 = k v (5.6) k é o fator de forma;

62 61 v é a velocidade da água; Figura 5.11 Fator de forma para cada tipo de seção transversal do pilar Esforços devido à variação de temperatura e à retração Quando submetida a uma variação da temperatura, a estrutura sofre uma variação de comprimento dada por: x = α L T (5.7) α é o coeficiente de dilatação linear do concreto; T é a variação de temperatura; Na estrutura, há um ponto indeslocável que é o centro de massa das rigidezes. O deslocamento do topo de cada pilar é dado por: x = α L x (5.8) Aonde x é a distância entre o ponto indeslocável e o topo do pilar.

63 62 O efeito da retração é considerado pela variação de -15ºC na estrutura. 5.3 Esforços atuantes nos pilares. Os pilares recebem o peso próprio da superestrutura (carga permanente) e os esforços resultantes da carga móvel. Para contabilizar essa carga permanente, o peso próprio de cada elemento da superestrutura deve ser calculado, para contabilizar a carga móvel, devese usar o processo do trem tipo, na direção longitudinal, com a linha de influência para os apoios da ponte. É necessário considerar a distribuição, nos pilares, dos diversos tipos de ações de direção horizontal que agem na superestrutura, ações estas representadas principalmente por: a) Frenagem ou aceleração; b) Variação de temperatura; c) Vento; d) Protensão; e) Retração do concreto; f) Fluência do concreto; g) Empuxos de terra. Pode acorrer a necessidade de considerar a distribuição de ações horizontais que atuam diretamente nos elementos da meso-estrutura: a) Vento; b) Empuxos de terra; c) Ação da corrente líquida; d) Choques diversos (veículos, embarcações, etc). 5.4 Cálculo da rigidez de pilares de concreto armado

64 63 Esse parâmetro é muito importante para a distribuição dos esforços nos pilares. Considerando uma barra AB, de material homogêneo e com eixo vertical, de comprimento L, engastada na base e livre no topo, e admitindo regime de elasticidade do material que a constitui, seja D o deslocamento produzido por uma força H aplicada na seção do topo, com linha de ação normal ao eixo da barra. Admitindo que ao longo do comprimento L da barra as seções tenham os respectivos eixos centrais de inércia situados em planos verticais, a força H produzirá flexão reta na barra e o deslocamento D ficará situado na linha de ação da força H. Figura 5.12 Deslocamento (D) provocado pela força (H) Dependendo da relação entre o H e o D, têm-se duas relações possíveis. Ou o deslocamento é proporcional à força, ou ocorre o contrário. Do primeiro caso, tira-se a definição de flexibilidade que é numericamente igual ao deslocamento provocado pela aplicação de uma força unitária no topo da barra. D H (5.9) D = f H (5.10) Se F = 1, D = f.

65 64 No segundo caso, obtém-se a definição de rigidez que é numericamente igual à força que, aplicada na seção do topo da barra e nas condições indicadas, provoca um deslocamento unitário nesse topo. H D (5.11) H = K D (5.12) Se D = 1, H = K. (5.13) Das expressões anteriores, deduz-se imediatamente: f 1 = (5.14) K E K 1 = (5.15) f Coeficiente de rigidez global Para a determinação do coeficiente de rigidez final do pilar, o qual será designado por coeficiente de rigidez global, devem-se levar em conta os coeficientes de rigidez do aparelho de apoio e da fundação do pilar juntamente com o do pilar Coeficiente de Rigidez do Apoio Para os tipos de aparelhos de apoio mais usuais em pontes tem-se:

66 65 a) Aparelho de apoio móvel: b) Aparelho de apoio fixo: K = 0 (5.16) n K = (5.17) n c) Aparelho de apoio de neoprene: K n G A = (5.18) e Sendo: G = módulo de elasticidade transversal do neoprene (em geral, com valor de 10 a 12 kgf/cm 2 ); A = área das placas de neoprene; e = espessura do neoprene Coeficiente de Rigidez da Função Depende da solução utilizada no projeto da ponte para essa fundação (se é superficial ou profunda) e do tipo de solo Dedução do coeficiente de Rigidez Global De acordo com a figura 5.13:

67 66 Figura 5.13 Deslocamento total no topo do pilar. Define-se: D = D + D + D (5.19) f p n D=deslocamento total da superestrutura, em correspondência ao pilar Considerado: D f = parcela de deslocamento devida ao recalque da fundação; D p = parcela de deslocamento devida à flexão do fuste do pilar; D n = parcela de deslocamento devida à deformação do aparelho de apoio de neoprene. Portanto: H D f= (5.20) K p f H D p= (5.21) K H D n= (5.22) K n

