CEAV. Desenvolvimento Econômico. Parte I. Modelos Neoclássicos de Crescimento. Prof.: Antonio Carlos Assumpção

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1 CEAV Desenvolvimento Econômico Parte I Modelos Neoclássicos de Crescimento

2 Os Fatos do Crescimento Passamos agora da determinação do produto no curto e médio prazos, onde predominam as flutuações cíclicas, para a determinação do produto no longo prazo, onde predomina o crescimento econômico. Crescimento econômico é o aumento constante do produto agregado ao longo do tempo, ou seja, o aumento da capacidade de geração de oferta ao longo do tempo. Pequenas diferenças na taxa de crescimento geram, no longo prazo, grandes diferenças no nível de renda per capita. Portanto, quando estudamos crescimento econômico, as flutuações de curto prazo (flutuações cíclicas), ocasionadas por variações na demanda agregada, deixam de ser relevantes.

3 Os Fatos do Crescimento Por exemplo, a taxa de crescimento do PIB per capita dos EUA, entre 1870 e 1990, foi de 1,75% a.a.. Caso a economia dos EUA tivesse crescido 1 ponto percentual a menos, ou seja, 0,75% a.a., em 1990 a renda per capita dos EUA seria igual a do México e menor que a de Portugal e Grécia. Logo, pequenas diferenças na taxa de crescimento, sustentadas por um longo período de tempo, podem implicar em grandes diferenças de renda per capita e, consequentemente, bem estar social.

4 Crescimento nos Países Ricos a Partir de 1950 PIB dos Estados Unidos a partir de 1890 O produto agregado dos EUA aumentou 43 vezes desde1890. A escala logarítmica permite que o mesmo aumento proporcional em uma variável seja representado pela mesma distância no eixo vertical. Veja a planilha Taxas de crescimento comparadas.

5 Escala Logarítmica rt Comportamento da variável y, crescendo à taxa r : y = y e. t 0 3% de crescimento a.a. 2% de crescimento a.a. A função vai ficando mais inclinada com a mesma taxa de crescimento. Portanto, a inclinação da função em um intervalo não permite que façamos qualquer inferência sobre a maior ou menor taxa de crescimento.

6 Aplicando log, temos: ln y = ln y + rt. t 0 Escala Logarítmica Agora, a inclinação da função é dada por r, a taxa de crescimento. Portanto, quanto mais inclinada a função, maior será a taxa de crescimento. 3% de crescimento a.a. 2% de crescimento a.a.

7 Observações Sobre a Variável Relevante O produto per capita é igual ao PIB dividido pela população. O padrão de vida depende da evolução do produto per capita, não do total do produto. Para comparar o PIB entre países, usamos um conjunto comum de preços para todos os países. Os números ajustados para o PIB real são medidas do poder de compra entre países, também chamados de paridade de poder de compra (PPC).

8 Crescimento nos Países Ricos a Partir de 1950 Evolução do produto per capita em cinco países ricos desde 1950 Taxa anual de crescimento Produto per capita (%) Produto real per capita (dólares de 1996) /1950 França 4,1 1, ,9 Alemanha 4,8 1, ,7 Japão 7,8 2, ,4 Reino Unido 2,5 1, ,0 Estados Unidos 2,2 1, ,6 Média 4,3 1, ,7

9 Crescimento nos Países Ricos a Partir de 1950 Dos dados na tabela anterior, concluímos que: O padrão de vida aumentou significativamente desde A taxa de crescimento do produto per capita diminuiu a partir de meados da década de Houve uma convergência, isto é, os níveis de produto per capita entre os cinco países tornaram-se mais próximos ao longo do tempo. A diferença entre o produto per capita nos Estados Unidos e nos outros países é menor agora do que na década de1950.

10 Crescimento nos Países Ricos a Partir de 1950 Taxa de crescimento do PIB per capita desde 1950 versus PIB per capita em 1950; países da OCDE Países com um nível mais baixo de produto per capita em 1950, em geral, cresceram mais rápido: convergência absoluta de renda per capita dos países da OCDE, no período

11 Uma Visão Mais Ampla Através do Tempo e do Espaço Do fim do Império Romano até cerca do ano 1500, não houve em essência nenhum crescimento do produto per capita na Europa. Esse período de estagnação é frequentemente chamado de era malthusiana. Segundo Malthus, qualquer aumento do produto levava a uma queda da mortalidade, o que, por sua vez, resultava em um aumento da população até que o produto per capita retornasse a seu nível inicial. De cerca de 1500 a 1700, o crescimento do produto per capita tornou-se positivo, embora pequeno.

12 Uma Visão Mais Ampla Através do Tempo e do Espaço Mesmo durante a Revolução Industrial as taxas de crescimento não eram altas pelos padrões atuais. Na cronologia da história humana, o crescimento do produto per capita constitui um fenômeno recente. Existe a possibilidade de que o produto per capita de um ou mais países ultrapasse o produto per capita dos Estados Unidos.

13 Exame dos Países: Convergência Para 101 Países Taxa de crescimento do PIB per capita, , versus o PIB per capita em 1960 (dólares de 1992); 101 países Não há relação clara entre a taxa de crescimento do produto per capita desde 1960 e o nível do produto per capita em 1960.

14 Exame dos Países: Convergência Para 101 Países Taxa de crescimento do PIB per capita, , versus PIB per capita em 1960; OCDE, África e Ásia Os países asiáticos estão convergindo para os níveis da OCDE. Não há evidência de convergência entre os países africanos. Os quatro triângulos no canto superior esquerdo correspondem aos quatro tigres: Coréia do Sul, Hong Kong, Singapura e Taiwan. Os quatro tiveram taxas anuais de crescimento do PIB acima de 6% nos últimos 30 anos.

15 Fatos Sobre Crescimento e Desenvolvimento (Jones) 1. Há uma grande variação entre as rendas per capita das economias. Os países mais pobres têm rendas per capita que são inferiores a 5% da renda per capita dos países mais ricos. 2. As taxas de crescimento econômico variam substancialmente entre os países. 3. As taxas de crescimento não são necessariamente constantes ao longo do tempo. 4. A posição relativa de um país na distribuição mundial da renda per capita não é imutável. Os países podem passar de pobres a ricos e vice-versa. 5. O crescimento do produto e o crescimento do volume do comércio internacional estão estreitamente relacionados.

16 Fatos Sobre Crescimento e Desenvolvimento (Jones) 6. Trabalhadores qualificados e não-qualificados tendem a migrar de países ou regiões pobres para países ou regiões ricas. 7. No último século, nos EUA: a taxa de retorno real sobre o capital, r, não mostra tendência crescente ou decrescente; as participações da renda destinada ao capital rk/y, e à mão de obra wl/y, não apresentam tendência; a taxa média de crescimento do produto per capita tem sido positiva e constante ao longo do tempo, ou seja, os EUA apresentam um crescimento da renda per capita estável e sustentado.

