Universidade Federal de Itajubá UNIFEI Instituto de Física & Química IFQ. Universidade Aberta do Brasil UAB Curso de Licenciatura em Física EaD

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1 Universidade Federal de Itajubá UNIFEI Instituto de Física & Química IFQ UNIFEI, uma instituição centenária. Universidade Aberta do Brasil UAB Curso de Licenciatura em Física EaD Textos Auxiliares para as disciplinas: Física Experimental Metodologia Científica Prof. Gabriel Rodrigues Hickel Baseado em material didático criado por Prof. Agenor Pina da Silva & Profa. Mariza Grassi Ano 2018 Todos os direitos reservados à UNIFEI e UAB. O uso deste material para fins didáticos, não lucrativos, é permitido, desde que mantidos os créditos. 1

2 Conteúdo deste texto: I Introdução II - Grandezas Físicas e Padrões de Medida III - Noções sobre medidas: medidas diretas e indiretas IV - Algarismos significativos em medidas diretas V - Critérios de arredondamento Referências Bibliográficas recomendadas para este texto Livros: 1 - Vuolo, J.H., Fundamentos da Teoria de Erros. Editora Edgard Blücher LTDA, 2 a Edição, São Paulo, SP, Endereços eletrônicos: 1 IPEM; Medidas Antigas (acesso em 01/Março/2018) 2 Depto. de Física CCT UDESC; Medidas e Algarismos Significativos (acesso em 01/Março/2018) 3 ITA; Algarismos Significativos (acesso em 01/Março/2018) 4 Lima Júnior, P. et al.; Incerteza e Algarismos Significativos (acesso em 01/Março/2018) 2

3 I Introdução A Física é uma ciência que se baseia fortemente na observação do fenômeno natural, na identificação e na medida das propriedades que o caracterizam. Através das observações é que podemos identificar quais são as propriedades que realmente caracterizam um dado fenômeno e depois medi-las. Essas medidas são realizadas através da utilização de equipamentos com as mais variadas funções. Através das experiências realizadas com esses equipamentos, é que podemos obter valores quantitativos consistentes para certas propriedades da matéria. O sucesso de qualquer modelo físico criado pelos físicos teóricos está pautado na concordância das previsões do modelo com os resultados obtidos experimentalmente. Derrubar ou sustentar um modelo científico faz com que o trabalho do físico experimental seja de extrema importância para o desenvolvimento do conhecimento científico. Para alcançar a compreensão de um fenômeno físico é preciso adotar um procedimento que se possa repetir e variar tantas vezes quantas for necessário, até que se tenham reunido dados suficientes e confiáveis através da observação. Esses dados são invariavelmente obtidos através de processos de medição. A importância desses processos bem como sua complexidade, torna o ato de medir uma tarefa fundamental e nada trivial. Em Física, a importância da idéia de medida pode ser realçada quando lemos a frase atribuída a Lord Kelvin (cientista britânico que ficou conhecido por suas contribuições à eletricidade e magnetismo, mecânica e termodinâmica): Tenho afirmado freqüentemente que quando se pode medir aquilo de que está falando, e exprimir essa medida em números, então ficamos sabendo algo a seu respeito; mas quando não se pode exprimi-la em números, o conhecimento é limitado e insatisfatório. Ele pode ser o começo do conhecimento mas o pensamento terá avançado muito pouco para o estágio científico, qualquer que seja o assunto. Os trabalhos experimentais normalmente são realizados com o objetivo de se medir grandezas de interesse prático, ou ainda, para se determinar a relação de interdependência entre duas ou mais grandezas que estão presentes em um fenômeno. O procedimento adotado nesse estudo é chamado de método científico. Ele é basicamente composto de 3 etapas: observação, raciocínio e experimentação. A primeira etapa é a observação do fenômeno a ser compreendido. Realizam-se experiências para poder repetir a observação e isolar, se necessário, o fenômeno em estudo. Na etapa de raciocínio, propõe-se um modelo (hipótese) com o propósito de explicar e descrever o fenômeno. Finalmente, esta hipótese sugere novas experiências cujos resultados 3

