Teste de hipótese. Tatiene Souza / UFPB May 9, Souza Teste de hipótese May 9, / 37

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1 Teste de hipótese Tatiene Souza / UFPB tatiene@de.ufpb.br May 9, 2016 Souza Teste de hipótese May 9, / 37

2 O que vamos aprender? Introdução prática aos testes de hipótese; Como estabelecer as hipótese nulas e alternativa; Teste monocaudal ou bicaudal; Como interpretar uma decisão baseada nos resultados dos testes; Escrever uma alegação para o teste de hipótese. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

3 Teste de hipótese É um procedimento que usa estatística amostral para testar uma alegação sobre o valor de um parâmetro populacional. Exemplo: Suponha que um fabricante alegue que a vida média das pilhas AA é de 300 minutos. Se você suspeitasse que a alegação não é válida, como poderia mostrar que ela é falsa? Você poderia extrair uma amostra aleatória de tamanho n = 100, por exemplo, calcular a média e o desvio padrão. Suponha que X = 294 minutos e o desvio padrão s = 20 minutos. Isso indica que a alegação do fabricante é falsa? Para responder a esta pregunta você fará algo incomum -você supõe que a alegação é correta. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

4 cont. exemplo Você supõe que µ = 300 e examina a distribuição amostral das médias amostrais (com n = 100) extraídas de uma população na qual µ = 300 e σ = 20. Com base no Teorema Central do limite, temos que a distribuição amostral de X é: N (300, 4). Qual é a probabilidade de obter uma média amostral de 294 ou menor? O que você acha da alegação do fabricante? Souza Teste de hipótese May 9, / 37

5 cont. exemplo Você supõe que µ = 300 e examina a distribuição amostral das médias amostrais (com n = 100) extraídas de uma população na qual µ = 300 e σ = 20. Com base no Teorema Central do limite, temos que a distribuição amostral de X é: N (300, 4). Qual é a probabilidade de obter uma média amostral de 294 ou menor? O que você acha da alegação do fabricante? Souza Teste de hipótese May 9, / 37

6 Estabelecendo uma hipótese: É preciso estabelecer cuidadosamente um par de hipótese, em que uma representa uma alegação e a outra o seu complemento. A hipótese que contém a afirmativa de igualdade é a hipótese nula- H 0, e o seu complemento hipótese alternativa - H 1. Exemplo 1 - formular as hipóteses A UFPB alega que a proporção de alunos formandos em quatro anos é de 82% H 0 : p = 0.82 ( alegação) versus H 1 : p 0.82 Um fabricante de torneiras alega que a taxa de fluxo médio do tipo A é inferior a 2,5 galões por minuto. H 0 : µ 2.5 versus H 1 : µ < 2.5 ( alegação) Uma companhia que fabrica cereais alega que o peso médio do conteúdo de suas caixas de cereais é é superior a 20 onças. H 0 : µ 20 versus H 1 : µ > 20 ( alegação) Souza Teste de hipótese May 9, / 37

7 Estabeleça as hipóteses nula e alternativa e identifique qual delas representa a alegação. Um fabricante de bateria para automóveis alega que a vida média de um determinado modelo é de 74 meses. Uma estação de rádio alega que sua proporção de audiência local é maior do que 39%. Um advogado que é também consumidor suspeita que o engarrafamento de uma fábrica está sistematicamente enchendo a menos suas garrafas de vinho de 750 ml. Uma amostra de 40 garrafas é extraída e o volume de vinho de cada garrafa é medido. Um pesquisador de saúde pública acredita que homens em serviços administrativos tendem a ter vidas mais estressadas do que homens que trabalham como operários de produção. Isto causaria pressão arterial em média mais alta nos funcionários administrativos. Amostras de 100 homens em cada categoria foram extraídas e suas pressões arteriais foram medidas. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

