CRIAÇÃO DE UM AMBIENTE HIDROINFORMÁTICO PARA APLICAÇÃO EM ZONAS COSTEIRAS

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1 CAPÍTULO 4 CRIAÇÃO DE UM AMBIENTE HIDROINFORMÁTICO PARA APLICAÇÃO EM ZONAS COSTEIRAS

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3 4. Ambiente hidroinformático CAPÍTULO 4 CRIAÇÃO DE UM AMBIENTE HIDROINFORMÁTICO PARA APLICAÇÃO EM ZONAS COSTEIRAS 4.1 Aspectos gerais No presente capítulo procede-se à caracterização do ambiente hidroinformático criado neste trabalho de investigação, tendo como objectivo a modelação integrada da hidrodinâmica e da qualidade da água em zonas costeiras, apresentado-se os programas que serviram de base ao trabalho, as principais adaptações neles efectuadas e as inovações introduzidas, bem como os programas novos desenvolvidos. A apresentação destes programas é feita com a descrição de exemplos de aplicação por forma a demonstrar a sua adequabilidade na resolução de problemas de engenharia ambiental, contemplando escalas espacio-temporais diversas, adequadas a cada um deles. 4. Ambiente hidroinformático 4..1 Generalidades O sucesso na aplicação de um modelo numérico depende, entre outros factores, da facilidade de integração num ambiente comum de diferentes tipos de software que executam tarefas distintas. De facto, com a crescente acessibilidade a uma quantidade cada vez maior de recursos hidroinformáticos, designadamente através da World Wide Web, o desenvolvimento de um modelo adaptado a um determinado sistema natural deverá ser precedido de uma pesquisa criteriosa, tendo em vista a inventariação e selecção dos recursos disponíveis. Consegue-se assim, muitas vezes, uma economia apreciável no esforço associado à construção ab initio de um modelo bem como uma 15

4 Capítulo 4 maior eficácia resultante da utilização de ferramentas informáticas de muito maiores capacidades. Procurou-se que o ambiente hidroinformático desenvolvido apresentasse uma grande versatilidade, quer em termos de hardware (foram utilizados computadores pessoais e estações de trabalho), quer em termos de sistemas operativos (foram utilizados meios de cálculo com diferentes sistemas operativos: WINDOWS95, WINDOWSNT, UNIX e LINUX). A linguagem de programação de utilização preferencial foi o FORTRAN, tendo-se também procedido à criação de diversas ferramentas codificadas em linguagem C, C++ e Lisp. 4.. Software utilizado A modelação da hidrodinâmica de zonas costeiras, no ambiente hidroinformático criado, é realizada recorrendo-se aos programas bidimensionais no plano horizontal (DH) TELEMACD e RMA e aos programas quasi-3d POM e POM-UMH. Este último modelo integra a adaptação desenvolvida no programa POM no âmbito deste trabalho (a extensão UMH quer significar Universidade do Minho-Hidrodinâmica) e que consistiu na inclusão de um método de elementos finitos no cálculo do modo externo, com o objectivo de aumentar o seu desempenho para condições de fronteira específicas e para problemas de geometria complexa. A modelação da qualidade da água em zonas costeiras apresenta dificuldades decorrentes da complexidade dos processos biogeoquímicos verificados nos diferentes ecossistemas. O desconhecimento e/ou a dificuldade da quantificação e caracterização das relações entre os vários elementos de um ecossistema implica uma criteriosa selecção das formulações a adoptar, por forma a representar adequadamente os processos determinantes do comportamento de constituintes indicadores do estado da qualidade da água. Neste trabalho desenvolveu-se o programa PROCESSOS para simular, de forma o mais abrangente e aberta possível, os processos biogeoquímicos mais relevantes de um determinado sistema. Este programa pode funcionar autonomamente ou integrado em programas hidrodinâmicos. 16

5 4. Ambiente hidroinformático A qualidade da água de zonas costeiras é simulada, no ambiente hidroinformático criado, através da utilização do programa PROCESSOS, dos programas bidimensionais no plano horizontal RMA4 e RMA4-UMQ (a extensão UMQ identifica a versão desenvolvida na Universidade do Minho para resolução de problemas de qualidade da água) e do programa quasi-3d POM-UMQ. A estruturação do ambiente hidroinformático criado é justificada pela necessidade de disponibilizar ferramentas informáticas diversificadas e versáteis adequadas à resolução de problemas bidimensionais e quasi-3d característicos de zonas costeiras. HIDRODINÂMICA/QUALIDADE DA ÁGUA PRÉ E PÓS-PROCESSAMENTO Figura 4.1 Ambiente hidroinformático: software utilizado. Nos pontos subsequentes são apresentados os detalhes do software utilizado, assim como as características de cada um dos programas. Se as formulações matemáticas e os correspondentes métodos numéricos utilizados no desenvolvimento de um modelo apresentam uma importância determinante para a fiabilidade das simulações efectuadas, a capacidade de organização e visualização da grande quantidade de dados e de resultados obtidos é também de importância primordial para uma correcta interpretação e análise dos cenários estabelecidos. Por outro lado, a preparação de dados para um determinado modelo é, sem dúvida, uma das tarefas que 17

6 Capítulo 4 requer mais arte e engenho por parte do modelador. Assim, considerou-se pertinente a utilização simultânea de diversos programas para a realização das tarefas de pré e pós-processamento e criaram-se metodologias, quer de geração condicionada de malhas não estruturadas, quer de integração da informação em Sistemas de Informação Geográfica (SIG). As tarefas de preparação de dados e a apresentação de resultados foram realizadas na sua maioria com o programa Surface Modelling System (SMS) (BOSS SMS, 1996). Este programa permite efectuar a preparação de dados, a geração de malhas para diversos programas de cálculo da hidrodinâmica e a representação espacial de campos escalares e vectoriais. Permite ainda definir novas variáveis, para todo o domínio, calculadas a partir de outras variáveis existentes. A criação de SIG é realizada recorrendo-se ao software ARCVIEW (ESRI, 1996), sendo a digitalização da informação necessária à implementação dos modelos efectuada através de técnicas usuais, utilizando-se o programa AUTOCAD. Na metodologia apresentada para a geração condicionada de malhas não estruturadas foi utilizado o programa de geração de malhas triangulares TRIANGLE (Shewchuk, 1997). As observações das elevações da superfície livre oceânica com recurso a instrumentos de medição colocados a bordo de satélites, como foi referido no Capítulo, constituem a base para a quantificação (com um erro reduzido) das elevações a impor nas fronteiras abertas de um determinado modelo. O programa SR95 (JPL, 1996) utiliza a informação das observações atrás referidas para quantificar as elevações da superfície oceânica em qualquer ponto do planeta durante o período de 1960 a 00. Os programas GRIDGEN e CSLICE, desenvolvidos em linguagem de programação MATLAB, são produtos expressamente desenvolvidos para a realização de tarefas de pré e pós-processamento de apoio ao programa POM. O primeiro permite realizar a geração de malhas de diferenças finitas e o segundo destina-se à apresentação de resultados. A grande quantidade de informação associada a um modelo numérico necessita de ser organizada e estruturada de forma a permitir um acesso rápido e eficaz, quando 18

7 4. Ambiente hidroinformático necessário. As ferramentas de gestão de bases de dados são o meio mais adequado para a organização e gestão de dados, tendo sido utilizado o programa Microsof ACCESS. A integração e a troca de informação entre os diferentes programas obrigou à criação de um conjunto significativo de ferramentas utilitárias (interfaces) que permitem efectuar a leitura, a transformação e a escrita de dados de acordo com formatos pré-estabelecidos. Na Figura 4.1 apresenta-se, de forma esquemática, o ambiente hidroinformático construído, sendo destacados os programas criados e os que sofreram adaptações inovadoras. No Quadro 4.1 apresenta-se uma listagem com a designação, função, autor e sistema operativo de cada um dos programas utilizados. Quadro Programas utilizados na construção do ambiente hidroinformático. PROGRAMA FUNÇÃO AUTOR SISTEMA OPERATIVO TELEMACD Hidrodinâmica DH EDF 1 UNIX RMA Hidrodinâmica DH WES-HL UNIX ou WINDOWS POM Hidrodinâmica quasi-3d G. Mellor UNIX ou WINDOWS RMA4 Qualidade da água DH WES-HL UNIX ou WINDOWS RMA4-UMQ Qualidade da água DH J. Pinho UNIX ou WINDOWS POM-UMH Hidrodinâmica quasi-3d J. Pinho UNIX ou WINDOWS POM-UMQ Qualidade da água quasi-3d J. Pinho UNIX ou WINDOWS PROCESSOS Qualidade da água J. Pinho UNIX ou WINDOWS SMS Pré e Pós-processamento Brigham Young Univ. WINDOWS ARCVIEW Sistemas de Informação Geográfica ESRI 3 WINDOWS AUTOCAD Desenho assistido por computador Autodesk WINDOWS TRIANGLE Geração de malhas triangulares J. R. Shewchuck UNIX SR95 Previsão de marés Schrama Ray UNIX GRIDGEN Geração de malhas de DF Rich Signely WINDOWS CSLICE Pós-processamento POM Rich Signely WINDOWS 1-EDF- Eléctricité De France, -WES-HL Waterways Experiment Station Hydraulic Laboratory, 3-ESRI Environmental Systems Research Institute. 19

8 Capítulo Modelos hidrodinâmicos Programa TELEMACD Características gerais O programa TELEMACD aplica-se na resolução de problemas de hidráulica marítima e fluvial que envolvam o cálculo de escoamentos com superfície livre. Este programa resolve as equações.75 a.77 utilizando quer o método dos elementos finitos quer o método de diferenças finitas. As variáveis dependentes consideradas são a altura de água e as componentes horizontais da velocidade média em cada ponto do domínio considerado. As equações atrás referidas, escritas em termos de coordenadas cartesianas, poderão também ser tratadas em coordenadas esféricas. As diversas parcelas são tratadas em dois passos de tempo intermédios (EDF, 1988): no primeiro passo são tratados os termos advectivos das variáveis consideradas e no segundo passo os restantes termos. No primeiro passo é utilizado o método das características e no segundo passo os cálculos são efectuados seguindo-se uma discretização espacial por um método de elementos finitos (Formulação de Galerkin) e uma discretização temporal semi-implícita. Este modelo permite ainda efectuar a definição do coeficiente de viscosidade turbulenta a partir de um modelo do tipo k-ε (k energia cinética turbulenta, ε - dissipação viscosa). Os métodos numéricos utilizados são compatíveis com a modelação de escoamentos super-críticos (EDF, 1991). As malhas de discretização espacial poderão ser compostas por elementos triangulares ou quadrangulares lineares Exemplo de aplicação O programa TELEMACD encontra-se instalado no Departamento de Engenharia Civil da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra (DEC-FCTUC). A versão aí instalada inclui o módulo de cálculo hidrodinâmico e o pós-processador 130

9 4.3 Modelos hidrodinâmicos RUBENS (EDF, 1996). Para a realização das tarefas de preparação de dados, necessárias a uma determinada aplicação, optou-se pela utilização dos programas de pré-processamento disponíveis no Laboratório de Hidráulica e Recursos Hídricos do Departamento de Engenharia Civil da Universidade do Minho (LHRH-DEC-UM) (Figura 4.1 e Quadro 4.1), sendo as simulações efectuadas remotamente. Apresenta-se seguidamente uma breve descrição das principais fases e procedimentos da construção de um modelo hidrodinâmico no programa TELEMACD, utilizando-se, a título ilustrativo, um modelo desenvolvido para a Foz do Rio Douro. Na primeira fase procede-se à digitalização do contorno e da batimetria a partir das cartas disponíveis e, eventualmente, com o auxílio de fotografias aéreas da área de estudo, utilizando-se uma ferramenta de desenho assistido por computador (no exemplo apresentado o programa AUTOCAD). A informação vectorial resultante da digitalização é posteriormente transformada para formatos compatíveis com o pré-processador SMS (formato DXF-Drawing exchange Format - no caso do contorno, e formato XYZ coordenadas em código ASCII - no caso dos pontos que definem a batimetria). Na Figura 4. apresentam-se o contorno e o fundo do exemplo ilustrativo utilizado nesta descrição. Figura 4. Pré-processamento - programa TELEMACD: definição do contorno e da batimetria (azul escuro correspondente a maiores profundidades). 131

10 Capítulo 4 A geração da malha de elementos finitos em que é discretizado o domínio é realizada no programa SMS. Na Figura 4.3 apresenta-se uma malha composta por elementos triangulares lineares. Figura 4.3 Pré-processamento - programa TELEMACD: malha de elementos finitos gerada no programa SMS. A informação relativa à malha de elementos finitos gerada no programa SMS é transformada para um formato de leitura do programa TELEMACD. O programa utilitário em que é efectuada a transformação cria também um ficheiro com a informação necessária à definição dos nós das fronteiras e tipo de condições fronteira a impor nesses nós. Os valores das variáveis nas fronteiras abertas são estabelecidos através de palavras-chave ou são programadas em subrotinas específicas. Nesta fase estão preparados os ficheiros correspondentes à geometria, condições de fronteira e caracterização do fundo. Resta apenas definir, com o auxílio de um processador de texto, um ficheiro com a definição das palavras-chave, através das quais são estabelecidos os valores de parâmetros necessários ao funcionamento do modelo, incluindo, entre outros: os nomes dos ficheiros envolvidos, as condições iniciais, o passo de tempo, a duração da simulação, os instantes de escrita dos resultados e as 13

11 4.3 Modelos hidrodinâmicos variáveis que se pretendem analisar. Após a transferência dos ficheiros de dados do LHRH-DEC-UM para o DEC-FCTUC procede-se à execução do programa. Finalizada a execução, os resultados poderão ser analisados no DEC-FCTUC, utilizando-se o pós-processador aí instalado (RUBENS), ou procedendo à conversão e transferência do ficheiro de resultados, de forma a que seja possível o seu processamento no programa SMS. Esta conversão é realizada por um dos programas utilitários desenvolvidos no âmbito deste trabalho. Na Figura 4.4 são apresentados, a título ilustrativo, resultados do campo de velocidades, do módulo da velocidade e de linhas de corrente num determinado instante da simulação efectuada no programa TELEMACD. a) b) c) Figura 4.4 Pós-processamento programa TELEMACD: a) campo de velocidades; b) módulo da velocidade; c) linhas de corrente. 133

12 Capítulo Programa RMA Características gerais O programa RMA (WES-HL, 1996), baseado num método de elementos finitos, permite a obtenção de soluções em regime permanente ou variável, com o estabelecimento de condições de fronteira variáveis ao longo do tempo. As soluções são obtidas num determinado número de instantes, nos pontos nodais da malha de elementos finitos. Apresenta como principal limitação a impossibilidade de resolução de escoamentos super-críticos. Esta limitação advém do método numérico empregue na resolução das equações de continuidade e conservação da quantidade de movimento. As Eq.s.75 a.77 são resolvidas por um método de elementos finitos, usando-se a técnica dos resíduos pesados de Galerkin. Os elementos para a discretização espacial poderão ser triangulares e/ou quadrangulares de seis e oito nós, respectivamente. As funções de forma são quadráticas no caso das velocidades e lineares para a profundidade. A integração espacial é efectuada pelo método de Gauss. As derivadas temporais são discretizadas por uma aproximação de diferenças finitas. O método é totalmente implícito, sendo os sistemas de equações resolvidos pelo método de Newton-Raphson Exemplos de aplicação A preparação de dados para a aplicação de modelos utilizando o programa RMA é auxiliada pelo programa SMS. Este pré-processador permite a utilização directa de informação cartográfica digitalizada através da sua importação em formato DXF, como foi referido anteriormente. A definição do contorno e da batimetria necessários à implementação de um determinado modelo torna-se assim muito simples no caso dessa informação se encontrar disponível no formato indicado. As condições a impor nas fronteiras abertas, correspondentes a simulações de regimes permanentes ou variáveis, são introduzidas utilizando-se um interface gráfico disponível no programa SMS. 134