4 irão ou não confirmar a hipótese feita; se ela se mostra adequada para explicar um grande número de fatos, constitui-se no que chamamos de uma lei física. Estas leis são quantitativas, ou seja, devem ser expressas por funções matemáticas. Muito embora estaremos ao longo deste curso analisando o processo de medida como parte da análise física de fenômenos naturais, é importante salientar que as medidas fazem parte do nosso dia-a-dia. Utilizamos inúmeros instrumentos de medida, ainda que fora do rigor científico, como medidores de água e luz, relógios, balanças, termômetros; só para citar alguns mais comuns. Nossa sociedade necessita de quantidades determinadas (embalagens, transportes, construções, etc...) para as mais diversas atividades. Então, de certa forma, o processo de medida e utilização de instrumentos de medição é algo comum a todo tipo de cidadão, seja ele consciente disto ou não. No Brasil, existe legislação específica sobre pesos e medidas e órgãos fiscalizadores com o INMETRO e IPEM. II - Grandezas Físicas e Padrões de Medida Todas as grandezas físicas podem ser expressas em termos de um pequeno número de unidades fundamentais. Fazer uma medida física significa comparar uma quantidade de uma dada grandeza com outra quantidade da mesma grandeza, definida como unidade ou padrão da mesma. Estas unidades e padrões surgiram e evoluíram junto com as diversas culturas humanas, muitas de forma independente. Inicialmente as unidades e padrões eram relacionados a quantidades práticas, que não necessariamente implicavam na utilização de instrumento. São exemplos; a polegada, o dia (rotação terrestre), a libra. Posteriormente, cada cultura de maior expressão desenvolveu seus próprios instrumentos e padrões de medidas, alguns dos quais permanecem até os dias de hoje. Somente a partir do século XVI, com a Renascença e o surgimento do método científico moderno, é que surgiram as primeiras propostas de unificação dos sistemas de medidas naturais. A resistência inicial à adoção de um sistema ou outro era obviamente natural, uma vez que toda as atividades de cada sociedade estavam vinculadas às unidades e padrões historicamente adotados. Em 1799 a França, buscando unificar as unidades e padrões de medida em seus territórios, deu início ao que nos dias de hoje conhecemos como Sistema Internacional de Unidades, adotado em todo mundo, exceto em três países: EUA, Libéria e Myanmar. 4

5 O Sistema Internacional de Medidas (SI) foi adotado pelo Brasil em 1855, mas legalmente, só foi implementado em O SI é adotado pela comunidade científica internacional, mas devido à forte influência econômica-política-científica dos EUA, é ainda bastante comum nos dias de hoje nos depararmos com textos técnicos e/ou científicos utilizando unidades e padrões de medidas fora deste Sistema. O SI possui 7 unidades e padrões básicos, a partir dos quais, todas as outras unidades são derivadas. A Tabela 1.1 abaixo lista as grandezas fundamentais, unidades, símbolos e definições modernas destes padrões básicos do SI: Tabela 1.1 Grandezas e Padrões Básicos do SI Grandeza Unidade Símbolo DEFINIÇÃO (Padrão) Comprimento metro m Metro é o comprimento da trajetória percorrida pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/ do segundo. Massa quilograma kg Massa do protótipo internacional, conservado no Bureau Internacional de Pesos e Medidas, em Sévres, França Tempo segundo s Um segundo é o tempo decorrido entre vibrações da luz (de comprimento de onda especificado) emitido pelo átomo de césio-133 ( 133 Cs). Mol é a quantidade de matéria de um sistema que Quantidade de mol Mol contém tantas entidades elementares quanto são os Matéria átomos contidos em 0,012 quilograma de carbono-12. Temperatura kelvin K Fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do Corrente Elétrica Intensidade Luminosa ampère candela A cd ponto tríplice da água. O Ampère é definido como uma intensidade de uma corrente constante que, mantida entre dois condutores paralelos, retilíneos, de comprimento infinito, de seção circular desprezível e colocados a uma distância de um metro um do outro, no vácuo, produz uma força Newton por metro de comprimento. Intensidade luminosa, numa direção dada, de uma fonte que emite uma radiação monocromática de freqüência hertz e cuja intensidade energética naquela direção é 1/683 watt por esferorradiano. Quando dizemos, por exemplo, que um dado comprimento vale 10 m, estamos dizendo que o comprimento em questão corresponde a dez vezes o comprimento da unidade padrão, o metro. As unidades de outras grandezas, como velocidade, energia, força, torque, etc; são derivadas destas 7 unidades. Não é incomum que o SI adote nomes especiais para unidades de outras grandezas, com o Newton (N) para força e Joule (J) para energia, mas estas grandezas sempre podem ser reescritas em função das 7 unidades básicas. 5

