CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

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1 CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

2 Aula 10 04/2014 Matlab Métodos para zeros reais de funções

3 Algoritmo do Método da Bissecção Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) e f (b) têm sinais opostos: ENTRADA: função f, extremidades a, b; precisão erro, número máximo de iterações max. SAÍDA: solução aproximada ou mensagem de erro. Passo 1: Faça i = 1; x Passo 2: Enquanto i < max, execute os passos 3 a 6. Passo 3: Faça p = (a + b) / 2; ( ) Cálculo Numérico 3/47

4 Algoritmo do Método da Bissecção Passo 4: Se f (p) = 0 ou b a < erro, então: SAÍDA (x); ( ). PARE. Passo 5: Faça i = i + 1. Passo 6: Se f (a) * f (p) > 0, então faça a = p; ( ). senão faça b = p. SAÍDA ( ( ). PARE., max); Cálculo Numérico 4/47

5 INTRODUÇÃO Cálculo Numérico 5/47

6 LAYOUT DO MATLAB Espaço destinado às variáveis que estão salvas na memória, onde é possível visualizar o nome, valor e classe da mesma Current Folder Window Local onde as operações podem ser diretamente feitas Command Window Workspace Window Command History Window Lista de comandos realizados, organizados por data de execução, permitindo o comando ser realizado novamente com duplo clique Cálculo Numérico 6/47

7 Editor Script File M-file File > New > M-file Cálculo Numérico 7/47

8 COMANDOS BÁSICOS Cálculo Numérico 8/47

9 COMENTÁRIO Para incluir uma linha com comentários: % no MATLAB // no SCILAB. Assim, a linha não será executada. Cálculo Numérico 9/47

10 LIMPAR MEMÓRIA E COMANDOS Comando clc: Limpa os últimos resultados exibidos na janela de comandos. Comando clear: Limpa a memória. Cálculo Numérico 10/47

11 Símbolos Aritméticos Operação Símbolo Exemplo Adição Subtração 5 3 Multiplicação * 5 * 3 Divisão / 5 / 3 Exponenciação ^ 5 ^ 3 (significa 5 3 = 125) Cálculo Numérico 11/47

12 Símbolos Lógicos Operação Símbolo Igualdade == Desigualdade ~= Maior ou igual >= Menor ou igual <= Cálculo Numérico 12/47

13 Ordem em que o MATLAB faz as operações: Ordem Primeiro Segundo Terceiro Quarto Operação Matemática Parênteses. Para vários parênteses, o que estiver por dentro é executado primeiro Exponenciação Multiplicação, divisão (mesma ordem) Adição e subtração Cálculo Numérico 13/47

14 Funções matemáticas elementares sqrt(x) raiz quadrada nthroot(x,n) n-ésima raiz real exp(x) e x abs(x) valor absoluto log(x) logaritmo natural (base e) log10(x) logaritmo na base 10 factorial(x) x! Cálculo Numérico 14/47

15 Funções Trigonométricas sin(x) seno (x em radianos) sind(x) sine (x em graus) cos(x) cosine (x em radianos) cosd(x) cosine (x em graus) tan(x) tangent (x em radianos) tand(x) tangent (x em graus) cot(x) cotangent (x em radianos) cotd(x)- cotangent (x em graus) Cálculo Numérico 15/47

16 Variável Simbólica Em alguns casos precisamos utilizar uma variável simbólica, chamemos, para definir como sendo qualquer variável do domínio, isto é, uma variável contínua. Para isso temos o comando syms. >> syms x >> syms a, b, c Cálculo Numérico 16/47

17 Derivada Para calcularmos derivadas utiliza-se o comando: >> diff(f(x),x,n) >> Derivative(f(x),x,n) SCILAB onde n indica a ordem da derivação. Cálculo Numérico 17/47

18 Plotar gráficos Cálculo Numérico 18/47

19 Plotar gráficos Cálculo Numérico 19/47

20 Plotar gráficos Podemos utilizar alguns comandos para melhorar a aparência de nosso gráfico: title ( título ); xlabel ( x ); ylabel ( y ). Cálculo Numérico 20/47

21 Plotar gráficos É possível desenhar mais que uma função no mesmo gráfico. Existem dois modos: um através do comando plot; outro através do comando hold. Cálculo Numérico 21/47

