II Análise de variância... 17

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1 Índice Página I Introdução População e amostra... Intervalo de confiança da média da população Comparação das médias de duas amostras Teste t Testes à normalidade da distribuição e à homogeneidade das variâncias Teste t para amostras relacionadas (emparelhadas) Testes a variáveis não paramétricas Teste de ajustamento do Qui-Quadrado Teste de independência (Pearson) do Qui-Quadrado. Tabelas de contingência II Análise de variância Delineamento experimental completamente casualizado Análise de variância de 1 factor (One-way Anova) Teste F Teste de Duncan e testes de Tukey... 1 Delineamento experimental de blocos casualizados Estrutura factorial Anova de dois factores Anova de três factores Interacções de 1ª e ª ordem Método dos talhões subdivididos (Split-plot) III Análise de regressão Regressão linear Regressão não linear Transformações matemáticas dos resultados Regressão múltipla Modelos de regressão IV Análise multivariada Análise factorial de componentes principais Análise de clusters... 6 Bibliografia

2 1 População e amostra I Introdução A estatística é uma ciência que recorre a técnicas quantitativas para avaliar e estudar as incertezas e os seus efeitos no planeamento e interpretação de experiências e de observações de fenómenos da natureza e da sociedade. Estatística descritiva. Capítulo da estatística em que se utiliza um conjunto de técnicas analíticas que tem por objectivo resumir os dados recolhidos numa dada investigação a relativamente poucos números e gráficos. Estatística indutiva. Capítulo da estatística que tem como objectivo averiguar até que ponto se podem generalizar e validar os resultados encontrados numa amostra relativa a uma população. (Inferência estatística). Biometria. Desenvolvimento e aplicação dos métodos estatísticos ao delineamento, análise e interpretação, das experiências de agricultura e biologia. População Amostra Estatística descritiva Característica da população: Estatística indutiva Características da amostra: Estudo da amostra: - Tabelas; gráficos; etc. Amostra de uma população com distribuição normal Uma população com distribuição normal pode ser caracterizada pela média e pela variância: N (μ, σ ). A amostra, ao acaso, dessa população pode-se caracterizar por N ( x, s ). Considerando uma amostra proveniente de uma população com distribuição normal: População Amostra Média μ x Desvio padrão σ s Variância σ s = Σ( x - x ) /(n-1) Erro padrão σ/ n s/ n Coeficiente de variância (σ/μ) *100 (s/ x ) *100 Exercício 1 Considerando N (15,4) calcular a probabilidade de x 11 x μ Z (11-15) / - logo P=0,5-0,477=0,08=,8% σ

3 Tabela Padrão da Distribuição Normal (z) P μ Z z

4 Intervalo de confiança da média da população Exercício Considere a amostra de % de proteína: 1,9 13,4 1,4 1,8 13 1, ,5 13,9 Calcule o intervalo de confiança de 95% para média da % de proteína deste alimento. Inferência estatística: assume-se que os dados resultam de uma amostra ao acaso de uma população com uma distribuição normal e com uma média μ e uma variância σ que são desconhecidas e utilizam-se os valores da média e da variância da amostra para estimar os da população. x = 13 n = 9 Graus de Liberdade (GL) = n-1 = 8 s = Σ( x - x ) /(n-1) = 0,6 Erro Padrão (Se) = s/ n = 0,6 / 9 = 0,17 Para GL = 8 e P 0,05 ( tabela Student* t, para bi caudal) resulta t (8) =,306 I.C. (95%) = x ± t * Se = 13 ±,306 * 0,17 = 13 ± 0,39 1,61 a 13,39 Existe uma forte probabilidade da média da % da proteína deste alimento se situar entre 1,6% e 13,4% Excel / Exercício Ferramentas - Análise de dados - Estatística descritiva - Nível de confiança 95% se não aparecer análise de dados nas ferramentas vá aos suplementos * STUDENT Pseudónimo de William Gosset 4

5 SPSS / Exercício Análise Estatística descritiva - Explore Estatística Intervalo de confiança 95% Gráfico Interactivo Barra do erro Intervalo de confiança 95% Barra do erro Revela o IC 95% 5

6 3 Comparação das médias de duas amostras Teste t Exercício 3 Considere as seguintes produções (t/ha) de uma experiência com duas variedades de couve: Variedade A:,9 19,8 4,4 7,9 3,1 5,7 8, 5,6 6, 8,7 31,5 37 Variedade B: 13,7 18, 17,5 15,1 1,6 19, 1,6 4,8 5, 7,8 5, 34 Hipótese nula H 0 : (μ 1 - μ ) = 0 ou H 0 : μ 1 = μ X A N-(μ 1, σ 1 ) X B N-(μ, σ ) X A e X B são independentes então: X A - X B tem uma média igual a x1 x e uma variância igual a σ 1 /n 1 + σ /n A estimativa de μ 1 - μ baseia-se em x1 x Hipótese nula, H 0 : μ 1 = μ Hipótese alternativa, H 1 : μ 1 μ (aceite se P <0,05) Variância ponderada S p = ( n 1 1) s1 + ( n 1) s n + n 1 Valor de t t = s x 1 x 1 ( n p ) n Diferença entre as médias Erro padrão para comparação entre as médias x 1 = 6,75 x =1,99 S p = 6,58 GL = (1-1) + (1-1) = (4-) = Teste t t () =,6 implica P < 0,05 logo, há evidência para rejeitar H 0 e aceitar H 1 Logo, existe evidência para sugerir que a variedade A é mais produtiva que a variedade B. Com um intervalo de confiança de 95% pode-se estimar que a variedade A será mais produtiva entre 0,40 e 9,1 t/ha do que a variedade B. x ± t () s p 1/ n + 1/ n ) 1 x ( 1 (6,75-1,99) ±,074 *,1 = 4,76 ± 4,36 = 0,40 e 9,1 O intervalo de confiança de 99% já conteria o zero, ou seja, o ponto em que x 1 = x A diferença significativa mínima (LSD - Least Significant Difference) (P <0,05) entre as médias das duas variedades é igual ao erro padrão multiplicado pelo valor de t para graus de liberdade e o valor de P = 5%, isto é,,1*,074 = 4,36 t/ha. Assume-se a normalidade da distribuição. (Normalidade) Assume-se que as variâncias das duas populações são iguais. (Homogeneidade da variância) 6

