Aproximações ao cálculo de perdas em redes de energia eléctrica. Engenharia Electrotécnica e de Computadores

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1 Aproximações ao cálculo de perdas em redes de energia eléctrica João Tiago Abelho dos Santos Calheiros Andrade Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Orientadores: Prof. Doutor Luís António Fialho Marcelino Ferreira Prof.ª Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus Júri Presidente: Prof.ª Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro Orientador: Prof.ª Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus Vogal: Prof. Doutor Duarte de Mesquita e Sousa Setembro de 2014

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3 O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário. Albert Einstein iii

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5 Agradecimentos Em primeiro lugar, agradeço aos meus orientadores, professor Marcelino Ferreira e professora Célia de Jesus, pela ajuda e auxílio prestados durante a realização desta dissertação. Obrigado também a todos os professores que ao longo da vida me foram dispensando os seus ensinamentos e cimentando os meus conhecimentos. Igualmente agradeço aos meus amigos e colegas por todos estes anos de convívio e amizade que muito contribuiu para me trazer até aqui. E por fim, o maior obrigado de todos aos meus pais e avós por toda a compreensão, apoio e força nos momentos mais difíceis. Sem vocês não teria sido possível. v

6 Resumo De um modo geral, esta dissertação surge no âmbito da análise de redes de energia eléctrica, bem como da tentativa de encontrar métodos alternativos para o cálculo de perdas na transmissão, após a ocorrência de perturbações. Surge ainda com o objectivo de retomar o trabalho realizado na dissertação para obtenção do grau de Doutor Aplicação do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao Cálculo de Tensões e Perdas em Sistemas de Energia Eléctrica [5], realizada pela Prof.ª Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus. Uma vez que a definição da topologia de operação da rede pode significar um elevado número de possíveis configurações para a mesma, torna-se imperativo encontrar uma forma alternativa de saber quais as melhores soluções, sem envolver o cálculo de trânsitos de energia para todos os casos. Desta forma, numa primeira fase, trata-se o conceito de rede adjunta e calculam-se as sensibilidades de perdas para quaisquer parâmetros da rede, com base no Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas. Posteriormente desenvolve-se uma fórmula exacta, continuando-se o estudo sobre a avaliação de perdas. Finalmente, estuda-se a ideia de, reduzindo o esforço computacional e o espaço de observação da rede, obter resultados fiáveis para o cálculo de perdas, com base num modelo aproximado. Todos os cálculos e resultados obtidos foram realizados com auxílio do MATLAB. Palavras-chave Redes de energia eléctrica, avaliação de perdas, redes adjuntas, Teorema de Tellegen, análise de sensibilidades vi

7 Abstract In general, this dissertation appears in the ambit of the analysis of power networks, as well as the attempt of finding alternative methods for calculating the transmission losses after the occurrence of disturbances. Another goal of this dissertation is to follow the study performed in the PhD dissertation Aplicação do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao Cálculo de Tensões e Perdas em Sistemas de Energia Eléctrica [5], realized by the Prof. Dr. Célia Maria Santos Cardoso de Jesus. Once the definition of the network operation topology can mean a large number of possible configurations, it becomes imperative to find an alternative way of knowing what the best solutions without involving the calculation of power flows to all cases. This way, in a first stage, it is treated the concept of adjoint network and the loss sensitivities are calculated for any network parameters, based on the Tellegen s Theorem and on the concept of adjoint networks. Posteriorly, it is developed a precise formula, continuing the study of the loss evaluation. Finally, we study the idea of get reliable results for the calculation of losses, reducing the computational effort and the network s observation space, based on an approximate model. All the calculations and the obtained results were performed using MATLAB. Key words Power networks, loss evaluation, adjoint networks, Tellegen s theorem, sensitivity analysis vii

8 Índice Agradecimentos... v Resumo... vi Abstract... vii Índice de Figuras... x Índice de Tabelas... xii Lista de Símbolos e Abreviaturas... xiii 1. Introdução Contexto e Motivação Análise do problema e principais objectivos Estrutura da Dissertação Avaliação de perdas Sensibilidades, Teorema de Tellegen e conceito de redes adjuntas Introdução Objectivos Fórmulas para o cálculo de sensibilidades Modelação da rede adjunta Teorema de Tellegen Representação simbólica da rede adjunta Sensibilidades - Fórmulas Modelação Ramo Ramo Ramo Ramo Soma de Tellegen Exemplo Considerações sobre o capítulo Avaliação de perdas Fórmula exacta Introdução Objectivos Variações de tensão - equações exactas Dedução da fórmula exacta Ramo Ramo Ramo Ramo Fórmula exacta Exemplo Exemplo Fórmula Exacta Comparação de resultados Considerações sobre o capítulo Avaliação de tensão em redes de distribuição - Modelo aproximado viii

9 4.1 Introdução Objectivo Trânsito de energia convencional VS Equações com base no Teorema de Tellegen Solução local para as novas equações Exemplos Testes e Resultados Considerações sobre o capítulo Avaliação de perdas em redes de distribuição - Modelo aproximado Introdução Objectivos Modelo aproximado por solução local Conceito Procedimento Modelos para comparação Fórmula exacta Avaliação por sensibilidades Exemplos Considerações sobre o capítulo Síntese final Síntese Continuidade do estudo Bibliografia Anexos Rede de 5 barramentos dos capítulos 2 e Rede de 10 barramentos dos capítulos 4 e 5 (todos os ramos) Rede de 10 barramentos dos capítulos 4 e 5 (versão com menos ramos). 75 ix

10 Índice de Figuras Figura Representação simbólica dos elementos da rede adjunta Figura 2.2 Representação do sistema de energia exemplo Figura 2.3 Rede adjunta correspondente ao sistema de energia da figura Figura 2.4 Rectas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir das sensibilidades, no espaço, Figura 2.5 Rectas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir das sensibilidades, no espaço e Figura 2.6 Rectas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir das sensibilidades, no espaço e Figura 3.1 Curvas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir da fórmula exacta, no espaço e.. 31 Figura 3.2 Curvas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir da fórmula exacta, no espaço e Figura 3.3 Curvas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir da fórmula exacta, no espaço e Figura 3.4 Comparação dos resultados obtidos relativamente ao cálculo de perdas de energia por sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço e Figura 3.5 Comparação dos resultados obtidos relativamente ao cálculo de perdas de energia por sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço e Figura 3.6 Comparação dos resultados obtidos relativamente ao cálculo de perdas de energia por sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço e Figura 4.1 Rede de distribuição completa (10 barramentos) utilizada nos testes do Modelo aproximado para avaliação de tensão Figura 4.2 Rede de distribuição da figura 4.1 com perturbação (retirar ramo que liga os nós 7 e 9) Figura 4.3 Comparação do erro de uma solução local para os dois tipos de equações.. 44 x

11 Figura 4.4 Valores de erro do modelo aproximado relativamente ao cálculo exacto das tensões, para diferentes níveis de carga nos barramentos Figura 4.5 Valores de erro do modelo aproximado relativamente ao cálculo exacto das tensões com carga nominal nos barramentos Figura 4.6 Rede de distribuição derivada da rede da figura 4.1 (reduzido número de ligações entre os barramentos).. 47 Figura 4.7 Rede de distribuição da figura 4.5 com perturbações (retirar ramo entre os barramentos 2 e 4 e ligar os barramentos 5 e 9). 48 Figura 4.8 Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte real das tensões nos barramentos directamente perturbados região curta Figura 4.9 Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte real das tensões nos barramentos directamente perturbados e barramentos vizinhos região alargada.. 50 Figura 4.10 Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte imaginária das tensões nos barramentos directamente perturbados região curta Figura 4.11 Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte imaginária das tensões nos barramentos directamente perturbados e barramentos vizinhos região alargada.. 52 Figura 5.1 Diagrama de procedimentos do modelo aproximado para avaliação de perdas em redes de distribuição. 58 Figura 5.2 Perdas na rede da figura 4.1 considerando diferentes perturbações, calculadas pela fórmula exacta, por sensibilidades e pelo modelo aproximado para perdas.. 60 Figura 5.3 Perdas na rede da figura 4.1 para diferentes % da carga nominal, calculadas pela fórmula exacta, por sensibilidades e pelo modelo aproximado. 61 Figura 5.4 Perdas na rede da figura 4.6 considerando diferentes perturbações, calculadas pela fórmula exacta e pelo modelo aproximado xi

12 Índice de Tabelas Tabela 2.1 Valores de tensão do sistema de energia e da rede adjunta correspondente Tabela 2.2 Valores de sensibilidade nos ramos e nós do sistema de energia relativos aos diferentes parâmetros do mesmo Anexos Tabela 1.1 Dados dos ramos - rede de 5 barramentos Tabela 1.2 Potências injectadas nos barramentos rede de 5 barramentos Tabela 2.1 Dados dos ramos rede completa de 10 barramentos Tabela 2.2 Potências injectadas nos barramentos rede completa de 10 barramentos Tabela 3.1 Dados dos ramos rede de 10 barramentos (versão com menos ramos) Tabela 3.2 Potências injectadas nos barramentos rede de 10 barramentos (versão com menos ramos) xii

13 Lista de Símbolos e Abreviaturas Δ - Símbolo que denota a variação de uma grandeza - Símbolo que denota as grandezas adjuntas correspondentes à rede adjunta - Símbolo que denota as grandezas adjuntas correspondentes à rede adjunta ~ - Símbolo que denota as grandezas adjuntas correspondentes à rede adjunta * - Símbolo que denota o conjugado de uma grandeza - Índice do ramo de referência - Conjunto de índices dos ramos da rede passiva - Conjunto de índices dos ramos que correspondem a cargas activas (corresponde a na tese de referência [5]) - Conjunto de índices dos ramos de geração Subconjunto de para ramos que sofrem alterações na potência activa de geração Subconjunto de para ramos que sofrem alterações no módulo da tensão de geração - Subconjunto de para ramos que sofrem alterações de potência complexa - Subconjunto de para ramos que sofrem alterações na sua admitância - Tensão no ramo k - Corrente no ramo k - Admitância do ramo k xiii

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15 Capítulo 1 Introdução Este primeiro capítulo introduz o tema da dissertação, Aproximações ao cálculo de perdas em redes de energia eléctrica, abordando o contexto em que se insere, a motivação, expondo ainda o problema em questão. A estrutura seguida ao longo da dissertação é também apresentada neste capítulo. 1