6 III - Noções sobre medidas: medidas diretas e indiretas. O objetivo imediato da operação de medir uma grandeza é verificar quantas vezes ela contém o padrão da grandeza de mesma espécie. Estes procedimentos normalmente envolvem o uso de instrumentos, com os quais se efetuam medidas. Não basta apenas registrar o resultado das medidas feitas durante uma experiência, é necessário dar uma idéia da confiabilidade da medida. O valor numérico de uma grandeza, em relação a uma unidade padrão, será sempre determinado aproximadamente, devido à ocorrência inevitável de erros de medida. Os fatores que intervêm na medida de uma grandeza podem ser de ordem objetiva (natureza do objeto de medida, qualidade dos instrumentos utilizados) ou de ordem subjetiva (escolha do método de medida, habilidade do experimentador). Em suma, a qualidade e confiabilidade de uma medida dependerão do observador, do instrumento, da metodologia de medida e do ambiente em que ela é executada. O resultado da medida de uma grandeza G é composto por: um número proveniente do processo de comparação com um padrão, representado aqui por m (o valor da grandeza em si); uma indicação da confiabilidade da medida, representada pelo erro ou incerteza da medida, indicada aqui por m; uma eventual notação científica (normalmente indicada em potências de 10 ou prefixo), representada aqui por 10 n, mas nem sempre presente; na grande maioria dos casos, uma unidade, representada aqui por u (a unidade nem sempre existirá em uma medida, pois pode-se medir valores adimensionais, como por exemplo, o valor de ). Assim, a medida de uma grandeza G qualquer, será expressa como: G = (m m) 10 n u. Por exemplo, o valor, atualmente aceito para a velocidade da luz propagando-se no vácuo é: c = (2, ± 0, ) x 10 8 m/s. Isto significa que, apesar das sofisticadas técnicas empregadas e do esforço de muitos cientistas, ainda persiste uma incerteza de medida de 4 m/s na velocidade da luz. Este e muitos outros exemplos que poderiam ser citados permitem concluir que o erro está presente em todo processo de medida e determina a faixa de incerteza dentro da qual se conhece a medida de uma grandeza. 6

7 Em relação à origem, as medidas de grandezas físicas podem ser classificadas em duas grandes categorias: medidas diretas e indiretas. A medida direta de uma grandeza é o resultado da leitura de uma quantidade, mediante o uso de instrumento de medida, como por exemplo, um comprimento com uma régua graduada, ou ainda a de uma corrente elétrica com um amperímetro, a de uma massa com uma balança ou de um intervalo de tempo com um cronômetro. Uma medida indireta é a que resulta da aplicação de uma relação matemática (modelo) que vincula a grandeza a ser medida com outras grandezas que são medidas diretamente. Como por exemplo, a medida de uma área retangular qualquer (A), pode ser obtida através das medidas diretas dos lados do retângulo (L 1, L 2 ); ou seja, A = L 1 L 2. Nas medidas diretas, a qualidade e confiabilidade da medida dependem do observador, instrumento, metodologia e ambiente. Já nas medidas indiretas, dependerão do modelo adotado, das operações com algarismos significativos e da propagação dos erros. IV - Algarismos significativos em medidas diretas Vamos iniciar este item com uma pequena história: você vai a uma vidraçaria e entrega o pedido de um vidro de 2 m de comprimento para substituir em sua janela. Ao chegar em casa confere a medida de comprimento do vidro e descobre que o vendedor cortou o mesmo com 2,002 m de comprimento. O vidro não encaixa no espaço da janela. Será que nesse caso você tem direito a reclamar? Logicamente, o vendedor não irá se negar a cortar o vidro no comprimento exato. Mas o seu pedido deveria especificar o valor exato do comprimento do vidro até a casa do milímetro, o que o vendedor tem condições de medir. Neste caso, escrever 2 m ou 2,000 m, faz muita diferença. Mas isso realmente tem sentido? Ou é exagero do professor? Para responder a esta pergunta, enfatizamos que para medir é necessário se fazer uma comparação e transformar isto em números. Por exemplo, vamos tentar expressar o resultado da medida do segmento CD, na Figura A-1, abaixo. Primeiro, efetuamos a leitura de todos os dígitos que podem ser lidos diretamente da escala que está sendo utilizada, ou em outras palavras, aqueles dígitos que não suscitam quaisquer dúvidas, independente do observador. Todos os leitores deste texto irão concordar que o comprimento CD está entre os valores 2 e 3 da escala presente na Figura A-1. 7