22 Além do comando plot podemos graficar uma função através do comando fplot. Basicamente, você deve fornecer como primeiro argumento a função que pretende usar entre apostrofes e como segundo, o intervalo sobre o qual a função será graficada. Cálculo Numérico 22/47

23 Exemplo 1 Uso do comando plot para construir o gráfico de uma função. Função: x 3-9 x + 3 >> x = -5:0.5:5; >> y = x.^3 9 * x + 3; >> plot(x,y); Cálculo Numérico 23/47

24 Exemplo 2 Construção do gráfico de duas funções (log x e 1/x) x=0.5:0.1:6 y1=log10(x) y2=1./x hold on hold off plot(x,y1) plot(x,y2) OU plot(x,y1,x,y2) title('gráfico da função x^3-9x+3') title('gráfico das funções log(x) e 1/x') xlabel('x') ylabel('y') Cálculo Numérico 24/47

25 Exemplo 3 Construção do gráfico de uma e duas funções usando o comando fplot >> fplot ( x^3-9*x+3, [-5,5]) >> hold on >> fplot( log10(x), [0.1,6] >> fplot( 1/x, [0.1,6]) >> hold off Cálculo Numérico 25/47

26 break clc disp input sign if else elseif end while fprintf Interrompe a execução de laços for e while Limpa a tela (command window) Exibe o conteúdo de uma variável, sem mostrar o seu nome Permite ao usuário inserir variáveis, textos, valores, etc Função sinal: retorna o sinal de um argumento Condiciona execução de comandos Usado com o comando if Usado com o comando if Usado para terminar a execução dos comandos if,for,while Repete comandos enquanto condição especificada for verdadeira Grava dados em arquivo formatado Cálculo Numérico 26/47

27 Comando disp e input Para os métodos que iremos implementar, é necessário que o programa conheça a função. Mas, para cada função diferente teremos que mudar o código-fonte do programa? Não, esse problema é resolvido pelo comando input. A cada vez que o programa for rodado ele mesmo pedirá as variáveis, logo não será necessário mudar o código original do programa e haverá uma maior interação entre o programa e o usuário (não necessariamente um programador). Cálculo Numérico 27/47

28 Comando disp e input Vamos utilizar o comando disp junto com o comando input. Exemplo: disp('insira a função'); f = input('','s'); Cálculo Numérico 28/47

29 Comando fprintf O comando fprintf é um dos métodos mais simples de saída de dados. >> fprintf('a raiz é: %f', p); o que está entre aspas aparecerá para o usuário, os itens onde aparece %f serão substituídos pelas variáveis, respeitando-se a ordem em que aparecem. Cálculo Numérico 29/47

30 Comandos Lógicos Muitas vezes é necessário colocar mais de um comando ao mesmo parâmetro (principalmente no laço if), para isso existem os comando lógicos dados na seguinte tabela: & E lógico OU lógico ~ NÃO lógico Exemplo: >>if(abs(f(p))<erro abs(b a)<erro) Cálculo Numérico 30/47

31 Estrutura condicional if-end Se o resultado da expressão lógica <condição> for verdadeiro, então a lista de <comandos> será executada. Se o resultado for falso, os <comandos> não serão executados. >> if <condição> >> <comandos> >> end Cálculo Numérico 31/47

32 O Laço while O laço while, repete um grupo de comandos um número indefinido de vezes, até obtermos uma resposta satisfatória ou até que o usuário mande interromper o programa. Enquanto a expressão lógica <condição> for verdadeira a lista <comandos> será repetida. >> while <condição> >> <comandos> >> end Cálculo Numérico 32/47

33 Comando break A estrutura while permite que um grupo de comandos seja repetido um número indeterminado de vezes. No entanto, a condição de interrupção é testada no início da estrutura. Em várias situações em programação se faz necessário interromper a execução da repetição verificando a condição no interior da estrutura e não no seu início. Cálculo Numérico 33/47

34 Comando break A estrutura while é executada indefinidamente a princípio, pois a condição do while é sempre verdadeira. Contudo, quando a <condição> do if for satisfeita o comando break será executado causando a interrupção da repetição while. >> while 1 >> <comandos 1> >> if <condição> >> break >> end >> <comandos 2> >>end Cálculo Numérico 34/47

