CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

Transcrição

1 CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

2 Aula 7 Matlab Noções Básicas de MATLAB

3 INTRODUÇÃO Cálculo Numérico 3/55

4 Current Folder Window Local onde as operações podem ser diretamente feitas Command Window Cálculo Numérico 4/55

5 Espaço destinado às variáveis que estão salvas na memória, onde é possível visualizar o nome, valor e classe da mesma Workspace Window Ajuda na utilização do programa Command History Window Lista de comandos realizados, organizados por data de execução, permitindo o comando ser realizado novamente Cálculo Numérico 5/55

6 COMANDOS BÁSICOS Cálculo Numérico 6/55

7 Símbolo >> Ao abrir o Matlab, o símbolo >> aparece na Comand Window (tela). Ele indica que você pode escrever um comando. Se ele não estiver aparecendo, significa que o Matlab ainda está rodando algum programa. Cálculo Numérico 7/55

8 Símbolo ; Os comandos podem terminar em ; ou não. Quando um comando termina com ; ele é executado, mas o conteúdo das variáveis envolvidas não são mostrados na tela. Para que o resultado apareça na tela é necessário omitir o ;. Cálculo Numérico 8/55

9 Digitando % O símbolo % é digitado no início de uma linha de comando para se incluir um comentário. % Esta linha não será executada. Assim, a linha não será executada. Cálculo Numérico 9/55

10 Símbolos Aritméticos Operação Símbolo Exemplo Adição Subtração 5 3 Multiplicação * 5 * 3 Divisão / 5 / 3 Exponenciação ^ 5 ^ 3 (significa 5 3 = 125) Cálculo Numérico 10/55

11 Operações Matemáticas Ordem em que o MATLAB faz as operações: Ordem Primeiro Segundo Terceiro Quarto Operação Matemática Parênteses. Para vários parênteses, o que estiver por dentro é executado primeiro Exponenciação Multiplicação, divisão (mesma ordem) Adição e subtração Se duas ou mais operações tiverem a mesma ordem de precedência, a expressão mais à esquerda será executada primeiro. Cálculo Numérico 11/55

12 Funções Matemáticas Elementares exp(x) e x abs(x) valor absoluto log(x) logaritmo natural (base e) log10(x) logaritmo na base 10 sqrt(x) raiz quadrada nthroot(x,n) n-ésima raiz real factorial(x) x! Cálculo Numérico 12/55

13 Funções Trigonométricas sin(x) seno (x em radianos) sind(x) seno (x em graus) cos(x) coseno (x em radianos) cosd(x) coseno (x em graus) tan(x) tangente (x em radianos) tand(x) tangente (x em graus) cot(x) cotangente (x em radianos) cotd(x)- cotangente (x em graus) Cálculo Numérico 13/55

14 Editor Script File New Script Espaço destinado à edição e à depuração de rotinas (scrip files) e funções. Cálculo Numérico 14/55

15 EXEMPLO DE SCRIPT FILE % Este programa calcula o seno de x. % x tem valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. % O valor de y calculado é apresentado. x = 1:7; y = sin(x) Cálculo Numérico 15/55

16 LIMPAR MEMÓRIA E COMANDOS Comando clc: Limpa os últimos resultados exibidos na janela de comandos. Comando clear: Limpa a memória. Cálculo Numérico 16/55

17 Regras para nomes de variáveis Os nomes das variáveis: Podem conter até 63 caracteres; Podem conter letras, números e o caractere sublinhar; Devem iniciar com uma letra; ; Evite usar nomes de funções nativas do MATLAB para nomear variáveis (p.ex. cos, sin, exp, sqrt, etc.) Cálculo Numérico 17/55

18 Símbolos Lógicos Operação Símbolo Igualdade == Desigualdade ~= Maior ou igual >= Menor ou igual <= Cálculo Numérico 18/55

19 ?? Undefined function or variable Erro comum: declara-se uma variável com letras minúsculas e na hora de utilizá-la, usa-se letra maiúscula. Exemplo: >> erro = 1; >> Erro+2; Aparecerá a mensagem:??? Undefined function or variable Erro. (Função ou variável Erro indefinida) Cálculo Numérico 19/55

20 ??? Unexpected MATLAB expression O MATLAB usa o ponto (.) como separador de decimais. Se um valor for digitado com vírgula, o MATLAB acusará um erro:??? Error: Unexpected MATLAB expression. (Erro: Expresso do MATLAB inesperada) Cálculo Numérico 20/55

