CADERNO DE ORIENTAÇÕES UNIDADE DE APRENDIZAGEM ESTATÍSTICA II

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1 CADERNO DE ORIENTAÇÕES UNIDADE DE APRENDIZAGEM ESTATÍSTICA II

2 1 CADERNO DE ORIENTAÇÕES 1 A inferência estatística Celso Pessanha Machado O objetivo deste curso é construir modelos teóricos probabilísticos, que tenham a capacidade de representar com o maior grau possível de certeza o comportamento das variáveis estudadas e tornar possível generalizar características de uma população com base em amostras. Decidir com base em amostras faz parte do cotidiano. No verão quando vamos comprar uma melancia o vendedor por diversas vezes fornece pedaços de uma de suas frutas para que experimentemos. Baseado no sabor daquele pedaço único decidimos se realizaremos a compra ou não. Quem cozinha também decide se a comida está suficientemente salgada provando uma amostra do quitute que está preparando. População e amostra. Raramente consegue-se obter a distribuição precisa de uma variável, devido ao custo, tempo e impossibilidade processual. Podemos imaginar que é impossível definir com precisão a durabilidade das lâmpadas testando todas, pois não restaria nenhuma para venda e o fabricante iria a falência. Definição: População: conjunto de elementos resultantes de uma investigação. Amostra: subconjunto da população. Exemplos de uso de amostras: Interesse em planos de saúde de uma companhia, a Orange Computers. Se ela tem 1649 funcionários e queremos saber um determinado item por exemplo, interesse em plano de saúde, podemos selecionar 42 funcionários. As respostas comporão a amostra. Esperamos que a mostra reflita o total, desde tenhamos critérios na escolha dos entrevistados. Salário de determinada comunidade.

3 2 Podemos desejar conhecer também o nível salarial de determinada comunidade, um bairro ou um setor de determinado município. Se tal comunidade tem habitantes, podemos selecionar uma amostra com 60 pessoas para conhecermos o potencial financeiro de consumo dos moradores. Duração de uma lâmpada Escolhe-se uma amostra de 200 lâmpadas fabricadas por determinada empresa. Elas ficam acesas até queimarem e calcula-se o tempo médio de duração. Máquina de encher pacotes Pode-se verificar a precisão de uma máquina que enche pacotes de erva-mate. São sorteados 100 pacotes e verifica-se o peso. Perguntas básicas: Quando há amostras envolvidas em um problema devemos responder a quatro perguntas: 1. Qual a população a ser amostrada? 2. Como obter os dados (a amostra)? 3. Que informações pertinentes (estatísticas) serão retiradas da amostra? 4 como é que se comporta(m) a(s) estatística(s) quando o mesmo procedimento de escolher a amostra é usado numa população conhecida? 2 A inferência estatística amostragem Como selecionar uma amostra

4 3 Para fazer um levantamento amostral, é necessário: Explicitar os objetivos com bastante firmeza, a fim de evitar dúvidas posteriores; Definir a população a ser amostrada; Escolher as variáveis a serem observadas; Especificar o grau de precisão desejado, pois os levantamentos são sujeitos a incerteza, devido a erros de medida ou devido ao fato de apenas uma parte da população ser examinada; Escolher os instrumentos de medida e a forma de abordagem; Escolher a unidade amostral, que é definida como a menor parte distinta e identificável da população, para fins de enumeração e sorteio da amostra; Executar a prova experimental, prova-piloto ou pré-teste, pois é quando se verificam potenciais erros. Selecionar a amostra, após decidir qual deve ser o respectivo tamanho. Tipos de amostragem A amostragem é dita como probabilística quando cada unidade amostral na população tem uma probabilidade de pertencer à amostra. Essa probabilidade é conhecida e diferente de zero.. De outra forma, a amostragem é dita não-probabilística. A amostragem probabilística possibilita maiores inferências sobre a população estudada do que a amostragem não-probabilística. A amostragem probabilística pode ser simples, estratificada, sistemática, por conglomerados entre outras. Amostragem simples sem reposição É um processo simples onde cada unidade amostral, antes da tomada da amostra, tem igual probabilidade de pertencer a ela. Seja uma população numerada de 1, 2,..., N, e deseja-se obter uma amostra de tamanho n. Então, cada unidade amostral terá probabilidade n/n de pertencer a amostra. Amostragem estratificada simples Muitas vezes uma população é composta de subpopulações (estratos) bem definidos, havendo maior homogeneidade entre as unidades amostrais dentro de cada estrato do que entre as unidades amostrais de estratos diferentes. Sexo, idade, condição sócio-econômica são exemplos típicos. Nestas

5 4 condições, tais estratos devem ser levados em consideração e o sorteio da amostra deve ser feito em cada um deles independentemente; daí o nome de amostragem estratificada. Geralmente, a amostra de cada estrato é proporcional ao número de indivíduos que compõem a população do mesmo. Essa amostragem é chamada de amostragem estratificada proporcional. Amostragem sistemática É possível colher uma amostra utilizando a ordenação natural dos indivíduos, como prontuários, quarteirões de uma cidade e etc. Sendo N o total de unidades amostrais e n o tamanho da amostra desejada, define-se a quantidade N/n = k, a que se dá o nome de intervalo de amostragem; admitindose que k seja um número inteiro, faz-se então um sorteio entre os números 1, 2,..., k, podendo ser obtido, por exemplo, o valor i, que será chamado de início casual. A partir daí, toda a amostra é definida: o segundo termo será i k, o terceiro termo será i 2k e assim por diante. Nesse tipo de amostragem, deve-se ter o cuidado de verificar se a ordenação das unidades amostrais não apresenta periodicidade, com certas características se repetindo em intervalos iguais. Amostragem por conglomerados Chama-se conglomerado (ou cluster) um conjunto de unidades elementares da população. Se as unidade amostrais definidas na população, para efeito do sorteio para obtenção da amostra, forem conglomerados, ter-se-á uma amostragem por conglomerados. Na amostra por conglomerados, cada conglomerado é visualizado como uma espécie de miniatura da população; portanto, será tanto melhor quanto maior a heterogeneidade da população. Conglomerados podem ser quarteirões, domicílio e etc. Amostragem por etapa dupla É uma modificação da amostragem por conglomerados. Na primeira etapa são selecionados conglomerados, e na segunda etapa são sorteadas as unidades amostrais que se encontram dentro de cada conglomerado selecionado. Precisão

