Aula 7. Noções Básicas de Octave

Transcrição

1 CÁLCULO NUMÉRICO

2 Aula 7 Noções Básicas de Octave

3 COMANDOS BÁSICOS Cálculo Numérico 3/55

4 Símbolo >> Ao abrir o Octave, o símbolo >> aparece na Janela de Comandos. Ele indica que o programa está pronto para receber comandos. Se o símbolo >> não estiver aparecendo, significa que o Octave ainda está rodando algum programa. Cálculo Numérico 4/55

5 Instruções Exercícios Nos slides, as cores dos textos indicam: Vermelho : comando a ser digitado no Octave. Azul: resultado dado pelo Octave. Cálculo Numérico 5/55

6 Exercício Digite: 2*7 Resposta: ans = 14 A resposta (ANSwer) do comando que você digitou é 14. Digite: 1/7 Resposta: Digite: 10/7 Resposta: Digite: 100/7 Resposta: Cálculo Numérico 6/55

7 Exercício Observe que o Octave sempre apresenta as respostas com 5 dígitos significativos. Este é o format short Entretanto, a representação interna do número contém 15 algarismos significativos. Formatos disponíveis: long/short e/ /short g/long g mais próximo da aritmética de ponto flutuante Cálculo Numérico 7/55

8 No Matlab, apenas um subconjunto F de dimensão finita do conjunto dos números reais pode ser representado. F = F(β, k, L, U) = F(2, 53,-1031, 1024) limites do expoente 53 algarismos significativos na base 2 correspondem aos 15 algarismos significativos na base 10 do format long. Cálculo Numérico 8/55

9 Exercício a=2; b=7; c = a*b; c Isto nos mostrará o que está armazenado na variável c. d = sqrt(c) Observe que as variáveis a, b e c e seus valores aparecem no Ambiente de Trabalho. Observe ainda que os comandos digitados aparecem no Histórico de Comandos. Cálculo Numérico 9/55

10 Símbolo ; Os comandos podem terminar em ; ou não. Quando um comando termina com ; ele é executado, mas o conteúdo das variáveis envolvidas não são mostrados na tela. Para que o resultado apareça na tela é necessário omitir o ;. Cálculo Numérico 10/55

11 Digitando % O símbolo % é digitado no início de uma linha de comando para se incluir um comentário. % Esta linha não será executada. Assim, a linha não será executada. Cálculo Numérico 11/55

12 Símbolos Aritméticos Operação Símbolo Exemplo Adição Subtração 5 3 Multiplicação * 5 * 3 Divisão / 5 / 3 Exponenciação ^ 5 ^ 3 (significa 5 3 = 125) Cálculo Numérico 12/55

13 Operações Matemáticas Ordem em que o MATLAB faz as operações: Ordem Primeiro Segundo Terceiro Quarto Operação Matemática Parênteses. Para vários parênteses, o que estiver por dentro é executado primeiro Exponenciação Multiplicação, divisão (mesma ordem) Adição e subtração Se duas ou mais operações tiverem a mesma ordem de precedência, a expressão mais à esquerda será executada primeiro. Cálculo Numérico 13/55

14 Funções Matemáticas Elementares exp(x) e x abs(x) valor absoluto log(x) logaritmo natural (base e) log10(x) logaritmo na base 10 sqrt(x) raiz quadrada nthroot(x,n) n-ésima raiz real factorial(x) x! Cálculo Numérico 14/55

15 Funções Trigonométricas sin(x) seno (x em radianos) sind(x) seno (x em graus) cos(x) coseno (x em radianos) cosd(x) coseno (x em graus) tan(x) tangente (x em radianos) tand(x) tangente (x em graus) cot(x) cotangente (x em radianos) cotd(x)- cotangente (x em graus) Cálculo Numérico 15/55

16 LIMPAR MEMÓRIA E COMANDOS Comando clc: Limpa os últimos resultados exibidos na janela de comandos. Comando clear: Limpa a memória. Cálculo Numérico 16/55

17 Regras para nomes de variáveis Os nomes das variáveis: Podem conter até 63 caracteres; Podem conter letras, números e o caractere sublinhar; Devem iniciar com uma letra; ; Evite usar nomes de funções nativas do Octave para nomear variáveis (p.ex. cos, sin, exp, sqrt, etc.) Cálculo Numérico 17/55

18 Símbolos Lógicos Operação Símbolo Igualdade == Desigualdade ~= Maior ou igual >= Menor ou igual <= Cálculo Numérico 18/55

