6) O Paradoxo dos Gêmeos ou Paradoxo de Langevin

Transcrição

1 6) O Paradoxo dos Gêmeos ou Paradoxo de Langevin O paradoxo dos gêmeos é um gedankensperiement utilizado para entender o problema da dilatação do tempo e como aplicá-lo. Por isto, vamos analisá-lo com algum detalhe. -> Primeiro Einstein propôs e posteriormente Paul Langevin (1911) formulou o paradoxo dos gêmeos. O que se segue é um interpretação deste paradoxo. Este paradoxo consiste em pegarmos dois irmãos gêmeos (portanto vamos considerar que possuam exatamente a mesma idade, quando estão em repouso no referencial da Terra), um dos irmãos permanece na Terra e o outro pega um foguete e viaja à velocidade da luz (por vários anos luz). Duas hipóteses (ou a origem do paradoxo): 1ª) Ao retornar para Terra o que viajou percebe que seu irmão, que ficou na Terra, está mais velho alguns anos. 2ª) Devido à equivalência (simetria) de referenciais, poderíamos pensar que se ao invés do irmão que está viajando com velocidade c, é o irmão que está na Terra que está viajando com c (velocidade negativa). Então o irmão que está no foguete, deveria ficar mais velho que o irmão na Terra. [Cristóvão R M Rincoski] p. 103

2 Resposta: este paradoxo é na verdade um pseudo-paradoxo, pois o irmão que está viajando no foguete, é forçado a acelerar e desacelerar para ir e para fazer a curva, e a acelerar e desacelerar para chegar na Terra. Logo o seu referencial não é inercial e portanto a simetria, da análise feita acima, não cabe aqui. Por isto é considerado um pseudo-paradoxo. E, somente a 1ª hipótese é que é válida Ao retornar para Terra o que viajou percebe que seu irmão, que ficou na Terra, está mais velho alguns anos. As acelerações são responsáveis, de alguma forma, pela diferença no tempo de envelhecimento dos irmãos? A resposta a isto é não. As acelerações são responsáveis somente pela quebra de simetria no problema. O envelhecimento é dado quando finalmente os irmãos se encontram no mesmo referencial. O cálculo para sabermos a diferença de idade deve ser realizado enquanto os irmãos estão em referenciais inerciais, isto é, somente o tempo gasto nos referenciais inerciais é que deve ser usado para o cálculo. 7) Discutindo a Contração do Espaço de FitzGerald Lorentz Antes vamos ver uma breve história de como este fenômeno foi descoberto e depois o seu entendimento, aceito, na forma atual. [Cristóvão R M Rincoski] p. 104

3 George Francis FitzGerald (Dublin, Irlanda, 3 de agosto de 1951 Dublin, Irlanda, 22 de fevereiro 1901) -> foi um professor irlandês de filosofia natural e experimental, isto é, Física. -> em 1889, publicou um pequeno artigo, carta, na revista Science, sob o título The ether and the earth's atmosphere. Neste artigo, mostrado a seguir, ele considerava que os resultados da experiência de Michelson Morley poderiam ser explicados pela contração do espaço. The Ether and the Earth s Atmosphere by George Francis FitzGerald Science, 1889, 13: 390 Letters to the Editor I HAVE read with much interest Messrs. Michelson and Morley's wonderfully delicate experiment attempting to decide the important question as to how far the ether is carried along by the earth. Their result seems opposed to other experiments showing that the ether in the air can be carried along only to an inappreciable extent. I would suggest that almost the only hypothesis that can reconcile this opposition is that the length of material bodies changes, according as they are moving through the ether or across it, by an amount depending on the square of the ratio of their velocity to that of light. We know that electric forces are affected by the motion of the electrified bodies relative to the ether, and it seems a not improbable supposition that the molecular forces are affected by the motion, and that the size of a body alters consequently. It would be very important if secular experiments on electrical attractions between permanently electrified bodies, such as in a very delicate quadrant electrometer, were instituted in some of the equatorial parts of the earth to observe whether there is any diurnal and annual variation of attraction, diurnal due to the rotation of the earth being added and subtracted from its orbital velocity; and annual similarly for its orbital velocity and the motion of the solar system. Dublin, May 1. [Cristóvão R M Rincoski] p. 105