68 67 Designado por K o coeficiente de rigidez global do pilar, deve ser: H D = (5.23) K Igualando a expressão para o deslocamento total com as expressões para o deslocamento de cada um dos componentes: H K H H H = + + (5.24) K K K f p n Ou 1 K = + + (5.25) K K K f p n Expressão que permite determinar o coeficiente de rigidez global do pilar. 5.5 Distribuição dos esforços longitudinais por pilar Os esforços longitudinais se dividem entre os pilares de acordo com sua rigidez. Assim, a força atuante no tabuleiro acarretará a seguinte força em cada pilar: F i Ki = F (5.26) K Se em cada linha de apoio, houver mais de um pilar, divide-se essa força pelo numero de pilares da linha de apoio.

69 Distribuição dos esforços transversais por pilar Na direção transversal, geralmente os pilares estão ligados por uma viga formando, portanto, pórticos nessa direção. Quando ocorre uma solicitação transversal, se cada pórtico tiver a mesma rigidez, o tabuleiro sofrerá apenas translação, pois o centro de massa das rigidezes coincide com o local de aplicação da força. Se as rigidezes dos pórticos forem diferentes, ocorrerá além da translação a rotação do tabuleiro. No primeiro caso, a distribuição de esforços ocorre de maneira semelhante à distribuição dos esforços longitudinais, usando-se no lugar da rigidez de pilar uma rigidez de pórtico. Segundo Araújo (1999), no caso em que há rotação e translação, pode-se usar a seguinte expressão para o cálculo da força em cada pórtico: 1 e xi F = F ± res Ki (5.27) 2 K ΣK i xi rigidezes; a) F res : resultante das forças horizontais atuantes no tabuleiro; b) F: força resistida por cada pilar devido à translação θ n ; c) x i : distância do pilar ao ponto O ( centro de massa das rigidezes); d) e: distância entre o centro de aplicação da força e o centro de massa das e) K i : a rigidez do pilar (ou eixo) na direção do deslocamento. uma seção qualquer: Centro de massa das rigidezes é obtido por analogia ao centro de gravidade de K x x cm = (5.28) K O procedimento aqui apresentado é válido quando não há juntas no tabuleiro.

70 69 6 ANÁLISE DE UM PILAR DE PONTE Para essa parte do trabalho, foi desenvolvida uma planilha em Excel para o cálculo de pilares conforme os métodos aproximados da NBR 6118 (ABNT, 2003). Essa planilha foi elaborada baseada nos conceitos expostos nesse estudo. O anexo A apresenta um tutorial para o seu uso. Agora, serão analisados dez casos de um pilar de ponte, onde, em cada caso, o mesmo pilar é analisado adotado uma esbeltez maior que a do caso anterior. Serão obtidos os momentos na base do pilar, em cada caso, pelos três métodos para consideração de efeitos de segunda ordem. No final, os momentos obtidos pelos métodos aproximados serão comparados com os momentos obtidos pelo método geral. 6.1 Análise pelos métodos aproximados O seguinte pilar será usado como exemplo: Figura 6.1 Pilar analisado. Dados: A seção transversal é quadrada de dimensões 80 cm x 80 cm. F ck = 25 MPa F yk = 500MPa

71 70 H q = 50 kn R g = 1720 kn R q + = 1450 kn γ f = 1,4(coeficiente de majoração das ações) γ = 25 kn/m 3 (peso específico do concreto) γ c = 1,4 (coeficiente de minoração da resistência do concreto) γ s =1,15(coeficiente de minoração da resistência do aço) Como serão analisados pilares com esbeltez variadas, organiza-se inicialmente uma tabela com a relação entre a esbeltez e a altura de cada caso. A relação entre um pilar quadrado e sua esbeltez é expressa da seguinte forma: Como se trata de um pilar engastado, então: L λ = 3, 46 e (6.1) b logo, L e = 2. L (6.2) 3,46 2 L λ = = 8,65. L (6.3) 0,8 A tabela 6.1 mostra os valores de altura para cada esbeltez: Tabela 6.1 Comprimento adotado para cada esbeltez. Caso Λ L (m) 1 30,00 3, ,00 4, ,00 5, ,00 6, ,00 8, ,00 9, ,00 10, ,00 11, ,00 12, ,00 13,87 Como a altura dos pilares varia, os mesmos estarão sujeitos a pesos próprios distintos. O peso próprio é dado pela seguinte expressão: P = A c. L. γ = 0,80 2 L. 25 = 16L (6.4) A tabela 6.2 mostra o valor do peso próprio para cada caso:

72 71 Tabela 6.2 Peso próprio para cada caso de esbeltez. λ P(kN) 30,00 55,49 40,00 73,99 50,00 92,49 60,00 110,98 70,00 129,48 80,00 147,98 90,00 166,47 100,00 184,97 110,00 203,47 120,00 221,97 Para a força normal, será usada a seguinte combinação de esforços: N = 1,35. (R g + P) + 1,5. R q (6.5) Para força horizontal, usa-se a seguinte combinação de esforços: H d = 1,35. H g + 1,5. H q (6.6) H g = 0 (6.7) H d = 1,5. H q (6.8) H d = 1,5. 50 = 75 kn (6.9) A tabela 6.3 mostra a normal de cálculo para cada caso: Tabela 6.3 Normal de cálculo para cada caso de esbeltez. λ P(kN) N d (kn) 30,00 55, ,913 40,00 73, ,884 50,00 92, ,855 60,00 110, ,827 70,00 129, ,798 80,00 147, ,769 90,00 166, ,74 100,00 184, , ,00 203, , ,00 221, ,653 Como se trata de um pilar engastado, como já foi dito anteriormente, a tabela 6.4 mostra a relação entre L e L e. Aonde L = 2L e.

73 72 Tabela 6.4 Comprimento equivalente (Le) adotado para cada caso. L (m) L e (m) 3,47 6,94 4,62 9,25 5,78 11,56 6,94 13,87 8,09 16,18 9,25 18,50 10,40 20,81 11,56 23,12 12,72 25,43 13,87 27,75 Procede-se agora com o cálculo das excentricidades. Para esse exemplo, considera-se uma excentricidade inicial nula, como se o pilar fosse um pilar de centro. Assim: e i = 0 (6.10) Calcula-se agora a excentricidade acidental para cada caso. A tabela 6.5 mostra essa excentricidade acidental para cada caso: Tabela 6.5 Desaprumo e excentricidade acidental para cada caso. λ θ 1 e a (m) 30,00 0,0054 0, ,00 0,0047 0, ,00 0,0042 0, ,00 0,0038 0, ,00 0,0035 0, ,00 0,0033 0, ,00 0,0031 0, ,00 0,0029 0, ,00 0,0028 0, ,00 0,0027 0,0462 Obtém-se o momento devido a essa excentricidade e compara-se com o momento mínimo. Escolhe-se o maior deles. O momento devido a excentricidade acidental é: M = H q. L + Nd.e a (6.11) Em todos os casos esse momento foi maior que o mínimo.

74 73 Para esse cálculo, compara-se o valor θ 1 com um valor mínimo θ 1mín e usa-se o maior desses. O próximo cálculo é obter as excentricidades devido à fluência do concreto. A excentricidade devido à fluência deveria ser considerada para pilares com λ a partir de 90. No entanto, o programa usado para calcular o método geral não faz essa consideração. Assim, a excentricidade suplementar não foi considerada. Agora, será verificado a esbeltez limite a partir da qual é necessário considerar os efeitos de segunda ordem em cada caso. A tabela 6.6 apresenta esses limites: Tabela 6.6 Esbeltez limite para cada caso. λ λ 1 30,00 37,85 40,00 37,95 50,00 38,03 60,00 38,08 70,00 38,13 80,00 38,16 90,00 37,18 100,00 36,97 110,00 36,74 120,00 36,5 Os efeitos de segunda ordem só serão considerados para casos aonde λ > λ 1. Esses efeitos causarão momentos que se somarão aos momentos de primeira ordem. Com exceção do primeiro caso, em todos os outros esses efeitos deverão ser considerados. A tabela 6.7 mostra os momentos finais, levando em consideração esses efeitos, calculados de acordo com os métodos aproximados da norma. Tabela 6.7 Momentos finais pelos métodos da rigidez e da curvatura aproximada. Mc(kN) Mr(kN) 345,42 345,42 655,95 540,54 887,29 743, ,39 990, , , , , , , , , , , , ,20

