MÉTODOS LAGRANGEANOS TIME DRIVEN METHOD E EVENT DRIVEN METHOD NA MODELAÇÃO DA QUALIDADE DA ÁGUA - ESTUDO DA SUA ADEQUABILIDADE -

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1 MÉTODOS LAGRANGEANOS TIME DRIVEN METHOD E EVENT DRIVEN METHOD NA MODELAÇÃO DA QUALIDADE DA ÁGUA - ESTUDO DA SUA ADEQUABILIDADE - Ana M. S. FERREIRA 1 ; José A. SÁ MARQUES 2 1 Mestre em Hidráulica, Eng.ª Civil, Assistente do Departamento de Engenharia Civil, Instituto Politécnico da Guarda, Av. Dr. Francisco Sá Carneiro, n.º 5, Guarda Portugal; Tel.: ; Fax: ; aferreira@ipg.pt 2 Doutor em Eng.ª Civil, Professor Auxiliar do Departamento de Engenharia Civil, Universidade de Coimbra, Pinhal de Marrocos (Pólo 2), 33 Coimbra Portugal; Tel.: ; Fax: ; jasm@dec.uc.pt RESUMO As entidades gestoras de água e projectistas são confrontados com uma exigência crescente em termos de quantidade e qualidade da água fornecida, não só por parte dos consumidores mas também pela legislação em vigor. Por um lado é necessário desinfectar a água para eliminar os microrganismos patogénicos por outro é necessário controlar a formação de sub-produtos resultantes dessa desinfecção. Para auxiliar as entidades gestoras a satisfazer as exigências que lhes são impostas surgiu no mercado algum software que permite analisar o comportamento hidráulico e o comportamento da qualidade da água em sistemas de distribuição. Este trabalho pretende dar um contributo para a análise do comportamento da qualidade da água em sistemas de distribuição. É feito um estudo comparativo entre os métodos Lagrangeanos Time Driven Method (TDM) e Event Driven Method (EDM) em termos de exactidão, n.º de segmentos gerados, tempo de execução e memória utilizada. É indicado o motivo de se obterem alguns valores menos correctos para a concentração de cloro nos nós do sistema quando aplicado o método numérico TDM. De modo a resolver este problema é proposto utilizar o método numérico EDM com uma melhoria no esquema de geração de segmentos de forma a torná-lo mais atractivo do ponto de vista computacional. EDM, TDM. Palavras-chave: Sistemas de distribuição de água, qualidade da água, métodos numéricos, 1

2 1 INTRODUÇÃO Os projectistas e as entidades gestoras de água são confrontados com uma necessidade crescente de fornecerem água em quantidade e qualidade adequadas, não só por questões de protecção da saúde pública mas também devido à legislação ser cada vez mais restritiva e aos consumidores serem cada vez mais selectivos e exigentes com a qualidade da água que consomem. Para fornecer água com qualidade adequada é necessário ter presente que ao longo dos sistemas de abastecimento ocorrem reacções físico-químicas e biológicas quer no seio do escoamento, quer na interface com as paredes das condutas. Essas reacções estão relacionadas, com a qualidade da água na origem, com a adequação dos sistemas de transporte, armazenamento e distribuição, com o material, idade e manutenção dos referidos sistemas. Se por um lado é imprescindível desinfectar a água para eliminar os microrganismos patogénicos, por outro é necessário controlar a formação de sub-produtos resultantes dessa desinfecção. Deste modo é essencial escolher de uma maneira criteriosa e fundamentada a concentração do desinfectante a adicionar de forma a garantir a sua suficiência para manter o valor adequado de desinfectante residual ao longo dos sistemas. O cloro, sob diferentes formas químicas, tem sido o desinfectante mais utilizado no tratamento da água para abastecimento não só pela simplicidade do seu emprego, baixo custo e eficácia comprovada mas também por preservar a qualidade da água no interior das condutas em termos bacteriológicos e reduzir o desenvolvimento de novos microrganismos. Para simular o comportamento da qualidade da água ao longo dos sistemas de abastecimento é necessário conhecer a topologia do sistema, as condições hidráulicas do escoamento, as concentrações na origem das espécies químicas a modelar e possuir modelos matemáticos que caracterizem de um modo adequado os processos físicos envolvidos, nomeadamente a cinética de decaimento do cloro e o transporte efectuado pela água ao longo dos sistemas. Para resolver os modelos matemáticos é necessário recorrer a métodos numéricos dado não ser possível a obtenção da solução exacta. A modelação da qualidade da água pode ser efectuada através de modelos Eulerianos (FDM, DVEM, DM) e Lagrangeanos (TDM, EDM). Neste trabalho realiza-se um estudo comparativo entre os métodos numéricos Lagrangeanos Time Driven Method (TDM) e Event Driven Method (EDM) em termos de exactidão, n.º de segmentos gerados, tempo de execução e memória utilizada. É indicado o motivo de se obterem alguns valores menos correctos para a concentração de cloro nos nós do sistema quando aplicado o método numérico TDM. É proposta a utilização do método numérico EDM, dado não padecer do mesmo problema que o TDM, com melhoria no esquema de geração de segmentos de forma a torná-lo mais atractivo do ponto de vista computacional. O estudo foi feito tendo por base o software EPANET 2., no qual foram realizadas algumas modificações, nomeadamente a implementação do método numérico EDM. Este artigo encontra-se organizado da seguinte forma: na próxima secção apresentam-se as equações para a modelação da qualidade da água. Na secção 3, são apresentados exemplos e os resultados obtidos. Na secção 4 apresentam-se as conclusões. 2 MODELAÇÃO DA QUALIDADE DA ÁGUA Formulação de Base Os modelos de caracterização da qualidade da água para sistemas de abastecimento têm por base duas equações a saber: 2