17 Teorias Sobre a Acumulação de Capital e a Dinâmica da Taxa de Lucro no Longo Prazo Segundo Marx, as sociedades progridem através da luta de classes: um conflito entre a classe burguesa, que controla os meios de produção e um proletariado, que fornece a mão de obra para a produção. Ele chamou o capitalismo de "ditadura da burguesia", acreditando que seja executada pelas classes ricas para seu próprio benefício. Marx previu que, assim como os sistemas socioeconômicos anteriores, o capitalismo produziria tensões internas que conduziriam à sua autodestruição e substituição por um novo sistema: o socialismo, um tipo de organização social governada pela classe trabalhadora a qual ele chamou de "ditadura do proletariado.

18 Teorias Sobre a Acumulação de Capital e a Dinâmica da Taxa de Lucro no Longo Prazo Marx argumentava que o crescimento no sistema capitalista exigia uma acumulação de capital que privilegiava o rendimento do capital (lucros), em detrimento do rendimento do trabalho (salários): quando Marx fala em capital, está se referindo à riqueza que gera mais riqueza, capaz de se reproduzir. Segundo Marx, somente uma parte pequena da população tem riqueza suficiente para reinvestir. O capital está concentrado entre os mais ricos. Simon Kuznets (1954), formulou a tese de que, na história das sociedades em industrialização, a desigualdade tenderia a subir por algum tempo, até atingir um ponto máximo, a partir do qual passaria a diminuir, contínua e naturalmente (Curva de Kuznetz).

19 Teorias Sobre a Acumulação de Capital e a Dinâmica da Taxa de Lucro no Longo Prazo Por trás dessa teoria estariam dois mecanismos fundamentais. O primeiro mecanismo é uma decorrência natural da transição rumo a uma economia moderna e industrial, onde a economia tenderia a dividir-se em dois grandes setores, um tradicional, mais pobre, e um moderno, mais rico, e isso aumentaria a desigualdade. À medida que a industrialização se generalizasse, os trabalhadores migrariam, abandonando os setores tradicionais em direção aos modernos, e com isso a desigualdade voltaria a ser reduzida. O segundo mecanismo é o efeito igualitário da democracia. Para Kuznets, as sociedades modernas se organizariam como democracias e a igualdade formal da política democrática se traduziria em políticas de promoção de igualdade econômica, como, por exemplo, o aumento da tributação sobre o capital e sobre as heranças.

20 Teorias Sobre a Acumulação de Capital e a Dinâmica da Taxa de Lucro no Longo Prazo Mais recentemente, Thomas Piketty, destaca que a desigualdade de renda crescerá se a taxa de crescimento do capital se os seus rendimentos for maior que a taxa de crescimento das outras rendas, como as do trabalho. Ou seja, se uma parte muito concentrada da economia, o capital, crescer mais rápido que a parte bem menos concentrada, o trabalho, o resultado final será um aumento na desigualdade total. Entretanto, o trabalho de Piketty parece apresentar alguns problemas: nas estatísticas de distribuição de renda em todo o mundo, inclusive as que Piketty usa, a maior parte do 1% mais rico da população não é de capitalistas que vivem só de renda, mas de trabalhadores que recebem altos salários. existem críticas em relação a como os dados foram tratados e mesmo com relação a transcrição dos dados e fórmulas incorretas.

21 Teorias Sobre a Acumulação de Capital e a Dinâmica da Taxa de Lucro no Longo Prazo Segundo um estudo da OCDE, intitulado How Was Life? Global Well-being since 1820 (como era a vida? bem estar global desde 1820), publicado em outubro de 2014, destaca: a desigualdade de renda, medida pelo índice de Gini, cresceu entre os países do mundo entre 1820 e 2010, mas se manteve estável nos países. a qualidade de vida durante esse período aumentou enormemente no mundo, conclusão obtida utilizando os seguintes indicadores: desigualdade de renda, PIB per capita, educação, expectativa de vida, altura da população, instituições políticas, qualidade ambiental e desigualdade de gêneros, entre outros aspectos. o documento destaca ainda o crescimento mais rápido de vários países de renda mais baixa, em especial da Ásia, desde os anos 70, movimento diferente do que ocorria até então.

22 Teorias Sobre a Acumulação de Capital e a Dinâmica da Taxa de Lucro no Longo Prazo

23 Teorias Sobre a Acumulação de Capital e a Dinâmica da Taxa de Lucro no Longo Prazo

24 Teorias Sobre a Acumulação de Capital e a Dinâmica da Taxa de Lucro no Longo Prazo Quanto as possíveis interpretações sobre a obra de Piketty, cuidado! "Acredito no capitalismo, não apenas como origem de eficácia e crescimento, mas também como elemento de liberdade individual." "Para que o processo virtuoso do capitalismo continue, é preciso cuidar da desigualdade.

25 Análise do Crescimento: Uma Introdução Modelo Neoclássico de Crescimento (Modelo de Solow ou Modelo de Solow-Swan). Para pensar sobre alguns dos fatos apresentados anteriormente, usamos, inicialmente, a estrutura de análise desenvolvida por Robert Solow, do MIT, no final da década de Particularmente: O que determina o crescimento? Qual é o papel do acúmulo de capital? Qual é o papel do progresso tecnológico?

26 O Modelo de Crescimento Neoclássico: Modelo de Solow O modelo de crescimento de Solow explica como a poupança, o crescimento demográfico e o progresso tecnológico afetam o produto com o decorrer do tempo. Acumulação de Capital Examinaremos como a oferta e a demanda de bens e serviços determinam a acumulação no tempo. Hipóteses Preliminares: Força de trabalho constante Tecnologia dada N N = n = 0 = n = 0 N N A A = g A = 0 = g A = 0 A A

27 O Modelo de Crescimento Neoclássico: Modelo de Solow Observações: N nt = n N ( t) = N 0 e N Taxa de crescimento populacional igual a n. Inicialmente faremos a suposição de que n = 0 A g At = g A A ( t) = A 0 e A Taxa de variação tecnológica igual a ga. Inicialmente faremos a suposição de que ga = 0

28 O Modelo de Crescimento Neoclássico: Modelo de Solow A Oferta de Bens e a Função de Produção (, ) Y = Af K N Hipótese sobre a FDP: homogênea linear retornos constantes de escala. ( ) Logo: λk, λn = λy ; λ uma constante positiva. Desta forma, o produto por trabalhador depende apenas da quantidade de capital por trabalhador, ou seja: 1 Y K λ = = Af,1 N N N Simplificando a notação: K N Y N k = e y =

29 Logo: O Modelo de Crescimento Neoclássico: Modelo de Solow y = ( ) Af k Assim, o produto por trabalhador (produto per capita) é função do estoque de capital per capita. Propriedades da FDP: Y a) > 0 N 2 Y N < 0 2 Y > 0 K ; ; ; 2 Y K < 0 2 b ' ) lim fn = 0 N ; ' lim f N N 0 = ; ' lim fk = 0 K ; ' lim f K K 0 = produtividades marginais positivas e decrescentes para ambos os fatores de produção. Quando a quantidade do fator tende a zero sua PMg tende ao infinito e quando tende ao infinito sua PMg tende a zero.