6 5 Um processo de amostragem pode gerar várias possíveis amostras, das quais somente uma é utilizada. Cada uma dessas possíveis amostras forneceria uma determinada estimativa do valor médio da população. A variabilidade que seria encontrada se todas as possíveis amostras fossem observadas é medida pelo respectivo desvio padrão do estimador proposto. A precisão de um processo de amostragem é dada pelo inverso desse desvio padrão; assim, quanto menor a variabilidade em torno da média das possíveis amostras, maior a precisão. Em geral, aumentando-se o tamanho da amostra, aumenta-se a precisão. 4. Amostragem Probabilística Será probabilística uma amostragem em que todos os elementos da população tiverem probabilidade conhecida, e diferente de zero, de pertencer à amostra. Assim, a amostragem probabilística implica em um sorteio com regras bem determinadas, cuja realização só será possível se a população for finita e totalmente acessível. Consideraremos aqui os seguintes planos de amostragem probabilística: 1 Amostragem Aleatória Simples 2 Amostragem Proporcional Estratificada 3 Amostragem Sistemática Amostragem Aleatória Simples Este tipo de amostragem é equivalente a um sorteio lotérico. A Amostragem Aleatória Simples é constituída de elementos retirados ao acaso da população. Então todo elemento da população tem probabilidade fixa de ser amostrado. Por isso é que a esse tipo de amostragem tende a produzir amostras representativas. Ex: Geralmente são considerados aleatórios os seguintes processos: A chegada de clientes aos caixas de um supermercado A chegada de veículos a uma praça de pedágio As chamadas telefônicas numa grande mesa de operação (sistemas de call-center) A produção de qualquer processo mecânico Lances sucessivos lances de moeda ou de dado É de suma importância ter cuidado e atenção à maneira pela qual se escolhem os itens, bem como se eles são igualmente prováveis. Exemplo: Imagine que 500 clientes estão cadastrados em sua empresa e você precisa obter uma amostra aleatória de 2% dos cadastros. O que você faria? Como queremos uma amostra de 2% dos cadastros, precisamos sortear 10 deles. Faremos isso seguindo os seguintes passos: 1 Numeramos os cadastros de 001 a Para o sorteio exibiremos duas opções:

7 6 a) Escreva os números de 001 a 500, em pedaços iguais de um mesmo papel, colocando-os dentro de uma caixa. Agite sempre a caixa para misturar bem os pedaços de papel e retire, um a um, dez números que formarão a amostra. b) Coloque em uma urna, bolas numeradas de zero a nove, inclusive, misture bem e retire uma. Anote o número dessa bola que será o primeiro dígito do número do cadastro que será amostrado. Volte a bola retirada à urna, misture bem e retire outra. O número dessa segunda bola será o segundo dígito do número do cadastro que será amostrado. O procedimento deverá ser repetido até completar os três dígitos da numeração utilizada. Como a população é constituída por 500 cadastros, devem ser desprezados os números maiores do que 500, bem como os números que já foram sorteados e o número 000. O sorteio deverá ser repetido até se conseguir a amostra de 10 cadastros. O processo de seleção exige que se atribuam números consecutivos aos itens listados escolhendo-se depois, aleatoriamente, os números dos itens que comporão a amostra. Conceitualmente, podemos usar cartas, dados, fichas numeradas ou bolas numeradas para gerar números aleatórios para gerar números aleatórios correspondentes os números de nossa listagem. Na prática, tais dispositivos são empregados raramente. Uma dela é que cada dispositivo deixa algo a desejar; os métodos não são perfeitamente aleatórios. Existem tabelas especialmente elaboradas, chamadas Tabelas de Números Aleatórios, construída de modo que os dez algarismos (0 a 9) são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas. Na tabela de números aleatórios os dez algarismos 0,1,2,...,7,8,9, podendo ser lidos isoladamente ou em grupos; em qualquer ordem, como por colunas, num sentido ou noutro, por linhas, diagonalmente etc., e podem ser considerados aleatórios. A opção de leitura, porém, deve ser feita, antes de iniciado o processo. Para usar uma tabela de números aleatórios devemos: 1 Fazer uma lista dos números da população 2 Numerar consecutivamente os itens na lista, a começar do zero, 3 Ler os números na tabela de números aleatórios de modo que o número de algarismos em cada um seja igual ao número de algarismos do último número da sua listagem. 4 Desprezar quaisquer números que não correspondam a números da lista ou que sejam repetições de números lidos anteriormente. Continue o processo até ter o número desejado de observações. 5 Usar os números assim escolhidos para identificar os itens da lista a serem incluídos na amostra. (ver anexo: como gerar números aleatórios no Excel) Vamos testar em sala com a nossa pesquisa teste. Amostragem Sistemática Se os elementos da população já estão ordenados, não é necessário construir um sistema de referência.

8 7 Exemplos: prontuários médicos de um hospital, prédios de uma rua, linhas de produção etc. Nestes casos, a seleção dos elementos constituintes da amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador. A Amostragem Sistemática é constituída de elementos retirados da população segundo um sistema preestabelecido. Exemplo 1: Imagine que 500 clientes estão cadastrados em sua empresa e você precisa obter uma amostra aleatória de 2% dos cadastros. Como obter uma amostra sistemática? Precisamos obter uma amostra de tamanho 10. Para obter a amostra podemos dividir 500 por 10, e obter 50. Sorteamos um número entre 1 e 50, inclusive, para ser o primeiro cadastro da mostra e a partir desse número, contamos 50 cadastros e retiramos o último para fazer parte da amostra. Procedemos dessa forma até completarmos os 10 cadastros da amostra. Amostragem Proporcional Estratificada Muitas vezes a população se divide em subpopulações, denominadas de Estratos. Como é provável que a característica em estudo dessa população apresente, de estrato em estrato, um comportamento heterogêneo e, dentro de cada estrato, um comportamento homogêneo, convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos. A amostra proporcional estratificada é composta por elementos proveniente de todos os estratos. Exemplo: Vamos obter uma amostra proporcional estratificada de 10% para a pesquisa da estatura de 90 alunos de uma escola onde 54 são meninos e 36 são meninas. Temos aqui dois estratos, sexo masculino e sexo feminino. a) O primeiro passo é determinar o tamanho da amostra em cada estrato: b) Numeramos os alunos de 01 a 90, sendo que de 01 a 54 correspondem meninos e de 55 a 90 meninas. c) obtemos uma amostra aleatória ou sistemática de cada sexo e reunimos as informações numa só amostra, denominada amostra estratificada. Vamos estratificar nossa turma. Passo a passo - Escolha 20 alunos aleatoriamente.