3 Equação de transporte Equação de conservação da massa aplicada aos nós do sistema Equação de transporte A equação de transporte (1), que essencialmente traduz a advecção ao longo do escoamento, permite determinar a concentração na água de determinada substância, conservativa ou não, ao longo do tempo. Ou seja, considerando que as condições hidráulicas, energias e velocidades, se mantêm constantes durante um certo período de tempo, a concentração de uma substância não conservativa no interior de uma conduta, C(x,t), para cada ponto x (na direcção positiva do escoamento) e tempo t, vai-se alterando, sendo dada pela equação de conservação da massa nas condutas, que pode ser descrita pela equação unidimensional de transporte e difusão: 2 i Ci (x,t) + 2 C (x,t) C i (x,t) = Ui + D t x x [ ] R C (x,t) onde: C i (x,t) concentração de uma substância não conservativa na água da conduta i, a uma distância x e no tempo t; Ui velocidade média do fluido na conduta i; 2 C i(x,t) D parcela que representa a dispersão longitudinal. Em circunstâncias normais a 2 x dispersão tem valores desprezáveis, excepto em casos excepcionais de condutas muito longas e velocidades muito baixas. D representa a difusão molecular da substância não conservativa na água; R[ C i (x,t)] parcela que representa a taxa de reacção. Depende da velocidade do escoamento na secção da conduta, da difusão da substância não conservativa na água, da viscosidade cinemática da água, e dos valores das constantes de decaimento no interior do escoamento e na interface com as paredes da conduta Taxa de Reacção R[Ci(x,t)] Tendo por base vários trabalhos (Wable et al. (1991); Sharp et al. (1991); Rossman et al. (1994)) é admissível aceitar que o decaimento do cloro ao longo dos sistemas de condutas se faz de acordo com uma lei cinética de reacção de primeira ordem, dependente das reacções e fenómenos físicos que ocorrem no interior da conduta e ao longo da parede desta. Durante o transporte da água nas condutas, as substâncias dissolvidas podem ser levadas para a parede da conduta e reagir com materiais tais como produtos de corrosão ou biofilme, que se encontram adjacentes à parede da tubagem. A taxa de reacção também leva em conta a área interior da conduta e a taxa de transferência de massa entre o seio do escoamento e as paredes. O efeito de transferência de massa pode ser representado por um coeficiente de transferência cujo valor depende da difusão molecular do cloro na água e do número de Reynolds [Rossman et al. (1994)]. Para uma reacção cinética de primeira ordem, o valor da taxa de reacção pode ser expresso por: R f [ C (x,t)] k C (x,t) + ( C (x,t) C ) i k i = b i i w (2) RH em que: k - constante de decaimento do cloro no interior do escoamento (T -1 ); b (1) 3

