AJUSTE COMPLEMENTAR ENTRE O BRASIL E CEPAL/ILPES POLÍTICAS PARA GESTÃO DE INVESTIMENTOS PÚBLICOS CURSO DE AVALIAÇÃO SOCIOECONÔMICA DE PROJETOS

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1 Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão Secretaria de Planejamento e Investimentos Estratégicos AJUSTE COMPLEMENTAR ENTRE O BRASIL E CEPAL/ILPES POLÍTICAS PARA GESTÃO DE INVESTIMENTOS PÚBLICOS CURSO DE AVALIAÇÃO SOCIOECONÔMICA DE PROJETOS APOSTILA INDICADORES DE RENTABILIDADE Claudia Botteon BRASÍLIA, MAIO DE 2009

2 INDICADORES DE RENTABILIDADE A. Valor presente líquido (VPL) 1 B. Valor anual equivalente (VAE) 7 C. Valor presente dos custos (VPC) e custo anual equivalente (CAE) 8 D. Taxa interna de retorno (TIR) 8 E. Período de recuperação do investimento (PRI) 13 B. Bibliografia 14

3 INDICADORES DE RENTABILIDADE 1 Para avaliar um projeto é fundamental armar corretamente o seu fluxo de benefícios e custos. Depois, a informação do projeto deve ser processada, com o objetivo de determinar se sua execução é ou não conveniente. Este processamento de informação nada mais é do que o cálculo dos indicadores de rentabilidade ou viabilidade. É importante considerar que o fluxo relevante para calcular os indicadores é o dos benefícios e dos custos do projeto, ou seja, o fluxo derivado das diferenças positivas e negativas entre a situação otimizada com o projeto e sem ele. Apesar de úteis, estes indicadores, por melhores que sejam nunca substituem a qualidade do fluxo. Se os custos e benefícios estiverem mal estimados, os indicadores não terão nenhuma utilidade. A seguir, são analisados os seguintes indicadores de rentabilidade 2 : Valor presente líquido. Valor anual equivalente. Valor atual dos custos e custo anual equivalente. Taxa interna de retorno. Período de recuperação do investimento. A. Valor presente líquido (VPL) O VPL é a soma algébrica dos benefícios líquidos do projeto devidamente atualizados (utilizando a taxa de desconto relevante). Caso a taxa de custo de oportunidade dos fundos ou de desconto seja constante ao longo do tempo, a fórmula geral para cálculo VPL é: n BNt VPL = (1) t r) t= 0 (1 + onde BN t é o benefício líquido correspondente ao momento t da vida do projeto; r é a taxa de desconto por período; e n é o momento final do projeto. Se a taxa de desconto for variável ao longo do tempo, o VPL do projeto é o seguinte: BN1 BN2 BNn VPL = BN , (2) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) 1 1 onde r j é a taxa de desconto correspondente ao período j n 1 Também pode ser denominado indicador de viabilidade. 2 No livro de Coloma Ferrá e Claudia Botteon, Evaluación de Proyectos Privados (2007), outros indicadores podem ser estudados.

4 2 Exemplo 1 Suponha que está sendo feita a análise de um projeto de 3 anos de duração. O fluxo anual de benefícios e custos é o seguinte: Conceito Investimento Matérias primas Tempo próprio Receitas de vendas Benefícios líquidos Se a taxa de desconto for de 10% por ano, o valor presente líquido durante os 3 anos é: VPL = = R$ , ,1 (1,1) (1,1) Conceitualmente, VPL é o valor presente da alteração na riqueza ou patrimônio do investidor, devido à execução do projeto, ou seja, a diferença entre a riqueza com o projeto e sem o projeto. Neste caso, o investidor será R$ ,91 mais rico se execute o projeto do que se não o fizer. Se o VPL for positivo é aconselhável executar o projeto. Se negativo, o projeto não deve ser executado. Semelhança com o valor futuro líquido (VFL) A diferença entre o VPL e o VFL é que o primeiro é calculado no momento inicial do projeto (momento 0); e o VFL, normalmente, é calculado ao final do projeto. Conceitualmente, o VFL é a mudança na riqueza que do investidor, devido à execução do projeto, representada quando do seu cálculo. O VPL tem maior utilidade porque permite uma escolha entre diferentes alternativas do projeto ou diferentes projetos, uma vez que em todos os casos os valores são atualizados no mesmo momento. Obviamente, se todos os VFL fossem calculados no mesmo momento futuro, também seriam comparáveis. Relações entre VPL e taxa de desconto Para analisar esta relação é conveniente fazer a distinção entre os projetos tipo convencionais (ou bem comportados) e os não-convencionais: Projetos convencionais: são aqueles que, em uma primeira fase, têm benefícios líquidos negativos e, nas demais etapas, são positivos, implicando que o fluxo tem uma só mudança de sinal, sendo negativa ou positiva. O seguinte gráfico mostra a função que relaciona o VPL e a taxa de desconto (r) para projetos convencionais:

5 3 VPL r Como se pode observar, o VPL diminui na medida em que a taxa de desconto aumenta, pelo menos na seção pertinente da relação (VPL > 0). Isto implica que o eixo-x será cortado uma só vez, fato importante para explicar a taxa interna de retorno. Embora no trecho onde o VPL é negativo a função comece a crescer e se torne assintótica ao eixo-x (não atravessa novamente). Projetos não-convencionais: são todos os outros. Por exemplo, os projetos com reinvestimentos de tal magnitude que, durante alguns períodos da fase de operação, têm benefícios líquidos negativos. Por exemplo, projetos mineiros onde, durante a cessação da exploração há que incorrer em custos para deixar o meio ambiente em condições iguais às anteriores à exploração da mina. Outro caso é o de um projeto de contratação de empréstimo porque, quando do recebimento da verba, há uma entrada de recursos, sendo que os pagamentos de juros e amortização do capital do empréstimo resultarão em saídas no futuro. Se um projeto não é convencional, a relação entre VPL e taxa de desconto pode ter qualquer forma. Alguns casos são mostrados abaixo: VPL VPL r r Uso de VPL em projetos de propósitos múltiplos Nos projetos que podem ser divididos em subprojetos, deve ser avaliado todo o conjunto e cada subprojeto em separado, a fim de assegurar que subprojetos mais adequados não ocultem aqueles piores.

6 4 Exemplo 2: Suponha a análise de um projeto de construção de uma represa com duas finalidades: produção de eletricidade e melhora na eficiência de irrigação. Sua vida útil é de 50 anos e a taxa de desconto é de 10% ao ano. Fluxo de benefícios e custos associados ao projeto (em milhões de reais) Conceito 0 1 a 50 VPL(10%) Investimentos comuns ,00 Investimentos associados à irrigação ,00 BN associados à irrigação 1 9,91 Investimentos associados à eletricidade ,00 BN associados à eletricidade ,64 VPL do projeto conjunto 13,55 VPL do projeto sem irrigação 23,64 Os investimentos comuns referem-se aos relacionados com a construção e alagamento da barragem e àqueles custos com a construção de estradas, desapropriação de terras produtivas etc. Cada um dos subprojetos tem seus próprios custos e benefícios. Por exemplo, o propósito de energia requer a construção de uma usina. O VPL do projeto conjunto é positivo. No entanto, eliminado o propósito de irrigação, ele aumenta. Isto acontece porque, ao avaliar o projeto conjunto, os conceitos próprios do propósito de irrigação foram escondidos no benefício do propósito de energia. Vantagens do VPL O VPL é um critério correto tanto para avaliar os projetos individuais como para escolha entre projetos, tornando-se o indicador mais amplamente utilizado nas avaliações de projetos. Suas principais vantagens são: Permite a incorporação da taxa de desconto adequada. Apresenta um único resultado, que o transforma em uma medida não ambígua, característica inexistente na maioria dos outros indicadores de rentabilidade. Caso seja necessário escolher entre dois ou mais projetos mutuamente excludentes, em princípio deve ser executado o de maior VPL, pois este é o que maximiza o aumento da riqueza em relação à situação sem projeto otimizado.

