Eder Terceiro. Fisica 2 Noções de Estática e Dinâmica de Rotação em 3D. Eder Terceiro. 28 de outubro de 2016

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1 Fisica 2 Noções de Estática e Dinâmica de Rotação em 3D 28 de outubro de 2016

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3 Sumário 1 Movimento Circular Definições básicas Equações Horárias Transferência de Movimento Estática Equilíbrio Pontual 5 3 Momento associado a força 2D 9 4 Momento associado a uma força 13 5 Problemas de momento em 3D 17 6 Momento Inércia 19 iii

4 2016 iv

5 Capítulo 1 Movimento Circular 1.1 Definições básicas 1. O deslocamento angular de um ponto do equador terrestre em 1 dia é, para uma circunferência de raio R, de: (a) 2 π R (b) 180 o (c) 3π 2 rad (d) 2πrad (e) 24 h 2. Dado que raio da Terra: 6370 km. Calcule a velocidade angular e escalar na superfície da Terra 3. Determine a velocidade angular do ponteiro dos segundos de um relógio analógico: (a) 60 rad/s (b) 60 π rad/s (c) 30 π rad/s (d) π 60 rad/s (e) π 30 rad/s 4. Determine a velocidade angular do ponteiro dos minutos de um relógio analógico. 5. Se você fecha um livro aberto a 180 o em 0,20s, qual a velocidade angular desse movimento? 6. A órbita da Terra em torno do Sol pode ser considerada aproximadamente circular e de raio 1, km. Determine, nessas condições, a velocidade linear (km/s) da Terra em torno do Sol. Considere 1 ano aproximadamente 3, s 7. Um automóvel percorre uma pista circular de 1 km de raio, com velocidade de 36 km/h. (a) Em quanto tempo o automóvel percorre um arco de circunferência de 30 o? (b) Qual a aceleração centrípeta do automóvel? 8. Em 72 s um móvel cuja velocidade escalar é 20 km/h descreve uma trajetória circular de raio 100 m. Determine: (a) o ângulo descrito pelo móvel nesse intervalo. (b) a velocidade angular 9. Dois carros percorrem uma pista circular, de raio R, no mesmo sentido, com velocidades de módulos constantes e iguais a v e 3v. O tempo decorrido entre dois encontros sucessivos vale: (a) πr 3v π 2πR (b) 3v π (c) πr v π (d) 2πR v 3πR π (e) v π 10. Calcule a velocidade angular ω da roda de uma bicicleta que anda a 20 km/h e o raio e 56 cm. Qual o tempo necessário para a roda dar uma volta completa? 11. Na última fila de poltronas de um ônibus, dois passageiros estão distando 2m entre si. Se o ônibus faz uma curva fechada, de raio 40m, com velocidade de 36km/h, a diferença das velocidades dos passageiros é, aproximadamente, em m/s, 1

6 2016 (a) 0,1 (b) 0,2 (c) 0,5 (d) 1,0 (e) 1,5 12. Um ponto material em MCU efetua 120 rpm. O raio da trajetória é de 20 cm. Determine: (a) o número de voltas dadas em 20s (b) a velocidade angular (c) a velocidade escalar, em m/s 13. Uma roda com 0,50 m de diâmetro gira em torno de seu eixo em movimento de rotação uniforme, completando 5 voltas em 2 s. Determine a velocidade angular da roda e a velocidade escalar de um ponto de sua periferia. 14. Um disco de 30 cm de diâmetro gira a 33,3 rpm. (a) Qual a velocidade angular em rad/s? (b) Calcular a velocidade na borda do disco. 15. Um disco de 30cm de raio gira uniformemente descrevendo ângulos de 45 o a cada 0,50s. Determine: (a) a sua velocidade angular (b) a velocidade do ponto situado a 10cm do centro 1.2 Equações Horárias 16. A velocidade angular de um ponto que executa um movimento circular varia de 20 rad/s para 40 rad/s em 5 segundos. Determine: (a) a aceleração angular média nesse intervalo de tempo. (b) o número de voltas dadas 17. Uma roda que gira com movimento uniformemente variado é freada e, durante 1 minuto, passa de 10π rad/s para 6π rad/s. Determine: (a) a aceleração angular média nesse intervalo de tempo. (b) o número de voltas dadas 18. Uma roda gira com aceleração angular constante de 2 rad/s 2. Se a roda parte do repouso: (a) quantas voltas ela completa em 10s? (b) qual seu deslocamento angular correspondente? 19. Uma roda tem uma velocidade angular inicial no sentido horário de 10 rad/s e uma aceleração constante de 3rad/s 2. Determine: (a) o número de revoluções que a mesma deve perfazer para adquirir uma velocidade angular no sentido horário de 15 rad/s. (b) Quanto tempo será necessário? 20. Um ventilador gira com movimento uniforme de velocidade angular 30πrad/s. Sendo desligado, pára depois de 75 voltas com movimento uniformemente variado. Determine: (a) a aceleração angular imposta (b) o intervalo de tempo que decorre entre o instante em que o ventilador é desligado e aquele em que ele pára 21. Um volante circular começar a girar, do repouso, com aceleração angular constante de 1, 5rad/s 2. (a) Qual a velocidade angular depois de 5s? (b) Qual o ângulo coberto depois dos 5s? (c) Quantas voltas serão dadas nesses 5s? 2