13 4.3 Modelos hidrodinâmicos A discretização espacial de domínios de geometria complexa, torna-se mais simples no caso de utilização conjunta de diferentes tipos de elementos. O programa RMA apresenta esta possibilidade permitindo, como já foi referido, a utilização simultânea de elementos triangulares e quadrangulares numa mesma malha. Este programa permite ainda a modelação de regiões intertidais, ou de uma forma geral, zonas ou situações cuja hidrodinâmica implique a ocorrência de regiões que apenas se encontram inundadas em determinados períodos de tempo (regiões normalmente designadas por regiões cobre-descobre). Apresentam-se a seguir dois exemplos que ilustram as diversas fases de desenvolvimento de um modelo hidrodinâmico utilizando o programa RMA. Em ambos os exemplos as condições hidrodinâmicas implicam a ocorrência de regiões cobre-descobre. O primeiro exemplo (Figura 4.5) refere-se a um trecho do Rio Este (afluente do rio Ave), em que se procede à simulação das condições de escoamento em situação de cheia. O domínio foi discretizado utilizando uma malha de elementos triangulares, sendo impostas como condições de fronteira a entrada de um caudal a montante e o nível da superfície livre a jusante. CONTORNO E BATIMETRIA MALHA DE ELEMENTOS FINITOS Figura 4.5 Pré-processamento - programa RMA: definição do contorno, batimetria e malha de elementos finitos num trecho do Rio Este. 135

14 Capítulo 4 O contorno apresentado delimita toda a região cuja topografia foi levantada. O facto de a correspondente malha de elementos finitos apresentar um número de elementos excessivo (ver resultados a seguir apresentados) não torna o cálculo desnecessariamente dispendioso, uma vez que só os elementos inundados são considerados activos durante as simulações efectuadas. Na Figura 4.6 são apresentados, a título ilustrativo alguns dos resultados obtidos para áreas inundadas e módulos das velocidades usando o pós-processador SMS. Caudal de cheia 5 m 3 /s Área inundada Caudal de cheia 500 m 3 /s Área inundada Caudal de cheia 5 m 3 /s Velocidade (módulo) Caudal de cheia 500 m 3 /s Velocidade (módulo) Figura 4.6 Pós-processamento programa RMA: áreas inundadas e módulos da velocidade para diferentes caudais de cheia num trecho do Rio Este. 136

15 4.3 Modelos hidrodinâmicos No segundo exemplo, referente à foz do Rio Cávado, o domínio apresenta uma geometria complexa, tendo a sua discretização sido realizada com uma malha composta por elementos triangulares e quadrangulares. As condições de fronteira impostas foram as elevações da superfície livre na fronteira oceânica e o caudal do Rio Cávado a montante. Na Figura 4.7 apresentam-se o contorno, a batimetria e a malha utilizada. CONTORNO E BATIMETRIA MALHA DE ELEMENTOS FINITOS Figura 4.7 Pré-processamento - programa RMA: definição do contorno, batimetria e malha de elementos finitos na zona de jusante do estuário do Rio Cávado. Na Figura 4.8 são apresentados alguns dos resultados obtidos com o programa SMS para a simulação hidrodinâmica efectuada. Para além da representação dos campos escalares e vectoriais referidos nos exemplos ilustrativos, o programa SMS permite ainda a apresentação da evolução temporal de variáveis escalares (incluindo componentes das velocidades) sob a forma gráfica. Este programa permite também a produção de animações, que se revelam muito úteis na análise de simulações da hidrodinâmica em regimes variáveis. 137

16 Capítulo 4 VELOCIDADE (Vazante) VELOCIDADE (Enchente) ELEVAÇÃO DA SUPERFÍCIE LIVRE LINHAS DE CORRENTE Figura 4.8 Pós-processamento programa RMA: velocidades, superfície livre e linhas de corrente na zona de jusante do estuário do Rio Cávado. 138

17 4.3 Modelos hidrodinâmicos Programa POM Características gerais O programa POM (Princeton Ocean Model) foi desenvolvido para a modelação de estuários e zonas costeiras, envolvendo escalas espaciais com desenvolvimentos da ordem de 1 a 100 km e escalas temporais com durações entre um período de maré até algumas dezenas de dias. A descrição geral do programa é apresentada em Mellor (1998), estando os detalhes relativos aos esquemas de diferenças finitas utilizados contidos no seu código FORTRAN. O programa resolve uma versão simplificada das equações.117 a.13 utilizando coordenadas sigma na direcção vertical e coordenadas ortogonais curvilíneas na direcção horizontal (com um arranjo do tipo Arakawa C), conforme se apresenta na Figura 4.9. A simplificação atrás referida é efectuada na definição dos termos correspondentes aos gradientes de pressão e nos termos correspondentes à difusão horizontal. No programa POM, a formulação utilizada para os referidos termos apresenta a seguinte forma: σ σ σ ρ σ ρ ρ η d x H H x gh x gh DP (4.1) σ σ σ ρ σ ρ ρ η d y H H y gh y gh DP (4.) + + x v y u ha y x u A h x DF M M 1 (4.3) + + y v A h y x v y u ha x DF M M (4.4)

18 Capítulo 4 O programa inclui um sub-modelo de turbulência para o cálculo dos coeficientes de difusão turbulenta verticais (Mellor e Yamada, 198). Os coeficientes de difusão turbulenta horizontais são calculados a partir da fórmula de Smagorinsky: A M u = C x y x v u + + x y v + y 1 (4.5) Os valores do coeficiente de Smagorinsky, C, adoptados variam entre 0,10 e 0,0. As vantagens de utilização desta fórmula relacionam-se com o facto de C ser adimensional e dos coeficientes A M diminuírem à medida que aumenta a resolução e diminuem os gradientes de velocidade. O método de discretização temporal na direcção horizontal é explícito, enquanto que na direcção vertical é implícito. Assim, é possível a utilização de resoluções elevadas junto das fronteiras na direcção vertical sem qualquer restrição em termos de passo de tempo. O algoritmo de cálculo do programa utiliza a separação de modos. O modo externo corresponde a um modelo bidimensional, integrado na vertical, com o passo de tempo limitado pela condição de estabilidade de Courant-Friedrich-Lewy (CFL), sendo utilizado para o cálculo das elevações da superfície livre e das componentes horizontais da velocidade média na vertical (associadas à propagação de ondas gravíticas superficiais de elevada celeridade). A formulação matemática do modelo bidimensional (DH) é traduzida pelas equações a seguir apresentadas, as quais assumem uma forma idêntica às das equações.75 a.77 e resultam da integração vertical das equações fundamentais da Mecânica dos Fluidos em coordenadas sigma. η t UH + x VH + y = 0 (4.6) 140

19 4.3 Modelos hidrodinâmicos 141 ( ) ( ) + + = ~ σ σ σ σ ρ σ ρ ρ η d d x H x H gh G wu wu x gh fvh F y UVH x H U t UH x x (4.7) ( ) ( ) + + = ~ σ σ σ σ ρ σ ρ ρ η d d y H y H gh G wv wv y gh fuh F y H V x UVH t VH y y (4.8) Os termos ( ) 0 wu e ( ) 0 wv correspondem às componentes das tensões induzidas pelo vento e os termos ( ) 1 wu e ( ) 1 wv representam as tensões no fundo. As parcelas x F ~ e y F ~ representam as componentes da difusão horizontal, sendo dadas por: + + = x V y U ha y x U A h x F M M x ~ (4.9) + + = y V A h y x V y U ha x F M M y ~ (4.10) As barras representam médias verticais das respectivas variáveis. Os termos x G e y G, normalmente designados por termos dispersivos, são quantificados de acordo com as seguintes expressões: x x x F y uvh x H u F y UVH x H U G + + = ~ (4.11) y y y F y H v x uvh F y H V x UVH G + + = ~ (4.1)

20 Capítulo 4 As parcelas F x e F y são calculadas a partir de expressões análogas às das equações 4.9 e 4.10, respectivamente mas envolvendo as variáveis tridimensionais u, v, e A M. No caso dos coeficientes A M serem constantes segundo a vertical, as parcelas F nas Eq.s 4.11 e 4.1 anulam-se. No entanto, é considerada a variabilidade vertical da difusão horizontal, que poderá ocorrer quando, como é o caso, os coeficientes de difusão são quantificados a partir da expressão de Smagorinsky (Eq. 4.5). No modo interno são calculadas as variáveis tridimensionais, sendo portanto mais exigente em termos computacionais mas utilizando um passo de tempo menos restritivo do que o utilizado no modo externo (limitado pela condição de estabilidade de CFL). y s = 0 H, h(i,j) Dy Dx V(I,J) 1 x U(I,J) 3 T,S,r(I,J,K) w(i,j,k) K K+1 t x(i,j,k) s = -1 u(i,j,k) v(i,j,k) t y(i,j,k) t bx t by KB Figura 4.9 Malha de diferenças finitas e localização das variáveis Programa POM. Na Figura 4.10 apresenta-se um esquema que ilustra a técnica de integração temporal utilizada nos modos externo e interno. 14

21 4.3 Modelos hidrodinâmicos Considere-se que todas as variáveis são conhecidas nos instantes t n-1 e t n. Os integrais que envolvem os termos advectivos e baroclínicos, assim como os valores das tensões no fundo calculados no modo interno, são fornecidos ao modo externo, sendo o seu valor mantido constante durante o intervalo de tempo t n <t<t n+1. MODO EXTERNO Dt N Dt t n-1 t n t n+1 t MODO INTERNO Figura 4.10 Representação do esquema de integração dos modos externo e interno do programa POM. No modo externo prossegue-se com a integração, utilizando o passo de tempo t até se atingir o instante t n+1. No modo externo são calculadas as médias temporais (no intervalos t n-1 <t<t n e t n <t<t n+1 ) das componentes da velocidade média vertical. Como os dois modos apresentam erros de truncatura diferentes, os integrais verticais das velocidades no modo interno podem divergir ligeiramente das componentes da velocidade média calculadas no modo externo em cálculos que envolvam longos períodos de integração. Por esta razão, as componentes horizontais da velocidade do modo interno são ajustadas de forma a que o seu integral vertical coincida com as médias temporais calculadas no modo externo. Os gradientes da elevação da superfície livre utilizados no modo interno são definidos a partir da média dos valores médios temporais das elevações da superfície livre, calculados no modo externo durante os intervalos t n-1 <t<t n e t n <t<t n+1. Conforme se apresentará mais adiante, o procedimento anterior permite que o passo de tempo a utilizar no modo interno seja limitado pela condição de Courant-Friedrich-Lewy associada à celeridade baroclínica que é menos restritiva que a correspondente condição imposta pela celeridade barotrópica. O cálculo 143

22 Capítulo 4 das variáveis tridimensionais (modo interno) é separado em dois passos de tempo: num são considerados os termos relativos à advecção e à difusão horizontal e no outro é considerada a difusão vertical. Este último é calculado com um esquema implícito, enquanto que o primeiro é calculado de acordo com um esquema explícito. Considerando uma equação genérica de transporte de um escalar φ, tem-se: D φ φ = Adv( φ ) + Dif ( φ ) + 1 K (4.13) V t H σ σ Adv(φ ) e Dif(φ ) representam os termos advectivos e difusivos, respectivamente. Assim, de acordo com a metodologia referida, a solução é obtida em dois passos distintos. No primeiro passo os termos advectivos e difusivos são diferenciados de acordo com a expressão: H n+ 1 ~ φ H t n 1 φ n 1 = Adv n n 1 ( φ ) + Dif ( φ ) (4.14) sendo o segundo passo, correspondente ao termo de difusão vertical, diferenciado de acordo com: H n+ 1 n+ 1 φ H t ~ n+ 1 n+ 1 φ 1 = n H + 1 σ K V φ σ (4.15) Os detalhes dos cálculos relativos à última expressão são apresentados em Mellor (1998). Na técnica de diferenciação temporal utilizada (Leap frog) é normal que os resultados em passos de tempo ímpares divirjam ligeiramente dos resultados correspondentes a passos de tempo pares. Para atenuar este efeito, é aplicada uma suavização temporal aos resultados encontrados. Essa suavização é efectuada em todos os passos de tempo, utilizando-se a seguinte expressão: φ S = φ α + n+ 1 n n 1 ( φ φ + φ ) (4.16) 144

23 4.3 Modelos hidrodinâmicos onde φ S é o valor da variável após aplicação do filtro anterior. A constante α é normalmente considerada igual a 0,05. Com o objectivo de ilustrar o efeito da aplicação do filtro anteriormente referido apresenta-se na Figura 4.11, sob a forma de gráfico, a solução da equação dy dt 1+ ( y t) = com um valor inicial y(0)=0.5, obtida com um esquema de diferenças finitas do tipo leap frog. São representadas, para além da solução analítica, a solução numérica sem aplicação do filtro e a mesma solução com a aplicação de um filtro do tipo anteriormente apresentado. 0,90 0,88 a) y 0,85 0,83 0,80 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,30 t Leap frog s/ suavização Sol. analítica Leap frog c/ suavização 0,08 b) Erro absoluto 0,04 0,00 0,00 0,0 0,40 0,60 0,80 1,00 t Leap frog s/ suavização Leap frog c/suavização Figura 4.11 Soluções da equação diferencial dy dt 1+ ( y t) = com um valor inicial y(0)=0.5. Efeito da aplicação de um filtro de suavização temporal: a) soluções numéricas e solução analítica; b) erro absoluto das soluções numéricas com e sem suavização. 145

24 Capítulo 4 A condição de estabilidade de CFL das equações do modo externo traduz-se na seguinte limitação para o passo de tempo ( t e ): t e 1 gh + U max 1 δx 1 + δy 1 (4.17) em que U max é a velocidade máxima esperada e δx e δy são os espaçamentos (mínimos), segundo a direcção x e y, respectivamente, na malha de diferenças finitas. O modo interno, como já foi referido, apresenta uma limitação menos restritiva para o passo de tempo ( t i ), definida pela seguinte expressão: t i 1 c + U max 1 δx 1 + δy 1 (4.18) em que c é a celeridade das ondas gravíticas internas. Em condições típicas de zonas costeiras a relação t i / t e situa-se no intervalo 40 a 80. Existem outros limites para o passo de tempo a utilizar no modo interno, impostos pelas condições de difusão horizontal da quantidade de movimento, de escalares e pelos termos de Coriolis, não sendo estes, todavia, tão restritivos como os que são obtidos pelas expressões anteriormente apresentadas. A sequência de cálculo no programa POM encontra-se representada pelo fluxograma da Figura 4.1, onde se indicam as principais subrotinas de cálculo. No programa principal é efectuada a inicialização de todas as variáveis e parâmetros, sendo ainda estabelecidas as condições iniciais. Segue-se o ciclo de integração temporal correspondente ao modo interno. Para cada um dos ciclos de integração (II=1,IEND), a sequência dos cálculos é a seguinte: - Na subrotina ADVCT são calculados os termos advectivos e os termos relativos à difusão horizontal das componentes horizontais da velocidade. Os termos calculados 146