16 1.1 Contexto e Motivação A energia eléctrica é uma forma de energia que, mediante a transformação adequada, pode apresentar-se de outras formas que permitam o seu uso directo, em forma de luz, movimento ou ainda calor. Essencialmente produzida em centrais termoeléctricas, centrais hidroeléctricos, sistemas eólicos, solares e nucleares, é uma das formas de energia mais utilizadas pela humanidade e considerada, nos dias de hoje, como um bem de primeira necessidade, uma vez que é impensável viver sem energia eléctrica. Em Portugal, os principais produtores de energia eléctrica em regime ordinário são a EDP Produção, com produção hidráulica e térmica, a Iberdrola, com produção exclusivamente hidráulica, a REN Trading, que tem como principal função a gestão da Turbogás e da Tejo Energia, e a ELECGÁS, ambas com produção exclusivamente térmica. Existe ainda alguma produção em regime especial. Ao nível do transporte, a REN é a concessionária de serviço público exclusiva da RNT (Rede Nacional de Transporte), em muito alta e alta tensão, ligando os produtores aos centros de consumo e cobrindo a totalidade do território continental. O sector da distribuição de electricidade divide-se em média e alta tensão e baixa tensão. A distribuição em média e alta tensão é operada em exclusivo pela EDP Distribuição, através da RND (Rede Nacional de Distribuição). No mercado de distribuição de baixa tensão, ainda que operado quase na totalidade também pela EDP Distribuição, existem algumas excepções em que a distribuição de energia eléctrica está atribuída a pequenos operadores. Previsões apontam para o aumento do consumo de energia eléctrica no futuro. Neste sentido, é importante a realização de estudos que facilitem a análise e aumentem a fiabilidade e eficiência dos sistemas de energia eléctrica. Existem vários critérios de qualidade nos sistemas de energia eléctrica. Um dos principais indicadores da eficiência de uma rede eléctrica é as perdas de energia que ocorrem ao longo da sua estrutura. Muitas vezes, o estudo das perdas de energia baseia-se na análise da diferença entre a energia comprada e a energia facturada por parte da empresa responsável pela distribuição. O principal problema desta análise é que não permite conhecer a localização das perdas e quais os parâmetros da rede responsáveis pela sua ocorrência. Da mesma forma, a análise referida apenas sugere um montante de perdas, o que torna difícil a realização de um estudo de optimização para uma rede de dimensões reais. Uma vez que a optimização desempenha um papel de grande relevância no planeamento, gestão e operação dos sistemas de energia eléctrica, é neste contexto que se insere o estudo desenvolvido nesta dissertação, análise de modelos aproximados para o cálculo de perdas de energia que permitam obter resultados precisos, num curto espaço de tempo e com reduzido esforço computacional. Esta dissertação tem ainda como principal motivação retomar em parte o estudo realizado em 2004 pela Prof.ª Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus, na sua tese de doutoramento Aplicação do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao Cálculo de Tensões e Perdas em 2

17 Sistemas de Energia Eléctrica. A principal ideia será retomar a parte deste estudo referente aos modelos, aproximados e exactos, sugeridos como alternativa para a avaliação de perdas em redes de energia eléctrica. Desta forma é sugerido, ao leitor da presente dissertação, realizar uma leitura da mesma em paralelo com a tese de referência [5] e seguindo as sugestões que para ela remetem. Os exemplos práticos apresentados ao longo dos vários capítulos desta dissertação seguem muitas vezes os exemplos da tese de doutoramento de referência [5] ilustrando, no entanto, diferentes casos, diferentes pontos de funcionamento e diferentes redes de energia. Por outro lado, e como forma de confirmar a validade do código MATLAB desenvolvido, os exemplos ilustrativos apresentados na tese de referência [5] foram reproduzidos. Esta reprodução de exemplos, bem como os resultados e gráficos obtidos pela mesma com sucesso, não é apresentada nesta dissertação, uma vez que foi apenas realizada como método de verificação e validação do código. Ainda assim, e uma vez que os exemplos apresentados nesta dissertação correspondem de certa forma a exemplos dados na tese de referência [5], pode encontrar-se em cada exemplo uma nota de redireccionamento para o exemplo correspondente no estudo realizado anteriormente [5], por forma a complementar o estudo e exemplo em questão. Realizando esta ponte entre a presente dissertação e a tese de doutoramento da Prof.ª Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus pretende-se retomar e complementar o estudo realizado anteriormente sobre a aproximação ao cálculo de perdas e, ainda, facilitar a compreensão do leitor, principalmente se este pretender prosseguir estudos relacionados com esta temática. Desta forma, e por uma questão de simplificação e fluência na escrita e leitura da presente dissertação, a tese de doutoramento Aplicação do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao Cálculo de Tensões e Perdas em Sistemas de Energia Eléctrica será a partir deste ponto referida como tese de referência seguida do número que a representa na bibliografia [5]. 3

18 1.2 Análise do problema e principais objectivos A energia eléctrica produzida nos centros de geração, normalmente localizados a grandes distâncias dos centros de consumo, é transportada por linhas de transmissão que alimentam as subestações de subtransmissão, localizadas mais próximo dos centros urbanos. A partir deste ponto, o papel do sistema de distribuição de energia eléctrica é o de levar a electricidade a todos os consumidores do sistema, onde quer que estes se encontrem. Evidentemente, uma vez que alimentam consumidores tão diversos e tão distanciados, as redes eléctricas apresentam características muito específicas e alguns problemas tecnológicos. A reconfiguração de redes de distribuição possui um papel importante no planeamento dos sistemas de energia, onde é preciso definir a topologia em que a rede irá operar. Um dos objectivos deste trabalho será o estudo de várias configurações de uma rede por forma a analisar a evolução das perdas de distribuição de energia e tentar minimizá-las. Existem outras formas de redução destas perdas de distribuição, no entanto, são as reconfigurações que apresentam as soluções economicamente mais viáveis. O processo de reconfiguração consiste em retirar e inserir ramos na rede, processo este que corresponde a perturbações da mesma. Tradicionalmente, o cálculo de perdas de energia em determinada rede pode ser efectuado realizando o trânsito de energia (Power Flow) através de métodos como Newton-Raphson, Gauss- Seidel ou Desacoplamento. Outra hipótese para o cálculo de perdas seria o igualmente clássico Método do Bs. Com estas duas soluções pode-se chegar ao cálculo exacto das perdas numa rede, no entanto, existe um grande problema associado. No cálculo de perdas para um elevado número de possíveis configurações de uma determinada rede, o tempo e esforço de computação seria demasiado elevado. Desta forma, esta dissertação sugere estudar o desempenho de diferentes aproximações ao cálculo de perdas em redes de energia eléctrica em termos de precisão de resultados como função do esforço computacional e do espaço de observação da rede. 4

19 1.3 Estrutura da Dissertação A forma como esta dissertação está organizada tem por base uma estrutura que segue uma linha de raciocínio, ao longo da qual se vão tirando conclusões e comparando estudos de capítulos anteriores com os estudos dos capítulos correntes. Todas as análises feitas ao longo da dissertação são ilustradas com exemplos práticos, quem têm por base os exemplos apresentados na tese de referência [5]. Antes de se iniciar qualquer explicação ou análise acerca do tema em questão, Aproximações ao cálculo de perdas em redes de energia eléctrica, tem-se o primeiro capítulo da dissertação. Um capítulo meramente introdutório que tem como objectivos a apresentação do tema, a explanação do contexto e do problema em análise, explicar a relação entre esta dissertação e a tese de referência [5] e ainda expor os principais objectivos deste estudo, terminando com esta apresentação da estrutura geral da dissertação. O Capítulo 2, Avaliação de perdas sensibilidades, Teorema de Tellegen e conceito de redes adjuntas, assim como é sugerido pelo título do capítulo, introduz uma primeira forma de avaliação de perdas em redes de energia eléctrica, as sensibilidades, assim como conceitos fundamentais para esta dissertação. São eles, o Teorema de Tellegen e o conceito de rede adjunta de um sistema de energia. O Capítulo 3, Avaliação de perdas Fórmula exacta, segue o estudo do capítulo anterior e, com base nos conceitos apresentados no mesmo, desenvolve-se neste capítulo uma fórmula exacta para o cálculo de perdas. Como foi dito anteriormente, esta dissertação segue uma linha de raciocínio e, como tal, logo neste terceiro capítulo é feita a ligação com o capítulo anterior, comparando-se alguns resultados e tirando-se algumas conclusões acerca dos modelos apresentados até esta fase. O Capítulo 4, Avaliação de tensão em redes de distribuição - Modelo aproximado, é um capítulo de grande importância, uma vez que serve de estudo base para o capítulo seguinte. As equações aproximadas para o cálculo de tensões nos barramentos de uma rede de distribuição, analisadas neste capítulo, serão a base do modelo aproximado para avaliação de perdas do capítulo 5. São ainda estudadas, neste capítulo, soluções locais para as equações de cálculo de tensões, como forma de aproximação. O Capítulo 5, Avaliação de perdas em redes de distribuição - Modelo aproximado, é o capítulo que justifica, no verdadeiro contexto da dissertação, a existência do capítulo 4. Neste capítulo é apresentado um modelo aproximado para o cálculo de perdas que tem por base as tensões aproximadas calculadas com o modelo apresentado no capítulo anterior. Para este modelo é ainda utilizada a fórmula exacta desenvolvida no terceiro capítulo, ainda que de forma aproximada e localizada. Este capítulo é o culminar dos estudos feitos ao longo da dissertação e onde se podem 5

20 tirar as conclusões relacionadas com a precisão dos modelos para avaliação de perdas, aquando da ocorrência de perturbações e fazendo variar as condições de funcionamento dos sistemas. O Capítulo 6, Síntese Final, conclui a dissertação, apresentando-se conclusões gerais como forma de encerrar os tópicos abertos neste capítulo introdutório. Apresentam-se algumas considerações relativamente ao problema e contexto que poderão, no final da dissertação, fazer maior sentido. As possibilidades de trabalho futuro que poderão ter por base o estudo elaborado nesta dissertação são também abordadas. A secção Anexos contém informações relacionadas com as redes de energia utilizadas nos exemplos práticos apresentados ao longo de todos os capítulos. 6

21 Capítulo 2 Avaliação de perdas Sensibilidades, Teorema de Tellegen e conceito de redes adjuntas Neste capítulo aborda-se a avaliação de perdas através do cálculo das sensibilidades e explicase o procedimento para o cálculo das mesmas com base no Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas. São ainda apresentadas as fórmulas utilizadas no processo, bem como um exemplo para uma rede de cinco barramentos. 7

22 2.1 Introdução O conceito de rede tratado nesta dissertação e o Teorema de Tellegen são uma base teórica para o cálculo de perdas em redes. O Teorema de Tellegen exprime uma relação entre grandezas de ramos de duas redes adjuntas, isto é, com o mesmo grafo (1). A avaliação de perdas começa com um estudo de sensibilidades, uma vez que estas desempenham um papel fundamental no planeamento e reconfiguração de redes de distribuição. Neste capítulo, estabelece-se a relação entre as variações incrementais de variável dependente (variações ) e uma série de variações incrementais nas variáveis independentes da rede (,,,, ). Desta forma, após a definição de rede adjunta e descrição da sua representação simbólica, são apresentadas as fórmulas para o cálculo de sensibilidades de perdas, relativamente a qualquer parâmetro do sistema, susceptível de sofrer perturbações. O estudo efectuado neste capítulo tem por base o estudo desenvolvido no capítulo 4 da tese de referência [5] relacionado com a avaliação de perdas por sensibilidades. Relativamente à estrutura do capítulo 2, após esta breve introdução (2.1), encontram-se os objectivos do capítulo (2.2), seguindo-se a apresentação do Teorema de Tellegen (2.3) e a representação simbólica da rede adjunta (2.4). As secções 2.5 e 2.6 são destinadas à apresentação das fórmulas das sensibilidades e à modelação que permite obter a variação. Por fim, apresentase um exemplo de aplicação do estudo realizado (2.7) e são descritas algumas considerações finais sobre o capítulo (2.8). 2.2 Objectivos Este capítulo tem como principais objectivos: 1. A apresentação das fórmulas para o cálculo das sensibilidades de perdas (perdas incrementais de primeira ordem) relativamente a qualquer parâmetro do sistema. 2. Derivação das fórmulas a partir do Teorema de Tellegen e do conceito de redes adjuntas. (1) Entende-se por grafo um conjunto de pontos (vértices) ligados entre si por segmentos de recta (arestas) 8

