O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de Satisfação Proposicional
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- Elias Vieira Carvalhal
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1 O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de Satisfação Proposicional Ruben Martins Instituto Superior Técnico Universidade Técnica de Lisboa Mestrado em Matemática e Aplicações Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 1 / 44
2 Motivação Progresso notável na área de Satisfação Proposicional (SAT); Constante evolução das ferramentas de SAT. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 2 / 44
3 Motivação Progresso notável na área de Satisfação Proposicional (SAT); Constante evolução das ferramentas de SAT. A modelação tem um elevado impacto na resolução de problemas de SAT. Necessidade de aprofundar a modelação de problemas: Social Golfer, Round Robin, Completação de Quasigroups, Torres de Hanói Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 2 / 44
4 Resumo Conceitos Gerais Social Golfer Round Robin Completação de Quasigroups Torres de Hanói Conclusões e Trabalho Futuro Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 3 / 44
5 Resumo Conceitos Gerais Social Golfer Round Robin Completação de Quasigroups Torres de Hanói Conclusões e Trabalho Futuro Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 4 / 44
6 O que é SAT? Definição (Problema de Satisfação Booleana (SAT)) O problema de Satisfação Booleana (SAT) consiste em, dada uma fórmula ϕ, decidir se existe uma atribuição ρ tal que ρ = ϕ. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 5 / 44
7 O que é SAT? Definição (Problema de Satisfação Booleana (SAT)) O problema de Satisfação Booleana (SAT) consiste em, dada uma fórmula ϕ, decidir se existe uma atribuição ρ tal que ρ = ϕ. ϕ = (x 1 x 2 ) (x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 ) Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 5 / 44
8 O que é SAT? Definição (Problema de Satisfação Booleana (SAT)) O problema de Satisfação Booleana (SAT) consiste em, dada uma fórmula ϕ, decidir se existe uma atribuição ρ tal que ρ = ϕ. ϕ = (x 1 x 2 ) (x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 ) ρ(x1 ) = 1 ρ(x2 ) = 1 ρ(x3 ) = 0 Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 5 / 44
9 Porque é que SAT é importante? Importância Teórica: Primeiro problema a ter sido demonstrado ser N P-Completo (Cook 71). Importância Prática: Resolução de problemas de planeamento, Verificação de modelos, Criptografia, Bioinformática,... Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 6 / 44
10 Conceitos Gerais Regra da Cláusula Unitária: Dada uma cláusula com apenas um literal livre, temos que este literal terá que tomar o valor 1 para a cláusula ser satisfeita (x1 x 2 x 3 ), x 3 terá que tomar o valor 0 Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 7 / 44
11 Conceitos Gerais Regra da Cláusula Unitária: Dada uma cláusula com apenas um literal livre, temos que este literal terá que tomar o valor 1 para a cláusula ser satisfeita (x1 x 2 x 3 ), x 3 terá que tomar o valor 0 Propagação Unitária: Aplicação iterativa da Regra da Cláusula Unitária Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 7 / 44
12 Conceitos Gerais Regra da Cláusula Unitária: Dada uma cláusula com apenas um literal livre, temos que este literal terá que tomar o valor 1 para a cláusula ser satisfeita (x1 x 2 x 3 ), x 3 terá que tomar o valor 0 Propagação Unitária: Aplicação iterativa da Regra da Cláusula Unitária Resolução: (x α) ( x β) (α β) Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 7 / 44
13 Algoritmos de SAT Em 1960, M. Davis e H. Putnam propuseram o algoritmo DP: Uso da resolução para eliminar uma variável de cada vez; Aplicação da Propagação Unitária. Em 1962, M. Davis, G. Logemann e D. Loveland proposeram um algoritmo alternativo (DPLL): Invés de eliminar variáveis através da resolução, o algoritmo usa uma árvore binária de procura; Aplicação da Propagação Unitária. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 8 / 44