8 cont. Um pesquisador acredita que aprender uma língua estrangeira parecida melhoraria a compreensão do inglês. Sessenta estudantes foram aleatoriamente divididos em duas classes de 30 estudantes. O programa educacional de ambas as classes foi o mesmo, exceto pelo fato de que uma classe estudou francês e a outra recebeu aula de matemática. No fim do anos todos fizeram um teste de compreensão escrita. O processo de fabricação está com o alvo correto? O valor alvo para os diâmetros de rolamentos esféricos é 40 mm. Uma amostra de 50 rolamentos é extraída e o diâmetro e o diâmetro de cada um é medido. Uma moeda é viciada? Mil lançamentos são feitos e a proporção de caras é obtida. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

9 Tipos de erros e nível de significância Não importando quais das hipótese representa a alegação, você começará sempre um teste de hipótese assumindo a condição de igualdade na hipótese nula. Sendo assim, você deve tomar duas decisões: 1. Rejeitar a hipótese nula; 2. Não rejeitar a hipótese nula. Tipos de erro: Erro tipo I: hipótese nula, H 0, é rejeitada, quando é verdadeira; Erro tipo II: hipótese nula, H 0, não é rejeitada, quando é falsa. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

10 Identificando os erros tipo I e tipo II O limite do Departamento de Agricultura dos Estados Unidos para contaminação de salmonela em frangos é de 20% ou menos. Uma granja alega que seus frangos estão dentro do limite. Você realiza um teste de hipótese para determinar se a alegação da granja é verdadeira. Quando ocorrerão os erros tipo I e II? Qual deles é mais grave? H 0 : p 0.2 ( alegação) e H 1 : p > 0.2 Erro tipo I: se a proporção real dos frangos contaminados for menor ou igual a 0,2, mas você decide rejeitar H 0. Erro tipo II: se a proporção real dos frangos contaminados for maior do que 0,2, mas você não rejeita H 0. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

11 Identificando os erros tipo I e tipo II O limite do Departamento de Agricultura dos Estados Unidos para contaminação de salmonela em frangos é de 20% ou menos. Uma granja alega que seus frangos estão dentro do limite. Você realiza um teste de hipótese para determinar se a alegação da granja é verdadeira. Quando ocorrerão os erros tipo I e II? Qual deles é mais grave? H 0 : p 0.2 ( alegação) e H 1 : p > 0.2 Erro tipo I: se a proporção real dos frangos contaminados for menor ou igual a 0,2, mas você decide rejeitar H 0. Erro tipo II: se a proporção real dos frangos contaminados for maior do que 0,2, mas você não rejeita H 0. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

12 cont. exemplo Erro tipo I: pode-se criar um medo de contaminação e baixar as vendas do frango, apesar de estarem dentro dos limites do Departamento de Agricultura dos EUA. Erro tipo II: pode-se permitir que frangos que excederam os limites de contaminação sejam vendidos aos consumidores. Portanto, um erro do tipo II pode resultar em doença e até mesmo morte dos consumidores. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

13 Exemplo: Uma companhia especializada na montagem de para-quedas alega que a taxa principal de defeitos nos para-quedas não passa de 1%. Você realiza um teste de hipótese para determinar se a alegação é verdeira. Quando ocorrerão os erros tipo I e II? Qual é o mais grave? Souza Teste de hipótese May 9, / 37

14 Nível de significância É a probabilidade máxima permitida de ocorrer o erro tipo I. Denotada por α. Estabelecendo o nível de significância pequeno, você estará afirmando que deseja ser pequena a probabilidade de rejeitar a hipótese nula verdadeira. Os três níveis mais utilizados são 10%, 5% e 1%. A probabilidade do erro tipo II é denotada por β. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

15 Testes estatísticos e valores P Supondo que a hipótese nula seja verdeira, um valor P (valor da probabilidade) de um teste de hipótese é a probabilidade de obter uma estatística amostral com valor mais extremo do que aquele determinado a partir dos dados da amostra. O valor p ou p-valor mede a força da evidência contra H 0. Quanto menor o valor p, mais forte é a evidência contra H 0. Natureza dos teste de hipótese Monocaudal à esquerda; Monocaudal à direita; Bicaudal. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