21 Plotar gráficos Cálculo Numérico 21/55

22 Plotar gráficos Cálculo Numérico 22/55

23 Plotar gráficos Podemos utilizar alguns comandos para melhorar a aparência de nosso gráfico: >> title ( título ) >> xlabel ( x ) >> ylabel ( y ) Cálculo Numérico 23/55

24 Podemos construir o gráfico de uma função através do comando fplot. Basicamente, você deve fornecer como primeiro argumento a função que pretende usar entre apóstrofes e como segundo, o intervalo sobre o qual a função será plotada. Cálculo Numérico 24/55

25 Exemplo 1 Construção do gráfico de uma e duas funções usando o comando fplot >> fplot ( x*log10(x)-1, [-5,5]) ========================================== >> hold on >> fplot( log10(x), [0.1,6] >> fplot( 1/x, [0.1,6]) >> hold off Cálculo Numérico 25/55

26 EXEMPLO 2 Iremos resolver o seguinte exemplo usando o método da bissecção. Considere ε = 0,002 e adotando [2,3] como intervalo inicial, para obter uma aproximação para a função: f ( x) = xlog( x) 1 Cálculo Numérico 26/55

27 EXEMPLO 4 k a k b k f(a k ) f(b k ) x k+1 f(x k+1 ) 0 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5000 2, , , , , , , , , , , , , , , b - a = 0,00195 < ε =0,002 [ ] x,,, Cálculo Numérico 27/55

28 Em programas computacionais, além do teste de parada usado para cada método, deve-se ter o cuidado de estipular um número máximo de iterações, para se evitar que o programa entre em looping. Cálculo Numérico 28/55

29 Algoritmo do Método da Bissecção Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) e f (b) têm sinais opostos: ENTRADA: função f, extremidades a, b; precisão erro, número máximo de iterações max. SAÍDA: solução aproximada. Passo 1: Se f(a) * f(b) >0 Mensagem de condição não satisfeita. senão Passo 2: k = 1; Passo 3: Enquanto k < max, execute os passos 3 a 6. Passo 4: p = (a + b) / 2; ( ) x Cálculo Numérico 29/55

30 Algoritmo do Método da Bissecção Passo 5: Se f (p) = 0 ou b a < erro, então: SAÍDA (p está entre a e b); ( ). PARE. Passo 6: k = k + 1. Passo 7: Se f (a) * f (p) < 0, então faça b = p; ( ). senão faça a = p. Cálculo Numérico 30/55

31 Comando disp Para que uma mensagem apareça para o usuário na Window Command, temos a função disp. >> disp( Este programa determina o zero de uma função através do método da bissecção. ) Cálculo Numérico 31/55

32 Comando input Para os métodos que iremos implementar, é necessário que o programa conheça a função. Mas, para cada função diferente teremos que mudar o código-fonte do programa? Não, esse problema é resolvido pelo comando input. A cada vez que o programa for rodado ele mesmo pedirá as variáveis, logo não será necessário mudar o código original do programa e haverá uma maior interação entre o programa e o usuário (não necessariamente um programador). Cálculo Numérico 32/55

33 Comando input Para que o usuário possa incluir os valores de cada variável de entrada necessária, podemos usar o comando input. >> erro = input( Entre com o erro: ) >> a = input( Entre com o valor da extremidade esquerda do intervalo: ) Cálculo Numérico 33/55

34 Comando inline Uma forma de definir uma função é usando o comando inline. Exemplo: >> f = inline( x*log10(x)-1 ) Para que o usuário possa digitar a função, sem que precise acessar nosso script file, faremos: >> cf = input ('Entre com a função: '); >> f = inline(cf); Cálculo Numérico 34/55

35 Variável Simbólica Para usar a função inline, é necessário declarar a variável x como variável simbólica. Para isso temos o comando syms. >> syms x >> syms x, y, z Cálculo Numérico 35/55

36 Comando fprintf O comando fprintf é um dos métodos mais simples de saída de dados. >> fprintf('a raiz está entre: %f e %f', a,b); o que está entre aspas aparecerá para o usuário, os itens onde aparece %f serão substituídos pelas variáveis, respeitando-se a ordem em que aparecem. Cálculo Numérico 36/55

37 Cálculo Numérico 37/55

38 Cálculo Numérico 38/55

39 Comandos Lógicos Muitas vezes é necessário colocar mais de um comando ao mesmo parâmetro (principalmente no laço if), para isso existem os comando lógicos dados na seguinte tabela: & E lógico OU lógico ~ NÃO lógico Exemplo: >> if(abs(f(p))=0 abs(b a)<erro) Cálculo Numérico 39/55

