Coleção UAB UFSCar. Cálculo Numérico. Uma Abordagem para o Ensino a Distância. Tecnologia Sucroalcooleira

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1 Coleção UAB UFSCar Tecnologia Sucroalcooleira Selma Helena de Vasconcelos Arenales José Antonio Salvador Cálculo Numérico Uma Abordagem para o Ensino a Distância

2 Cálculo Numérico Uma Abordagem para o Ensino a Distância

3 Reitor Targino de Araújo Filho Vice-Reitor Pedro Manoel Galetti Junior Pró-Reitora de Graduação Emília Freitas de Lima Secretária de Educação a Distância - SEaD Aline Maria de Medeiros Rodrigues Reali Coordenação UAB-UFSCar Claudia Raimundo Reyes Daniel Mill Denise Abreu-e-Lima Joice Otsuka Marcia Rozenfeld G. de Oliveira Sandra Abib Coordenador do Curso de Tecnologia Sucroalcooleira Miguel Antonio Bueno da Costa UAB-UFSCar Universidade Federal de São Carlos Rodovia Washington Luís, km São Carlos, SP, Brasil Telefa (6) uab@ufscar.br

4 Selma Helena de Vasconcelos Arenales José Antonio Salvador Cálculo Numérico Uma Abordagem para o Ensino a Distância

5 , dos autores. Concepção Pedagógica Daniel Mill Supervisão Douglas Henrique Perez Pino Equipe de Revisão Linguística Ana Luiza Menezes Baldin Daniela Silva Guanais Costa Francimeire Leme Coelho Jorge Ialanji Filholini Letícia Moreira Clares Lorena Gobbi Ismael Luciana Rugoni Sousa Marcela Luisa Moreti Paula Sayuri Yanagiwara Sara Naime Vidal Vital Equipe de Editoração Eletrônica Christhiano Henrique Menezes de Ávila Peres Izis Cavalcanti Equipe de Ilustração Eid Buzalaf Jorge Luís Alves de Oliveira Priscila Martins de Aleandre Capa e Projeto Gráfico Luís Gustavo Sousa Sguissardi Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSCar A68n Arenales, Selma Helena de Vasconcelos. Cálculo Numérico : Uma Abordagem para o Ensino a Distância / Selma Helena de Vasconcelos Arenales, José Antonio Salvador. -- São Carlos : EdUFSCar,. 66 p. (Coleção UAB-UFSCar). ISBN Cálculo.. Cálculo numérico. 3. Métodos numéricos. 4. Algoritmos. 5. Aspectos computacionais. I. Título. CDD 55 ( a ) CDU 57 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrônicos ou mecânicos, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema de banco de dados sem permissão escrita do titular do direito autoral.

6 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO UNIDADE : Teoria dos Erros em Processos Numéricos. Introdução Erros na fase da modelagem Erros na fase de resolução Erros na mudança de base Erro Absoluto e Erro Relativo nos procedimentos numéricos Propagação dos erros Mapa Conceitual Eercícios UNIDADE : Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares. Introdução Métodos diretos Sistema triangular inferior Sistema triangular superior Método de Decomposição LU Método de Eliminação de Gauss... 44

7 .3 Inversas de matrizes Métodos iterativos para resolução de sistemas de equações lineares Método iterativo de Jacobi-Richardson Eercícios UNIDADE 3: Solução Numérica de Equações 3. Introdução Localização das raízes: Método Gráfico Métodos numéricos para resolução de equações Método da Bisseção Método de Newton Método das Secantes Eercícios UNIDADE 4: Interpolação e Aproimação de funções 4. Introdução Interpolação Polinomial Limitante superior para o erro Diferenças finitas Fórmulas Interpolatórias Fórmula Interpolatória de Newton-Gregory... 97

8 4.5. Polinômio Interpolador de Newton-Gregory com mudança de variável Aproimação de funções: Método dos Mínimos Quadrados Eercícios UNIDADE 5: Integração Numérica 5. Introdução Integração numérica usando interpolação Fórmulas de Quadratura de Newton-Cotes Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios Generalizada Regra /3 de Simpson Regra /3 de Simpson Generalizada Eercícios UNIDADE 6: Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias e Parciais 6. Introdução Equação diferencial de primeira ordem com valor inicial Discretização Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Ordinárias Método de Euler Método de Euler Aperfeiçoado Solução Numérica de Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução

9 6.5. Método de Diferenças Finitas Método Eplícito Eercícios REFERÊNCIAS

10 Apresentação Este livro foi desenvolvido para dar suporte ao estudo de uma disciplina básica de Cálculo Numérico. O Cálculo Numérico tem por objetivo o estudo de métodos numéricos para a resolução de problemas em geral e, em particular, destacamos neste teto os problemas ambientais. Os métodos numéricos serão desenvolvidos visando eficiência e estabilidade durante a aplicação em problemas gerais. Consideramos de fundamental importância o Cálculo Numérico no que se refere à aplicação das disciplinas básicas como Cálculo Diferencial Integral, Geometria Analítica, Álgebra Linear, Introdução à Computação, entre outras, e a utilização dos conceitos e resultados adquiridos nessas disciplinas, bem como a aplicação na resolução numérica de problemas. Apresentamos métodos numéricos para solução de sistemas de equações lineares, equações algébricas, interpolação e ajuste de funções, integração numérica e equações diferenciais. Detalhamos alguns aspectos teóricos e computacionais, além da utilização de softwares especializados e reconhecidos na literatura, com a certeza de que estaremos contribuindo com ferramentas importantes para a elaboração de projetos e pesquisas que estarão presentes nas atividades dos profissionais de ciências em geral. Por fim, agradecemos a Carla Taviani Lucke da Silva Ghidini e Silvia Maria Pereira Grandi dos Santos pela colaboração na revisão deste livro. 9

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12 Unidade Teoria dos Erros em Processos Numéricos

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14 . Introdução Nas diversas áreas científicas, diante da resolução numérica de um problema, deparamo-nos com a necessidade de tratar com soluções aproimadas, desde a interpretação do problema, a modelagem matemática correspondente, erros nos dados obtidos por meio de medidas eperimentais e implementação de dados no computador. Para melhor entendimento, resumimos alguns passos considerados importantes na resolução de um problema da seguinte forma:. Apresentação do problema real, entendimento e levantamento dos dados;. Formulação matemática correspondente do problema-modelo matemático; 3. Elaboração de um plano de resolução e a escolha de um método numérico adequado; 4. Implementação computacional do método, linguagem de programação; 5. Análise sobre a coerência dos resultados obtidos e o problema inicial proposto; 6. Reformular o modelo matemático e/ou escolher novo método numérico de resolução, caso o Passo 5 não esteja satisfeito. A eecução dos passos anteriores é chamada de Validação do Modelo e as aproimações consideradas nesses passos levam a alguns tipos de erros, conforme eemplo a seguir: Eemplo. Considere o problema de transporte de lio contaminado, conforme eibido na Figura : Figura Lio contaminado. 3

15 Uma transportadora possui três tipos de caminhões representados por C, C e C 3, os quais são equipados para levar três tipos diferentes de materiais contaminados M, M e M 3 para liões adequados, conforme a Tabela.: Tabela. M M M3 C C C O caminhão C pode levar 6.8 toneladas do tipo M,.9 tonelada do tipo M e.7 tonelada do M 3. Deseja-se saber quantos caminhões de cada tipo devemos enviar para transportar 6 toneladas do tipo M, 7 toneladas do M e 6 toneladas do M 3? Eibiremos a eecução de todos os passos citados anteriormente e faremos uma análise final dos resultados obtidos. Passo Neste passo, teremos o entendimento do problema observando todos os detalhes, características e condições intrínsecas do mesmo. Passo Faremos a formulação matemática do problema, para isso, devemos determinar as variáveis do problema. Assim, seja o número de caminhões j, j =,, 3 a ser determinado para o transporte do lio contaminado. Dessa forma, observando a tabela de dados vemos que podemos escrever a seguinte equação para o transporte do lio contaminado M : = 6 Seguindo o mesmo raciocínio, para o transporte dos lios contaminados M e M 3, temos o seguinte sistema de equações lineares para ser resolvido, que será estudado nas próimas unidades de estudo = = = 6

16 Passo 3 Devemos escolher o método adequado de resolução. Neste caso, vamos utilizar o Método de Eliminação de Gauss, o qual será alvo de estudo nas próimas unidades. Passo 4 Neste passo, podemos implementar no computador o método de resolução escolhido ou utilizar um software apropriado e teremos a solução do sistema como segue: =. 945, = e = Passo 5 Temos que analisar a solução encontrada, pois o número de caminhões deverá ser um número inteiro positivo. Como temos uma solução aproimada não inteira para o sistema de equações lineares, podemos aproimá-la por um número inteiro mais próimo de tal solução. Dessa forma, tomamos como solução =., =. e =.. 3 Assim, devemos contratar dois caminhões do tipo C, um caminhão do tipo C e um caminhão do tipo C 3. Observações a) Na modelagem matemática do problema, consideramos uma aproima- ção para o problema dado, uma vez que a capacidade de transporte de cada material em cada caminhão é estimada, isto é, com uma certa margem de erro. Alguns detalhes foram desconsiderados, como a integralidade da solução e custos envolvidos no processo de transporte. b) A solução obtida durante a eecução do método de resolução foi apre- sentada com uma aproimação de quatro casas decimais, o que significa que estamos cometendo erros em todas essas aproimações. Diante das considerações anteriores sobre o tratamento dos problemas com aproimações, desde a modelagem matemática, os erros cometidos durante o processamento dos métodos de resolução no computador, é necessário um entendimento geral sobre tipos de erros eistentes, como descreveremos a seguir. 5

17 . Erros na fase da modelagem Devido às simplificações no processo de modelagem matemática de um problema, que muitas vezes são necessárias, podem ocorrer erros na representação do fenômeno da natureza que estivermos analisando. Os problemas ambientais geralmente são compleos e o modelo matemático é uma aproimação do problema real, representado por epressões matemáticas que muitas vezes necessitam de algumas simplificações para obtermos uma solução aproimada que resultam em erros..3 Erros na fase de resolução São erros devido ao fato dos equipamentos computacionais terem capacidade limitada para armazenar os dígitos significativos de valores numéricos, utilizados nas operações elementares de adição, multiplicação, subtração, divisão, etc..4 Erros na mudança da base Considerando que a maioria dos computadores representa os valores numéricos na base binária quando são armazenados, estes são transformados em geral, da base decimal para a base binária ou em outra representação. Essa transformação pode ser acometida de erros, devido à limitação da representação do equipamento computacional que estamos utilizando para o processamento dos dados numéricos. Dado um número real N, é sempre possível representá-lo em qualquer base b, da seguinte forma: N b m = ai b i = n i em que { ( - )} a,,,3,..., b, com n e m inteiros. i Eemplo. Números escritos na base 3 a) ( ) = b) - - (.) =

18 Eemplo.3 Números escritos na base decimal a) ( 3) = b) - - ( 3.35) = Mudança da base decimal para a base binária Número na base decimal com somente a parte inteira. Procedimento padrão: Divisões sucessivas. Eemplo.4 Podemos escrever o número ( 5 ) na base, como segue: 3 4 ( 5) = =( ) isto é, aplicando o processo de divisões sucessivas temos: 5 = e resto = = 6 e resto = = 6 e resto = 6 = 3 e resto = 3 = e resto = Podemos esquematizar o processo de divisões sucessivas, usando o Método da Chave, da seguinte forma: Para obter o número 5 na base, basta tomar os restos das divisões sucessivas, de 5 por, do quociente por, e assim por diante, do final para o início no esquema anterior. Assim, escrevemos o número 5 como segue: =

19 E, portanto temos: ( 5) =( ) Definição. Erro de Arredondamento Dizemos que um número foi arredondado na posição n se todos os dígitos de ordem ( n+ ) são desprezados da seguinte forma: O dígito de ordem n é acrescido de uma unidade se o de ordem ( n+ ) for maior ou igual a 5. Caso contrário, o número é representado apenas com os n dígitos iniciais. Eemplo.5 a) O número =.3577, usando a regra de arredondamento anterior, obtemos o número ' arredondado com 4 casas decimais da seguinte forma: ' =.36 b) O número = 3343, usando a regra de arredondamento anterior, obtemos o número ' arredondado com 3 casas decimais da seguinte forma: ' =.3 Definição. Erro de Truncamento Quando representamos uma função através de uma série infinita, o erro no valor de f( ) ao truncarmos a série após um número finito de termos é chamado de erro de truncamento. Eemplo.6 a) Consideremos a representação de uma função f( ) utilizando a Série de Taylor, nas vizinhanças do ponto, como segue: ( f ) ( - ) ( ) ( - ) ( n) ( - ) n f( ) = f( ) + f ( ) + f ( ) f ( ) +...!! n! em que, ( n f ) ( ) é o valor da n-ésima derivada da função f( ) no ponto. 8 Quando truncamos a série no 3 o termo, isto é, considerando apenas os termos até a derivada de ordem, na epressão acima, temos um erro cometido nessa aproimação, como segue:

20 ( f ) ( - ) ( ) ( - ) f( ) f( ) + f ( ) + f ( )!! b) Consideremos o desenvolvimento da função f ( ) = e em Série de Taylor, nas vizinhanças do ponto =, isto é: Como, Ainda, ( ) ( ) f( )= e,f ( )= e,f ( ) e... ( f ) ( ) f( )=,f ( )=, f ( )=... temos que: 3 n e = ! 3! n! Considerando apenas os quatro primeiros termos da série, temos: 3 3 e = ( )! 3! 6 Para =, temos e = , que é um valor com erro absoluto bem significativo, quando comparado com o valor e = obtido numa calculadora científica que armazena uma quantidade maior de termos da série. Definição.3 Erro Absoluto Quando substituímos uma solução eata de um problema por uma solução aproimada ', cometemos um erro chamado Erro Absoluto: E = -' a Definição.4 Erro Relativo Quando consideramos o Erro Absoluto cometido em relação a uma grandeza numérica, chamamos de Erro Relativo: E r = - ' 9