25 4.3 Modelos hidrodinâmicos são integrados na vertical e posteriormente utilizados no início dos ciclos de integração do modo externo. Estes termos são calculados em cada um dos ciclos do modo interno e actualizados durante o ciclo de integração do modo externo. Nesta subrotina são calculados a partir dos valores das velocidades médias (na vertical). A actualização não necessita de ser efectuada em todos os ciclos do modo externo. A subrotina ADVAVE, onde são calculados os termos similares no modo externo, poderá ser chamada em intervalos de tempo (múltiplos de t e ) previamente definidos, mantendo-se o cálculo estável. - Os cálculos dos integrais verticais (baroclínicos), envolvendo a massa volúmica, são realizados na subrotina BAROPG. - Segue-se o ciclo de integração associado ao modo externo, cuja sequência de cálculo será apresentada mais adiante, onde se calculam as velocidades médias (verticais) e as elevações da superfície livre, utilizando-se os valores da massa volúmica calculada no modo interno. O número de passos de integração neste ciclo é definido pelo quociente t i / t e (ISPLIT), que deverá ser um número inteiro. - As componentes horizontais da velocidade obtidas no modo interno são ajustadas de forma a que o integral vertical dessas componentes coincida com as médias temporais das componentes da velocidade calculadas no modo externo. - Na subrotina VERTVL é efectuada a integração da equação de continuidade, de forma a calcular a componente vertical da velocidade em coordenadas sigma. Esta velocidade vertical transformada é normal às superfícies definidas por coordenadas sigma constantes. Após este cálculo são estabelecidas as condições de fronteira para a componente vertical da velocidade, através de chamada à subrotina BCOND. - A subrotina ADVQ calcula a Eq para as quantidades q e q l do sub-modelo de turbulência utilizado para a quantificação dos coeficientes de difusão verticais. Na subrotina PROFQ é resolvida a Eq para as mesmas quantidades, efectuando-se 147

26 Capítulo 4 seguidamente a quantificação das condições de fronteira, na subrotina BCOND, para as grandezas do modelo de turbulência. - Os cálculos que se seguem, referentes aos escalares temperatura e salinidade, são efectuados nas subrotinas ADVT (resolução da Eq. 4.14) e PROFT (resolução da Eq. 4.15). As condições de fronteira para as grandezas anteriores são mais uma vez estabelecidas na subrotina BCOND. - Finalmente, são chamadas as subrotinas ADVU e ADVV, onde se efectuam os cálculos dos termos advectivos (incluindo ainda os termos de Coriolis e de curvatura) e de difusão horizontal da velocidade, e as subrotinas PROFU e PROFV onde se calculam os termos relativos à difusão vertical. Na subrotina BCOND são definidas as condições de fronteira das componentes horizontais da velocidade no modo interno. O modo externo apresenta a seguinte sequência de cálculos: - Inicia-se com o cálculo das elevações da superfície livre, sendo posteriormente definidas as condições de fronteira relativas a esta variável, calculadas na subrotina BCOND. - Os termos advectivos, juntamente com os termos de difusão horizontal calculados a partir das velocidades médias horizontais, são actualizados na subrotina ADVAVE em intervalos de tempo múltiplos do passo de integração do modo externo, como foi referido anteriormente. - Segue-se o cálculo das velocidades médias horizontais e das correspondentes médias temporais. - O ciclo de cálculos do modo externo finaliza com a definição das condições de fronteira relativas às velocidades médias na subrotina BCOND. O programa é finalizado após a escrita de resultados. 148

27 4.3 Modelos hidrodinâmicos INÍCIO DEFINIÇÃO DE PARÂMETROS MALHA CONDIÇÕES INICIAIS CICLO MODO INTERNO II=1, IEND ADVCT BAROPG -Adv. e difusão: u e v -Massa volúmica CICLO MODO EXTERNO IE=1, ISPLIT ELEVAÇÃO DA SUPERFÍCIE LIVRE RESULTADOS AJUSTA u e v (Integral vertical de u e v = média da velocidade do modo externo) BCOND(1) -Cond. fronteira: Elevação da superfície livre FIM VERTVL BCOND(5) -Vel. vertical (s) -Cond. fronteira: w ADVAVE -Adv. e difusão: U e V ADVQ(Q) ADVQ(QL) PROFQ BCOND(6) -Adv. e dif. hor.: Q e QL -Dif. vert.:q,ql -Cond. fronteira Q e QL VELOCIDADES U E V ADVT(T) ADVT(S) PROFT(T) PROFT(S) BCOND(4) -Adv. e dif. hor.:t -Adv. e dif. hor.:s -Dif. vert.:t -Dif. vert.:s -Cond. front.: T,S MÉDIAS TEMPORAIS DE U E V ADVU ADVV PROFU PROFV BCOND(3) -Adv. e dif. hor.:u -Adv. e dif. hor.:v -Dif. vert.:u -Dif. vert.:v -Cond. front.: u,v BCOND() -Cond. fronteira: U e V Figura 4.1 Fluxograma do algoritmo do programa POM (adaptado de Mellor, 1998). 149

28 Capítulo Exemplos de aplicação Uma das dificuldades de utilização do programa POM, em aplicações reais, prende-se com a preparação de dados e a análise de resultados. A malha de diferenças finitas, os parâmetros relativos a cada um dos modelos, assim como as respectivas condições de fronteira, deverão ser directamente definidos no código FORTRAN. Existem, no entanto, algumas ferramentas desenvolvidas em ambiente MATLAB que auxiliam a execução das tarefas atrás mencionadas. Para a geração da malha de diferenças finitas poderá utilizar-se o programa GRIDGEN. A sequência de preparação da malha de diferenças finitas, para a aplicação do programa à Foz do Rio Douro, é ilustrada na Figura Numa primeira fase deverão ser definidas duas matrizes: uma com um conteúdo correspondente às coordenadas dos pontos da linha de costa e a outra com as coordenadas dos pontos que permitam definir a batimetria da região a modelar. Estes dados são guardados num formato adequado para posterior leitura em ambiente MATLAB (o contorno é definido pela linha azul da Figura 4.13-b) e a batimetria é conhecida no interior do rectângulo representado na mesma figura). Seguidamente define-se o contorno da malha e o número de divisões segundo cada uma das direcções (Figura c), d)). O programa permite ainda adaptar o espaçamento de forma a criar zonas em que a malha se apresente mais refinada (Figura 4.13 e)). Finalmente, o programa determina, por interpolação da batimetria fornecida, a profundidade em cada um dos nós e define um ponteiro que indica se os pontos se localizam na água ou em terra (Figura 4.13-f)). A informação com a geometria da malha é guardada num ficheiro que poderá ser lida posteriormente no programa POM. O pós-processamento de resultados poderá ser efectuado utilizando-se duas ferramentas distintas: o programa SMS e o programa CSLICE. Foram desenvolvidos alguns programas utilitários para permitir efectuar a análise de resultados através do programa SMS. Na Figura 4.14 apresentam-se alguns resultados relativos ao modelo da Foz do Rio Douro. 150

29 4.3 Modelos hidrodinâmicos a) Foz do Rio Douro b) Linha de costa e batimetria c) Contorno da malha d) Malha de DF e) Adaptação dos espaçamentos f) Profundidades nos nós da malha Figura 4.13 Geração de malhas de diferenças finitas Programa GRIDGEN. 151

30 Capítulo 4 Velocidades Enchente (camada superficial) Velocidades Vazante (camada superficial) Velocidades Enchente (corte vertical) Velocidades Vazante (corte vertical) Figura 4.14 Resultados do programa POM processados pelo programa SMS. O programa CSLICE permite efectuar a representação em planta e em cortes verticais das variáveis escalares e efectua também a representação dos campos vectoriais em planos horizontais. Para utilização deste pós-processador, o programa POM sofreu os desenvolvimentos necessários de forma a que os resultados sejam guardados num formato que permita a sua leitura no programa CSLICE. Na Figura 4.15, apresentam-se alguns dos resultados de velocidades para diferentes profundidades num caso de teste (é 15

31 4.3 Modelos hidrodinâmicos considerado um canal rectangular de fundo plano, com um escoamento no sentido Oeste-Este). Profundidade: 1,0 m Profundidade:50,0 m Profundidade:57,5 m Profundidade:59,5 m Figura 4.15 Representação da velocidade a diferentes profundidades num canal de fundo plano obtida com o programa CSLICE. Esta ferramenta de pós-processamento apresenta contudo, algumas limitações, pelo que se optou por efectuar o tratamento de resultados no programa SMS, tendo sido, como foi referido, desenvolvidas as ferramentas necessárias de interface entre os dois programas Avaliação comparativa de desempenho dos programas RMA e TELEMACD Tendo como objectivos a selecção do programa de hidrodinâmica a aplicar na modelação de problemas DH e a validação do programa RMA (o programa TELEMACD tem sido aplicado com sucesso a diversos casos de estudo com condições hidrodinâmicas muito distintas), procedeu-se a uma análise comparativa de desempenho dos dois programas. Para tal, recorreu-se à simulação de um caso de teste que, para condições de fronteira específicas e admitindo-se diversas hipóteses simplificativas, 153

32 Capítulo 4 apresenta uma solução analítica conhecida. Posteriormente, procede-se à comparação da solução analítica com as soluções numéricas obtidas pelos dois programas Caracterização do caso de teste - bacia rectangular fechada numa extremidade Pretendeu-se determinar as elevações e o campo de velocidades resultante numa bacia rectangular fechada numa das extremidades e sujeita a uma elevação da superfície livre (função periódica) na extremidade oposta, conforme se apresenta na Figura x=0 Nó Oeste Nó intermédio Nó Este Planta a η = a cos ( ω t ) h=5,0 m T= 1000 s, a = 0,1 m Lb= 800,0 m Alçado Figura Geometria da bacia rectangular - caso de teste. A solução analítica deste problema poderá ser obtida, desde que se verifiquem as seguintes condições: - A amplitude da onda seja pequena quando comparada com a profundidade; - A profundidade seja pequena em relação ao comprimento de onda (profundidade/comprimento de onda < 0,05); 154

33 4.3 Modelos hidrodinâmicos - As acelerações verticais sejam desprezáveis e, portanto, a distribuição de pressões possa ser considerada hidrostática; - As forças de atrito internas e superficiais, assim como as acelerações de Coriolis e de inércia convectivas, sejam desprezáveis. Nestas condições, as equações da quantidade de movimento e da continuidade poderão ser escritas da seguinte forma, admitindo que o movimento ocorre apenas segundo a direcção x: ( h + η) t u + g t u + h = 0 x ( h + η) x = 0 (4.19) (4.0) A solução analítica do sistema de equações anterior é dada por: ( kx) ( klb) cos η = a cos t + cos ( kx) ( klb) [ ω( α )] (4.1) ac sin (4.) u = sin[ ω ( t +α) ] h cos com as seguintes condições: u = 0 para t = 0 (4.3) ( ωt) para x = Lb η = a cos (4.4) onde, η a T ω é a elevação da superfície livre [m]; é a amplitude da função periódica na fronteira aberta [m]; é o período da função periódica na fronteira aberta [s]; = π T é a frequência angular da função periódica na fronteira aberta [s -1 ]; c = gh é a celeridade [m s -1 ]; 155

34 Capítulo 4 k = ω c é o número de onda [m -1 ]; α é o atraso da função periódica [s]; h é a profundidade da água em equilíbrio [m] Condições de simulação Para se conseguir uma aproximação razoável entre as condições impostas para a obtenção da solução analítica e as condições em que se obtêm as soluções numéricas, foram considerados coeficientes de viscosidade nulos ou muito pequenos. Adicionalmente poder-se-iam, no caso do programa TELEMACD, desprezar os termos convectivos (este programa tem como opção a consideração ou não de vários conjuntos de parcelas que figuram nas equações a resolver). Esta possibilidade não é no entanto considerada razoável, já que não é possível linearizar simultaneamente a equação da continuidade. Por outro lado, desta forma, são resolvidos os mesmos modelos matemáticos pelos dois programas em análise. Salienta-se ainda o facto de a amplitude adoptada para a função periódica da fronteira aberta ser pequena, o que diminui a importância dos termos de aceleração convectiva do modelo global. Uma vez que não é possível utilizar o mesmo tipo de elemento nos dois modelos optouse pela discretização do domínio em elementos quadrangulares de dimensões semelhantes. A diferença na discretização implicará necessariamente a obtenção de resultados ligeiramente diferentes. Apresentam-se na Figura 4.17 as malhas de elementos finitos correspondentes à discretização do domínio em análise para cada um dos programas. Os cálculos para obtenção da solução numérica em cada um dos dois programas analisados, foram efectuados a partir da situação de repouso (condições iniciais: cota da superfície livre constante e velocidades nulas em todo o domínio). Nestas condições pode avaliar-se o efeito das condições iniciais no desenvolvimento do cálculo. O período de simulação considerado em cada um dos programas tem uma duração que permite ultrapassar a situação transitória. O valor da amplitude considerada para a função periódica imposta na extremidade aberta da bacia foi de 0,1 m e o período 1000 s. O passo de tempo 156

35 4.3 Modelos hidrodinâmicos adoptado nos dois programas foi de 5 s (a este intervalo de tempo correspondem valores do número de Courant inferiores a ). Malha de elementos finitos: Programa TELEMACD ELEMENTOS: 16 NÓS: 7 Nó Oeste Nó Intermédio Nó Este Malha de elementos finitos: Programa RMA ELEMENTOS: 16 NÓS: 69 Nó Oeste Nó Intermédio Nó Este Figura Malhas de elementos finitos da bacia rectangular caso de teste Análise de resultados Os resultados obtidos para as elevações da superfície livre no nó Oeste são apresentados na Figura Estes resultados correspondem às elevações obtidas entre os s e os s do tempo de cálculo. Pode considerar-se que a solução numérica obtida pelos dois modelos apresenta uma aproximação razoável à solução analítica. As assimetrias existentes revelam a influência dos termos não lineares considerados nas equações dos modelos numéricos. Estas assimetrias são ainda mais visíveis nos resultados que se apresentam na Figura 4.19, para os módulos das velocidades no nó Este. Embora não seja muito significativa a diferença de resultados obtidos entre os dois programas, o melhor desempenho revelado pelo programa RMA prende-se com o facto de utilizar elementos de 8 nós. Esta diferença no tipo de funções de forma utilizadas em cada um dos modelos implica um custo adicional em termos de tempo gasto no cálculo (tempo de CPU), que poderá ser significativamente mais elevado no caso do programa RMA. Neste exemplo, com um número de elementos baixo (16), a diferença não é muito significativa; contudo esta diferença acentuar-se-á no caso de problemas de maior dimensão. 157

36 Capítulo 4 Elevação (m) Prog. TELEMACD 0,0 0,15 0,10 0,05 0,00-0,05-0,10-0,15-0, Tempo (s) Elevações - solução numérica Elevações - solução analítica Elevação (m) Programa RMA 0,0 0,15 0,10 0,05 0,00-0,05-0,10-0,15-0, Tempo (s) Elevações - solução numérica Elevações - solução analítica Figura 4.18 Elevações da superfície livre (Nó Oeste) Resultados Módulo da velocidade (m/s) 0,5 Programa TELEMACD 0,0 0,15 0,10 0,05 0, Tempo (s) Velocidade - solução numérica Velocidade - solução analítica Módulo da velocidade (m/s) 0,5 Programa RMA 0,0 0,15 0,10 0,05 0, Tempo (s) Velocidade - solução numérica Velocidade - solução analítica Figura Módulos das velocidades (nó Este)- Resultados 158