7 Excel / Exercício 3 Ferramentas Analisar dados Teste T duas amostras com variâncias iguais SPSS / Exercício 3 Análise Comparar médias Teste T para amostras independentes definir grupos 7

8 Tabela da distribuição de t (Student t table) Mono caudal Bi caudal 0,80 0,50 0,0 0,10 0,05 0,0 0,01 0,001 G L * ** ***

9 4 Testes à normalidade da distribuição e à homogeneidade das variâncias SPSS Teste à normalidade da distribuição (testes de Kolmogorov-Smirnov-Lilliefors e de Shapiro-Wilk, para n <50). Análise Estatística descritiva Explore L.Dependente & L Factor Plots Normality plots with tests Assimetria Desvio vertical H 0 : existe normalidade n < 50 Ver Boxplot / Stem and leaf Não se rejeita H 0 porque P>0,05 SPSS Teste à homogeneidade das variâncias (teste de Levene) Análise Comparar médias One-Way ANOVA Opções Teste à homogeneidade H 0 : existe homogeneidade Não se rejeita H 0 porque P>0,05 Teste t Teste t - aceita-se H 1 : x A x B porque P <0,05 9

10 5 Teste t para amostras relacionadas (emparelhadas) Exemplos: estudos com gémeos; formação de pares de observações, antes e depois de um tratamento; ou com um individuo tratado e outro não, emparelhados pela idade ou sexo. A hipótese nula diz que não há diferença entre os valores médios para os membros de um par na população, ou que a diferença entre as médias da população é zero. Se a correlação entre os dois grupos é pequena deve-se considerar as amostras independentes para aumentar o número de graus de liberdade. Exercício 4 Considere que os dados das variedades de couve A e B referidas no exercício anterior estavam emparelhados porque cada par de dados era proveniente de um campo diferente. Neste teste a hipótese nula H 0 : (μ 1 - μ ) = 0 ou H 0 : μ 1 = μ é enunciada como: H 0 : μ D = 0 em que D representa a diferença entre os dois valores de cada par. Valor de t t (n-1) = D sd n Média das diferenças ou diferença média Erro padrão da diferença t (11) = 4,75 15,105 1 = 4,4 logo, P <0,01 Verifica-se que a evidência de que a variedade A é mais produtiva do que a variedade B é mais forte quando as amostras são tratadas como emparelhadas (P <0,01) do que quando as amostras foram tratadas como independentes (P <0,05) apesar da redução de para 11 no número de graus de liberdade. Com um intervalo de confiança de 95% pode-se estimar que a variedade A será mais produtiva entre,9 e 7, t/ha do que a variedade B. x D ± t (11) s D / n logo, 4,75 ±, * 1,1 =,9 e 7, A diferença significativa mínima (LSD) para comparação entre as médias das duas variedades seria, * 1,1 =,47 t/ha 10

11 Excel / Exercício 4 Ferramentas Analisar dados Teste T duas amostras emparelhadas para médias SPSS / Exercício 4 Análise Comparar médias Teste T para amostras emparelhadas Seleccionar o par de variáveis para a lista de variáveis pares. 11

12 6 Testes a variáveis não paramétricas Teste de ajustamento do Qui-Quadrado Os dados das variáveis podem ser discretos (ex. numero de folhas numa planta) ou contínuos (ex. produção) e neste caso são avaliadas por testes paramétricos como o teste t. No entanto, existem dados que podem ser distribuídos por categorias como nas classificações e que têm de ser analisados através de testes não paramétricos como o teste do Qui-Quadrado. Estes dados não obedecem à distribuição normal. O teste de ajustamento (goodness of fit) do Qui-Quadrado ( χ ) compara as frequências dos valores observados com as frequências dos valores esperados, das diferentes categorias de uma variável aleatória. A hipótese nula afirma que os valores observados se ajustam aos valores esperados. Exercício 5 Teste a frequências hipotéticas No transporte de tomate para a indústria utilizaram-se novas embalagens para verificar se o número de frutos que resistiam intactos ao transporte aumentava relativamente à relação de três tomates resistentes para cada tomate danificado, como era habitual. Numa amostra colhida ao acaso de 300 tomates verificaram-se que 85 foram danificados ficando 15 intactos. Testar a hipótese nula da relação entre frutos resistentes e frutos danificados ser 3:1. Cálculo do Qui-Quadrado χ = ( Observado Esperado Esperado ) Classe Observado Esperado (O-E) (O-E) / E Resistente Danificado ,44 1,33 Total ,77 χ = 1,77 (n.s.) G.L. = nº de classes -1 = -1 = 1 ou, (-1) *(-1) = 1*1 = 1 Como se verifica pela tabela do Qui-Quadrado não há evidência para rejeitar a hipótese nula e aceitar que as novas embalagens sejam mais resistentes do que as anteriores. Exercício 6 Num teste ao sabor de maçãs assadas numa forma tradicional (T) ou num novo método (N) foram entregues a cada participante três maças, das quais, T e 1N, e solicitou-se que identificassem a maça que diferia das outras duas. Dos 60 participantes, 8 seleccionaram a maça correcta. Será que este teste suporta a hipótese nula (H 0 ) de que os dois grupos de maça são indistinguíveis pelo sabor? Ou haverá evidência para aceitar a hipótese alternativa (H 1 ). Classe Observado Esperado (O-E) (O-E) / E T N Total χ = 4,8* Aceita-se H ,6 3, 1