4 k f - coeficiente de transferência de massa (L T -1 ); R H - raio hidráulico da conduta i (L); C w - concentração do cloro na parede da tubagem (ML -3 ). Admitindo uma taxa de reacção de primeira ordem para C w e considerando que o transporte se faz sem ocorrência de acumulação de massa, vem a seguinte equação de balanço de massa para a parede: onde: ( C (x,t) - C ) kf i w = k wc w (3) k w - constante de decaimento na parede (L T -1 ). Resolvendo a equação (3) em ordem a C k C (x,t) C w vem: f i w = (4) k f + k w Substituindo (4) em (2), obtém-se a seguinte expressão para representar a taxa de decaimento do cloro em (ML -3 T -1 ), R [( C (x,t))] i k w k f = kbci (x,t) + C i (x,t) (5) R H ( k + k ) w f O coeficiente de transferência de massa, kf, é função do diâmetro da conduta, da velocidade do escoamento e da temperatura, que afecta a difusão e a viscosidade cinemática. É usualmente determinado recorrendo ao número adimensional de Sherwood que se escreve do seguinte modo [Edwards et al. (1976)]: Sh D k f = (6) d em que: D difusão molecular do cloro na água (L 2 T -1 ) (1.24 E-9 m 2 /s) a 2 o C; d diâmetro da conduta (L). Para escoamentos laminares (Re < 23), o número de Sherwood pode escrever-se [Edwards et al. (1976)]:.668 (d/l) R e Sc Sh = /3 (7) 1+.4 [( d/l) R Sc] e em que: Sh número de Sherwood; Re número de Reynolds, R = Ud e, onde ν é a viscosidade cinemática (L 2 T -1 ) (ν = 1.11 E-6 ν m 2 /s, a 2 o C); ν Sc número de Schmidt, Sc =. D Para escoamentos turbulentos (Re>23), o número de Sherwood pode escrever-se [Edwards et al (1976)]:.83 e.333 Sh =.23 R Sc (8) 4

5 2.1.3 Condições de Fronteira nos Nós Considerando uma mistura instantânea e total nos nós, a equação de conservação da massa para o nó genérico k, escreve-se: C Q jc j + Q C x= L s s j j {} Ik = (9) Q j Q s j {} I i x= + k em que: i - conduta cujo caudal deixa o nó k; Ik - conjunto de condutas que levam o fluido para o nó k; Lj - comprimento total da conduta j (L); Qj - caudal na conduta j (L 3 T -1 ); Qs - caudal externo que entra no nó k (L 3 T -1 ); Cs - fonte de concentração externa que entra no nó k (ML -3 ) Condição de fronteira nos Reservatórios Para reservatórios de volume variável, onde se assume a mistura completa, o balanço na fronteira do reservatório escreve-se: ( V C ) T t T = i Q ic { I } T i x= L i j Q jc { O } T T + R ( C ) em que: VT volume do reservatório no tempo t (L 3 ); CT concentração de cloro na água do reservatório no tempo t (ML -3 ); IT conjunto de condutas que transportam o caudal para o reservatório; OT conjunto de condutas que recebem caudal do reservatório. A equação de transporte que rege o comportamento de substâncias dissolvidas em sistemas de abastecimento de água, equação (1), conjuntamente com as condições de fronteira (9) e (1) e procedendo à determinação da taxa de decaimento R[ C i (x,t)], resulta numa série de equações diferenciais parciais que uma vez resolvidas permitem determinar a concentração dessas substâncias nos sistemas, ao longo das redes de condutas e ao longo do tempo Métodos Numéricos para Resolução das Equações Na modelação da qualidade da água em sistemas de abastecimento podem considerar-se modelos estáticos e modelos dinâmicos. Nos modelos estáticos considera-se que as características não variam no tempo. Estes modelos poderão apenas ser usados para previsão aproximada da qualidade da água em situações particulares, e em intervalos de tempo determinados. Como as características hidráulicas e da qualidade da água dos sistemas de distribuição variam no tempo e ao longo da rede, os modelos dinâmicos são mais apropriados para se proceder ao estudo da qualidade da água nesses sistemas, pois apresentam maior exactidão e melhores performances. Os modelos dinâmicos podem ser classificados espacialmente em modelos Eulerianos e Lagrangeanos [Rossman e Boulos (1996)]. T (1) 5