7 2016 (d) Depois de 5s, qual a velocidade e a aceleração de um ponto a 5 cm do eixo da rotação? 22. Um móvel que executa movimento circular tem sua velocidade angular variada de 50 rad/s para 10 rad/s em 8 segundos. Determine: (a) a aceleração angular média nesse intervalo de tempo. (b) o número de voltas dadas (c) o tempo necessário para realizar as 10 primeiras voltas (d) o tempo necessário para realizar as 10 últimas voltas 23. Um móvel parte do repouso e percorre uma trajetória circular de raio 10 m, assumindo movimento uniformemente acelerado de aceleração escalar 1m/s 2. Determine: (a) a aceleração angular do movimento; (b) a velocidade angular do movimento 10 s após o móvel ter partido. 24. Um móvel realiza MCUV numa circunferência de raio igual a 10 cm. No instante t = 0, a velocidade angular é 5,0 rad/s e, 10s após, é 15 rad/s. Determine: (a) a aceleração angular; (b) a aceleração escalar; (c) a velocidade angular no instante t = 20 s. (d) o número de voltas dadas até t = 20 s. 25. Uma roda partiu do repouso tem aceleração angular de módulo α = πrad/s 2. Durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 18s. Calcule: (a) o número de voltas dadas (b) a velocidade em t = 18s 1.3 Transferência de Movimento 26. O disco A, na figura 1.1, parte do repouso e gira com uma aceleração angular constante de 2rad/s 2 (a) Quanto tempo é necessário para que o mesmo complete 10 revoluções? (b) Se o disco A está em contato com o disco B, e não ocorre deslizamento entre os discos, determine a velocidade angular e a aceleração angular de B imediatamente antes de A completar 10 revoluções. 27. Duas polias, A e B, tangenciam-se num ponto, conforme a figura 1.2. A polia A é posta a girar no sentido horário. Ela transmite movimento à polia B. Sendo 20 cm e 10 cm os raios de A e B, respectivamente, e v 1 = 5m/s a velocidade linear do ponto l da periferia de A, determine: (a) sentido de rotação da polia B (b) a velocidade linear do ponto 2 da periferia de B (c) as velocidades angulares de A e B. Figura 1.1: Exercício 26 Figura 1.2: Duas polias tangentes 28. A figura 1.3 mostra um sistema de engrenagem com três discos acoplados, cada um girando em tomo de um eixo fixo. Os dentes dos discos são de, mesmo tamanho e o número deles ao longo de sua circunferência é o seguinte: X = 30 dentes, Y = 10 dentes, Z = 40 dentes. Se o disco X dá 12 voltas 3