9 8 Pesquise os seguintes itens: - Gênero. - Curso. - Município em que reside. 4 Determinação do tamanho de uma amostra Tamanho da amostra para a população muito grande - Fórmula para cálculo do tamanho da amostra Onde: n = primeira aproximação do tamanho da amostra o E = erro amostral tolerável o Onde: N = tamanho da população n = tamanho da amostra Exemplo: 200 famílias, erro tolerável 4% Agora famílias. Conclusão: Experimente aumentar a margem de erro para 5%. O que acontece?

10 9 5 Determinação do tamanho de uma amostra com base na estimativa populacional Em diversos casos é possível determinar o tamanho mínimo de uma amostra para estimar um parâmetro estatístico, como por exemplo, a MÉDIA POPULACIONAL ( ). A fórmula para cálculo do tamanho da amostra para uma estimativa confiável da MÉDIA POPULACIONAL ( ) é dada por: Os valores de confiança mais utilizados e os valores de Z correspondentes podem ser encontrados na Tabela: Grau de confiança Valor crítico 99% 0,01 2,575 95% 0,05 1,96 94% 0,06 1,88 92% 0,08 1,75 90% 0,10 1,645 Exemplo 6.1: Um economista deseja estimar a renda média para o primeiro ano de trabalho de um bacharel em direito. Quantos valores de renda devem ser tomados, se o economista deseja ter 95% de confiança em que a média amostral esteja a menos de R$500,00 da verdadeira média populacional? Suponha que saibamos, por um estudo prévio, que para tais rendas, = R$ 6250,00. Solução:

11 10 E se não for conhecido? A Equação exige que se substitua por algum valor o desvio-padrão populacional, mas se este for desconhecido, devemos poder utilizar um valor preliminar obtido por processos como os que se seguem: Utilizar a aproximação amplitude/4. 7. Determinação do tamanho de uma amostra com base na estimativa da proporção populacional. Outro parâmetro estatístico cuja determinação afeta o tamanho da amostra é a proporção populacional. Tomemos, como exemplo, a necessidade de determinar a proporção de pessoas atendidas por uma Unidade de Saúde, originárias do município de Tucunduva. A fórmula para cálculo do tamanho da amostra para uma estimativa confiável da PROPORÇÃO POPULACIONAL (p) é dada por: Onde: E se p e q não forem conhecidos? A Equação exige que se substituam os valores populacionais p e q, por valores amostrais pˆ e qˆ. Mas se estes também forem desconhecidos, substituímos pˆ e qˆ por 0,5, obtendo a seguinte estimativa (Levine, 2000): Exemplo 7.1 : Um assistente social deseja saber o tamanho da amostra (n) necessário para determinar a proporção da população atendida por uma Unidade de Saúde, que pertence ao município de

12 11 Tucunduva. Não foi feito um levantamento prévio da proporção amostral e, portanto, seu valor é desconhecido. Ela quer ter 90% de confiança que sua o erro máximo de estimativa (E) seja de ±5% (ou 0,05). Quantas pessoas necessitam ser entrevistadas? Lista de exercícios 1 1. Sabendo que o número de eleitores do Brasil é de aproximadamente de pessoas, qual o tamanho da amostra para se garantir uma margem de erro de dois pontos percentuais. 2. Numa empresa com 1000 funcionários, deseja-se estimar a percentagem dos favoráveis a certo treinamento. Qual deve ser o tamanho da amostra aleatória simples que garanta um erro amostral de 5%? 3. Uma empresa pretende lançar um empreedimento de fast food em uma cidade habitantes. Calcule o tamanho das amostra aleatórias que garantam um erro amostral de 2%, 3%, 4% e 5%. 4. Repita o procedimento para um universo de pessoas. 5. Reuna-se com um grupo de colegas e trace um plano de pesquisa estatística utilizando o que aprendeu. 7 Estimação 7.1 Estimativa da Média A estimativa é um processo em que uma amostra é selecionada, mede-se as estatísticas necessárias, como por exemplo, a altura média e desvio padrão da amostra. Então é feita uma inferência => um processo de generalização, dizendo que a partir da média da amostra será possível concluir que ela será a média da população. Em outras palavras, com os dados da amostra tira-se conclusão da população. Neste processo de inferência, quando se retira uma amostra da população, deseja-se obter uma amostra que seja representativa da população, então temos dois casos distintos de processo de retirada: com reposição e sem reposição. O que mais interessa em inferência é o processo de amostragem sem reposição. Existem dois tipos de estimativa, a estimativa pontual e a estimativa intervalar. Por exemplo, quando se fala que o brasileiro tem uma altura média de 1,7o m, fala-se da estimativa pontual. Quando se afirma que o brasileiro tem uma altura média que está entre 1,68 m e 1,72 m, trata-se da estimativa intervalar.

