2 o Trabalho de Laboratório - Circuitos Resistivos

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1 2 o Trabalho de Laboratório - Circuitos Resistivos Grupo 18, Turno 4 a feira André Patrício (67898) Bavieche Samgi (67901) Miguel Aleluia (67935) MEFT, TCFE 10 de Maio de 2011 Resumo Neste trabalho experimental, analisámos um circuito divisor de tensão analiticamente, tendo-se seguido a sua montagem e verificação do seu funcionamento. Análisámos ainda e verificámos o funcionamento, com base no teorema de Thévenin para uma rede de parâmetros lineares, um bridge circuit, muitas vezes usado para determinar o valor de resistências desconhecidas em função de valores de resistências já conhecidos. Finalmente, terminámos por analisar e verificar experimentalmente o funcionamento de outro circuito realizando a sua análise por determinação do seu equivalente de Norton. Os resultados experimentais obtidos foram os esperados. 1

2 1 Introdução e Teoria Relevante I - Resolução do Circuito Divisor de Tensões Pretendemos, nesta etapa, analisar o seguinte circuito divisor de tensão e, em particular, determinar a tensão v 0 aos terminais da resistência : Figura 1: Circuito divisor de tensão a analisar Na análise efectuada, iremos assumir que a bateria não possui resistência interna, considerandoa como uma fonte de tensão ideal com tensão nominal igual a V cc. Caso esse não fosse o caso, poderíamos modelar a bateria como uma fonte de tensão ideal em série com um resistor. Este é um circuito divisor de tensão porque é um único loop que contém duas resistências e uma fonte de tensão em série. É útil para obtermos uma fracção da tensão nominal da bateria aos terminais da resistência, marcada como v 0. Para encontrar a relação entre V 2 (logo v 0 ), a tensão nominal V cc da bateria e o valor das resistências, aplicamos o método dos nós, apesar de uma abordagem analítica pelo método básico KVL/KCL também não ser desadequada. 1- Escolhemos para nó de referência, ground node, o nó 1 porque está ligado a um máximo de ramos(2) e liga directamente a uma fonte de tensão, o que permite escrever directamente para o potencial no nó 3 como sendo igual a V cc : Figura 2 2- Escrevendo a KCL para o nó 2, vemos que e + e V cc R 1 = 0 (1) 2

3 pelo que v 0 = v 2 = e = G 1V cc G 1 + G 2 = Podemos, agora, obter as restantes variáveis de ramos V cc (2) Respostas às Questões 1- A relação desejada, v 0 = v 0 (V cc ), é i 2 = v 2 = e = V cc (3) V cc i 1 = i 2 = (4) V cc i 0 = i 1 = (5) R 1 v 1 = R 1 i 1 = V cc (6) 2- Neste caso em concreto, v 0 = V cc (7) Logo, R 1 = 1kΩ, = 2kΩ (8) = 3kΩ e = 2 3 (9) Portanto, v 0 = ( ) 2 V cc (10) 3 Figura 3: Relação linear v 0 (V cc ) para o divisor de tensão com R 1 = 1kΩ, = 2kΩ 3

4 3- Para estes valores de R 1 e, R 1 = 1kΩ, = 560Ω (11) Assim, = 1.56kΩ e = (12) 39 Portanto, v 0 = ( ) 14 V cc (13) 39 II - Equivalente de Thévenin( Ponte de Wheatstone ) 1), 2) e 5) Considerando a bateria uma fonte de tensão ideal, isto é, assumindo que não possui resistência interna, queremos analisar o circuito seguinte: Ou seja, queremos analisar um circuito Ponte de Wheatstone, usado para medir valores de resistências desconhecidas, por comparação com valores conhecidos. Começemos por notar que, quando visto do porto bb, este circuito é equivalente ao seguinte, pois o potencial é o mesmo nos pontos x e y. Podemos, agora, encontrar o circuito equivalente Thévenin de cada um dos circuitos A e B assinalados, em relação aos portos bc e bc, respectivamente. 4