8 2016 (a) Quantas voltas o disco Y dará? (b) Quantas voltas o disco Z dará? 29. Considere o sistema, visto na figura 1.4 constituído de três polias A, B e C, de raios R A = 6cm, RB = 12cm e R C = 9cm, respectivamente, pelas quais passa uma fita que se movimenta sem escorregar. Se a polia A efetua 30 rpm, determine: (a) rotação da polia B (b) rotação da polia C (c) A velocidade angular de cada uma das polias (d) O deslocamento angular em 5 minutos Figura 1.3: Sistema de engrenagens Figura 1.4: Conexão de três polias 30. Uma fita move se entre dois tambores, durante 3 s a velocidadade da fita varia de 0,610m/s a 1,52m/s. A fita não escorrega nos tambores, ver figura 31. Determine: (a) a velocidade angular do maior em rpm (b) a velocidade angular do menor em rpm (c) o número de revoluções realizado pelo maior em 10s (d) o número de revoluções realizado pelo menor em 10s (e) a quantidade de fita, em m, retirado no sistema (f) A aceleração angular do tambor maior (g) número de revoluções realizados por este. (h) Quantos metros de fitas foi retirado. 31. misturador repousa sobre dois rodízios. Durante um intervalo de tempo t, o tambor executa 12 revoluções e sua velocidade angular aumenta uniformente de 25 para 45 rpm. Não havendo escorregamento e raio do misturador sendo de 125mm e raio dos rodízios 25mm, determine: (a) A aceleração angular dos rodízios (b) O intervalo de tempo decorrido Figura 1.5: Exercício 30 Figura 1.6: Exercício 31 4

9 Capítulo 2 Estática Equilíbrio Pontual 1. Uma força F de intensidade de 500N é decomposta em componentes cartesianas. Se sua componente horizontal vale 285N. Calcule: (a) a componente vertical (b) o ângulo de inclinação da força dada. 2. Uma estaca é arrancada do solo, figura 2.1: (a) Para α = 30 o e P = 60N, calcule a resultante (b) Para α = 30 o calcule P para que a resultante horizontal seja nula 3. O parafuso mantéma fixação sob a ação de diversas forças, figura 2.2. Calcule a resultante das forças que o parafuso é submetido. Figura 2.1: Estaca Figura 2.2: Fixação por parafuso 4. (UFPE 2003) A figura 2.3 mostra um peso de 44 N suspenso no ponto P de uma corda. Os trechos AP e BP da corda formam um ângulo de 90 o, e o ângulo entre BP e o teto é igual a 60 o. Qual é o valor, e newtons, da tração no trecho AP da corda? 5. A esfera de raio R e peso 80N está pendurada na parede em equilíbrio, figura 2.4. Determinar (a) A intensidade da tração na corda. (b) A intensidade da força aplicada a parede. 6. Nas figuras 2.5 e 2.6. Determine : (a) a resultante horizontal 5

10 2016 Figura 2.3: Suporte para peso Figura 2.4: Bola na parede (b) a resultante vertical (c) o módulo da resultante (d) a direção da resultante Figura 2.5: Resultante de forças Figura 2.6: Resultante de forças 7. No sistema em equilíbrio, o peso de A é 55 N, figura 2.7. Calcule (a) peso de B (b) intensidade da força de tração em cada trecho 8. (AFA) Na figura 2.8, o ângulo θ = 30 o, e a relação entre as massas m2/m1 tem valor 3/2. Qual deve ser o valor do coeficiente de atrito entre o bloco 2 e o plano, para que o sistema permaneça em equilíbrio? 9. Uma barra horizontal de massa desprezível possui uma de suas extremidades articulada em uma parede vertical, figura A outra extremidade está presa à parede por um fio que faz um ângulo de 45 o com a horizontal e possui um corpo de 55 N pendurado. Qual o módulo da força normal à parede, em newtons, que a articulação exerce sobre a barra? 6

11 2016 Figura 2.7: Equilíbrio de dois corpos Figura 2.8: Suporte e mesa com atrito 10. A luminária, ilustrada na figura 2.10, foi utilizada na decoração de um ambiente. A haste AC, presa à parede, é homogênea,tem secção transversal constante e massa 800 g. Quando o lampadário, pendente em A, tem massa superior a 500 g, o fio ideal AB arrebenta. Calcule a intensidade máxima da força tensora suportada por esse fio. Figura 2.9: Barra horizontal de suporte Figura 2.10: Lâmpada pendurada 11. (UNESP-SP) Um semáforo pesando 100 N está pendurado por três cabos conforme ilustra a figura. Os cabos 1 e 2 fazem um ângulo e com a horizontal,respectivamente. (a) Em qual situação as tensões nos fios 1 e 2 serão iguais? (b) Considerando o caso em que = 30 e = 60, determine as tensões nos cabos 1, 2 e Calcule as tensões sobre os cabos AB e BC. Use m = 50kg. 7