13 SPSS / Exercício 5 Data Weight cases Frequency variable Análise Testes não paramétricos chi-square Valores esperados SPSS / Exercício 6 13

14 7 Teste de independência (Pearson) do Qui-Quadrado. Tabelas de contingência O teste de independência do Qui-Quadrado (X de Pearson) permite averiguar se as variáveis estão relacionadas. A hipótese nula afirma que as variáveis são independentes. Valor de = ( O E) χ assumindo a independência das variáveis. E Utilizam-se tabelas de consistência. Os valores esperados resultam do valor = (Total da linha * Total da coluna) / Total global Exercício 7 Para testar a hipótese que afirma que o aparecimento de úlceras gástricas ou cancros do estômago é independente do consumo de cerveja, vinho ou água, analisaram-se 8766 indivíduos, ao acaso, e obtiveram-se os seguintes resultados: Tabela de contingência 3X3 Úlcera Cancro Saudável Total da linha Cerveja Vinho Água Total da coluna Total global 8766 Frequências esperadas Desvios (O-E) (O-E) / E χ 87,4 48,9 956,7 110,6-45,9-64,7 14,0 4,91 1,4 76, 374,7 583,1-83, 41,3 41,9 9,08 4,55 0,68 161,4 79,4 547, -7,4 4,6,8 4,65 0,7 0,95 40,53*** G.L. = (3-1)*(3-1) = * = 4 Aceita-se H 1 : Existe associação entre as doenças referidas e o tipo de bebidas consumidas. 14

15 SPSS / Exercício 7 Data Weight cases Frequency variable Análise Estatística descritiva Crosstabs Statistics Chi-square (Cells Counts: observed, expected; Residuals: unstandardized) 15

16 Probabilidade acumulada (Tabela do X ) D. F E

17 II Análise de variância 8 Delineamento experimental completamente casualizado. A colocação aleatória (ao acaso) dos tratamentos nos talhões experimentais e a repetição dos tratamentos são requisitos para uma boa experiência. A casualização dos tratamentos aumenta a precisão porque diminui o erro padrão para comparação entre as respectivas médias. No delineamento experimental completamente casualizado (completely randomized design) os talhões são distribuídos para cada repetição de cada tratamento completamente ao acaso. 9 Análise de variância de 1 factor (One-way Anova) ANOVA Análise de variância Origem da variação GL (df) Entre tratamentos t-1 ss soma dos quadrados [ Σ( x )] + + [ Σ( x )] ( x) 1... t Σ r tr ms = ss/df = média dos quadrados Residual (do erro, ou dentro dos tratamentos) t(r-1) ( x ) Variação total tr-1 ( ) ( Σx) Σ x [ Σ( x )] + + [ ( x )] 1... Σ t Σ s p r n t = nº de tratamentos r = nº de repetições n = tr = nº de talhões Exercício 8 Numa experiência para comparar 4 variedades de melão utilizaram-se 6 talhões (6 repetições) para cada variedade. Os tratamentos localizaram-se, aleatoriamente, nos 4 talhões. Pretendese testar se as produtividades das 4 variedades são iguais, e caso sejam diferentes avaliar essas diferenças, assumindo que os dados provêm de populações com distribuições normais e com variâncias idênticas. Os resultados da produção (t/ha) foram os seguintes: Variedade A B C D (Total) Produção 5,1 17,5 6,4 16,08,15 15,9 40,5 35,5 31,98 36,5 43,3 37,1 18,3,6 5,9 15,05 11,4 3,68 8,05 8,55 3,0 31,68 30,3 37,58 Σ x 1,94 4,4 116,95 179,38 (643,69) Σ ( x ) 69,3 847,09 434,1 5475,33 (19010,77) x 0,49 37,4 19,49 9,90 s,04 15,61 30,91,49 S p = (, , ,91 +,49) / 4 =,76 17

18 Soma dos quadrados Variação total = 19010,77 - (643,69) /4 = 1746,74 Variação entre tratamentos = [ Σ(1, ,38 ) ]/6 (643,69) /4 = 191,48 Variação residual = 1746,74-191,48 = 455,6 ANOVA Origem da variação gl ss ms Entre tratamentos Residual 4 1 = 03 4 (6-1) = 0 191,48 455,6 Variação total 4-1 = ,74 430,49,76 Erro padrão da média para cada variedade = s = n,76 = 1,95 6 Erro padrão para comparação entre médias = s n1 n = s,76 = =, Teste F Para um teste global sobre se as variedades deram produtividades iguais pode-se calcular o valor de F pelo quociente entre a média quadrática dos tratamentos e a média quadrática do erro (variância do erro). O valor de F obtido pode ser testado recorrendo à tabela F para o número de graus de liberdade dos tratamentos (horizontal) e os graus de liberdade do erro (vertical). H 0 : μ 1 = μ = μ 3 = μ 4 H 1 : As médias não são iguais Tabela F F (3,0) = 430,49 /,76 = 18,9 *** logo, P<0,001 Existe forte evidência para aceitar que existem diferenças de produtividade entre as variedades testadas. Tabela das médias Variedade A B C D Produtividade (t/ha) 0,5 37,4 19,5 9,9 Erro padrão para comparação entre duas médias =,75 t/ha LSD =,09 *,75 = 5,75 t/ha Evidência sobre as médias de produtividade: A=C < D < B 18