21 Eemplo.7 a) Consideremos o valor eato = e o valor aproimado ' = Nesse caso temos: Ea = =.73 e, Ea.73 Er = = = b) Consideremos o valor eato =.73 e o valor aproimado =.. ' Então, Ea = =.73 Ea.73 Er = = = Observe que nos eemplos anteriores a) e b) o erro absoluto é o mesmo, embora o erro cometido pela aproimação seja muito mais significativo no eemplo b). No eemplo a), o erro relativo é da ordem de.3% enquanto no eemplo b) é da ordem de 4,6%. Eemplo.8 Considere as distâncias entre as cidades: a) São Carlos a Campinas - 7 km b) São Carlos a Ibaté - km Ao ser perguntado sobre qual a distância no item a) e b), uma pessoa informa como a seguir: a) São Carlos a Campinas - 6 km b) São Carlos a Ibaté - km

22 Qual o erro cometido nessas informações? Ea = 7-6 = em a) Ea = - = em b) Ea Er = = em a) 7 7 Ea Er = = = em b) Podemos concluir que o Erro Absoluto em a) ou b) é o mesmo, não fornecendo informações significativas sobre o quanto estamos errando naquela informação. O Erro Relativo nos informa que ao errar em 7 não foi cometido um erro muito grande na informação, pois a grandeza numérica /7.588 = 5.88%, mas ao errar em, foi cometido um erro de / =.5 = 5% na informação. Podemos concluir que o Erro Relativo nos fornece mais informações sobre a qualidade do erro que estamos cometendo num determinado cálculo, uma vez que no Erro Absoluto não é levada em consideração a ordem de grandeza do valor calculado, enquanto que no Erro Relativo essa ordem é contemplada..5 Erro Absoluto e Erro Relativo nos procedimentos numéricos Como utilizar as definições de Erro Absoluto e Erro Relativo? Sabemos que nos procedimentos numéricos em geral, quando resolvemos um problema, geramos uma sequência de soluções aproimadas,,..., k, k+,...,. Se essa sequência for convergente para a solução, na medida em que k cresce, k, as soluções aproimadas e + tendem a ficar próimas. k k As definições de E a e E r definidas anteriormente serão usadas para medir o quão próimas estão às soluções k e k + e dessa forma podemos interromper a sequência k gerada, utilizando um Critério de Parada, com o Erro Absoluto ou o Erro Relativo, como segue:

23 Dada uma tolerância por um número ε >, suficientemente pequeno, consideramos que: E = - <ε a k+ k e E r k+ - k = <ε k+ Caso E a ou E r seja menor do que o número ε, entendemos que as soluções k e k + estão próimas e podemos interromper a sequência tomando o último valor calculado como a solução aproimada do problema. Eemplo.9 Podemos resolver a equação - = utilizando o processo iterati- vo k+ = k +, k =,,... À medida que variamos k =,,... geramos uma sequência de soluções aproimadas k,,... que converge para = Para uma tolerância dada ε =. e =, uma solução inicial, temos a sequência de soluções aproimadas convergente para a solução =, gerada pelo processo iterativo, isto é: Tomando =, uma solução inicial qualquer e, no processo iterativo dado, variando k =,,... temos: - Para k = =.5 = >ε - Para k = =.4667 =.588 >ε - 3 Para k = =.44 =.73 >ε Para k = 3 4 =.44 =. <ε 4

24 Dessa forma, usando o Erro Relativo como o Critério de Parada, e uma vez que este está satisfeito na sequência quando k = 3, temos que a solução = Nota: Podemos ainda considerar os erros de representação que, em geral, são utilizados nos computadores para representação dos números, chamados de ponto flutuante. A união de todos os números na representação em ponto flutuante é chamado de Sistema de Ponto Flutuante. Detalhes sobre este tópico podem ser vistos na Referência []..6 Propagação dos erros A propagação dos erros pode ser observada quando utilizamos um processo numérico para buscar a solução de um determinado problema. Esse processamento envolve um número muito grande de operações elementares, e os erros acumulados no final dos processos numéricos interferem na qualidade da solução aproimada do problema..7 Mapa Conceitual Um Mapa Conceitual é um instrumento utilizado no processo de ensino, aprendizagem e avaliação, por meio de uma representação gráfica de um conjunto de significados conceituais, o qual pode vir acompanhado de um pequeno teto eplicativo e de símbolos que ajudam a organizar, sistematizar, estudar e detectar as ideias principais do tópico abordado. Por eemplo, apresentamos a seguir um Mapa Conceitual preliminar sobre os erros em processos numéricos. 3

25 4 Figura. Um Mapa Conceitual sobre erros.

26 .8 Eercícios. Converta os números decimais para a base binária: a) 45 b) 978 c) Resolver a equação - 7 = usando o seguinte processo iterativo: 7 k+ = k+, k =,,... k com ε -4 = no critério de parada partindo de um ponto inicial =. 3. Usando a técnica de arredondamento, representar os números abaio com 4 casas decimais: a) b) c) Sabemos hoje que a distância média da Terra à Lua é de 384 km. A distância da Terra à Lua obtida por cientistas da antiguidade, na segunda metade do séc. II a.c., foi de 45 km. a) Calcule o erro absoluto cometido nessas informações. b) Calcule o erro relativo cometido. Qual é o valor do erro relativo em porcentagem? 5. Faça um mapa conceitual detalhado sobre os erros em processos numéricos, considerando as definições, introduzindo labels indicando se aprendeu (A), não aprendeu (N), se gostou (G), detestou (D ), achou interessante (I), etc. Observação: Os mapas conceituais podem ser feitos com os softwares disponíveis como: Xmind < CMAPS < ou mesmo a barra de desenhos do Office, Word ou Powerpoint. 5

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28 Unidade Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares

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30 . Introdução O conhecimento de métodos numéricos para resolução de sistemas de equações lineares torna-se necessário devido ao fato de que muitos problemas após sua modelagem matemática correspondente resultam na resolução de um sistema de equações lineares. Esses sistemas lineares em geral são de grande porte, a matriz A dos coeficientes possui muitas linhas e colunas, e necessitam de métodos numéricos estáveis, isto é, métodos em que os erros de arredondamento não destroem a qualidade da solução aproimada obtida, e com pouco tempo de processamento nos computadores. Os sistemas de equações lineares podem ser quadrados, quando o número de linhas é igual ao número de colunas, ou retangulares, caso contrário. Denominamos sistemas consistentes quando apresentam pelo menos uma solução, e inconsistentes, caso contrário. Para ilustrar os sistemas de equações lineares, considere o problema de composição de areias para filtros de purificação de água, conforme Figura. a seguir: Figura. Filtros de purificação de água. Devido a sua propriedade de grande permeabilidade, a areia é usada na constituição de filtros de Estações de Tratamento de Águas de abastecimento (ETA) como meio filtrante, por interceptar as impurezas eistentes na água afluente. Para construção das unidades de filtração de uma ETA, uma usina de agregados foi contratada para fornecer a areia destinada à filtração. Para atender ao pedido, a usina dispõe de areias brutas provenientes de três portos passíveis de eploração com composições granulométricas distintas, conforme Tabela.: 9

31 Tabela. Faia granulométrica (mm) Porto Porto Porto Na Tabela., tomando m 3 da areia bruta proveniente do Porto têm-se.8m 3 de grãos na faia.4-.59mm. As areias brutas são peneiradas para obter as areias nas faias especificadas. Essas areias serão dispostas em camadas que deverão obedecer às composições granulométricas estabelecidas por norma, nas quantidades a seguir, conforme Tabela.: Tabela. Faia granulométrica (mm) Volume de areia (m 3 ) Deseja-se determinar quais as quantidades de areia de cada porto devem ser etraídas de forma que atendam a demanda. Na modelagem matemática do problema, sejam j, j =,, 3 as quantidades de areia em m 3 a serem retiradas dos respectivos portos P, i =,, 3. Dessa forma, para obtermos as quantidades de areia de cada porto que devem ser etraídas de forma que atendam a demanda, temos que encontrar a solução do seguinte sistema de equações lineares: = = = 3 Observações a) Nesse problema algumas simplificações foram feitas, por eemplo, não foram considerados os custos de etração de areia nos portos, e ainda consideramos apenas três portos de etração. À medida que aumentamos o número de portos, os sistemas terão mais equações e mais variáveis. i 3 b) A resolução deste sistema de equações, requer o conhecimento de mé- todos adequados e eficientes de resolução, quais serão apresentados nesta unidade, como segue:

32 Considere o sistema de equações lineares A = b, em que A=( a ), i, j =,..., n é matriz dos coeficientes, =(,,..., ) t o vetor incógnita n transposto, e b =( b ) t, b,..., bn é o vetor dos termos independentes transposto. Consideramos que o determinante de A, det( A ), o que nos garante a unicidade da solução para o sistema linear. Representamos o sistema de equações lineares da seguinte forma: i,j a + a + + a = b a + a + + a = b a + a + + a = b n n n n n n nn n n Na forma matricial temos: a a a b n a a a b n = a a a b n n nn n n A b Resolver o sistema anterior dado consiste em determinar um vetor =( ) t,,..., n que satisfaça todas as equações simultaneamente. Podemos representar graficamente a solução de um sistema no R, como no eemplo a seguir: Eemplo. + = + = 3 Observe que det( A)= - e que a solução =(, ) t encontra-se na intersecção das duas retas, representando as duas equações lineares, conforme Figura.: 3

33 Graficamente temos: Figura. Solução de um sistema linear no plano. Podemos observar na Figura. que a solução do sistema de equações encontra-se na intersecção das retas, isto é, no ponto =(, ) t. Podemos ainda representar a solução de um sistema de equações no es- 3 paço R, isto é, um sistema de equações com 3 equações e 3 incógnitas, conforme a seguir: Eemplo. + + = = = 4 3 Nesse caso, a solução =(,, ) t do sistema de equações encontra-se na intersecção dos três planos representados pelas equações do sistema dado, conforme ilustrado na Figura.3 a seguir: 3 Figura.3 Solução de um sistema linear no espaço.

34 Métodos de Resolução Na resolução de sistemas de equações lineares, podemos utilizar métodos diretos ou métodos iterativos.. Métodos diretos Um método direto para resolver o sistema A = b,, em que A=( a ), i, j =,..., n com det( A), consiste em determinar eatamente o vetor solução =( ) t,,..., n, se não fossem os erros provenientes do processamento de cálculos envolvidos nos algoritmos. i j.. Sistema triangular inferior Seja A = b um sistema de equações lineares, em que A=( a ), i, j =,..., n é triangular inferior, isto é, os seus coeficientes ( ai j) = sempre que i < j e com aii para i j i =,..., n. Representamos um sistema triangular inferior por: a = b a + a = b a + a + + a = b n n nn n n Para construir o algoritmo para resolução do sistema triangular inferior, destacamos a linha genérica (i ), isto é: a + a a = b i i ii i i Considerando aii e isolando a incógnita i na equação anterior, temos: =( b - a + a + a a )/a i i i i i3 3 ii - i - ii 33

35 ou seja, i = b - i - i ij j j = a ii a Dessa forma, podemos escrever o algoritmo para resolução de sistema triangular inferior como segue: Algoritmo. Faça: b = a Para i =,..., n, faça: i = b - i - i ij j j = a ii a Eemplo.3 Considere o sistema de equações lineares triangular inferior: = 6 3 Usando o Algoritmo. temos: b 6 = = = a 6 b - a 6- ( ) = = = a 5 34 b -a -a - ( )- ( ) = = = a33

36 Portanto, temos a solução do sistema =(,, ) t... Sistema triangular superior Seja A = b um sistema de equações lineares, em que A =( a ), i, j =,..., n é triangular superior, isto é, os seus coeficientes ( aij)= sempre que i > j e com a, para ii i =,, n. ij Representamos um sistema de equações triangular superior por: a + a + + a = b a + + a = b a = b n n n n nn n n Para a construção do algoritmo destacamos a linha genérica (i ), isto é: a + a + a + a a = b ii i ii+ i+ i i+ i+ ii+ 3 i+ 3 in n i Considerando aii e isolando a incógnita i na equação anterior, temos: i = b - n i ij j j = i + a ii a Dessa forma, podemos escrever o algoritmo para resolução de sistema triangular superior da seguinte forma: Algoritmo. Faça: n b = a n nn 35

37 Para i =( n - ),...,, faça: i = b - n i ij j j = i + a ii a Eemplo.4 Considere o sistema de equações lineares triangular superior: = Usando o Algoritmo. temos: b = = = a33 8 b - a 6 - (- )( ) 3 3 = = = a 7 b -a -a 6 -( )( )-( )( ) 3 3 = = = a 5 Portanto, temos a solução do sistema =(,, ) t. Observação O Esforço Computacional E c de um Algoritmo é a quantidade de operações elementares envolvidas durante a aplicação do mesmo. 36 No caso da solução de um sistema de equações triangular superior ou inferior, o esforço computacional dos Algoritmos. e. é = n operações elementares, sendo n o número de operações de divisão, de adição (ou subtração) e n( n- ) Ec n( n- ) o número de operações o número de operações de multiplicação. No eemplo anterior, temos que o esforço computacional E = n =( 3) = 9, em que três operações são de divisão, três operações são de adição ou subtração e três operações são de multiplicação. c

38 Eperiências computacionais mostram que o tempo computacional envolvido nessas operações é pequeno, tornando os sistemas triangulares bastante atrativos, os quais serão usados no método de decomposição posteriormente. Definição. Menores principais Seja a matriz A =( a ij), i,j =,..., n. Denominamos menores principais de ordem k da matriz A por: = det( A ) k k em que A =( a ), i,j =,..., k é formada pelas k primeiras linhas e k primeiras k colunas de matriz A. Eemplo.5 Considere a matriz: ij 5 A = Cálculo dos menores principais: 5 5 = 5 = = 3 = = Métodos de Decomposição Os métodos de decomposição para resolução dos sistemas de equações lineares A = b, consistem em decompor de forma única a matriz A do sistema no produto de duas matrizes triangular inferior e superior respectivamente, e resolvermos dois sistemas triangulares inferior e superior respectivamente, os quais são facilmente resolvidos como os eibidos anteriormente...3 Método de Decomposição LU O Método de Decomposição LU consiste na decomposição única da matriz A =( a ij ), i, j =,...,n do sistema de equações, no produto de uma matriz L =( ij ), 37