6 A abordagem Euleriana considera as condutas de uma rede divididas em segmentos de volume fixos (volumes de controlo), nas fronteiras dos quais vão sendo feitos registos das alterações ocorridas, à medida que o tempo avança com incrementos uniformes. Os modelos Lagrangeanos são caracterizados por seguirem o movimento do fluido (volumes de controlo) ao longo do seu percurso registando-se as alterações que vão surgindo. Relativamente ao tempo, os métodos podem ser classificados como Time-Driven (Orientados pelo Tempo) ou Event-Driven (Orientados por Eventos) [Rossman e Boulos (1996)]. O método numérico Time-Driven actualiza o estado da rede em intervalos de tempo fixos. O método numérico Event-Driven só actualiza o estado do sistema quando ocorre uma mudança (evento) como, por exemplo, quando uma nova parcela de água alcança o nó de jusante da conduta e se mistura com a água proveniente de outras condutas. Todos os modelos de qualidade utilizados assumem como conhecidas as condições hidráulicas da rede, nomeadamente a direcção do fluxo e a velocidade para cada passo de cálculo hidráulico (intervalo de tempo entre cálculos hidráulicos do sistema). A seguir efectua-se a descrição dos métodos numéricos (TDM e EDM) para a resolução dos modelos Lagrangeanos. Time Driven Method (TDM) Este método acompanha a evolução da concentração de uma série de segmentos de água não sobrepostos de cada conduta. À medida que o tempo avança e à medida que a água entra na mesma, aumenta o tamanho do segmento mais a montante da conduta. À medida que a água deixa a conduta ocorre também uma igual redução do tamanho do segmento mais a jusante. O tamanho dos segmentos intermédios permanece inalterado. Para cada passo (intervalo de tempo) da qualidade da água, o conteúdo de cada segmento é sujeito a reacção; são contabilizados a massa total e o volume de fluxo que entra em cada nó, e são actualizadas as posições dos segmentos. As novas concentrações nodais são calculadas e novos segmentos são criados no início de cada conduta. O processo é depois repetido para o próximo passo da qualidade da água. E assim sucessivamente até se atingir o tempo limite. A excessiva geração de segmentos pode ser controlada através da utilização de uma tolerância para a concentração. Portanto, se a concentração nodal e a concentração do primeiro segmento da conduta, cumprirem o critério definido para a tolerância, não se cria um novo segmento, sendo nesse caso o volume de saída acrescentado ao segmento existente. Na Figura 1 apresenta-se um esquema onde se pretende ilustrar a evolução dos segmentos de três condutas ao longo de um intervalo de tempo de cálculo t. Apresentam-se os passos associados ao cálculo da qualidade da água para cada intervalo de tempo. Passo 1: No intervalo de tempo de cálculo da qualidade cada segmento é actualizado reflectindo as reacções que ocorreram nesse intervalo de tempo, segundo determinada lei de decaimento. Passo 2: É determinada a concentração em cada nó, tendo em conta as parcelas de água provenientes das várias condutas e do caudal externo (se existir). O volume proveniente de cada conduta é igual ao produto do caudal na tubagem pelo passo de cálculo. Se este volume for superior ao volume do segmento adjacente, então é necessário ir buscar o restante volume ao segmento que o precede. 6

7 (a) (b) Figura 1 Comportamento dos segmentos utilizando o TDM, adaptado de [Rossman e Boulos (1996)] (a) Tempo t; (b) Tempo t + t. Passo 3: É actualizada a qualidade da água nos reservatórios de nível variável de acordo com o modelo utilizado para a mistura. Passo 4: São criados novos segmentos nas condutas. O volume de cada novo segmento é igual ao produto do caudal da conduta pelo passo de cálculo. A qualidade de água do novo segmento é igual ao valor de qualidade do nó que o antecede. Inicialmente cada conduta da rede consiste num único troço com um valor de concentração igual ao valor estabelecido como condição inicial. Event-Driven Method (EDM) O método numérico EDM é similar ao método numérico TDM, mas em vez de actualizar o estado da rede em pontos fixos no tempo, a actualização é orientada pela actividade do sistema. O EDM requer que seja mantida uma lista de segmentos, ordenada de forma crescente pelo tempo de vida previsto para os segmentos mais a montante de cada conduta. Considera-se um evento como sendo o consumo integral de um segmento pelo nó de destino. O próximo evento ocorre para o segmento à cabeça da lista, ou seja, para o segmento com menor tempo de vida. Quando ocorre o evento realizam-se as seguintes acções: i. o segmento alvo (origem do evento) é retirado da lista e é actualizado o tempo de simulação; ii. é calculada a nova concentração do nó alvo (consumidor do segmento alvo), tendo em conta as parcelas de água provenientes das várias condutas e do caudal externo (se existir). O volume proveniente de cada conduta é igual ao produto do caudal na tubagem pelo tempo de vida do segmento; iii. são criados novos segmentos, para as condutas que transportam o caudal saído do nó alvo. À semelhança do TDM, a criação de novos segmentos pode estar sujeita a um critério de tolerância; iv. o tempo de vida dos segmentos de montante é actualizado e a lista é reordenada. Este processo continua até que as condições hidráulicas do sistema se alterem. Nessa altura a posição e a concentração de todos os segmentos são actualizadas. 7