19 Tabela F Ponto P=0, ~ Tabela F Ponto P=0,

20 Tabela F Ponto P=0, Excel / Exercício 8 Ferramentas Analisar dados ANOVA: Factor único Seleccionar o intervalo 0

21 SPSS / Exercício 8 Análise Comparar médias One-way ANOVA Seleccionar a variável e o factor SPSS / Exercício 8 Análise Comparar médias One-way ANOVA PHM comparisons - LSD 1

22 11 Teste de Duncan e testes de Tukey SPSS / Exercício 8 Análise Comparar médias One-way ANOVA PHM comparisons Duncan (Exercício 8: A=C < D < B) SPSS / Exercício 8 Análise Comparar médias One-way ANOVA PHM comparisons Tukey B, Tukey HSD

23 SPSS / Exercício 8 Gráfico Interactivo - Boxplot SPSS / Exercício 8 Gráfico Interactivo Error Bar 3

24 1 Delineamento experimental de blocos casualizados Quando existe variação no ambiente de uma experiência podem-se constituir blocos. Cada bloco tem uma repetição de cada tratamento colocada aleatoriamente no bloco. Assim é possível diminuir a variação residual e aumentar a precisão da experiência. A variação no delineamento experimental de blocos casualizados (randomized block design) distribui-se pela variação entre blocos, variação entre tratamentos, e variação residual. Considerando: t o nº de tratamentos; b o nº de blocos; n o nº de talhões; T 1 a soma de todos os resultados do tratamento 1; B 1 a soma de todos os resultados do bloco 1. Origem da variação gl ss ms F Blocos b-1 Tratamentos t-1 ( x) B1 + B Bb Σ t n ( x) T1 + T Tb Σ b n Residual (erro) (b-1)(t-1) Por subtracção s p Total n-1 Σ x ( x) Σ n msb/s mst/s Exercício 9 Efeito da temperatura e da humidade relativa na perda de peso de uma salada de quarta gama. Experiência com um factor e três níveis (tratamentos) de factor. Factor: Controlo ambiental; Tratamentos: Frio (F), Humidade (H), Frio e Humidade (FH). Delineamento experimental de blocos casualizados (4 blocos * 3 tratamentos). Resultados: Perda de peso (g) de 0 embalagens em 8 dias. Tratamento/Bloco Total F H FH Total

25 SS total = ( ) /1 SS blocos = ( )/ /1 SS residual = SS total - (SS bloc. + SS trat.) SS tratam = ( )/ /1 ANOVA Origem da variação gl ss ms F Blocos Tratamentos ,44* Residual Total Hipótese nula: As perdas de peso são iguais com qualquer dos tratamentos. Como F corresponde a um valor de P <0,05 rejeita-se H 0 e aceita-se que as perdas de peso possam diferir com os tratamentos. Média geral = 3993/1 = 33,8 Coeficiente de variância = ( /33,8)* = 5,9% O coeficiente de variância é uma medida de precisão relativa. Normalmente, esperam-se valores de coeficientes de variância da ordem dos 5% ou menos quando o ambiente é controlado, 10% em culturas de campo e 0% ou mais em grandes experiências com animais. Tabela das médias Tratamento F H FH Perdas de peso (g) Erro padrão para comparação entre médias: Se = *387 4 = 13,9 g Teste t entre a média do tratamento F e a média do tratamento FH: t = ( )/13,9 =,66 logo P <0,05 o que implica que as perdas de peso tenham sido menores com o tratamento FH do que com o tratamento F. LSD = t(6) * 13,9 =,447 * 13,9 = 34 g Teste de Waller-Duncan: F=H > FH ou F (a), H (a), FH (b) Conclusão: Não há diferenças significativas entre as perdas de peso da salada de quarta gama com os tratamentos F ou H, mas existe evidência (P <0,05) de que o tratamento FH resulta em perdas de peso menores do que qualquer dos outros tratamentos. 5

26 SPSS / Exercício 9 Análise General linear model Univariate Colocar a variável dependente e os factores Modelo- Custom All -way colocar os factores no modelo Options: Seleccionar observed power (que deve ser >0,8 para se rejeitar H 0 com certeza) SPSS / Exercício 9 Análise General linear model Univariate Post Hoc Waller-Duncan 6

27 13 Estrutura factorial Anova de dois factores O efeito de um nível de um factor pode depender do nível de outro factor. Por exemplo, o efeito de diferentes variedades de alface na produção desta cultura pode depender do nível de azoto mineral no solo. Uma variedade pode produzir mais do que outra em solos ricos, mas menos em solos pobres. Por esta razão, pode ser conveniente incluir na experiência os talhões necessários para analisar os efeitos principais dos factores (ex. variedades e fertilização), mas também, as possíveis interacções entre os factores. Considerando o factor variedade com dois níveis (A e B) e o factor fertilização com três níveis (100, 00 e 300), existem seis tratamentos possíveis (A100, A00, A300, B100, B00, B300) que resultam da multiplicação de duas variedades por três níveis de fertilização. Neste caso, a experiência fica com estrutura factorial dos tratamentos. Considere-se este exemplo com dois factores: 1º variedade com dois níveis, º fertilização com três níveis. Na aproximação por um factor teríamos de decidir um determinado nível de fertilização e procurar, para essa dose, a melhor variedade, ou decidir sobre a variedade a utilizar e procurar, para essa variedade, a melhor dose de azoto. No entanto, este tipo de análise tem riscos, porque pode existir uma interacção entre a variedade e a fertilização. Existe interacção entre dois factores quando a acção de um não permanece constante para qualquer nível do outro factor e vice-versa. Assim se a interacção for significativa os resultados de um factor dependem do nível do outro factor. Produção Var. B Var. A (melhor variedade depende do nível de N) Var. A Var. B Nível de N Interpretação dos resultados da experiência factorial A forma como se interpretam os resultados de uma experiência factorial depende da existência ou não de uma interacção significativa e neste caso, da interacção ser muito menor, ou não, do que os efeitos principais: 1 Se não existir interacção significativa as conclusões baseiam-se directamente nas médias dos efeitos principais. Assim, é suficiente comparar as médias dos níveis de cada factor. Se existir interacção significativa mas o valor F da interacção for muito inferior ao valor F dos efeitos principais as conclusões deverão basear-se na comparação entre as médias dos efeitos principais e na comparação entre as médias de tratamentos de cada nível de factor. 3 Se a interacção for significativa e com um valor de F semelhante, ou superior, do que o valor F dos efeitos principais as conclusões baseiam-se apenas na comparação entre médias dos tratamentos já que aqui os efeitos principais de cada factor são de menor importância. 7