39 i, j =,, n triangular inferior, com os elementos da diagonal ii =, i =,..., n por uma matriz U =( u ij), i,j =,..., n triangular superior. Dessa forma, enunciamos o seguinte resultado: Teorema. Seja uma matriz A =( a ij ), i, j =,, n. Se os menores principais de A, i, i =,,..., n -, então A se decompõe, de maneira única, no produto de uma matriz triangular inferior superior U =( u ij ), i, j =,, n. L =( ), i, j =,, n, com =, por uma matriz triangular ij ii Além disso, ( )= ( )= n det A det U u ii. i = Prova: Referência []. Processo de Decomposição LU Por facilidade de entendimento, vamos decompor uma matriz A =( a ij ), i, j =,, 3, isto é, n = 3 e, em seguida, generalizamos os resultados para qualquer dimensão como segue: Considere LU = A: u u u3 a a a3 u u3 = a a a3 3 3 u33 a3 a3 a33 L U A Dessa forma, temos uma igualdade envolvendo o produto de duas matrizes e determinamos as linhas da matriz U e as colunas da matriz L da seguinte forma: a linha de U u = a u = a u = a u = a u = a u = a

40 a coluna de L = u = a = a / u u = a = a / u a linha de U u + u = a u = a - u u + u = a u = a - u a coluna de L = u + u = a =( a - u )/u a 3 linha de U u + u + u = a u = a - u - u a 3 coluna de L 33 = Podemos generalizar esse procedimento para uma matriz A = ( a ij ), i,j =,..., n e obtemos: Matriz triangular U i- u = a - l u i,j =,..., n i j. ij ij ik kj k= 39

41 Matriz triangular L ij i- a - l u ij ik k j k= = = > u jj i,j,..., n i j. Assim, podemos escrever o Algoritmo de Decomposição, A Algoritmo.3 Para m =,..., n -, faça Para j = m, m +,..., n faça = LU, como segue: m- u = a - u mj mj mk kj k= Para i = m +,..., n, faça im a = m- - im ik km k= u mm u mm = n- u = a - u nn nn nk kn k= nn = Eemplo.6 Considere a matriz A dada por: A = A Como a a = a =, = = = 8, podemos escrever a a - 4 = LU de forma única e seguindo os passos do Algoritmo.3:

42 a linha de U u = a = u = a = u3 = a3 = a coluna de L = = a / u = - 4 / = - = a / u = / = 3 3 a linha de U u = a - u =( )-( )( )= 4 u = a - u = ( ) - (- )( ) = a coluna de L = = ( a - u ) / u = ((4) - ( )( )) / 4 = a 3 linha de U u = a - u - u = ( ) - ( )( ) - ( )( ) = a 3 coluna de L 33 = Assim, obtemos as matrizes triangular inferior L e superior U: L = - U = 4 4

43 Aplicação na resolução de sistemas de equações lineares Seja A = b, um sistema de equações lineares, em que A =( a ), i,j =,..., n com det( A). Considerando que a matriz A do sistema satisfaz às condições do Teorema., temos que A = L U e, portanto, o sistema A = b pode ser escrito: ij ( LU ) = b Nesse caso, denominando U = y, a solução do sistema dado consiste na resolução de dois sistemas triangulares (inferior) e (superior), respectivamente, como segue: Ly U = b = y Para resolver os sistemas de equações triangulares obtidos, basta usar os Algoritmos. e., respectivamente. Eemplo.7 Considere o seguinte sistema de equações lineares: 3-4 = Para aplicação do Método de Decomposição LU, verificamos as condições de eistência e unicidade da matriz A = L U, utilizando o Teorema.:. Temos que: = = = = 8-4 4

44 det( A)= - 4 = 8 4 Portanto, a matriz A satisfaz condições do Teorema. e det( A) e podemos resolver o sistema dado usando o Método de Decomposição LU.. Construção das matrizes L e U: Usando o Algoritmo.3 temos a decomposição da matriz A = L U da seguinte forma: L = - e U = 4 3. Solução dos sistemas de equações triangulares a) Ly= b sistema triangular inferior y 3 - y = - y 4 3 Resolvendo o sistema de equações triangular superior obtido, usando o Algoritmo. temos: y = 3 - y + y = y = 4 y + y3 = 4 y3 = Assim temos y =( 3,4,) t b) U = y sistema triangular superior 3 4 = 4 =

45 Resolvendo o sistema de equações triangular superior, usando o Algoritmo. temos: 3 = = 4 = + = 3 = Portanto, a solução do sistema é dada por =(,, ) t. Métodos de Eliminação Os métodos de eliminação para resolução de um sistema de equações lineares A = b, consistem em transformá-lo num sistema equivalente triangular superior aplicando operações elementares sobre linhas como multiplicar uma linha por constante diferente de zero e subtrair de outra linha, as quais serão eibidas no método a seguir...4 Método de Eliminação de Gauss Considere o sistema de equações lineares A = b, em que A =( a ), n i,j =,..., n é matriz dos coeficientes, com det( A), =(,,..., ) t é o vetor incógnita transposto e b =( b ) t, b,..., b n é o vetor dos termos independentes transposto. Representamos o sistema de equações lineares da seguinte forma: ij a + a + + a = b a + a + + a = b a + a + + a = b n n n n n n nn n n O Método de Eliminação de Gauss, com pivotamento sobre os elementos da diagonal da matriz A, consiste em transformar o sistema dado por meio de operações elementares sobre as linhas, em um sistema equivalente triangular superior, tomando, em cada passo, como pivô, os elementos diferentes de zero da diagonal da matriz A. ( n- ) ( n- ) ( A,b) ( A,b ) 44

46 em que n - passos. ( n- ) ( n- ) A = b é um sistema triangular superior depois de aplicados Consideremos o sistema dado, escrito na seguinte forma: a + a + a + a + + a = a a + a + a + a + + a = a a + a + a + + a = a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n3 3 nn n nn+ Considere a matriz aumentada, isto é, acoplamos o vetor b dos termos independentes juntamente com a matriz A do sistema, para que este também sofra simultaneamente todas as operações de pivotamento, de forma a obter no final dessas operações um sistema triangular superior equivalente ao sistema dado inicialmente. Assim, podemos escrever a matriz aumentada da seguinte forma: a a a n a ( ) ( ) ( ) a a a n a ( Ab, )= a a a a ( ) ( ) ( ) ( ) n+ ( ) n+ ( ) ( ) ( ) ( ) n n nn nn+ ( ) ( ) em que a ij = a,i,j =,...,n+ e a = b, i =,...,n. ij in+ i Para facilidade de entendimento no procedimento de aplicações de operações elementares no sistema de equações, também chamado de processo de pivotamento sobre linhas, consideramos um sistema de equações com dimensão n = 3 e, finalmente, generalizamos operações para um sistema de equações de qualquer dimensão. Considere a matriz aumentada de um sistema de equações lineares A com dimensão n = 3 : = b 45

47 Assim, podemos escrever: a a a a A,b = a a a a a a a a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) em que ( ) ( ) i j i j i4 i a = a, i, j =,...,4 e a = b, i =,...,3. Passos do processo de eliminação Passo ( Nesse passo, considere o elemento pivô a ). Caso este seja igual a zero, troca-se as linhas na matriz aumentada, de forma a obter um elemento diferente de zero como pivô. Considere os multiplicadores do o passo: ( ) ai i ( ) a m =,i =,3 e as operações de pivotamento sobre as linhas de A, b ( ) ( ) ( ) do tipo: a a a) Multiplica-se a linha fia da matriz aumentada pela constante e a subtrai da a linha; faz-se a substituição na a linha por esta modificada dessas operações. a a b) Multiplica-se a linha pela constante e subtrai da 3 a linha; faz-se a a substituição na 3 a linha por esta modificada dessas operações. Dessa forma, conservamos a a linha e tornamos nulos todos os elementos ( ) 3 ( ) ( ) ( ) da a coluna abaio da diagonal na matriz aumentada essas operações de pivotamento temos: ( ) ( ) ( A,b ), pois ao efetuar 46 ( ) ( ) a ( ) ( ) a a - a = e ( ) ( ) a 3 ( ) 3 ( ) a a - a =

48 Efetuando o mesmo cálculo para toda a linha, obtemos os elementos modi- ( ) ficados, os quais são marcados como a ij, e realizamos o mesmo procedimento para os elementos das linhas abaio da diagonal: Assim, escrevemos a matriz aumentada modificada como segue: a a a a ( A,b )= a a a a a a ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 ( 3) ( 3) ( 3) De forma geral, para um sistema A = b, em que A =( a ), i, j =,..., n temos ( ) a ( ) ( ) ( ) i ij ij i j i ( ) a a = a - m a, m =, i =,..., n, j =,,..., n +. ij Passo ( Considere agora o coeficiente a ) troca-se com as linhas seguintes até que o coeficiente que ocupa a segunda linha e segunda coluna seja diferente de zero. Considere os multiplicadores do o passo: ( ) = como elemento pivô. Caso a, ( ) a ( ) a i i ( ) a m =, i = 3 e faça as operações sobre as linhas na nova matriz aumentada ( A,b ),modifi- cada com as operações de pivotamento do o passo: ( ) ( ) a a) Multiplica-se a linha fia por a a ( ) 3 ( ) e subtrai da 3 a linha; faz-se a substituição na 3 a linha por esta modificada dessas operações. ( ) ( ) Dessa forma, tornamos nulos todos os elementos da a coluna abaio da diagonal na matriz ( A,b ), pois ao efetuar essas operações nessa matriz temos: ( ) ( ) a 3 ( ) 3 ( ) a a - a = Efetuando o mesmo cálculo para toda a linha, temos os elementos modificados, os quais serão marcados como a, e procedemos igualmente para ( 3) as linhas abaio da diagonal: ij 47

49 Assim, podemos escrever a matriz modificada da seguinte forma: a a a a ( A,b )= a a a a a ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 ( 3) ( 3) temos: De forma geral, para um sistema A = b, em que A =( a ), i, j =,...,n, ij ( ) ( 3) ( ) ( ) ai ij ij i j i ( ) a a = a - m a, m = i = 3,...,n j =,...,n + A Assim, depois de eecutados passos, obtemos o sistema inicial dado = b na forma equivalente triangular superior, da seguinte maneira: a + a + a = a a a a a = a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 4 ( 3) ( 3) A solução é dada, conforme anteriormente, usando a epressão geral para a solução de um sistema triangular superior: - n i i j j j = i + b a i = i = 3,..., a ii Generalizando essas operações para um sistema com n linhas e n colunas, necessitamos de n- passos para transformá-lo em sistema equivalente triangular superior. Essas operações são detalhadas no Algoritmo de Eliminação de Gauss, descrito como segue: 48

50 Algoritmo.4 a) Construção do sistema triangular superior equivalente Para k =,...,n -, faça Para i = k +,...,n, faça m ( k ) ik = a a ( k ) ik ( k ) kk Para j = k,..., n + ( k + ) ( k) ( k) ( k) i j = i j - ik k j a a m a superior. b) Calcular a solução do sistema triangular superior Usar o Algoritmo. para resolução de sistemas de equações triangular Eemplo.8 Considere o seguinte sistema de equações lineares: 3 4 = 3 3 Como det ( A)= =, o sistema possui uma única solução, usando o Método de Eliminação de Gauss, temos: Considere a matriz aumentada, conforme a seguir: 3 4 ( A,b)= Eecutando o Passo e o Passo, respectivamente, temos: Passo ( Considerando que o pivô a ) = 3, podemos calcular os multiplicadores: 49

51 m ( ) ( ) a a = = 3 e m ( ) 3 ( ) a a = = 3 Multiplica-se a a linha por /3 e subtrai da a linha; faz-se a substituição na a linha, em seguida multiplica-se a a linha por /3 e subtrai da 3 a linha e, novamente, faz-se a substituição na 3 a linha. Assim temos a matriz aumentada modificada da seguinte forma: 3 4 ( ) ( ) ( A,b )= /3 /3 -/3 -/3 /3 -/3 Passo Como o pivô ( a ) = / 3, calculamos os multiplicadores como segue: ( ) 3 3 ( ) a a -/ 3 m = = = - / 3 Multiplica-se a a linha por -, subtrai da 3 a linha e faz-se a substituição na 3 a linha. Temos a matriz aumentada modificada como segue: 3 4 ( ) ( ) ( A,b )= /3 /3 -/3 - Assim, obtemos um sistema de equações triangular superior, o qual pode ser reescrito da seguinte forma: = 4 /3 + /33 = -/3 3 = - Resolvendo o sistema triangular superior equivalente, usando o Algoritmo., temos: 5 3 = - 3 =- /3 + /33 = -/3 = = 4 =

52 Portanto, a solução do sistema é dada por,, =( - ) t. Observação Para verificar-se que a solução obtida é solução do sistema original dado, basta substituí-la nas equações do sistema e verificar a igualdade. Aplicação Uma aplicação de resolução de sistemas de equações lineares é quando calculamos a matriz inversa de uma matriz A, em que A =( a ), i,j =,..., n. Nesse caso necessitamos da resolução de n sistemas de equações lineares, em que usamos os métodos diretos vistos anteriormente. i,j.3 Inversas de matrizes Considere A =( a ), i,j =,..., n uma matriz não singular, isto é, det( A). i,j Então eiste uma única matriz A - chamada de inversa de A, de tal modo que AA - = I, em que a matriz I é uma matriz diagonal, conhecida como a matriz identidade, cujos elementos da diagonal são todos iguais ao número. Dessa forma temos: a a an n a a an n = an an ann n n nn Portanto, para determinar as n colunas da matriz inversa A -, temos que resolver n sistemas de equações lineares, usando qualquer um dos métodos diretos vistos anteriormente. Para calcular a a coluna da matriz inversa A -, resolvemos o seguinte sistema de equações lineares: a a a n a a a n = a a a n n nn n 5