13 12 8.1Estimativa Pontual da Média Na estimativa pontual usamos os dados da amostra para calcular um valor de uma estatística que serve como uma estimativa de um parâmetro da população. A média da amostra é um estimador pontual da média populacional μ. Exemplo 1 Suponha que para a população de estagiários na área de Administração, tenha sido selecionada uma amostra aleatória simples de 12 deles, em que deseja-se saber qual a idade em que eles conseguiram o seu primeiro estágio em Administração, sabendo-se que a população tem um comportamento normal Qual a estimativa pontual da média da população? Primeiro devemos calcular a média aritmética da amostra, então precisamos de n e x. A estimativa pontual da média populacional é de anos, ou seja, supõe-se que os estagiários fazem o seu primeiro estágio em Administração com uma média de anos. 7.2 Estimativa Intervalar da Média Existem dois casos de estimativa intervalar da média. - O desvio padrão da população não é conhecido. - O desvio padrão da população é conhecido Quando se fala em estimativa intervalar, deseja-se criar um intervalo da média da população a partir dos dados da amostra. É preciso encontrar o limite inferior da média (Li) e o limite superior da média (Ls) para um dado intervalo de confiança, que é a probabilidade da média da população estar dentro deste intervalo. Os valores de intervalo de confiança mais comuns são: 90%, 95% e 99%. O intervalo de confiança é também chamado de nível de confiança.

14 13 Fixando um nível de confiança: 1 α (probabilidade da média da população estar dentro do intervalo), tem-se que a média populacional estará entre um limite inferior (Li) e um limite superior (Ls), e α é o nível de significância (probabilidade da média estar fora do intervalo de confiança), conforme a figura a seguir. O estudo de estimativa intervalar da média geralmente é dividido em três etapas: a) Estimativa intervalar para a média populacional quando o desvio padrão da população não é conhecido para pequenas amostras (n 30): distribuição t. b) Estimativa intervalar para a média populacional quando o desvio padrão da população não é conhecido para grandes amostras (n > 30): distribuição normal. c) Estimativa intervalar para a média populacional quando o desvio padrão da população é conhecido: distribuição normal 8.2.a Estimativa intervalar para a média populacional quando o desvio padrão da população não é co nhecido para pequenas amostras (n 30): distribuição t. Para fazer estimativa intervalar, se fazem necessários os seguintes dados da amostra: - Média da amostra - Desvio padrão da amostra

15 14 - Tamanho da amostra: n Para o caso de tamanho de amostra pequeno, geralmente menor ou igual a 30 e desvio padrão da população desconhecido, utiliza-se a distribuição t, que é a distribuição correta para este caso em que se têm somente os dados da amostra. A distribuição t é uma distribuição do tipo normal e existe uma distribuição t para cada grau de confiança (1 α) e grau de liberdade (GL). Quando o tamanho da amostra é maior do que 30, pode utilizar com uma boa aproximação a distribuição normal. O Anexo A traz, em forma de tabela, os valores de t em função dos graus de liberdade e em função da área α. Note que a distribuição t é função de duas variáveis: o número de graus de liberdade GL e a área α. Neste nosso caso, o número de graus de liberdade é o tamanho da amostra menos um (GL = n 1). Onde GL é o grau de liberdade. A área α é igual a 1 menos o intervalo de confiança, ou seja, se o intervalo de confiança vale 95% (0,95), então a área α vale 0,05. Se o intervalo de confiança vale 99% (0,99), então a área α vale 0,01. Intervalo de confiança Podem ser definidos os intervalos de confiança de 95%, 90% ou outros, mediante o emprego da tabela de distribuição t. Dessa maneira, a média da população, μ, pode ser avaliada dentro dos limites de confiança especificados. Construindo o intervalo de confiança. A estimativa da média da população é a média da amostra mais ou menos o erro.

16 15 Este erro é chamado de margem de erro ou erro máximo de estimativa, ou seja, é o afastamento máximo da média amostral em torno da média populacional. A fórmula acima é a definição geral da margem de erro quando se conhece a média da população, mas quando não se conhece a média da população, a margem de erro é dada pela fórmula abaixo para o caso de σ desconhecido e n 30. Exemplo 2 Usando os dados do exemplo anterior: Suponha: que para a população de estagiários na área de Administração, tenha sido selecionada uma amostra aleatória simples de 12 deles, em que deseja-se saber qual a idade em que eles conseguiram o seu primeiro estágio em Administração, sabendo-se que a população tem um comportamento normal a) Construa um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira idade média dos estagiários. b) Calcule o erro máximo de estimativa para um intervalo de confiança de 95%. Exemplo 3 A análise de uma substância para produto de beleza, sendo a variável de interesse o ph do produto, tem um comportamento normal, em que forneceu os seguintes resultados: 7,7 8,0 8,5 8,6 a) Construir um intervalo de confiança de 99% para a média dessa população. b) Calcular o erro máximo de estimativa para um intervalo de confiança de 99%.

17 16 Atividades 1. De uma população normal, foi obtida uma amostra aleatória com os seguintes dados: 7, 7, 8, 10, 11, 13, 15, 17. a) Qual é a média da amostra? b) Qual é o desvio padrão da amostra? c) Qual é a estimativa pontual da média da população? d) Construa um intervalo de confiança de 95% para a média da população. e) Calcule o erro máximo de estimativa. 2. De uma população normal, foi obtida uma amostra aleatória com os seguintes dados: 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16. a) Qual é a média da amostra? b) Qual é o desvio padrão da amostra? c) Qual é a estimativa pontual da média da população? d) Construa um intervalo de confiança de 90% para a média da população. e) Calcule o erro máximo de estimativa. 3 Uma amostra de 15 observações de uma população normal resultou em uma média amostral de 30 e um desvio padrão amostral de 6. a) Construa um intervalo de confiança de 90% para a média da população. b) Construa um intervalo de confiança de 95% para a média da população. c) Construa um intervalo de confiança de 99% para a média da população. d) Calcule a margem de erro para os intervalos de confiança dos itens anteriores. e) O que acontece com a margem de erro quando se aumenta o intervalo de confiança

18 17 Atividades de revisão Atividades 1. Foram retiradas 36 peças da produção diária de uma máquina, encontrando-se para a amostra, uma média de 50 mm e um desvio padrão de 3 mm. a) Construir intervalos de confiança para a média aos níveis de 90%, 95% e 99%. b) Calcular os erros de estimação para os níveis de confiança do item a. 2.Uma amostra de 40 alunos forneceu os dados da idade deles em anos, quando fizeram a sua primeira faculdade. Os dados estão logo a seguir a) Calcule a média da amostra. b) Calcule o desvio padrão da amostra. c) Faça uma estimativa pontual da idade média dos alunos. d) Construa um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira idade de ingresso. 3. Departamento de Recursos Humanos de uma grande empresa informou que o tempo de execução de tarefas que envolvem participação manual varia de tarefa para tarefa. Uma nova tarefa está sendo implantada na empresa. Uma amostra aleatória do tempo de execução de 49 destas novas tarefas forneceu o valor médio de 25 minutos e um desvio padrão de 8,5 minutos. a) Determine um intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de execução desta nova tarefa. b) Determine o erro de estimação. Atividade II Junto com seu grupo de andamento ao pré projeto que compõe a nota do G1.