14 Algoritmo de SAT DPLL Pesquisa em árvore Em cada passo: decidir() Escolhe a variável a ser atríbuida deduzir() Aplica a propagação unitária diagnosticar() Se um conflito for identificado, então retroceder Se não for possível retroceder, devolver UNSAT Caso contrário, proceder com a propagação unitária Se uma fórmula for satisfeita, devolver SAT Caso contrário, proceder com outra decisão Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 9 / 44
15 Resumo Conceitos Gerais Social Golfer Round Robin Completação de Quasigroups Torres de Hanói Conclusões e Trabalho Futuro Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 10 / 44
16 Social Golfer Definição (Social Golfer) O clube de golfe tem 32 membros; Cada membro joga uma vez por semana; Os membros jogam sempre em grupos 4; Cada dois jogadores jogam no máximo uma vez juntos. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 11 / 44
17 Social Golfer (Generalização) Definição (Social Golfer < w, p, g >) O calendário é composto por p g jogadores, w semanas e g grupos por semana; Cada jogador joga golfe uma vez por semana; Cada jogador joga em grupos de p jogadores; Cada par de jogadores jogam no máximo uma vez juntos. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 11 / 44
18 Social Golfer (Generalização) Definição (Social Golfer < w, p, g >) O calendário é composto por p g jogadores, w semanas e g grupos por semana; Cada jogador joga golfe uma vez por semana; Cada jogador joga em grupos de p jogadores; Cada par de jogadores jogam no máximo uma vez juntos. Semana Grupo 1 Grupo 2 1 [1,2] [3,4] 2 [1,3] [2,4] 3 [1,4] [2,3] Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 11 / 44
19 Simetrias (Social Golfer) Semana Grupo 1 Grupo 2 1 [1,2] [3,4] 2 [1,3] [2,4] 3 [1,4] [2,3] Os jogadores são permutáveis; Jogadores no mesmo grupo são permutáveis; Grupos na mesma semana são permutáveis; As semanas são permutáveis. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 12 / 44
20 Gent e Lynce VS. Martins Ambas as codificações usam restrições adicionais para quebrar simetrias. Gent e Lynce: As variáveis descrevem a posição em que cada jogador joga. Martins: As variáveis descrevem a semana em que cada grupo de jogadores joga. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 13 / 44
21 Resultados Experimentais Comparação entre as diferentes codificações usando o MiniSat. Gent & Lynce Martins Instância #vars #cls tempo (s) #vars #cls tempo (s) < 15, 2, 8 > 12,103 78, ,800 38, < 17, 2, 9 > 31, , ,601 62, < 19, 2, 10 > 47, , ,610 97, < 21, 2, 11 > 68, , , ,992 1 < 23, 2, 12 > 96, , , , < 25, 2, 13 > 130, , , , < 27, 2, 14 > 174,636 1,318, , , < 29, 2, 15 > 228,375 1,743, , , Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 14 / 44
22 Resultados Experimentais Comparação entre as diferentes codificações usando o MiniSat. Gent & Lynce Martins Instância #vars #cls tempo (s) #vars #cls tempo (s) < 15, 2, 8 > 12,103 78, ,800 38, < 17, 2, 9 > 31, , ,601 62, < 19, 2, 10 > 47, , ,610 97, < 21, 2, 11 > 68, , , ,992 1 < 23, 2, 12 > 96, , , , < 25, 2, 13 > 130, , , , < 27, 2, 14 > 174,636 1,318, , , < 29, 2, 15 > 228,375 1,743, , , Kirkman s Schoolgirl: Gent & Lynce Martins #vars #cls tempo (s) #vars #cls tempo (s) < 7, 3, 5 > 5,775 42, , , Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 14 / 44
23 Resumo Conceitos Gerais Social Golfer Round Robin Completação de Quasigroups Torres de Hanói Conclusões e Trabalho Futuro Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 15 / 44
24 Round Robin Definição (Round Robin) Existem n (com n par) equipas e cada par de equipas joga entre si exactamente uma vez; A temporada dura n-1 semanas; Cada equipa joga um jogo em cada semana; Existem n 2 campos e em cada semana existe um jogo nesse campo; Nenhuma equipa joga mais do que duas vezes no mesmo campo durante o decorrer da temporada. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 16 / 44
25 Round Robin Definição (Round Robin) Existem n (com n par) equipas e cada par de equipas joga entre si exactamente uma vez; A temporada dura n-1 semanas; Cada equipa joga um jogo em cada semana; Existem n 2 campos e em cada semana existe um jogo nesse campo; Nenhuma equipa joga mais do que duas vezes no mesmo campo durante o decorrer da temporada. Sem 1 Sem 2 Sem 3 Sem 4 Sem 5 Campo Campo Campo Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 16 / 44