8 3. APLICAÇÃO E RESULTADOS Nesta secção vai-se efectuar a análise de dois exemplos cujas redes foram utilizadas por outros autores, Rossman et al. (1993) e Boulos et al. (1994) em estudos semelhantes, permitindo deste modo fazer uma comparação com os resultados publicados. Para os dois exemplos faz-se uma análise comparativa dos valores obtidos pelos métodos numéricos TDM, EDM e pela solução teórica, não considerando decaimento do cloro. É feita também uma análise comparativa entre os resultados obtidos pelos métodos numéricos TDM e EDM considerando decaimento de cloro. Neste estudo foram usadas as unidades do SI e a expressão de Hazen-Williams para o cálculo das perdas de carga nas condutas. 3.1 Exemplo 1 A rede usada neste exemplo, Figura 2, foi apresentada em Rossman et al. (1993). É constituída por três reservatórios de grandes dimensões e com nível constante, seis condutas e três nós de junção. Os resultados hidráulicos para as condutas e nós de junção foram obtidos através do programa EPANET 2. e encontram-se representados nos Quadro 1 e Quadro 2, respectivamente L/s A C L/s B L/s Figura 2 - Representação esquemática do sistema hidráulico para o exemplo 1, adaptado de Rossman et al. (1993) Identificação da conduta Nó de montante Nó de jusante Quadro 1 Características das condutas Comprimento (m) Diâmetro (mm) Coeficiente de rugosidade (adimensional) Caudal (L/s) Velocidade (m/s) 1 A C B Identificação do Nó Quadro 2 Características dos nós de junção Consumo Energia Pressão Cota topográfica (m) (L/s) (m) (kpa) Qualidade Inicial (mg/l) 8

9 A altura da superfície livre dos reservatórios A, B e C é de 82.3 m, 88.4 m e de 76.2 m, respectivamente. Considerou-se que a concentração de cloro dos reservatório A, B e C, é constante e igual a 1 mg/l, 3 mg/l e 2 mg/l respectivamente, e que a concentração inicial do cloro na água das condutas é de mg/l. Começa-se por efectuar uma análise comparativa dos valores obtidos para a evolução da concentração de cloro nos nós 1, 2 e 3, através do EDM, do TDM e da solução teórica, não considerando decaimento do cloro. 15 Concentração (mg/l) 1 5 TEÓRICA EDM TDM 2 Tempo (min.) 4 6 Figura 3 Evolução da concentração de cloro no nó 1 25 Concentração (mg/l) TEÓRICA EDM TDM 2 Tempo (min.) 4 6 Figura 4 Evolução da concentração de cloro no nó 2 Concentração (mg/l) TEÓRICA EDM TDM 2 Tempo (min.) 4 6 Figura 5 Evolução da concentração de cloro no nó 3 Como se pode observar nas figuras precedentes a concentração de cloro nos nós de junção obtida através do EDM é igual à da solução teórica. Os resultados obtidos com o TDM afastam-se da solução teórica, nomeadamente quando ocorre mudança de concentração nos nós de junção. Estes resultados devem-se ao facto do método numérico TDM dividir a conduta em segmentos de volume usando um intervalo de tempo ( t) fixo para o passo da qualidade. O problema advém do facto do segmento consumido pelo nó de junção não ter uma concentração homogénea. Se o comprimento da conduta fosse múltiplo do comprimento dos segmentos obtidos com o t escolhido, este problema não 9