16 Exemplo: Para cada alegação apresentada abaixo, estabeleça as hipóteses nulas e alternativas. Determine se o teste é monocaudal à esquerda, monocaudal à direita ou bicaudal. Esboce a distribuição amostral e sombrei a área para o valor P. A universidade alega que a proporção de estudantes que se graduaram em quatro anos é de 82%. Um fabricante de torneiras alega que a taxa de fluxo médio de um determinado tipo de torneira é menor do que 2,5 gpm. Uma companhia que fabrica cereais alega que o peso médio do conteúdo de suas caixas de 20 onças é maior do que 20 onças. Um fabricante de baterias para automóveis alega que a vida média de um determinado modelo é de 74 meses. Uma estação de rádio alega que a proporção da audiência local é maior do que 39%. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

17 Interpretando uma decisão Resultados possíveis: Rejeitar a hipótese nula; Não rejeitar a hipótese nula. Tomando uma decisão - via valor p Se valor p α, rejeite H 0. Se valor p > α, não rejeite H 0. Exemplo Suponha que você realiza um teste de hipótese para a seguinte alegação: uma rádio alega que a proporção de audiência local é maior do que 39%. Interprete a sua decisão se você: a) rejeitar a hipótese nula; b) não rejeitar a hipótese nula. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

18 Exemplo Um fabricante de pilhas afirma que a vida média de suas pilhas AA é de 300 minutos. Você trabalha para uma revista de defesa do consumidor e deve testar a alegação do fabricante. Do seu ponto de vista, qual a das situações a seguir representa melhor a alegação do fabricante? Justifique. µ = 300; µ 300; µ 300. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

19 Vamos lembrar... Se um valor admitido por hipótese de um parâmetro for correto, então, a estimativa do parâmetro obtida a partir dos dados não estará muito longe de seu valor suposto. Podemos medir a distância entre a estimativa e o valor do parâmetro em termos do número de erros padrão da estimativa. Se esse número fosse inaceitavelmente grande, rejeitaríamos o valor admitido por hipótese. Para determinar o que é uma distância inaceitável, calculamos: (estimador-verdadeiro valor do parâmetro)/ erro padrão Souza Teste de hipótese May 9, / 37

20 Obtendo um valor p para um teste de hipótese Após ter determinado a estatística teste padronizada do teste de hipótese e área correspondente da estatística teste, proceda de acordo com uma das seguintes maneiras para obter o valo p. Teste monocaudal à esquerda, valor p= área na cauda esquerda; Teste monocaudal à direita, valor p= área na cauda direita; Teste bicaudal, valor p= 2(área na cauda da estatística de teste). Souza Teste de hipótese May 9, / 37

21 Exemplo Determine o valor p para um teste de hipótese monocaudal à esquerda com uma estatística de teste igual a Sendo o nível de significância α = 0.01, decida se é possível rejeitar H 0. Exemplo Determine o valor p para um teste de hipótese bicaudal com uma estatística de teste igual a Sendo o nível de significância α = 0.05, decida se é possível rejeitar H 0. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

22 Orientações gerais Estabeleça H 0 e H 1 ; Identifique α; Determine a estatística de teste padronizada; Obtenha o valor p; Tome a decisão: rejeitar ou não rejeitar H 0 ; Interprete a decisão. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

23 Exercício 1 Em um anúncio, uma pizzaria alega que o tempo médio de entrega é inferior a 30 minutos. Uma seleção aleatória de 36 tempos de entregas tem uma média amostral de 28,5 minutos e um desvio padrão de 3,5 minutos. Há evidências suficientes para confirmar a alegação adotando α = 1%? Exercício 2 Moradores alegaram que a velocidade média de automóveis que trafegam por suas ruas é maior do que o limite de velocidade permitido 35 km/h. Uma amostra aleatória de 100 automóveis tem uma velocidade média de 36 km/h com desvio padrão 4km/h. Há evidências suficientes para confirmar a alegação adotando α = 5%? Souza Teste de hipótese May 9, / 37