28 Análise de variância de uma experiência com estrutura factorial de tratamentos Exercício 10 Conduziu-se uma experiência com morangueiros em estufim para investigar a produção de 4 variedades e 3 datas de cobertura. Utilizou-se um delineamento experimental de blocos casualizados, com estrutura factorial de tratamentos e com 4 blocos. Os resultados encontram-se expressos em toneladas de morango por 3000m de estufim. Data de cobertura Variedade Blocos I II III IV Total Fevereiro V 10, 10,1 1,1 1,3 44,7 R 11,1 9,8 8,6 9,4 38,9 F 6,8 9,5 9,5 10,3 36,1 G 5,3 7,5 4,6 7,3 4,7 Março V 8,0 9,7 1,0 7,8 37,5 R 9,7 7,9 10,3 11, 39,1 F 8,6 9,6 9,5 10,0 37,7 G 3,4 4, 7,3 7,6,5 Abril V,0 6,1 4,8 6,7 19,6 R 10,9 8,4 6,5 9, 35,0 F, 4,9 4,4 3,6 15,1 G,1 0,9 3,4,3 8,7 Total 80,3 88,6 93,0 97,7 359,6 ANOVA Inicial Ignorando a estrutura factorial e tratando a experiência como um factor com 1 tratamentos. SPSS - Análise General linear model Univariate Colocar a variável dependente e os factores Modelo- Custom All -way colocar os factores no modelo (igual ao exercício 9) Dependent Variable: PRODUÇÃO Origem ss df ms F Sig. BLOCO 13,69 3 4,564 TRATAMEN 356, ,365 15,378,000 Error 69,453 33,105 Pode-se rejeitar H 0 : as médias dos tratamentos são iguais, e aceitar que existem diferenças significativas entre os tratamentos. Neste caso procede-se a uma análise de variância mais detalhada. 8

29 Considerando: A = Factor A; B = Factor B; a = nº de níveis de A; b = nº de níveis de B ANOVA mais detalhada A1 = nível 1 do factor A; T A1 a soma de todos os resultados do tratamento A1 t o nº de tratamentos (a*b); r o nº de (repetições) blocos; n o nº de talhões Origem gl ss Blocos Tratamentos Residual (erro) Total (a-1) ( x) n ( x) ( TA 1 + TA +...) Σ rb Efeito principal do factor A (b-1) TB 1 + TB +... Σ ra n Efeito principal do factor B (a-1)(b-1) Por subtracção Efeito da interacção AB Tabela interacção nos dois sentidos Data de cobertura Variedades V R F G Total Fevereiro 44,7 38,9 36,1 4,7 144,4 Março 37,5 39,1 37,7,5 136,8 Abril 19, ,1 8,7 78,4 Total 101,8 113,0 88,9 55,9 359,6 FC = Factor de correcção = ( x ) / rt Σ = 359,6 /48 = 694 Cálculo da soma dos quadrados dos efeitos principais 101, ,9 SS variedades = , ,4 SS coberturas = Cálculo da soma dos quadrados da interacção SS tratamentos = SS variedades + SS coberturas + SS interacção SS interacção = 356,0 15,69 163,01 = 40,3 9

30 ANOVA Origem gl ss ms F P Blocos 3 13,69 4,57 Variedades 3 15,69 50,90 4, <0,001*** Coberturas 163,01 81,50 38,7 <0,001*** Var.*Cob. 6 40,3 6,7 3, <0,05* Erro 33 69,45,10 Total ,16 Rejeitam-se as hipóteses de que as variedades ou as datas de cobertura não influenciam as produções de morango, mas também, que não exista interacção entre os dois factores. Os resultados apresentam-se, então, numa tabela de médias dos tratamentos nos dois sentidos. Tabela das médias dos tratamentos (t morango / 3000m de estufim) Data de cobertura Variedades V R F G Média Fevereiro 11, 9,7 9,0 6, 9,0 Março 9,4 9,8 9,4 5,6 8,5 Abril 4,9 8,8 3,8, 4,9 Média 8,5 9,4 7,4 4,7 7,5 Erro padrão para comparação entre duas médias e diferenças significativas mínimas: Variedades s / 1 = 0,59 LSD = t (33) * Se =,04 * 0,59 = 1, Datas de cobertura s / 16 = 0,51 LSD = t (33) * Se =,04 * 0,51 = 1,04 Tratamentos s / 4 = 1,03 LSD = t (33) * Se =,04 * 1,03 =,1 Sumário dos resultados: A produção de morangos de cada variedade não variou significativamente entre as datas de cobertura de Fevereiro e Março mas, com a excepção da variedade R, diminuiu com a data de cobertura de Abril. A variedade R foi a mais produtiva quando os morangueiros foram cobertos em Abril, e a variedade G foi a menos produtiva nas datas de cobertura de Fevereiro e Março. (Todas as afirmações estão baseadas num nível de significância em que P<0,05). 30