19 ?? Undefined variable Erro comum: declara-se uma variável com letras minúsculas e na hora de utilizá-la, usa-se letra maiúscula. Exemplo: >> erro = 1; >> Erro+2; Aparecerá a mensagem: Error: Erro undefined near line 1 column 1 Cálculo Numérico 19/55

20 Criando uma nova função Comando: function Saídas Entradas function [s1,s2] = nomearquivo(e1,e2,e3) comandos endfunction O script (editor) deve ter o mesmo nome da função (nomearquivo) Cálculo Numérico 20/55

21 Fase I: Isolamento das Raízes EXEMPLO 1: Seja f (x) = x 3 9 x + 3. Vamos analisar o sinal desta função. Construindo uma tabela de valores para f (x) e considerando apenas os sinais, temos: x f(x) Cálculo Numérico 21/55

22 Function No editor: function [y] = f(x) y=x.^3-9*x+3; endfunction Para podermos chamar essa função na janela de comandos, o arquivo com a função deve ter o mesmo nome dado à função (ex. f) e a extensão.m. Além disso, é necessário que estejamos com a pasta na qual a função foi salva aberta. Cálculo Numérico 22/55

23 Function Na janela de comandos: >> f(0) ans=3 >> [y]=f(0) y=3 Cálculo Numérico 23/55

24 Function Podemos calcular o valor de f(x) para vários valores de x. >> x=-5:5 >> y = f(x) q Note que o primeiro comando criou um vetor, x, cujos elementos são os inteiros consecutivos desde -5 até 5. q O segundo comando criou outro vetor, y, contendo os respectivos valores do polinômio f calculados neste inteiros. Para introduzir mais pontos entre -5 e 5, podemos fazer: >> x=-5:0.5:5 Cálculo Numérico 24/55

25 Podemos construir o gráfico de uma função através do comando fplot. Basicamente, você deve fornecer como primeiro argumento a função que pretende usar entre apóstrofes e como segundo, o intervalo em x sobre o qual a função será plotada. >> fplot('f',[-5,5]) Cálculo Numérico 25/55

26 Plotar gráficos Podemos utilizar alguns comandos para melhorar a aparência de nosso gráfico: >> title ('título') >> xlabel ('x') >> ylabel ('y') >> legend ('f(x)') Cálculo Numérico 26/55

27 Em programas computacionais, além do teste de parada usado para cada método, deve-se ter o cuidado de estipular um número máximo de iterações, para se evitar que o programa entre em looping. Cálculo Numérico 27/55

28 Algoritmo do Método da Bissecção Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) e f (b) têm sinais opostos: ENTRADA: função f, extremidades a, b; precisão prec, número máximo de iterações nmax. SAÍDA: solução aproximada. Passo 1: Se f(a) * f(b) >0 Mensagem de condição não satisfeita. senão Passo 2: k = 1; Passo 3: Enquanto k < nmax, execute os passos 3 a 6. Passo 4: p = (a + b) / 2; ( ) x Cálculo Numérico 28/55

29 Algoritmo do Método da Bissecção Passo 5: Se f (p) = 0 ou b a < prec, então: SAÍDA (p está entre a e b); ( ). PARE. Passo 6: k = k + 1. Passo 7: Se f (a) * f (p) < 0, então faça b = p; ( ). senão faça a = p. Cálculo Numérico 29/55

30 Comandos Lógicos Muitas vezes é necessário colocar mais de um comando ao mesmo parâmetro (principalmente no laço if), para isso existem os comando lógicos dados na seguinte tabela: & E lógico OU lógico ~ NÃO lógico Exemplo: >> if(abs(f(p))=0 abs(b a)<erro) Cálculo Numérico 30/55

31 Estrutura condicional if-end Se o resultado da expressão lógica <condição> for verdadeiro, então a lista de <comandos> será executada. Se o resultado for falso, os <comandos> não serão executados. >> if <condição> >> <comandos> >> endif Cálculo Numérico 31/55

32 O Laço while O laço while, repete um grupo de comandos um número indefinido de vezes, até obtermos uma resposta satisfatória ou até que o usuário mande interromper o programa. Enquanto a expressão lógica <condição> for verdadeira a lista <comandos> será repetida. >> while <condição> >> <comandos> >> endwhile Cálculo Numérico 32/55

33 Comando break A estrutura while permite que um grupo de comandos seja repetido um número indeterminado de vezes. No entanto, a condição de interrupção é testada no início da estrutura. Em várias situações em programação se faz necessário interromper a execução da repetição verificando a condição no interior da estrutura e não no seu início. Para isto, usa-se o comando break. Cálculo Numérico 33/55