12 2016 Figura 2.11: Semáforo Figura 2.12: Equilibrio 8

13 Capítulo 3 Momento associado a força 2D 1. Uma barra AO situada num plano vertical pode girar em torno de um ponto O, figura 3.1. Determine o momento da força F (torque) de intensidade de 120 N nos três casos a seguir. Figura 3.1: Tres situações 2. Em cada caso representado na figura 3.2, calcule o momento da força aplicada na barra, em relação ao ponto O. Figura 3.2: Duas situações 3. Uma gangorra tem braços desiguais, figura 3.3. No extremo A está sentado João de peso 500 N. Qual é o peso de Maria sentada no extremo B, para que a gangorra fique em equilíbrio na posição horizontal? Considere a gangorra articulada no ponto O e de peso desprezível. 4. Uma barra (20 m) de massa 200 kg é apoiada nas suas extremidades por suportes A e B, figura 3.4. Uma pessoa começa a andar pela barra. Sabendo que a pessoa possui massa de 55 kg, determine as forças nos suportes A e B para manter a barra em equilíbrio nas seguintes situações: (a) a pessoa está na extremidade A; (b) a pessoa está na extremidade B; (c) a pessoa está no centro da barra; 9

14 2016 Figura 3.3: Crianças na gangorra Figura 3.4: Barra apoiada (d) a pessoa está a 5 m de uma das extremidades 5. Na figura 3.5 temos dois blocos cujas massas são, respectivamente, 4 kg e 6 kg. A fim de manter a barra em equilíbrio, determine a que distância x o ponto de apoio deve ser colocado. Suponha que inicialmente o ponto de apoio esteja a 40 cm da extremidade direita da barra. Figura 3.5: Barra 6. Suponha que para fechar uma porta de 0,8 metros de largura, uma pessoa aplica perpendicularmente a ela uma força de 3 N, como mostra a figura 3.6. Determine o momento dessa força em relação ao eixo O 7. Uma barra homogênea AB de peso P = 10 N e comprimento L = 50 cm está apoiada num ponto O a 10 cm de A, figura 3.7. De A pende um corpo de peso Q1 = 50 N. A que distância de x deve ser colocado um corpo de peso Q2 = 10 N para que a barra fique em equilíbrio na horizontal? 8. (UFPE 2004) A figura 3.8 mostra um dispositivo constituído de um suporte sobre o qual uma trave é apoiada. Na extremidade A, é suspenso um objeto, de massa 95 kg, enquanto se aplica uma força vertical F na extremidade B, de modo a equilibrar o objeto. 10

15 2016 Figura 3.6: Fechando a porta Figura 3.7: Equilibrio (a) Desprezando o peso da trave, em relação ao peso do objeto, calcule o módulo da força F necessária para equilibrar o objeto, em B. (b) Considerando que a trave tenha massa de 55kg, calcule o valor da massa que deve ser posta no ponto A para manter o equilíbrio 9. Dois blocos de massa M 1 = 6kg e M 2 = 0, 40kg estão suspensos, por fios de massas desprezíveis, nas extremidades de uma haste homogênea e horizontal. O conjunto está em equilíbrio estático apoiado sobre um suporte em forma de cunha, como ilustrado na figura 3.9. As marcas na haste indicam segmentos de mesmo comprimento. (a) Calcule a massa da haste (b) Calcule a força que o suporte exerce sobre a haste Figura 3.8: Apoio na Trave Figura 3.9: Equilíbrio de blocos 10. Para realizar reparos na parte mais alta de um muro, um operário, com 7, N de peso, montou um andaime, apoiando uma tábua homogênea com 6,0 m de comprimento e 280N de peso, sobre dois cavaletes, I e II, conforme a figura Observa-se que o cavalete II está a 1,5 m da extremidade direita da tábua. Durante o trabalho, o operário se move sobre o andaime. A partir do cavalete II, calcule a distância máxima que esse operário pode andar para a direita, mantendo a tábua em equilíbrio na horizontal. Figura 3.10: Andaime para operários 11