37 4.3 Modelos hidrodinâmicos Os resultados apresentados anteriormente foram obtidos, como foi referido, impondo como condição de fronteira a função representada pela Eq Trata-se portanto de uma função dinâmica imposta em termos de elevações da superfície livre. Procedeu-se ainda à resolução do mesmo problema por ambos os programas impondo uma condição de fronteira em termos de velocidades, expressa pela Eq. 4. com x=lb, ou seja: ac u = tan h ( klb) ) sen[ ω ( t + α) ] para x = Lb (4.5) Elevação (m) Programa TELEMACD 0,0 0,15 0,10 0,05 0,00-0,05-0,10-0,15-0, Tempo (s) Elevações - solução numérica Elevações - solução analítica Elevação(m) Programa RMA 0,0 0,15 0,10 0,05 0,00-0,05-0,10-0,15-0, Tempo (s) Elevações - solução numérica Elevações - solução analítica Figura Elevações (nó Oeste)- Resultados 159

38 Capítulo 4 Nas Figuras 4.0 e 4.1 apresentam-se os resultados das elevações no nó Oeste e de módulos das velocidades no nó intermédio para um período com início no repouso e de duração igual a 6000 s. Estes evidenciam uma rápida convergência para a solução estacionária e uma melhor aproximação à solução analítica, quer em termos de elevações da superfície livre quer em termos de velocidades. Módulo da velocidade (m/s) 0,150 Programa TELEMACD 0,15 0,100 0,075 0,050 0,05 0, Tempo (s) Velocidades - solução numérica Velocidades - solução analítica Módulo da velocidade (m/s) 0,150 Programa RMA 0,15 0,100 0,075 0,050 0,05 0, Tempo (s) Velocidades - solução numérica Velocidades - solução analítica Figura Módulos das velocidades (nó Intermédio)- Resultados 160

39 4.3 Modelos hidrodinâmicos Desenvolvimento do módulo hidrodinâmico do programa POM Neste ponto procede-se a uma análise de desempenho do programa POM na simulação do caso de teste apresentado no ponto anterior e apresenta-se um desenvolvimento do programa que consiste na inclusão da possibilidade de cálculo do modo externo pelo método dos elementos finitos (programa RMA). Caracterizam-se os desenvolvimentos efectuados no programa original, avaliam-se as condições em que tal substituição se poderá justificar e quantificam-se os custos que acarreta em termos de tempo de cálculo Modelos numéricos considerados na análise comparativa Conforme se constatou através da análise efectuada no ponto anterior, num modelo hidrodinâmico, as condições de fronteira a impor em fronteiras artificiais abertas deverão ser preferencialmente definidas em termos das componentes da velocidade. No entanto, na generalidade dos problemas reais, é habitual encontrarem-se apenas disponíveis as elevações da superfície livre (podendo ser facilmente quantificadas através da utilização de modelos desenvolvidos com base em observações efectuadas a partir de satélites), sendo mais raros aqueles em que se dispõem simultaneamente, de medições da velocidade. Assim, o desempenho de um determinado modelo dependerá, entre outros factores, do desempenho do programa quando as referidas condições de fronteira são impostas em termos de elevações da superfície livre. Tendo como objectivo a avaliação do desempenho do modo externo do programa POM, para as condições de fronteira impostas em termos de elevações da superfície livre (ver Eq. 4.4), procedeu-se a uma análise comparativa correspondente ao caso de teste caracterizado na Figura 4.16, considerando um modelo implementado no programa POM e outro modelo numérico implementado no programa RMA. Na implementação do modelo no programa POM foi considerada uma malha de diferenças finitas com espaçamento constante, segundo as duas direcções horizontais, igual a 5,0 m. A malha de elementos finitos utilizada no programa RMA é constituída por 56 elementos quadrangulares de oito nós (Figura 4.). As simulações foram efectuadas utilizando-se um passo de tempo de 1,0 s no programa POM (para cumprimento da limitação de CFL, expressa pela Eq. 4.17) e um passo de tempo de 5 s no caso do programa RMA. Foi 161

40 Capítulo 4 considerada nos dois modelos a situação inicial de repouso e um intervalo de integração com uma duração de, aproximadamente, 6 períodos da função periódica imposta na fronteira. JM=11 Nó Oeste Nó intermédio Nó Este Lb=800 m IM=35 Nº DE ELEMENTOS: 56 Nº DE NÓS: 849 Nó Oeste Nó intermédio Nó Este Lb=800 m Figura 4. Malhas utilizadas na implementação dos modelos no programa POM e no programa RMA - caso de teste Análise dos resultados obtidos pelos programas RMA e POM no caso de teste Os diversos resultados obtidos nas simulações efectuadas pelos dois modelos evidenciam um melhor desempenho do programa RMA relativamente ao programa POM (modo externo) (Figura 4.3). Comparando os somatórios das diferenças (módulo) entre as velocidades obtidas pelos modelos numéricos e a solução analítica, este somatório reduz-se em cerca de 30% no caso do programa RMA, durante o período de simulação considerado (6000 s). O modelo implementado neste último programa apresenta ainda um menor período de transição entre a situação inicial (repouso) e a situação não transiente. 16

41 4.3 Modelos hidrodinâmicos U (m/s) 0,15 POM (modo externo) - Nó intermédio 0,1 0, ,05-0,1-0,15 Tempo (s) Solução numérica Solução analítica U (m/s) 0,15 RMA - Nó intermédio 0,1 0, ,05-0,1-0,15 Tempo (s) Solução numérica Solução analítica h (m) 0,15 POM (modo externo) - Nó intermédio 0,1 0, ,05-0,1-0,15 Tempo (s) Solução analítica Solução numérica h (m) 0,15 RMA - Nó intermédio 0,1 0, ,05-0,1-0,15 Tempo (s) Solução analítica Solução numérica Figura 4.3 Soluções numéricas e solução analítica para o nó intermédio do caso de teste. 163

42 Capítulo 4 Salienta-se, no entanto, que os resultados anteriores foram obtidos impondo-se como condições de fronteira as elevações na superfície livre. Os resultados poderão ser significativamente melhorados (como foi evidenciado pelos resultados apresentados na análise comparativa efectuada entre os programas TELEMACD e RMA, apresentada anteriormente) em modelos em que se conheçam as leis de variação da velocidade nas fronteiras. Na Figura 4.4 apresentam-se os resultados numéricos, para o mesmo caso de teste, numa simulação efectuada com o modelo implementado no programa POM (modo externo) mas em que a condição de fronteira imposta é baseada numa condição de radiação da forma: U(m/s) POM (modo externo) - Nó intermédio 0,100 0,075 0,050 0,05 0,000-0,05-0,050-0,075-0, Tempo (s) Solução numérica Solução analítica h (m) POM (modo externo) - Nó intermédio 0,15 0,10 0,05 0,00-0, ,10-0,15 Tempo (s) Solução numérica Solução analítica Figura 4.4 Soluções numérica e analítica para a elevação e velocidade no nó intermédio do caso de teste. 164

43 4.3 Modelos hidrodinâmicos ( U *,η * ) hu ghη = fr (4.6) em que ( U *,η * ) fr é uma função estabelecida a partir dos valores conhecidos das elevações e das velocidades na fronteira. Os resultados da solução numérica apresentam-se praticamente coincidentes com os resultados da solução analítica sendo muito mais curto o período de transição entre a situação de repouso e a situação estável. O melhor desempenho do programa RMA na determinação das componentes horizontais da velocidade média e das elevações da superfície livre, evidenciado quer pelos resultados anteriormente apresentados quer por outros de simulações efectuadas em diferentes modelos, motivaram o desenvolvimento de uma versão do programa POM (denominada daqui em diante de POM-UMH) em que a determinação das variáveis do modo externo é efectuada a partir do método de cálculo implementado no programa RMA Tempos de cálculo nos programas POM e RMA Antes de se proceder à caracterização dos desenvolvimentos efectuados no programa POM, procurou-se avaliar os custos computacionais que a substituição do método de cálculo do modo externo original pelo método dos elementos finitos apresenta em termos de tempo de cálculo (tempo CPU). O tempo de cálculo no programa POM dispendido na realização de uma determinada simulação depende essencialmente do hardware utilizado e dos passos de tempo definidos no modo externo e no modo interno (limitados superiormente pelas condições expressas pelas equações 4.17 e 4.18, respectivamente). Os tempos de cálculo abaixo apresentados referem-se a versões dos programas compilados num computador pessoal (PC) com um processador Pentium 500 Mhz. O passo de tempo do modo externo depende da resolução espacial horizontal da malha de diferenças finitas, da profundidade de água e da velocidade máxima do escoamento. No gráfico da Figura 4.5 apresentam-se diversas rectas que permitem analisar a variação do passo de tempo do modo externo para espaçamentos da malha entre 100 m e 1000 m, considerando-se uma velocidade máxima do escoamento de,0 165

44 Capítulo 4 m s -1. Como resulta da análise da CFL, os menores espaçamentos na malha e as regiões de maiores profundidades obrigam à utilização de passos de tempo mais restritivos. U max =,0 m/s 70 t e (s ) H=,0 m H=10,0 m 0 H=0,0 m H=50,0 m 10 H=100,0 m d x =d y (m) Figura 4.5 Passo de tempo do modo externo do programa POM em função da resolução da malha de DF e da profundidade da água. Fixada uma determinada resolução espacial é possível determinar o passo de tempo máximo a utilizar no modo interno. Os valores deste passo de tempo, para valores do espaçamento horizontal fixos, serão tanto menores quanto maiores forem os valores da celeridade das ondas internas (c) e da velocidade máxima da corrente (U max ), conforme se constata pela análise dos gráficos apresentados na Figura 4.6. Nestes gráficos representam-se as curvas de variação do quociente t i / t e com a profundidade, para diferentes valores de U max e c. Considera-se um espaçamento da malha igual segundo as direcções horizontais de 50 m. A quantificação dos tempos de cálculo foi realizada utilizando-se um caso de teste em que é considerada uma bacia rectangular (dimensões 30 km x 10 km) com um fundo plano apresentando uma profundidade de 0 m. Foram considerados diferentes modelos do caso de teste em que se variou a resolução espacial (horizontal e vertical). No caso do modo externo do programa POM consideraram-se diferentes malhas de DF com 166

45 4.3 Modelos hidrodinâmicos espaçamentos constantes segundo as duas direcções de 50 m, 300 m, 350 m, 400 m, 500 m e 750 m. Nos modelos implementados no programa RMA foram consideradas malhas de elementos finitos com idênticas resoluções. U max = 1 m/s 50 c=0, m/s t i / t e c=0,5 m/s c=1,0 m/s c=,0 m/s H (m) 50 C c = 1 m/s 40 t i / t e U max =0,1 m/s U max =0,5 m/s U max =,0 m/s U max =5,0 m/s H (m) Figura 4.6 Quociente t i / t e em função da profundidade da água para diversos valores de c e de U max. 167

46 Capítulo 4 Estabelecidas as características das malhas foram quantificados os passos de tempo t i e t e limitados pelas condições de CFL a utilizar em cada um dos modelos. O passo de tempo utilizado no programa RMA foi considerado igual a t i. Embora este programa não apresente um limite para o passo de tempo decorrente do método numérico nele implementado (o método é implícito) no caso da sua utilização para substituição do modo externo do programa POM, o passo de tempo deverá respeitar a condição de CFL associada ao modo interno. No Quadro 4. apresentam-se as principais características de cada um dos modelos (espaçamentos das malhas, passos de tempo t i e t e e número de divisões IM e JM das malhas) e os tempos de cálculo correspondentes a um dia de integração. Quadro 4. Tempos de cálculo do programa RMA e do modo externo do programa POM para diferentes resoluções espaciais. d x =d y Dt e Dt i IM JM Tempo de cálculo Modo externo POM Tempo de cálculo RMA (m) (s) (s) (min)/dia integração (min)/dia integração 50 4,0 80, ,0 10, ,0 10, ,0 48, ,5 150, ,0 0, ,0 180,0 76 6,0 1, ,0 00, ,4 6, ,0 300, ,5,0 O programa RMA revela-se mais dispendioso (como seria de esperar, dadas as características dos métodos numéricos envolvidos), demorando de quatro a aproximadamente oito vezes mais tempo que o modo externo do programa POM quando o espaçamento da malha se reduz de 750 m para 50 m. Quantificados os tempos de cálculo do modo externo do programa POM e do programa RMA, interessa avaliar o agravamento que a substituição em análise provoca no tempo de cálculo do programa POM (modelos tridimensionais). Para tal, implementaram-se diversos modelos, para o mesmo caso de teste apresentado anteriormente, com diferentes resoluções espaciais. Nas direcções horizontais foram considerados espaçamentos das malhas de 50 m e de 500 m. Na direcção vertical foram consideradas 168

47 4.3 Modelos hidrodinâmicos cinco resoluções:, 4, 6, 10 e 0 camadas (correspondentes a valores de KB iguais a 3, 5, 7, 11, e 1, respectivamente). O modo interno, mais exigente em termos de esforço computacional, apresenta tempos de cálculo crescentes com o número de camadas considerado. No Quadro 4.3 apresentam-se os tempos de cálculo do programa POM e os valores estimados para o tempo de cálculo esperado para o programa POM-UMH tendo por base os valores apresentados no Quadro 4.. A estimativa foi realizada considerando-se os tempos obtidos com os modelos implementados no programa POM subtraídos do tempo de cálculo do modelo correspondente ao modo externo (POM) e adicionados dos tempos de cálculo obtidos com o programa RMA. Quadro 4.3 Tempos de cálculo dos programas POM e POM-UMH para diferentes resoluções espaciais. KB d x =d y =50 m d x =d y =500 m Tempo de cálculo Tempo de cálculo Tempo de cálculo Tempo de cálculo POM (1) POM-UMH () [()-(1)]/(1) POM (3) POM-UMH (4) [(4)-(3)]/(3) (min)/dia integração (min)/dia integração (min)/dia integração (min)/dia integração 3 4,0 18,0 4,33,6 7, 1, ,0 15,0,17 4,0 8,6 1, ,0 168,0 1,63 7,0 11,6 0, ,0 1,0 0,96 1,0 16,6 0, ,0 374,0 0,39 4,0 8,6 0,19 A substituição do método de cálculo do modo externo do programa POM pelo método utilizado no programa RMA apresenta agravamentos nos tempos de cálculo que variam entre 19,0%, para espaçamentos horizontais das malhas de 500 m e um número de 0 camadas na direcção vertical, a quase quintuplicando para espaçamentos de malhas de 50 m e considerando duas camadas segundo a direcção vertical. Um dos procedimentos (aparecendo como consequência dos resultados apresentados nos quadros anteriores) que poderá ser adoptado com o objectivo de diminuir os agravamentos nos tempos de cálculo, ou mesmo conseguir a redução do tempo de cálculo relativamente aos tempos associados à versão original do programa, será o de utilizar malhas de elementos finitos com resolução inferior à utilizada na malha de diferenças finitas. Neste caso, as variáveis do modo externo necessárias em pontos da 169