31 SPSS / Exercício 10 Análise General linear model Univariate Colocar a variável dependente e os factores. Construir o Modelo - Custom colocar os blocos, factores e interacção no modelo. Construir o gráfico das médias com o respectivo intervalo de confiança 95% Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: PRODUÇÃO Type III Sum Source of Squares df Mean Square F Sig. Model 3063,707 a 15 04,47 97,046,000 BLOCO 13,69 3 4,564,168,110 VARIEDAD 15, ,895 4,18,000 COBERTUR 163,007 81,503 38,75,000 VARIEDAD * COBERTUR 40,30 6 6,70 3,193,014 Error 69,453 33,105 Total 3133, a. R Squared =,978 (Adjusted R Squared =,968) 31

32 14 Anova de três factores Interacções de 1ª e ª ordem As experiências com dois factores permitem verificar os efeitos principais e a interacção de 1ª ordem. As experiências com três factores permitem verificar os efeitos principais, as interacções de 1ª ordem entre cada dois factores, e a interacção de ª ordem entre os três factores. Quando o número de factores numa experiência aumenta o número de interacções também aumenta, e pode tornar-se difícil a análise dos efeitos principais e das interacções que se estabelecem. Exercício 11 Delineamento experimental de blocos casualizados com estrutura factorial (3 factores) Factores: N, P, K Níveis de factor: 1 e Tratamentos = 3 = 8 Tratamentos: N 1 P 1 K 1, N 1 P 1 K, N 1 P K 1, N 1 P K, N P 1 K 1, N P 1 K, N P K 1, N P K Considere os seguintes resultados de produção de alface (t/ha) N P K B1 B B3 B ,0 15,90 17,0 1, ,10 16,30 17,30 1, ,0,0 17,60 3, ,40 17,0 19,30, ,10,10 4,30 5, ,40 7,70,50 7, ,70 8,30 3,10 6,90 36,30 3,0 33,0 34,50 Análise General linear model Univariate Colocar a variável e os factores. Construir o Modelo - Custom colocar os blocos, factores e interacções. 3

33 Dependent Variable: PRODUÇÃO Source BLOCO N P K N * P N * K P * K N * P * K Error Tests of Between-Subjects Effects Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. 108, ,10 6,969,00 471, ,45 90,97, , ,005,008,000 64, ,980 1,544,00 31, ,05 6,04,03 63, ,845 1,35,00 5,90 1 5,90 5,004,036 43, ,45 8,348, ,78 1 5, Método dos talhões subdivididos (Split-plot) Existem experiências em que não é possível utilizar determinados tratamentos, por razões práticas, em talhões pequenos. Por exemplo, se pretendermos testar o método de lavoura e variedades, podemos aplicar o método de lavoura em talhões grandes, dentro dos quais se colocam os talhões para as variedades. Exercício 1 A resposta de 6 variedades de alface a 3 formas de mobilização do solo foi investigada através de um delineamento experimental do tipo split-plot com 4 blocos. Os talhões principais corresponderam às formas de mobilização (X, Y, Z), e cada talhão principal foi dividido em 6 pequenos talhões correspondentes às 6 variedades (A, B, C, D, E, F). Os resultados expressos em t/ha foram os seguintes: Mobilização Variedade Blocos I II III IV Total A 11,8 7,5 9,7 6,4 35,4 B 8,3 8,4 11,8 8,5 37,0 X C 9, 10,6 11,4 7, 38,4 D 15,6 10,8 10,3 14,7 51,4 E 16, 11, 14,0 11,5 5,9 F 9,9 10,8 4,8 9,8 35,3 Total de X 71,0 59,3 6,0 58,1 A 9,7 8,8 1,5 9,4 40,4 B 5,4 1,9 11, 7,8, 37,3 Y C 1,1 15,7 7,6 9,4 44,8 D 13, 11,3 11,0 10,7 46, E 16,5 11,1 10,8 8,5 46,9 F 1,5 14,3 15,9 7,5 50, Total de Y 69,4 74,1 69,0 53,3, A 7,0 9,1 7,1 6,3 9,5 B 5,7 8,4 6,1 8,8 9,0 Z C 3,3 6,9 1,0,6 13,8 D 1,6 15,4 14, 11,3 53,5 E 1,6 1,3 14,4 14,1 53,4 F 10, 11,6 10,4 1, 44,4 Total de Z 51,4 63,7 53, 55,3 33

34 Análise dos talhões principais Mobilização Blocos I II III IV Total X 71,0 59,3 6,0 58,1 50,4 Y 69,4 74,1 69,0 53,3 65,8 Z 51,4 63,7 53, 55,3 3,6 Total 191,8 197,1 184, 166,7 739,8 Considerando: A = Factor A (main-plot); B = Factor B (split-plot); a = nº de níveis de A; b = nº de níveis de B A1 = nível 1 do factor A; T A1 a soma de todos os resultados do tratamento A1 t o nº de tratamentos (a*b); r o nº de (repetições) blocos; n o nº de talhões Y = Resultados dos talhões principais; y = Resultados dos talhões pequenos ANOVA Talhões principais Origem gl ss ms Blocos (r-1) ( x) B1 + B +... Σ ab n ( x) n Efeito principal, A (a-1) ( TA 1 + TA +...) Σ rb Erro (a) (a-1)(r-1) Por subtracção s a Total ( x) Y1 + Y +... Σ b n FC = ( Σx ) n = 739,8 = 7601,44 7 ANOVA Talhões principais Origem gl ss ms F 191, , Blocos (4-1)=3 7601, 44 = 9,35 3*6 Efeito (50,4 + 65,8 +...) principal A (3-1)= 7601, 44 = 38,01 19,00,6 4*6 Erro (a) *3=6 Por subtracção 43,56 7, , ,3 Total , 44 = 110,9 6 34