75 74 Mc é o momento obtido pelo método da curvatura aproximada e Mr é o momento obtido pelo método da rigidez aproximada. O gráfico 6.1 mostra os resultados obtidos pelos dois métodos. Observando-o, nota-se que o método da curvatura chega a momentos mais elevados para uma esbeltez até aproximadamente 110, a partir daí, o método da rigidez aproximada apresenta valores maiores. Momentos Métodos aproximados Esbeltez Curvatura Rigidez Gráfico 6.1 Momentos obtidos pelos métodos aproximados. A tabela 6.8 mostra os erros do método da curvatura em relação ao método da rigidez: Tabela 6.8 Diferença percentual entre os métodos aproximados. λ Erro(%) , , , , , , , , ,74

76 75 O gráfico 6.2 apresenta a diferença percentual entre os valores obtidos pelo método da curvatura e o método da rigidez. Nota-se, mais uma vez, que para valores até aproximadamente 110, o método da curvatura apresenta-se a favor da segurança, a partir daí, o método da rigidez esse comportamento passa a ser exibido pelo método da rigidez. Como o gráfico apresenta um comportamento tipicamente linear, é possível afirmar que para uma esbeltez maior que 110 o método da rigidez sempre apresenta resultados a favor da segurança em relação ao método da curvatura. Comparação entre os métodos aproximados Diferença percentual Mc - Mr ,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 100,00 110,00 120,00 130,00-5 esbeltez Gráfico 6.2 Diferença percentual entre Mc e Mr. 6.2 Análise pelo método geral Os momentos na base do pilar foram calculados com base na excentricidade de 1a ordem, 2a ordem e acidental, usando a rigidez secante proposta no item da NBR 6118 (ABNT, 2003) e num programa de pórtico plano com não linearidade geométrica proposto no trabalho de Mota (2009). Para utilizar o cálculo da rigidez secante, usou-se a seguinte configuração de armadura na seção do pilar:

77 Figura 6.2 Arranjo da armadura na seção transversal. Variando-se a área de cada barra, foram obtidas 5 configurações diferentes para a seção transversal. No primeiro caso usam-se barras com área de 1,22cm 2, no segundo 2 cm 2, no terceiro 4,9 cm 2, no quarto 8 cm 2 e no 10 cm 2. Essas configurações abrangem os seguintes casos de esbeltez: a) O primeiro caso abrange uma esbeltez de 30 a 70; b) O segunda caso abrange uma esbeltez de 80; c) O terceiro caso abrange uma esbeltez de 90; d) O quarto caso abrange uma esbeltez de 100 e 110; e) O quinto caso abrande uma esbeltez de 120. Para esses casos, foram obtidas, respectivamente, as seguintes rigidezes: a) J II = 0,013; b) J II = 0,013; c) J II = 0,019; d) J II = 0,026; e) J II = 0,030.

78 77 O pilar foi divido em dez partes para a análise. Com essas rigidezes e os demais dados geométricos da seção, os momentos obtidos foram os seguintes: Tabela 6.9 Momentos obtidos pelo método geral λ Mg (kn.m) Mg é o momento obtido pelo método geral. O gráfico 6.3 mostra os resultados obtidos pelos três métodos utilizados: Momentos 4000 Métodos aproximados Esbeltez Método da curvatura Método da rigidez Método Geral Gráfico 6.3 Resultados obtidos pelos três métodos. erro percentual: Comparando-os com os momentos obtidos pelos métodos aproximados, tem-se o

79 78 Tabela 6.10 Diferença percentual entre os métodos aproximados e o método geral λ Mc-Mg (%) Mr-Mg (%) 30-5,62-5, ,25 8, ,14 14, ,94 18, ,40 18, ,84 12, ,56 36, ,19 58, ,66 54, ,82 62,65 O gráfico 6.4 compara o método da curvatura com o método geral: Comparação entre o método geral e o método da curvatura Erro (%) Mc-Mg c Esbeltez Gráfico 6.4 Comparação entre o método geral e o método da curvatura. A partir de uma esbeltez próxima a 90, os erros obtidos começam a ser mais significativos que os obtidos para esbeltez menores. Os erros obtidos pelo método da curvatura são consideráveis, mesmo para uma esbeltez menor que 90, os erros se situam entre 20% e 40%. A diferença percentual entre os resultados obtidos pelo método da rigidez e o método geral são expostos no gráfico 6.5:

80 79 Comparação entre o método da rigidez e o método geral Erro(%) Mr -Mg Esbeltez Gráfico 6.5 Comparação entre o método da rigidez e o método geral. Novamente, os erros obtidos são mais significativos para uma esbeltez acima de aproximadamente 90. O método da rigidez apresenta valores bem mais próximos do método geral do que os valores obtidos pelo método da curvatura para uma esbeltez menor que 90. Na faixa de esbeltez de 30 a 80, as diferenças percentuais são menores que 20%. Nos dois gráficos, os métodos aproximados sempre apresentam valores a favor da segurança em relação ao método geral, menos no caso de esbeltez menor que 30, entretanto, o mesmo não é considerado na análise já que nesse caso os efeitos de segunda ordem são desprezíveis.

81 80 7 CONCLUSÕES Nesse trabalho, foram apresentados conceitos básicos para o dimensionamento de pilares, em seguida os métodos para consideração dos efeitos de segunda ordem e os aspectos gerais de um projeto de ponte. Em relação a um projeto de ponte, apresentaram-se conceitos relativos a elementos estruturais componentes do projeto, bem como as cargas normalmente atuantes nesse tipo de estrutura. A partir do exposto nessa parte do estudo, foi possível ver a grande importância da consideração dos efeitos dinâmicos das cargas atuantes em pontes. Foi mostrada também, nesse trabalho, uma metodologia para isolar um pilar de uma ponte, obtendo os esforços nele atuantes. A partir do exposto, notou-se que a distribuição dos esforços horizontais deve ser realizada considerando que eles atuam tanto no sentido longitudinal como no sentido transversal da ponte e, em alguns casos, a distribuição desses esforços vai ser realizada usando metodologias diferentes dependendo do sentido dos mesmos. Quanto ao pilar analisado, foi possível obter algumas conclusões em relação aos métodos utilizados para a obtenção dos efeitos de segunda ordem. Comparando os métodos aproximados entre si, verifica-se que o método da curvatura apresenta-se a favor da segurança em relação ao método da rigidez para valores de esbeltez até próximos a 110. Além disso, a diferença percentual entre esses métodos apresenta comportamento decrescente em relação ao aumento da esbeltez. O método da curvatura aproximada é o método mais simples para a consideração desses efeitos e apresentou diferenças de resultados consideráveis em relação ao método geral mesmo para um esbeltez menor que 90 (erros de até 40%). Sendo o método de aplicação mais imediato, por ser de simples aplicação é bom que os seus resultados se situem a favor da segurança o que está de acordo com os resultados obtidos nessa análise. O método da rigidez aproximada é um pouco mais refinado que o método da curvatura e apresentou resultados satisfatórios para um esbeltez menor que 90. Os erros obtidos por esse método foram menores que 20% no intervalo de esbeltez de 30 a aproximadamente 90, chegando a serem menos que 13% para esbeltez até 80. Para todos os casos analisados, os resultados estavam a favor da segurança. Como seus resultados são melhores, é aconselhável o seu uso desde que sejam respeitadas as suas condições de aplicação.

82 81 O método geral é de aplicação trabalhosa e exige o uso de softwares, por isso, apesar de apresentar resultados mais precisos, é importante que os métodos aproximados ainda continuem a serem empregados, desde que se respeitem as suas condições de aplicação. Para dar continuidade ao trabalho, recomenda-se que sejam realizados estudos com pilares com outro tipo de vinculação e com outras formas de seção transversal, bem como a utilização de outros métodos para o cálculo dos efeitos de segunda ordem, como o método do pilar padrão acoplado ao diagrama (µ, ν, 1/r), que não foi exposto aqui. Seria benéfico, também, que fossem realizados estudos incluindo a excentricidade suplementar de fluência.