48 Capítulo 4 malha de diferenças finitas durante os cálculos do modo interno poderiam ser obtidas por interpolação dos valores obtidos na malha de elementos finitos. A adopção deste procedimento conduziria, no caso de se utilizar um espaçamento de 500 m no modo externo, um espaçamento de 50 m no modo interno e considerando um modelo com 10 camadas (KB=11), a um tempo de cálculo no programa POM-UMH da ordem de 100 min/dia integração. Na versão do programa POM-UMH implementada optou-se, no entanto, por considerar que as malhas utilizadas apresentam sempre resoluções horizontais idênticas em ambas as direcções Programa POM-UMH Como já foi referido anteriormente, o programa POM-UMH, corresponde a um desenvolvimento numérico cuja formulação matemática de base é idêntica à do programa POM, mas em que o modo externo é calculado de acordo com a metodologia utilizada no programa RMA. A versão do presente programa é válida para aplicações em que os termos baroclínicos (envolvendo gradientes verticais de massa volúmica) e os termos dispersivos (G x e G y ) nas equações de conservação da quantidade de movimento integradas na vertical possam ser desprezados. Na Figura 4.7 apresenta-se o fluxograma do programa onde se incluem as etapas fundamentais do cálculo. Relativamente ao modo externo são consideradas as duas opções de cálculo (ME=1 ou ). Este modo é chamado em todos os ciclos do modo interno e apresenta as seguintes principais fases de cálculo: - Leitura das condições impostas nas fronteiras abertas; - Cálculo das componentes da velocidade média e das profundidades de água para o instante corrente, segundo o método não linear de discretização temporal adoptado, a partir dos valores calculados no instante anterior e utilizando os valores das derivadas temporais das variáveis; - Ciclo iterativo (método de Newton-Raphson) para a determinação das variáveis nos nós da malha de elementos finitos. O sistema de equações é formado e resolvido nas subrotinas LOAD e FRONT. Segue-se a aplicação das correcções determinadas, a actualização das derivadas temporais e a verificação do critério de convergência (definido a partir da variação da profundidade). 170

49 4.3 Modelos hidrodinâmicos O passo de tempo utilizado ( t i ), cujo valor resulta da verificação da condição de CFL para o modo interno, é o mesmo para os dois modos. INÍCIO DEFINIÇÃO DE PARÂMETROS MALHA DF CONDIÇÕES INICIAIS ADVCT BAROPG -Adv. e difusão: u e v -Massa volúmica ME= SE ME= MALHA EF ME=? ME=1 CICLO MODO EXTERNO IE=1, ISPLIT CICLO MODO INTERNO II=1, IEND MODO EXTERNO POM (ver Figura 4.1) RESULTADOS AJUSTA u e v (Integral vertical de u e v = média da velocidade do modo externo) PREHYD -Cond. fronteira: U, V, SL FIM VERTVL BCOND(5) -Vel. vertical (s) -Cond. fronteira: w VELOCIDADES U e V PROFUNDIDADES ADVQ(Q) ADVQ(QL) PROFQ BCOND(6) -Adv. e dif. hor.: Q e QL -Dif. vert.:q,ql -Cond. fronteira Q e QL CICLO PROCESSO ITERATIVO ADVT(T) ADVT(S) PROFT(T) PROFT(S) BCOND(4) ADVU ADVV PROFU PROFV BCOND(3) -Adv. e dif. hor.:t -Adv. e dif. hor.:s -Dif. vert.:t -Dif. vert.:s -Cond. front.: T,S -Adv. e dif. hor.:u -Adv. e dif. hor.:v -Dif. vert.:u -Dif. vert.:v -Cond. front.: u,v LOAD FRONT - Sistema de equações CORRECÇÕES DERIVADAS TEMPORAIS CONVERGÊNCIA Figura 4.7 Fluxograma do algoritmo do programa POM-UMH. Na quantificação das tensões no fundo e na superfície livre são adoptadas formulações semelhantes no modo interno e no modo externo. As médias verticais dos valores dos coeficientes de viscosidade determinados no modo interno, tal como os valores das tensões no fundo, são fornecidos ao modo externo, em cada um dos passos de 171

50 Capítulo 4 integração. A transferência dos valores das variáveis entre as duas malhas utilizadas é efectuada, na presente versão do modelo, através da definição de ponteiros que permitem associar a localização dos nós da malha de elementos finitos com as células da malha de diferenças finitas Exemplos de aplicação O programa POM-UMH foi verificado utilizando diversos casos de teste com condições de fronteira bem determinadas e com geometrias simplificadas. Um dos casos de teste desenvolvido refere-se a um escoamento com profundidade constante (5,0 m) numa faixa de um canal de fundo plano e com uma inclinação igual a 0,1. Nestas condições, a velocidade média do escoamento tridimensional deverá coincidir com a velocidade média obtida a partir da fórmula de Manning-Strickler (considerou-se um coeficiente de 0 m 1/3 s -1 ). Os coeficientes de atrito no fundo foram definidos de forma a que a superfície livre do escoamento fosse paralela ao fundo, verificando-se assim as condições de um escoamento uniforme. Na Figura 4.8 apresenta-se o perfil vertical de velocidade (foram consideradas 0 camadas no cálculo tridimensional) numa secção P do domínio rectangular em planta (1000 m x 100 m) modelado com o programa POM-UMH. Os resultados obtidos noutros pontos do domínio são semelhantes aos que se apresentam na figura anterior. A velocidade média obtida é de 0,58 m s -1. Planta Profundidade (m) Secção P 100 m P m i 1000 m Perfil longitudinal i=0,1 K M-Strickler =0 m 1/3 s U (m/s) Figura 4.8 Exemplo de aplicação do programa POM-UMH: canal de fundo plano. 17

51 4.3 Modelos hidrodinâmicos Alguns dos modelos de sistemas reais poderão ser criados com sucesso admitindo-se a hipótese de homogeneidade vertical. Nestes casos, um modelo bidimensional (DH), menos exigente em termos computacionais, poderá ser suficiente para a caracterização das correntes na generalidade do domínio. Em zonas em que, devido à existência de alguma singularidade, seja necessária a quantificação das três componentes da velocidade, poderá ser construído um modelo tridimensional cujo domínio corresponda a uma sub-região da zona a estudar. No segundo exemplo, em que se procede à simulação do escoamento em duas bacias ligadas por um canal, ilustram-se as potencialidades do programa POM-UMH na construção de modelos em que seja necessária a caracterização tridimensional em sub-regiões do domínio. Considera-se que a fronteira Oeste da bacia da esquerda (Figura 4.9) é uma fronteira aberta, na qual são impostas as elevações da superfície livre. Estas são quantificadas considerando que se trata de uma onda sinusoidal de amplitude 1,0 m e com um período de 15 min. x [m] 500 N W E 000 S Profundidade (m) 1,0 0,0 19,0 18,0 17,0 16, ,0 14,0 13,0 1, y [m] ,0 Figura 4.9 Exemplo de aplicação do programa POM-UMH: bacias ligadas por um canal. 173

52 Capítulo 4 Na bacia da direita existe uma elevação do fundo. Nesta região é considerado um modelo tridimensional por forma a que seja possível a quantificação do campo de velocidades tridimensional. Na Figura 4.30 apresenta-se a malha de elementos finitos em que foi discretizado o domínio, destacando-se a zona em que é utilizado um modelo tridimensional cuja malha de diferenças finitas é constituída por 9 células em cada uma das direcções horizontais e 0 camadas segundo a direcção vertical. x[m] 500 N W E 000 S y [m] 3000 Figura 4.30 Exemplo de aplicação do programa POM-UMH malha de elementos finitos. Os cálculos do modo interno são efectuados em cada passo de tempo numa malha que abrange a sub-região destacada na Figura 4.30, enquanto que o modo externo é calculado para o domínio total, fornecendo os valores das elevações da superfície livre na sub-região necessários para o cálculo tridimensional. Com o modelo apresentado, e para as condições de fronteira estabelecidas, é possível caracterizar o escoamento em termos bidimensionais em todo o domínio e conhecer o campo de velocidades tridimensional na região onde existe a elevação do fundo. 174

53 4.3 Modelos hidrodinâmicos Na Figura 4.31 apresentam-se alguns dos resultados obtidos durante uma simulação com uma duração de 30 minutos. Os resultados apresentados referem-se aos instantes em que ocorrem as velocidades máximas. y [m] 500 N y [m] 500 N W E W E 000 S 000 S m/s 1 m/s x [m] x [m] 3000 y [m] KB=10 y [m] KB= N 1500 N W E W E S S 0,1 m/s 0,1 m/s x [m] x [m] Figura 4.31 Exemplo de aplicação do programa POM-UMH campos de velocidades máximas instantâneas. Os resultados foram processados no programa SMS, depois de serem organizados em formatos compatíveis com este programa, utilizando-se para tal diversos programas desenvolvidos para o efeito. Nestes programas é efectuada a transformação da componente vertical da velocidade em coordenadas sigma para coordenadas cartesianas. Os resultados constantes da Figura 4.3 representam a projecção do campo de 175

54 Capítulo 4 velocidades em planos verticais (segundo alinhamentos Oeste-Este e Sul-Norte). Na direcção vertical é aplicado um factor de escala. H [m] J=5 0 W E 0 w=1 cm/s u=10 cm/s 000 x [m] 500 H [m] J=5 0 W E 0 w=1 cm/s u=10 cm/s 000 x [m] 500 H [m] I=5 0 S N 0 w=1 cm/s u=10 cm/s 1000 y [m] 1500 H [m] I=5 0 S N y [m] 1500 w=1 cm/s v=10 cm/s Figura 4.3 Exemplo de aplicação do programa POM-UMH - campos de velocidades máximas instantâneas em planos verticais. 176

55 4.4 Modelos de qualidade da água 4.4 Modelos de qualidade da água Para a modelação conjunta da hidrodinâmica e da qualidade da água em zonas costeiras é indispensável o desenvolvimento de uma estrutura comum que permita a resolução quer das equações que regem a física dos escoamentos nestas zonas (equação da continuidade e equações de conservação da quantidade de movimento), quer as equações de transporte de massa (em cada um dos processos são normalmente seleccionadas as variáveis consideradas preponderantes, estabelecendo-se as correspondentes equações para cada uma dessas variáveis) que permitem caracterizar a distribuição dinâmica de variáveis indicadoras do estado de qualidade da água (equações de advecção-difusão-reacção de substâncias dissolvidas na água). Se, relativamente às primeiras, as formulações matemáticas conhecidas actualmente são aceites de forma quase unânime (com excepção para os aspectos relacionados com a modelação da turbulência), a modelação dos processos biogeoquímicos apresenta-se muito menos consensual, dadas as simplificações efectuadas, sobretudo no que se refere à caracterização das reacções onde não existem normalmente leis universais para a sua definição. Assim, no estado actual de conhecimentos, o estabelecimento das leis que regem os processos a que determinadas substâncias estarão sujeitas em meio hídrico, deverá ser sempre questionada e se possível comprovada, com base em dados de campo disponíveis ou através de estudos desenvolvidos propositadamente com esse fim. Neste capítulo serão apresentados e caracterizados diferentes processos definidos tendo em vista o estudo e análise de cenários de qualidade da água com importância para as zonas costeiras. Procede-se à caracterização do programa RMA4, que utiliza as soluções hidrodinâmicas do programa RMA, para calcular as distribuições de substâncias conservativas e do programa PROCESSOS, que é utilizado na modelação de processos biogeoquímicos em condições hidrodinâmicas simplificadas. São ainda apresentados o programa RMA4-UMQ (DH), que constituí uma nova versão do programa RMA4 desenvolvida com o objectivo de modelar substâncias não 177

56 Capítulo 4 conservativas, e o programa POM-UMQ que permite a modelação física e biológica tridimensional de sistemas costeiros Caracterização de processos para avaliação da qualidade da água Os diferentes processos biogeoquímicos com interesse para o estudo das zonas costeiras apresentam uma diversidade muito grande, tendo-se optado neste trabalho por definir um quadro, o mais abrangente possível, relativo a problemas com interesse do ponto de vista da engenharia, e que engloba quer processos simples (como por exemplo a modelação de descargas acidentais de poluentes conservativos), quer processos de maior complexidade, como é o caso dos modelos de produção primária nas zonas costeiras Substâncias conservativas Nos processos envolvendo substâncias conservativas considera-se apenas o transporte de uma determinada substância no meio hídrico através de advecção e difusão. As descargas acidentais de poluentes em zonas costeiras são infelizmente uma realidade cada vez mais frequente. A avaliação das extensões e durações destas descargas poderá ser efectuada recorrendo-se a um modelo em que a descarga acidental é modelada por uma substância conservativa. A equação que permite determinar a distribuição dinâmica da concentração da substância (designada por B) é dada, em coordenadas cartesianas, por: B t B B B B B = u v w + Ah + + A x y z x y z B z (4.7) Para além das situações de descargas acidentais, estes modelos simples têm também interesse prático para a quantificação dos tempos de residência dos sistemas costeiros e para a análise do efeito de diferentes condições hidrodinâmicas nas condições de mistura desses sistemas. 178

57 4.4 Modelos de qualidade da água Substâncias não conservativas A generalidade dos elementos e substâncias nos meios marinhos apresentam reacções com outros elementos e/ou substâncias, resultando na sua transformação (diminuição ou aumento de concentração). Estes processos designam-se por processos de substâncias não conservativas. A contaminação bacteriana resultante de descargas de águas residuais domésticas em meio marinho, por exemplo, poderá ser modelada adoptando-se um decaimento de 1ª ordem. O comportamento de muitas outras substâncias (ou espécies) pode ser razoavelmente aproximado através da consideração de decaimentos ou crescimentos de 1ª ordem, tais como: carência bioquímica de oxigénio (CBO), algas, etc.. Os coeficientes (k B ) das leis de 1ª ordem deverão ser estabelecidos preferencialmente a partir dos dados de campo disponíveis ou de análises laboratoriais. Para fazer reflectir matematicamente este comportamento, o processo pode ser descrito pela Eq. 4.7 com a introdução do correspondente termo de crescimento/decaimento. No caso de uma lei de variação de 1ª ordem tem-se: B t B B B B B B (4.8) = u v w + Ah + + Az kbb x y z x y z Os coeficientes de muitas das reacções em condições naturais aumentam com a temperatura, podendo a dependência da temperatura ser considerada através de uma equação de correcção derivada da equação de Arrhenius. Assim, uma vez que é prático determinar os coeficientes a uma temperatura de 0 ºC, o valor dos coeficientes à temperatura ambiente (T) poderão ser calculados a partir da seguinte expressão: 0 T 0 B B T k = k θ (4.9) B em que θ B é o coeficiente de temperatura do constituinte bioquímico B. Aquele coeficiente apresenta normalmente valores constantes para cada um dos processos considerados. 179

58 Capítulo Oxigénio dissolvido O oxigénio dissolvido (OD) é um dos parâmetros ambientais mais utilizado para caracterizar a qualidade da água em sistemas hídricos. A zona costeira é frequentemente utilizada como local preferencial para a rejeição final de águas residuais (sujeitas ou não a tratamento). A análise do impacto provocado por estas descargas poderá ser efectuada quantificando-se os efeitos, em termos das variações das concentrações de oxigénio dissolvido na coluna de água, devidos à decomposição da matéria orgânica contida nos efluentes rejeitados. Os dois mecanismos primários que governam a distribuição da concentração de OD num meio hídrico que recebe efluentes são: decomposição da matéria orgânica (a matéria orgânica biodegradável presente num efluente é normalmente quantificada pela CBO, que representa a quantidade total de oxigénio necessário para se realizar a decomposição dessa matéria orgânica pela acção de micro-organismos aeróbios) e rearejamento (devido essencialmente à transferência de oxigénio realizada na coluna de água através da interface água-atmosfera, sendo tanto maior quanto maior for o deficit relativamente à concentração de saturação OS e da actividade fotosintética das algas presentes na coluna de água). Admitindo-se que as reacções envolvidas neste processo seguem leis de 1ª ordem, podem escrever-se as equações que definem o balanço de CBO (B CBO ) e OD (B OD ) na coluna de água, onde se omite a interacção da interface água-sedimento em termos de trocas de oxigénio: B t CBO B + Az z B = u x CBO k CBO d B B v y CBO CBO B w z CBO BCBO B (4.30) CBO + Ah + + x y B t OD B = u x k d B OD CBO B v y + k a OD B w z ( OS B ) OD OD BOD BOD B (4.31) OD + Ah + + Az x y z 180