10 surgiria; ou seja, os resultados estranhos que se obtêm com o TDM não se devem ao t escolhido mas sim à natureza do próprio método. De seguida, considerando o decaimento do cloro, é realizado um estudo comparativo do número de segmentos gerados pelos métodos EDM e TDM. Para o cálculo do decaimento de cloro considerouse para a viscosidade cinemática o valor de 1.1E-6 m 2 /s e para a difusão molecular o valor de 1.237E-9 m 2 /s, tendo-se considerado a água à temperatura de 2º C. Em todas as condutas foi considerado para o coeficiente de decaimento devido à interface com as paredes da conduta (kw) o valor de -1. m.dia -1 e para o coeficiente de decaimento no interior da conduta (Kb) o valor de -.5 dia -1. A Figura 6 apresenta a evolução do número total de segmentos gerados pelos métodos numéricos TDM e EDM, considerando uma tolerância de para o TDM,.1 e.1 para o EDM. Nestes resultados a tolerância corresponde a um valor em mg/l. Conforme, se referiu anteriormente a admissão de uma tolerância para a qualidade permite controlar a excessiva geração de segmentos podendo, no entanto, afectar a exactidão dos resultados no caso dos valores admitidos serem muito elevados. N.º de segmentos gerados TDM (Tol.= mg/l) EDM (Tol.=.1mg/L) EDM (Tol.=.1mg/L) Tempo (min.) Figura 6 Evolução do número total de segmentos gerados pelos TDM e EDM Analisando a Figura 6, verifica-se que o EDM gera muito mais segmentos que o TDM. Verifica-se também que o EDM é muito mais sensível à tolerância do que o TDM. Conforme se pode observar o número de segmentos gerados pelo EDM apresenta um crescimento praticamente exponencial, tornando o cálculo, mesmo para redes simples, quase intratável do ponto de vista computacional, dado que quantos mais segmentos são gerados maior é o tempo dispendido no cálculo (tempo de execução). No sentido de tornar o método numérico EDM mais atractivo do ponto de vista computacional, foram feitas algumas adaptações ao critério de geração de segmentos de forma a limitar o número de segmentos gerados. Foram estudadas duas abordagens para esta questão: 1) só permitir gerar novos segmentos se o seu comprimento for superior a um valor pré-estabelecido, por exemplo um metro; 2) Considerar a tolerância como uma percentagem. Ou seja, só é gerado um novo segmento se a concentração nodal for superior numa certa percentagem à concentração do primeiro segmento da conduta. Neste caso a tolerância para a qualidade da água em vez de ser especificada em mg/l é indicada em percentagem. Na Figura 7 apresenta-se o impacto destas duas abordagens no número de segmentos gerados. Conforme se pode constatar o número de segmentos gerados reduziu-se substancialmente quando se utiliza o EDM com restrição, reduzindo-se mais ainda quando se utiliza a tolerância especificada em percentagem, chegando-se a obter, em relação ao TDM, um número de segmentos gerados na mesma ordem de grandeza. 1

11 1 TDM (Tol.= mg/l) EDM (Tol.=.1 mg/l) EDM (Tol.=.1 mg/l) c/ Restrição EDM (Tol.=.1 %) N.º de segmentos gerados Tempo (min.) Figura 7 Evolução do número total de segmentos gerados pelos TDM e EDM. Impacto das alterações efectuadas no EDM sobre o número de segmentos gerados. A Figura 8 mostra a relação entre o número de segmentos gerados e o tempo dispendido no cálculo. 1 N.º de segmentos gerados Tempo de execução (s) 12 N.º máximo de segmentos gerados Tempo de execução (s) TDM (Tol.= mg/l) EDM (Tol.=.1mg/L) EDM (Tol.=.1mg/L) c/ restrição de 1 m Tolerância para a qualidade EDM (Tol.=.1 %) Figura 8 Relação entre o valor máximo de segmentos gerados e o tempo de execução do programa Em termos médios, o programa demorou 16 segundos a efectuar o cálculo para a qualidade usando o EDM com restrição, enquanto que para o EDM sem restrição demorou 114 s. No entanto a diferença mais significativa para os valores do tempo de execução verifica-se quando é usado o EDM com a tolerância para a qualidade da água expressa em percentagem, não chegando o programa neste caso a demorar 1 s a apresentar os resultados. Os valores apresentados para o tempo de execução correspondem ao tempo efectivamente dispendido pelo CPU para o cálculo da qualidade. Portanto, iniciou-se a contagem do tempo antes de iniciar o cálculo e parou-se a contagem após este terminar. Embora a contagem tenha sido efectuada em milissegundos, os valores apresentados estão em segundos. Este processo foi repetido 1 vezes para cada simulação, correspondendo o valor apresentado à média dos tempos de cada execução. O computador usado para a execução do programa estava equipado com um processador Pentium IV 11