23 2.2.1 Fórmulas para o cálculo de sensibilidades As fórmulas apresentadas neste capítulo permitem calcular todo o tipo de sensibilidades, isto é, tanto as que dizem respeito a quantidades nodais, relacionadas com as cargas (potência activa e reactiva) ou com parâmetros dos geradores (potência activa e tensão gerada), como as que dizem respeito a alterações da rede (mudanças nas resistências e/ou reactâncias das linhas). Estas fórmulas podem também ser consultadas nas páginas 93 e 94 da tese de referência [5] ou na publicação referida no ponto [1] da bibliografia Modelação da rede adjunta A modelação da rede adjunta definida para o sistema de energia inclui tanto a modelação de nós PQ e PV, como de todas as perturbações possíveis de ocorrer na rede. As fórmulas são derivadas a partir do Teorema de Tellegen em vez das convencionais equações do trânsito de energia. 2.3 Teorema de Tellegen Como foi dito anteriormente, o Teorema de Tellegen exprime uma relação entre grandezas de ramos de duas redes adjuntas. Assim, considerando uma rede de energia N onde é a tensão através do ramo k ϵ K (conjunto de índices para todos os ramos da rede), e considerando ainda uma rede (rede adjunta à rede de energia em estudo), onde é a corrente que atravessa o ramo k, o teorema de Tellegen diz que: No caso de redes que sofrem variações incrementais o Teorema de Tellegen sugere: Uma vez que as perdas são uma quantidade real e a equação acima é uma equação complexa, usa-se a parte real da equação: { } 9

24 2.4 Representação simbólica da rede adjunta A representação simbólica da rede adjunta é topologicamente equivalente à rede de energia, apresentando ambas as redes a mesma estrutura de grafo. Sendo assim, a rede adjunta é definida segundo as seguintes regras: 1. A representação do barramento de balanço, ou de referência, da rede de energia N é feito por uma fonte de tensão independente na rede adjunta das perdas equação A representação das linhas na rede adjunta é efectuada através da mesma admitância da linha da rede de energia, isto é, o ramo k da rede passiva corresponde a uma admitância na representação simbólica da rede adjunta equação A representação dos ramos correspondentes a barramentos do tipo PQ (ramo de carga) é realizada na rede adjunta por uma fonte de corrente dependente equação A representação dos ramos correspondentes a barramentos do tipo PV (geradores) é realizada por meio de uma fonte de tensão dependente equação 2.16 A figura seguinte mostra a representação simbólica dos elementos da rede adjunta: Fig Representação simbólica dos elementos da rede adjunta (1) Fonte de tensão independente (2) Admitância (3) Fonte de corrente dependente (4) Fonte de tensão dependente 10

25 2.5 Sensibilidades - Fórmulas As seguintes fórmulas retiradas de [1] e/ou [5] são a base para computação das sensibilidades de perdas de energia do sistema relativamente a qualquer grandeza do mesmo, incluindo a tensão de referência do sistema, a demanda de potência activa e reactiva, magnitude da tensão gerada e parâmetros de transmissão da rede. Os valores relativos à rede adjunta estão representados com um trema. { } k ϵ (2.4) { } k ϵ (2.5) k ϵ (2.6) { } k ϵ (2.7) { } k ϵ (2.8) { } k ϵ (2.9) { } k ϵ (2.10) As fórmulas para a sensibilidade de perdas com respeito a e, k ϵ derivam das fórmulas anteriores que estão relacionadas com parâmetros dos ramos da rede ( Network): { } k ϵ (2.11) { } k ϵ (2.12) É importante notar que as grandezas adjuntas são definidas segundo o seguinte sistema [1]: k ϵ (2.13) k ϵ (2.14) k ϵ (2.15) k ϵ (2.16) 11

26 2.6 Modelação Nesta secção do capítulo 2 é apresentada a metodologia para obter as fórmulas das sensibilidades, tendo esta por base a modelação da rede adjunta. Tendo em conta a já apresentada soma de Tellegen (primeira parte da equação 2.3), e considerando as diferentes partições do conjunto (ver lista de símbolos) (2.17) conseguem obter-se, com base no sistema das grandezas adjuntas, os k termos da soma de Tellegen. Pode consultar-se uma modelação mais detalhada das fórmulas das sensibilidades na secção 4.4 da tese de referência [5] (pp 95 a 97) Ramo Começando pelo nó de referência e considerando-se o ramo pertencente à partição ( ), assume-se uma alteração na tensão de referência de. Desta forma, o termo 0 da soma de Tellegen é (2.18) Então, com base no sistema que define as grandezas adjuntas, mais concretamente assumindo a equação 2.13, o termo 0 da soma de Tellegen fica: (2.19) Ramo Considerando agora um ramo da partição e assumindo-se uma alteração na admitância desse ramo ΔY k, uma vez que, então (2.20) Combinando as equações 2.3 e 2.20, chega-se ao termo k da soma de Tellegen { ( ) } (2.21) Tal como na secção anterior, tendo por base o sistema que define as grandezas adjuntas e considerando a equação 2.14, chega-se ao termo k da soma de Tellegen que é (2.22) 12

27 2.6.3 Ramo Olhando agora para um ramo pertencente à partição e alterando a potência complexa de carga, tem-se (2.23) Utilizando agora a equação 2.23 e substituindo na equação 2.3, obtém-se o termo k da soma de Tellegen { ( ) } (2.24) Novamente com base no sistema que modela a rede adjunta e utilizando para este caso a equação 2.15, o termo k da equação de Tellegen contribui da seguinte forma { } (2.25) Ramo Por fim, considerando um ramo da partição e assumindo desta vez duas alterações, uma na amplitude da tensão e outra na potência activa tem-se que (2.26) (2.27) Tendo mais uma vez presente a equação base do teorema de Tellegen (2.3) e utilizando as equações 2.26 e 2.27, o termo k da soma de Tellegen pode escrever-se { ( )} { } { } (2.28) Considerando então a última equação do sistema de modelação da rede adjunta (2.16), o termo k da soma de Tellegen baseia-se nos termos { } { } (2.29) 13

28 2.6.5 Soma de Tellegen A variação de primeira ordem na potência de pode obter-se através da soma das contribuições de todos os ramos, correspondentes à soma de Tellegen (contribuições deduzidas ao longo da modelação realizada anteriormente). Tendo em conta que esta variação de primeira ordem corresponde, no nó de referência, a (2.30) obtém-se {( ) } (2.31) { } { } { } { } As derivadas parciais, representadas na secção 2.5 Formulas, são facilmente obtidas tendo em conta o seguinte diferencial: ( ) (2.32) 14

29 2.7 Exemplo Por forma a clarificar toda a informação contida neste capítulo, segue-se um exemplo da aplicação do conceito de rede adjunta e do cálculo das sensibilidades, relativamente aos diferentes parâmetros de uma rede exemplo de cinco barramentos (dados da rede em anexo). Considere-se então a rede da figura abaixo. Fig. 2.2 Representação do sistema de energia exemplo. Os barramentos estão numerados a negrito, enquanto a numeração dos ramos não tem qualquer formatação. Nó 0 referência. Nó 2 PV. Nós 1, 2 e 3 PQ Com base na secção 2.4, e seguindo a representação simbólica para redes adjuntas, obtém-se para o sistema de energia da figura 2.2 a seguinte representação adjunta Fig. 2.3 Rede adjunta correspondente ao sistema de energia da figura 2.2. A numeração dos barramentos e ramos segue a mesma lógica da figura anterior 15

30 O próximo passo implica o cálculo dos valores de tensão para cada barramento, bem como os valores de tensão da rede adjunta correspondentes. Só com todos estes valores é possível calcular as sensibilidades das perdas com base nas fórmulas da secção 2.5. Desta forma, na tabela em baixo estão representados os valores de tensão para os nós da rede exemplo e da correspondente rede adjunta. k j j j j j j j j Tab. 2.1 Valores de tensão do sistema de energia e da rede adjunta correspondente Note-se que para chegar aos valores de tensão para os ramos passivos, faz-se ou, para o ramo que liga os barramentos i e j. Por exemplo, para se obter faz-se. Fazendo chega-se ao valor de. Exemplificando: Tendo todos os valores de tensão, quer da rede de energia quer da sua rede adjunta, podem então calcular-se as sensibilidades das perdas para os diferentes parâmetros do sistema. Na tabela seguinte encontram-se alguns dos valores de sensibilidade para o sistema de energia exemplo. Tipo de ramo k Referência Ramos passivos Nós PQ Nó PV Tab. 2.2 Valores de sensibilidade nos ramos e nós do sistema de energia relativos aos diferentes parâmetros do mesmo 16

31 Este exemplo tem semelhanças com o exemplo apresentado a partir da página 102 da tese de referência [5], no qual também se estudaram as sensibilidades relativas aos parâmetros de uma rede de cinco barramentos (diferente da rede utilizada nesta dissertação). As figuras apresentadas de seguida ilustram a evolução das perdas, com base no cálculo das sensibilidades, aquando da ocorrência de perturbações em alguns parâmetros da rede. A explicação mais detalhada de cada caso será dada seguidamente à figura. Note-se que, as figuras apresentadas neste capítulo ilustram as rectas de nível obtidas a partir do cálculo de perdas por sensibilidades, sendo que a sua comparação com as curvas de nível exactas apenas será realizada no próximo capítulo. No exemplo do capítulo 4 da tese de referência [5], as imagens apresentadas ilustram as perdas calculadas por sensibilidades para um determinado ponto de funcionamento e apresentam as curvas de nível exactas respeitantes às perdas do sistema. Os valores de perdas obtidos no exemplo da tese de referência [5] foram recalculados com sucesso ainda que não apresentados nesta dissertação. No primeiro caso, figura 2.4, está representada a evolução das perdas, dependendo das potências activa e reactiva do nó 3 e do sistema de energia da figura 2.2. No caso seguinte, está ilustrada a forma como evoluem as perdas de energia do sistema, com dependência nas potências activas de dois nós PQ. As potências seleccionadas na figura 2.5 foram e. A última figura (2.6) representa a evolução do valor das perdas de energia relativamente à existência de perturbações na resistência e na reactância e do ramo que liga os barramentos 2 e 4 do sistema. 17

32 Fig. 2.4 Rectas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir das sensibilidades, no espaço, Como foi dito anteriormente, as rectas representadas na figura 2.4 ilustram as perdas de energia do sistema da figura 2.2 no espaço,. Está ainda representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base e. Os valores de sensibilidade responsáveis pelas rectas de nível desta figura são e. 18