30 O Modelo de Crescimento Neoclássico: Modelo de Solow Utilizando uma função Cobb-Douglas, que cumpre as propriedades anteriores, temos: α 1 α 1 1 Y K N Y = AK N. Se λ = = A y = Ak N N N N α α α Note que α e 1-α são, respectivamente, as elasticidades do capital e trabalho. E K α 1 1 α α 1 α Y K α AK N K α AK N = = = = α α 1 α α 1 α K Y AK N AK N E N α 1 α 1 α 1 α Y N (1 α ) AK N N (1 α ) AK N = = = = (1 α ) α 1 α α 1 α N Y AK N AK N

31 O Modelo de Crescimento Neoclássico: Modelo de Solow

32 O Modelo de Crescimento Neoclássico: Modelo de Solow A Demanda e a Função Consumo Sendo Y = C + I, na forma por trabalhador, temos: y = c + i Logo, o produto por trabalhador divide-se em consumo por trabalhador e investimento por trabalhador. Sendo o consumo uma função da renda, temos: c 1 s y, onde: s PMg s = PMg ( ) = S = ( ) 1 C Assim, ( 1 ) y = s y + i Rearrumando os termos, temos: = + i = sy i y y sy Logo, o investimento também é proporcional à renda. Note que, implicitamente, ele também depende da taxa de juros, pois quando a Pmgs aumenta, a taxa de juros cai, e por isso o investimento aumenta.

33 O Modelo de Crescimento Neoclássico: Modelo de Solow Determinantes do Investimento Vimos que: i = sy Como y = Af ( k ), temos: i = saf ( k ) Logo, quanto maior o estoque de capital per capita, maiores serão os níveis de investimento e produto per capita.

34 O Modelo de Crescimento Neoclássico: Modelo de Solow

35 O Estado Estacionário Nível de Capital em Estado Estacionário (steady-state) Agora vamos analisar se aumentos no estoque de capital induzem ao crescimento econômico.

36 O Estado Estacionário Seja δ a taxa de depreciação do estoque de capital. Logo, a dinâmica de k pode ser descrita por: k i δ k ou = ( ) Logo, a variação do estoque de capital per capita é dada pelo investimento per capita, descontada a depreciação, que é maior quanto maior o estoque de capital per capita. ou = δ k = saf k δ k k saf ( k ) k

37 O Estado Estacionário A depreciação graficamente.

38 O Estado Estacionário Desta forma, podemos extrair uma relação gráfica entre o investimento e a depreciação, como mostra a figura abaixo.

39 O Estado Estacionário O motivo da convergência para o estado estacionário

40 O Estado Estacionário Sendo s constante, i = sf(k). A depreciação é dada por δk, com δ constante. Note então que, com k1, i > δk, logo, o estoque de capital cresce. Com k2, i < δk, logo, o estoque de capital decresce, mostrando que existe uma tendência para que a economia caminhe para o estado estacionário. Isto pode, também, ser observado na parte inferior da figura, um diagrama de fase, que mostra o comportamento dinâmico de k. Dito de outro modo, com o investimento maior que a depreciação o estoque de capital per capita aumenta. Entretanto, como a PMgk é decrescente e a depreciação cresce a uma taxa constante, os acréscimos no estoque de capital per capita serão cada vez menores, com a economia convergindo para um estado estacionário, onde k = 0.

41 Um Exemplo Exemplo Numérico da Tendência Para o Estado Estacionário Suponha que a função de produção seja dada por: 1/2 1/2 Y = AK N Y Como o produto por trabalhador é dado por y =, N Inserindo a FDP, temos: Como Supondo K k = y = Ak N 1/2 1/ 2 K N K y = A y = A N N 1/2 A = 1, s = 0,3, δ = 0,1 e k = 4, 0 temos: 1/2

42 Um Exemplo k k k = + t+ 1 t y = Ak α c = ( 1 s) y i = sy k = i δ k ANO k y c i δk k 1 4,000 2,000 1,400 0,600 0,400 0, ,200 2,049 1,435 0,615 0,420 0, ,395 2,096 1,467 0,629 0,440 0, ,321 2,706 1,894 0,812 0,732 0, ,962 2,994 2,096 0,898 0,896 0, ,000 3,000 2,100 0,900 0,900 0,000

43 Um Exemplo Note que, como k = sf ( k ) δ k (equação que nos mostra o comportamento de k no tempo), podemos determinar o estoque de capital per capita no estado estacionário de maneira menos trabalhosa, a medida em que, no estado estacionário, k=0 Assim, temos: k s 0 sf ( k ) δ k = f k δ = ( ) Como, no nosso exemplo, k 0.3 = 0,5 = k 0.1 0,5 f ( k ) k Elevando o primeiro membro ao quadrado, encontramos a solução, ou seja, o nível de capital no estado estacionário, k*=9, o que confirma os cálculos efetuados no quadro do slide anterior.

44 Regra geral: Calculando o estoque de capital no estado estacionário utilizando uma função Cobb-Douglas. 0 ( ) k s k k = sf k = δ k = f δ α Se y = Ak, temos : ( k ) 1 k sa 1 1 sa sa α α α α δ δ α k = sak k sak = k = k = k = k δ δ δ 1 1 0,5 0,3 1 Utilizando o exemplo anterior : k = k = 9 0,1 Um Exemplo

45 Um Exemplo f δk ( k) c = 2,1 f ( k ) = y * = 3 i = δk = 0,9 sf( k) k =9 k

46 Um Exemplo i = δk δk sf( k) k 1 sa 1 α δ k k = ( + ) ( + ) ( ) ( + ) s, A, δ,α Logo, o estoque de capital per capita (assim como o produto per capita), será maior quanto maiores s, A e α e menor quanto maior δ.