53 Assim sucessivamente, calculamos a n-ésima coluna da matriz A -, resolvendo o seguinte sistema de equações lineares: a a a a a a a a a n n n n nn n n nn = Eemplo.9 Considere a matriz A dada por: A = Temos que a matriz inversa de A pode ser escrita como: 3 - A = Usando o Método de Eliminação de Gauss, podemos calcular a inversa da matriz A dada, como segue: Como det ( A)= = temos que a matriz inversa eiste e é única. - Considerando que AA = I, podemos escrever: = 5 seguem: Temos três sistemas de equações lineares para serem resolvidos, como

54 a coluna da matriz inversa de A, 3 = a coluna da matriz inversa de A, 3 = 3 a coluna da matriz inversa de A, = Construímos inicialmente a matriz aumentada (A, I) formada pela matriz A e os termos independentes dos sistemas obtidos anteriormente. Aplicamos as operações do Método de Eliminação de Gauss, transformando a matriz dada na forma triangular superior, e os vetores dos termos independentes são modificados, como segue: - - Assim, podemos resolver os sistemas triangulares obtidos: - 3 = - Resolvendo o sistema de equações triangular superior obtido, temos a solução da a coluna da matriz inversa de A, dada por: ( ) = (, -, ) 3 t t 53

55 Para determinar a a coluna da matriz inversa de A, resolvemos o sistema de equações triangular superior obtido: - 3 = cuja solução é dada por: ( ) = (,, ) 3 t t Finalmente para determinar a 3 a coluna da matriz inversa de A, resolvemos o sistema de equações triangular obtido como segue: = cuja solução é dada por: t ( ) = (-,,/ ) t Portanto, temos a matriz inversa A - da matriz dada por: - - A = - / Observação Quando usamos o Método de Decomposição LU no cálculo da matriz inversa, transformamos a matriz A no produto de duas matrizes triangulares, inferior e superior respectivamente. Nesse caso, teremos três sistemas de equações lineares para serem resolvidos e, consequentemente, dois sistemas de equações triangulares inferiores e superiores em cada um deles. 54

56 .4 Métodos iterativos para resolução de sistemas de equações lineares Podemos resolver um sistema de equações lineares A = b, utilizando para isto métodos iterativos, os quais consistem em determinar uma sequência de soluções aproimadas, em que cada solução obtida depende da solução anterior pela aplicação do mesmo procedimento. Para construir um método iterativo, escrevemos o sistema de equações lineares A = b, na forma equivalente = H + g. Essa forma equivalente será detalhada no Método iterativo de Jacobi-Richardson, conforme segue. De maneira geral, obtida a forma equivalente = H + g, a partir de uma solução aproimada inicial ( ), determinamos a sequência de soluções aproimadas considerando o processo iterativo: ( ) ( ) = H + g ( ) ( ) = H + g ( k+ ) ( k) = H + g, k =,,,... Nesse caso, temos vetor g =( g ), i =,..., n. i H =( h ), i,j =,..., n chamada de matriz iterativa e um ij Assim, a partir de uma solução aproimada inicial ( ) ( ) ( ) ( ) n =(,,..., ) para a solução eata =(,,..., n) do sistema A = b, determina-se uma sequência de vetores solução, isto é, ( ) ( ) (3),,,... e espera-se que seja convergente para a lim k ( k ) = Apresentamos a seguir alguns resultados e definições necessários para entendimento do Método iterativo de Jacobi, como seguem: Definição. Norma de vetores A norma de um vetor satisfazendo às seguintes condições: V (espaço vetorial) é uma função +. :V R, a) ; = =, V 55

57 b) α = α ; α R, V c) + y + y ;,y V Eemplos de normas: Considere o espaço n R formado pelos vetores = (,,..., n): Temos as seguintes normas de vetores: = = n n i = i n = = n i i= j { } = = má,,, má n i n i Essas normas são chamadas de norma, norma ou Euclidiana e norma infinita, respectivamente. Observação Podemos interpretar as normas definidas anteriormente no R, bastando, para isso, representar o ponto =(,) no plano e observar, por eemplo, que a norma é a distância entre o ponto e a origem do sistema de coordenadas. Eemplo. Considere =(,, 3)=(-,, - 4) R. Calculando as normas do vetor, obtemos: t 3 3 = = = 7 i = i = 3 i = i = = { 3 } = { }= = má,, má 4,, 4 56 Definição.3 Sequência convergente Dizemos que uma sequência de vetores ( i) ( i) n,,..., n =( ) R con-

58 verge para o vetor =(,,..., ) R se n n ( i ) n -, quando i, para qualquer norma em R. Eemplo. Considere a sequência ( i) n =,,,..., R, i i =,,... Temos que, à medida que i, a sequência converge para o vetor = (,,..., ). Ou ainda, Como ( i ) - =, temos i Definição.4 Norma de matriz ( i ) -, quando i. Considere o espaço R( n, n ) das matrizes quadradas A =( ai, j ) i, j =,..., n. Definimos as seguintes normas de matrizes: A = A = má a C j n ij i = n A = A = má a n L i n ij j = Essas normas são chamadas norma coluna e norma linha, respectivamente. Eemplo. Considere a matriz A: - 3 A = 4 Então, A = A = má a = má { 358,, }= 8 C j 3 ij i = 3 j 3 57

59 A = A = má a = má { 6, 3, 7}= 7 3 L i 3 ij j = i 3 Definição.5 Normas consistentes Considere uma norma de um vetor n R e uma norma de uma matriz A R( n, n ). Dizemos que essas normas são consistentes se: ( ) n A A, A R n,n e R. Propriedade AB A B, A,B R ( n,n). Definição.6 Matriz estritamente diagonalmente dominante Dizemos que uma matriz A =( a ), i,j =,..., n é estritamente diagonalmente dominante se: i j a ii > n j = i j a ij, Eemplo.3-4 A= - 3 Usando a definição.6, temos que: i = - 4 > + i = - > + i = 3 3 > + 58 Portanto, concluímos que a matriz dada é estritamente diagonalmente dominante.

60 .4. Método iterativo de Jacobi-Richardson Considere o sistema de equações lineares A = b, em que A =( aij), i,j =,..., n é a matriz dos coeficientes com det( A) e com os elementos da ii t n diagonal principal a, i =,..., n, =(,,..., ) é o vetor incógnita transposto e b =( b, b,..., b ) é o vetor dos termos independentes transposto. n Representamos o sistema dado na seguinte forma: t a + a + a + + a = b a + a + a + + a = b a + a + a + + a = b 3 3 n n 3 3 n n n n n3 3 nn n n O Método iterativo de Jacobi consiste em escrevermos o sistema A na forma equivalente = H + g, como segue: Dividindo cada linha pelo elemento da diagonal e eplicitando na a equação, na a equação, 3 na 3 a equação e até n na n-ésima equação, temos: = b = ( b - a -a an n ) a = ( b -a -a ann ) a n = ( bn -an - an - - ann- n-) ann Na forma matricial temos: a a3 an b a a a a a a3 an b = a a a + a an an bn - - n n ann a nn ann 59

61 Assim, podemos escrever = H + g, em que h ij, i = j = a - ij i j a, ii é chamada de matriz iterativa e b i gi =, i =,..., n aii Podemos escrever o processo iterativo de Jacobi como segue: ( k+ ) ( k) = H + g k =,,... Assim: a a3 an b ( k+ ) k a a a ( ) a a b a3 a n ( k+ ) a k a a a ( ) = + a a b ( k+ ) ( k) n n n n n - - a a nn a nn nn Podemos, ainda, escrevê-lo na seguinte forma: a a a b = a a a b = a a a b = ( k+ ) ( k) 3 ( k) n ( k) 3 n a a a a ( k+ ) ( k) 3 ( k) n ( k) 3 n a a a a ( k+ ) n ( k) n ( k) nn - ( k) n n n- ann ann ann ann 6

62 Estudo da convergência Teorema. Seja uma norma matricial consistente com alguma norma vetorial e ( ) n R uma solução aproimada inicial qualquer para o sistema de equações. Se H <, então a sequência de soluções aproimadas definida pelo processo iterativo ( k + ) ( k) do sistema de equações A = b. Prova: Referência []. Resultado: = H + g, k =,,,... converge para a solução É possível provar que se a matriz A do sistema A = b for estritamente diagonalmente dominante, então o Método de Jacobi-Richardson gera uma sequência de soluções aproimadas convergente para a solução do sistema, pois sempre temos H <. Apresentamos de forma detalhada o Algoritmo do Método de Jacobi-Richardson, observando que o critério de parada na sequência gerada de vetores é o erro relativo visto anteriormente, apenas usamos a notação de norma, pois estamos trabalhando com sequência de vetores. Algoritmo.5 a) Forneça uma solução inicial aproimada uma tolerância fia. ( ) ( ) ( ) ( ) n =(,,..., ) e ε > Faça k = e PARE = FALSO b) Construção da sequência de soluções aproimadas: Enquanto PARE = FALSO, faça: Para i =,..., n faça: a a /a i - n ( k + ) ( k) ( k) i i = - ij j + - ij j ii + j = j = i + aii b Se - ( k+ ) ( k) ( k+ ) ε, então PARE = VERDADE Senão k = k + 6

63 Eemplo.4 Considere o seguinte sistema de equações lineares: = Usando o Método iterativo de Jacobi, podemos a partir de uma solução aproimada inicial ( ) ( ) ( ) ( ) t t 3 =(,, ) =(,, ) calcular uma solução aproimada para o sistema dado com uma precisão ε = -. Assim, a construção da matriz iterativa H é dada por: -/ 4 -/ 4 H = -/ 4 -/ 4 -/ 5 -/ 5 e para verificar a condição de convergência temos: H = H = má h = má { / 4, / 4, / 5}=. 5 < L i 3 j = ij i Portanto, a sequência de soluções aproimadas é convergente para a solução do sistema dado. Cálculo das iterações: ( k+ ) ( k) ( k) 3 = ( k+ ) ( k) ( k) = ( k+ ) ( k) ( k) 4 3 = k =,,,... Para k = e tomando ( t ) =(,, ), temos ( ) 3 4 =,, t 6 Teste de parada: - ( ) ( ) ( ) = > -

64 Para k =, temos: ( ) ( ) ( ) 3 ( ) = = ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) ( ) 4 ( ) = = Portanto, =(.95,.5, -.95) ( ) t - ( ) ( ) ( ) =. > - Assim, sucessivamente, calculamos: Para k = 3, temos: ( 3) ( ) ( ) 3 ( 3) = = ( 3) ( ) ( ) ( 3) = =. 4 4 ( 3) ( ) ( ) 4 ( 3) = = Portanto, ( 3 t ) =(.9844,., -.995) - ( 3) ( ) ( 3 ) =.4 <, então pare. - ( 3) t Logo, =(.9844,., -.995) é a solução aproimada para o sistema dado com a precisão ε = -. 63

65 Observação Podemos observar que a sequência de soluções aproimadas ( ) ( ) ( 3) ( 4),,,,... = (,, - ). Observação t converge para a solução do sistema de equações Os métodos iterativos devem ser aplicados na resolução de um sistema de equações lineares A = b, quando este apresentar a matriz A de grande porte e esparsa, isto é, uma matriz com muitos elementos em que a maioria deles são nulos. Nesse caso, quando determinamos a matriz iterativa H, esta contém muitos elementos nulos, o que diminui o esforço computacional. Caso contrário, devemos utilizar os métodos diretos vistos anteriormente..5 Eercícios. Considere o seguinte sistema de equações lineares: -5 = a) Verifique as condições de aplicabilidade do Método de Decomposição LU para o sistema dado. b) Caso possível, resolvê-lo usando o Método de Decomposição LU.. Determinar a inversa da matriz A do eercício ), usando o Método de Decomposição LU. 3. Resolver o seguinte sistema de equações lineares usando o Método de Eliminação de Gauss = Desenvolva o Método de Gauss-Jordan para resolução de sistemas de equações lineares e faça um eemplo. Referência [].

66 5. Considere o sistema de equações lineares: 3 = a) Faça trocas de linhas e, caso possível, resolva o sistema usando o Mé- todo de Decomposição LU. b) Determinar a inversa de A, usando o Método de Gauss-Jordan. c) Faça trocas de linhas e, em caso de convergência garantida, resolva o sistema usando o Método Iterativo de Jacobi com uma solução inicial dada e ε =.. 6. Considere o seguinte sistema de equações lineares: = Caso haja convergência garantida para o Método Iterativo de Jacobi, resolva o sistema dado a partir da solução inicial ( ) =( ) e ε =.. 7. Mostre que n, ε Rn. 8. Considere duas cidades C e C com produções de lio de 8 e 5 toneladas, respectivamente. Numa área apropriada eistem dois aterros A e A com capacidades de processar 7 e 6 toneladas de lio, respectivamente. Deseja-se saber quais as quantidades de lio devem ser enviadas das cidades C e C para os aterros A e A de forma que todo o lio seja transportado. a) Escreva a formulação matemática correspondente do problema dado. b) Resolvê-lo usando o Método de Eliminação de Gauss. c) Interprete os resultados obtidos. d) Resolva o problema dado, com o Software Matlab, usando o Método de Gauss-Jordan. e) Resolva o problema dado, com o Software Numérico, usando o Método de Eliminação de Gauss Referência []. 65

67 9. Faça um mapa conceitual detalhado sobre solução numérica de sistemas de equações lineares, considerando os métodos vistos, introduzindo labels indicando se aprendeu (A), não aprendeu (N), se gostou (G), detestou (D), achou interessante (I), etc. 66