12 Mobile de 2. Gz e com 768 Mb de RAM. O Sistema Operativo usado foi o Windows XP (Home Edition). Em termos de geração de segmentos, tempo de execução e memória utilizada pode considerarse que o método numérico EDM com tolerância em percentagem é bastante atractivo, obtendo-se para o tempo de execução valores da mesma ordem de grandeza que com o TDM. A Figura 9 mostra o impacto destas alterações sobre os valores da concentração. 3 - EDM (Tol.=.1%) - TDM (Tol.= mg/l) - EDM(Tol.=.1 mg/l c/ restrição de um metro - EDM (Tol.=.1 mg/l) 25 Nó 3 Concentração (mg/l) Nó 2 Nó Tempo (min.) Figura 9 Concentração de cloro nos nós 1, 2 e 3 considerando decaimento. Pela análise da Figura 9 pode-se concluir que as alterações não modificaram, de forma significativa, os valores obtidos. 3.2 Exemplo 2 A rede usada neste exemplo foi analisada em Boulos et al. (1994) e é constituída por três reservatórios de grandes dimensões e nível constante, oito condutas e três nós de junção. A cada reservatório encontra-se associada uma bomba centrífuga. A altura da superfície livre dos reservatórios é respectivamente 5. m, 6. m e 56. m. As três bombas são idênticas e os seus dados operacionais encontram-se representados no Quadro 5. Na conduta 2 encontra-se uma válvula de controlo com um coeficiente de perda de carga igual a 1. Os resultados hidráulicos para as condutas e nós de junção foram obtidos através do programa EPANET 2. e encontram-se representados nos Quadro 3 e Quadro 4, respectivamente. A SIMBOLOGIA C Reservatório - Nó de junção B Bomba - Válvula de controlo Figura 1 Representação esquemática do sistema hidráulico para o exemplo 2, adaptado de Boulos et al. (1994) 12

13 Identificação da conduta Nó de montante Nó de jusante Quadro 3 Características das condutas Comprimento (m) Diâmetro (mm) Coeficiente de rugosidade (adimensional) Caudal (L/s) Velocidade (m/s) 1 A C B Identificação do Nó Quadro 4 Características dos nós de junção Consumo Energia Pressão Cota topográfica (m) (L/s) (m) (kpa) Quadro 5 Dados para a curva característica da bomba Energia (m) Caudal (L/s) Qualidade Inicial (mg/l) Considerou-se que a concentração de cloro dos reservatório A, B e C, é constante e igual a 1 mg/l, 8 mg/l e 6 mg/l respectivamente, e que a concentração inicial do cloro na água das condutas é de mg/l. Com este exemplo foi realizado um estudo idêntico ao do exemplo anterior, tendo-se chegado, de um modo geral, às mesmas conclusões. Os resultados obtidos para a concentração de cloro nos nós usando o método numérico EDM, não considerando decaimento, coincidiram com a solução teórica. Os valores obtidos pelo TDM de um modo geral são iguais à solução teórica, só não o sendo quando ocorre uma alteração da concentração. Em relação ao número de segmentos gerados pelos TDM, EDM e EDM adaptado verifica-se, como se pode constatar na Figura 11, que se obtém menos segmentos usando o EDM com tolerância para a qualidade da água expressa em percentagem chegando-se mesmo a obter, em relação ao TDM, um menor número de segmentos gerados. 13