4 O texto marcado em verde pode ser traduzido como: "...o comprimento dos corpos materiais muda, dependendo se eles estão se movendo ao longo do éter ou através dele, por uma quantidade que depende do quadrado da razão entre suas velocidades e aquela da luz. Lorentz não conhecia o artigo de FitzGerald, e em 1892 propôs a existência de uma contração do espaço, similar a esta para explicar o resultado fracassado na experiência de Michelson Morley. Joseph Larmor (Magheragall, County Antrim, Irlanda, 11 de julho de 1857 Holywood, County Down, Irlanda, 19 de maio de 1942) -> físico e matemático, realizou vários trabalhos sobre eletricidade, dinâmica, termodinâmica e a teoria eletrônica da matéria. -> em 1897, publicou as transformações de Lorentz na revista científica inglesa Philosophical Transactions of the Royal Society -> neste artigo, acabou por deduzir, a contração do espaço de FitzGerald Lorentz e a dilatação do tempo. Como se mede o comprimento de um objeto? A resposta a isto levou primeiro FitzGerald e quase que ao mesmo tempo Lorentz a formularem a contração do espaço. [Cristóvão R M Rincoski] p. 106

5 Em um referencial inercial em repouso, em relação a um móvel, podemos medir com facilidade o comprimento de um objeto ( S ), o mesmo pode ser dito quando estamos em repouso em relação a um referencial móvel ( ), movendo-se com velocidade v constante. Mas quando tentamos medir o comprimento do objeto que está no referencial móvel, de um referencial em repouso relativo, fica difícil usar uma régua. Só nos resta usar as Transformações de Lorentz. Exemplo de Contração do Espaço: João está em repouso em relação a uma plataforma de trem (referencial S). Maria está em um trem, que se move com velocidade v constante em relação à plataforma (referencial S ). João pega uma régua e mede o comprimento da plataforma, enquanto Maria não consegue medir a plataforma usando uma régua, então, ela usa as transformações de Lorentz para determinar o comprimento. -> João mede um comprimento próprio 0, Maria usa transformação de Lorentz para medir. Maria mede o tempo que leva para atravessar a plataforma usando um relógio, enquanto João não consegue medir quando Maria passa no ponto inicial da plataforma e correr para medir quando ela passa pelo ponto final da plataforma, então João usa transformação de Lorentz -> Maria mede um tempo próprio 0, enquanto João precisa usar transformação de Lorentz para ter o tempo. [Cristóvão R M Rincoski] p. 107

6 Aqui usamos uma convenção bem simples: -> o subscrito 0 zero significa valor no referencial próprio -> sem índice significa no referencial transformado (transformação de Lorentz) v Para João, então, o comprimento é, para Maria é. Dividindo uma expressão pela outra: v c L 0 t 0 Δ da dilatação do tempo, então 2 0 ou L 1 v c v c Δ. v Δ 1º) Exemplo de Contração do Espaço: Maria viajando em um trem bala (v 500 km/h 139 m/s) mede um comprimento de 50 m, isto representaria 49, m para João. Este exemplo serve pra entendermos o porque não vemos os efeitos relativísticos no nosso dia a dia. [Cristóvão R M Rincoski] p. 108

7 2º) Exemplo de Contração do Espaço (transformação inversa de Lorentz): Maria viajando em um trem bala (v 500 km/h 139 m/s) e João em um referencial em repouso em relação a Maria. João mede um comprimento de 50 m e Maria mede um comprimento de 49, m. Novamente, para valores de velocidade muito pequenos, quando comparados com c, os efeitos relativísticos são imperceptíveis. -> o resultado do 1º exemplo e do 2º exemplo são equivalentes porque os referenciais são equivalentes (no 2º exemplo, Maria vê João se afastar com v). 6 a Lista de Exercícios (Ex.: 8 a 14) Introdução à Relatividade [Cristóvão R M Rincoski] p. 109