68 Unidade 3 Solução Numérica de Equações

69

70 3. Introdução Nas diversas áreas científicas, frequentemente deparamo-nos com problemas reais envolvendo a resolução de equações, isto é, dada a equação f( )=, desejamos determinar a solução (ou soluções) real, tal que f( )=. Por eemplo, consideremos a equação f( )= sen( )- ln( )+ =, desejamos determinar a solução real, tal que f( )= sen( )- ln( )+ =. Métodos iterativos são desenvolvidos para determinar aproimadamente essa solução real, embora tenhamos métodos iterativos específicos para determinar a solução, quando esta é um número compleo. Métodos iterativos são apresentados para determinar a solução, quando esta é um valor real, e para isso, necessitamos de uma solução aproimada inicial, a partir da qual geramos uma sequência { n }, n =,,... de soluções aproimadas, que sob determinadas condições teóricas converge para a solução desejada. A solução inicial pode ser obtida através de recursos gráficos, no qual localizamos uma vizinhança ou um intervalo [ a,b] em que encontra-se a solução, conforme eibimos na Figura 3.: Figura 3. Raiz de uma função. Observando a Figura 3., vemos que a solução tal que f( )= encontra-se onde a função f( ) corta o eio das abscissas, isto é, um intervalo em que os valores da função possui sinais opostos. Podemos, então, tomar uma solução inicial nas vizinhanças dessa raiz, isto é, no intervalo [ a,b], para inicializar a sequência de soluções aproimadas durante aplicação dos métodos iterativos que serão apresentados posteriormente. 69

71 Para ilustrar a solução numérica de equações, considere o problema de nível de oigênio em um rio, conforme Figura 3. Figura 3. Rio contaminado. Sabendo-se que para calcular o nível de oigênio N (mg/l) em um rio a jusante de uma carga de esgoto, podemos usar a seguinte função: N( )= - ( e - e ) em que é a distância a jusante em quilômetros, conforme Figura 3.3: Figura 3.3 Nível de oigênio de um rio. a) Deseja-se determinar a jusante em que o nível do oigênio cai pela primei- ra vez até uma leitura de 5 mg/l, observando-se quais níveis de oigênio abaio de 5 mg/l são prejudiciais aos peies e ao ecossistema aquático. b) Deseja-se determinar a distância a jusante na qual o oigênio está no valor mínimo. Qual a concentração de oigênio nessa posição? 7

72 Definição 3. Dizemos que é uma raiz, ou um zero, da função f( ) se f( )=. Eemplo 3. Seja f( )= - 5 =. Temos que as raízes da equação = ± , e nesse caso f( ). - 5 = são: 3. Localização das raízes: Método Gráfico Para localizar uma vizinhança para a raiz de f( ), traçamos o gráfico de f( ); assim, os pontos em que este corta o eio das abscissas nos informam a raiz (as raízes) de f( ). Considere o eemplo anterior, conforme gráfico ilustrado na Figura 3.4: f( )= - 5, e temos as raízes = ± 5, Figura 3.4 Raízes de uma função. Observando a Figura 3.4, vemos que o gráfico de f( ) permite identificar onde estão aproimadamente as raízes de f( ). Nesse caso, temos as raízes = ± com f( ). Podemos ainda transformar a equação f( )= na forma equivalente, na igualdade de outras funções f ( )= f ( ). Os pontos de interseção dos gráficos f ( ) e f ( ) serão as raízes procuradas, conforme eemplo a seguir: Eemplo 3. Considere a equação f( )= 4- e =. 7

73 Podemos escrever a equação dada na forma equivalente 4= e, isto é, f( )= f( ), com f ( )= 4 e f ( )= e, conforme gráfico da Figura 3.5: Figura 3.5 Intersecção de gráficos de funções. Observando a Figura 3.5, vemos que a raiz encontra-se na intersecção dos gráficos de f ( ) e f ( ). 3.3 Métodos numéricos para resolução de equações Nesta unidade apresentaremos alguns dos principais métodos para resolver numericamente uma equação Método da Bisseção Considere a função f: R R uma função contínua. Desejamos resolver a equação f( )=, isto é, determinar uma solução real tal que f( )=. O Método da Bisseção é baseado no Teorema do Valor Intermediário, o qual afirma que se uma função é contínua no intervalo [ a,b], e satisfaz a condição f( a) f( b)<, valores de f( a) e f( b) com sinais opostos, então eiste ( a,b) tal que f( )=, isto é, eiste ao menos uma raiz no intervalo [ a,b], conforme ilustrado na Figura

74 Figura 3.6 Intervalo contendo uma raiz da função f(). O Método da Bisseção consiste em localizar inicialmente um intervalo [ a,b], em que se encontra a raiz, e determinar uma sequência de intervalos [ r i, s i], i =,,, em que r = a e s = b, de forma que a amplitude do intervalo numa iteração seja igual à metade da amplitude do intervalo anterior e que sempre contenha a raiz. A sequência de intervalos será calculada até que a amplitude do intervalo seja menor do que uma tolerância ε preestabelecida. As sequências r i,s i e [ r,s] tal que f( r) f( s)<, conforme Figura 3.7: i são construídas a partir de um intervalo inicial Figura 3.7 Intervalo inicial contendo uma raiz da função f(). 73

75 Determina-se o ponto médio do intervalo [ r,s], dado por: =( r + s ) / A partir da solução aproimada obtida, fazemos a seguinte verificação: Se f( )=, então é uma raiz de f( ) Se f( r) f( )<, então r = r e s = Se f( r) f( )>, então r = e s = s Neste momento, temos o novo intervalo [ r,s ], cuja amplitude é igual à metade da amplitude do intervalo [ r,s] e que contém a raiz desejada. O procedimento é repetido novamente, isto é, calcula-se o ponto médio do intervalo [ r,s ] dado por =( r+ s ) /, conforme observado na Figura 3.8. Figura 3.8 Intervalo contendo o ponto médio. A partir da solução aproimada obtida, fazemos a seguinte verificação: Se f( )=, então é uma raiz de f( ) Se f( r) f( )<, então r = r e s = Se f( r) f( )>, então r = e s = s Assim sucessivamente, temos um intervalo genérico [ r i, si], em que calcula-se o ponto médio deste intervalo, dado por i =( ri + s i) /: Se f( i )=, então i é uma raiz de f( ) Se f( ri) f( i)<, então r i + = r e i si+ = i 74 Se f( r) if( i)>, então r i + = e i si+ = si

76 Convergência Podemos observar que no Método da Bisseção determinamos uma raiz da equação, construindo sequências de intervalos r i e s i e uma sequência de soluções aproimadas i, i =,,... Essa sequência de soluções aproimadas é convergente para a solução desejada, uma vez que os intervalos são divididos pelos pontos médios correspondentes e são renomeados de forma que a raiz permaneça dentro do intervalo. Ver mais detalhes na Referência []. Estimativa do número de iterações O número de iterações necessárias para se obter uma raiz da equação f( )=, pelo Método da Bisseção com uma precisão ε >, previamente fiada, decorre do seguinte: Supondo-se que está entre n e s n, temos: ( sn - rn) ( s - r) n - ( n - rn)= = n + s - r Impondo que <ε, para garantir que n n + - <ε temos: s - r log log n < (ε) + ou ainda, log( s - r )- log(ε) n > - log Logo, n é o número mínimo de iterações que devem ser realizadas para obter com uma precisão ε. Algoritmo 3.. Dados ε >, o intervalo inicial [ r,s] que contenha a raiz, isto é, f( r) f( s)<. Faça Pare = Falso, i =. Enquanto Pare = Falso faça:. Determine i =( ri + s ) i/ 75

77 . Se f( i ) ε, então Pare = Verdade Senão Se f( ri) f( i)<, então r i + = r e i si+ = i Senão r i + = e i si+ = si.3 Se i+ - i+ i <ε< ε então Pare = Verdade Senão i = i + Eemplo 3.3 Considere a seguinte função f( )= 4- e. Usando o Método da Bisseção, podemos determinar tal que f( )= com uma precisão ε =., conforme segue: a) Inicialmente determinamos graficamente uma vizinhança para a raiz, con- sideramos a forma equivalente 4= e, ou seja, f ( )= 4 e f ( )= e, conforme ilustrado anteriormente na Figura 3.5. Observando a Figura 3.5, podemos concluir que a raiz, encontra-se na intersecção dos gráficos f ( ) e f ( ), e pertence ao intervalo [,]. b) Considerando o intervalo inicial r = e s =, temos f( ) f( )<, pois f ( )= - ef ( )=.87 e, portanto, temos realmente uma raiz no intervalo [,]. Observe que a função dado. f( )= 4-e é contínua no intervalo c) Construindo a sequência de soluções aproimadas, temos que =( r + s ) / =( + )/ =.5 é uma solução inicial. Como f ( r) f ( ) = (- )(.353) <, temos que o novo intervalo r e s será dado por: r = r = s = = 5. Calculamos a nova solução aproimada, conforme segue: =( r + s ) / =( +.5 )/ =.5 76

78 Novamente, verificamos o critério de parada: - = >ε, e como este não está satisfeito, repetimos o processo para calcular as novas soluções aproimadas, como segue: Como f ( r) f ( )=(- )(-.84)>, temos que o novo intervalo r e s será dado por: r = =.5 s = s =.5 Calculamos o ponto médio do intervalo [ r,s] e temos: =( r + s ) / =( )/ =.375 Verificamos novamente o critério de parada, dado por - =.3333 >ε, e como este não está satisfeito, sucessivamente repetimos o processo de cálculo das novas soluções aproimadas, como eibidas a seguir: 3-3 =.35 =. >ε =.3438 =.9 >ε =.3594 =.434 >ε =.356 =. >ε =.3555 =. >ε =.3574 =.53 < ε 8 Como o critério de parada está satisfeito, temos que a solução aproimada de f( X)=,é dada por =

79 Podemos calcular o número mínimo de iterações usando a epressão: log( s - r )- log(ε) n > - = log Portanto, n > , isto é, devemos eecutar no mínimo 6 iterações para obter a raiz com a precisão ε desejada, o que pode ser comprovado no eemplo dado anteriormente com n = 7 iterações Método de Newton Seja f: R R uma função contínua e diferenciável, desejamos determinar a raiz ou raízes de f( ), ou seja, determinar tal que f( )=. O Método de Newton consiste em, a partir de uma solução inicial aproimada dada inicialmente, determinar uma sequência { } aproimadas para a raiz de f( ) da seguinte forma:, i =,,... de soluções Traçamos a reta tangente ao gráfico da função f( ) no ponto, e no ponto em que essa tangente cortar o eio das abscissas, temos a primeira solução aproimada i + para a raiz. Novamente no ponto i + traçamos a reta tangente ao gráfico de f( ), e no ponto em que essa nova tangente cortar o eio das abscissas, temos a segunda solução aproimada para a raiz, e assim sucessivamente até determinarmos, com uma tolerância prefiada ε, a raiz desejada. Ilustramos graficamente, conforme Figura 3.9: i i 78 Figura 3.9 Método de Newton.

80 Definindo como α, o ângulo formado com o eio das abscissas através da reta tangente ao gráfico da função f( ) no ponto i (Figura 3.9), temos: tg f( ) α = ( i - i + ) ( ) i Do Cálculo Diferencial Integral, sabemos que tg(α) é a derivada da função ' f( ) no ponto, isto é, tg(α)= f ( i ) e, assim, podemos escrever: i f f( ) ' i ( i )= ( i - i ) + segue: Portanto, temos o processo iterativo chamado de Método de Newton, como f( ) i i + = i -, i =,,,... ' f ( i ) Observação O Método de Newton é também conhecido como Método das tangentes, devido a sua interpretação gráfica natural. Convergência do Método de Newton A convergência do Método de Newton pode ser tratada usando o Teorema de convergência do Método das Aproimações Sucessivas, o qual pode ser visto na Referência []. e lim e i Definição 3. Convergência quadrática Dizemos que um método iterativo possui convergência quadrática se i + i = k, em que k é chamada constante assintótica de proporcionalidade, ei = i - e ei+ = i+ - são os erros cometidos nas iterações correspondentes. Teorema 3. O Método de Newton possui convergência quadrática. Prova: Referência []. Para observar as boas propriedades de convergência do Método de Newton, eibimos o seguinte eemplo: 79

81 Eemplo 3.4 O cálculo do número 3, usando o Método de Newton, consiste na resolução da equação - 3 = e, usando uma tolerância fia com ε = -4, temos: i i + i ' i f ( i ) i f( ) ( - 3) = - = - ( ) i A partir de uma solução inicial, geramos a sequência de soluções aproimadas: =.5 solução inicial dada - =.75 =.49 >ε - =.73 =.3 >ε - 3 =.73 =. <ε 3 3 Como o critério de parada está satisfeito, podemos parar e observar que essa sequência converge para = Dessa forma, podemos observar que à medida que os valores de k aproimam da raiz, a convergência torna-se muito rápida, isso devido à propriedade da convergência quadrática do Método de Newton. Algoritmo 3.. Defina as funções f( ),. Escolha uma solução inicial. Faça Pare = Falso e i = ' f 3. Enquanto Pare = Falso faça: f( i ) 3. i + = i - ' f ( ) i ( ) e considere ε > uma tolerância fia Se i+ - i+ Senão i = i + i <ε, então Pare = Verdade

82 Observação O leitor pode incluir nesse algoritmo uma modificação no critério de parada, considerando o valor da função no ponto i, isto é, ε =.. Eemplo 3.5 f( i ) ε. Usando o Método de Newton, resolvemos a equação cos( ) = com A partir do processo iterativo =.7 solução inicial dada f( ) i i + = i -, geramos a sequência: ' f ( i ) - =.7394 =.533 > ε - =.7394 =. > ε Como o critério de parada está satisfeito, tomamos como solução aproimada para f( ) a solução = Observação Podemos, ainda, modificar o Método de Newton, da seguinte forma: O valor calculado da derivada na a iteração, f ' ( )= k, em que k R, é fiado e substituído no processo iterativo de Newton durante as iterações: Assim, temos: f( ) i i+ = i -, i =,,... k o qual é conhecido como Método Modificado de Newton Método das Secantes O Método das Secantes consiste em modificarmos o Método de Newton, f( i ) cujo processo iterativo é dado por i + = i -, aproimando a derivada da ' f ( i ) função f ' ( ) da seguinte forma: i 8

83 f f( )- f( ) ' i i - ( i ) ( i - i - ) Observe que nesse caso, estamos trocando a inclinação da reta tangente pela inclinação da reta secante à curva, conforme pode ser observado Figura 3. a seguir. Substituindo a epressão aproimada da derivada Newton, podemos escrever: ' f ( i ) no Método de f( ) i i+ = i - f ( i )- f ( i - ) ( - ) i i - Simplificando a epressão anterior obtida, temos o Método das Secantes conforme segue: i + i -f( i)- i f( i -) = f( )- f( ) i i - Assim, dados os pontos i - e i, traçamos a reta secante passando por ( i -,f( i-)) e ( i,f( i)); onde esta cortar o eio das abscissas temos a aproimação i + para a raiz, conforme ilustrado na Figura 3.. Figura 3. Método das Secantes. 8 Assim, na Figura 3., considerando o ângulo α formado pela reta secante à curva no eio das abscissas, podemos escrever:

84 f( i) f( i)- f( i- ) tg α = = ( - ) ( - ) i i+ i i- Assim, temos o Método das Secantes dado por: i + i- f( i)- i f( i- ) = f( )- f( ) i i- Algoritmo 3.3. Seja f( ) contínua e ε > uma tolerância fia.. Escolha e duas soluções aproimadas iniciais. Faça Pare = Falso e i = 3. Enquanto Pare = Falso faça: f( )- f( ) i- i i i- 3. i + = f( i)- f( i- ) 3. Se i+ - i+ Senão i = i + i <ε, então Pare = Verdade Convergência Como o Método das Secantes é uma modificação do Método de Newton, as condições de convergência são parecidas, observando-se que não temos mais a propriedade de convergência quadrática. Quando f( k) f( k - ), podemos ter problemas de convergência, isto é, a sequência gerada pelo método pode divergir. Eemplo 3.6 Considere a equação =, ; usando o Método das Secantes com ε =., podemos resolver essa equação conforme segue: Podemos escrever a equação dada na forma equivalente = Chamando f ( )= e f ( )= -4-3, temos uma vizinhança para as raízes, na intersecção dos gráficos de f ( ) e f ( ), conforme Figura 3.: 83

85 Figura 3. Localização de raízes. Usando o processo iterativo do Método das Secantes i -f( i)- i f( i- ) i + = e tomando como soluções iniciais = -.5 e f( i)- f( i- ) = -., obtemos a solução aproimada para a raiz, como segue: f( )- f( ) (-.5 )(- ) - (- )(.5 ) 3 = = = = f ( )- f ( ) (- )-(.5 ) -.5 Calculamos o critério de parada, dado por: - =.5 >ε Como o critério de parada não está satisfeito, determinamos as demais soluções aproimadas, como seguem: 3-3 =-.5 =.666 >ε =-.769 =.5356 >ε =-.59 =.6 >ε = =.63 >ε = -. =.4 < ε 7

86 Como o critério de parada está satisfeito, temos a solução da equação = -.. Observação Podemos também determinar a outra raiz negativa, conforme eibida no gráfico da Figura 3., apenas mudando as soluções iniciais e novamente usando o processo iterativo do Método das Secantes, até o critério de parada ser satisfeito. 3.4 Eercícios. Usando os métodos da Bisseção, de Newton e das Secantes, resolva a equação 3 cos( )- e-.4 = e ε =.. Localize graficamente uma vizinhança para as raízes.. Seja a função f( )= e Determine o valor de em que a função f ( ) =, usando o Método de Newton com ε=.. 3. Determine tal que f( )=, em que f ( )= 3 - cos( )+, usando: a) Método da Bisseção com ε=. b) Método de Newton com ε=. c) Método das Secantes com ε=.. 4. Determine um ponto da função f ( )= , em que a primeira derivada de f() se anula, usando o Método de Newton com ε =.. O ponto encontrado é um ponto de mínimo da função dada? Justifique teoricamente suas afirmações. 5. Considere a função f ( )= 3 + sen( )-. Localize graficamente uma vizinhança para as raízes de f(). a) Determine a raiz negativa de f() usando o Método de Newton com ε =.. b) Determine a raiz positiva usando o Método das Secantes, com ε= Determine as raízes da função f ( )= , usando um dos métodos vistos com ε =.. usando: 7.Considere a função f ( )= - sen( )-.5. Determine tal que f( )=, a) Método das Secantes com ε =.. 85

87 b) Método de Bisseção com ε =.. c) Determine uma raiz para f() dada, com o Software Numérico, usando o Método de Newton e ε =. Referência []. 8. A concentração de bactérias poluentes C em um lago diminui de acordo com a seguinte função: C( t )= 75e + e -.5 t -.75 t Deseja-se determinar o tempo necessário para que a concentração de bactérias seja reduzida ao valor de 5. a) Resolva o problema usando o método gráfico. b) Resolva o problema usando o Método de Newton com aproimação inicial t = 6 e ε =.. 9. Usando o Software Matlab, plote o gráfico e determine uma raiz das funções abaio: a) f ( ) = / [( -.3 ) +. ]+ [ / ( -.9 ) +.4]-6 b) f( ) = e - cos( ) - c) f ( ) = 3 + ln( ) -5 d) f ( ) = Faça um mapa conceitual detalhado sobre solução numérica de equações, considerando os métodos vistos, introduzindo labels indicando se aprendeu (A), não aprendeu (N), se gostou (G), detestou (D ), achou interessante (I), etc. 86

88 Unidade 4 Interpolação e Aproimação de funções

89

90 4. Introdução Apresentamos nesta unidade a aproimação de uma função de uma variável real por outras funções mais simples, de modo que operações em geral sejam realizadas com mais facilidade. Essa situação ocorre quando temos uma função f( ) e esta apresenta um grau de dificuldade, por eemplo, para avaliar em pontos, derivar ou ainda integrar, ou mesmo quando conhecemos essa função em um número finito de pontos de um intervalo [ a, b], geralmente obtida em eperimentos, sem o conhecimento de sua forma analítica. Dessa forma, essa função será aproimada por funções polinomiais, eponenciais, trigonométricas, etc., que representarão a função original, e para obter qualquer informação sobre a função original, utilizamos a sua forma aproimada. Eibimos nesta unidade apenas a aproimação de uma função f( ), utilizando funções polinomiais, pela simplicidade no tratamento, continuidade e diferenciabilidade dessas funções, embora possamos estudar outros tipos de aproimações, como as indicadas nas Referências. Posteriormente, apresentaremos o Método dos Mínimos Quadrados para aproimação de uma função definida em um número finito de pontos, e nesse caso, consideramos a minimização da soma dos quadrados dos erros nos pontos. Como ilustração, apresentamos o problema da temperatura em um lago, conforme Figura 4.. Figura 4. Lago. A temperatura T( o C) em um lago numa determinada região e época do ano é dada em função da profundidade P(m), conforme dados a seguir: 89

91 T( o C) P(m) Deseja-se saber qual a profundidade do lago nas temperaturas 7.3 o C e 3.4 o C, que não foram medidas. Como tais valores não se encontram na tabela, para resolver esse problema, necessitamos do conhecimento de interpolação, como segue: 4. Interpolação Polinomial Considere uma função f( ) definida em,,...,, n+ pontos distintos n de um intervalo [ a, b], e denotamos yi = f( i), i =,,..., n conforme representação na Figura 4.: Figura 4. Valores da função f() nos pontos de interpolação. Desejamos aproimar a função f( ) definida em,,..., n, n+ pontos distintos de um intervalo [ a, b], por um polinômio P( ) de grau menor ou igual n, tal que este coincida com a função nesses pontos, isto é, P( i)= f( i)= yi, i =,,..., n. O Teorema seguinte garante a eistência e a unicidade do polinômio que desejamos determinar. Teorema 4. Eistência e Unicidade Considere uma função f( ) definida em,,..., n, n+ pontos distintos de um intervalo [ a, b], então eiste um único polinômio P( ) de grau menor ou igual a n, tal que P( i)= f( i)= yi, i =,..., n. 9

92 Prova: Seja um polinômio de grau n, que P( i)= f( i)= yi, i =,,..., n. n n- n n- P( )= a + a a + a, tal Dessa forma, para que o polinômio coincida com a função nos n+ pontos, temos: a + a + + a + a = y a + a + + a + a = y a + a + + a + a = y n n- n n- n n- n n- n n- n n n- n n n Podemos observar que obtemos um sistema de equações lineares A = b, n n- t em que =( a, a,..., a ), b =( y, y,..., y ) e a matriz A dada por: n t n n- n n- A = n n- n n n O det( A), chamado de determinante de Vandermonde, é dado por det( A)= ( - )=( - )( - )... ( - ) i< j i j 3 n- n Como os pontos i, i =,,..., n são distintos, podemos mostrar que det( A), o que significa que o sistema linear possui uma única solução e, portanto, os coeficientes a, a,..., a n do polinômio são únicos, dados pela resolução desse sistema. Assim, o polinômio P( ) eiste e é único. Definição 4. Polinômio interpolador Denominamos polinômio interpolador de uma função f( ) definida em,,..., n, n+ pontos distintos de um intervalo [ a, b], o polinômio P( ) de grau menor ou igual a n, tal que coincide com a função nos pontos i, i =,..., n isto é, P( i)= f( i)= yi, i =,..., n. Representamos graficamente, conforme Figura 4.3: 9

93 Figura 4.3 Interpolação. Embora o polinômio interpolador P( ) coincida com a função nos pontos de interpolação,,..., n, espera-se que P( ) f( ) para i, i =,..., n, ou seja, estimamos f( ) pelo polinômio interpolador e cometemos um erro nessa aproimação, dado por: E( )= f( )- P( ) Podemos representar, graficamente conforme Figura 4.4: Figura 4.4 Erro de interpolação. 9 Apresentamos a seguir uma epressão geral para o erro cometido quando aproimamos uma função f( ) por um polinômio interpolador P( ).

94 Teorema 4. Seja f( ) uma função definida em,,..., n, n+ pontos distintos de um intervalo [ a, b] e n+ vezes diferenciável. Se P( ) interpola f( ) nesses pontos, então o erro cometido em um ponto é dado por: ψ( ) ( n+ ) E( )= f( )- P( )= f (ξ) ( n+ )! em que n i e ξ [, n]. i= ψ( ) = ( - ) Prova: Referência []. 4.3 Limitante superior para o erro Na epressão do erro do Teorema 4., o parâmetro ξ não é conhecido no in- n tervalo [,n] e, portanto, não é possível calcular o valor numérico de f ( + ) (ξ). Dessa forma, apresentamos uma estimativa para o erro como segue: ψ( ) ( n+ ) E( )= f( )- P( )= f (ξ) ( n+ )! Podemos escrever: ψ( ) ( n+ ) ψ( ) ( n+ ) ψ( ) E( ) = f (ξ) = f (ξ) M ( n+! ) ( n+! ) ( n+! ) com M = má { f ( n + )( ), [, ]}. n Assim, temos um limitante superior para o erro: ψ( ) E( ) M. ( n + )! 93

95 Observações Podemos calcular uma estimativa para o erro somente quando tivermos a epressão analítica da função f( ), pois de acordo com a fórmula do limitante superior para o erro, temos que dispor da ( n+ )-ésima derivada dessa função. Nos casos em que tivermos apenas a função tabelada em um número finito de pontos, sabemos que estamos cometendo um erro no ponto a ser avaliado, mas não é possível estimá-lo. Embora a resolução do sistema linear obtido na prova do Teorema 4. forneça uma maneira para determinar o polinômio interpolador de uma função, apresentamos, também nesta unidade, a Fórmula Interpolatória de Newton-Gregory. Nas Referências podemos ver alguns estudos sobre outras fórmulas interpolatórias, como a Fórmula de Lagrange e a Fórmula de Newton, as quais são fórmulas diferentes, mas que levam no mesmo polinômio interpolador, pois como foi demonstrado, este é único. Para o desenvolvimento do polinômio interpolador de Newton-Gregory, apresentamos o conceito de diferenças finitas, como segue: 4.4 Diferenças finitas Considere uma função f( ) contínua no intervalo [ a, b]. Sejam,,..., n, n+ pontos distintos deste intervalo [ a, b], tais que i+ - i = h, i =,,... n -, isto é, os pontos são equidistantes. Definição 4. Diferença finita de ordem zero A diferença finita de ordem zero de uma função f( ) definida nos pontos [ a, b] é dada por: f( )= f( ) Definição 4.3 Diferença finita de ordem n A diferença dividida de ordem n de uma função f( ) definida nos pontos [ a, b] é dada por: n n- n- f( ) = f( + h)- f( ) 94 Nessa definição, para r = temos o operador diferença finita progressivo dado por:

96 f( )= f( + h)- f( ) Assim, desenvolvendo-se os operadores podemos escrever: ( )= ( ) f f ( )= ( + )- ( ) f f h f ( )= ( + )- ( + )+ ( ) f f h f h f 3 ( )= ( + )- ( + )+ ( + )- ( ) f f 3h 3f h 3f h f n n n f f nh f n h f n n ( )= ( + )- ( +( - ) )+ +(- ) n ( ) Eemplo 4. Considere uma função tabelada nos pontos, como segue: i...3 f( i ) 6 5 Cálculo das diferenças finitas de ordem zero: f( )= f( )= 6 f( )= f( )= f( )= f( )= 5 Cálculo das diferenças finitas de ordem : f( )= f( )- f( )=( - 6)= 6 f( )= f( )- f( )=( 5 - )= 3 95

97 Cálculo das diferenças finitas de ordem : f( )= f( )- f( )=( 3-6)=-3 a seguir: Podemos organizar o cálculo das diferenças finitas, conforme a Tabela 4. Tabela 4. Diferenças finitas. f f f 3 f f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) 3 f( ) f( ) f( ) f( ) 3 f( 3 ) Os valores das diferenças finitas estão dispostos na tabela da seguinte forma: f f f ( )= ( )- ( ) f f f ( )= ( )- ( ) 3 f f f ( )= ( )- ( ) Eemplo 4. Considere uma função f( ) tabelada nos pontos, como segue: i f( i ) Conforme Tabela 4., construímos as diferenças finitas: 96 f f f 3 f