8 Em seguida devemos estimar a fração do objeto que não conseguimos ler diretamente. Sabemos que o valor do comprimento do segmento CD é maior que 2 e menor que 3. Isto possibilita que façamos a estimativa do valor fracionário em relação à unidade da escala. Note, porém, que esta fração deve ser indicada apenas com um algarismo a mais, uma vez que ele será duvidoso (alguns podem estimar 2,5 ou 2,6 ou 2,7, etc). Este algarismo a mais é chamado de dígito de interpolação ou estimativa ou também de algarismo significativo duvidoso. Figura A-1: Medição do segmento CD. Desta forma, concluímos que a medida do comprimento do segmento CD será dada do seguinte modo: dígito lido diretamente da escala 2 (objetivo, vemos que é maior que 2 e menor que 3, na escala, então o comprimento do segmento CD é no mínimo igual a 2 unidades da escala); dígito interpolado ou estimado 6 (subjetivo, depende do leitor, aqui estamos exemplificando a fração excedente como 0,6 a partir da marcação 2 da escala); medida do comprimento CD 2,6 A interpolação surge quando o valor medido corresponde a uma fração da unidade do padrão de escala do instrumento. Embora o dígito resultante do processo de interpolação seja ligeiramente subjetivo, ele carrega uma informação que exclui algumas possibilidades e, portanto, é significativo também. Deste modo, podemos dizer que uma medida direta é o resultado da leitura direta de valores em um instrumento de medição e não envolve qualquer operação aritmética (modelo) para sua obtenção. Em uma medida direta são considerados algarismos significativos (A.S.): todos os algarismos resultantes da comparação por contagem com o padrão são os lidos diretamente da escala ; um (e apenas um) algarismo decorrente do processo de interpolação o duvidoso. 8

9 Assim, por exemplo, se acharmos que o resultado de uma medida é 3,24 cm estamos dizendo que os algarismos 3 e 2 foram lidos diretamente na escala do instrumento, e que o algarismo 4 é duvidoso, não tendo sentido físico escrever qualquer algarismo após o 4. Seguem outros exemplos: Na figura A-2, o segmento FG é medido com uma régua escolar comum, cuja unidade é centímetro, mas com marcações de milímetros. Neste caso, podemos ler diretamente na escala do instrumento dois dígitos ou Algarismos Significativos (AS): o inteiro e o decimal. Uma leitura nos mostra que o comprimento do segmento FG é entre 5,8 e 5,9. Desta forma, teremos: Figura A-2: Medição do segmento FG. dígitos lidos diretamente da escala 5,8; dígito interpolado ou estimado 2 (subjetivo, depende do leitor, aqui estamos exemplificando a fração excedente como 0,02 a partir da marcação 5,8 da escala); medida do comprimento FG 5,82 cm Neste exemplo, seriam igualmente aceitáveis os valores 5,80; 5,81; 5,83; 5,84 e 5,85. Na Figura A-3, o ângulo é medido por um transferidor comum graduado em graus. A leitura do instrumento de medida indica que o ângulo em questão está entre 36 e 37 graus. Então, concluímos que a medida do ângulo terá: dígitos lidos diretamente da escala 36; dígito interpolado ou estimado 7 (subjetivo, depende do leitor, aqui estamos exemplificando a fração excedente como 0,7 a partir da marcação 36 da escala); medida do ângulo 36,7 graus Os valores entre 36,5; 36,6; 36,8 e 36,9 seriam igualmente aceitáveis. Vale lembrar também que ângulo não tem unidade física. Utilizamos graus ou radianos (e mais raramente grados), mas oficialmente os ângulos são grandezas adimensionais. 9