16 A figura 3.11 representa a força aplicada na vertical, sobre uma chave de boca, por um motorista de caminhão tentando desatarraxar uma das porcas que fixa uma roda. O ponto de aplicação da força dista 15 cm do centro da porca e o módulo da força máxima aplicada é F = 400 N. Nesta situação, suponha que o motorista está próximo de conseguir desatarraxar a porca. Em seguida, o motorista acopla uma extensão à chave de boca, de forma que o novo ponto de aplicação da força dista 75 cm do centro da porca. Calcule o novo valor do módulo da força, F, em newtons, necessário para que o motorista novamente esteja próximo de desatarraxar a porca. 12. Uma das aplicações mais comuns e bem sucedidas de alavancas são os alicates. Esse instrumento permite amplificar a força aplicada (F a ), seja para cortar (F c ), ou para segurar materiais pela ponta do alicate (F p ), figura (a) Um arame de aço tem uma resistência ao corte de 1, N/m 2, ou seja, essa é a pressão mínima que deve ser exercida por uma lâmina para cortá-lo. Se a área de contato entre o arame e a lâmina de corte do alicate for de 0, 1mm 2. Qual a força F a F c necessária para iniciar o corte? (b) Se esse arame estivesse na região de corte do alicate a uma distância dc = 2 cm do eixo de rotação do alicate, que força deveria ser aplicada para que o arame fosse cortado? (d a = 10cm) Figura 3.11: Chave de boca Figura 3.12: Alicate 13. (UFLA-95) A figura 3.13 representa um sistema em equilíbrio estático. Sendo PA = 20 N, determine o peso PB Figura 3.13: Suporte ao bloco 12

17 Capítulo 4 Momento associado a uma força 1. Na figura 4.1 a força vertical de 450N é aplicada a extremidade da alavanca. Determine: (a) o momento em relação a origem O (b) a força horizontal equivalente aplicada de modo a gerar o mesmo momento em relação a origem (c) a mínima força aplicada em A que gera o mesmo momento em relação a origem (d) a distância necessária que uma força vertical de 1800N para gerar o mesmo momento em relação a origem 2. Na figura 4.2, a força aplicada ao suporte é de 800N. Determine (a) o momento em relação ao ponto B (b) a mínima força aplicada em A que gera o mesmo momento em relação ao ponto B Figura 4.1: Girando alavanca Figura 4.2: Esforço sobre mão francesa 3. Na figura 4.3, a força aplicada é de 135 N. Determine (a) o momento em relação ao ponto O (b) a mínima força aplicada em A que gera o mesmo momento em relação ao ponto O 4. Na figura 4.4, a força P = 13, 2N é aplicada ao mecanismo. Determine 13

18 2016 Figura 4.3: Esforço sobre suporte (a) o momento da força P em relação ao ponto A, dado α = 30 o Figura 4.4: Alavanca de mangueira (b) a mínima força aplicada em B que gera o mesmo momento em relação ao ponto A 5. Na figura 4.4a força aplicada é de 135 N. Determine (a) o valor de α sabendo que P gera um momento de 1, 95Nm (b) a mínima força aplicada em B que gera o mesmo momento em relação ao ponto A 6. Na figura 4.4, a força P é aplicada ao mecanismo. Determine: (a) a intensidade e direção da menor força P para gerar um momento de 2, 20Nm 7. A tabuleta é suspensa por duas correntes, conforme figura 4.5. Sabendo que a tração em BF é 198 N. Determine (a) o momento em relação a A da força exercida pela corrente em B (b) a menor força aplicada em C que o mesmo momento em relação a A (c) a intensidade e o sentido da força vertical aplicada em C que cria o mesmo momento em relação a A. Figura 4.5: Suporte da tabuleta Figura 4.6: Erguendo o mourão 8. Um guincho AB é usada para endireitar o mourão. Na figura 4.6 são dados T BC = 1170N, a = 20cm, b = 87, 5cm e d = 280cm, determine o momento em relação a D da força exercida pelo cabo em C calculando pelas componentes horizontal e vertical (a) no ponto C 14