98 4.5 Fórmulas Interpolatórias 4.5. Fórmula Interpolatória de Newton-Gregory Considere uma função f( ) definida em um intervalo [ a, b] e,,,..., n, n+ pontos distintos e equidistantes deste intervalo. A Fórmula interpoladora de Newton-Gregory é dada pelo seguinte Teorema 4.3: Teorema 4.3 Seja uma função f( ) definida em,,..., n, n+ pontos distintos e equidistantes de um intervalo [ a, b]. O polinômio f f ( ) ( ) P( )= f( )+( - ) +( - )( - ) !h!h n f n- n ( ) +( - )( - )...( - ) n! h interpola a função f( ) dada nestes pontos, isto é, P( i)= f ( i), i =,,... Prova: Referência []. Como desenvolvido anteriormente, uma estimativa para o erro é dada pelo limitante superior: ψ( ) E( ) má f ( ),, ( n+ )! ( n+ ) [ ] n Eemplo 4.3 Considere a função f ( )= ln( ) tabelada nos pontos, como segue: i 3 4 f( i ) Podemos determinar o polinômio interpolador Newton-Gregory, avaliar f( 3.) e calcular um limitante superior para o erro, como segue: grau : Usamos os três pontos tabelados para obter um polinômio interpolador de f f ( ) ( ) P( )= f( )+( - ) +( - )( - )!h!h 97

99 Conforme Tabela 4., construímos as diferenças finitas: f f f Assim, temos o polinômio interpolador de Newton-Gregory: P( )=.693 +( - ) +( - )( - 3) = Portanto, f ( 3.) P( 3.)=.656 Limitante Superior para o erro: ψ( ) ( ) ( ) [ ] ( n+ )! E má f ( n+ ),n Como a função f ( )= ln( ), temos que as suas derivadas: f( ) ( )=,, f( ) ( )=-, e f( 3) ( )=. 3 3 Podemos observar que a função f ( ) ( )= 3 é decrescente em módulo no intervalo [,4], portanto, má f 3 ( ) =.5, em =. em =. Assim, ( 3. - )( )( ) E( 3.) (.5)=.8. 3! 4.5. Polinômio Interpolador de Newton-Gregory com mudança de variável 98 Podemos, ainda, escrever o polinômio interpolador de Newton-Gregory, considerando a seguinte mudança de variável:

100 ( - ) u= ou = + uh h Como os pontos são equidistantes, r = + rh segue que: ( - r )=( u - r) h Note que nessa nova variável u os pontos de interpolação,,..., n correspondem aos pontos u =,,,..., n. Dessa forma, podemos escrever o polinômio de Newton-Gregory na variável u: f ( ) f ( ) Pu ( ) = f ( ) + ( u - ) + ( u -)( u - ) +!! nf ( ) + ( u -)( u -) ( u -( n-)) n! O limitante superior para o erro é dado por: ( u - )( u - ) ( u - n) ( n+ )! E( u) hn+ M em que M = má f ( n+ ) ( ), [ a,b]. Eemplo 4.4 Considere a função f( ) da tabela nos pontos, conforme segue: i...3 f( i ) 8 Podemos determinar o polinômio interpolador de Newton-Gregory na variável u e avaliar f(.) como segue: O ponto =. corresponde na variável u: ( - ) (. -.) h. u = = =. 99

101 f ( ) f ( ) Pu ( ) = f ( ) + ( u - ) + ( u -)( u -)!! Conforme Tabela 4., construímos a tabela de diferenças finitas: f f f Assim temos: -4 P( u)= + u( 6)+ u( u - ) = - u + 8u + Portanto, f (.) Pu (.)= Aproimação de funções: Método dos Mínimos Quadrados O Método dos Mínimos Quadrados consiste em, dados os valores de uma função f( ) nos pontos i, i =,..., m, determinar uma função g( ) que melhor se aproime dessa função conhecida. Para essa aproimação, usaremos funções polinomiais, eponenciais, logarítmicas, trigonométricas, etc. Assim, conhecidos os valores de f( ) nos pontos i, i =,..., m, desejamos determinar g( ), tal que g( i) f( i), i =,..., m. Como ilustração, apresentamos o problema de previsão de escoamento de água, como segue, conforme Figura 4.5:

102 Figura 4.5 Escoamento de água. A estimativa dos tamanhos dos reservatórios depende de estimativas acuradas do escoamento da água no rio que está sendo confinado. Para alguns rios, registros históricos de longa duração de tais dados de escoamento são difíceis de obter. Entretanto, os dados meteorológicos sobre precipitação geralmente estão disponíveis mesmo após muitos anos. Portanto, é útil determinar a relação eistente entre o escoamento e a precipitação. Essa relação pode ser usada para fazer uma estimativa do escoamento nos anos em que apenas as medidas de precipitação foram feitas. Os dados disponíveis para um rio que deve ser estancado estão dispostos na seguinte tabela: Precipitação (cm) Escoamento (m 3 /s) Deseja-se determinar uma previsão do escoamento anual de água se a precipitação for de cm. Caso discreto Consideremos o caso em que a função f( ) é definida em um conjunto discreto, isto é, a função é conhecida em m pontos, geralmente obtidos em eperimentos, conforme a tabela: i f( i )... m f( ) f( )... f( m )

103 Graficamente, temos a disposição dos pontos obtidos no eperimento, conforme Figura 4.6: Figura 4.6 Dados de um eperimento. Observando a disposição dos pontos ( i, f( i)), i =,..., m na Figura 4.6, vemos que g( ) possui o comportamento de uma reta, isto é, um polinômio de grau : g( )= ag ( )+ ag( )= a + a Com g ( )= e g ( )=. Assim, escolhemos uma família de funções as quais dependem dos parâmetros a e a. O problema agora consiste em determinar os parâmetros a e a de modo que a função g( ) melhor se ajuste aos dados da tabela. Para falar em melhor ajuste, temos que ter um critério para a escolha dos parâmetros a e a, isto é, temos que ter uma medida para o erro cometido nessa aproimação. Definição 4.4 Erro ou desvio Definimos e( i)= f( i)- g( i) como o erro ou desvio, cometido numa aproimação de uma função f( ) por uma função g( ), nos pontos i, i =,..., m. Dessa forma, desejamos determinar uma função g( ) de modo que nos pontos i, i =,..., m os desvios sejam pequenos. Nesse caso é tentador desejar que a soma dos erros sejam mínimos, isto é, que e( i ) seja mínima. Entretanto, m i =

104 esse fato não traduz que g( ) seja uma boa aproimação para a função f( ), pois podemos ter m i = e ( )=, sem que os erros sejam pequenos. i Poderíamos, também, considerar m e( i ) mínima, porém esse critério i= acarreta dificuldades de resolução, pois a função valor absoluto não é diferenciável na origem. Uma maneira para contornar esses problemas consiste em considerar uma medida para o erro da seguinte forma: m m ( i) = ( ( i)- ( i)) i= i= Minimizar e Minimizar f g Assim, considerando o eemplo da Figura 4.6, desejamos encontrar uma função g( )= a + a que melhor se aproime da função f( ), de forma que m e i seja mínimo. Do Cálculo Diferencial de funções de várias i= E( a,a ) = ( ( )) variáveis, se a função E( a,a ) possui um ponto de mínimo, então suas derivadas parciais devem ser nulas nesse ponto, isto é: E E = e = a a Derivando Ea,a ( ) com relação à variável a, temos: m m = ( e ( )) i = ( a + i a - f( )) i i= i= E a a a m = a ( + a - f( )) i= i i i m m m = a + a i f i - ( ) i i = i= i= i= Assim, temos: i) m m m i a + i a = i f( i) i= i= i= 3

105 Derivando E( a,a ) com relação à variável a, temos: m m = ( e ( )) i = ( a + i a - f( )) i i= i= E a a a m = a ( + a - f( )) i= i i m m = a + ma ( )- f i ( ) i = i= i= Assim, temos; ii) m m a + ma = f( ) i i i = i = Portanto, os parâmetros a e a que minimizam o erro E( a,a ) necessariamente satisfazem o seguinte sistema de equações lineares: m m m i a + i a = i f( i) i = i = i= m m i a + ma = f ( i) i = i = O sistema de equações obtido é chamado sistema de equações normais, o qual pode ser resolvido por qualquer método numérico visto anteriormente. Eemplo 4.5 Considere a seguinte função f( ) da tabela como segue: i f( i ) Plote os pontos dados e verifique se os mesmos possuem um comportamento linear, isto é, de uma reta (verifique isso!). 4 Usando o método dos Mínimos Quadrados, determinamos dentre todas as retas g( )= a + a aquela que melhor se ajusta aos dados.

106 5 5 5 i i a f( i) i i= i= i= = 5 5 i 5 a f( i) i= i= Temos a seguinte tabela de dados: i f( i ) f( ) i i i Assim, temos o seguinte sistema de equações lineares: a = a 9.34 Usando o Método de Eliminação de Gauss, na forma pivotada, temos: Assim, a =.7 a =.9778 Portanto, a função linear que melhor se aproima dos dados da tabela é dada por g( )= Cálculo do erro: ( ) =( ( )- ( )) = e f g. ( ) =( ( )- ( )) = e f g. ( ) =( ( )- ( )) = e f g. 3 ( ) =( ( )- ( )) = e f 3 g 3. 4 ( ) =( ( )- ( )) = e f 4 g

107 Portanto, 5 e( i ) =. e qualquer outra reta possui a soma dos qua- i= drados dos erros superior a esse valor obtido. Podemos ter dados eperimentais em que seja necessário aproimar a função f( ) por um polinômio de grau, isto é, uma parábola: g( )= a g ( )+ a g ( )+ a g ( )= a + a + a com 3 g ( )=,g ( )= e g ( )=. Generalizando esse procedimento, escrevemos g( ) como uma combinação linear de funções como segue: g( )= ag ( )+ ag( ) angn( ) com as funções gi ( ) escolhidas. Procedendo de maneira análoga ao caso do ajuste linear, a reta, podemos determinar os parâmetros a i, i =,..., n de forma que o erro Assim, temos: m i = e( ) i seja mínimo. = ( ) ( ) + ( ) ( )) + m m E g i g i a g i g i a a i= i= m m + g ( n ) i g ( ) i a = n f( ) i g ( ) i i= i= = ( ) ( ) + ( ) ( ) + m m E g i g i a g i g i a a i= i= m m + g ( ) g ( ) a = f( ) g i= n i i n i i= ( ) i 6 = ( ) ( ) + ( ) ( ) + m m E g i g n i a g i g n i a an i= i= m m + g ( n ) i g ( n ) i a = n f( ) i g ( n ) i i= i=

108 Portanto, para determinar os parâmetros a i, i =..., n temos que resolver o seguinte sistema de equações lineares: m m g( i) g( i) a+ g( i) g( i) a + i= i= m m + gn( i) g( i) a f g n = ( i) ( i) i= i= m m g( i) g( i) a + g( i) g( i) a + i= i= m m + g g a f g n( i) ( i) n = ( i) ( i) i= i= m m g g ( i) n( i) a + g( i) gn( i) a + i= i= m m + g g a f g n( i) n( i) n = ( i) n( i) i= i= O sistema de equações lineares obtido é denominado sistema de equações normais, o qual pode ser resolvido por qualquer método visto anteriormente. Resolvido esse sistema, determinamos os parâmetros a i, i =,..., n e, consequentemente, a função: g( )= ag ( ) angn( ) que melhor se ajusta à função f( ) nos pontos,..., m no sentido dos mínimos quadrados. Eemplo 4.6 Considere uma função f( ) definida conforme tabela: i f( i ) Dispondo os pontos num gráfico podemos ver que g( ) pode ser ajustada por uma parábola. Verifique esta afirmação! 3 g3 3 Assim, tomamos g( )= a + a + a, isto é, g ( )=, g ( )=, ( )= e determinamos os parâmetros a,a e a de modo que g( ) se ajuste aos dados da tabela no senso dos mínimos quadrados. 7

109 Temos o sistema de equações normais: i i i f( ) i i i= i= i= i= a a f i i = ( ) i i i= i= i= i= a f i ( ) i i i= i= i= Temos a seguinte tabela de dados: i i 3 i 4 i f( i ) i f( i) i f( ) i Assim, podemos escrever o sistema de equações normais, como segue: a a = a 9. 3 Usando o Método de Eliminação de Gauss, na forma pivotada, temos: Assim: a = a =.55 a3 = Portanto, g( )=

110 Cálculo do erro: e( ) =( f ( ) - g( )) =.8 e( ) =( f ( ) - g( )) =.86 e( ) =( f ( ) - g( )) = e( ) =( f ( ) - g( )) = e( ) =( f ( ) - g( )) = e( ) =( f ( ) - g( )) = Portanto, 6 e( i ) =.8 e qualquer outra parábola ajustada possuem i = a soma dos quadrados dos erros superiores a esse valor obtido. 4.7 Eercícios. Seja uma função f() definida conforme a tabela abaio: 3 f() Determine o polinômio interpolador de f(), avalie f(.3) usando a Fórmula Interpolatória de Newton-Gregory.. Seja uma função f() definida conforme a tabela abaio: f() Determine o polinômio interpolador de f() nos pontos dados, usando a Fórmula Interpolatória de Newton-Gregory na variável u. Avalie f(.35). 3. Estude o polinômio interpolador de Lagrange e o limitante superior para o erro Referência []. 4. Seja a função f ( )= e + cos( )+ tabelada como segue:.5. f() Usando o polinômio interpolador de Lagrange, avalie f(,6) e um limitante superior para o erro. 9

111 5. O calor específico da água em função da temperatura em o C é dado por: t c Com o Software Numérico Referência [], usando o polinômio interpolador de Newton-Gregory, calcule aproimadamente o calor específico para t = 37.5 oc. 6. A partir dos seus conhecimentos de aproimação de funções, resolva o problema da temperatura em relação à profundidade de um lago, proposto no início deste capítulo, usando um polinômio interpolador de grau. Analise os resultados obtidos. 7. Usando o Método dos Mínimos Quadrados, determine g( )= a + a que melhor se ajusta aos dados da tabela abaio: f() Calcule 7 e ( i ) e analise os resultados obtidos. i = 8. Com o Software Numérico Referência [], e usando o Método dos Mínimos Quadrados, determine uma função g() que melhor se ajusta aos dados da tabela abaio: X f() Calcule 7 e ( i ) e analise os resultados obtidos. i= capítulo: 9. Considere o problema de previsão de escoamento de água, eibido neste a) Faça um gráfico dos dados da tabela. b) Usando o Método dos Mínimos Quadrados, determine a melhor reta que melhor se ajusta aos dados da tabela e faça uma previsão do escoamento anual de água se a precipitação for de cm..usando o Software Matlab, resolva os eercícios 7) e 8).