83 82 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS ABNT. NBR 6118 Projeto de estruturas de concreto. Rio de janeiro, ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS ABNT. NBR 7188 Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre. Rio de janeiro, ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS ABNT. NBR 7189 Carga móvel em pontes ferroviárias. Rio de janeiro, ARAÚJO, D. L. Projeto de pontes em concreto armado com duas longarinas. Goiás:Universidade Federal de Goiás, ARAÚJO, J. M. Métodos simplificados para consideração dos efeitos de segunda ordem no projeto de pilares de concreto armado. Revista do IBRACON, n.27, p.3-12, São Paulo, ARAÚJO, J. M. de. Revista do Ibracon. São Paulo: No. 27. p 3 12 Nov/Dez Jul BORGES, A.C.L. Análise de pilares esbeltos de concreto armado solicitados à flexocompressão oblíqua p. Dissertação (mestrado) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos. KHOURI, M. E. Contribuição ao projeto de pilares de pontes de concreto armado com consideração das não linearidades física e geométrica e interação solo-estrutura p. Tese (Doutor em engenharia de estruturas) Escolas de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos. MOTA, J. E. Contribuição ao projeto de estruturas multi-piso reticuladas em concreto pré-moldado p. Tese (Doutor em engenharia de estruturas) Escolas de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos. PINHEIRO, L. M. Fundamentos do Concreto e Projeto de edifícios. São Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, SCADELAI, M. F. P. Dimensionamento de pilares de acordo com a NBR p. Dissertação (Mestre em engenharia de estruturas) Escolas de Engenharia de estruturas, Universidade de São Paulo, São Carlos.

84 83 APÊNDICE A Tutorial da planilha de cálculo de pilares. Essa planilha foi elaborada baseada nos fundamentos teóricos apresentados nesse trabalho e consiste numa planilha para o cálculo do momento atuante numa seção crítica do pilar. Abaixo, será apresentado um tutorial para a utilização dessa planilha. abaixo: 1º Passo: Os dados relativos aos materiais são inseridos no campo indicado Figura A 1 Características dos materiais 2º Passo: Os coeficientes de segurança são inseridos no campo indicado abaixo: Figura A 2 Coeficientes de segurança

85 84 3º Passo: As dimensões da seção transversal do pilar são inseridas,de acordo com as legendas da planilha, no campo indicado na Figura A3: Figura A 3 Características geométricas do pilar no campo abaixo: 4º Passo: Seleciona-se o tipo de vinculação do pilar digitando a opção escolhida Figura A 4 Vinculação do pilar 5º Passo: Se o pilar for biapoiado, preenchem-se os campos necessários de acordo com a legenda e a figura da planilha. A figura abaixo ilustra esse campo: Figura A 5 Comprimento do pilar indicado na figura A6: 6º Passo: Se o pilar for engastado, insere-se o comprimento do pilar no campo

86 85 Figura A 6 Comprimento do pilar engastado. Os parâmetros relativos às características geométricas do pilar são calculados baseados nesses dados de entrada. Esses valores são mostrados na planilha de acordo com a figura abaixo: Figura A 7 relativos às características geométricas do pilar 7º Passo: Devem-se inserir as cargas atuantes no pilar, de acordo com as legendas da planilha, no campo indicado abaixo: Figura A 8 Cargas no pilar. 8º Passo: Baseado no momento mínimo, no momento atuante de 1ª ordem e na vinculação dos pilares seleciona-se o coeficiente α b para o cálculo de λ 1 conforme a figura abaixo:

87 86 Figura A 9 Escolha do caso para o cálculo do αb. 9º Passo: Define-se o tipo de pilar para o cálculo da excentricidade inicial preenchendo-se o campo indicado abaixo: Figura A 10 Escolha do tipo de pilar. 10º Passo: Se o pilar for de canto ou de borda, os campos indicados nas figuras A 11 e A 12 para o cálculo da excentricidade inicial devem ser preenchidos de acordo com as legendas e com as figuras da planilha:

88 87 Figura A 11 Dimensões para o cálculo da excentricidade inicial. Figura A 12 Características da viga ligada ao pilar. Esses campos são preenchidos para as duas direções em análise, a direção x e a direção y. A planilha consta com um campo aonde são mostradas as excentricidades iniciais encontradas no problema, elas dependem os valores preenchidos na etapa anterior e da opção selecionada na etapa 9. Figura A 13 Excentricidade iniciais 11º Passo: Se a esbeltez do pilar for maior que 90, devem-se inserir os dados necessários para o cálculo da excentricidade suplementar, de acordo com as legendas da planilha, de acordo com figura A14:

89 88 Figura A 14 Dados para o cálculo da excentricidade suplementar. Após esse passo, são mostradas as excentricidades suplementares iniciais no campo indicado abaixo: Figura A 15 Excentricidade suplementar. Os momentos mínimos para o dimensionamento de uma seção e os momentos totais são mostrados nos campos indicados nas figuras A16 e A17 abaixo: Figura A 16 Momentos mínimos e momentos obtidos pelo método da curvatura aproximada.

90 Figura A 17 Momentos obtidos pelo método da rigidez aproximada. 89