19 2016 (b) no ponto E (c) a intensidade e o sentido da força vertical aplicada em C que cria o mesmo momento em relação a A. 9. Na figura 4.6 é necessário M = 882Nm em relação a D para endireitar o mourao a = 20cm, b = 87, 5cm e d = 280cm, determine T AB necessária para endireitar o mourão 10. Na figura 4.7 a barra é submetica a força de 200N. Usando o diagrama de forças em 4.8 determine: (a) a reação na junta (b) a tensão no cabo no cabo BD (c) a tensão no cabo no cabo BE. Figura 4.7: Barra guia Figura 4.8: diagrama de forças 11. A figura 4.9 mostra um pequeno trator derrubando uma árvore ao puxar a corda. Determine o momento associado a força F. 12. A fim de segurar a carriola na posição mostrada, figura 4.10, a força F deve produzir um momento contrário ao dos ponteiros do relógio igual a 200 m N em relação ao eixo A. Determinar a intensidade da força F. 13. A carriola e o volume têm uma massa com centro de massa em G, figura Para manter o equilíbrio é aplicada uma força de intensidade F = 100N. Determine a massa total da carriola. 14. Calcule o momento associado a força de 80 N aplicada a montagem de tubos, Calcule o momento associado a força aplicada a face da figura,

20 2016 Figura 4.9: Figura 4.10: Transporte com carriola Figura 4.11: Montagem de tubos Figura 4.12: Força aplicada a aresta 16

21 Capítulo 5 Problemas de momento em 3D 1. Na figura 5.1 a força atua no ponto A. Determine o momento em relação a origem 2. Na figura 5.2 a força atuando no ponto A. Determine os momentos em relação a ao eixo x Figura 5.1: Problema Inicial Figura 5.2: Suporte Rigido 3. Na figura 5.3 o poste está apoiado ponto A e submetido a uma força F. Determine a intensidade do momento em relação ao ponto A Considerando o poste sem massa e homogeneo 4. Desenhar os diagramas de força cortante e momento da viga de madeira e determinar a força cortante e o momento em toda a viga em função de x, figura Desenhar os diagramas de força cortante e momento da viga de madeira e determinar a força cortante e o momento em toda a viga em função de x figura Determinar a força normal, a força de cisalhamento e o momento na seção que passa pelo ponto C. Usar P = 8 kn. 17

22 2016 Figura 5.3: Poste Apoiado Figura 5.5: Carga Distribuida Figura 5.4: Poste Apoiado Figura 5.6: Suporte apoiado 18