7 5 Limitações do VPL A única desvantagem o VPL aparece quando se comparam projetos repetitivos com diferente duração ou vida útil. Mais importante ainda é que projetos podem ser classificados como "repetitivos" e "nãorepetitivos". Os projetos repetitivos podem ser executados novamente quando terminar sua vida útil. Por exemplo, uma máquina que se tornou obsoleta pode ser substituída por outra. Ou os tomates plantados num ano podem ser plantados novamente, após colheita e tosa. A comparação deste tipo de projeto não apresenta problemas em termos do VPL no caso de uma mesma duração. Caso esteja havendo comparação sobre o uso da máquina A ou B, e ambas duram 10 anos, pode ser escolhida considerando uma maximização do VPL da empresa. Portanto, neste caso, o projeto mais conveniente é o de maior VPL. No entanto, se os projetos têm diferentes durações, o VPL deve ser corrigido, a fim de equiparar os horizontes temporais. Neste caso, a recomendação é escolher o projeto de maior VPL conjunto ou repetido (VPL que inclui as repetições, até que se igualem os horizontes de avaliação). Os não repetitivos, por natureza ou por decisão do empresário, são impossíveis de reprodução. Não apresentam problemas quanto ao VPL e resulta mais conveniente aquele com maior valor. O exemplo que se segue mostra a limitação do VPL e a forma de solucionar isto: Exemplo 3: Suponha que um empresário tenha que decidir entre executar o projeto A ou B, ambos repetitivos, cujos fluxos anuais de benefícios e custos sejam os seguintes: Alternativa VPL (10%) A ,30 B ,11 Se o empresário tivesse que decidir entre eles 3, uma vez que o VPL da alternativa B é maior do que o da A, poderia pensar que esta seria a melhor solução. Todavia, há que considerar que são projetos repetitivos, com diferente duração. A comparação correta entre este tipo de projeto é equiparar seus horizontes temporais. Isto se consegue considerando um período de tempo de 6 anos: A se repete 2 vezes e B, uma neste espaço de tempo. 3 Supõe-se que os projetos sejam excludentes. Se não, seria recomendável executar ambos (VPL são positivos).

8 6 Alternativa VPL(10%) A Primeira repetição de A Segunda repetição de A Projeto A repetido ,49 B Repetição de B Projeto B repetido ,42 Caso todos os valores se mantenham constantes ao longo do tempo, o VPL do projeto A repetido é maior do que o do projeto B repetido. Na verdade, ao longo de um período de 6 anos é preferível executar A 3 vezes e B 2 vezes. Como visto, é importante que o horizonte de avaliação seja múltiplo do tempo de duração de cada projeto. É possível, inclusive, igualar os horizontes em infinito o que, em algumas ocasiões, resulta mais prático. No caso deste exemplo, os resultados são: Alternativa VPL (10%) A ,95 A repetido ,95 B ,52 B repetido ,52 Por exemplo, para calcular o VPL de A com um horizonte infinito é utilizada a fórmula de valor atual com uma perpetuidade adiantada: 3.884,30 VPL = 1,21 = R$ ,95. 0,21 onde o valor da prestação é igual ao VPL de A sem repetição (R$ 3.884,30), a frequência da prestação é a duração de A sem repetição (dois anos), e a taxa é a equivalente à anual correspondente a 2 anos (21%). Quando se considera o horizonte infinito para todas as alternativas, o VPL de A é exatamente igual ao VPL de A repetido, o que implica que, no caso de trabalhar com um espaço de tempo infinitos não é necessário armar o fluxo repetido apresentado previamente. O mesmo ocorre com B. Esta é uma forma prática de tomar a decisão.

9 7 B. Valor anual equivalente (VAE) O Valor Anual Equivalente é o resultado da transformação do VPL de um projeto num valor anual uniforme vencido ao longo de toda a sua vida 4 : (1 + r) r VAE = VPL. n (1 + r) 1 n onde n é a quantidade de anos de duração do projeto e r é a taxa de desconto anual. O VAE pode ser interpretado como o aumento da riqueza que o investidor terá se executar o projeto, expressado em uma prestação anual uniforme durante sua vida. Para decidir se um projeto é viável ou não, o critério é o mesmo que para o VPL, já que ambos têm o mesmo sinal. Sendo o VAE positivo, é melhor executar o projeto do que não fazê-lo. Se for zero, é indiferente executá-lo ou não. Se o VAE é negativo, o melhor é não executar o projeto. Isto mostra que a existência do VPL torna desnecessário calcular seu VAE para decidir. Vantagens Anteriormente foi demonstrado que o VPL apresenta inconvenientes na seleção de projetos repetitivos, indicando que a forma de solucionar o problema era igualar horizontes dos projetos a serem comparados e maximizar o VPL repetido. Veja como escolher entre projetos repetitivos de uma maneira mais simples, usando o VAE. Apresentamos abaixo os valores anuais equivalentes para os projetos do Exemplo 3: Alternativa VAE (10%) A 2.238,10 A repetido 2.238,10 B 1.978,85 B repetido 1.978,85 Por exemplo, o VAE do projeto B é calculado da seguinte forma: (1,1) 0,1 VAE = 4.921,11 = R$ 1.978,85 3 (1,1) 1 3 onde foi considerado o VPL de B sem repetição (R$ 4.921,11), a taxa de 10% ao ano e o número de prestações igual a 3 (tempo de duração de B sem repetição: três anos). Observa-se que o VAE da alternativa A com repetição é exatamente igual ao VAE sem repetição. O mesmo acontece para a B. Assim, pode-se determinar que a alternativa A é mais conveniente do que a B, simplesmente com a comparação dos VAEs de ambas as opções sem repetição: a opção de maior VAE é também a de maior VPL com repetição até que sejam igualados os horizontes de avaliação. 4 Veja a fórmula de anuidade na apostila de matemática financeira.