59 4.4 Modelos de qualidade da água em que, k d é o coeficientes de desoxigenação [dia -1 ]; k a é o coeficiente de rearejamento [dia -1 ]. A quantificação de k d poderá ser efectuada em laboratório, existindo na literatura uma gama de valores e expressões (que são função das características hidrocinemáticas do sistema) permitindo a definição de um intervalo de variação para o seu valor. A quantificação do coeficiente de rearejamento apresenta maiores dificuldades e, na ausência de dados de campo suficientes, o recurso a expressões propostas por diversos autores constitui uma via possível para a sua quantificação. A dependência da temperatura poderá ser introduzida através de expressões do tipo representado pela Eq Cadeia alimentar O conhecimento das relações tróficas nos meios hídricos da zona costeira revela-se de importância crucial para o sucesso das políticas de gestão ambiental destes sistemas. De facto, como já foi referido no Capítulo, é nas zonas costeiras que crescem e se desenvolvem a quase totalidade dos recursos biológicos dos ecossistemas marinhos. O estudo das variações sazonais de produção primária, a influência dos factores ambientais nos ciclos produtivos, a introdução de substâncias tóxicas na cadeia alimentar e a influência dos regimes hidrodinâmicos nos ciclos produtivos são assuntos que têm vindo a ser investigados e onde a modelação matemática começa a tornar-se uma ferramenta muito valiosa. Na Figura 4.33 apresentam-se as variáveis de um modelo de cadeia alimentar e as correspondentes relações tróficas (representadas pelas linhas de ligação) que serão caracterizadas de seguida. 181

60 Capítulo 4 ZOOPLANCTON C. NITRATOS AMÓNIA ZOOPLANCTON H. CARBONO ORGÂNICO DISSOLVIDO CARBONO ORGÂNICO PARTICULADO ALGAS FÓSFORO Figura 4.33 Cadeia alimentar Cinética processual. No Quadro 4.4 apresentam-se as variáveis consideradas no presente modelo, assim como os símbolos e as respectivas unidades utilizadas para a sua representação. Quadro 4.4 Cadeia alimentar: variáveis de estado Variável Símbolo Unidades Cadeia alimentar: 1. Algas a mg m -3. Zooplâncton herbívoro z h gc m Zooplâncton carnívoro z c gc m -3 Carbono orgânico: 4. Particulado c p gc m Dissolvido c d gc m -3 Nutrientes: 6. Amónia n a mgn m Nitratos n n mgn m Fósforo solúvel p s mgp m -3 As algas, o carbono orgânico e os nutrientes poderão ser descritos pelas seguintes equações: Bi t Bi = u x i = 1,4,5,6,7,8 Bi v y ( w w ) sbi Bi z B + Ah x i B + y i + A z B z i + R i (4.3) 18

61 4.4 Modelos de qualidade da água em que w sbi representa a velocidade de sedimentação da espécie biológica i. Salienta-se que esta velocidade poderá ser considerada nula, com excepção das velocidades de sedimentação relativas às algas e carbono orgânico particulado. As parcelas R i, dizem respeito às reacções (transformação de constituintes). Utiliza-se o índice i para identificação de cada uma das variáveis utilizadas. As algas apresentam um crescimento que é função da temperatura, da concentração de nutrientes do meio hídrico e da radiação solar. O seu decaimento deve-se a perdas por respiração/excreção, predação e sedimentação. Pode-se então estabelecer a seguinte equação: R a ( T, n, p, I ) a k ( T ) a C ( T, a, z ) a = k (4.33) g t s ra gh h onde, k ( T n, p I ), é a taxa de crescimento das algas [dia -1 ]; g t s, k ra ( T ) é a taxa de respiração e excreção das algas [dia -1 ]; ( T a ) C,, é a taxa de predação das algas, [dia -1 ]; gh z h n t é o azoto total inorgânico [mgn m -3 ]; As taxas de crescimento e de predação dependem de diversos factores ambientais. Estas dependências poderão ser estabelecidas por relações funcionais. No Quadro 4.5 apresentam-se as relações funcionais mais comuns utilizadas em modelos de produção primária. 183

62 Capítulo 4 Quadro 4.5 Formas funcionais mais comuns de modelos de produção primária. Todas as formas são apresentadas como processos de decaimento da variável de estado X. Os parâmetros são: k, taxa de decaimento; k, constante de semi-saturação; I v, constante de Ivlev; X min, concentração de refúgio. Modelo de comportamento Constante Linear Rectilínea Michaelis-Menten Sigmoid Ivlev Ivlev com refúgio dx dt dx dt dx dt dx dt dx dt dx dt dx dt =... =... ( k)x ( kx )X Função dx =... ( kx )X ou =... ( k)x dt = kx ( k + X ) X kx = ( k + X ) X ( k( 1 { I X }) )X =... exp v ( k( 1 exp{ I ( X X )}) )X =... v min A dependência da taxa de crescimento de algas em relação à temperatura, intensidade de luz e disponibilidade de nutrientes, é dada pela relação: n k g, T 0 ( ) ( ) t s T, n = + + t, ps, I k g, 0θ a F I min ksn nt ksp ps p (4.34) em que, k g,0 é a taxa máxima de crescimento de algas [dia 1 ]; θ a F(I) é a factor de temperatura algas; é a função de dependência da intensidade de luz; 184

63 4.4 Modelos de qualidade da água k sn é a constante de semi-saturação azoto [mgn m -3 ]; k sp é a constante de semi-saturação fósforo [mgp m -3 ]. I intensidade da luz [w m - ] A quantificação do efeito da luz no crescimento de algas apresenta-se bastante complicada devido à necessidade de se integrar o efeito de diferentes factores, como sejam: a variação diurna da intensidade da luz, a atenuação da luz à medida que penetra na coluna de água e a dependência da taxa de crescimento em relação à intensidade da luz. Embora possa ser utilizada uma função do tipo Michaelis-Menten, a expressão de Steele é a mais utilizada, uma vez que permite traduzir a diminuição da taxa de crescimento quando a intensidade da luz ultrapassa o valor óptimo. Esta expressão é definida por: F ( I ) I +1 I Is = e I s (4.35) em que I é a intensidade de luz e I s é a intensidade de luz óptima (intensidade de luz que permite uma taxa máxima de crescimento de algas, normalmente determinada experimentalmente). A intensidade média da luz durante o dia (I a ) pode ser calculada a partir da seguinte expressão: I = a I m π (4.36) onde I m é a intensidade máxima da luz. A variação da intensidade de luz com a profundidade pode ser modelada pela lei de Beer-Lambert: I k z ( z) I e e = 0 (4.37) 185

64 Capítulo 4 em que I 0 é a intensidade de luz à superfície e k e é um coeficiente de extinção da luz. Este último coeficiente pode ser relacionado com outras grandezas, como por exemplo a concentração de algas na coluna de água: k ' e = ke a a 3 (4.38) A constante ' k e pode ser determinada directamente ou relacionada com outras variáveis. Finalmente, poderemos definir a função F(I) substituindo a Eq na expressão de Steele (Eq. 4.35): F ( I ) I e I k z Iae I e a s = e s kez +1 (4.39) Voltando novamente à Eq. 4.33, a taxa correspondente à respiração poderá sofrer uma correcção de temperatura de acordo com uma expressão do tipo já anteriormente utilizada para outras variáveis: T 0 ( T ) = k θ (4.40) ra k ra,0 ra sendo θ ra o factor de temperatura para a respiração de algas. A taxa de predação das algas apresenta uma dependência em relação à temperatura e relativamente à concentração de algas (relação funcional do tipo Michaelis-Menten, o que corresponde a considerar que a taxa de predação se mantém em patamar para valores elevados de concentração de algas): C gh T 0 ( T, a, zh ) = Cgθ gh zh k sa a + a (4.41) 186

65 4.4 Modelos de qualidade da água em que k sa é a constante de semi-saturação para algas (mgchla m -3 ), θ gh é o factor de temperatura do zooplâncton herbívoro e C g é a taxa de ingestão de algas pelo zooplâncton herbívoro (L mgc -1 dia -1 ). Parte das algas ingeridas é transformada em zooplâncton herbívoro. Por sua vez, o zooplâncton herbívoro diminui devido à actividade dos seus predadores (zooplâncton carnívoro) e por perdas por respiração e excreção. A equação de reacção é dada por: z ca h gh ( T, a, z h ) a C gc ( T z c ) z h k rh ( T ) z h R h = a ε C, (4.4) onde, a é a razão de conversão da clorofila-a das algas em carbono do ca ε h ( T ) gc z c zooplâncton [gc mgchla -1 ]; é a eficiência de predação de algas; C, é a taxa de predação de zooplâncton carnívoro [dia -1 ]. A taxa por predação de zooplâncton carnívoro será dada por: C gc T 0 ( T, zc ) Cgc gc zc = θ (4.43) em que θ gc é o factor de temperatura do zooplâncton carnívoro. Parte do zooplâncton herbívoro é transformado em zooplâncton carnívoro. Este último, por sua vez, sofre perdas por respiração/excreção e devido à mortalidade provocada por outros predadores da cadeia alimentar. A equação de reacção é então definida por: z c gc ( T z c ) z h k rc ( T ) z c k dc ( T ) z c R c = ε C, (4.44) sendo k rc e k dc as taxas de respiração e mortalidade respectivamente. Estas são dependentes da temperatura ambiente, pelo que se utilizam factores de correcção de temperatura análogos aos anteriormente apresentados. 187

66 Capítulo 4 O carbono orgânico particulado resulta da fracção ineficiente de predação assim como da morte do zooplâncton carnívoro. Os sumidouros deste constituinte resultam de uma reacção de dissolução. Assim: c ca ( 1 h ) C gh ( T, a, z h ) a + ( 1 c ) C gc ( T z c ) z h + k dc ( T ) z c k p ( T ) c p R p = a ε ε, (4.45) em que k p representa a taxa de dissolução, do carbono orgânico. O carbono orgânico dissolvido, por sua vez, é transformado por hidrólise (a uma taxa k h ): R cd p ( T ) c p k h ( T ) c d = k (4.46) Os nutrientes considerados na cadeia alimentar são o azoto e fósforo inorgânicos. O primeiro é dividido em amónia e nitrato. A equação de reacção para a amónia vem: Rn a = anckh F am a na k g, ( T ) cd + anakra ( T ) a + anckrh ( T ) zh + anckrc ( T ) ( T, n t, p s I ) a k n ( T ) n a z c (4.47) em que k n é uma taxa de nitrificação e F am é a fracção de azoto da quantidade de amónia existente que é consumida pelas algas, sendo dada por: F am = k am na + n a (4.48) A constante de semi-saturação de preferência da amónia é representada por k am ; a nc e a na são coeficientes de conversão de azoto para carbono e clorofila, respectivamente. As equações de reacção de nitrato e fósforo são as seguintes: R ( T ) n ( 1 F ) a k ( T, n, p, I a = k (4.49) n i n a am na g t s ) 188

67 4.4 Modelos de qualidade da água R p = a pc k h ( T ) c + a k ( T ) a + a k ( T ) z + a k ( T ) z a k ( T, n, p, I )a d pa ra pc rh h pc rc c pa g t s (4.50) a pc e a pa são coeficientes de conversão de fósforo para carbono e clorofila-a, respectivamente. Utilizando as cinéticas definidas pelas equações 4.33 a 4.50, a produção primária em zonas costeiras poderá ser modelada desde que se disponha de ferramentas que permitam efectuar a integração do sistema de equações definido pelas referidas equações Programa PROCESSOS Características Gerais Os processos definidos no ponto anterior, quando o campo de velocidades é nulo, podem ser descritos matematicamente por um sistema de equações diferenciais ordinárias. Existem diversos métodos numéricos para efectuar a integração de sistemas de equações diferenciais ordinárias (Thomas, 1995), situando-se os métodos de Runge-Kutta entre os mais eficientes. O programa PROCESSOS, desenvolvido no âmbito deste trabalho, utiliza um método de Runge-Kutta de 4ª ordem para integrar sistemas de equações do tipo: ( y ) d i = Ri, N dt,.., 1 = ( t y, y,..., y ) i 1 N (4.51) em que y i são as variáveis dependentes, t o tempo e N o número total de variáveis. Neste programa, as derivadas temporais de cada uma das equações foram previamente programadas em função do processo a modelar, sendo este definido pelo utilizador do programa. O método de Runge-Kutta está implementado numa subrotina independente, permitindo a integração de sistemas de equações diferenciais definidos de acordo com o processo seleccionado. 189

68 Capítulo 4 Na Figura 4.34 apresenta-se o fluxograma do programa, estando representadas as etapas fundamentais de cálculo. Numa primeira fase são definidos todos os coeficientes que permitem a quantificação dos segundos membros das equações, os valores iniciais das variáveis dependentes e o intervalo de integração. INÍCIO SELECCÇÃO DO PROCESSO DEFINIÇÃO DE PARÂMETROS CICLO DE INTEGRAÇÃO TINICIAL, TFINAL RUNGE-KUTTA RESULTADOS (TFINAL) FIM Figura 4.34 Fluxograma do programa PROCESSOS Exemplo de Aplicação A título ilustrativo, apresenta-se um exemplo correspondente a uma versão simplificada de um modelo de uma cadeia alimentar em que apenas são consideradas duas variáveis: algas e zooplâncton (herbívoro). Este modelo corresponde a uma das diferentes versões dos modelos gerais do tipo predador-presa e que são normalmente conhecidos por modelos de Lotka-Volterra (Chapra, 1997). As equações de balanço de massa para as duas variáveis são dadas por: da dt = ( k k ) a C z a g ra gz (4.5) 190

69 4.4 Modelos de qualidade da água dz dt ( a C ) z a k z = ε ca gz dz (4.53) em que os parâmetros têm o significado anteriormente apresentado e cujos valores numéricos, considerados no presente exemplo, são apresentados no Quadro 4.6. Quadro 4.6 Interacção algas-zooplâncton: valores dos parâmetros considerados num exemplo de aplicação do programa PROCESSOS. Parâmetros Valor a 0 1 mgchla m -3 z gc m -3 a ca 0.04 gc mgchla -1 C gz 1.5 m 3 gc -1 dia -1 e 0.6 k g -k ra 0.3 dia -1 k dz 0.1 dia -1 Os resultados obtidos para as concentrações de algas e zooplâncton (ambos expressos em mgc L -1, de forma a tornar possível a sua comparação com a biomassa total), para um período de 80 dias, são apresentados na Figura mgc/l Tempo (dias) Fitoplâncton Zooplâncton Total Figura 4.35 Interacção algas-zooplâncton: resultados obtidos por aplicação do programa PROCESSOS. 191