5 Os subcircuitos A e B são ambos divisores de tensão, pelo que a tensão de Thévenin equivalente de cada um é Por outro lado, as resistências de Thévenin equivalentes são v T HA = V cc (14) R 4 v T HB = V cc R 3 + R 4 (15) R T HA = R 1 (16) R T HB = R 3 R 4 (17) Logo, o circuito equivalente de Thévenin em relação ao porto bb é o seguinte Assim, a corrente i que passa pela resistência R 5 é i = ( ) R2 R 1 + R 4 R 3 +R 4 (R 1 ) + R 5 + (R 3 R 4 ) (18) e a tensão v b é 5

6 v b = ir 5 = ( R2 ) R 1 + R 4 R 3 +R 4 [ ]V cc (19) (R1 ) R (R 3 R 4 ) R 5 No caso R 1 = 1kΩ, = 2kΩ, R 3 = 560Ω,R 4 = 220Ω e R 5 =, obtemos v b = 5 13 V cc (20) Devemos notar que, de facto, a relação v b (V cc com R 5 =, circuito aberto no porto bb, é v b = ( R2 R 4 R 3 + R 4 ) V cc (21) De facto, o circuito com R 5 = consiste em dois divisores de tensão independentes ligados a uma fonte de tensão comum V cc! 3) Podemos encontrar a resistência equivalente de Thévenin, vista dos terminais bb, notando que, curto-circuitando V cc, o circuito é equivalente ao seguinte: Logo, a resistência equivalente é R T H = (R 1 ) + (R 3 R 4 ) (22) 4) Como vimos atrás, no caso R 5 =, a tensão equivalente deaos terminais bb é v T H = ( R2 R 4 R 3 + R 4 ) V cc (23) Logo, o circuito de Thévenin equivalente do circuito aberto em bb, quando visto deste porto, esquematiza-se de seguida 6

7 Devemos notar ainda que a tensão v b se anula caso R 1 = R 4 R 3 (24) Assim, podemos substituir R 5 por um voltímetro e determinar o valor de uma das resistências em função das outras. Por exemplo, desconhecendo R 4, podemos usar uma caixa de resistências em R 1 para determinar o valor de R 4 por identificação do valor de R 1 para o qual v b = 0. III - Equivalente de Norton Pretende-se encontrar o circuito de Norton equivalente à seguinte rede linear, em relação ao par de terminais bb : Com os cálculos efectuados, mostraremos também que podemos converter o circuito de Norton equivalente no de Thévenin. Começamos por supor que a bateria é ideal, não possui resistência interna considerável, pelo que passamos a analisar o circuito substituindo a bateria por uma fonte de tensão ideal: 1- Começamos por determinar a tensão de circuito aberto aos terminais bb da rede linear original, v bca. Pela relação dos divisores de tensão, vemos de imediato que v bca = V cc (25) 7

8 Esta é, obiamente, também a tensão do circuito de Thévenin equivalente à rede original, v T H : v T H = v bca = V cc (26) 2- Queremos, agora, determinar a corrente de Norton equivalente, i N : Para isso, notamos que está é igual à corrente que se obtém quando se aplica um curtocircuito aos terminais bb, isto é, é igual à corrente de curto-circuito i cc da rede original: Logo, pela relação do divisore de corrente : i cc = i N = V cc (R 1 R 3 ) + R 1 G 3 G 3 + G 2 = V cc R 1 + R 1 R 3 + R 3 (27) 3- Passamos a determinar a resistência de Norton equivalente ao circuito linear original, quando visto do porto bb. Esta pode obter-se calculando a resistência de circuito aberto da rede linear original, com a fonte de tensão curto-circuitada: Vemos, assim, que 8