47 Alterações na Taxa de Poupança Alterações na Taxa de Poupança

48 Trajetórias das Variáveis Após um Aumento da Taxa de Poupança s s1 s0 k k1 t0 tempo Após o aumento da taxa de poupança de s0 para s1 o investimento supera a depreciação do estoque de capital. Com isso, o estoque de capital per capita passa a apresentar uma taxa de crescimento positiva, assim como a renda per capita. k0 y y1 y0 t0 tempo Como a PMgk é decrescente e a taxa de depreciação é constante, os acréscimos no estoque de capital per capita e no produto per capita são cada vez menores, com a economia convergindo para um novo estado estacionário, com k1 e y1. t0 tempo

49 Conclusões Alterações na Taxa de Poupança

50 Alterações na Taxa de Poupança A conclusão importante sobre a poupança no modelo de Solow é que, apesar de indispensável para o nível do PIB per capita, ela não garante o crescimento continuado, a não ser no caso em que ela é sempre crescente, o que, obviamente, não é possível. Vale também salientar que, dado um alto nível de poupança, que permita um grande estoque de capital, a economia em questão fica obrigada a uma alta taxa de investimento para que este estoque de capital não diminua ao longo do tempo.

51 Taxas de Crescimento no Estado Estacionário Podemos calcular as taxas de crescimento das variáveis no estado estacionário aplicando log e diferenciando. Observe que todas as variáveis com as quais trabalhamos variam ao longo do tempo (são função do tempo). Em geral, ocultamos esse fato nas equações somente para simplificar a notação. Seja uma função qualquer, definida por y( ) = ln x t ( t). Note que y depende de x e x depende de t (função composta). Diferenciando (utilizando a regra de cadeia), temos : dy dy dx 1 x y( ) = ln x( ) = = x = t t dt dx dt x x Logo, a derivada com relação ao tempo do logaritmo natural de uma variável é a taxa de crescimento dessa variável. d ln K K = dt K

52 Taxas de Crescimento no Estado Estacionário Taxas de Crescimento no estado estacionário k y No estado estacionário k = 0 = 0. Logo, y = 0 = 0 k y 0 0 K k K N K k = ln k = ln K ln N. Diferenciando, temos : = = 0 N k K N K 0 0 Y y Y N Y y = ln y = ln Y ln N. Diferenciando, temos : = = 0 N y Y N Y Logo, no estado estacionário, o estoque de capital per capita, o produto per capita, o estoque de capital total e o produto total crescem à taxa zero.

53 A Regra de Ouro (Golden Rule) Hipótese: O formulador de política econômica pode escolher a taxa de poupança e, portanto, o estado estacionário. Dito de outra forma, a taxa de poupança é uma variável exógena. Qual o Estado Estacionário a Ser Escolhido Obviamente que os indivíduos não estão preocupados com o nível de produto por trabalhador, capital por trabalhador ou depreciação, eles estão preocupados tão somente com a quantidade de bens e serviços que podem adquirir. Se o objetivo do formulador de política econômica for maximizar o bem estar da população, deve ser escolhido um equilíbrio de longo prazo que contemple o máximo de consumo possível. Esse equilíbrio é chamado de nível ótimo de acumulação definido pela regra de de ouro (k**).

54 A Regra de Ouro (Golden Rule) Encontrando o Nível Ótimo Definido Pela Regra de Ouro Temos que y = c+ i c= y i ( ) Como y = f k e, em qualquer estado estacionário, i = δ k, temos: ( ) c = f k δ k Logo, no estado estacionário, o consumo por trabalhador é igual ao produto por trabalhador menos a depreciação. Note que podemos escrever desta forma, pois no estado estacionário o investimento é igual a depreciação.

55 A Regra de Ouro (Golden Rule) Com o consumo escrito em função do estoque de capital, podemos maximizar c* relativamente a k*. Dito de outro modo, podemos escolher o estoque de capital per capita (estado estacionário) maximizador do consumo ( ) Como, no estado estacionário c = f k δ k : c Maximizando o consumo 0 f '( = k ) δ = 0. k Logo, para maximizarmos o consumo no estado estacionário devemos ter: PMgk = δ

56 A Regra de Ouro (Golden Rule) Note que o consumo será o maior possível quando a inclinação da função de produção (PMgk), medida pela inclinação da reta tangente que pasa pelo ponto A, for igual a inclinação da curva de depreciação (δ).

57 A Regra de Ouro (Golden Rule) Utilizando os valores do exemplo anterior: 0,5 0,1 e y Ak, com A 1, temos : δ = = = 0,5 0,5 c PMgk = δ 0,5k = 0,1 k = 0, 2 k = 0, Assim, k = k = 25 y = ,2 Mas qual a taxa de poupança que leva a economia a obter o estado estacionário maximizador do consumo? α k Como k = sak δ k, se k = 0 = k α sa δ ( 1 α ) Logo, s = Ak δ s = 0,5 i = δ k = 2,5

58 A Regra de Ouro (Golden Rule) Graficamente, temos: δk f ( k) c = 2,1 f ( k ) = y = 5 i = δk = 2,5 sf( k) k =25 k

59 A Regra de Ouro (Golden Rule) Logo, nesse caso, a escolha de uma taxa de poupança de 50% faz com que a economia convirja para um estado estacionário onde o consumo é maximizado. Observação Importante: Note que a taxa de poupança maximizadora do consumo, nesse caso foi igual a 0,5, que é igual a α : isso não é uma coincidência. Podemos provar que a taxa de poupança maximizadora do consumo é, sempre, igual a elasticidade do capital (α).

60 A Regra de Ouro (Golden Rule) Provando que s** = α. 1 α 1 α s 1 α α s como k = e y = k y = δ + n δ + n Em qualquer estado estacionário, temos: s = ( 1 ) = ( 1 ) δ + n * c y sy s y s α 1 α

61 A Regra de Ouro (Golden Rule) No estado estacionário maximizador do consumo temos dc*/ds = 0. Utilizando a regra da cadeia: α α d s s d 0 = ds δ + n δ + n ds 1 α 1 α ( s ) ( s ) ( 1 s ) α α α α s α α α 0 = ( 1 s ) s 1 α δ + n δ + n α α α 1 α α α α s = ( 1 s ) s δ + n 1 α δ + n 1 α = s = α s 1 α

62 Crescimento Demográfico Como a acumulação de capital não é suficiente para garantir o crescimento econômico continuado, precisamos ampliar o modelo, para explicá-lo. Comecemos variando N. Hipótese: N N = n A População cresce a uma taxa constante n.

63 O Estado Estacionário Com CrescimentoDemográfico O crescimento populacional atua no sentido de reduzir o volume de capital por trabalhador, pois agora o capital é dividido por um nº maior de trabalhadores. Assim, temos: ( ) ( δ ) k = i δ k nk k = sf k + n k ( ) O termo δ + n k indica o montante de investimento para que k = 0.