10 8 Limitações Se os projetos que estão sendo comparados não são repetitivos, não se pode utilizar o VAE para a seleção. Neste caso, deve ser usado o VPL de cada alternativa. C. Valor presente dos custos (VPC) e custo anual equivalente (CAE) Estes indicadores são utilizados quando se comparam projetos com benefícios e de difícil valorização. Eles permitem identificar a alternativa de menor custo para obter determinados resultados. Por exemplo, esses indicadores podem ser utilizados para escolha do projeto que permitirá alcançar o objetivo de garantir o ensino geral básico numa zona de fronteira. Como não há dúvidas quanto ao benefício dessa educação, todos os habitantes do país devem ter acesso. É exatamente por isto que se busca a alternativa de menor custo para alcance deste objetivo. É o valor atual que atualiza todos os custos do projeto, incluídos aqui os custos de oportunidade dos fatores produtivos próprios. O custo anual equivalente resulta da transformação do fluxo de todos os custos do projeto num fluxo anual uniforme. A fórmula seguinte relaciona estes dois indicadores: (1 + r) CAE = VPC (1 + r) n n r 1 onde n é o tempo de duração do projeto e r é a taxa de desconto anual. Ao utilizar estes dois indicadores deve ser levado em conta o que foi apresentado para o VPL e o VAE com relação aos projetos repetitivos e não repetitivos: Se o que se pretende analisar é a alternativa de menor custo de projetos não repetitivos, o correto é selecioná-los pelo menor VPC. Se a idéia é encontrar a opção de menor custo de projetos repetitivos, a seleção por VPC requer que os horizontes temporais dos projetos sejam igualados. O CAE simplifica a decisão: é recomendável o projeto com menor CAE. D. Taxa interna de retorno (TIR) A TIR é a taxa de desconto com a qual o VPL é igual a zero: n BNt VPL = (1 + ρ) t= 0 t = 0. onde ρ é a TIR. Sempre que houver referência à TIR é necessário prestar atenção ao período da mesma (TIR anual, TIR mensal etc).

11 9 A regra para determinar a conveniência de um projeto é que sua TIR seja maior do que a taxa de desconto, fato este que determina a conveniência da sua execução. Caso essas taxas sejam iguais, é indiferente executá-lo ou não. Sendo a TIR menor do que a taxa de desconto, é melhor não executar o projeto. Significado econômico da TIR Pretende ser uma medida da rentabilidade do investimento realizado no projeto. A TIR geralmente é definida como a taxa de rentabilidade média, por período e por capital investido. Abaixo se mostra quando justifica e ou não esta definição. Cálculo da TIR Em alguns casos o cálculo da TIR é simples. Em outros, requer uma planilha de cálculo (arquivo de Microsoft Excel). Exemplo 4: Projetos que duram um período Em projetos que duram um período, o cálculo é muito simples: Projeto 0 1 TIR A % VPL = = 0, daí surge ρ = 1. (1 + ρ) 100 Neste caso, a TIR significa que o investidor recupera seu investimento em 80% sobre o capital inicial, demonstrando a viabilidade do projeto. Além disso, a TIR coincide com a taxa de crescimento dos fundos investidos no projeto e, portanto, constitui a verdadeira taxa de rentabilidade desses fundos. Exemplo 5: Projetos que duram mais de um período, mas sem fluxos intermediários Apresenta-se, a seguir, o fluxo de benefícios e custos de um projeto com 4 anos de durabilidade: Projeto 0 1 a 3 4 TIR anual A ,42% 400 VPL = (1 + ρ) = 400, daí surge ρ = Essa fórmula permite obter uma TIR anual. A correspondente ao período de 4 anos é de 400% (que é uma taxa equivalente à TIR anual de 41,42%). Neste caso, a TIR também é a verdadeira taxa de rentabilidade dos fundos no projeto.