35 Comando inline Uma forma de definir uma função é usando o comando inline. Exemplo: >> cf = input ('Entre com a função: '); >> f = inline(cf); Para usar a função inline, é necessário declarar a variável x como variável simbólica (syms x) e não será necessário usar o comando subs. Cálculo Numérico 35/47

36 Comando subs O comando subs serve para substituir valores numéricos em expressões simbólicas. Exemplo: >> disp('insira a função'); >> f = input('','s'); >> p = (a+b)/2; >> if (subs(f,p))*(subs(f,a)) > 0 Cálculo Numérico 36/47

37 Método da Bissecção Função: f Extremos dos intervalos: [a, b] Precisão: erro Número máximo de iterações: max A cada iteração: p Cálculo Numérico 37/47

38 Algoritmo do Método da Bissecção Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) e f (b) têm sinais opostos: ENTRADA: função f, extremidades a, b; precisão erro, número máximo de iterações max. SAÍDA: solução aproximada Passo 1: Faça i = 1; x ou mensagem de erro. Passo 2: Enquanto i < max, execute os passos 3 a 6. Passo 3: Faça p = (a + b) / 2; ( ) Cálculo Numérico 38/47

39 Algoritmo do Método da Bissecção Passo 4: Se f (p) = 0 ou b a < erro, então: SAÍDA (p); ( ). PARE. Passo 5: Faça i = i + 1. Passo 6: Se f (a) * f (p) > 0, então faça a = p; ( ). senão faça b = p. SAÍDA ( ( ). PARE., max); Cálculo Numérico 39/47

40 Implementação clear, clc disp('insira a função'); f = input('','s'); disp('insira o valor do extremo esquerdo do intervalo'); a = input(''); disp('insira o valor do extremo direito do intervalo'); b = input(''); disp('insira o valor do erro'); erro = input(''); Cálculo Numérico 40/47

41 Implementação disp('insira o número máx de operações'); max = input(''); i = 1; while (i < max) p = (a+b)/2; if ( abs(subs(f,p))< subs(f,p) == 0 erro abs(b abs(b a) < a) erro < erro) ) end fprintf('a raiz é: %d\n', p); fprintf( O número de iterações foi: break %i', i); Cálculo Numérico 41/47

42 Implementação end i = i + 1; if (subs(f,p))*(subs(f,a)) (subs(f,p))*(subs(f,b)) > < 0 a = p; else b = p; end Cálculo Numérico 42/47

43 Algoritmo do Método de Newton ENTRADA: aproximação inicial x 0 ; precisão ε, número máximo de iterações N 0. SAÍDA: solução aproximada x ou mensagem de erro. Passo 1: Faça i = 1; Passo 2: Enquanto i N 0, execute os passos 3 a 6. Passo 3: Faça x = x 0 f (x 0 ) / f (x 0 ); (Calcula x i ) Passo 4: Se (x x 0 ) < ε, então: SAÍDA (x); (Procedimento concluído com sucesso). PARE. Cálculo Numérico 43/47

44 Algoritmo Método de Newton Passo 5: Faça i = i + 1. Passo 6: Faça x 0 = x; (Atualiza x 0 ) Passo 7: SAÍDA ( O método falhou após N 0 iterações, N 0 =, N 0 ); (O procedimento não foi bem-sucedido). PARE. Cálculo Numérico 44/47

45 Implementação clear, clc syms x cf = input('entre com a função: '); f = inline(cf); derivada = diff(cf, x); df = inline(derivada); tol = input('entre com a tolerância: '); error = 0; max=input('entre com o número máximo de iterações: '); x = input('entre com um valor inicial: '); i = 0; disp(' i xi error ) Cálculo Numérico 45/47

46 Implementação while (i <= max) end fprintf('\t%i\t%3.8f\t%f\n', i, x, error); p = x; x = x - f(x)/df(x); error = abs(x - p); if error < tol end i = i + 1; fprintf('\t%i\t%3.8f\t%f\n', i, x, error); break i = i + 1; Cálculo Numérico 46/47

47 REFERÊNCIA Becker, A. J.; Silva, D. M. I.; Dias, F.H.S.; Pinheiro L. K. Noções Básicas de Programação em MATLAB. Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, Outubro de Cálculo Numérico 47/47