40 Estrutura condicional if-end Se o resultado da expressão lógica <condição> for verdadeiro, então a lista de <comandos> será executada. Se o resultado for falso, os <comandos> não serão executados. >> if condição >> comandos >> end Cálculo Numérico 40/55

41 O Laço while O laço while, repete um grupo de comandos um número indefinido de vezes, até obtermos uma resposta satisfatória ou até que o usuário mande interromper o programa. Enquanto a expressão lógica <condição> for verdadeira a lista <comandos> será repetida. >> while condição >> comandos >> end Cálculo Numérico 41/55

42 Comando break A estrutura while permite que um grupo de comandos seja repetido um número indeterminado de vezes. No entanto, a condição de interrupção é testada no início da estrutura. Em várias situações em programação se faz necessário interromper a execução da repetição verificando a condição no interior da estrutura e não no seu início. Para isto, usa-se o comando break. Cálculo Numérico 42/55

43 Ideia de estrutura para Bissecção A estrutura while é executada indefinidamente a princípio, pois a condição do while é sempre verdadeira. Contudo, quando a <condição> do if for satisfeita o comando break será executado causando a interrupção da repetição while. >> while condição >> comandos >> if condição >> break >> end >> comandos >>end Cálculo Numérico 43/55

44 Derivada Para calcularmos derivadas utiliza-se o comando: >> diff(f(x),x,n) onde n indica a ordem da derivação. Cálculo Numérico 44/55

45 Resumo de comandos clear clc disp input while if else end break fprintf Limpa a memória Limpa a tela (command window) Exibe o conteúdo de uma variável, sem mostrar o seu nome Permite ao usuário inserir variáveis, textos, valores, etc Repete comandos enquanto condição especificada for verdadeira Condiciona execução de comandos Usado com o comando if Usado para terminar a execução dos comandos if,for,while Interrompe a execução de laços for e while Grava dados em arquivo formatado Cálculo Numérico 45/55

46 Método da Bissecção Função: f Extremos dos intervalos: a, b Precisão: erro Número máximo de iterações: max A cada iteração: p Cálculo Numérico 46/55

47 Algoritmo do Método da Bissecção Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) e f (b) têm sinais opostos: ENTRADA: função f, extremidades a, b; precisão erro, número máximo de iterações max. SAÍDA: solução aproximada. Passo 1: Se f(a) * f(b) >0 Mensagem de condição não satisfeita. senão Passo 2: k = 1; Passo 3: Enquanto k < max, execute os passos 3 a 6. Passo 4: p = (a + b) / 2; ( ) x Cálculo Numérico 47/55

48 Algoritmo do Método da Bissecção Passo 5: Se f (p) = 0 ou b a < erro, então: SAÍDA (p está entre a e b); ( ). PARE. Passo 6: k = k + 1. Passo 7: Se f (a) * f (p) < 0, então faça b = p; ( ). senão faça a = p. Cálculo Numérico 48/55

49 Algoritmo do Método de Newton ENTRADA: aproximação inicial x 0 ; precisão ε, número máximo de iterações N 0. SAÍDA: solução aproximada x ou mensagem de erro. Passo 1: k = 0; Passo 2: Enquanto k < nmax, execute os passos 3 a 6. Passo 3: x = x 0 f (x 0 ) / f (x 0 ); (Calcula x i ) Passo 4: Se x x 0 < ε, então: SAÍDA (x); (Procedimento concluído com sucesso). PARE. Cálculo Numérico 49/55

50 Algoritmo do Método da Secante ENTRADA: aproximações iniciais x 0, x 1 ; precisão ε, número máximo de iterações N 0. SAÍDA: solução aproximada Passo 1: Faça k = 1; x ou mensagem de erro. Passo 2: Enquanto k <N 0, execute os passos 3 a 6. Passo 3: x 2 = (x 0 f(x 1 ) x 1 f(x 0 )) / (f(x 1 ) - f(x 0 )); (Calcula x i ) Cálculo Numérico 50/55

51 Algoritmo do método da Secante Passo 4: Se x 1 x 0 < ε 1, então: SAÍDA (x 2 ); (Procedimento concluído com sucesso). PARE. Passo 5: k = k + 1. Passo 6: x 0 = x 1 ; (Atualiza x 0, x 1 ) x 1 = x 2 ; Cálculo Numérico 51/55

52 REFERÊNCIA Becker, A. J.; Silva, D. M. I.; Dias, F.H.S.; Pinheiro L. K. Noções Básicas de Programação em MATLAB. Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, Outubro de Cálculo Numérico 52/55