70 Capítulo Programa RMA4 - UMQ Características Gerais O programa RMA4, na sua versão original, efectua a resolução de equações de transporte de escalares (temperatura, salinidade, poluentes, etc.) utilizando a solução hidrodinâmica calculada no programa RMA. Sendo os domínios espaciais os mesmos, as malhas de elementos finitos terão que ser coincidentes. As fontes de constituintes são definidas através dos valores das suas cargas mássicas ou concentrações. Os resultados obtidos correspondem às concentrações dos constituintes modelados nos pontos nodais do domínio analisado. Para tornar possível a modelação de processos biogeoquímicos foram efectuadas as seguintes inovações à versão original do programa, passando a versão modificada a designar-se de RMA4-UMQ: - alterações necessárias para a modelação simultânea de mais de seis constituintes; - desenvolvimento e integração de uma subrotina para definição das reacções a que cada uma das variáveis está sujeita, sendo o seu resultado contabilizado em cada passo de tempo da integração ou com uma periodicidade definida pelo utilizador; - adaptação da saída de resultados Exemplo de Aplicação O exemplo apresentado no ponto anterior relativo à interacção algas zooplâncton foi adoptado como caso de teste para verificação e validação das modificações introduzidas, considerando-se uma bacia quadrada (10 km x 10 km) em que a água apresenta uma profundidade de 3 m e se encontra em repouso. Nestas condições, os resultados obtidos terão que coincidir com os resultados calculados pelo programa PROCESSOS, uma vez que serão desprezáveis os efeitos da advecção e da difusão turbulenta na distribuição resultante para a concentração de algas. 19

71 4.4 Modelos de qualidade da água O domínio foi discretizado numa malha de 56 elementos quadrangulares de oito nós. Na Figura 4.36 apresentam-se os resultados obtidos num dos pontos nodais ao longo do tempo de integração, semelhantes aos obtidos para os restantes pontos do domínio e coincidentes com os que foram obtidos no exemplo apresentado em Concentração (mgc/l) 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Tempo (horas) Fitoplâncton Zooplâncton Figura 4.36 Interacção algas-zooplâncton: resultados obtidos por aplicação do programa RMA4-UMQ Programa POM-UMQ Características Gerais O programa POM-UMQ foi desenvolvido de forma a possibilitar a modelação conjunta das condições hidrodinâmicas e de processos biogeoquímicos de sistemas costeiros. Os principais desenvolvimentos consistiram na inclusão de mais uma equação de transporte por cada uma das variáveis de estado consideradas na modelação de um determinado processo e na criação de uma subrotina que permite a consideração das reacções entre constituintes que foram acrescentados ao conjunto de variáveis do modelo. 193

72 Capítulo 4 INÍCIO QUALIDADE DA ÁGUA PARÂMETROS CONDIÇÕES INICIAIS DEFINIÇÃO DE PARÂMETROS MALHA CONDIÇÕES INICIAIS CICLO MODO INTERNO II=1, IEND ADVCT BAROPG -Adv. e difusão: u e v -Massa volúmica CICLO MODO EXTERNO IE=1, ISPLIT ELEVAÇÃO DA SUPERFÍCIE LIVRE RESULTADOS AJUSTA u e v (Integral vertical de u e v = média da velocidade do modo externo) BCOND(1) -Cond. fronteira: Elevação da superfície livre FIM VERTVL BCOND(5) -Vel. vertical (s) -Cond. fronteira: w ADVAVE -Adv. e difusão: U e V ADVQ(Q) ADVQ(QL) PROFQ BCOND(6) -Adv. e dif. hor.: Q e QL -Dif. vert.:q,ql -Cond. fronteira Q e QL VELOCIDADES U E V ADVECÇÃO+DIFUSÃO CONSTITUINTES CONDIÇÕES FRONTEIRA PROCESSOS ADVT(T) ADVT(S) PROFT(T) PROFT(S) BCOND(4) ADVU ADVV PROFU PROFV BCOND(3) -Adv. e dif. hor.:t -Adv. e dif. hor.:s -Dif. vert.:t -Dif. vert.:s -Cond. front.: T,S -Adv. e dif. hor.:u -Adv. e dif. hor.:v -Dif. vert.:u -Dif. vert.:v -Cond. front.: u,v MÉDIAS TEMPORAIS DE U E V BCOND() -Cond. fronteira: U e V Figura 4.37 Algoritmo do programa POM-UMQ com indicação das inovações introduzidas no programa POM. O método de resolução das equações relativas a cada uma das novas equações é análogo ao que o modelo utiliza para a resolução das equações relativas ao transporte da temperatura e salinidade. Os desenvolvimentos efectuados no algoritmo original são apresentados na Figura

73 4.4 Modelos de qualidade da água Exemplo de aplicação A zona costeira é muitas vezes utilizada como meio de rejeição final de águas residuais produzidas por agregados populacionais litorais, permanentes ou temporários, nomeadamente através de soluções técnicas em que se recorre à utilização de emissários submarinos. As ferramentas de modelação matemática, conjuntamente com a realização de campanhas de monitorização do estado de qualidade da água, poderão constituir um elemento de análise muito útil quer na fase de projecto quer na fase de operação daquele tipo de infra-estruturas. No presente exemplo, tendo como objectivo mostrar as potencialidades do programa POM-UMQ, considera-se um modelo hidrodinâmico e de qualidade da água referente a uma zona costeira onde, através das simulações efectuadas, se pretende avaliar o impacto da descarga de um exutor submarino (Figura 4.38). Consideram-se dois cenários hidrodinâmicos independentes: uma corrente constante na direcção Sul-Norte (impõe-se uma velocidade de 0,0 ms -1 na fronteira Sul) e uma maré do tipo semi-diurno com uma amplitude de 1,5 m. O indicador escolhido para a caracterização do estado de qualidade da água é a concentração em coliformes totais. Esta variável apresenta um comportamento não conservativo, que poderá ser modelado por uma lei de 1ª ordem. A taxa de decaimento (k B ) apresenta um intervalo de variação muito amplo (0 a 84 dia -1, segundo Thomann e Mueller, 1987). Assim, foram efectuadas simulações para os dois cenários hidrodinâmicos considerando-se dois valores distintos para a taxa de decaimento: 1 e 10 dia -1. Finalmente, foram considerados dois comprimentos para o exutor: 000 m e 500 m. Em ambos os casos mantém-se constante o comprimento do difusor. A descarga é simulada admitindo-se que a concentração de coliformes na zona junto do difusor (após a diluição inicial) se mantém constante e igual a NMP/100 ml, desprezando-se o caudal das águas residuais. Apresentam-se a seguir diversos resultados, relativos às simulações efectuadas, devendo ser interpretados apenas do ponto de vista qualitativo, dadas as hipóteses simplificativas consideradas na formulação do problema em análise. Pretende-se realçar as potencialidades da aplicação do programa desenvolvido na resolução de problemas práticos de engenharia. 195

74 Capítulo 4 y [m] N W E S 8000 LINHA DE COSTA 6000 EXUTOR L= 500 m DIFUSOR 500 m 4000 EXUTOR L= 000 m DIFUSOR 500 m Profundidade (m) 0,0 19,0 18, ,0 16,0 15,0 14,0 13, x [m] Figura 4.38 Exemplo de aplicação do programa POM-UMQ: geometria e localização do exutor. Os resultados apresentados nas Figuras 4.39 e 4.40 evidenciam a forte sensibilidade da extensão afectada pela descarga ao valor definido para o coeficiente de decaimento dos coliformes totais. A área afectada pela descarga do exutor (considerando a área no interior da qual a concentração é igual ou superior a 000 NMP/100 ml) duplica quando o coeficiente de decaimento passa de 10 dia -1 para 1 dia -1. O sucesso numa determinada aplicação da modelação matemática depende muito da quantidade e qualidade de informação disponível sobre o problema em análise. Assim, em problemas reais, a quantificação dos parâmetros utilizados no modelo deverá ser realizada a partir de dados de campo ou, na impossibilidade de realização de campanhas para a sua quantificação, os resultados apresentados deverão conter sempre análises de sensibilidade aos valores adoptados para os parâmetros mais importantes. 196

75 4.4 Modelos de qualidade da água y [m] y [m] kb=1 dia -1 kb=1 dia N W E S Concentração (NMP/100 ml) 000 y [m] x [m] 1400 x [m] 100 kb=10 dia y [m] kb=10 dia , x [m] x [m] Figura 4.39 Exemplo de aplicação do programa POM-UMQ: resultados da concentração de coliformes totais à profundidade de 9 m, um dia após o início da descarga, considerando a acção da maré do tipo semi-diurno (amplitude 1,5 m). 197

76 Capítulo 4 W E W E H [m] 0 H [m] kb=1 dia -1 kb=1 dia -1 0 Concentração (NMP/100 ml) x [m] x [m] H [m] 0 0 kb=10 dia H [m] 0 kb=10 dia -1 0, x [m] x [m] Figura 4.40 Exemplo de aplicação do programa POM-UMQ: resultados da concentração de coliformes totais num plano vertical, um dia após o início da descarga, considerando a acção da maré do tipo semi-diurno (amplitude 1,5 m). As simulações realizadas permitem ainda efectuar a avaliação de desempenho das diferentes soluções alternativas consideradas (diferentes comprimentos do exutor). Os modelos numéricos, após uma correcta calibração e validação, constituem uma ferramenta poderosa quer para o estabelecimento de variáveis de projecto (neste exemplo o comprimento do exutor) quer como meio auxiliar à concepção de soluções técnicas eficazes de correcção de sistemas com funcionamento deficiente. Nas Figuras 4.41 e 4.4 são apresentados resultados relativos às simulações realizadas para o cenário hidrodinâmico caracterizado pela actuação de uma corrente forte com uma direcção predominantemente dirigida de Sul para Norte. A extensão e configuração da pluma resultante é completamente distinta da situação anterior, sendo no entanto mais uma vez evidente o efeito da consideração de distintos valores para o coeficiente de decaimento. Estes resultados são reveladores da importância da caracterizar correctamente a hidrodinâmica da região de implantação de obras do tipo em análise para o sucesso do seu funcionamento futuro. As possibilidades de simulação de escoamentos reais, resultantes da acção conjunta da maré, do vento e de gradientes de massa volúmica, conjuntamente com as potencialidades desenvolvidas para a modelação de processos que permitem a avaliação da qualidade da água, tornam o 198

77 4.4 Modelos de qualidade da água programa adaptado uma ferramenta especialmente vocacionada para análises de problemas complexos em zonas costeiras. y [m] k B =1 dia -1 y [m] k B =10 dia N W E S Concentração (NMP/100 ml) , x [m] x [m] Figura 4.41 Exemplo de aplicação do programa POM-UMQ: resultados da concentração de coliformes totais à profundidade de 9 m, seis horas após o inicio da descarga, considerando uma corrente no sentido Sul-Norte. H [m] 0 k B =1 dia -1 S N 10 Concentração (NMP/100 ml) y [m] H [m] 0 k B=10 dia , y [m] Figura 4.4 Exemplo de aplicação do programa POM-UMQ: resultados da concentração de coliformes totais num plano vertical, seis horas após o inicio da descarga, considerando uma corrente no sentido Sul-Norte 199

78 Capítulo Ferramentas de pré e pós-processamento Para além das adaptações efectuadas nas versões originais dos programas de hidrodinâmica e de qualidade da água necessárias à realização do pós-processamento dos seus resultados no programa SMS, são apresentadas neste ponto metodologias desenvolvidas para integração da informação relevante produzida pelos modelos numéricos em Sistemas de Informação Geográfica. Complementarmente, é apresentado um método de geração condicionada de malhas não estruturadas de elementos finitos Metodologia de criação dos Sistemas de Informação Geográfica Os dados obtidos a partir das campanhas de amostragem e os resultados dos modelos utilizados estão referidos, no primeiro caso, aos pontos de amostragem e, no segundo caso, aos nós de malhas utilizadas para a discretização do domínio espacial. Assim, a representação espacial de uma determinada variável implica a utilização de uma transformação do tipo ponto-para-área. Esta transformação deverá ser bi-direccional para permitir o estabelecimento, por exemplo, das condições iniciais a utilizar numa determinada simulação (a partir da interpolação de um campo escalar obtido através das campanhas de amostragem para a malha de elementos finitos utilizada, correspondendo neste caso a uma transformação do tipo área-para-ponto). Existem diversos métodos de conversão de variáveis pontuais para áreas dividindo-se em dois grandes grupos de conversões: transformações com interpolação e transformações sem interpolação (Bonham-Carter, 1993). Embora existam diversos trabalhos sobre a integração de modelos dinâmicos em ambientes de SIG (como por exemplo em estudos de análise de evolução da ocupação do solo (Mikula et al, 1996)), neste trabalho a evolução temporal de uma determinada variável é efectuada recorrendo-se à visualização de mapas referentes a instantes distintos. Assim, a ferramenta de SIG utilizada não utiliza funções específicas para a análise temporal. A metodologia de integração da informação georeferenciada, relativa aos modelos hidrodinâmicos e de qualidade da água, ilustrada na Figura 4.43, apresenta as seguintes fases principais: 00

79 4.5 Ferramentas de pré e pós-processamento - Consideram-se constantes os valores das variáveis no interior do domínio definido pelos elementos da malha de elementos finitos (o valor único por elemento é considerado igual à média dos valores nodais em cada um dos elementos), ou das células da malha de diferenças finitas. Assim, na primeira fase, a geometria dos elementos/células é organizada num ficheiro cujo formato é compatível com o software de CAD (neste trabalho, foi desenvolvido um programa que cria os referidos ficheiros, em formato DXF, a partir dos ficheiros de geometria das malhas utilizadas nos modelos); N N ID F1 F F3 F4 F5 Figura 4.43 Metodologia de integração de resultados dos modelos em SIG. - Na segunda fase são criados temas do tipo polígono no software SIG a partir das entidades gráficas organizadas em formato DXF; - Seguidamente, os resultados obtidos a partir dos modelos numéricos, considerados mais relevantes, são organizados em bases de dados; - Finalmente, é realizada a associação entre os temas SIG e as bases de dados que contêm os resultados dos modelos numéricos. Uma das maiores potencialidades dos SIG resulta da possibilidade de organização e análise de diferentes tipos de informação numa plataforma comum. Consegue-se, assim, apresentar e analisar no mesmo sistema resultados de modelos numéricos, resultados de campanhas de monitorização, etc.. Na Figura 4.44 apresenta-se o mapeamento da profundidade, da elevação da superfície livre e do módulo da velocidade, para um dos 01

80 Capítulo 4 instantes da simulação realizada no programa RMA, coincidente com a enchente no estuário do Rio Cávado. Complementarmente evidenciam-se as zonas em que, simultaneamente, se verificam as seguintes condições: módulo da velocidade superior a 0,5 m s -1 e profundidade superior a 1,0 m. N N N N Figura 4.44 Resultados de modelos hidrodinâmicos processados e analisados em ambiente de SIG. 0