64 O Estado Estacionário Com CrescimentoDemográfico

65 O Estado Estacionário Com CrescimentoDemográfico Efeitos do Crescimento Populacional Como a população cresce a uma taxa n, o capital total e o produto total aumentam nessa mesma taxa. Assim, o padrão de vida não melhora, pois o produto por trabalhador permanece constante no estado estacionário. Logo, n pode aumentar somente o nível de produto total.

66 O Estado Estacionário O estado estacionário implica em k = 0, logo: k sf k n k sf k n k ( ) ( ) ( δ 0 ) ( δ ) = + = + f ( k ) k s = δ + n Utilizando uma FDP Cobb-Douglas: 1 k sa sa 1 α α ( δ ). 0 α k = sak + n k Com k = = k = k δ + n δ + n

67 A Regra de Ouro Em qualquer estado estacionário, temos: ( ) ( δ ). c = f k n + k Como c 0 '( c ) máx = c = = f k ( δ + n) = 0 PMgk δ = n k

68 Taxas de Crescimento no Estado Estacionário Taxas de Crescimento no estado estacionário k y No estado estacionário k = 0 = 0. Logo, y = 0 = 0 k y 0 n K k K N K k = ln k = ln K ln N. Diferenciando, temos : = = n N k K N K 0 n Y y Y N Y y = ln y = ln Y ln N. Diferenciando, temos : = = n N y Y N Y Logo, no estado estacionário, o estoque de capital per capita e o produto per capita crescem à taxa zero e o estoque de capital total e o produto total crescem à taxa n.

69 A Transição para a Regra de ouro Transição Para o Ponto Ótimo do Estado Estacionário Consumo Presente X Consumo Futuro Em toda a economia as decisões devem ser entre prover para o presente (consumo) e prover para o futuro (acumulação de capital). Mais consumo é preferível a menos consumo em qualquer momento do tempo, entretanto, mais consumo significa menos acumulação de capital, menor produção futura e, portanto, menor consumo potencial futuro. Em um extremo temos a política de consumir o máximo possível hoje, mesmo que isto comprometa o consumo futuro: vivamos hoje, pois no futuro estaremos todos mortos. (J.M.Keynes)

70 A Transição para a Regra de ouro No outro extremo encontra-se a política stalinista de consumir hoje o menos possível, incrementando a acumulação de capital e aumentando o consumo potencial futuro. Estas escolhas implicam em um conjunto de trajetórias temporais para o consumo, produção e estoque de capital, trajetórias ao longo das quais crescerá a economia. Para fazermos tal escolha, devemos julgar o valor do consumo presente frente ao consumo futuro, para então escolhermos uma trajetória de crescimento ótimo para a economia. Até aqui, assumimos que o formulador de política econômica pode escolher o estado estacionário da economia. Desta forma, ele optará pelo ponto ótimo do estado estacionário, que implica em mais consumo hoje. Supondo que a economia atinja um outro estado estacionário, temos:

71 A Transição para a Regra de ouro k*> k** necessidade de redução de k, via diminuição da poupança. Consequências: elevação imediata do consumo e queda no investimento. No longo prazo, o consumo permanece maior, dado que anterior mente k* > k**. Entretanto, o produto e o investimento serão menores. k*< k** necessidade de aumento em k, via aumento da poupança. Consequências: queda imediata no consumo e aumento no investimento. No longo prazo, dada a maior acumulação de capital e k* < k**, o consumo o investimento e o produto aumentam. Note que, neste caso, até a economia atingir k**, a economia passa por um período de restrição ao consumo, mas esta estratégia beneficia as gerações futuras.

72 Aumento da Taxa de Poupança Quando k* < k** s s1 s0 k k** k* c c** c* t0 t0 tempo tempo Como o estoque de capital per capita é inferior ao estoque de capital per capita dado pela regra de ouro, a maximização do consumo exige um aumento da taxa de poupança. O aumento da taxa de poupança, dada a mesma renda per capita, inicialmente reduz o consumo per capita. Entretanto, como a PMgk é maior que a taxa de depreciação, o consumo aumenta ao longo do tempo, atingindo seu nível máximo c**. t0 tempo

73 Aumento da Taxa de Poupança Quando k* > k** s s0 s1 k k* k** c c** c* t0 t0 t0 tempo tempo tempo Como o estoque de capital per capita é superior ao estoque de capital per capita dado pela regra de ouro, a maximização do consumo exige uma redução da taxa de poupança. A redução da taxa de poupança, dada a mesma renda per capita, inicialmente aumenta o consumo per capita. Com o investimento menor que a depreciação, o estoque de capital per capita se reduz ao longo do tempo. Entretanto, como a PMgk é menor que a taxa de depreciação, o consumo aumenta ao longo do tempo, atingindo seu nível máximo c**.

74 A Transição para a Regra de ouro Conclusão: o nível ótimo de acumulação depende do julgamento que fazemos hoje dos interesses das diversas gerações. Sobre a Regra de Ouro: Aquilo que esperai que os outros vos façam fazei também a eles da mesma forma. (S.Lucas, cap.7, versículo 31) Cada geração poupa (para as gerações futuras) aquela fração da renda que as gerações passadas teriam poupado para ela. (E.Phelps, Golden Rules of Economic Growth )

75 Progresso Tecnológico e Taxa de Crescimento O progresso tecnológico tem várias dimensões. Pode significar: quantidades maiores de produto produtos melhores produtos novos maior variedade de produtos O progresso tecnológico leva a aumentos no produto para um dado montante de capital e trabalho.

76 Progresso Tecnológico Aumentador de Trabalho Até aqui trabalhamos com uma função de produção sem a possibilidade de incrementos na tecnologia. Agora, consideraremos a possibilidade de incrementos exógenos na tecnologia. Y = f ( K, NA), onde : A = eficiência do trabalho; NA = mão de obra medida em unidades de eficiência. Ou seja, trabalharemos com a hipótese de que o progresso tecnológico leva à eficiência do trabalho, que crescerá a uma taxa constante ga. N A Como = n e = g A o número de unidades eficientes (NA) N A aumenta a uma taxa (n+ga)

77 Progresso Tecnológico Aumentador de Trabalho O progresso tecnológico reduz o número de trabalhadores necessários para obter uma dada quantidade de produto. O progresso tecnológico aumenta AN, que podemos considerar como a quantidade de trabalho efetivo, ou trabalho em unidades de eficiência na economia. Analisaremos o estado estacionário com as variáveis em termos de unidades de eficiência. Portanto: K k = capital por unidade de eficiência NA K y = produto por unidade de eficiência NA

78 Progresso Tecnológico Aumentador de Trabalho A relação entre produto por trabalhador efetivo e capital por trabalhador efetivo é: 1 Y K Y = f ( K, NA) se λ = = f,1 y = f k NA NA NA Portanto, o produto por trabalhador efetivo é função do estoque de trabalhador efetivo.