33 Fig. 2.5 Rectas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir das sensibilidades, no espaço e Por sua vez, as rectas representadas na figura 2.5 ilustram as perdas de energia do sistema da figura 2.2 no espaço,. Está igualmente representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base e. Neste caso, os valores de sensibilidade responsáveis pelas rectas de nível da figura são e. 19

34 Fig. 2.6 Rectas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir das sensibilidades, no espaço e No exemplo da figura 2.6, as rectas representadas ilustram as perdas de energia do sistema da figura 2.2 no espaço,. À semelhança dos exemplos anteriores, está representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base e. Neste caso, os valores de sensibilidade responsáveis pelas rectas de nível da figura são e. 20

35 2.8 Considerações sobre o capítulo Com o exemplo dado na secção 2.7 ilustrou-se todo o procedimento explicado ao longo do capítulo. Exemplificou-se o conceito de rede adjunta para um sistema de energia exemplo de cinco barramentos e calcularam-se as sensibilidades para os vários parâmetros do mesmo, com base nas fórmulas apresentadas na secção 2.5. As imagens obtidas ilustram a evolução das perdas de energia do sistema quando este sofre perturbações em alguns parâmetros. Como seria de esperar, o cálculo das perdas a partir do modelo de sensibilidades, dá origem a rectas de nível, uma vez que o conceito base desta aproximação representa uma evolução linear de perdas de energia. Outra conclusão que pode tirar-se de cada uma das imagens com as rectas de nível será, quais dos parâmetros testados poderão ter uma maior influência nas perdas de energia, quando sofrem perturbações. Por exemplo, considerando a figura 2.5, pode ver-se facilmente que uma perturbação da potência activa do barramento 1 tem maior efeito nas perdas do que a mesma perturbação na potência activa do barramento 4. Isto confirma os valores de sensibilidade para cada um destes nós relativamente à potência activa ( = e = ) que consideram o barramento 1 mais sensível a perturbações deste parâmetro. Os resultados obtidos neste capítulo reforçam os resultados obtidos no exemplo apresentado na tese de referência [5], relativamente ao cálculo de perdas por sensibilidades. Referir mais uma vez que os valores de sensibilidade e de perdas obtidos no exemplo apresentado a partir da página 102 da tese de referência [5] foram recalculados com sucesso, provando assim a correcta implementação do modelo de sensibilidades em MATLAB. O estudo efectuado neste capítulo será tido em conta mais à frente, a título de comparação com outros modelos de cálculo de perdas de energia, onde poderão tirar-se algumas conclusões acerca da sua precisão. 21

36 22

37 Capítulo 3 Avaliação de perdas Fórmula exacta Neste capítulo aborda-se a avaliação de perdas através da utilização da fórmula exacta desenvolvida com base no Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas, como seguimento do capítulo anterior. É ainda descrita a sua modelação, bem como alguns exemplos para a rede de cinco barramentos já utilizada. 23

38 3.1 Introdução O estudo desenvolvido neste capítulo apresenta-se como tendo por base o capítulo anterior, no entanto, com uma diferença de importante relevo. Não fazer quaisquer aproximações na utilização das equações de Tellegen levando, desta forma, ao desenvolvimento da fórmula exacta para o cálculo de perdas. Este capítulo deve ser considerado relevante no âmbito desta dissertação, uma vez que, na comparação entre modelos aproximados para o cálculo de perdas, é em relação ao modelo exacto que se consideram os erros e se pode concluir acerca da performance das aproximações realizadas. Tal como no capítulo anterior, as perdas no sistema são uma consequência de perturbações na rede, sendo tidos em conta todos os tipos de perturbações já anteriormente considerados. Desta forma, são agora disponibilizadas, sobre a forma de equações exactas, todas as relações relativas às fórmulas derivadas para as sensibilidades, tornando possível a determinação dos valores exactos de perdas em todos e quaisquer barramentos de uma rede de distribuição de energia eléctrica. Este capítulo tem por base o estudo realizado no capítulo 5 da tese de referência [5] e procura complementá-lo com um novo exemplo, que completa também o exemplo do capítulo anterior. É importante notar que, para calcular as perdas através da fórmula exacta, é necessário fazer primeiro a avaliação das tensões do sistema quando sujeito a perturbações. Desta forma, são primeiramente apresentadas as equações exactas para avaliação da tensão. Estas, à semelhança do capítulo anterior, fazem uso de grandezas adjuntas que correspondem às redes adjuntas (valores reais) e (valores imaginários). A modelação destas equações não será apresentada uma vez que o raciocínio é semelhante ao já apresentado na modelação das fórmulas de sensibilidade e ao que será posteriormente apresentado para a fórmula exacta das perdas. Para obter informações mais detalhadas, tanto das equações exactas para avaliação da tensão como da sua modelação e ainda analisar alguns exemplos, deve consultar-se o capítulo 3 da tese de referência [5] Avaliação de tensão Equações exactas. A estrutura deste capítulo é semelhante à do capítulo 2, começando-se com uma breve nota introdutória, seguida dos seus principais objectivos (3.2). A diferença consiste na secção 3.3 que apresenta as equações para avaliação das variações de tensão. É então explicada a modelação da fórmula exacta para avaliação das perdas (3.4), apresentando-se a respectiva fórmula obtida na secção 3.5. O capítulo termina com um exemplo de aplicação da fórmula desenvolvida (3.6) e algumas considerações finais (3.7). 24

39 3.2 Objectivos Tal como anteriormente, o grande objectivo deste capítulo consiste no cálculo de perdas em redes de distribuição com base no Teorema de Tellegen e no conceito de rede adjunta, contudo, agora de forma exacta, não se considerando quaisquer aproximações. Dividindo em pequenos objectivos tem-se para este capítulo: 1. Apresentação da fórmula exacta continuando o estudo do capítulo anterior e calculando as variações de tensão de forma exacta. 2. Exemplificar a fórmula utilizando a rede de cinco barramentos já descrita no cálculo das sensibilidades. 3.3 Variações de tensão - equações exactas Esta secção serve, exclusivamente, para apresentar as equações exactas utilizadas no cálculo das variações de tensão, aquando da ocorrência de perturbações no sistema. As variações de tensão calculadas a partir das equações seguintes serão utilizadas, mais à frente, na fórmula exacta para o cálculo de perdas. Estas equações exactas para o cálculo das variações de tensão podem igualmente ser consultadas nas páginas 53 e 54 da tese de referência [5]. Assim, a parte real das variações de tensão nos barramentos calcula-se da seguinte forma: { } (3.1) { } { } { } { } { } { ( { } { })} 25

40 A parte imaginária das variações de tensão nos barramentos é calculada a partir de: (3.2) { } { } { } { } { } { ( { } { })} 3.4 Dedução da fórmula exacta À semelhança do capítulo anterior, a dedução apresentada nesta secção do capítulo 3 terá por base o teorema de Tellegen e considera-se novamente as diferentes partições do conjunto (ver lista de símbolos). (3.3) Ainda seguindo a lógica do capítulo 2, tem-se um sistema [5] que vai definir as grandezas adjuntas, apresentado a seguir: 26

41 (3.4) k ϵ (3.5) k ϵ (3.6) k ϵ (3.7) É importante notar que esta análise dedutiva da fórmula exacta é em tudo semelhante à modelação da soma de Tellegen do capítulo anterior, assentando a única diferença no facto de considerar para as expressões que representam as perturbações os termos de ordem superior, o que garante a exactidão dos resultados obtidos. Assim sendo, a dedução apresentada de seguida é realizada da mesma forma que a modelação do capítulo 2, apresentando-se apenas para cada partição a(s) perturbação(ões) respectivas, o termo da fórmula exacta que se obtém e a contribuição final para a fórmula exacta, após a aplicação de uma das condições do sistema considerado em cima. Para uma modelação mais detalhada da fórmula exacta para o cálculo de perdas deve consultar-se a secção 5.4 da tese de referência [5] (pp 116 a 119) Ramo Tal como foi feito anteriormente e começando pelo ramo pertencente à partição e considerando uma variação de, o termo 0 da soma de Tellegen é { } (3.8) Assumindo a equação 3.4, o termo 0 da soma de Tellegen fica: { } (3.9) Ramo Considerando um ramo da partição e assumindo-se uma alteração na admitância desse ramo, então (3.10) Sendo o termo k da soma de Tellegen { ( ) } (3.11) 27

42 Recorrendo à equação 3.5 do sistema das grandezas adjuntas obtém-se o termo k simplificado { } (3.12) Ramo Olhando agora para um ramo pertencente à partição e alterando a potência complexa de carga (3.13) O termo k da fórmula é { ( ) } (3.14) Simplificado pela equação 3.6, o termo k fica { } (3.15) Ramo Para os ramos da partição e tendo em conta alterações na amplitude da tensão e na potência activa tem-se que (3.16) (3.17) Obtêm-se assim os últimos termos da soma de Tellegen: { ( )} { } { } { ( { } { })} (3.18) Considerando então a última equação do sistema das grandezas adjuntas (3.7), o termo k da soma de Tellegen baseia-se apenas nos termos 28

43 { } { } { ( { } { })} (3.19) 3.5 Fórmula exacta Considerando também os termos de ordem superior, o Teorema de Tellegen sugere que a fórmula exacta [5] é (3.20) Juntando agora todos os termos obtidos na dedução anterior chega-se a, obtendo-se a fórmula que permite calcular com exactidão as perdas para uma rede distribuição, relativamente a qualquer perturbação que possa ocorrer na mesma. {( ) (3.21) ( { } { })} 29

44 3.6 Exemplo Tal como no capítulo anterior, esta secção Exemplo serve para apresentar os resultados obtidos aquando da aplicação das expressões e modelos descritos ao longo do capítulo. Seguindo também a lógica do capítulo anterior, serão então apresentadas as curvas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, dependendo da ocorrência de perturbações em diferentes parâmetros da rede. Estes resultados serão apresentados na subsecção Na subsecção ter-se-á então uma primeira comparação de resultados entre modelos. Esta primeira comparação torna possível começar a tirar algumas conclusões relativamente à precisão do modelo de cálculo de perdas por sensibilidades, quando comparado com a fórmula exacta deduzida com base no Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas. Remetendo para a tese de referência [5] podemos igualmente encontrar no exemplo do capítulo relativo à fórmula exacta algumas comparações dos resultados obtidos por sensibilidades com os resultados obtidos de forma exacta (pp 124 e 125). Tal como no capítulo anterior alguns dos resultados obtidos no exemplo da tese de referência [5] foram replicados com sucesso, provando-se assim a correcta implementação da fórmula exacta no MATLAB Exemplo Fórmula Exacta As figuras apresentadas de seguida ilustram a evolução das perdas, com base na fórmula exacta deduzida a partir do Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas, para a ocorrência de perturbações em alguns parâmetros do sistema de energia. Os espaços escolhidos são semelhantes aos apresentados no capítulo 2 para tornar possível a posterior comparação de resultados. A explicação mais detalhada de cada caso será dada a seguir à respectiva figura. Nestas figuras estão, à semelhança das figuras obtidas no exemplo do capítulo anterior, está ainda assinalado o valor das perdas para os pontos de funcionamento do caso base (determinado através de um trânsito de energia convencional). 30