19 18 Atividade de revisão 1. A altura dos alunos de uma academia apresenta uma distribuição aproximadamente normal. Para estimar a altura média dessa população, foi observada a altura de 30 alunos, obtendo-se x =175 cm e s=15 cm. Determine um intervalo de confiança de 99% para a média populacional. R. Li 167,95 Ls 182,05 2. Os salários dos funcionários de uma fábrica de tecidos têm uma distribuição aproximadamente normal. Para estimar o salário médio desta população, foram observados os salários de 20 funcionários, obtendo-se x = 850 reais e s = 120 reais. Determine um intervalo de confiança de 95% para a média populacional. R. Li 793,84, Ls 906,16 3. Observe as notas do teste SAT para 12 alunos do último ano do Ensino Médio Determine: a) Média amostral b) Desvio padrão da amostra. c) construa um intervalo de confiança de 99%para a média Respostas a) 1767,7 b) 252,2 c) Li 1541,5 Ls 1993,8

20 19 atividade INTERVALOS DE CONFIANÇA Nos exercícios 1 e 2, você tem média amostral e o desvio padrão amostral. Assuma que a variável é normalmente distribuída e use a distribuição t para construir um intervalo de confiança de 90% para a média proporcional u. 1- LIXO GERADO Em uma amostra aleatória de 10 adultos norte americanos, a média de lixo gerado por pessoa por dia era de 4,54 libras e o desvio padrão era de 1,21 libras. 2- LIXO RECICLADO Em uma amostra aleatória de 12 adultos norte americanos, a média de lixo reciclado por pessoa por dia era de 1,46 libras o desvio padrão era de 0,28 libras. Nos exercícios 3 e 4, um conjunto de dados é fornecido. Para cada conjunto de dados, (a) encontre a média amostral, (b) encontre o desvio padrão da amostra e (c) construa um intervalo de confiança de 99% para a média populacional u. Assuma que a população de cada conjunto de dados seja normalmente distribuída. Se for conveniente, use uma ferramenta tecnológica. 3- NOTAS SAT As notas do teste SAT para 12 alunos do último ano do ensino médio são selecionadas aleatoriamente GPA A média de pontos das notas (GPA) para 15 estudantes universitários selecionados aleatoriamente. 2,3 3,3 2,6 1,8 0,2 3,1 4,0 0,7 2,3 2,0 3,1 3,4 1,3 2,6 2,6

21 20 Nos exercícios 5, 6 e 7, use a distribuição t para construir um intervalo de confiança de 95% para a média populacional. Justifique sua decisão. Se nenhuma das distribuições puder ser usada, explique o porquê. Se for conveniente, use a tecnologia para construir o intervalo de confiança. 5- RAIOS Em uma amostra aleatória de 70 raios de um componente mecânico, o comprimento médio era de 1,25 polegadas e o desvio padrão era de 0,05 polegadas. 6- PREÇO DAS TORRADEIRAS Você retira aleatoriamente uma amostra de 12 torradeiras do modelo 2 fatias de pão e descobre que a média do preço era de $ 57,79 e o desvio padrão era de $19,05. Assuma que os preços são normalmente distribuídos. 7- CARROS ESPORTIVOS: MILHAS POR GALÃO Você faz uma pesquisa aleatória de 25 carros esportivos e registra as milhas por galão para cada. Os dados estão listados a seguir. Assuma que as milhas por galão são normalmente distribuídas Testes de hipóteses

22 21 Introdução Teste de hipótese é um processo que usa estatísticas amostrais para testar a afirmação sobre o valor de um parâmetro populacional. Pesquisas em campos tais como medicina, psicologia e negócios confiam nos testes de hipóteses para tomada de decisões. Suponha, por exemplo, que um fabricante de automóveis anuncie que seu novo carro híbrido tem média de milhagem de 50 milhas por galão. Como é possível mostrar se esse anúncio é verdadeiro ou falso? É impossível testar todos os veículos, mas você pode tomar uma amostra aleatória da população de veículos, medir a milhagem e encontrar uma média amostral. De acordo com o resultado você decidir que o anúncio está certo ou errado. Estabelecendo uma hipótese Uma afirmação sobre parâmetro populacional é chamada de hipótese estatística. Para testar um parâmetro populacional você deve afirmar um par de hipóteses. Uma representa a afirmação e outra seu complemento. Quando uma hipótese for falsa a outra deve ser verdadeira. Qualquer uma das hipóteses a hipótese nula ou a hipótese alternativa pode representar a afirmação original. Definição: 1. Hipótese nula H0 é uma hipótese que contém uma afirmação de igualdade, tal como, = ou. 2. A hipótese alternativa H1 é o complemento da hipótese nula. É uma afirmação que deve ser verdadeira se H0 for falsa e contém uma afirmação de desigualdade estrita tal como >, ou <. Estabelecendo as hipóteses nula e alternativa: Escreva a afirmação como uma sentença matemática. Afirme as hipóteses nula e alternativa e identifique qual representa a afirmação. Exemplos: 82%. 1. Uma universidade publica que a proporção de seus estudantes que se graduaram em 4 anos é de 2. Um fabricante de torneiras anuncia que o índice médio de fluxo de água de certo tipo de torneira é menor que 2,5 galões por minuto. 3. Uma indústria de cereais anuncia que o peso médio dos conteúdos de suas caixas de 20 onças de cereal é mais do que 20 onças. Solução:

23 22 Faça você 1. Um analista de consumo reporta que a vida útil média de certo tipo de bateria automotiva não é de 74 meses. 2. Um fabricante de televisores publica que a variância da vida útil de certo tipo de televisor é menor ou igual a 3,5. 3. Uma estação de rádio publica que sua proporção de audiência de ouvintes locais é maior que 39%. Tipos de erros: Não importa qual das hipóteses representa a afirmação, você começa o teste de hipótese assumindo que a condição de igualdade na hipótese nula é verdadeira. Então quando realizar um teste de hipótese, você toma uma dessas duas decisões: 1. Rejeita a hipótese nula ou, 2. Falha ao rejeitar a hipótese nula. Pelo fato de sua decisão ser baseada em uma amostra ao invés de ser baseada na população inteira, há sempre a possibilidade de você tomar a decisão errada Testes de hipóteses - instruções: Estatística do teste - Encontrando valores P: O valor P depende da estatística do teste : unicaudal a direita, unicaudal a direita e bicaudal. Graficamente: Se H1 contém o símbolo de < o teste é unicaudal à esquerda. Se H1 contém o símbolo > o teste é unicaudal à direita.

24 23 Se H1 contém o símbolo de o teste é bicaudal Identificando a natureza de um teste de hipóteses: 1. Uma universidade publica que a proporção de estudantes que se graduaram em 4 anos é de 82%. 2. Um fabricante de torneiras anuncia que o índice médio do fluxo de água de certo tipo de torneira é menor que 2,5 galões por minuto. 3. Uma indústria de cereais anuncia que o peso médio dos conteúdos de suas caixas de 20 onças de cereal é mais do que 20 onças. Atividade I Nos exercícios a seguir escreva as hipóteses nula e alternativa. Identifique qual é a afirmação. 1. Um fabricante de lâmpadas afirma que a vida útil média de certo tipo de lâmpada é mais do que 750 horas. 2. Conforme a afirmação do departamento de embarque de uma empresa, o número de erros de embarque por milhão de embarques tem desvio padrão de menos de O desvio padrão do preço base de certo tipo de veículo para qualquer tipo de terreno não é mais que $ Uma organização de pesquisas, reporta que 28 % dos residentes em Ann Harbor, Michigan, são estudantes universitários. 5. Os resultados de um estudo recente mostram que a proporção de pessoas nos Estados Unidos que usam cintos de segurança quando estão em um carro ou caminhão é de 81%. Interpretando erros 6. Uma empresa especializada na fabricação de paraquedas afirma que o índice de falha de seu principal paraquedas não é mais do que 1%. Você realiza um teste de hipótese para determinar se a afirmação da empresa é falsa. Quais são as consequências no caso de você tomar uma decisão errada? Atividade II

25 24 Nos exercícios 1 e 2 determine se o teste é unicaudal à direita, à esquerda ou bicaudal, esboce um gráfico de distribuição normal e sombreie a área para o valor P. 1.Um analista de consumo reporta que a vida útil média de certo tipo de bateria automotiva não é 74 meses. 2. Uma estação de rádio publica que sua proporção de audiência de ouvintes locais é maior que 39%. 3. Pelo menos 14% de todos de todos os proprietários de residências têm um alarme de segurança. 4. Um fabricante de relógios de pêndulo afirma que o tempo médio de perdas de seus relógios não é mais que 0,02 segundos por dia. 5. Um relatório do governo afirma que a proporção de casos de câncer de pulmão causados por cigarros é de 87%. 6. A vida útil de certo pneu não mais do que milhas. 7. Um analista de finanças afirma que o índice de retorno de um título norte-americano de 15 anos tem desvio padrão de 5,3%. 8. Um instituto de pesquisas afirma que a duração média da maioria dos sonhos é maior do que 10 minutos. Testes de hipóteses para a média (amostras pequenas n < 30) Encontrando valores críticos: Passo a passo: 1. Identifique o nível de confiança 2. Identifique os graus de liberdade (gl) = n 1 3. Encontre os valores críticos na tabela A. ATENÇÃO: a. Se o teste for unicaudal multiplique o nível de confiança por 2. b. Se o teste for unicaudal è esquerda use o valor encontrado com sinal negativo. c. Se o teste for unicaudal à direita use o valor encontrado com sinal positivo. d. Se o teste for bicaudal use o valor encontrado com sinal positivo e negativo. Exemplos: 1. Encontre o valor crítico t0 para um teste unicaudal à esquerda dado α = 0,05 e n = 21. Solução:

26 25 2. Encontre o valor crítico t0 para um teste unicaudal á direita dado α = 0,01 e n = 17. Solução: 3. Encontre o valor crítico t0 para um teste bicaudal dado α = 0,05 e n = 26. Solução: Testando t para a média. Para testar a hipótese vamos utilizar a estatística do teste padronizado.: t = (média amostral (média hipotética) Erro padrão t = x μ S n Instruções: Em palavras 1. Expresse a afirmação matemática e verbalmente. Identifique a hipótese nula e a alternativa. Em símbolos Afirme H0 e H1 2. Identifique o nível de significância. Identifique α 3. Identifique os graus de liberdade e faça a distribuição da amostragem gl = n Determine os valores críticos. 5. Determine as regiões de rejeição.

27 26 6. Encontre a estatística do teste padronizado t = x μ S n 7. Tome uma decisão de rejeitar ou aceitar a hipótese nula. Se t estiver na região de rejeição, rejeite Ho. Caso contrário aceite 8. Interprete a decisão no contexto da afirmação original. Exemplo 1. Um revendedor de carros diz que o preço médio de um Honda Fit 2012 é de pelo menos $ Você suspeita que a afirmação é incorreta e descobre que uma amostra aleatória de 14 veículos similares tem média de preço de $ e desvio padrão de $ Há evidências para rejeitar a afirmação do revendedor em um nível de significância de 5%? Exemplo 2 Uma indústria afirma que a média do nível do ph na água do rio mais próximo e de 6,8. Você seleciona 19 amostras de água e mede os níveis de ph de cada uma. A média amostral e o desvio padrão são de 6,7 e 0,24, respectivamente. Há evidência suficiente para rejeitar a afirmação da indústria em α = 5%? Assuma que a distribuição é normalmente distribuída. Testes de hipóteses para a média (amostras pequenas n < 30) Encontrando valores críticos: Passo a passo: 1. Identifique o nível de confiança 2. Identifique os graus de liberdade (gl) = n 1 3. Encontre os valores críticos na tabela A. ATENÇÃO: a. Se o teste for unicaudal multiplique o nível de confiança por 2. b. Se o teste for unicaudal è esquerda use o valor encontrado com sinal negativo. c. Se o teste for unicaudal à direita use o valor encontrado com sinal positivo. d. Se o teste for bicaudal use o valor encontrado com sinal positivo e negativo. Exemplos:

28 27 1. Encontre o valor crítico t0 para um teste unicaudal à esquerda dado α = 0,05 e n = 21. Solução: 2. Encontre o valor crítico t0 para um teste unicaudal á direita dado α = 0,01 e n = 17. Solução: 3. Encontre o valor crítico t0 para um teste bicaudal dado α = 0,05 e n = 26. Solução: Testando t para a média. Para testar a hipótese vamos utilizar a estatística do teste padronizado.: t = (média amostral (média hipotética) Erro padrão t = x μ S n Instruções: Em palavras 1. Expresse a afirmação matemática e verbalmente. Identifique a hipótese nula e a alternativa. Em símbolos Afirme H0 e H1 2. Identifique o nível de significância. Identifique α 3. Identifique os graus de liberdade e faça a distribuição da amostragem gl = n - 1

29 28 4. Determine os valores críticos. 5. Determine as regiões de rejeição. 6. Encontre a estatística do teste padronizado Obs: x média hipotética, pretende se conferir a sua veracidade μ média calculada da amostra t = x μ S n 7. Tome uma decisão de rejeitar ou aceitar a hipótese nula. Se t estiver na região de rejeição, rejeite Ho. Caso contrário aceite 8. Interprete a decisão no contexto da afirmação original. Exemplo 1. Um revendedor de carros diz que o preço médio de um Honda Fit 2012 é de pelo menos $ Você suspeita que a afirmação é incorreta e descobre que uma amostra aleatória de 14 veículos similares tem média de preço de $ e desvio padrão de $ Há evidências para rejeitar a afirmação do revendedor em um nível de significância de 5%? Exemplo 2 Uma indústria afirma que a média do nível do ph na água do rio mais próximo e de 6,8. Você seleciona 19 amostras de água e mede os níveis de ph de cada uma. A média amostral e o desvio padrão são de 6,7 e 0,24, respectivamente. Há evidência suficiente para rejeitar a afirmação da indústria em α = 5%? Assuma que a distribuição é normalmente distribuída.. Atividades Lista 9 de exercícios 1. Encontre o valor crítico t0 para um teste unicaudal à esquerda dado α = 0,01 e n = 14. Esboce um gráfico. 2. Encontre o valor crítico t0 para um teste unicaudal á direita dado α = 0,05 e n = 9.

30 29 Esboce um gráfico. 3. Encontre o valor crítico t0 para um teste bicaudal dado α = 0,01 e n = 16. Esboce um gráfico. Nos exercícios a seguir faça os seguintes procedimentos: a) Identifique a afirmação, H 0 e H 1. b) Identifique o nível de significância e os graus de liberdade. c) Encontre o valor crítico t o e identifique a região de rejeição. d) Use o teste t para encontrar a estatística de teste. e) Faça o gráfico. Decida se rejeita ou aceita a hipótese nula. f) Interprete a decisão no contexto da afirmação original. 4. Um corretor de seguros diz a média do custo do seguro de um Honda Fit é de pelo menos R$ 1.350,00. Uma amostra aleatória de 9 cotas de seguro similares tem média de custo de R$ 1.290,00 e desvio padrão de R$ 70,00. Há evidência suficiente para rejeitar a afirmação do corretor em 99%? 5. Um restaurador de micro-ondas diz que a média do custo para conserto de micro-ondas com problemas é de R$ 100,00. Você trabalha para esse restaurador e quer testar essa afirmação. Você descobre que uma amostra aleatória de 5 fornos micro-ondas tem uma média de custo para conserto de R$ 75,00 e um desvio padrão de R$ 12,50. Você tem evidências para dar suporte à afirmação do restaurador com = 0,01?

31 30 6. Um restaurador de computadores acredita que a média do custo para conserto de computadores com problemas é maior que R$ 95,00. Para testar a afirmação, você determina os custos do conserto de 7 computadores escolhidos aleatoriamente e descobre que a média dos custos é R$ 100,00 por computador, com um desvio padrão de R$ 42,50. Com um nível de confiança de 99%, você tem evidências para dar suporte à afirmação do restaurador? 7. Um ambientalista estima que a média de lixo reciclado por adultos nos Estados Unidos seja maior que 1 libra por pessoa por dia. Você quer testar essa afirmação e descobre que a média de lixo reciclado por pessoa ao dia para uma amostra aleatória de 12 adultos nos Estados Unidos é de 1,46 libras e o desvio padrão é 0,28 libras. Com = 0,05, você pode dar suporte a essa afirmação? Teste t para diferença entre médias Procedimento: 1. Identifique as hipóteses nula e alternativa e expresse a afirmação. Use H0 e H1 2. Especifique o nível de significância. Identifique α 3. Identifique os graus de liberdade e faça a distribuição da amostragem. g. l. = n Determine os valores críticos. Use a tabela t. 5.Determine as regiões de rejeição 6. Calcule d e Sd d = d n (d d ) 2 Sd = n 1 7. Encontre a estatística do teste padronizado..t = d μ d s d n 8. Decida se rejeita ou aceita H0. Verifique as regiões de rejeição e aceite.