26 Simetrias (Round Robin) Sem 1 Sem 2 Sem 3 Sem 4 Sem 5 Campo Campo Campo Os jogadores são permutáveis; Jogadores no mesmo jogo são permutáveis; As semanas são permutáveis; Os campos são permutáveis. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 17 / 44
27 Manyà e Béjar Sem 1 Sem 2 Sem 3 Sem 4 Sem 5 Campo Campo Campo As variáveis dividem-se em dois conjuntos: p 1k p 2k ij : descreve o jogador que joga na primeira posição de cada jogo; ij : descreve o jogador que joga na segunda posição de cada jogo. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 18 / 44
28 Manyà e Béjar + < simetrias > Quebra das simetrias entre os campos: Sem 1 Sem 2 Sem 3 Sem 4 Sem 5 Campo Campo Campo Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 19 / 44
29 Manyà e Béjar + < simetrias > Quebra das simetrias entre os campos: Sem 1 Sem 2 Sem 3 Sem 4 Sem 5 Campo Campo Campo Quebra das simetrias entre as semanas: Sem 1 Sem 2 Sem 3 Sem 4 Sem 5 Campo Campo Campo Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 19 / 44
30 Manyà e Béjar + < dummy > Coluna Dummy: Sem 1 Sem 2 Sem 3 Sem 4 Sem 5 Dummy Campo Campo Campo Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 20 / 44
31 Martins Sem 1 Sem 2 Sem 3 Sem 4 Sem 5 Campo Campo Campo As variáveis dividem-se em dois conjuntos: CAMPO k (X ): descreve o campo onde o grupo de jogadores X joga; SEM j (X ): descreve a semana onde o grupo de jogadores X joga. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 21 / 44
32 Martins Sem 1 Sem 2 Sem 3 Sem 4 Sem 5 Campo Campo Campo As variáveis dividem-se em dois conjuntos: CAMPO k (X ): descreve o campo onde o grupo de jogadores X joga; SEM j (X ): descreve a semana onde o grupo de jogadores X joga. Se X 1 e X 2 jogarem na mesma semana X 1 e X 2 jogam em campos diferentes; Se X1 e X 2 jogarem no mesmo campo X 1 e X 2 jogam em semanas diferentes. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 21 / 44
33 Resultados Experimentais Codificação < all >= {< simetrias > < dummy >}; Comparação entre as diferentes codificações usando o Minisat com um tempo limite de 6000 segundos. n Manyà & Béjar <simetrias> <dummy> <all> Martins Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 22 / 44
34 Resumo Conceitos Gerais Social Golfer Round Robin Completação de Quasigroups Torres de Hanói Conclusões e Trabalho Futuro Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 23 / 44
35 Problema da Completação de Quasigroups Definição (Quasigroup) Um quasigroup é um par ordenado (Q, ), onde Q é um conjunto e é uma operação binária em Q, tal que, para cada a e b em Q, existem elementos únicos x e y em Q tal que: a x = b e y a = b. A ordem n de um quasigroup é a cardinalidade do conjunto Q. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 24 / 44
36 Problema da Completação de Quasigroups Definição (Quasigroup) Um quasigroup é um par ordenado (Q, ), onde Q é um conjunto e é uma operação binária em Q, tal que, para cada a e b em Q, existem elementos únicos x e y em Q tal que: a x = b e y a = b. A ordem n de um quasigroup é a cardinalidade do conjunto Q. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 24 / 44
37 Codificação SAT Variáveis: n variáveis Booleanas em cada célula, A variável qxyz é verdadeira se e só se o número z for atribuído à célula na linha x, coluna y. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 25 / 44
38 Quebra de Simetrias em QCPs Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 26 / 44
39 Simetria Local lsym 22 (2 linhas; 2 colunas) Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 27 / 44
40 Simetria Local lsym 22 (2 linhas; 2 colunas) Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 27 / 44
41 Simetria Local lsym 23 (2 linhas; 3 colunas) Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 28 / 44
42 Simetria Local lsym 23 (2 linhas; 3 colunas) Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 28 / 44
43 Simetria Local lsym 32 (3 linhas; 2 colunas) Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 29 / 44
44 Simetria Local lsym 32 (3 linhas; 2 colunas) Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 29 / 44
45 Quebra de Simetrias Locais lsym 22 Q[i 1, j 1 ] < Q[i 2, j 1 ] j 1 j 2 i 1 a b i 2 b a Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 30 / 44
46 Quebra de Simetrias Locais lsym 22 Q[i 1, j 1 ] < Q[i 2, j 1 ] j 1 j 2 i 1 a b i 2 b a Impomos uma ordem lexicográfica no subconjunto de j 1 : 1. b>a (q i1j 1b q i1j 2a q i2j 1a q i2j 2b) 2. a>b (q i1j 1a q i1j 2b q i2j 1b q i2j 2a) Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 30 / 44