12 10 Exemplo 6: Projetos que duram mais de um período, com fluxos intermediários diferentes de zero Fluxo de benefícios e custos de um projeto com 3 anos de duração: Projeto 0 1 a 2 3 TIR anual A ,98% O cálculo da TIR parece evidente a partir da seguinte equação: VPL = = (1+ ρ) (1 + ρ) (1 + ρ) Pode-se usar uma planilha de cálculo (arquivo de Microsoft Excel) para obter o resultado. Neste caso, a TIR geralmente não é a verdadeira taxa de rentabilidade dos fundos no projeto. A tabela seguinte apresenta as possíveis taxas de reinvestimento (por exemplo, os encargos bancários passivos) que o investidor pode enfrentar, e a taxa de rentabilidade efetivamente alcançada. Taxa de reinvestimento Montante acumulado ao momento 3 Taxa de rentabilidade 12% ,8 12,7% 11% ,7 12,4% 10% ,0 12,1% 9% ,7 11,8% Foi estimado o montante acumulado no momento 3 dos fluxos observados a partir dos momentos 1 a 3. Por exemplo, para a taxa de reinvestimento de 12% ao ano: Mon tan te acumulado = (1,12) (1,12) = R$ ,8 Este montante é o dinheiro que o empresário tem no momento 3, exatamente quando pode depositar os excedentes do projeto, a uma taxa de 12% ao ano. A verdadeira taxa de retorno (taxa de rentabilidade) é calculada a partir destes montantes. No caso da taxa de reinvestimento é de 12%: ,8 taxa de rentabilidade = Como pode ser visto, nenhuma das taxas de rentabilidade da tabela coincide com a TIR. Isto ocorre porque o investidor pode colocar seus fundos a uma taxa diferente da TIR. Se eles pudessem ser colocados a uma taxa igual à TIR, o valor constituiria na verdadeira taxa de rentabilidade. Vantagens Os avaliadores que advogam o uso da TIR indicam que sua vantagem é seu cálculo não requerer o conhecimento da taxa de desconto relevante (sua estimativa não é tarefa fácil).

13 11 No entanto, essa vantagem se dilui quando considerado que a tomada de decisão requer a comparação da TIR com a taxa de desconto. Limitações Aqui estão algumas das desvantagens deste indicador: Multiplicidade da TIR Os projetos convencionais mostram que a relação entre o VPL e taxa de desconto é de tal ordem que só existe uma TIR (abscissa na origem da função). VPL TIR r O fluxo do Exemplo 6 é convencional e a TIR é única e igual a 12,98% ao ano. Em projetos não convencionais podem existir múltiplas TIRs. Exemplo 7 Exemplo no qual existem duas TIRs: Conceito Benefícios líquidos As TIRs anuais deste projeto são 64,15% e 204,60% 5. Neste caso, a TIR não tem relevância como indicador de rentabilidade. VPL TIR r 5 É interessante notar que algumas planilhas não indicam sobre a existência de múltiplas TIRs.

14 12 Note-se que este fluxo tem duas mudanças de sinal (de negativo a positivo e de positivo a negativo). Pode-se dizer que um fluxo com duas mudanças de sinal pode ter até duas TIRs 6. Isto implica que existem fluxos com duas mudanças de sinal com uma só TIR. Exemplo 8 O seguinte fluxo tem uma única TIR de 94,9% anual. Conceito Benefícios líquidos De uma forma geral, se um fluxo apresenta k mudanças de sinal, pode ter até k TIRs. Por exemplo, um projeto com 3 mudanças pode ter 0, 1, 2 ou 3 taxas internas de retorno. Problemas na seleção de projetos excludentes Mesmo que os projetos tenham uma só TIR, a escolha entre dois ou mais projetos excludentes, caso definida só pela TIR, pode conduzir a um erro. Abaixo são apresentados dois casos com este problema. Exemplo 9 Suponha que a escolha tenha que ser feita entre dois projetos com os seguintes fluxos anuais (a taxa de desconto é de 10% ao ano). Projeto 0 1 VPL (10%) TIR A ,55 31,25% B ,27 33,33% Embora a TIR de B seja maior do que a de A, é preferível executar o projeto A, uma vez que o VPL de A é maior do que o VPL de B. Note-se que o VPL é uma medida adequada para escolha, já que os projetos têm a mesma duração. Em caso de execução do projeto B, o investidor usa R$ 600 e deposita o restante do dinheiro (R$ 200) a 10% anual. Portanto, a rentabilidade do total desses fundos é dada pelos R$ 600 investidos a 33,33%, e R$ 200 depositados a 10%, dando uma média anual de 27,5%. Este desempenho é menor do que o que seria obtido caso o investidor tivesse investido todo o dinheiro no projeto A. Exemplo 10 Suponha a necessidade de escolha entre os projetos com os seguintes fluxos anuais. A taxa de desconto é de 10% ao ano. 6 O fundamento matemático desta descrição reside na regra de Descartes em relação às raízes de um polinômio.