32 31 9. Interprete a decisão no contexto da afirmação original. Exemplo: Um fabricante de tacos de golfe afirma que os golfistas podem diminuir seus placares usando os tacos de golfe recém projetados por ele. Oito jogadores de golfe são escolhidos aleatoriamente e é pedido a cada um que forneça seus placares mais recentes. Os placares para cada um são mostrados na tabela. Assumindo que os placares de golfe são distribuídos normalmente, existe evidência suficiente para apoiar a afirmação do fabricante para α = 0,10? Jogador Placar taco antigo Placar taco novo Atividade Nos exercícios a seguir a. Identifique a afirmação e expresse H0 e H1. b. Especifique o nível de significância e os graus de liberdade. c. Encontre os valores críticos t0 identifique as regiões de rejeição. d. Calcule d e sd. e. Use o teste t para encontrar a estatística de teste padronizada. f. Decida se rejeita ou falha em rejeitar a hipótese nula. g. Interprete a decisão no contexto das afirmação original. 1. Um médico afirma que uma droga experimental aumenta o índice cardíaco de um individuo. Foram selecionados 12 indivíduos para um teste e, então, o índice cardíaco de cada um é medido. Os indivíduos recebem a droga e depois de uma hora tem seu índice cardíaco medido novamente. Os resultados estão listados. Assumindo que os índices cardíacos são normalmente distribuídos, há evidencia suficiente para apoiar a afirmação do médico em α = 0,05? Índice cardíaco

33 32 Antes Depois Um legislador estadual quer determinar se seu índice de desempenho (0 100) mudou do ano passado para este. A tabela mostra o índice de desempenho do legislador para 16 eleitores selecionados aleatoriamente para o ano passado e para este. Em α = 0,01, há evidência suficiente para concluir que o desempenho do legislador mudou? Eleitor Índice ano passado Índice esse ano Eleitor Índice ano passado Índice esse ano ; Um pesquisador médico quer determinar se uma droga muda a temperatura do corpo. Sete sujeitos são selecionados para teste aleatoriamente, e a temperatura do corpo ( em graus Farenheit) de cada um é medida. A droga, então, é dada aos sujeitos e, após 20 minutos, a temperatura do corpo de cada um é medida novamente. Os resultados estão listados na tabela. Em α = 0,05, há evidência suficiente para concluir que a droga muda a temperatura do corpo? Assuma que as temperaturas do corpo são distribuídas normalmente. Sujeito Temperatura inicial 101,8 98,5 98,1 99,4 98,9 100,2 97,9 Segunda temperatura 99,2 98,4 98, ,6 99,7 97,8

34 33 Testes de hipóteses para duas amostras (2) Procedimento!. Identifique H 0 e H Identifique α. 3 Identifique os graus de liberdade ATENÇÃO: Variância diferente = menor n 1 Variância igual: n 1 + n Determine as regiões de rejeição 5. Determine os valores críticos 6. Encontre a estatística do teste t = (x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2) σ(x 1 x 2 ) e : σ(x 1 x 2) = s s 2 2 n 1 n 2 Exemplo: Uma organização de educação de consumidores afirma que há uma diferença entre a média da dívida do cartão de crédito de homens e mulheres nos Estados Unidos. Os resultados da pesquisa de 200 indivíduos de cada grupo são apresentadas a seguir. As duas amostras são independentes. Os resultados apoiam a afirmação da organização? Mulheres Homens x 1 = 2290 x 2 = 2370 S 1 = 750 S 2 = 800 n 1 = 200 n 2 = 200 Atividades 1. Uma pesquisa indica que a média per capita da taxa de cartão de crédito para residentes de New Hampshire e Nova York é de $ e por ano, respectivamente. A pesquisa incluiu uma amostra selecionada aleatoriamente de tamanho 50 de cada estado e desvios padrões das

35 34 amostras são $900 (NH) e $ 500 (NY). As amostras são independentes. Em α = 0,01 existe evidência suficiente para concluir que há uma diferença na média das taxas de cartão de crédito? 2. Distâncias de frenagem (amostras independentes) Um engenheiro de segurança registra a distância de frenagem de dois tipos de pneus. Cada amostra selecionada aleatoriamente tem 35 pneus. Os resultados dos testes são Tipo A x 1 = 42 pés s 1 = 4,7 pés Tipo B x 2 = 45 pés s 2 = 4,3 pés Em α = 0,10 o engenheiro pode apoiar a informação de que a distância de frenagem média é diferente para os dois tipos de pneus? Exercícios intervalos de confiança 1. O índice de resistência ao rompimento, expresso em kg, de um determinado tipo de corda segue una distribuição Normal com desvio padrão de 15.6 kg. Com uma amostra de 5 destas cordas, selecionadas aleatoriamente, se obteve os seguintes índices: 280, 240, 270, 285, 270. Obtenha um intervalo de confiança para a média do índice de resistência ao rompimento deste tipo de cordas, utilizando um nível de confiança de 95% 2. Num hospital, os enfermeiros tomaram a temperatura de uma amostra de 64 pacientes para estimar a temperatura média do doente. A média da amostra foi de 37,1 C. É conhecido que o desvio padrão da população inteira: 1,04 C. Encontre um intervalo de confiança, de 90% para a média da população. 3. Uma informação indica que o preço médio do bilhete aéreo entre as Ilhas Canárias e Madrid é no máximo 120, com um desvio padrão de 40. Tomando-se uma amostra de 100 viajantes se obtém a informação que a média dos preços de seus bilhetes é de 120. É possível aceitar com = 0,1 a informação inicial? 4. Você está interessado em determinar se há evidências de que o aumento de peso médio de alguns animais após dois meses é de 20 kg. O aumento de peso desse tipo de animal tem um desvio padrão conhecido de 4 kg. Um amostra de 10 animais submetidos a dieta aponta os seguintes ganhos de peso:

36 É possível confirmar a hipótese com 95% de significância? Respostas 1. Li 249,63 ; Ls 288,37 2. Li 36,89 Ls 37,31 3 z = 1,28 média = ,79 Atividade preparatória para o G2 em grupo Observe as seguintes empresas, que operam na BOVESPA: Banco do Brasil Vale do Rio Doce Petrobrás Ambev E mais uma a sua escolha. Apresente o comportamento de cada uma delas no último ano, através de um gráfico. Comente, com suas palavras os fatores determinantes para a valorização ou desvalorização dos papéis da empresa. Entregar no final da aula vale 2,0 pontos para o G2.