24 A diferença entre teste de hipótese e intervalo de confiança Intervalo de confiança: apresenta um conjunto de valores possíveis para um parâmetro considerando um dado nível de confiança fixado. Teste de hipótese: Apenas um valor possível para o parâmetro, chamado de valor hipotético é testado. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

25 Regiões de rejeição e valores críticos Região de rejeição (ou região crítica) da distribuição amostral é o intervalo de valores para os quais a hipótese nula não é provável. Um valor crítico z 0 separa as regiões de rejeição e de não rejeição. Exemplo Obtenha o valor crítico e a região de rejeição para um teste monocaudal à esquerda com α = Exemplo Obtenha os valores críticos e as regiões de rejeição para um teste bicaudal com α = Souza Teste de hipótese May 9, / 37

26 Região de rejeição para o teste z Estabeleça H 0 e H 1 ; Identifique α; Determine as regiões de rejeição; Determine a estatística de teste; Tome uma decisão de rejeitar ou não rejeitar H 0 ; Interprete a decisão. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

27 Exercício O presidente da empresa alega que o dia médio de trabalho dos contadores é menor do que 8,5 horas. Uma amostra ao acaso de 35 contadores mostra que um dia de trabalho de 8,2 horas com desvio-padrão de 0,5 hora. Adotando α = 0.01, teste a alegação do presidente da empresa. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

28 Exercício Uma companhia que fabrica refrigerantes cola afirma que o conteúdo médio de cafeína por garrafa de 12 onças é de 40 miligramas. Você deve testar a qualidade e verificar essa alegação. Durante os testes, descobriu que uma amostra aleatória de 30 garrafas de 12 onças tinha um conteúdo médio de cafeína de 39,2 miligramas, com desvio padrão de 7,5 miligramas. A um nível de α = 0.01, você pode rejeitar a alegação da companhia? Souza Teste de hipótese May 9, / 37

29 Teste de hipótese para média amostra pequena Determine o valor crítico t 0 para um teste unilateral à direita com α = 0.01 e n = 17. Determine os valores críticos t 0 e t 0 para um teste bilateral α = 0.05 e n = 9. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

30 Exercício Um ambientalista estima que a média do lixo reciclado diariamente por adulto no EUA supera uma libra por pessoa. Você deseja testar essa alegação. Para isso, determina que o lixo médio reciclado diariamente por pessoa para uma amostra aleatória de 12 adultos nos EUA é de 1,2 libra, com desvio padrão de 0,1 libra. Sendo α = Você pode confirmar essa alegação? Souza Teste de hipótese May 9, / 37

31 Teste de hipótese para proporção Um pesquisador alega que menos de 20% dos adultos norte-americanos são alérgicos a um determinado medicamento. Em uma amostra aleatória de 100 adultos, 15% disseram ter esse tipo de alergia. Teste a alegação do pesquisador a um nível de α = Souza Teste de hipótese May 9, / 37

32 E se quisermos comparar duas populações? Vamos lembrar de alguns resultados já vistos anteriormente... Souza Teste de hipótese May 9, / 37

33 Exemplo - Respondendo sim ou não Pessoas que têm opinião forte a respeito de uma questão em uma pesquisa, tendem a responder rapidamente; se elas não têm nenhuma opinião forte a priori acerca da questão, tenderão a levar um tempo maior pensando a respeito de sua resposta. La Barbera e MacLachlan (1979) divulgaram um estudo no qual, através de uma pesquisa de opinião por telefone, perguntou-se a uma amostra aleatória de 143 pessoas: Supondo que seja conveniente para você, você espera obter uma injeção contra gripe suína? Respondem sim Respondem não Tamanho amostral Média amostral Desvio padrão Souza Teste de hipótese May 9, / 37