34 Comando feval O comando feval avalia o valor de uma função em um determinado ponto. feval(f,a) Usando o feval, podemos incluir f(x) como entrada na function. Neste caso, ao chamar a function, devemos fazer: [p]=bissec(a,b,'f',prec) Cálculo Numérico 34/55

35 Resumo de comandos clear clc while if else endif endwhile break feval(f,a) Limpa a memória Limpa a tela (command window) Repete comandos enquanto condição especificada for verdadeira Condiciona execução de comandos Usado com o comando if Usado para terminar a execução dos comando if Usado para terminar a execução dos comando while Interrompe a execução de laços while e for Avalia o valor da função f no ponto a Cálculo Numérico 35/55

36 Método da Bissecção Função: f Extremos dos intervalos: a, b Precisão: prec Número máximo de iterações: nmax A cada iteração: p Cálculo Numérico 36/55

37 Algoritmo do Método da Bissecção Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) e f (b) têm sinais opostos: ENTRADA: função f, extremidades a, b; precisão prec, número máximo de iterações nmax. SAÍDA: solução aproximada. Passo 1: Se f(a) * f(b) >0 Mensagem de condição não satisfeita. senão Passo 2: k = 0; Passo 3: Enquanto k < nmax, execute os passos 3 a 6. Passo 4: p = (a + b) / 2; ( ) x Cálculo Numérico 37/55

38 Algoritmo do Método da Bissecção Passo 5: Se f (p) = 0 ou b a < prec, então: SAÍDA (p está entre a e b); ( ). PARE. Passo 6: k = k + 1. Passo 7: Se f (a) * f (p) < 0, então faça b = p; ( ). senão faça a = p. Cálculo Numérico 38/55

39 EXEMPLO Iremos resolver o seguinte exemplo usando o método da bissecção. Considere ε = 0,002 e adotando [2,3] como intervalo inicial, para obter uma aproximação para a função: f ( x) = xlog( x) 1 Cálculo Numérico 39/55

40 EXEMPLO k a k b k f(a k ) f(b k ) x k+1 f(x k+1 ) 0 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5000 2, , , , , , , , , , , , , , , b - a = 0,00195 < ε =0,002 [ ] x,,, Cálculo Numérico 40/55

41 Algoritmo do Método de Newton ENTRADA: aproximação inicial x 0 ; precisão prec, número máximo de iterações nmax. SAÍDA: solução aproximada x ou mensagem de erro. Passo 1: k = 0; Passo 2: Enquanto k < nmax, execute os passos 3 a 6. Passo 3: p = x 0 f (x 0 ) / f (x 0 ); (Calcula x i ) Passo 4: Se p x 0 < prec, então: SAÍDA (x); (Procedimento concluído com sucesso). PARE. Cálculo Numérico 41/55

42 Algoritmo do Método de Newton Passo 5: k = k + 1. Passo 6: x 0 = p; (Atualiza x 0 ) Cálculo Numérico 42/55

43 EXEMPLO 1 Considere a função f (x) = x 3 9x + 3 Seja x 0 = 1,5 e ε = Cálculo Numérico 43/55

44 EXEMPLO 1 k x k f (x k ) f (x k ) 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , f(x) < ε = 10-3 Cálculo Numérico 44/55

45 Algoritmo do Método da Secante ENTRADA: aproximações iniciais x 0, x 1 ; precisão prec, número máximo de iterações nmax. SAÍDA: solução aproximada Passo 1: Faça k = 1; x ou mensagem de erro. Passo 2: Enquanto k <nmax, execute os passos 3 a 6. Passo 3: x 2 = (x 0 f(x 1 ) x 1 f(x 0 )) / (f(x 1 ) - f(x 0 )); (Calcula x i ) Cálculo Numérico 45/55

46 Algoritmo do método da Secante Passo 4: Se x 1 x 0 < prec, então: SAÍDA (x 2 ); (Procedimento concluído com sucesso). PARE. Passo 5: k = k + 1. Passo 6: x 0 = x 1 ; (Atualiza x 0, x 1 ) x 1 = x 2 ; Cálculo Numérico 46/55

47 REFERÊNCIA Becker, A. J.; Silva, D. M. I.; Dias, F.H.S.; Pinheiro L. K. Noções Básicas de Programação em MATLAB. Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, Outubro de PET Engenharia de Computação. Mini-curso de MATLAB e Octave para Cálculo Numérico. Universidade Federal do Espírito Santo. Cálculo Numérico 47/55