45 No primeiro caso está representada a evolução das perdas com base na fórmula exacta, dependendo das potências activa e reactiva do nó 3 e do sistema de energia da figura 2.2. Fig. 3.1 Curvas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir da fórmula exacta, no espaço e Está ainda representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base e que é igual a

46 No segundo exemplo, está ilustrada a forma como evoluem as perdas de energia do mesmo sistema, com dependência nas potências activas de dois nós PQ. As potências seleccionadas na figura 3.2 foram e. Fig. 3.2 Curvas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir da fórmula exacta, no espaço e Neste exemplo é claramente notório que, apesar das perdas de energia aumentarem tanto com a potência activa do barramento 1 como com a potência activa do barramento 2, têm uma evolução mais rápida para valores de potência activa mais elevados no primeiro barramento. Está igualmente representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base e que é igual a

47 A figura 3.3 representa a evolução do valor das perdas de energia relativamente à existência de perturbações na resistência e na reactância e do ramo que liga os barramentos 2 e 4 do sistema. Fig. 3.3 Curvas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir da fórmula exacta, no espaço e À semelhança dos exemplos anteriores, está representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base e que é novamente igual a Tal como já tinha sido visto no capítulo das sensibilidades, confirma-se com este exemplo que a resistência de uma linha tem um efeito muito superior relativamente às perdas de energia do que a sua reactância. A secção seguinte permite tirar algumas conclusões relativamente a estes dois modelos uma vez que são comparados os resultados dos dois modelos já conhecidos Comparação de resultados Como foi dito, esta secção de comparação de resultados permite tirar as primeiras conclusões relativamente à precisão do modelo de sensibilidades para o cálculo de perdas. Uma vez que, tanto no capítulo 2 como neste capítulo os exemplos escolhidos foram os mesmos, podem então sobrepor-se os resultados e observar quão preciso é o cálculo de perdas por sensibilidades em relação ao cálculo de perdas pela fórmula exacta desenvolvida neste capítulo. 33

48 Fig. 3.4 Comparação dos resultados obtidos relativamente ao cálculo de perdas de energia por sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço e Tendo em conta a figura acima, a primeira diferença que se destaca é o facto de, quando se trata da fórmula exacta, se obterem curvas de nível e não rectas, uma vez que as perdas não evoluem necessariamente de forma linear com a variação de um parâmetro. Para este caso específico, olhando para a imagem, pode considerar-se que o cálculo de perdas por sensibilidades aproxima-se daquilo que são os valores exactos, pelo menos no que diz respeito à evolução das perdas. Naturalmente, no ponto de funcionamento base e, a recta das sensibilidades é tangente à curva de nível resultante da fórmula exacta, sendo o valor das perdas para este ponto Isto acontece uma vez que para as sensibilidades é realizado um trânsito de energia para o caso base. Olhando para outras rectas, como é o caso em que as perdas são 0.04 e 0.06, vê-se que estas rectas de sensibilidades não são tangentes à curva que corresponde ao mesmo valor de perdas, no entanto, são bastante próximas. Considerando outro ponto de funcionamento específico, podemos olhar para o caso em que a potência activa do barramento 3 é 0.2 e a potência reactiva é 0.1. Aqui pode ver-se, que o valor de perdas para este ponto de funcionamento quando calculado pelas sensibilidades é igual a 0.03, enquanto, na realidade, o valor de perdas exacto é de O mesmo acontece com o ponto de funcionamento em que as potências activa e reactiva são, respectivamente, 0.65 e 0.15, onde segundo as sensibilidades o valor de perdas é de 0.07 quando o valor real é Com esta análise mais precisa, percebe-se que o erros do modelo de sensibilidades para este exemplo são consideráveis (entre 10% e 15%). 34

49 Fig. 3.5 Comparação dos resultados obtidos relativamente ao cálculo de perdas de energia por sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço e Neste segundo exemplo, em que o plano escolhido envolve as potências activas de dois dos barramentos pode ver-se que os resultados do cálculo de perdas por sensibilidades são mais precisos para valores de potência mais elevados e, ainda, que o sentido de evolução das perdas é correcto. Observando a imagem, nota-se que para alguns pontos de funcionamento, os resultados obtidos a partir das sensibilidades são muito próximos dos valores exactos, uma vez que as rectas de nível são praticamente tangentes às curvas de nível da fórmula exacta. No entanto, à medida que nos afastamos deste ponto de funcionamento, para potências activas mais baixas, o erro vai aumentar e os resultados começam a ser menos precisos. Tenhamos em conta, por exemplo, o caso em que uma perturbação leva as potências activas de ambos os barramentos para Para este caso, o valor de perdas calculado pelas sensibilidades é , sendo que o valor exacto é de Olhando para este ponto de funcionamento na imagem, vê-se que a recta de nível é praticamente tangente à curva de nível, obtendo-se então um erro muito pequeno de 1.55%. Ainda dentro dos resultados com bons níveis de precisão, podemos observar o ponto em que ambas as potências activas vão para 0.8. Aqui, pelas sensibilidades, o valor de perdas é igual a , e pela fórmula exacta é Novamente um erro muito pequeno de cerca de 1.2%. Por outro lado, se considerarmos uma perturbação que afaste o sistema do ponto de funcionamento base, e com potências activas abaixo deste ponto para o barramento 4, irão obter-se erros superiores. Considerando assim, um ponto próximo do cruzamento de uma recta de nível com uma curva, a potência activa do barramento 1 é igual a 0.45 e a potência activa do barramento 4 é 0.4. Neste ponto, o resultado para as perdas obtido através das sensibilidades é de , sendo 35

50 que o valor exacto corresponde a aproximadamente Quer isto dizer que o valor se tornou menos preciso, verificando-se um erro de cerca de 9%. Não obstante e após esta avaliação detalhada, podemos considerar que para este exemplo, o modelo aproximado por sensibilidades tem uma precisão bastante razoável. Fig. 3.6 Comparação dos resultados obtidos relativamente ao cálculo de perdas de energia por sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço e Para este exemplo final, em que o plano escolhido foi o da resistência e reactância do ramo que liga os barramentos 2 e 4, percebe-se facilmente que a variação da reactância é o principal factor para reduzir significativamente a precisão do modelo de sensibilidades. Se considerarmos a reactância no ponto de funcionamento base ( ) e variarmos apenas a resistência, o valor das perdas calculadas a partir das sensibilidades, é aproximado ao valor exacto (rectas tangentes ou que cruzam as curvas de nível nestes pontos). No entanto, variando a reactância, a precisão vai diminuir bastante. Olhando, por exemplo, para o ponto em que uma perturbação reduz a resistência do ramo para 0.02pu, ficando a reactância com valor igual a 0.45pu, as perdas exactas são de 0.045, enquanto pelas sensibilidades se obtém Este erro é considerável (cerca de 11%) e observando a evolução da curva tende a aumentar. Resumindo, para este exemplo, as rectas de nível geradas pela análise das sensibilidades dão a ideia de que as perdas diminuem com o aumento da reactância, quando na verdade aumentam. 36

51 3.7 Considerações sobre o capítulo Fazendo uma breve revisão do que foi apresentado até este capítulo é importante recordar que foram, até agora, estudadas duas formas diferentes de calcular as perdas num sistema de energia eléctrica. São eles o cálculo de perdas por sensibilidades e a fórmula exacta. Note-se que ambos têm por base o Teorema de Tellegen e o conceito de rede adjunta, matérias que foram igualmente abordadas. Após este capítulo é então possível tirar conclusões acerca da precisão do modelo aproximado por sensibilidades. Analisando os vários exemplos descritos é possível dizer que este modelo pode, em alguns casos, ter uma precisão aceitável obtendo-se resultados próximos dos exactos, porém pode igualmente gerar valores que se afastam consideravelmente da realidade. Nos dois primeiros exemplos, em que se consideraram perturbações ao nível de potências activas e reactivas nos barramentos, os resultados obtidos foram aceitáveis, não só do ponto de vista da sua proximidade com os valores exactos, mas também do ponto de vista da evolução das perdas com a variação dos parâmetros em questão. Por outro lado, o último exemplo, representa um caso em que o modelo aproximado por sensibilidades, apresenta resultados enganosos, uma vez que sugere a diminuição das perdas com o aumentar de um parâmetro, quando na realidade acontece precisamente o contrário. Os resultados obtidos com os exemplos apresentados neste capítulo permitem reforçar as conclusões da tese de referência [5] acerca de uma análise de perdas por sensibilidades e recorrendo ao modelo exacto, uma vez que também nos exemplos dados em [5] o modelo de sensibilidades apresentou erros elevados para alguns espaços de parâmetros e erros inferiores para outros, relativamente à fórmula exacta. Desta forma, deve ter-se em conta que através das sensibilidades, ainda que possam obter-se resultados com um pequeno esforço computacional e um tempo de cálculo atractivo quando comparado com a realização de um trânsito convencional de energia para cada caso possível, pode chegar-se a resultados muito distantes da realidade. Isto faz deste modelo útil quando a precisão dos resultados não é o mais importante, mas sim a facilidade e rapidez com que são obtidos. Por outro lado, a fórmula exacta derivada do Teorema de Tellegen é bastante precisa, uma vez que faz o uso das variações de tensão exactas em cada barramento, também elas calculadas com base no mesmo teorema e no conceito de rede adjunta. 37

52 38

53 Capítulo 4 Avaliação de tensão em redes de distribuição - Modelo aproximado Abordagem do tema aproximação na avaliação de tensões, contrapondo-se o trânsito de energia convencional com o novo modelo numa solução local. Estudo da precisão para ambos os casos com um exemplo e posteriores conclusões. 39

54 4.1 Introdução Neste capítulo será abordada a avaliação de tensões de forma aproximada. Apesar de o tema desta dissertação incidir sobre a aproximação ao cálculo de perdas, este capítulo servirá de base para o capítulo seguinte. Como o próprio título indica, no capítulo 4 será apresentado um modelo a partir do qual se obterão valores de tensão aproximados, que serão posteriormente utilizados no modelo aproximado de perdas apresentado no próximo capítulo. Abordando o tema equações de trânsito de energia para redes de distribuição, sabe-se que as tensões são as grandezas desconhecidas, que são necessárias tantas equações quantos os barramentos da rede e que estas equações têm por base o princípio da conservação da potência em cada um dos nós. Contudo, existe outro tipo de equações de trânsito de energia, também elas assentes no conceito de redes adjuntas e baseadas no Teorema de Tellegen. Serão estas equações o principal alvo de estudo deste capítulo. Note-se que aqui apenas serão consideradas redes com um nó de referência e os restantes nós PQ rede de distribuição. Ainda que este capítulo esteja relacionado com o capítulo 6 da tese de referência [5] tem por base a publicação referenciada com o número [2] na bibliografia. Exemplos de ambas as publicações são a base para os exemplos apresentados neste capítulo, no entanto, os exemplos aqui apresentados utilizam redes de distribuição diferentes (10 barramentos) e cujas características podem ser consultadas no final em anexo. Nos exemplos apresentados na tese de referência [5] são comparados mais modelos para o cálculo de tensões (e.g. sensibilidades para cálculo de tensões), uma vez que o trabalho desenvolvido nessa tese também envolve o estudo do cálculo aproximado de tensões. Na presente dissertação o estudo incidirá exclusivamente sobre o modelo apresentado neste capítulo e sobre as equações convencionais numa solução local. A estrutura deste capítulo conta, tal como nos anteriores, com uma nota introdutória (4.1), seguida do objectivo principal que se pretende demonstrar (4.2). Na secção 4.3 apresentam-se, em forma de comparação, os dois tipos de equações de trânsito de energia abordados neste capítulo, sendo que a secção 4.4 se destina à apresentação das equações baseadas no modelo de Tellegen mas para uma solução local, isto é, definindo-se uma região de acção em torno da perturbação ocorrida. Seguem-se então as comuns secções de exemplos (4.5) e considerações sobre o capítulo (4.6). 4.2 Objectivo O grande objectivo do capítulo 4 é fazer-se a comparação dos dois tipos de equações de trânsito de energia (eqs. convencionais e eqs. com base no Teorema de Tellegen), aquando da ocorrência de perturbações locais, estudando-se qual a precisão para cada um dos casos na obtenção da resposta de todo o sistema de distribuição. Desta forma, será apresentado um modelo de equações de solução local baseado no Teorema de Tellegen e será comparado com a solução local do modelo convencional de trânsito de energia. 40