79 Progresso Tecnológico Aumentador de Trabalho Desta forma, a equação dinâmica de Solow deve ser expressa como: k = sf k ( δ + n + g A ) k Note que, desta forma, para que k = 0 o investimento deve ser igual a. ( δ ) i = + n+ g k A Ou seja, para que permaneça constante, com, = n e A ga A K NA = = ( δ + + ) i n g k A δ > 0 N N

80 Progresso Tecnológico Aumentador de Trabalho Explicando melhor: Como o estoque de capital se deprecia à taxa δ, é necessário um montante de investimento δk apenas para manter o estoque de capital constante. Como a força de trabalho cresçe à taxa n e o progresso teconológico à taxa ga, a taxa de crescimento do trabalho efetivo ou por unidades de eficiência, NA, é igual a n + ga. Portanto, para manter o estoque de capital por unidades de eficiência constante a taxa de investimento deve ser: ( δ ). i = + n + g k Desta forma, se a taxa de depreciação for de 10% e o crescimento do trabalho efetivo for de 3% (n=2% e ga =1%), o investimento deve ser igual a 13% do estoque de capital pra manter um nível constante de capital por trabalhador efetivo. A

81 k = sf k ( + n + g A ) k Sendo δ : k = 0 sf k = ( δ + n + g A ) k O Estado Estacionário Logo: f k k = s ( δ + n + g ) A

82 O Estado Estacionário Utilizando uma função do tipo Cobb-Douglas, temos: ( ) 1 α 1 1 Y K NA α α Se Y = K ( NA) e λ = = y = k NA NA NA α α k Se k = s k = + n + g k = α * 0 A ( δ ) α * k s ( δ + n + g ) A 1 1 α 1 α * s * s k = k = ( δ + n + g ) A δ + n + g A

83 O Estado Estacionário i ( ) δ + n + g = k A y f k sf k (δ + n + g A ) k k k = δ + s n + k g A 1 1 α

84 Taxas de Crescimento no Estado Estacionário k y Como k = 0 = 0. Com isso, y = 0 = 0 k y K Como k = ln k = ln K ln N ln A. Diferenciando, temos : NA n ga o k = K N A K k ( n g A ) g K N k A K = + k = Y Como y = ln y = ln Y ln N ln A. Diferenciando, temos : NA o n ga y = Y N A Y y ( n g A ) g Y N y A Y = + y = A A

85 Dinâmica do Capital e do Produto Características do crescimento equilibrado Taxa de crescimento de Capital por trabalhador efetivo Produto por trabalhador efetivo Capital por trabalhador Produto por trabalhador Trabalho Capital Produto 0 0 g A g A n n + g A n + g A

86 Um Aumento na Taxa de poupança (δ + n + g A ) k i ( ) δ + n + g = k A y 1 y s1 f sf k k f k k k1 k

87 A Taxa de Poupança e o Produto Efeitos do aumento da taxa de poupança no produto por trabalhador em uma economia com progresso tecnológico. O aumento da taxa de poupança gera um período de maior crescimento até que a economia atinja um novo estado estacionário, onde a taxa de crescimento do produto per capita volta a ser igual a ga.

88 A Contabilidade do Crescimento Em 1957 Solow sugeriu uma forma de estimar o progresso tecnológico. Hipótese: Cada fator de produção é remunerado por sua PMg. A Logo, se W = 30, 00 PMg = 30, 00 A N

89 A Contabilidade do Crescimento Assim, se Y = AK α N 1 α lny = ln A + α ln K + ( 1 α ) ln N Diferenciando em relação ao tempo, temos: A K N = + α + ( 1 α ) A K N Y Y ( wl / PY ) Participação relativa do fator do trabalho no PIB [ 1 ( wl / PY )] Participação relativa do fator do capital no PIB

90 A Contabilidade do Crescimento Logo, isolando a taxa de crescimento do progresso tecnológico, temos: A A = Y Y K α + 1 K ( α ) N N resíduo de Solow ou taxa de crescimento da produtividade total dos fatores (PTF)

91 A Contabilidade do Crescimento: Dados para o Brasil Brasil - Contribuição Para o Crescimento Econômico Capital Trabalho PTF PIB (Composição) Crescimento dos Fatores (Composição) Crescimento dos Fatores (Composição) Crescimento dos Fatores (Composição) Crescimento dos Fatores Período Completo (Composição) Crescimento dos Fatores Fonte: IPEA - José Ronaldo de Castro Souza Jr.

92 Evolução da PTF no Brasil PTF -Brasil Fonte: PWT

93 Mais Uma Vez a Convergência Os países pobres tendem a crescer mais rapidamente que os países ricos? Razões para justificar a convergência Diferença de produto por trabalhador associada aos diferentes pontos sobre as trajetórias de crescimento. A PMgK é maior quanto menor o estoque de capital, incentivando a migração de capital dos países ricos para os países pobres. Se a difusão de novos conhecimentos tecnológicos é desigual, é possível que as diferenças de produto per capita se devam ao fato de alguns países não utilizarem as melhores técnicas de produção disponíveis. Essas diferenças tenderiam a reduzir-se a medida que os países mais pobres tivessem acesso as técnicas mais modernas

94 Crescimento nos Países Ricos a Partir de 1950 Taxa de crescimento do PIB per capita desde 1950 versus PIB per capita em 1950; países da OCDE Países com um nível mais baixo de produto per capita em 1950 em geral cresceram mais rápido.

95 Uma Amostra com 101 Países Taxa de crescimento do PIB per capita, , versus o PIB per capita em 1960 (dólares de 1992); 101 países Não há relação clara entre a taxa de crescimento do produto desde 1960 e o nível do produto per capita em 1960.

96 Exame dos Países Taxa de crescimento do PIB per capita, , versus PIB per capita em 1960; OCDE, África e Ásia Os países asiáticos estão convergindo para os níveis da OCDE. Não há evidência de convergência entre os países africanos. Os quatro triângulos no canto superior esquerdo correspondem aos quatro tigres: Coréia do Sul, Hong Kong, Singapura e Taiwan. Os quatro tiveram taxas anuais de crescimento do PIB acima de 6% nos últimos 30 anos.

97 A Convergência Absoluta Entre os países que apresentam o mesmo estado estacionário a hipótese de convergência absoluta se sustenta: maior crescimento dos países pobres, na média. k = sa δ + n 1 1 α Se duas economias possuem os mesmos parâmetros que determinam o estado estacionário (s, A, δ, n e α), vale a convergência absuluta, ou seja: y y Pobre y y > Rico

98 A Convergência Condicional (relativa) O modelo de Solow pode explicar as diferentes taxas de crescimento de diferentes países. Embora os países pobres não cresçam necessariamente a uma taxa mais elevada, os países pobres, em relação ao seu próprio estado estacionário, tendem a crescer à taxas mais elevadas. Chamamos isso de convergência condicional ou relativa.