15 13 Projeto VPL (10%) TIR A ,93 73,21% B ,88 82,29% Novamente, a TIR de B é maior do que a de A, mas, como o VPL de A é maior do que o VPL de B é preferível a executar o projeto A. No projeto A, a TIR constitui a verdadeira taxa de rentabilidade dos fundos (os fluxos intermediários são zero); no B, isto não ocorre. Se o investidor executa B, no momento 1 pode depositar os R$ 100 gerados pelo projeto a 10%, o que implica que, em um ano terá R$ 110. Se a este montante se somam os R$ 150 gerados pelo projeto no momento 2, e se calcula a verdadeira taxa de rentabilidade, esta ascende a 61,25% anual. A comparação das verdadeiras taxas de retorno indica que é melhor executar A. E. Período de recuperação do investimento (PRI) O período de reembolso ou PRI se refere ao número de períodos necessários para recuperar o investimento do projeto. É importante esclarecer que ele só considera o investimento para a fase de investimento do projeto e não os reinvestimentos. Não foi possível estabelecer a priori uma regra de decisão com relação a este indicador. Cada investidor pode determinar alguma condição a respeito. Por exemplo, aceitar os projetos com um PRI igual ou menor a um máximo predeterminado. Se existem vários projetos alternativos a serem escolhidos, o de menor PRI não é, necessariamente, a melhor. Veja como calculá-lo. Exemplo 11 Fluxo anual de um projeto, considerada uma taxa de desconto de 10% ao ano: Conceito VPL(10%) Projeto A ,00 600,00 600,00 492,11 Valor presente de cada benefício ,54 495,87 450,79 Investimento pendente de recuperação , Note-se que é conveniente calcular o VPL já que, se o projeto não é conveniente, não faz sentido falar de PRI. Na segunda linha da tabela foi calculado o valor atual dos elementos que figuram na linha anterior. Para calcular o investimento a recuperar, vão sendo subtraídos do capital inicial estes valores atuais. Por exemplo, no momento 1 ficam R$ 454,54 a recuperar, já que o projeto gera R$ 545,54. Neste caso, ao finalizar o primeiro ano só se recupera parte do investimento, sendo a totalidade recuperada apenas no final do segundo ano. Desta forma, o PRI é de dois anos.

16 14 Vantagens Este indicador pode ser utilizado em combinação com a VPL. Por exemplo, no caso de escolha entre duas alternativas com o mesmo VPL, é preferível que o projeto que tenha um PRI menor. Limitações O cálculo do PRI não considera os benefícios líquidos que podem ocorrer após a recuperação do capital investido na fase de investimento. Isto implica que sua utilização deve ser sempre acompanhada por outro indicador. Exemplo 12 Fluxo anual de um projeto com taxa de desconto de 10% ao ano: Conceito Projeto A O leitor pode verificar que o PRI deste projeto é de 2 anos. No entanto, após este período, o fluxo tem um benefício líquido negativo que o PRI não captura. Se o VPL é calculado a uma taxa de 10%, o resultado é igual a - R$ 5,93, comprovando que o projeto não é adequado. F. Bibliografia BOTTEON, Claudia y FERRÁ, Coloma, Elementos de matemática financiera para la evaluación de proyectos, en Serie Estudios-Sección Economía Nº 47 (Mendoza, FCE-UNC, 2005). FERRÁ, Coloma y BOTTEON, Claudia, Evaluación privada de proyectos (Mendoza, FCE- UNC, 2007). FERRÁ, Coloma y BOTTEON, Claudia, Indicadores de rentabilidad, en Serie Estudios- Sección Economía Nº 49 (Mendoza, FCE-UNC, 2005). FERRÁ, Coloma y GINER de LARA, María Elena, Integración del análisis microeconómico y de evaluación de proyectos en materia de costos, en "Serie Cuadernos-Sección Economía", N 224 (Mendoza, FCE-UNC, 1987). FONTAINE, Ernesto, Evaluación social de proyectos, 12a. ed. (México, Alfaomega, 1999). GUTIERREZ, Héctor, Evaluación de proyectos ante certidumbre (Santiago de Chile, Universidad de Chile, 1994).