81 4.5 Ferramentas de pré e pós-processamento A representação espacial de dados resultantes de campanhas de amostragem poderá ser realizada recorrendo-se a um método (sem interpolação) baseado na definição de polígonos de Thissen (também conhecido por diagrama de Voronoi). A cada um dos pontos de amostragem é associada uma área de influência, conforme se apresenta na Figura 4.45 a). Desta forma, pode-se realizar o mapeamento de qualquer parâmetro medido (admitindo-se a hipótese simplificativa de que o valor pontual é representativo dos valores em todo o polígono) e, utilizando as potencialidades de análise dos SIG, proceder ao cálculo de novos parâmetros. No exemplo apresentado (Figura 4.45 b)), estima-se o valor da massa de P1 em cada um dos dez pontos a partir dos valores das concentrações medidas, das áreas de cada um dos polígonos e da profundidade média (Figura 4.44) calculada pelo modelo hidrodinâmico. Os valores das massas calculadas no SIG são apresentados no Quadro 4.7. N 9 # þ # þ # þ Concentração P1 [mg/l] 10 1,57,30 8 # þ #þ #þ # þ,30 4,5 4,5 5,01 5,01 7,13 7,13 8, #þ #þ þ Ponto de amostragem 3 # þ Massa de P1 [38 kg] a) b) 1 Figura 4.45 Resultados de modelos hidrodinâmicos processados e analisados em ambiente de SIG. 03

82 Capítulo 4 Quadro 4.7 Estimativa dos valores das massas de um parâmetro P1, realizada a partir dos valores de concentrações medidas pontualmente e dos volumes calculados num SIG. POLÍGONO CONCENTRAÇÃO - P1 PROFUNDIDADE MÉDIA ÁREA MASSA P1 [mgl -1 ] [m] [m ] [kg] 1 7,060 1, ,59 1, ,130 0, ,846 1, ,303 1, ,565 1, ,014 1, ,53 1, ,56 1, ,993 1, Geração condicionada de malhas não estruturadas Generalidades Uma malha é uma discretização de um domínio geométrico em formas simples, como triângulos e quadriláteros em duas dimensões ou em tetraedros e hexaedros em três dimensões. As malhas têm aplicações em muitas áreas diferentes. Em geografia e cartografia, as malhas são utilizadas na modelação de terrenos. Em computação gráfica, muitos objectos são reduzidos a malhas antes de serem efectuadas operações de coloração (para representar superfícies desses objectos). Finalmente, as malhas revelam-se de crucial importância na resolução numérica de sistemas de equações às de derivadas parciais, associados a muitos problemas físicos. Neste ponto concentra-se a atenção nos algoritmos de geração de malhas para a última aplicação enumerada. Uma das tarefas iniciais do desenvolvimento e aplicação de um modelo hidrodinâmico consiste na discretização do domínio de interesse. Assim, apresenta-se a metodologia desenvolvida para a geração de malhas e posterior refinamento condicionado por um critério global para o domínio. 04

83 4.5 Ferramentas de pré e pós-processamento Tipos de domínios geométricos A primeira distinção entre domínios é efectuada de acordo com a sua dimensão: bidimensionais ou tridimensionais. Distinguem-se quatro tipos de domínios planos, como se apresenta na Figura Um polígono simples inclui a sua fronteira e o seu interior. Um polígono com ilhas é basicamente um polígono simples subtraído do interior de outros polígonos simples; a sua fronteira contém mais do que um contorno fechado. Um domínio múltiplo é ainda mais genérico, permitindo-se neste caso a existência de fronteiras internas. Os domínios múltiplos são utilizados na modelação de objectos formados por mais do que um material. Domínios curvos permitem a existência de fronteiras curvas. Tal como no primeiro tipo de domínio apresentado, os domínios curvos poderão ou não conter ilhas e fronteiras internas. a) b) c) d) Figura Tipos de domínios bidimensionais em planta: a) polígono simples; b) polígono com ilhas; c) domínio múltiplo; d) domínio curvo. Os domínios tridimensionais podem ser discretizados em diferentes tipos análogos aos apresentados para os domínios bidimensionais Tipos de malhas Uma malha estruturada é uma malha em que todos os vértices interiores são topologicamente similares. De acordo com as designações da teoria de gráficos, uma malha estruturada é um subgráfico de um gráfico periódico infinito tal como uma grelha. Uma malha não estruturada é uma malha em que os vértices apresentam um conjunto local arbitrário de vértices vizinhos. Uma malha estruturada por blocos ou 05

84 Capítulo 4 malha híbrida é formada por um número reduzido de malhas estruturadas, organizadas numa configuração de forma não estruturada. Geralmente, as malhas estruturadas apresentam uma forma simples de definição dos dados que as constituem, enquanto que as malhas não estruturadas apresentam maiores facilidades em termos de adaptabilidade (aumento/diminuição de resolução baseadas numa malha inicial), permitindo uma melhor adaptação a domínios complexos. As malhas híbridas conjugam as vantagens dos dois tipos de malhas anteriores, mas a sua geração não é ainda possível através de processos totalmente automáticos. Neste ponto discutem-se com maior profundidade as malhas não estruturadas, uma vez que é este o tipo de malha utilizado pelos modelos hidrodinâmicos. À divisão entre malhas bidimensionais estruturadas e não estruturadas associa-se normalmente um outro tipo de divisão relacionado com o tipo de elemento utilizado: malhas estruturadas utilizam normalmente quadriláteros e malhas não estruturadas utilizam triângulos. Não existe contudo nenhuma razão para que tal aconteça. De facto, é sempre possível subdividir os elementos por forma a converter triângulos em quadriláteros e vive-versa (ver Figura 4.47). a) b) Figura a) triangulação de quadriláteros; b) Divisão de triângulos para formar quadriláteros As variadas técnicas para a geração de malhas são apresentadas em extensa bibliografia, não sendo possível ser exaustivo na explicação das respectivas particularidades. Existem muitas publicações sobre geração de malhas estruturadas (Castillo, 1991; 06

85 4.5 Ferramentas de pré e pós-processamento George et al., 1990; Mavriplis, 1996) e geração de malhas não estruturadas (Bern e Eppstein, 1995; George, 1991; Mavriplis, 1995; Thompson e Weatherill, 1993; Mavriplis, 1996). Existem também vários sites na WWW (Owen, 1995; Schneiders, 1995; Shewchuck, 1995; Young e MacPhedran, 1995) com informação actualizada sobre geração de malhas Forma dos elementos A forma dos elementos constituintes de uma malha condiciona fortemente o desempenho dos métodos numéricos utilizados na resolução de um determinado problema. Neste trabalho define-se relação de forma de um elemento como sendo a razão entre a máxima e a mínima dimensões do elemento. Geralmente, devem evitar-se elementos com valores elevados da relação de forma, pois podem conduzir a matrizes mal condicionadas, piorando a velocidade e a fiabilidade das aplicações numéricas em que são utilizados. Além disso, mesmo admitindo que o método de resolução numérica utilizado permita obter soluções exactas, valores elevados de relações de forma poderão conduzir a erros de interpolação Metodologia utilizada na geração de malhas As malhas utilizadas na modelação (através do MEF) da hidrodinâmica de zonas costeiras deverão seguir as seguintes regras principais: serem formadas por elementos (triângulos ou quadriláteros) não distorcidos e os ângulos internos serem superiores a um valor mínimo (0º é um valor limite aceitável). Das várias técnicas de geração de malhas bidimensionais triangulares, a triangulação de Delaunay é a mais conhecida. A triangulação de Delaunay, D, de um conjunto de vértices, V, é um gráfico definido da seguinte forma: a duas dimensões, uma triangulação de um conjunto de vértices V é um conjunto de triângulos T cujos vértices coincidem com V, que não se intersectam entre si e cuja união preenche completamente o domínio definido pela envolvente convexa do conjunto de vértices V. Diz-se que um 07

86 Capítulo 4 círculo é vazio se não contiver no seu interior qualquer vértice do conjunto V (no caso dos vértices coincidirem com pontos da circunferência que limita o círculo a designação de círculo vazio mantém-se). Considerando-se dois vértices, v u e v v, pertencentes a V, o lado v u v v pertencerá à triangulação de Delaunay, se e só se existir um circulo vazio que passe por v u e v v. A triangulação forçada de Delaunay de um domínio plano definido pela sua fronteira (linha poligonal planar) é similar à triangulação de Delaunay, com a condição adicional de que todos os segmentos da fronteira são forçados a pertencer, como lados, à triangulação. Existem muitos algoritmos para a realização de triangulações de Delaunay, cujo desempenho tem sido avaliado em diversos trabalhos. Estas avaliações revelam uma grande paridade em termos de desempenho entre três desses algoritmos: o incremental insertion algorithm, o divide-and-conquer algorithm e o plane-sweep algorithm. Shewchuck, 1995, desenvolveu o programa TRIANGLE que inclui aplicações dos algoritmos anteriores e de um quarto algoritmo para refinamento de malhas triangulares (Ruppert, 1995). Este algoritmo apresenta quatro etapas principais: numa primeira etapa efectua a triangulação de Delaunay dos vértices da fronteira do domínio, na segunda etapa procede à triangulação forçada de Delaunay, na terceira etapa procede à eliminação dos triângulos pertencentes a ilhas e/ou concavidades do domínio, na quarta fase efectua o refinamento da malha, através da inserção de vértices adicionais, até que se verifiquem as restrições impostas para o ângulo interior mínimo e a área máxima de cada um dos triângulos da malha. Para além das questões geométricas (com implicações no rigor dos métodos numéricos), no processo de geração de malhas de elementos finitos, o objectivo final do modelo hidrodinâmico em que vão ser utilizadas deverá ser considerado de forma a que o tratamento e análise dos resultados se possa efectuar de forma adequada. Assim, as necessidades de resolução no domínio em análise deverão ser ponderadas tendo em consideração a utilização final dos resultados a obter. 08

87 4.5 Ferramentas de pré e pós-processamento Principais fases do processo de geração de malhas A metodologia adoptada, para a geração de malhas a utilizar no ambiente hidroinformático desenvolvido neste trabalho, apresenta as quatro fases principais apresentadas na Figura ESTABELECIMENTO DA FRONTEIRA DO DOMÍNIO AUMENTO/DIMINUIÇÃO DA RESOLUÇÃO DA FRONTEIRA TRIANGULAÇÃO FORÇADA DE QUALIDADE DE DELAUNAY REFINAMENTO CONDICIONADO DA MALHA Figura 4.48 Fases do processo de geração de malhas. A implementação de um modelo hidrodinâmico baseado no MEF inicia-se com a representação (e eventual simplificação geométrica) do domínio de interesse. Nesta fase deverão ser estabelecidas duas propriedades do modelo numérico: o número (ou área) e forma dos elementos da malha. Estas propriedades devem ser estabelecidas de acordo com as capacidades do hardware/software utilizados e com a resolução espacial requerida. Quando se utiliza a triangulação forçada de Delaunay, o número total de elementos está relacionado com a resolução da fronteira do domínio. Uma resolução elevada da fronteira poligonal resultará num refinamento excessivo junto da referida fronteira e consequentemente num número elevado de elementos. Dever-se-á, portanto, dar especial atenção à definição da resolução da fronteira do domínio. A distância média entre vértices da linha poligonal que constitui a fronteira poderá ser estimada admitindo-se que a malha será constituída por triângulos equiláteros com áreas iguais. Para a realização destas tarefas foram criados neste 09

88 Capítulo 4 trabalho diversos programas utilitários com o objectivo de modificar a resolução de linhas poligonais. Na Figura 4.49 são apresentadas três malhas com restrições no ângulo interior mínimo (0 º) e na área máxima (1 000 m ) de cada um dos elementos, mas em que a poligonal da fronteira apresenta resoluções distintas. a) b) c) d) Figura Malhas geradas com diferentes resoluções da linha poligonal da fronteira. a) contorno. Distância média entre vértices: b) 4,1 m; c) 54,7 m; d) 74,5 m. No Quadro 4.8 encontram-se sintetizadas as características das diferentes malhas. É visível um refinamento excessivo junto da fronteira na malha b), correspondendo a este caso uma distância média entre vértices de 4,1 m. 10

89 4.5 Ferramentas de pré e pós-processamento Quadro 4.8 Características das malhas geradas com diferentes resoluções da poligonal de fronteira Malha Distância média entre vértices [m] Nº total de elementos Nº total de pontos b) 4, c) 54, d) 74, O procedimento geral apresentado anteriormente garante a geração de uma malha em que quer o ângulo interior mínimo quer a área de cada um dos elementos sejam, no primeiro caso, superiores ao valor imposto e, no segundo, inferior ao valor máximo definido. No entanto, em muitas aplicações, a malha deverá ser gerada com variações espaciais (refinamentos locais) do tamanho dos elementos de acordo com os gradientes locais das variáveis a modelar. O objectivo geral na quarta e última fase do processo de geração da malha é o de definir uma função no domínio espacial que possa relacionar-se com o tamanho máximo dos elementos. As técnicas de estimativa de erro (a priori ou posteriori) associadas aos métodos numéricos utilizados tornam-se muito complexas, estando directamente relacionadas com as técnicas específicas do MEF utilizado. Por isso, esta possibilidade de estabelecimento da função espacial de definição do tamanho dos elementos no domínio não foi utilizada. Em alternativa, estabeleceu-se uma metodologia simples, envolvendo três passos: 1º passo: definição de uma função espacial de controlo do tamanho máximo dos elementos baseada num critério geral (tal como profundidade da água, gradientes da velocidade, gradientes de concentrações de poluentes, etc.) e definição do novo número total de elementos; º passo: cálculo dos áreas máximas para cada um dos elementos da malha inicial; 3º passo: refinamento da malha inicial utilizando as restrições de área calculadas no º passo. Na Figura 4.50 apresenta-se um exemplo ilustrativo da metodologia desenvolvida, aplicada à geração de uma malha, para a modelação do transporte de uma substância, 11

90 Capítulo 4 num canal com escoamento permanente, proveniente de uma fonte pontual. Os gradientes de concentração resultantes da distribuição da substância no canal são utilizados para efectuar o refinamento da malha inicial. Na Figura 4.51 apresentam-se malhas utilizáveis na modelação da hidrodinâmica e de qualidade da água na Foz do Rio Cávado. O número total de elementos quintuplica quando a restrição relativa ao ângulo interior mínimo de cada um dos triângulos passa de 0º a 30º, como pode ser observado nas malhas a) a c) e no Quadro 4.9. mg/l a) b) 0.6 Figura 4.50 Refinamento condicionado de uma malha transporte de uma substância num canal com escoamento permanente: a) malha inicial; b) campo escalar (concentração de substância); c) malha refinada de acordo com o gradiente de concentração da substância. c) A malha d) da Figura 4.51 foi gerada impondo um ângulo interior mínimo de 30º e uma área máxima de 000 m, resultando numa malha com 157 elementos. Esta malha foi utilizada no cálculo das correntes geradas pela acção da maré e do vento. De forma a aumentar o rigor dos resultados obtidos, procedeu-se ainda à geração de uma malha resultante do refinamento da malha d) condicionado por dois critérios distintos: no primeiro considera-se a profundidade média, no segundo a função de controlo é definida a partir da proximidade a um ponto fixo no interior do domínio, variando segundo uma lei exponencial (Figura 4.5). 1

91 4.5 Ferramentas de pré e pós-processamento Quadro 4.9 Características das malhas Consideração de diferentes restrições Malha Distância média entre vértices [m] Nº total de elementos Nº total de pontos a) 79, b) 79, c) 79, d) 79, a) b) c) d) Figura 4.51 Malhas de elementos finitos utilizadas no estudo da Foz do Rio Cávado: a) ângulo interno mínimo: não considerado, área máxima: não considerada; b) ângulo interno mínimo: 0º, área máxima: não considerada; c) ângulo interno mínimo: 30º, área máxima: não considerada; d) ângulo interno mínimo: 30º, área máxima: 000 m. 13

92 Capítulo 4 a) b) Figura 4.5 Refinamento condicionado. Função de controlo do tamanho máximo dos elementos: a) batimetria; b) proximidade a um ponto fixo. 14