10 Figura A-3: Medição do ângulo. Na Figura A-4, a temperatura ambiente T é medida por um termômetro climático comum, com duas escalas: uma graduada em 2 graus Celsius e outra graduada em 2 graus Farenheit. Vamos nos ater à escala graduada em grau Celsius. A leitura do termômetro indica que a temperatura em questão está entre 14 e 16 graus Celsius. Então, concluímos que a medida da temperatura terá: dígitos lidos diretamente da escala 14; dígito interpolado ou estimado, a ser somado 0 (subjetivo, depende do leitor, aqui estamos exemplificando o inteiro excedente como 0 a partir da marcação 14 da escala); medida da temperatura T 14 graus Celsius Somente os valores 14 e 15 seriam aceitáveis neste caso. Note que esta situação é um pouco diferente das anteriores, pois o algarismo significativo duvidoso está na casa da unidade de medida, devido à graduação da escala do instrumento. No próximo módulo isto ficará mais claro, quando estudaremos a incerteza ou erro de uma medida. Vale lembrar também que, oficialmente, a unidade de temperatura no SI é Kelvin, indicada pela letra K, sem o uso de graus ou o junto aos valores numéricos. Este é mais um exemplo de unidades utilizadas no nosso dia-a-dia que não seguem os padrões do SI, ainda que uma variação de 1 grau Celsius em uma temperatura seja equivalente à variação de 1 K na mesma temperatura. 10

11 Figura A-4: Medição da temperatura ambiente T. Observações importantes: Todas as medidas na mesma escala são significativas até a mesma ordem decimal final, embora a quantidade de algarismos significativos de cada medida feita com esta escala possa variar. Por exemplo, L 1 = 218,4 mm e L 2 = 3,2 mm podem ter sido obtidos a partir de um mesmo instrumento, pois têm o mesmo número de casas decimais. Porém; S 1 = 2,68 mm e S 2 = 3,289 mm, como apresentam diferentes números de casas decimais, necessariamente têm que ter sido feitas com instrumentos e escalas diferentes. Veremos no próximo módulo que isto está ligado à uma propriedade do instrumento, a precisão. O nome do padrão (unidade) é parte da medida, quando a grandeza medida tiver dimensão. Por exemplo, uma velocidade v = 2 é grande ou pequena? Depende da unidade: v = 2 cm/ano é muito pequena, típica da deriva continental; v = 2 m/s é moderada, típica de uma pessoa no trote; v = 2 km/s é muito grande, típica de aviões supersônicos. Assim, concluímos que sem a devida unidade, uma medida perde completamente o sentido, estando incorreta. O processo de interpolação é subjetivo: a mesma pessoa ou pessoas diferentes podem obter valores diferentes, mas próximos entre si. Assim, o último algarismo significativo pode flutuar (por isto, é duvidoso). 11

12 O dígito de interpolação pode ser nulo, mas tem que ser obrigatoriamente escrito. Sendo assim, jamais acrescente ou remova arbitrariamente os zeros à direita em resultados de medição. As medidas A = 32,5 cm e B = 32,50 cm são diferentes, ou seja, a primeira medida tem 3 A.S., enquanto que a segunda tem 4 A.S. Lembre-se do problema do vidro. O zero (0) situado entre algarismos significativos é sempre significativo: L = 3,25 m tem 3 A.S enquanto que L = 3,025 m tem 4 A.S. As medidas a seguir são diferentes: 5 cm 5,0 cm 5,00 cm 5,000 cm, já que estas medidas tem 1 A.S., 2 A. S., 3 A. S. e 4 A. S., respectivamente. Não é algarismo significativo o zero à esquerda do primeiro algarismo significativo diferente de zero. Assim, tanto A = 32,5 cm como B = 0,325 m representam a mesma medida e tem 3 A.S. Outros exemplos: a) 5 s = 0,5x10 s = 0,05x10 2 s = 0,005x10 3 s (1 A.S.) b) 26 g = 2,6x10 g = 0,26x10 2 g = 0,026x10 3 g (2 A.S.) c) 0, s = 0,34606x10-3 s = 3,4606x10-4 s (5 A.S.) Via de regra, não existem medidas como 0; 0,0 ou 0,000; pois elas não contém nenhum A.S.. Se o instrumento não é capaz de efetuar uma medida com pelo menos 1 A.S. diretamente lido na escala, então ele não deve ser utilizado. Neste caso, faça uso de um instrumento com melhor precisão, como veremos no próximo módulo. Mas podem existir exceções, quando o valor 0 não é o início da escala. Por exemplo, para termômetros climáticos (temperatura ambiente), existem escalas como exemplificado na Figura A-4, na qual a temperatura, em graus Celsius ( o C) pode ter valores negativos e positivos. Supondo que em um dia muito frio, a temperatura fosse de zero graus Celsius, neste caso, não seria absurdo escrever para a temperatura ambiente a seguinte medida: T = (0 1) o C. Tudo depende de como a escala e sua unidade são construídas. 12