112 .Faça um Mapa Conceitual detalhado sobre os tópicos de interpolação, introduzindo labels indicando se aprendeu (A), não aprendeu (N), se gostou (G), detestou (D), achou interessante (I), etc.. Faça um Mapa Conceitual detalhado sobre os tópicos de ajuste de curvas MMQ, introduzindo labels indicando se aprendeu (A), não aprendeu (N), se gostou (G), detestou (D), achou interessante (I), etc.

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114 Unidade 5 Integração Numérica

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116 5. Introdução Nesta unidade, apresentamos alguns métodos numéricos para calcular aproimadamente o valor da integral de uma função com uma variável real definida num intervalo fechado [ a, b]. De maneira geral, temos: b Ι = f( ) d a [ a, b]. Em que a função f( ) é contínua com derivadas contínuas no intervalo Sabemos que o valor da integral Ι é dado pelo Teorema Fundamental do Cálculo para integrais como: b Ι = f( ) d= Fb ( )- Fa ( ) a em que F( ), chamada de função primitiva de f( ) é tal que Graficamente, podemos representar b a ' F ( ) = f( ). Ι = f( ) d como a área A, formada entre a curva e o eio das abscissas quando f() assume valores positivos em [a, b], conforme a Figura 5. a seguir: Figura 5. Área sob o gráfico da função f(). Eemplo 5. 5 Para calcular d, como 6 F( )= satisfaz 6 ' 5 F ( )=, então: 5

117 6 6 5 ( ) ( ) d = F ()- F ( )= - = /6 6 6 Muitas vezes, o cálculo da função primitiva torna-se algo trabalhoso, em alguns casos conhecemos apenas os valores da função tabelados em um número finito de pontos e não podemos calcular a integral dessa função usando apenas os conhecimentos do Cálculo Diferencial Integral, como citamos anteriormente. Métodos numéricos são desenvolvidos para calcular aproimadamente o b valor da integral Ι = f( ) d, em que é necessário apenas o conhecimento da a função f( ) em um número finito de pontos. Esse processo é conhecido como Fórmulas de Quadratura de Newton-Cotes. Para ilustrar o tópico de integração numérica, consideremos o problema de estimar medidas das margens até um rio conforme Figura 5.: Figura 5. Margens de um rio. A partir de uma linha reta próima às margens de um rio, foram feitas medidas em (m) entre essa linha reta e as margens do rio, de 5 em 5 metros, a partir do ponto tomado como origem. Tais dados foram registrados conforme a tabela abaio M 4 M Deseja-se determinar o valor aproimado da área coberta pelo rio. 6

118 5. Integração numérica usando interpolação Este método consiste em aproimar uma função f( ) definida em,,..., n, n+ pontos distintos do intervalo [ a, b], pelo polinômio interpolador Pn ( ), e integrar o polinômio Pn ( ) ao invés da função f( ). Assim, temos: n f( ) d P( ) d n n Podemos representar graficamente, conforme Figura 5.3: Figura 5.3 Integração numérica. 5.3 Fórmulas de Quadratura de Newton-Cotes Considere uma função definida em,,..., n, n+ pontos distintos e equidistantes do intervalo [ a,b], isto é, i + - i = h, i =,..., n -, com h> a distância entre os pontos. para f( ): Nesse caso, podemos considerar o polinômio interpolador de Newton-Gregory Df( ) Df( ) P ( )= D f( )+( - ) +( - )( - ) + n!h!h nf( ) n- n + +( - ) ( - ) n!h 7

119 Dessa forma, temos: n n f( d ) P( d ) n Como f( ) = Pn( )+ En( ) em que o erro é dado por: ( n+ ) f (ξ) E ( )=( - ) ( - ), ξ ( n+ )! n n n Temos n n n f( ) d= P( ) d+ E ( ) d n n Como os pontos são distintos e equidistantes, podemos considerar o polinômio de Newton-Gregory na variável u, em que: u=( - )/h Assim, u( u - ) P n( u)= f( )+ u f( )+ f( )+! u( u- ) ( u -(n- )) n! f ) + n ( e o erro na interpolação na variável u é dado por: u( u - ) ( u - n) E u h f, ( n+ )! ( n+ ) n n( )= + (ξ) ξ n Dessa forma, o erro na integração pode ser escrito como: n n E E d h E u du h uu ( - ) ( u - n ) n = n( ) = n( ) = h ( n + )! n n+ n+ ( ) f( ) du 8

120 Erro cometido na Integração Numérica Podemos aproimar n f( ) d por n P ( ) d n e nessa aproimação come- temos um erro epresso pelo seguinte teorema: Teorema 5. a) Se f( ) possui n + derivadas contínuas no intervalo [,n], e os pontos = + ih, i =,,..., n, subdividem o intervalo de integração num i número ímpar de intervalos, então eiste um ponto ξ, tal que: ( n+ ) n+ n h f(ξ) E = ( u)( u - )... ( u - n) du, com ξ ( n+ )! n n b) Se f( ) possui n+ derivadas contínuas no intervalo [,n], e os pontos = + ih, i =,,..., n subdividem o intervalo de integração num i número par de intervalos, então eiste um ponto ξ, tal que: ( n+ ) n hn+ 3 f(ξ) n En = u - ( u)( u - ) ( u - n) du, ( n+ )! com ξ n. Prova: Referência [] Regra dos Trapézios Considere uma função f( ) definida em dois pontos e no intervalo [ a, b]. O polinômio interpolador da função f( ) de grau n = é dado por: f ( )= ( )+( - ) P f ( )!h e f( ) d P( ) d= h P( u) du ( - ) em que u =. h 9

121 Representamos graficamente, conforme Figura 5.4: Figura 5.4 Regra dos Trapézios. Assim, f( ) d h ( f( )+ u f( )) du = h f ( ) du + h u f ( ) du Como f( ) = f( ) e f( )= f( )- f( ), temos: f ( ) d h f ( ) du + h u f ( ) du u = hf ( ) u + hf (( ) f( )) h = hf( )+ (( f )-( f )) h = ( f ( ) + f ( ))

122 Portanto, temos: h f( ) d [ f( ) + f( )] denominada Regra dos Trapézios. Observação O cálculo da integral f( X) d corresponde à área do trapézio formada entre o polinômio interpolador P ( ) e o eio das abscissas, conforme a Figura 5.4, justificando, assim, a denominação Regra dos Trapézios. Erro na Regra dos Trapézios Nesse caso, como o intervalo de integração n = é ímpar, e usamos a parte (a) do Teorema 5., temos: h3f ( ) (ξ) E = ( u)( u - ) du, ξ! Como uu ( - du ) = -, temos que o erro é dado por: 6 E 3 h ( ) =- f (ξ) Limitante superior para o erro Podemos observar que o argumento ξ, na fórmula do erro, não é uma grandeza numérica conhecida no intervalo [,] e, portanto, não é possível calcular o erro cometido na Regra dos Trapézios. Dessa forma, podemos calcular uma estimativa para o erro, que será o limitante superior para o erro: h3 h3 E = - f( )(ξ) = - f ( )(ξ), ξ [, ]. Como f ( )(ξ) má{ f ( )( ), [, ]}, temos que: h3 E má f ( ), ( ) { }

123 Eemplo 5. Podemos calcular ( sen( )+ ) d usando a Regra dos Trapézios e um limitante superior para o erro da seguinte forma: Tabelando a função f( ) nos pontos =. e =, temos: f( i ) Usando a Regra dos Trapézios, temos: h ( sen( )+ ) d [ f ( )+ f ( )]= [ ]=.3754 Limitante superior para o erro: h3 E má f ( ), ( ) { } ( ) Como a função f ( )= - sen( ), então f ( ) π má f ( ) ( ) = {, }= pois a função ( f ) π ( ) = sen( ), assume o valor máimo em =. Dessa forma, temos: ( ) 3 E ( )= Regra dos Trapézios Generalizada A Regra dos Trapézios Generalizada consiste em dividirmos o intervalo de integração [ a, b] em n subintervalos iguais, de amplitude h, de forma que = a e n = b e, aplicarmos a Regra dos Trapézios em cada um deles, isto é, em cada dois pontos consecutivos.

124 Graficamente, temos: Figura 5.5 Regra dos Trapézios Generalizada. n h h f( ) d [ f( ) + f( )] + [ f( ) + f( )] + h + [ f ( n- ) + f ( n )] = h = [ f ( )+ f ( )+ f ( )+ + f ( )+ n- f ( )] n Erro total na Regra dos Trapézios Generalizada O erro total na fórmula generalizada é obtido a partir da soma dos erros cometidos em cada subintervalo, isto é: Como vimos em cada aplicação da Regra dos Trapézios, temos a seguinte epressão para o erro: h 3 E = - f (ξ), ξ Assim, o erro total cometido é dado por: n 3 ( ) h E = - f (ξ ), ξ [, ] t i i i- i i= Como i- ξ i i, i =,..., n e ( f ) ( ) é uma função contínua por hipótese, então eiste ξ [, n], tal que 3

125 n i= f (ξ ) = nf (ξ), ξ ( ) i ( ) n torna-se: Assim, a epressão para o erro na Regra dos Trapézios Generalizada 3 ( ) h ET = - nf (ξ), ξ [,n] Como o número de subintervalos n é dado por n=( n - ) /h, temos: ( ) h Et = - ( n - ) f (ξ), ξ [,n] Limitante superior para o erro Como o argumento ξ não é conhecido, não podemos determinar o erro eatamente, mas podemos calcular um limitante superior para o erro. h E ( - ) má f ( ), ( ) { } t n n Eemplo 5.3 Usando a Regra dos Trapézios Generalizada, podemos calcular o valor ( ln ( + )) d com 5 subintervalos e um limitante su- aproimado da integral perior para o erro. Solução: - ( - ) = = = h h n n 5 h. Dessa forma, podemos tabelar a função f( ) como segue: i f( i )

126 Assim, temos: h ( ln ( + )) d [ f( )+ ( f( )+ f( )+ f( 3)+ f( 4))+ f( 5)]=. = (.5397 )=.538 Limitante Superior para o erro: h E ( - ) má f ( ), ( ) { } t n n Como a função f ( ) ( + ) = é uma função decrescente em módulo em ( + ) ( 3 [ ] (verifique isso, observando que a função f ) ( )< no intervalo de integração), então má f ( ) ( ) = em =. Assim, h. t n ( ) { } E ( - ) má f ( ), = ( - )( ) = Regra /3 de Simpson Considere uma função f( ) definida em três pontos distintos, e e equidistantes no intervalo [ a, b] e o polinômio interpolador da função f( ), de grau n =, com Assim, = a e = b. f f ( )= ( )+( - ) +( - )( - ) ( ) ( ) P f! h! h e f ( ) d P ( ) d = h P ( u) du ( - ) em que u =. h 5

127 Graficamente, temos: Figura 5.6 Regra /3 de Simpson. Assim, uu ( - ) f d h f ( ) ( ( )+ u f( )+ f( ) du =! = h f ( ) du + h u f ( ) du uu ( - ) h f du! + ( ) Sabendo-se que f( )= f( ), f( )= f( )- f( ) f( )= f( )+ f( )+ f( ) Temos: uu ( - )! f( ) d = h f( ) du + h u f( ) du + h f( ) du 6 u = hf ( )( u)+ hf (( ) f( ))

128 3 h u u + ( f( )- f( )+ f( )) - 3 h = hf( )+ hf( )- hf( )+ (( f )- f( )+ f( ))= 3 h = [( f )+ 4f ( )+ f ( )] 3 Assim, obtemos: h f( ) d [( f )+ 4f( )+ f( )] 3 denominada Regra /3 de Simpson. Erro na Regra /3 de Simpson Nesse caso, o intervalo de integração foi subdividido em um número par de subintervalos, n = k, k =,, 3,... e portanto, pela parte (b) do Teorema 5., temos: ( n+ ) n + 3 u h f(ξ) En = ( u - n/ )( u)( u - )... ( u - n) du, ( n+ )! com ξ n Assim, para n = temos: 5 ( 4 ) h f(ξ) E = ( u - )( u)( u - )( u - ) du 4! Como 4 ( u - )( u)( u - ) du = -, temos: 5 ( 4 ) h5 f(ξ) = - ξ E, 9 Como o argumento ξ não é conhecido, não é possível calcular o erro eatamente, portanto, trabalhamos com um limitante superior para o erro: 7

129 Limitante Superior para o erro Temos que o erro é dado por: ( 4 ) h5 f(ξ) = - E, 9 Tomando em módulo a epressão dada anteriormente, temos que: h5 E = - 4 f ( )(ξ), ξ [, ] 9 Dessa forma, podemos escrever o limitante superior para o erro como: h5 E má f ( ), 9 ( 4 ) { } Eemplo 5.4 Usando a Regra /3 de Simpson, podemos calcular superior para o erro da seguinte forma: ed e um limitante Tabelando a função f( ) com h =., temos: i.. f( i ) Dessa forma, temos: h f( ) d [( f )+ 4f( )+ f( )] 3 = [ + 4 (.783 ) ]= Portanto, e d

130 Limitante superior para o erro Da fórmula do limitante superior para erro, temos que: h5 E má f ( ), [,] 9 ( 4 ) { } Como a função ( 4 f ) ( )= e, então { }, f ( 4) (.) = má f ( 4) ( ), [,] = pois a função f ( 4 ) ( ) é crescente no intervalo [,]. Assim, ( ) 5 E = Regra /3 de Simpson Generalizada A Regra /3 de Simpson Generalizada consiste em dividirmos o intervalo [ a, b] de integração em n subintervalos iguais de amplitude h, em que n é um número par de subintervalos, de forma que a, = n = b, e aplicarmos a Regra /3 de Simpson em cada subintervalos, isto é, a cada 3 pontos consecutivos. Graficamente, temos: Figura 5.7 Regra /3 de Simpson Generalizada. Assim, aplicando a Regra /3 de Simpson para cada 3 pontos, isto é, a cada subintervalos, temos: 9