9 4- Finalmente, estimamos o quociente uma resistência, e igual a R N = R 3 + (R 1 ) = R 1 + R 1 R 3 + R 3 (28) v bca i cc, (29) v bca i cc = R 1 + = R N (30) R 1 +R 1 R 3 + R 3 De facto, este resultado não é surpreeendente, uma vez que, sendo os circuitos equivalente de Norton e Thévenin respectivamente, vemos que existe a seguinte relação entre a tensão de circuito aberto e a resistência de Norton equivalente: v bca = i N R N = i cc R N (31) Logo, para determinar qualquer um destes dois tipos de circuitos equivalentes, Norton/Thévenin, basta calcular duas das sequintes três quantidades: v bca, i cc ou R N = R T H (32) 5- Para completude da análise, concretizamos agora o circuito equivalente com os seguintes valores numéricos: V cc = 5V, R 1 = 1kΩ, = 560Ω, R 3 = 220Ω (33) O circuito equivalente de Norton em relação ao porto bb esboça-se, então: 9

10 3) Resultados Experimentais Resumimos aqui os principais resultados obtidos, de acordo com a numeração presente no protocolo do trabalho. 0. Medida das resistências Para além da selecção das resistências de acordo com as cores das suas faixas, confirmámos ainda o seu valor com o multímetro, tendo obtido os seguintes resultados: Divisor de Tensão/Thévenin Resistor Valor Teórico(kΩ) Tol. Fabrico(%) Valor Experimental(kΩ) Desvio à Precisão(%) R % R % R % R % Norton Resistor Valor Teórico(kΩ) Tol. Fabrico(%) Valor Experimental(kΩ) Desv. à Precisão(%) R % R % R % A tolerância de todas as resistências é de 5%. Como se pode constatar, os valores obtidos são valores representativos da resistência pois o desvio à precisão é coberto largamente pela tolerância indicada pelo fabricante. I. Circuito divisor de tensão Procedemos à montagem do circuito divisor de tensão da Fig. 1, aqui reproduzido novamente Figura 4: Circuito divisor de tensão a analisar e variámos a tensão contínua V CC entre 0 e 5V com incrementos de 1V; com o multímetro, medimos as tensões V CC e v 0 e registámos os valores de i 1 = i 2 e v 0 tal como definidos na figura 2, que se apresentam nas tabelas 1 e 2. 10

11 V cc ( V) V 0 ( V ) Imposta Experimental Prevista Experimental Desv. Precisão(%) % % % % % % Tabela 1: Valores de tensão para o circuito divisor de tensão. V cc ( V) V 0 ( V ) Imposta Experimental Prevista Experimental Desv. Precisão(%) % % % % % % Tabela 2: Valores de corrente para o circuito divisor de tensão. O ajuste da figura 5 confirma a relação linear v 0 (V c c) prevista pela equação 9. Obtivémos a relação v 0 = a V cc + b (34) com os valores experimentais a = ± e b = (1.8 ± 0.7) 10 3 V. Vemos, assim, que a relação teórica foi confirmada experimentalmente uma vez que o desvio à exactidão de a, 0.2%, é quase coberto pelo respectivo desvio à precisão de 0.1%. Vemos que a ordenada na origem pode ser considerada nula pois apresenta um desvio à precisão bastante elevada de 40%, resultante da dificuldade em medir valores de tensão muito baixos. Figura 5: Ajuste dos pares de valores (V cc, v 0 ) à lei teórica 34. Já o ajuste da Fig. 6) permitiu-nos encontrar um novo valor experimental para a resistência, tendo obtido = (1966 ± 39)Ω (35) Também neste caso a ordenada na origem b = ( 5 ± 4) 10 3 ma é desprezável dado o seu desvio à precisão de 80%. Verificamos que as medições são compatíveis com o valor da resistência atrás medido, o que comprova a validade de todas as relações envolvidas. 11