99 Um Grande Problema do Modelo Neoclássico: O Progresso Tecnológico deve ser Exógeno Como acelerar a taxa de crescimento através do progresso tecnológico? No modelo de Solow a tecnologia crescia de forma exógena (sem que os agentes econômicos fizessem qualquer coisa para que isso acontecesse). Qual o motivo dessa suposição ter durado tanto tempo nos modelos de crescimento?

100 Um Grande Problema do Modelo Neoclássico: O Progresso Tecnológico deve ser Exógeno Como vimos, a função de produção neoclásssica apresenta rendimentos constantes de escala nos insumos rivais (K e L). Segundo o teorema de Euler, uma função homogênea de grau 1 possui a seguinte propriedade: F F ( K, L, A) = K + L K F L Em concorrência perfeita, temos: r F = e w = K F L

101 Um Grande Problema do Modelo Neoclássico: O Progresso Tecnológico deve ser Exógeno Igualando as duas equações, temos: F F F ( K, L, A) = K + L = rk + wl K L Logo, uma vez remunerados os fatores de produção, a renda da economia se esgota, não podendo financiar o investimento em P & D. Logo, devemos abandonar uma das seguintes hipóteses: ou não existe concorrência perfeita ou a função de produção não é neoclássica.

102 Capital Físico versus Capital Humano Até agora não fizemos qualquer distinção entre o trabalho não-qualificado e o trabalho qualificado, que depende do nível educacional. O conjunto de competências dos trabalhadores ativos na economia é chamado de capital humano. Uma economia com muitos trabalhadores altamente qualificados tende a ser muito mais produtiva do que uma economia em que a maioria dos trabalhadores são iletrados. As conclusões tiradas sobre o acúmulo de capital físico permanecem válidas após a inclusão do capital humano na análise.

103 Estendendo a Função de Produção Quando o nível de produto por trabalhador depende tanto do nível de capital físico por trabalhador (K/N) quanto do nível de capital humano por trabalhador (H/N), a função de produção pode ser escrita como: Y N ( + ) ( + ) K H = f, y = f k, h N N O aumento do capital por trabalhador ou do nível médio de competências gera maior produto por trabalhador.

104 Estendendo a Função de Produção Uma medida do capital humano pode ser construída da seguinte forma: Suponha que uma economia possua 100 trabalhadores, metade dos quais são qualificados e metade não. O salário relativo dos trabalhadores qualificados (assim como a produtividade) é o dobro do salário dos não-qualificados. Então: H 150 H = [(50 1) + (50 2)] = 150 = = 1,5 N 100

105 Capital Humano, Capital Físico e Produto O aumento de quanto a sociedade "poupa" sob a forma de capital humano por meio da educação ou do treinamento no trabalho aumenta o capital humano do estado de crescimento equilibrado por trabalhador e, portanto, o produto por trabalhador. No longo prazo, o produto por trabalhador depende tanto de quanto a sociedade poupa como de quanto (e como) gasta com educação.

106 Avaliação Empírica do Modelo de Solow com Capital Humano Em 1992, é publicado A contribution to the empirics of economic growth, um importante artigo de G. Mankiw, D. Romer e D. Weil (MRW) que avalia as implicações empíricas do modelo de Solow, concluindo que ele apresenta um bom desempenho. Observaram que o ajustamento do modelo poderia ser melhorado com a incorporação do capital humano. A qualificação da mão de obra (nível de instrução) não é idêntica para todas as economias.

107 Avaliação Empírica do Modelo de Solow com Capital Humano Observação importante: O modelo, parcialmente desenvolvido aqui, difere do apresentado por MRW em um aspecto importante. MRW consideram que a economia acumula capital humano tal como acumula capital físico: abrindo mão do consumo. Aqui, seguiremos R. Lucas, na suposição de que as pessoas gastam tempo acumulando qualificações.

108 O produto da economia é função da quantidade de capital físico (K) e de trabalho qualificado (H), de acordo com uma função de produção Cobb-Douglas com retornos constantes de escala. α Y = K AH α ( ) 1 Avaliação Empírica do Modelo de Solow com Capital Humano A tecnologia aumentadora de trabalho (A) cresce a uma taxa exógena ga.

109 As pessoas acumulam capital humano dedicando tempo ao aprendizado de novas habilidades em vez de trabalhar, logo: L ( 1 ) u P Sendo u a fração de tempo dedicada ao aprendizado e P a população total da economia, L representa o total do insumo trabalho usado na produção. Como mão de obra não-qualificada está aprendendo novas habilidades durante o tempo u, temos a geração de trabalho qualificado de acordo com: ψ u H = e L Avaliação Empírica do Modelo de Solow com Capital Humano Observe que se u=0, temos H=L, isto é, toda a mão de obra é não qualificada.

110 Avaliação Empírica do Modelo de Solow com Capital Humano Aplicando log na equação anterior, temos: ln H = ψ u ln e + ln L ln H = ψ u + ln L Diferenciando em relação a u, temos: d ln H du =ψ Logo, um pequeno aumento em u aumenta H em ψ%. (observações)

111 Avaliação Empírica do Modelo de Solow com Capital Humano Adicionando H na equação dinâmica de Solow e resolvendo para o estado estacionário em termos per capita, onde h = H/L: α 1 α s K y( t) = ha( t) δ + n + ga Essa última equação resume a explicação oferecida pelo modelo de Solow ampliado para as razões pelas quais alguns países são ricos e outros pobres. Alguns países são ricos porque têm altas taxas de investimento em capital físico, despendem uma parcela considerável de tempo acumulando habilidades ( h = e ψ u ), baixas taxas de crescimento populacional e altos níveis de tecnologia. Adicionalmente, notar que, no estado estacionário, o produto per capita cresce à taxa ga, como no modelo de Solow original.