13 V - Critérios de arredondamento Frequentemente ocorre a necessidade de se arredondar os números de uma medida. Quando for necessário fazer arredondamento de algum número, utilizaremos as seguintes regras: quando o último algarismo significativo for menor que a metade, os algarismos restantes são eliminados (arredondamento para baixo); Ex.1: L = 8,234 cm a ser arredondado à segunda casa decimal. Então L = 8,23(4) cm é arredondado para L = 8,23 cm, pois o último dígito (4) é menor que a metade, 5. Ex.2: t = 2,43356 s a ser arredondado à primeira casa decimal. Então t = 2,4(3356) s é arredondado para t = 2,4 s, pois os últimos dígitos (3356) são menores que a metade, Ex.3: v = 2,1302 m/s a ser arredondado à terceira casa decimal. Então v = 2,130(2) m/s é arredondado para v = 2,130 m/s, pois os último dígito (2) é menor que a metade, 5. quando o último algarismo significativo for maior que a metade, somamos 1 ao algarismo significativo anterior e os excedente são eliminados (arredondamento para cima); Ex.1: m = 13,2678 g a ser arredondado à terceira casa decimal. Então m = 13,267(8) g é arredondado para m = 13,268 g, pois o último dígito (8) é maior que a metade, 5. Ex.2: E = 6,59 J a ser arredondado ao inteiro. Então E = 6,(59) J é arredondado para E = 7 J, pois os últimos dígitos (59) são maiores que a metade, 50. Ex.3: F = 2,97 N a ser arredondado à primeira casa decimal. Então F = 2,9(7) N é arredondado para F = 3,0 N, pois o último dígito (7) é maior que a metade, 5. quando o último algarismo for exatamente igual a 5 (metade), o arredondamento deve ser tal que o algarismo significativo anterior deve ser par. 13

14 Ex.1: T = 9,05 K a ser arredondado à primeira casa decimal. Então T = 9,0(5) K é arredondado para T = 9,0 K, pois o último dígito (5) é exatamente a metade entre 9,0 e 9,1 K. Mas note que 0 é par e 1 é ímpar. Desta forma, recuamos o valor original ao par, no processo de arredondamento. Ex.2: F = N a ser arredondado à casa do milhar. Então F = 35(500) N é arredondado para 3,610 4 N, pois os últimos dígitos (500) fornecem exatamente a metade entre 3,510 4 e 3,610 4 K. Mas note que 6 é par e 5 é ímpar. Desta forma, aumentamos o valor original ao par, no processo de arredondamento. Neste exemplo, também fizemos uso da representação em notação científica, o que muitas vezes é necessário para respeitar o número de A.S. requeridos no problema. Veremos isto com mais detalhes no Módulo 3. Ex.3: I = 0,5 A a ser arredondado ao inteiro. Então I = 0,(5) A é arredondado para I = 0 A, pois o último dígito (5) é exatamente a metade entre 0 e 1 A, sendo 0, par e 1, ímpar. Porém, como já foi citado neste texto, não podemos escrever I = 0 A, já que o zero sem ser precedido de algum algarismo não nulo, não é A.S.. Então, como proceder? O correto é fazer é escrever: I = indeterminado, explicando ao lado da medida que a instrumentação utilizada não permitiu determinar o valor da medida. 14