34 Exemplo - filhos Será que uma mãe cujo primeiro filho foi uma menina é mais provável de ter uma menina (como segundo filho) do que uma mãe cujo primeiro filho foi um menino. Os dados amostrais estão apresentados a seguir: Segundo filho menino menina total Primeiro filho menino menina total Souza Teste de hipótese May 9, / 37

35 Por que testes devem ser suplementados por intervalos? O intervalo de confiança fornece uma amplitude de valores que são possibilidades acreditáveis para o verdadeiro valor do parâmetro em um dado nível de confiança, enquanto que teste de hipótese fornece uma medida da força da evidência contra um único valor admitido por hipótese de ser o verdadeiro valor do parâmetro. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

36 Interpretação da palavra significante Dados sobre todos os nascimentos ao lingo de um período de 20 anos no Hospital Nacional de Mulheres de Auckland mostraram um excesso muito significante de meninos. O que está afirmação lhe diz? Será que você pode concluir alguma coisa baseado na afirmação dada? As evidências de que o processo populacional produz mais meninos do que meninas é extremamente forte (p-valor< 10 6 ) Souza Teste de hipótese May 9, / 37

37 Interpretação da palavra significante Dados sobre todos os nascimentos ao lingo de um período de 20 anos no Hospital Nacional de Mulheres de Auckland mostraram um excesso muito significante de meninos. O que está afirmação lhe diz? Será que você pode concluir alguma coisa baseado na afirmação dada? As evidências de que o processo populacional produz mais meninos do que meninas é extremamente forte (p-valor< 10 6 ) Souza Teste de hipótese May 9, / 37

38 Interpretação da palavra significante Dados sobre todos os nascimentos ao lingo de um período de 20 anos no Hospital Nacional de Mulheres de Auckland mostraram um excesso muito significante de meninos. O que está afirmação lhe diz? Será que você pode concluir alguma coisa baseado na afirmação dada? As evidências de que o processo populacional produz mais meninos do que meninas é extremamente forte (p-valor< 10 6 ) Souza Teste de hipótese May 9, / 37

39 Dentre os nascimentos, dos bebês foram do sexo masculino. A porcentagem amostral é de 57.87% e o intervalo de confiança de 95% de confiança para a verdadeira porcentagem de meninos produzidos pelo processo foi [51.5; 52.2]. Embora o resultado do teste tenha sido altamente significante, o excesso do percentual de meninos é realmente bem pequeno. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

40 Significância Quando obtemos p-valor menor do que 5%, decidimos rejeitar a hipótese nula, chamamos esse procedimento de testar ao nível de significância de 5%. O nível de significância de tal teste é 5%. Se você testa ao nível de significância de 5%, a longo prazo, você rejeitará uma vez em 20 uma hipótese nula verdadeira. Um teste bilateral de H 0 : θ = θ 0 é significante ao nível de 5%, se somente se, θ 0 cair fora de um intervalo de confiança de 95% para θ. Um resultado dito ser não-significante não implica que H 0 seja verdadeira. O nível de significância é o erro tipo I. Souza Teste de hipótese May 9, / 37

41 Relação entre fumo e derrame cerebral Abbott et al. [1986] examinaram a relação entre fumo e derrame cerebral. Os investigadores integrantes do Programa Cardíaco de Honolulu acompanharam um coorte de 8006 homens com ancestrais japoneses, matriculado durante o período de 1965 a Dos indivíduos que não sofreram um derrame cerebral ao entrar no estudo, 3435 eram fumantes de cigarro e 4437 eram não fumantes. Ao longo de 12 anos de acompanhamento, 171 fumantes e 117 não fumantes sofreram derrame cerebral. Isso fornece evidência real de uma associação entre fumar e sofrer derrame cerebral? Qual o aumento (ou diminuição) nos riso de sofrer um derrame cerebral ao longo do período de 12 anos para fumantes? Souza Teste de hipótese May 9, / 37