47 Quebra de Simetrias Locais lsym 22 Q[i 1, j 1 ] < Q[i 2, j 1 ] j 1 j 2 i 1 b a i 2 a b Impomos uma ordem lexicográfica no subconjunto de j 1 : 1. b>a (q i1j 1b q i1j 2a q i2j 1a q i2j 2b) 2. a>b (q i1j 1a q i1j 2b q i2j 1b q i2j 2a) Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 30 / 44
48 Quebra de Simetrias Locais lsym 22 Q[i 1, j 1 ] < Q[i 2, j 1 ] j 1 j 2 i 1 a b i 2 b a Impomos uma ordem lexicográfica no subconjunto de j 1 : 1. b>a (q i1j 1b q i1j 2a q i2j 1a q i2j 2b) 2. a>b (q i1j 1a q i1j 2b q i2j 1b q i2j 2a) Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 30 / 44
49 Outras Simetrias Locais j 1 j 2 j 3 j 4 i 1 b a i 2 a b i 3 b a i 4 a b Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 31 / 44
50 Outras Simetrias Locais j 1 j 2 j 3 j 4 i 1 a b i 2 b a i 3 a b i 4 b a Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 31 / 44
51 Resultados Experimentais (Instâncias com Solução) Redução (em percentagem) do número de soluções lsym 22 lsym 23 lsym 32 lsym all Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 32 / 44
52 Resultados Experimentais (Instâncias com Solução) Redução (em percentagem) do número de soluções lsym 22 lsym 23 lsym 32 lsym all Comparação entre as diferentes codificações usando o Satz com um tempo limite de 6000 segundos. Ordem w/o lsym lsym 22 lsym 32 lsym Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 32 / 44
53 Resultados Experimentais (blindsatz) Satz O algoritmo de decisão implementado no Satz escolhe a variável que quando atribuída irá implicar um maior número de atribuições através de propagação unitária. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 33 / 44
54 Resultados Experimentais (blindsatz) Satz O algoritmo de decisão implementado no Satz escolhe a variável que quando atribuída irá implicar um maior número de atribuições através de propagação unitária. blindsatz Escolhemos a primeira variável livre para ramificar. Isto faz com que este algoritmo escolha as variáveis numa ordem fixa. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 33 / 44
55 Resultados Experimentais (Instâncias com Solução) Comparação entre as diferentes codificações usando o blindsatz com um tempo limite de 1000 segundos. w/o lsym lsym 22 lsym 32 lsym 23 lsym all Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 34 / 44
56 Resultados Experimentais (Instâncias com Solução) Comparação entre as diferentes codificações usando o blindsatz com um tempo limite de 1000 segundos. w/o lsym lsym 22 lsym 32 lsym 23 lsym all e w o lsym a lsym e w o lsym a lsym Instâncias (1.32;12.57;42.74)% 16 Instâncias (0.06;2.07;10.12)% Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 34 / 44
57 Resultados Experimentais (Instâncias com Solução) Comparação entre as diferentes codificações usando o blindsatz com um tempo limite de 1000 segundos. w/o lsym lsym 22 lsym 32 lsym 23 lsym all e w o lsym a lsym e w o lsym a lsym all Instâncias (0.26;1.85;4.59)% 25 Instâncias (2.76;15.17;42.81)% Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 34 / 44
58 Resultados Experimentais (Instâncias sem Solução) Comparação entre as diferentes codificações usando o blindsatz com um tempo limite de 1000 segundos. w/o lsym lsym 22 lsym 32 lsym 23 lsym all Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 35 / 44
59 Resultados Experimentais (Instâncias sem Solução) Comparação entre as diferentes codificações usando o blindsatz com um tempo limite de 1000 segundos. w/o lsym lsym 22 lsym 32 lsym 23 lsym all e w o lsym a lsym e w o lsym a lsym Instâncias (0.45;6.71;14.78)% 16 Instâncias (0.09;1.69;5.14)% Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 35 / 44
60 Resultados Experimentais (Instâncias sem Solução) Comparação entre as diferentes codificações usando o blindsatz com um tempo limite de 1000 segundos. w/o lsym lsym 22 lsym 32 lsym 23 lsym all e w o lsym a lsym e w o lsym a lsym all Instâncias (0.02;1.67;4.41)% 28 Instâncias (1.37;8.42;23)% Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 35 / 44
61 Resumo Conceitos Gerais Social Golfer Round Robin Completação de Quasigroups Torres de Hanói Conclusões e Trabalho Futuro Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 36 / 44