12 Figura 6: Ajuste dos pares de valores (v 0, i 2 = i 1 ) à lei i 2 = i 1 = a v 0 + b. Figura 7: Circuito Ponte de Wheatstone a analisar. II. Equivalente de Thévenin Neste etapa, passámos a analisar o circuito Ponte de Wheatstone, aqui repetido na fig:7: Medição de Tensão aos terminais aa Começámos por montar o circuito com R 5 =, ou seja, não existir ligação entre os terminais b b, e R 4 = 220Ω e ligámos a fonte de tensão contínua de 5V aos terminais aa, tendo depois medido a tensão experimental v aa = 4.98V, a que corresponde um desvio à exactidão de 0.4%. Este valor é facilmente explicável se deixarmos de lado a nossa suposição de estarmos a trabalhar com uma fonte de tensão ideal sem resistência interna porque, ao ligar a fonte de tensão ao circuito, o efeito da resistência interna é diminuir a tensão efectiva aos terminais da fonte. Poderíamos evitar este pequeno desvio(a resistência do multimetro é muito maior, 3 ordens de grandeza, que as restantes) em relação ao ideal modelando a fonte de tensão como uma fonte de tensão ideal em série com um resistor R g que teria um valor aproximado R g = [( ) (R 3 + R 4 )] 2.5Ω (36) Medição de V T H Medimos, depois, a tensão de circuito aberto v b aos terminais aa, tensão equivalente de Thévenin, tendo obtido os seguintes resultados: Estes valores esperados foram calculados com os valores experimentais da tensão aa e das resistências medidos com o voltímetro na primeira fase deste trabalho. 12

13 Figura 8: Modelação de fonte de tensão não ideal. Resistência R 4 ( Ω ) Tensão de Circuito Aberto V b ca Esperado( V ) Medido( V ) Desv. Precisão (%) % % % Note-se que para valores elevados de R 4 a tensão v b se torna cada vez mais negativa, o que pode ser interpretado fisicamente pela maior dificuldade de passagem, logo menor corrente, dos electrões pelo ramo de R 4 e é traduzido analiticamente pela fórmula 23. Verificamos também que para R 4 = 1000Ω, valor mais próximo do previsto pela relação 24, o valor de tensão de circuito aberto é mais próximo de zero. De facto, o valor previsto para a situação de tensão nula é de R4 = 1120Ω, sendo a diferença entre o valor usado e o teórico, em percentagem, igual a 12%. Os desvios em relação aos valores esperados são cobertos pelos erros nos valores das resistências, mas verifica-se que, para R 4 = 1000Ω, valor para o qual v b assume o valor minimo das três medições, o desvio à precisão é maior. Medição de R T H Finalmente, medimos o valor da resistência de circuito aberto, resistência equivalente de Thévenin: Teórico(Ω) Experimental(Ω) Desv. à Precisão(%) % Assim, o circuito de Thévenin equivalente, em relação ao porto bb, determinado experimentalmente é o seguinte: III. Equivalente de Norton Neste etapa, tal como no anterior, a tensão imposta ideal seria de 5 V; contudo verificámos que, na realidade, existia uma tensão de 4.98 V aos terminais aa, o que representa um desvio 13

14 à precisão de 0.4%. A justificação de tal desvio é idêntica à da etapa anterior. Resumimos a seguir as escalas e posições de ground usadas em ambos os canais 1 e 2: Os resultados obtidos apresentam-se na próxima tabela: Quantidade Teórico Experimental Desv. à Exactidão(%) V bca (V) % V sc (V) % i sc = i N (ma) % R N (Ω) % Devemos começar por notar que os valores esperados usaram os valores experimentais das resistências. Verifica-se que todos os valores experimentais obtidos são cobertos pelos erros e tolerâncias de medição das resistências e tensões. O circuito de Norton equivalente, em relação ao porto bb, determinado de forma experimental, é, então: 4) Conclusão Todos os objectivos para esta actividade laboratorial foram cumpridos com sucesso, estando as previsões teóricas baseadas no modelo de rede de parâmetros concentrados e na modelação da rede como uma rede linear de acordo com os resultados experimentais obtidos. Referências [1] Agarwal, Anant, and Jeffrey H. Lang. Foundations of Analog and Digital Electronic Circuits( Elsevier, July 2005 ). 14