Sinais e Sistemas Discretos no Tempo Convolução

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1 Sistemas de Processamento Digital Engenharia de Sistemas e Informática Guia / º Ano/ 2.º Semestre Grupo...Data:... Sinais e Sistemas Discretos no Tempo Convolução Objectivo Este trabalho encontra-se dividido em duas partes, portanto duas aulas de 2 horas cada. O objectivo deste trabalho é familiarizar-se com a(s): 1. Implementação da convolução discreta no tempo, através da utilização de instruções For e If, 2. Complexidade da convolução, ou seja como é que o tempo de computação varia com o comprimento dos vectores; 3. Propriedades comutativa e associativa da convolução. PARTE 1 1.ª AULA A primeira parte, prete-se que os alunos em cada um dos grupos de trabalho, realizem simulações utilizando as aplicações VI (LabVIEW), testando o comportamento dos mesmos para diversos sinais conhecidos (e.g. Onda quadrada, Onda Sinusoidal ou Onda Triangular). Por outro lado, a utilização das aplicações.vi fornecidas pelo docente na primeira aula permitirão familiarizar os alunos com a ANÁLISE e SÍNTESE de sinais discretos no tempo, assim como confirmar os resultados associados à operação de Convolução Linear Discreta entre dois Sinais. Sistemas de Processamento Digital Manuel A. E. Baptista 1

2 Análise e Síntese de Sinais Convolução Discreta Sistemas de Processamento Digital Manuel A. E. Baptista 2

3 PARTE 2 2.ª AULA Na segunda parte, os alunos serão convidados a implementar a operação de Convolução Discreta, utilizando o MATLAB. Com essa implementação, os alunos deverão ser capazes de verificar a sua aplicação a diversos tipos de sinais (incluindo os testados, durante a primeira aula) assim como as propriedades comutativa e associativa. Cada grupo deve esboçar o pdeudo-código e implementar uma versão em MATLAB para o algoritmo de convolução construído. Exercicio A Aqui podem encontrar uma função em MATLAB. Copiem esta função do MATLAB para um ficheiro com o nome myconv.m. Editem o ficheiro e efectuem duas alterações. A primeira, será a colocação do número do grupo e a data de alteração do ficheiro. A segunda alteração a realizar, será no fim onde se faz a implementação da convolução. function y=myconv(h,x) %MYCONV y = myconv(h,x) define-se como: % h e um vector de comprimento M % x e um vector de comprimento N % y e um vector de comprimento M + N - 1 % Em termos de PDS, a convolucao define-se com: % M-1 % \ % y1(n) = > h1(m) x1(n-m) % / % m=0 % onde y1(n) = h1(n) convoluido com x1(n). % Contudo, porque o indice do vector deve começar em 1, o que e efectivamente %implementado considera um deslocamento dos índices de 1 unidade: % % M-1 % \ % y(n+1) = > h(m+1) x(n-m+1) % / % m=0 % Exemplo: % h = 0.5.^ [1:1:20] ; % x = [ ] ; % y = myconv ( h, x ) ; % subplot (3,1,1) ; % stem ( [0:length(x)-1], x ) ; % xlabel ('n') ; ylabel('x') ; % subplot (3,1,2) ; % stem ( [0:length(h)-1], h ) ; % xlabel ('n') ; ylabel('h') ; % subplot (3,1,3) ; % stem ( [0:length(y)-1], y ) ; % xlabel ('n') ; ylabel('y') ; % Feito por: Grupo Xxxxxx X. Aluno 1: Xxxxxxxx Aluno 2: Xxxxxxxx Aluno 3: Xxxxxxxx % Data: Marco xx, 2005 if length(x) == 0, disp ( 'Error in myconv. The input x must exist.' ) ; if length(h) == 0, disp ( 'Error in myconv. The input h must exist.' ) ; [m,n] = size(x) ; if (m>1)&(n>1), disp('error in myconv. The input x must be a vector, not a matrix.' ) ; [m,n] = size(h) ; Sistemas de Processamento Digital Manuel A. E. Baptista 3