23 Capítulo 6 Momento Inércia 1. O volante de uma máquina possui momento de inércia igual a 2,50 kgm 2. Calcule o torque necessário para que, partindo do repouso, atinja velocidade angular de 400 rpm em 8s. 2. Uma corda é enrolada em uma roda, de raio 0,25 m, e puxada por uma força constante de 40N. o momento de inércia em torno do eixo vale 5kgm 2. Calcule a aceleração angular da roda. 3. Um esmeril em forma de disco sólido com diâmetro de 0,52m e massa de 50kg girando a 850 rpm. Um machado é pressionado contra a superfície como força normal de 160N fazendo o esmeril atingir o repouso em 7,5s. Calcule o coeficiente de atrito entre o esmeril e o machado 4. Uma roda montada num eixo que oferece atrito está inicialmente em repouso. Um torque externo constante de 50 N.m é aplicado a roda durante 20 s, atribuindo-lhe velocidade angular de 600 rpm. O torque externo, depois desse tempo, é removido e a roda pára em 120 s. Calcular: (a) o momento de inércia da roda (b) o torque do atrito, admitindo que seja constante. 5. Uma roda de 0.6m de raio e 100kg de massa está a girar em torno do seu eixo. Num determinado instante a sua velocidade angular é de 175rad/s. Sabe-se que, devido ao atrito, a roda está sujeita a um momento de 10Nm no seu eixo, calcule: (a) O tempo que demora a parar (315s) (b) O número de voltas que dá antes de parar (4387 voltas) 6. Um disco de 0.20m de raio e 2.5kg de massa, roda livremente em torno de um eixo fixo, passando pelo seu centro de massa. Faz-se passar uma corda por um sulco cavado na borda do disco e aplica-se uma tensão constante de 5.0N, que faz rodar o disco. Determine: (a) A aceleração angular do disco. (= 20.0rad/s 2 ) (b) A aceleração tangencial de um ponto situado na borda do disco. (40m/s) (c) A aceleração angular do disco quando se suspende na corda um corpo de peso 5.0N (ω = 14.3rad/s 2 7. Calcule o momento de inércia para: (a) Uma vareta homogênea de comprimento L e massa M (b) Um aro circular que gira em torno a um eixo perpendicular ao seu plano passando pelo próprio centro (c) Um disco homogêneo em relação ao eixo perpendicular ao seu plano e passando pelo proóprio centro (d) Um cilindro homogêneo em relação ao próprio eixo (e) Uma casca esférica delgada em relação a um diâmetro (f) Uma esfera maciça em relação a um diâmetro. 8. As partículas A,B, C e D (m A = m D = 10g, m B = m C = 20g) estão ligadas por uma haste muito leve com as dimensões indicadas na figura 6.2, fixa no ponto O. Quando uma força de 0.02N é aplicada no ponto D, perpendicularmente ao plano da figura, a haste roda em torno de OY. Calcule, 4s após o início do movimento: 19

24 A figura 6.1 representa quatro esferas ligadas por tubos muito leves. A estrutura rodar em torno do ponto O. Considere: d = 20cm; ma = mc = 10g; mb = md = 20g. (a) Calcule o momento de inercia da estrutura em relação aos eixos XX e YY. (b) Suponha que se fixa o eixo AC. Calcule a força mínima que seria necessário aplicar à estrutura para que ela atingisse uma velocidade de rotação de 100rad/s ao fim de 2s. (F= 0.4N k) Figura 6.1: Quatro esferas Figura 6.2: Haste (a) Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo OY. (b) A velocidade angular de cada partícula (6.67 rad/s) (c) A velocidade linear de cada partícula (va = vd = 2.67 m/s; vb = vc = 1.33m/s) 10. Quatro partículas ligadas por pequenas vigas de massa desprezível estão nos vértices de um quadrado. As massas das partículas são m 1 = m 3 = 3 kg e m 2 = m 4 = 4 kg, e o comprimento do lado do quadrado é L = 2m. (a) Determine o momento de inércia do sistema em relação a um eixo perpendicular ao plano das partículas e que passe por m 4. (b) Se o sistema rodar com velocidade angular de 2 rad/s em torno deste eixo,calcule o momento angular do sistema 11. Na figura 6.3, a força de atrito entre o bloco e a mesa é de 20N. Sabendo que o momento de inércia da roldana é de 4kg/m 2, calcule o tempo que demora o bloco de 5kg a percorrer 60cm, desde que é libertado. (3.72 s) 12. Um corpo rígido constituído por uma haste fina e uma esfera, homógéneas e com uma distribuição uniforme de massa, roda em torno de um eixo perpendicular à haste como é mostrado na figura 6.4. Se a massa da haste for M = 3.0 kg, L =0.40 m, a massa da bola e o seu raio forem, respectivamente, m = 0.10 m e r = 0.10 m, calcule o momento de inércia do corpo rígido em relação ao eixo considerado. (0.15kgm2) Figura 6.3: Quadrado de partículas Figura 6.4: Corpo haste fina e esfera 13. Um anel, uma esfera e um cilindro, todos com a mesma massa e com raios iguais, descem rolando, sem escorregar, um plano inclinado partindo de uma altura h com velocidade inicial nula. (a) Qual chega primeiro ao fim da rampa? Justifique. (b) Determine a velocidade final de cada um 14. Uma esfera, um cilindro e um aro, com distribuição de massa homogênea, partem do repouso e rolam para baixo sobre o mesmo plano inclinado, sem escorregarem. Qual corpo atingirá a base primeiro? 20