55 4.3 Trânsito de energia convencional VS Equações com base no Teorema de Tellegen Olhando primeiramente para o caso convencional, as equações de trânsito de energia [2] apresentam-se da seguinte forma: (4.1) (4.2) sendo que m corresponde ao índice do nó, é a admitância do ramo mk, e correspondem à magnitude da tensão nos nós m e k respectivamente, assim como e são, respectivamente, os ângulos da tensão em m e k. e são a potência activa e reactiva injectadas. Como foi dito anteriormente, na nota introdutória, quando se fala em trânsito de energia em redes de distribuição, os valores que correspondem a incógnitas são os valores de tensão, sendo assim necessário, que o número de equações 4.1 e 4.2 corresponda ao número de barramentos de rede. No entanto, o foco do capítulo 4 é estudar as equações de trânsito de energia para um contexto diferente, o estudo do comportamento do sistema a perturbações localizadas. Assim sendo, voltando à base de estudo definida para esta dissertação, segundo o Teorema de Tellegen e com base no conceito de redes adjuntas, apresentam-se em baixo as novas equações de trânsito de energia [2]: { } (4.3) { } (4.4) onde novamente m corresponde ao índice de um nó. 41

56 Tal como nas equações de Tellegen dos capítulos anteriores, temos agora um conjunto de partições de K, sendo que corresponde aos ramos que sofrem uma perturbação na sua admitância, para os nós cuja perturbação afecta a sua potência complexa e para todos os nós da rede. Nestas equações, os valores de,, e são conhecidos, assim como os valores e, que correspondem às quantidades adjuntas e são computadas juntamente com todas as outras grandezas conhecidas, para o caso base considerado. Note-se que, o cálculo e desenvolvimento de expressões para estas grandezas adjuntas (~ e ^) não são apresentados nesta dissertação, uma vez que são em tudo semelhantes ao cálculo das grandezas adjuntas apresentado no capítulo 2 e não são o foco principal deste estudo. Comparando agora os dois conjuntos de equações de trânsito de energia, são notadas uma série de diferenças. Para começar, as equações com base no Teorema de Tellegen têm em conta quantidades incrementais e. A outra grande diferença assenta no facto de as equações que são alvo de estudo neste capítulo serem de uma natureza mais local. Quer isto dizer que não são necessárias tantas equações quanto o número de nós da rede em estudo, sendo suficiente um conjunto de equações que contemple os nós directamente envolvidos nas perturbações região curta ou um conjunto que também inclua os nós vizinhos dos nós envolvidos em cada perturbação região alargada. Um dos objectivos, no exemplo dado no final deste capítulo, será precisamente comprovar a natureza mais local destas equações, face às equações do trânsito de energia convencional. 4.4 Solução local para as novas equações Um modelo de solução local consiste na obtenção da resposta do sistema, considerando apenas uma região localizada em torno da(s) perturbação(ões). Assim, tendo em conta as equações 4.3 e 4.4 e excluindo todos os termos que não se incluem na região definida, obtêm-se as equações do modelo aproximado por solução local para avaliação de tensões [2]. São elas: { } (4.5) { } (4.6) 42

57 Note-se que agora tem-se a partição, em vez da partição. Esta nova partição contém todos os nós dentro da região definida em torno da perturbação (apenas nós envolvidos região curta - ou incluindo nós vizinhos região alargada). É importante reter que é igualmente possível fazer esta mesma aproximação, definindo uma região localizada em torno da perturbação, para as equações convencionais. Este teste será feito na secção seguinte, podendo então tirar-se conclusões acerca da precisão para os dois grupos de equações aquando da aproximação por solução local. 4.5 Exemplos Neste capítulo, a secção de exemplo visa, principalmente, mostrar a precisão do modelo aproximado para avaliação da tensão em redes de distribuição. Como tal, é apresentada uma rede de distribuição de 10 barramentos, com a qual se irá testar o modelo apresentado, após a ocorrência de algumas perturbações na mesma. O primeiro teste feito nesta secção de exemplo será a avaliação do erro de cálculo da variação de tensão nos barramentos para uma solução local, quer do modelo aproximado, quer das equações convencionais de trânsito de energia. Este teste implica a aplicação de uma perturbação na rede (e.g. retirar uma linha), testando-se ainda o efeito de diferentes cargas na precisão do novo modelo desenvolvido. Numa segunda abordagem vai verificar-se a diferença de precisão do modelo aproximado considerando-se uma região superior para a solução local, isto é, considerando-se não apenas os nós envolvidos na perturbação, mas também os nós vizinhos (região alargada). Desta forma, considera-se para os primeiros testes a rede de 10 barramentos da figura 4.1 apresentada em baixo. Note-se que, os dados relativos a resistências e reactâncias dos ramos, bem como potências injectadas nos nós, se encontram no final em anexo. Fig. 4.1 Rede de distribuição completa (10 barramentos) utilizada nos testes do Modelo aproximado para avaliação de tensão 43

58 4.5.1 Testes e Resultados Nesta secção segue-se a apresentação dos testes realizados e respectivos resultados. Fig. 4.2 Rede de distribuição da figura 4.1 com perturbação (retirar ramo entre os nós 7 e 9) A figura 4.2 mostra a ocorrência de uma perturbação na configuração da rede de distribuição. A perturbação em causa é o retirar de um dos ramos da rede (ramo a vermelho que liga os barramentos 7 e 9). O primeiro gráfico apresenta os resultados para uma aproximação por solução local de ambos os modelos (equações derivadas do Teorema de Tellegen e equações convencionais do trânsito de energia). Fig. 4.3 Comparação do erro de uma solução local para os dois tipos de equações 44

59 O gráfico anterior mostra-nos que, quando efectuada uma localização do problema, apenas com as equações derivadas do Teorema de Tellegen se obtêm bons resultados. Considerou-se uma região de observação contendo apenas os barramentos envolvidos directamente na perturbação - região curta - e utilizando ambas as equações calcularam-se os novos valores de tensão. Assim, em comparação com os resultados obtidos pela fórmula exacta para o cálculo de variações de tensão apresentada na secção 3.3 do capítulo anterior, pode verificar-se que o erro para as equações de Tellegen é praticamente nulo (valores de erro representados por circulos azuis e sobrepondo o eixo) enquanto que, para as equações convencionais, os erros resultantes desta solução local foram bastante consideráveis. Prova-se, desta forma, que as equações derivadas do Teorema de Tellegen são bastante precisas, mesmo para uma solução local, enquanto que, para a mesma situação, as equações convencionais não apresentam resultados precisos. Este resultado reforça o resultado apresentado no gráfico da página 153 da tese de referência [5] no qual se pode igualmente ver que o erro das equações derivadas do Teorema de Tellegen é praticamente nulo ao contrário das equações convencionais, para uma solução local. Os testes realizados a partir deste ponto apenas contemplam as equações baseadas no Teorema de Tellegen. O gráfico em baixo mostra os erros no cálculo das tensões nos barramentos para a solução local destas equações, considerando exclusivamente os nós envolvidos na perturbação (7 e 9) região curta e diferentes níveis de carga nos barramentos. Fig. 4.4 Valores de erro do modelo aproximado relativamente ao cálculo exacto das tensões para diferentes níveis de carga nos barramentos 45

60 Observando o gráfico da figura 4.4, há duas conclusões claras que podem ser tiradas. A primeira é que, naturalmente, o erro de cálculo aumenta com o nível de carga nos barramentos. A segunda é que, independentemente do nível de carga nos barramentos, os valores de erro são muito pequenos, aproximando-se muito de 0 (ordem de 10-6 ). Note-se, ainda que considerando apenas os barramentos envolvidos na perturbação região curta que os resultados mostram que uma solução local das equações baseadas no Teorema de Tellegen, para o cálculo de tensões, é bastante precisa. Outra conclusão que pode ser tirada olhando para o gráfico da figura 4.4 é que, a partir dos valores de carga nominal, o aumento do erro é superior do que a diminuição do mesmo para valores de carga abaixo dos nominais. Os erros para valores de carga a 125% dos valores nominais, aumentaram mais do que diminuíram ao considerar-se 50% da carga nominal. Um teste com conclusões semelhantes pode ser encontrado na página 152 tese de referência [5]. O gráfico em baixo mostra o erro de cálculo do teste realizado no gráfico anterior, mas apenas para valores nominais de carga. Fig. 4.5 Valores de erro do modelo aproximado relativamente ao cálculo exacto das tensões com carga nominal nos barramentos 46

61 Os próximos testes realizados servem para mostrar o aumento de precisão das equações derivadas do Teorema de Tellegen quando é considerada uma região de observação superior. Todos os valores exactos de tensão apresentados de seguida foram calculados com as equações apresentadas na secção 3.3 desta dissertação. Assim sendo, os próximos testes consideram uma perturbação na rede de distribuição da figura 4.6, à qual é retirado um ramo e inserido outro que liga barramentos diferentes. Notar ainda que nos testes seguintes, a carga nos barramentos foi colocada a 150% dos valores nominais por forma a obterem-se resultados mais expressivos e fáceis de observar. Na tese de referência [5] é possível encontrar um teste semelhante mas para uma rede de 14 barramentos (pp 164 a 169). O exemplo apresentado na presente dissertação tem apenas em conta a parte real e imaginária das variações de tensão nos barramentos, enquanto no exemplo da tese de referência [5], o módulo e fase das variações de tensão são também considerados. É importante notar mais uma vez que, por questões de validação do código MATLAB implementado para este modelo aproximado para avaliação de valores de tensão, o exemplo aqui referido da tese de referência [5] (pp 164 a 169) foi reconstituído com sucesso, obtendo-se os mesmos resultados e gráficos ainda que não apresentados nesta dissertação. Como forma de esclarecimento note-se que, tanto na presente dissertação como na tese de referência [5], e ainda que as equações derivadas do Teorema de Tellegen calculem apenas as variações de tensão nos barramentos após a ocorrência de perturbações na rede, os gráficos de resultados dos exemplos apresentados mostram os valores de tensão nos barramentos após a perturbação em vez das variações (valor base de tensão + variação calculada). A rede em baixo é a rede de distribuição a ser perturbada. É em tudo semelhante à rede da figura 4.1, tendo apenas um reduzido número de ligações entre os barramentos. Fig. 4.6 Rede de distribuição derivada da rede da figura 4.1 (reduzido número de ligações entre os barramentos) 47