112 Encontrando a dinâmica do produto per capita. y α 1 α s K ( t) = ha( t) δ + n + ga Observação A FDP com capital físico e trabalho qualificado é dada por: α Y = K AH α ( ) 1 Em termos de unidades de eficiência, temos: ( AH ) 1 α α α Y K Y K = = y = α AH AH AH AH ( ) α k

113 α K ( δ ). 0 : k = s k + n + g k Fazendo k = A Observação Logo, a dinâmica do capital por unidade de eficiência é dada por: 1 * 1 k sk * s α K = k α = δ + n + g * A δ + n + g A k 1 α α α 1 α 1 α * s K * s K Como y = k y = y = δ + n + g δ + n + g A A

114 Observação Y H Y Como y = e h = ou H = hl y = AH L AhL Logo α 1 α Y s K : = AhL δ + n + g A Assim, em termos per capita (Y/L), temos: Y sk = L δ + n+ g A α 1 α ha Incluindo o 1 α indicador s K y de tempo: ( t) = ha( t) δ + n+ g A α

115 Crescimento Endógeno O modelo de crescimento desenvolvido até aqui considera que mudanças nas políticas do governo, como uma elevação exógena da taxa de poupança, ou uma redução da tributação sobre as decisões de investimento (caso introduzíssemos essa variável no modelo), têm efeitos de nível, mas não efeitos de crescimento de longo prazo. Isto é, essas políticas aumentam a taxa de crescimento temporariamente, enquanto a economia transita para um novo estado estacionário. Entretanto, no longo prazo, a taxa de crescimento volta ao seu nível inicial, caso a tecnologia não cresça exogenamente.

116 Crescimento Endógeno Os modelos que geram um crescimento contínuo sem a necessidade de que alguma variável cresça exogenamente, são chamados de modelos de crescimento endógeno. Note que, mesmo no trabalho de MRW, não existe qualquer explicação sobre o motivo das diferentes taxas de escolaridade entre os países, que geram diferentes taxas de crescimento.

117 Crescimento Endógeno A teoria do crescimento econômico teve um novo impulso em 1986, com a publicação do trabalho de Paul Romer. A partir da publicação do trabalho de Romer (1986), os pesquisadores tiveram como objetivo principal a construção de modelos em que, diferentemente dos modelos chamados de neoclássicos (como Solow), a taxa de crescimento de longo prazo pode ser positiva sem a necessidade da suposição de que uma variável cresça de forma exógena (como a tecnologia no modelo de Solow). Por conta disso, tais modelos foram batizados com o nome de modelos de crescimento endógeno.

118 Crescimento Endógeno A primeira família desses modelos, bem representada pelos trabalhos de Romer (1986), Lucas (1988), Rebelo (1991) e Barro (1991), mostrou ser possível gerar taxas positivas de crescimento através da eliminação dos rendimentos decrescentes para o capital, seja por conta da introdução de externalidades do capital ou por conta da introdução de capital humano.

119 Crescimento Endógeno Um segundo grupo de contribuições pode ser encontrado nos trabalhos de Romer (1987 e 1990), Aghion e Howitt (1992 e 1998) e Grossman e Helpman (1991). Em um contexto de concorrência imperfeita, tais autores construíram modelos, onde o investimento em P&D das empresas gera progresso tecnológico de forma endógena. Nesses modelos, a sociedade premia as empresas que inovam com o poder monopolístico, quando elas conseguem inventar um novo produto ou melhorar a qualidade de um produto existente.

120 Crescimento Endógeno Nesse tipo de ambiente, a taxa de crescimento tende a não ser ótima no sentido de Pareto e, por conta disso, torna-se decisiva a intervenção dos governos, que devem: Garantir os direitos de propriedade física e intelectual; Regular o setor financeiro e externo, de forma a evitar distorções; Garantir a existência de um marco legal.

121 O Modelo AK de Crescimento Endógeno Uma conclusão importante extraída do modelo de Solow: impossibilidade de explicar os determinantes do crescimento econômico, sem a necessidade da suposição de que a tecnologia melhore exogenamente, quando a FDP é neoclássica e existe concorrência perfeita. Veremos que a primeira forma de contornar o problema é abandonando a hipótese de que a FDP é neoclássica, ou seja, trabalhando com uma FDP linear no capital. Ainda que alguns autores, como Von Neuman (1937) e Eaton (1981), tenham trabalhado com funções desse tipo, a introdução desse tipo de FDP na nova literatura sobre crescimento endógeno é devida a Romer (1987) e Rebelo (1991).

122 Suponha a FDP abaixo, linear no estoque de capital. Y O Modelo AK de Crescimento Endógeno = AK Pode parecer estranho uma função de produção sem o fator de produção trabalho, mas se levarmos em conta o conceito de capital humano, a FDP com tecnologia AK não é um absurdo. Para que o corpo humano seja produtivo e possa ser classificado como trabalho a sociedade (pais, educadores, empresas,...) devem investir muitos recursos nele. Dito de outro modo, o fator trabalho necessita de investimento, no sentido em que devemos sacrificar consumo presente para aumentar a produtividade do que chamamos de trabalho. Portanto, nesse sentido, capital e trabalho são, na realidade, simplesmente dois tipos de capital diferentes: físico e humano.

123 O Modelo AK de Crescimento Endógeno Propriedades a Função de Produção AK Assim como a FDP neoclássica, apresenta retornos constantes de escala: ( ) A λk = λ AK = λy Diferentemente da FDP neoclássica, a PMgK não é decrescente: 2 Y Y Y = AK = A e = K K 2 0 Logo, não satisfaz as condições de Inada, dado que o PMgK é constante, igual a A.

124 Introduzindo a tecnologia AK no modelo de Solow A equação de acumulação de capital per capita nos diz que o aumento do capital per capita é igual a poupança (investimento) per capita menos a depreciação per capita, que inclui a perda de unidades de capital per capita quando temos um aumento no tamanho da população. k = sy δ + n k k = sak δ + n k ( ) ( ) Dividindo ambos os lados por k obtemos a taxa de crescimento do estoque de capital per capita. k k O Modelo AK de Crescimento Endógeno K = sa ( δ + n) Logo : = sa δ K Como a diferença entre o crescimento per capita e total é dado por n, também podemos calcular a taxa de crescimento do estoque de capital total.

125 O Modelo AK de Crescimento Endógeno Supondo que o investimento seja superior à depreciação, ou seja, que a economia é suficientemente produtiva, de forma que sa > δ + n ( ) : sy ( δ + n) k k0 k Observe que, nesse caso, a taxa de crescimento do estoque de capital per capita será constante e positiva, dada por sa ( δ + n).

126 O Modelo AK de Crescimento Endógeno Taxas de crescimento no modelo AK k y Como = sa + n e y = Ak = sa + n k y ( δ ) ( δ ) K Y Como = sa δ e Y = AK = sa δ K Y c C Como c = f ( y) = sa ( δ + n) e = sa δ c C Logo, todas as variáveis per capita crescem à mesma taxa, assim como as variáveis totais. k = y = c = sa ( δ + n) e K = Y = C = sa δ k y c K Y C

127 O Modelo AK de Crescimento Endógeno Sendo assim, no modelo AK, a taxa de crescimento da economia é uma função crescente da taxa de investimento. Portanto, políticas do governo que aumentem permanentemente a taxa de investimento da economia aumentarão permanentemente a taxa de crescimento. Note que não precisamos supor que qualquer variável cresça a uma taxa exógena para gerar crescimento permanente do produto.