35 Análise dos pequenos talhões Mobilização Variedade X Y Z Total A 35,4 40,4 9,5 105,3 B 37,0 37,3 9,0 103,3 C 38,4 44,8 13,8 97,0 D 51,4 46, 53,5 151,1 E 5,9 46,9 53,4 153, F 35,3 50, 44,4 19,9 Total 50,4 65,8 3,6 739,8 ANOVA Pequenos talhões Origem gl ss ms Grandes talhões Efeito principal, B Interacção AB (b-1) (a-1)(b-1) ( x) n ( TB 1 + TB +...) Σ ra ( Σx) ( T + T1 +...) 11 ss( A) ss( B ) r n Erro (b) (r-1)a(b-1) Por subtracção s b Total rab-1 Σ y ( x) Σ n ANOVA Pequenos talhões Origem gl ss ms F Grandes talhões ,9 Efeito (105, ,3 +...) principal B ,44 = 60, 51 4*3 5,10 10,3*** Interacção AB (35,4 + 37,0 +...) ,44 38,01 60,51 = 163, 70 4 Erro (b) 45 7,7 5,05 Total 71 11,8 + 8, , 7601,44 = 76, 40 16,37 3,4** 35

36 Tabela das médias Mobilização Variedade X Y Z Média A 8,8 10,1 7,4 8,8 B 9, 9,3 7, 8,6 C 9,6 11, 3,4 8,1 D 1,8 11,6 13,4 1,6 E 13, 11,7 13,4 1,8 F 8,8 1,6 11,1 10,8 Média 10,4 11,1 9,3 10,3 Erros padrão para comparação entre duas médias Mobilização Se gl t LSD s / 4 = 0,78 6,45 1,93 a Variedade variedades para a mesma mobilização variedades de diferentes mobilizações s /1 = 0,91 b s / 4 = 1,59 b s / 4 = 1,59 b 45,0 1,84 45,0 3,1 45,0 3,1 mobilizações para a mesma ou diferentes variedades ( 5s b + s a ) / 4*6 = 1, 65 Fórmula geral: ( ( β 1) s s ) / r * β em que r é o número de blocos e β o número de b + a níveis do factor correspondente aos talhões pequenos. Neste caso, não se podem efectuar testes t exactos porque as médias quadráticas de ambos os erros estão envolvidas. Sumário dos resultados: (i) (ii) (iii) (iv) A ANOVA dos talhões principais não evidenciou a existência de diferenças significativas na produção de alface em função dos tipos de mobilização experimentados. A ANOVA dos pequenos talhões revela que existem diferenças significativas na produção entre as diferentes variedades. As diferenças entre as variedades dependeram do tipo de mobilização utilizado porque a interacção entre as variedades e os tipos de mobilização foi significativa. Para o tipo de mobilização X as melhores variedades foram a D e E; as diferenças entre variedades com a mobilização Y foram pequenas; para a mobilização Z as variedades D, E e F produziram mais do que as variedades A, B e C. 36

37 SPSS / Exercício 1 Proceder à análise de variância com blocos e dois factores (= exercício 10): Análise - General linear model Univariate Colocar a produção na variável dependente, e colocar os blocos e os factores (mobilização e variedades) nos factores fixos. Construir o modelo. Posteriormente seleccionar Paste e acrescentar: /TEST = mobiliza VS bloco*mobiliza uma linha antes de /DESIGN. Nesta última linha incluir bloco*mobiliza no texto, na ordem em que pretenda que apareça no output. Finalmente seleccionar Run para obter o Output. UNIANOVA produção BY bloco mobiliza variedad /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /TEST = mobiliza VS bloco*mobiliza /DESIGN = bloco mobiliza bloco*mobiliza variedad mobiliza*variedad. Run (All) => Output 37

38 Dependent Variable: PRODUÇÃO Source Contrast Error a Test Results Sum of Squares df Mean Square F Sig. 38,003 19,00,617,15 a. BLOCO * MOBILIZA 43, ,61 Dependent Variable: PRODUÇÃO Source Efeito principal A Erro (a) df Mean Square F Sig.,617,15 6 7,61 Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: PRODUÇÃO Type III Sum Source of Squares df Mean Square F Sig. Corrected Model 535,118 a 6 0,581 4,075,000 Intercept 7601, , ,060,000 BLOCO 9, ,781 1,937,137 MOBILIZA 38,003 19,00 3,76,031 BLOCO * MOBILIZA 43, ,61 1,438, VARIEDAD 60, ,10 10,316,000 MOBILIZA * VARIEDAD 163, ,370 3,41,003 Error 7, ,051 Total 8363,840 7 Corrected Total 76, a. R Squared =,70 (Adjusted R Squared =,530) Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: PRODUÇÃO Source Efeito principal B Interacção AB Erro (b) Corrected Total Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. 60, ,10 10,316, , ,370 3,41,003 7, ,051 76,

39 III Análise de regressão 16 Regressão linear Chama-se equação de regressão de uma variável (dependente) y em função das variáveis (independentes ou factores) x 1, x, à equação: y = α + β 1 x 1 + β x Nesta equação α é um parâmetro que representa a ordenada na origem, e β 1, β são os coeficientes de regressão parciais que representam a variação média de y por unidade de variação de x 1, x, Regressão linear simples: y = a + b x b = Sxx Sxy Σ = [( x x)( y y) ] Σ( x x) n = nº de pares (x, y) = Σ ( xy) Σx ΣxΣy n ( x) Σ n a = y bx = Σy n ( bσx) Teste à recta de regressão H 0 : (β=0) ou H 0 : y não depende de x ANOVA Origem gl ss ms F Regressão 1 ( Sxy ) / Sxx F = t Residual n- Por subtracção Total n-1 Syy ( y ) ( y) / n = Σ Σ Coeficiente de correlação (r) e coeficiente de determinação (r ) r = SS regressão / SS total = ( Sxy ) / Sxx. Syy r = Coeficiente de determinação (proporção da variância explicada pela regressão) (1 - r ) = variabilidade não explicada pela regressão Previsão utilizando a recta a + bx ± t * Se Erro padrão para previsão e um valor: Médio 1 s + n ( x x) Sxx Isolado 1 s n ( x x) Sxx 39