14 8 TDM (Tol.= mg/l) EDM (Tol.=.1mg/L e restrição de 1 m) EDM (Tol.=.1 mg/l) EDM (Tol.=.1%) 7 N.º de segmentos gerados Tempo (min.) Figura 11 - Evolução do número total de segmentos gerados pelos TDM e EDM. Impacto das adaptações efectuadas ao EDM sobre o número de segmentos gerados Em termos de tempo de execução os métodos que despenderam menos tempo de execução foram o TDM e o EDM com tolerância em percentagem, necessitando de apenas alguns milissegundos para efectuar o cálculo. O método que consumiu mais tempo foi o EDM com tolerância em mg/l, conforme se pode verificar na Figura N.º de segmentos gerados Tempo de execução (s) 4 N.º máximo de segmentos gerados Tempo de execução (s) TDM (Tol.= mg/l) EDM (Tol=.1 mg/l) EDM (Tol.=.1 mg/l e restrição de 1 m) Tolerância EDM (Tol..1 %) Figura 12 - Relação entre o número máximo de segmentos gerados e o tempo de execução do programa Em relação à variação da concentração nos nós de junção devida à adaptação efectuada, não se detectam alterações significativas, como se pode observar na Figura 13 para o nó de junção 1, que é um dos últimos nós a receber água com concentração de cloro diferente de zero. 14

15 1 9 8 EDM (Tol.=.1%) EDM (Tol.=.1 mg/l e restrição de 1 m) TDM (Tol.= mg/l) EDM (To l.=.1 mg/l) Concentração (mg/l) Tempo (min.) Figura 13 - Concentração de cloro no nó 1 considerando decaimento 4. CONCLUSÕES Em conclusão os métodos numéricos EDM e TDM apresentam valores muito próximos da solução teórica, sendo os valores obtidos pelo EDM coincidentes com esta e os obtidos pelo TDM diferente nos nós apenas quando existe uma nova frente de concentração de cloro. O EDM é mais sensível à tolerância que o TDM, pelo que ao diminuir a mesma tolerância nos métodos EDM e TDM, o número de segmentos gerados pelo TDM praticamente não é alterado enquanto que com o EDM o número de segmentos cresce de uma forma quase exponencial. O número de segmentos gerados pelo EDM pode ser limitado, quer pela imposição de um comprimento mínimo para os segmentos a criar, quer através da explicitação da tolerância como uma percentagem da concentração presente em cada troço. Estas adaptações não alteram de forma significativa os valores da concentração, e tornam o método numérico EDM bastante atractivo para ser aplicado na simulação da qualidade da água em sistemas de abastecimento. BIBLIOGRAFIA Rossman, L. A., R. M. Clark, et al. (1994). Modeling Chlorine Residuals in Drinking- Water Distribution Systems. Journal of Environmental Engineering. 12: Boulos, P. F. and T. Altman (1993). Explicit Calculation of Water Quality Parameters in Pipe Distribution Systems. Civil Engineering Systems. 1: Boulos, P. F., T. Altman, et al. (1994). An event-driven method for modeling contaminat propagation in water networks. Appl. Math. Modeling. 18: Edwards, D. K., V. E. Denny, et al. (1976). Transport processes. New York, McGraw-Hill. Rossman, L. A., P. F. Boulos, et al. (1993). Discrete Volume-Element Method for Network Water-Quality Models. Journal of Water Resources Planning and Management. 119: Rossman, L. A., R. M. Clark, et al. (1994). Modeling Chlorine Residuals in Drinking- Water Distribution Systems. Journal of Environmental Engineering. 12:

16 Rossman, L. A. and P. F. Boulos (1996). Numerical Methods for Modeling Water Quality ikn Distribution Systems: A Comparison. Journal of Water Resources Planning and Management. 122: Rossman, L. A. (2). EPANET 2 USER'S MANUAL. Cincinnati, United States Environmental Protection Agency, U.S.A. Sá Marques, J. A. A. and J. M. P. Amado (22). Modelação da Qualidade da Água em Sistemas de Distribuição: Comparação de vários métodos. Encontro Nacional de Saneamento Básico, ENASB, Braga, Portugal. Sharp, W., J. Pfeffer, et al. (1991). In-situ decay rate testing. Water Quality Modeling in Distribution Systems, Denver, Colorado, AWWA Research Foundation. Wable, O., N. Dumoutier, et al. (1991). Modeling chlorine concentrations in a network and applications to Paris distribution network. Water Quality Modeling in Distribution Systems, Denver, Colorado, AWWA Research Foundation. 16