62 Torres de Hanói Definição (Torres de Hanói) 3 torres; n anéis de diferentes tamanhos; Situação Inicial: anéis empilhados em ordem crescente de tamanho na primeira torre; Objectivo: anéis empilhados em ordem crescente de tamanho na terceira torre. T 1 T 2 T Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 37 / 44
63 Torres de Hanói Regras (Torres de Hanói) Apenas um disco pode ser movido de cada vez; Cada movimento consiste em tirar o disco que se encontra no topo de uma das Torres e colocá-lo noutra Torre, no topo de outros discos que possam já estar presentes nessa Torre; Nenhum disco pode ser colocado em cima de um disco mais pequeno. T 1 T 2 T Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 37 / 44
64 Torres de Hanói Regras (Torres de Hanói) Apenas um disco pode ser movido de cada vez; Cada movimento consiste em tirar o disco que se encontra no topo de uma das Torres e colocá-lo noutra Torre, no topo de outros discos que possam já estar presentes nessa Torre; Nenhum disco pode ser colocado em cima de um disco mais pequeno. T 1 T 2 T Existe sempre uma solução com 2 n 1 passos Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 37 / 44
65 Codificações Existentes Têm por base a linguagem STRIPS. Selman e Kautz: A codificação descreve o movimento de um disco para cima de outro disco ou de uma torre. move(d, dt, i) (obj(d, i) origem(dt, i) dest(dt, i)) on(d, dt, i); clear(dt, i) Prestwich: A codificação descreve o movimento de um disco para cima de uma torre. move(d, t, i) (obj(d, i) origem(t, i) dest(t, i)) on(d, t, i) Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 38 / 44
66 Torres de Hanói em SAT (Martins) Propriedades: [seq]: A sequência dos discos a serem movidos é dada por: S 1 = {1}; S n = {S n 1, n, S n 1 } [pp1]: Dada um problema de Torres de Hanói com n discos, podemos obter a solução determinando apenas os primeiros 2 n 1 1 passos. [pp2]: Discos da mesma paridade nunca podem estar em directo contacto. [pp3]: Existe no máximo um disco par no topo das três torres. [pp4]: Se considerarmos um disco extra por torre, com a respectiva numeração de n + 1, n + 2 e n + 3, podemos garantir que existe exactamente um disco par no topo das três torres. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 39 / 44
67 Resultados Experimentais Comparação entre as diferentes codificações usando o PicoSAT com um tempo limite de segundos. n Selman Prestwich [seq] [pp1] [pp2] [pp3] [pp4] Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 40 / 44
68 Resultados Experimentais {[seq],[pp1]} permite resolver o problema sem procura: n # vars #claus {[seq],[pp1]} , , , ,163 21, ,850 51, , , , , , , ,574 1,584, Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 41 / 44
69 Codificação Simplificada Aproveitamos a propriedade [seq] para usarmos como variáveis apenas as variáveis on(d, t, i); Utilizamos as propriedades [pp1] e [pp2]. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 42 / 44
70 Codificação Simplificada Aproveitamos a propriedade [seq] para usarmos como variáveis apenas as variáveis on(d, t, i); Utilizamos as propriedades [pp1] e [pp2]. n Codificação #vars #claus <seq,pp1> 166 1,106 4 <simp> <seq,pp1> 405 3,140 <simp> <seq,pp1> 948 8,319 <simp> 558 1,902 <seq,pp1> 2,163 21,091 <simp> 1,323 4,911 <seq,pp1> 4,850 51,872 <simp> 3,048 11,984 n Codificação #vars #claus <seq,pp1> 10, ,758 9 <simp> 6,885 28, <seq,pp1> 23, ,917 <simp> 15,330 67,846 <seq,pp1> 51, ,533 <simp> 33, ,427 <seq,pp1> 110,574 1,584,462 <simp> 73, ,160 Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 42 / 44
71 Resumo Conceitos Gerais Social Golfer Round Robin Completação de Quasigroups Torres de Hanói Conclusões e Trabalho Futuro Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 43 / 44
72 Conclusões e Trabalho Futuro Modelação deve ser adequada a cada problema; Elevado impacto da modelação na resolução de problemas de SAT: Torres de Hanói, reduzimos um problema inicialmente difícil a um problema que pode ser resolvido sem procura. Exploração de novas técnicas de modelação: Identificação e quebra eficiente de Simetrias Locais. Ruben Martins O Impacto da Modelação na Resolução de Problemas de SAT 44 / 44
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