62 A imagem seguinte mostra a perturbação considerada e quais os barramentos envolvidos. Assim, ao retirar-se o ramo que liga os barramentos 2 e 4 e colocando-se um ramo de ligação entre os barramentos 5 e 9, a região curta de observação irá conter os nós 2, 4, 5 e 9 (directamente envolvidos nas perturbações), enquanto que a região alargada de observação (também contém os barramentos vizinhos) inclui os nós 2, 4, 5, 9 e, ainda, os nós 3, 6, 7. Fig. 4.7 Rede de distribuição da figura 4.5 com perturbações (retirar ramo entre os barramentos 2 e 4 e ligar os barramentos 5 e 9) Referir ainda que, caso seja feito um acompanhamento simultâneo do exemplo da tese de referência [5] (pp 164 a 169 e que considera uma rede de 14 barramentos), a sintaxe utilizada para referir as diferentes regiões de observação é diferente. Desta forma, na tese de referência [5] foi utilizado o termo camada 1, para referir a região de observação que contém apenas os barramentos envolvidos directamente na perturbação, e que corresponde, na presente dissertação, ao termo região curta de observação ou apenas região curta. Para o caso em que os barramentos vizinhos são incluídos na região de estudo, a tese de referência [5] utiliza o termo camada 2 cuja correspondência na presente dissertação é região alargada de observação ou apenas região alargada. 48

63 Considerando a perturbação descrita em cima, o primeiro gráfico de resultados compara os valores exactos da parte real da tensão, com os mesmos valores quando calculados pelas equações baseadas no Teorema de Tellegen, para a solução local considerando apenas a região curta de observação barramentos 2, 4, 5 e 9. Fig. 4.8 Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte real das tensões nos barramentos directamente perturbados região curta Olhando para o gráfico anterior pode ver-se que existe alguma diferença entre os valores exactos (traço contínuo) e os valores calculados com o modelo aproximado (traço ponteado), ainda que isto não aconteça para todos os nós. Note-se que esta diferença entre valores exactos e aproximados, ainda que bem visível graficamente, é bastante reduzida (ordem de 10-2 ), o que mostra a grande precisão do modelo aproximado por solução local das novas equações derivadas do Teorema de Tellegen. 49

64 No gráfico seguinte, pretende observar-se se, considerando uma região superior, a precisão dos valores aumenta. Assim, considerando também os barramentos vizinhos daqueles que estão directamente envolvidos nas perturbações (barramentos 3, 6 e 7) obtém-se o gráfico da figura 4.9, em baixo. Fig. 4.9 Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte real das tensões nos barramentos directamente perturbados e barramentos vizinhos região alargada No gráfico da figura 4.9, pode então ver-se que os valores da parte real da tensão se tornaram mais precisos aumentando a região de estudo. Comparando entes gráfico com o da figura 4.8, notase claramente que a diferença de valores, principalmente dos barramentos 4 e 9, foi bastante reduzida. Neste último gráfico, o facto de a linha ponteada (modelo aproximado) se sobrepor muito mais à linha dos valores exactos, significa que a precisão dos resultados aumentou com a região de observação. 50

65 As próximas imagens são o resultado dos testes que, seguindo a mesma linha de raciocínio dos dois testes anteriores, consideram agora a parte imaginária dos valores de tensão nos barramentos. Assim, o gráfico apresentado em baixo mostra a parte imaginária dos valores de tensão calculados a partir das novas equações derivadas do Teorema de Tellegen face aos valores clculados pelas equações exactas, considerando apenas a região curta de observação. Fig Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte imaginária das tensões nos barramentos directamente perturbados região curta Neste caso, ainda que os valores calculados a partir do modelo aproximado sejam mais precisos que os observados para a parte real das tensões nas mesmas condições (figura 4.8), nota-se para o barramento 9 uma diferença bastante explicita entre os valores aproximados e os valores reais. 51

66 Tal como nos exemplos apresentados para a parte real das tensões é esperado que, com o aumento da região de observação, as pequenas diferenças observadas na imagem anterior sejam reduzidas e se tornem quase nulas. A figura em baixo mostra-nos os resultados da parte imaginária das tensões considerando-se então a região alargada de observação para o modelo aproximado por solução local das equações derivadas do Teorema de Tellegen. Fig Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte imaginária das tensões nos barramentos directamente perturbados e barramentos vizinhos região alargada Olhando para o gráfico acima, em que é considerada a região alargada de observação, a linha ponteada correspondente aos valores aproximados sobrepõem, praticamente, a linha contínua dos valores exactos. Isto significa que também na parte imaginária dos valores de tensão, se verifica o fenómeno do aumento de precisão no cálculo de tensões através do modelo aproximado por solução local com base no Teorema de Tellegen quando se aumenta a região de observação. 52

67 4.6 Considerações sobre o capítulo Tal como foi dito no início deste capítulo, o estudo aqui descrito serve de base para o capítulo seguinte, uma vez que o cálculo aproximado de perdas poderá ter por base o cálculo aproximado de valores de tensão nos barramentos aqui considerado. O grande objectivo deste capítulo era mostrar que o modelo aproximado para o cálculo de tensões baseado no Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas tem uma precisão bastante aceitável o que permite, ao mesmo tempo, inseri-lo num modelo aproximado para o cálculo de perdas. Os testes realizados provam que, de facto, os valores de tensão calculados a partir deste modelo, após qualquer perturbação da rede, são muito próximos dos valores de tensão exactos e que, quanto maior a região de estudo considerada, maior será a precisão do modelo. Tal como sugerido anteriormente, o acompanhamento em simultâneo dos exemplos apresentados nesta dissertação e dos exemplos apresentados na tese de referência [5] permite reforçar esta conclusão acerca do modelo aproximado por solução local desenvolvido neste capítulo uma vez que, nos exemplos de ambas as dissertações, o comportamento do modelo foi semelhante, podendo notar-se um aumento de precisão com a região de observação. Outro dos objectivos era estudar uma solução local para as equações convencionais de trânsito de energia. Este teste foi o primeiro a ser realizado na secção de exemplo, tendo-se chegado à conclusão que, considerando apenas a região perturbada para estas equações, os resultados obtidos revelam um erro muito superior, comparativamente à solução local do modelo aproximado com base no Teorema de Tellegen. Pode assim dizer-se que as novas equações derivadas do Teorema de Tellegen têm um carácter mais local do que as equações convencionais. Testes apresentados na publicação [2] devem igualmente ser consultados para reforçar esta conclusão. Introduzindo o próximo capítulo, será estudado um modelo aproximado para avaliação de perdas, que tem por base as equações para o cálculo aproximado de tensões estudadas neste capítulo, as quais apresentaram resultados muito bons relativamente à precisão, quando comparados com os valores exactos. 53

68 54

69 Capítulo 5 Avaliação de perdas em redes de distribuição - Modelo aproximado Capítulo destinado à apresentação de um modelo aproximado para cálculo de perdas que tem por base o capítulo anterior, isto é, o cálculo aproximado e localizado das variações de tensão. Numa fase final compara-se o método apresentado neste capítulo com outros métodos para cálculo de perdas já abordados ao longo da dissertação (sensibilidades e fórmula exacta). 55

70 5.1 Introdução O capítulo 5 deve ser tido em conta como um capítulo chave na obtenção de conclusões. Não só apresenta um modelo aproximado para o cálculo de perdas, que tem por base todo o estudo efectuado no capítulo anterior (avaliação aproximada de valores de tensão), como ainda tem em conta a comparação ao nível de desempenho e precisão dos diferentes modelos para cálculo de perdas em redes de distribuição de energia eléctrica. Note-se também que para calcular as perdas de forma exacta é necessário calcular as tensões de forma exacta. Com uma simples leitura do capítulo 3 (fórmula exacta para avaliação de perdas) é facilmente perceptível esta questão. No entanto, a ideia do modelo aproximado para a avaliação de perdas consiste na obtenção de bons resultados para as perdas, fazendo um menor esforço para calcular as tensões. Quer isto dizer que, mesmo recorrendo à fórmula exacta desenvolvida no capítulo 3, nem todos os termos desta vão ser utilizados, mas apenas aqueles para os quais se obteve um valor de ΔV, através da utilização do modelo aproximado para avaliação de tensões desenvolvido no capítulo anterior. Numa abordagem simplificada, este modelo é a fusão dos dois capítulos anteriores, pois envolve a utilização da fórmula exacta de forma aproximada. O estudo desenvolvido neste capítulo tem por base o capítulo 7 da tese de referência [5]. A consulta deste capítulo na tese de referência [5] irá reforçar a ideia da validade deste modelo aproximado, uma vez que podem encontrar-se alguns testes semelhantes e que pretendem demonstrar o comportamento do mesmo face a outros modelos para cálculo de perdas. Notar que, na tese de referência [5], o modelo aproximado apresentado neste capítulo surge com o nome de LMini (notação não utilizada na presente dissertação). Relativamente à estrutura deste capítulo é conservada a estrutura utilizada para os capítulos anteriores. Introduz-se o capítulo, bem como os seus principais objectivos (5.2), segue-se a explicação teórica do modelo a desenvolver (5.3), uma apresentação geral dos modelos com que se pretende comparar o modelo desenvolvido (5.4) e de seguida, já como forma de tirar as conclusões chave da dissertação, são apresentados exemplos por forma a comparar os diferentes métodos de cálculo de perdas propostos (5.5). O capítulo termina com uma secção de considerações sobre o mesmo (5.6). 56

71 5.2 Objectivos Para este capítulo é importante clarificar a existência não de um, mas de dois grandes objectivos. O primeiro objectivo deste capítulo é estabelecer equações aproximadas e procedimentos para o cálculo de perdas em redes de distribuição, através do desenvolvimento de um modelo aproximado que engloba estudos apresentados anteriormente nesta dissertação, mais concretamente o modelo aproximado para avaliação de tensões e a fórmula exacta desenvolvida a partir do Teorema de Tellegen. Outro objectivo é obter conclusões, comparando os diferentes modelos desenvolvidos para avaliação de perdas em redes, ao nível da precisão dos resultados. Cumpridos estes objectivos podem então tirar-se as conclusões finais que são o grande objectivo da dissertação. 5.3 Modelo aproximado por solução local Conceito Como foi explicado de forma geral na introdução, a grande ideia deste modelo é o cálculo de perdas por aproximação, utilizando a fórmula exacta do capítulo 3, mas de forma aproximada. Nesta secção pretende-se uma abordagem mais específica, isto é, qual o tipo de aproximações que serão feitas na fórmula exacta do terceiro capítulo por forma a conseguir-se um modelo aproximado para as perdas. Outra questão que se põe, e como pode verificar-se pelo título desta secção (5.3 Modelo aproximado por solução local), é precisamente como será feita esta localização no modelo a desenvolver. Assim, como resposta a estas duas questões, pode dizer-se que este modelo aproximado envolve a utilização da fórmula exacta para cálculo de perdas, contudo, não se utilizam todas as variações de tensão, mas apenas algumas (certas variações podem ser consideradas como desprezáveis), e para essas variações não serão utilizados valores exactos, mas aproximados. Como tal, as variações de tensão calculadas incidirão exclusivamente sobre os ramos mais influentes (como explicado no capítulo anterior, ramos onde ocorrem as perturbações e/ou ramos da sua vizinhança). Estes valores de variações de tensão a utilizar devem ser obtidos segundo o modelo aproximado para avaliação de tensões desenvolvido no capítulo 4. 57