4 if (m>1)&(n>1), disp('error in myconv. The input h must be a vector, not a matrix.' ) ; lengthx = length(x) ; lengthh = length(h) ; y = zeros( 1, (lengthh+lengthx-1) ) ; lengthy = length(y) ; % ALTERACAO: Apague a linha abaixo, "y = conv(h,x) ;", e coloque-a na vossa propria % implementacao que utiliza ciclos for e instrucoes if-else. Não use nenhuma funcao do % matlab, tais como fft, ifft, filter, conv, fliplr, reshape, y = conv(h,x) ; A introdução de ciclos For e instruções If tornam a execução do código em MATLAB, muito lenta. Contudo, se optar por uma codificação vectorial, este será muito mais rápida. Porém, para melhor compreerem a operação Convolução, poderão utilizar no início ciclos For e instruções If. Ainda, que os ciclos For possam parecer correr rapidamente, uma implementação mais directa da convolução demora uma quantidade de tempo proporcional a N*N (se N for o comprimento das sequências h e x). Por exemplo, a implementação da Convolução recorro à Fast Fourier Transform (FFT) tem uma duração menor, so proporcional a N*log2(N), onde log2 é o logaritmo de base 2. Exercício B Testem o vosso myconv.m corro os seguintes comandos, e registe o que obtém. clear ; h = 0.5.^ [1:1:20] ; x = [ ] ; y = myconv ( h, x ) ; subplot (3,1,1) ; stem ( [0:length(x)-1], x ) ; xlabel ('n') ; ylabel('x') ; title ('Exercicio B Grupo) ; subplot (3,1,2) ; stem ( [0:length(h)-1], h ) ; xlabel ('n') ; ylabel('h') ; subplot (3,1,3) ; stem ( [0:length(y)-1], y ) ; xlabel ('n') ; ylabel('y') ; Para o efeito, não se esqueçam de gravar o gráfico obtido. Exercicio C Este exercício, prete demonstrar como a duração do cálculo da convolução é proporcional ao quadrado de N (também conhecido por N*N ou N^2). Para tal, corra os seguintes comandos em MATLAB. Contudo, se verificarem que leva muito tempo (i.e. meia hora!!!), então reduza o parâmetro MaxLengthLog2 de 12 para outro valor. Por exemplo, valores como 7 ou 8 podem ser razoáveis. Sugestão: Utilizem os valores, tal que a duração máxima de cálculo do último ponto da curva seja de cerca de 1 minuto, o que corresponde a um tempo total de espera não superior a dois minutos para todos os pontos. Contudo, um minuto para o último ponto, pode não ser necessariamente uma garantia; deverá utilizar um valor para MaxLengthLog2 que produza um gráfico que apresente um comportamento de ordem N^2. CPU Time ^ o o o o o o o o o o o o > N Sistemas de Processamento Digital Manuel A. E. Baptista 4

5 clear ; MaxLengthLog2 = 12 ; % The maximum vector length log2. thecomputetimes = zeros(1,maxlengthlog2) ; for i=1:maxlengthlog2, disp ( [ 'Length of convolution is ' num2str(2^i) ] ) ; h = [1:2^i] ; % Length of vector grows exponentially with i. thestart = cputime ; y = myconv (h,h) ; % The convolution output is unimportant here. the = cputime ; computetimes(i) = the - thestart ; vectorlengths = [ 2.^ [1:MaxLengthLog2] ] ; subplot(2,1,1) ; plot(vectorlengths,computetimes,'o') ; grid ; xlabel( 'Length of convolution' ) ; ylabel( 'CPU time in seconds' ) ; subplot(2,1,2) ; index_pos = find ( computetimes > 0 ) ; plot(log2(vectorlengths(index_pos)),log2(computetimes(index_pos)),'o') ; grid ; xlabel( 'log2(length of convolution)' ) ; ylabel( 'log2(cpu time in seconds)' ) ; title ('Exercicio C Nome do Grupo ) ; axis equal ; Imprimam este gráfico. Expliquem, os comandos usados para criar o gráfico, isto é, o que acontece no corpo do ciclo Exercicio D Este exercício demonstrará a propriedade associativa da Convolução. clear ; h1 = 0.5.^ [1:1:20] ; h2 = 0.3.^ [1:1:20] ; x = [ ] ; y12 = myconv ( h2, myconv ( h1, x ) ) ; y21 = myconv ( x, myconv ( h1, h2 ) ) ; subplot (2,1,1) ; stem ( [0:length(y12)-1], y12 ) ; xlabel ('n') ; ylabel('y12') ; subplot (2,1,2) ; stem ( [0:length(y21)-1], y21 ) ; xlabel ('n') ; ylabel('y21') ; title ('Exercicio D Nome do Grupo') ; Imprima o gráfico. Comente os resultados, com base no cálculo analítico. Exercício E Escrevam o código em MATLAB para demonstrar a propriedade comutativa da convolução. Sistemas de Processamento Digital Manuel A. E. Baptista 5