40 Coeficiente de correlação (r) Graus de liberdade Probabilidade P (n -) raus de liberdade Probabilidade P gl Exercício 13 Considere que o avanço em dias (y) no amadurecimento de maças foi avaliado para doses crescentes de etileno (x) obtendo-se os seguintes resultados: y x Teste se o amadurecimento dependeu da dose de etileno. Estime a respectiva regressão linear. n = 6 Σ (x) = 1 Σ(x ) = 91 Sxx = 91 1 /6 = 17,5 Σ (xy) = 89 Σ (y) = 7 Σ(y ) = 950 Sxy = 89 [(7*1)/6] = 37 SS total = Syy = / 6 = 86 SS residual = 86 78,3 = 7,77 SS regressão = (Sxy) / Sxx = 37 / 17,5 = 78,3 b = 37 / 17,5 =,114 a = [7 (1*,114)] / 6 = 4,6 y = 4,6 +,114 x F = MS regressão / MS residual = (78,3/1) / (7,77/4) = 40,7 R = SS regressão / SS total = 78,3 / 86 = 0,91 Resultado: O amadurecimento (y) dependeu (P <0,01) da dose de etileno (x). Mais de 90% da variância no amadurecimento é explicada através da recta de regressão y = 4,6 +,114 x 40

41 Excel / Exercício 13 Ferramentas Análise de dados Regressão. Preencher intervalos de y e x. Inserir Gráfico Dispersão Intervalo de dados (x, y) Adicionar linha de tendência Linear. Opções: Mostrar equação e mostrar valor de r. 41

42 SPSS / Exercício 13 Análise Regressão Linear. Colocar variáveis: dependente (y) e independente (x) Statistics: Estimates, model fit. Gráfico Interactivo Scatter plot. Colocar variáveis x e y Fit regression 4

43 17 Regressão não linear Exemplo de curvas: quadrática, cúbica, exponencial, logística, hiperbólica, etc. Exercício 14 (Equação quadrática) Considere que o avanço em dias (y) no amadurecimento de maças foi avaliado para doses crescentes de etileno (x) obtendo-se os seguintes resultados: y x Teste se o amadurecimento dependeu da dose de etileno. Compare a regressão linear com a regressão quadrática. Excel / Exercício 14 Inserir Gráfico Dispersão Intervalo de dados (x, y) Adicionar linha de tendência Linear. Opções: Mostrar equação e mostrar valor de r. Formatar linha de tendência Tipo: Polinomial ª ordem Opções: equação e r Avanço (dias) no amadurecimento 30 y =,5167x + 3, R = 0, Dose de etileno Avanço (dias) no amadurecimento y = -0,41x + 6,766x - 3,8571 R = 0, Dose de etileno Note-se que igualando a zero a primeira derivada da curva obtém-se o valor de x correspondente ao máximo valor de y. SPSS / Exercício 14 Análise Regressão Linear. Colocar variáveis: dependente (y) e independente (x) Statistics: Estimates, model fit. ANOVA Model 1 Regression Residual Total Sum of Squares df Mean Square F Sig. 380, ,017 47,38,000 56,06 7 8,09 436, 8 43

44 Análise Regressão Curve estimation. Colocar variáveis: (y) e (x), o modelo quadrático e a ANOVA Análise Regressão não linear. Colocar variável (y), os parâmetros e o modelo. Opções: Método de Levenber - Marquardt 44

45 Exercício 15 (Equação exponencial) Considere o peso de bactérias (y) em função do tempo (x) y x Verifique se a equação exponencial se adapta a estes resultados. Efectue a transformação logarítmica dos resultados e teste a regressão linear nos resultados obtidos. Inserir gráfico de dispersão, adicionar linha de tendência, incluir equação e r Formatar linha de tendência para uma equação do tipo exponencial e para polinómios de ª e 3ª ordens (equações quadrática e cúbica). Transformação logarítmica dos resultados y ln(y) 0 0,7 1,4,1,8 3,5 4, 4,9 x Verifica-se que os aumentos exponenciais após a transformação logarítmica ficam constantes. Peso das bactérias (g) R = ln peso das bactérias (g) R = Dias Dias 45

46 18 Transformações matemáticas dos resultados As transformações matemáticas dos resultados podem realizar-se para homogeneizar as variâncias e/ou normalizar as variáveis. As hipóteses são testadas nas variáveis transformadas (através de testes não paramétricos) mas, se não for conveniente apresentar os dados na nova variável transformada, as médias podem ser transformadas de volta para a medida original. Entre as transformações desenvolvidas para homogeneizar as variâncias (e que podem também conduzir à normalização da variável) incluem-se: Transformação: y Aplicar quando: y i forem contagens de números pequenos y + y +1 y i forem contagens e alguns y i forem iguais a zero Log ( y) a dispersão dos yi é elevada, e as variâncias proporcionais às médias ( y +1) Log a dispersão dos yi é elevada e alguns y i forem iguais a zero 1 y + 1 Os y i forem muito próximos de zero arcsen ( y ) Os y i forem proporções ou percentagens dispersas Outras transformações para normalizar a variável incluem: Transformação: Aplicar quando: Log [( + y) /( 1 y) ] 1-1 y y / ( 1 y) 1 / ( 1 y) 46