72 5.3.2 Procedimento De uma forma mais explícita, o modelo aproximado para o cálculo de perdas em redes de distribuição, segue o procedimento apresentado no diagrama abaixo. Fig. 5.1 Diagrama de procedimentos do modelo aproximado para avaliação de perdas em redes de distribuição 58

73 5.4 Modelos para comparação Como tem vindo a ser dito, neste capítulo 5, além de se apresentar o modelo aproximado para o cálculo de perdas em redes de distribuição, faz-se também a comparação de resultados entre os modelos estudados ao longo da dissertação. Assim, com base na ocorrência de perturbações na rede de distribuição de 10 barramentos já utilizada nos exemplos do capítulo 4 (rede completa e versão da mesma com menos ramos), vão comparar-se os resultados do cálculo de perdas quando calculados através das sensibilidades, com recurso ao modelo aproximado para avaliação de perdas estudado neste capítulo e, ainda, recorrendo à fórmula exacta desenvolvida a partir do Teorema de Tellegen. Na tese de referência [5] é ainda comparado um outro modelo aproximado baseado em equações convencionais de cálculo de perdas (MLL). No entanto, não foi considerado na presente dissertação uma vez que, como pode confirmar-se nos exemplos da tese de referência [5] os seus resultados são pouco precisos, afastando-se muito dos valores reais. A proximidade dos resultados dos modelos, relativamente aos resultados obtidos pela fórmula exacta, irá indicar o nível de precisão de cada um deles para cada situação testada Fórmula exacta Como o próprio nome sugere, utilizando a fórmula exacta desenvolvida com base no Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas, obtêm-se resultados exactos semelhantes aos obtidos através de um trânsito de energia convencional. Assim sendo, os resultados obtidos com esta fórmula serão utilizados como referência, por forma a conseguir apurar os níveis de precisão dos restantes modelos desenvolvidos. Lembrar que esta fórmula foi desenvolvida e estudada no terceiro capítulo desta dissertação, como continuidade do estudo desenvolvido ao longo do capítulo 2. Para explicações mais aprofundadas e detalhadas acerca da fórmula exacta deve consultar-se o capítulo Avaliação por sensibilidades A avaliação de perdas por sensibilidades, desenvolvida no capítulo 2, representa outro modelo estudado nesta dissertação e que, no terceiro capítulo, foi já comparado com a fórmula exacta. Esta comparação foi realizada sobrepondo-se as rectas de nível, geradas pelo modelo de sensibilidades, com as curvas de nível do modelo exacto. Neste capítulo poderá ver-se o comportamento e precisão desta avaliação por sensibilidades comparado, não só com a fórmula exacta, mas também com o modelo aproximado para avaliação de perdas aqui desenvolvido. Poderá igualmente ver-se o comportamento do modelo das sensibilidades, relativamente aos restantes modelos, para diferentes funcionamentos de uma rede de distribuição, como por exemplo, quando a carga nos barramentos é inferior ou superior aos valores nominais. Para um estudo mais detalhado, acerca das sensibilidades e das respectivas fórmulas para cada parâmetro da rede, deverá consultar-se o capítulo 2 desta dissertação. 59

74 5.5 Exemplos À semelhança dos capítulos anteriores, é na secção de exemplo que são apresentados todos os testes realizados, bem como os resultados dos mesmos. Aqui, os testes realizados põem frente a frente os três modelos desenvolvidos ao longo da dissertação, para diferentes condições de funcionamento de uma rede de distribuição e aquando da ocorrência de diferentes perturbações na mesma. Referir ainda que, para os testes realizados nesta secção, o modelo aproximado para avaliação de perdas desenvolvido neste capítulo apenas considerou os barramentos envolvidos na perturbação, isto é, a região curta de observação, não tendo em conta os nós vizinhos. Pode então dizer-se que este modelo foi estudado considerando o seu pior cenário, isto é, a sua forma menos precisa. Para o primeiro teste foi utilizada a rede de distribuição da figura 4.1 tendo-se estudado o valor das perdas para cinco casos diferentes, como o retirar de ramos ( ) e variação de cargas em alguns barramentos ( ). O gráfico em baixo mostra os resultados obtidos para as perdas calculadas pelos três modelos. Fig. 5.2 Perdas na rede da figura 4.1 considerando diferentes perturbações, calculadas pela fórmula exacta, por sensibilidades e pelo modelo aproximado para perdas Olhando para o gráfico, algo que salta imediatamente à vista, é o facto de as perdas serem muito superiores para os dois últimos casos, quando comparados com os três primeiros. Isto acontece porque, nos dois últimos casos, as perturbações afectam as cargas de alguns nós da rede. Desta forma pode dizer-se que uma perturbação do tipo tem maior influência no comportamento da rede que uma reconfiguração simples, como retirar ou inserir ramos, fazendo com que os valores de perdas se afastem mais do valor calculado para o caso base. Pode ver-se ainda 60

75 que, para estes casos em que a perturbação afecta os valores de carga, a precisão dos modelos diminui, obtendo-se resultados mais afastados dos resultados exactos. Outra conclusão que se pode tirar com uma rápida observação do gráfico é que, para qualquer situação, o modelo aproximado desenvolvido neste capítulo e que tem por base o uso da fórmula exacta é muito mais preciso que o modelo das sensibilidades. Para os três primeiros casos em que apenas ocorrem reconfigurações simples da rede e são retirados alguns ramos, a linha que representa o modelo aproximado sobrepõe a linha de valores exactos. O mesmo não acontece com a linha relativa às sensibilidades que, apesar de próxima, nunca se sobrepõe à linha dos resultados da fórmula exacta. Para os dois últimos casos, o cálculo de perdas através de sensibilidades gera resultados com um erro bastante significativo. Este é o teste mais geral deste capítulo relativamente à análise das diferentes perturbações através dos diferentes modelos estudados, podendo dizer-se que este teste é transversal a todos os exemplos apresentados na tese de referência [5], não correspondendo a nenhum deles em específico. Em suma, com base neste teste pode dizer-se mais uma vez que, se o nível de precisão requerido não for muito elevado, o modelo de sensibilidades pode ser suficiente, no entanto, poderá apresentar resultados afastados da realidade para casos em que as perturbações envolvam mais do que simples alterações dos valores de impedância nos ramos. O segundo teste realizado tem como principal objectivo mostrar o comportamento dos diferentes modelos quando se encontra em funcionamento com diferentes níveis de carga nos seus barramentos. Assim, a perturbação induzida foi apenas uma perturbação simples de configuração. À rede representada na figura 4.1 retirou-se o ramo que liga os barramentos 1 e 6. Os resultados encontram-se no gráfico em baixo. Fig. 5.3 Perdas na rede da figura 4.1 para diferentes % da carga nominal, calculadas pela fórmula exacta, por sensibilidades e pelo modelo aproximado 61

76 Olhando para o gráfico da figura 5.3, é novamente visível uma maior precisão para o modelo aproximado comparativamente ao modelo de sensibilidades. Acontece que, segundo os resultados apresentados, o modelo de sensibilidades pode ser bastante preciso quando a carga nos barramentos é reduzida relativamente ao seu valor nominal. Pelo contrário, para valores de carga superiores aos nominais, o erro do modelo de sensibilidades pode atingir quase os 40%, fazendo com que os resultados se afastem bastante dos valores reais. Note-se que, para este exemplo específico, o modelo de sensibilidades é também pouco preciso quando as cargas se encontram nos valores nominais. Como já tínhamos visto noutros exemplos, o modelo de sensibilidades nem sempre apresenta resultados muito fiáveis (ver exemplo da figura 3.6 sensibilidades para o espaço resistência, reactância de um ramo). Notar que, o modelo aproximado desenvolvido neste capítulo 5, apesar de muito preciso, também apresenta valores com um erro maior, quando a carga nos barramentos tem valores acima dos valores nominais. Concluindo a análise deste teste, pode dizer-se que os modelos aproximados para cálculo de perdas apresentam resultados tanto melhores, quanto menores forem os valores de carga nos barramentos, relativamente aos seus valores nominais. Um teste semelhante mas considerando uma rede de distribuição de 14 barramentos pode ser analisado consultando a página 190 da tese de referência [5]. Os resultados obtidos permitiram tirar conclusões semelhantes reforçando assim o que foi dito anteriormente relativamente à influência dos valores de carga nos barramentos sobre a precisão dos modelos. O teste da página 190 da tese de referência [5] foi ainda reconstituído com a única intenção de validar o código MATLAB implementado, não sendo portanto apresentado na presente dissertação. 62

77 Por fim, o terceiro e último teste tem por base a rede apresentada na figura 4.6 (rede de distribuição de 10 barramentos versão com menos ramos) na qual ocorre a perturbação sugerida na figura 4.7 (retirar ramo 2 4 e inserir ramo entre os barramentos 5 e 9). Para este teste não foi considerado o modelo de sensibilidades, uma vez que, o cálculo de sensibilidades implementado não envolve ramos que antes não existiam na rede. Assim, a ideia deste teste será verificar que perturbações irão provocar um maior desvio dos resultados do modelo aproximado relativamente aos resultados da fórmula exacta, sendo que com os nós a funcionar com a carga nominal apenas está em causa a perturbação nos ramos. Este exemplo pode também ser comparado ao exemplo da página 192 da tese de referência [5], no qual se perturba uma rede de 14 barramentos com a remoção de um ramo e, de seguida, se perturba a carga de alguns nós. No exemplo da tese de referência [5] pode ver-se também o comportamento do modelo das sensibilidades uma vez que só foi retirado um ramo e não houve qualquer inserção. Fig. 5.4 Perdas na rede da figura 4.6 considerando diferentes perturbações, calculadas pela fórmula exacta e pelo modelo aproximado Note-se que, apesar de o gráfico, em todos os casos, sugerir um afastamento entre os valores dos dois modelos, observando a escala de valores de perdas pode ver-se que o erro é sempre muito pequeno. A principal conclusão que se pode tirar deste teste é que, quando ocorrem perturbações nas cargas dos barramentos, as perdas afastam-se do valor calculado para o caso base. Esta conclusão vem confirmar o que já tinha sido dito no primeiro teste relativamente à influência de perturbações do tipo. É também para estes casos (casos 2 e 3 na figura 5.4) que o modelo aproximado apresenta valores um pouco mais afastados dos valores reais, ainda que, sempre bastante próximos. 63