Sentidos da divisão e algoritmos da divisão de números representados sob a forma de fracção

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1 Sentidos da divisão e algoritmos da divisão de números representados sob a forma de fracção Nos primeiros anos de escolaridade, a divisão de números representados sob a forma de fracção é, muito frequentemente, considerado um dos tópicos matemáticos menos compreendido e mais mecanizado. Porquê multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor? Como referem van de Walle e Lovin (2006), trata-se de uma das mais misteriosas regras da Matemática elementar (p. 9). Um dos grandes desafios que, neste âmbito, se coloca é que tarefas propor aos alunos que os ajudem, simultaneamente, a interpretar adequadamente situações que envolvam a divisão de números representados sob a forma de fracção e a encontrarem sentido nos procedimentos algorítmicos para dividir estes números. Tipicamente, os problemas de divisão, quer se trate de números inteiros, ou não, enquadram-se em duas categorias: as associadas a situações de medida e as relativas a situações de partilha. Na sala de aula, é importante que os alunos resolvam tarefas diversificadas de modo a serem confrontados com ambos os sentidos da divisão. No que diz respeito à divisão de fracções, cada um destes sentidos relaciona-se com o que se irá designar por algoritmo do denominador comum e algoritmo inverter e multiplicar (Gregg & Gregg, 2007). Divisão como medida Exemplos: 1. Na turma da Maria há 2 alunos e a professora pretende fazer grupos de alunos cada. Quantos grupos pode fazer? 2. A Ana está a preparar uma festa de aniversário e comprou 6 copos de gelado. Se quiser servir a cada convidado de copo de gelado, quantas pessoas pode servir? No primeiro exemplo, sabemos a dimensão de cada grupo ( alunos) e o que pretendemos saber é quantos grupos podemos fazer com 2 alunos, ou seja com a quantidade representada pelo dividendo. No fundo, trata-se de perguntar quantos cabem em 2?. Estamos a medir 2 usando como unidade de medida. O quociente (7) indica-nos o número de subconjuntos formados. Algoritmos da divisão de fracções (p. 1 de 7)

2 No segundo exemplo, a situação é análoga. Há 6 copos de gelado no total e damos de copo a cada pessoa. A questão é quantas vezes é que cabe em 6. Podemos usar um esquema em que a figura que representa cada copo (neste caso um rectângulo) é dividida em quatro quartos. No total temos 2 quartos e como cada convidado come quartos, os 2 darão para pessoas. Ou seja, 2 : = o que é equivalente a 6: =. A situação complica-se um pouco quando o quociente não é um número inteiro. Suponhamos a tarefa: O João está a cimentar um pátio. Preparou o cimento e quando o foi transportar para o pátio reparou que tinha baldes e 1. Sabe que para cada secção do pátio precisa de 2 de um balde de cimento. Decidiu que usaria todo o cimento e que se não conseguisse cimentar secções inteiras, colocaria cimento só numa parte de secção. Quantas secções do pátio pode cimentar o João? Temos que analisar quantos 2 (quantidade para cimentar uma secção) há em 1 (o cimento existente). Podemos recorrer, por exemplo, a uma tabela. Secções do pátio cimentadas Quantidade de cimento (2 baldes) 6 ( baldes) Algoritmos da divisão de fracções (p. 2 de 7)

3 Até aqui sabemos que com baldes podem cimentar-se 6 secções. A questão agora é saber que parte de secção ainda podemos cimentar com 1. Podemos prolongar a tabela. Secções do pátio cimentadas Quantidade de cimento (2 baldes) 6 ( baldes) : : 6 1 balde : balde : (ou ) 1 Portanto, com baldes e 1 podemos cimentar 6 secções e de uma secção. 1 : 2 = 6. Podemos, em, alternativa, recorrer ao método de transformar as duas fracções noutras com o mesmo denominador para facilitar a comparação. baldes e 1 é igual a baldes e vezes cabe em? ou ; 2 é igual a Também aqui há vários processos. Um é recorrendo a subtracções sucessivas: - = - = 5. Quantas Algoritmos da divisão de fracções (p. de 7)

4 5 - = = = = Em cabem 6 vezes (cimentam-se 6 secções) e sobram de um balde de cimento que não chega para cimentar totalmente uma secção do pátio pois, para isso, seriam necessários cimentar-se mais de um balde. que parte é de? São partes em, ou seja, podem de uma secção. E, assim, : = 6 Outra hipótese é pensar quantas vezes cabe em, pois como o número de partes em que a unidade está dividida é igual (o denominador), a resposta pode obter-se como se de números inteiros se tratasse: : = 6x+. Logo : = 6. Através de tarefas do tipo do exemplo 1 e cimentar um pátio, pode inferir-se o algoritmo do denominador comum : Para dividir dois números representados por fracções, primeiro transformamos as fracções noutras equivalentes com o mesmo denominador e, em seguida, dividimos os numeradores. Divisão como partilha Exemplos: 1. Na turma da Maria há 2 alunos e a professora pretende organizá-los em 7 grupos. Quantos elementos terá cada grupo? 2. A Ana está a preparar uma festa de aniversário e comprou 6 copos de gelado. Os convidados são e a Ana quer repartir equitativamente o gelado por todos. Que quantidade de quantidade de gelado deve dar a cada um? No primeiro exemplo, sabemos quantos grupos existem e o que pretendemos saber é quantas pessoas terá cada um. Podemos pensar, por exemplo, em distribuir o total de alunos, um a um, pelos sete grupos até não sobrarem alunos. Na divisão como partilha, o Algoritmos da divisão de fracções (p. de 7)

5 divisor (7, no 1º exemplo) indica o número de subconjuntos a formar (partição em sete). O quociente () indica-nos o número de elementos que ficou em cada subconjunto. No segundo caso, a situação é semelhante. A Ana pode começar por distribuir, por exemplo, meio copo de gelado a cada pessoa e a seguir distribuir mais um quarto de copo (ver figura em que cada algarismo colocado sobre os rectângulos representa cada um dos convidados). Cada pessoa ficaria, assim, com de copo ou seja de copo de gelado. Outras tarefas que têm subjacente o sentido da divisão como partilha são, por exemplo: 1. A Inês tem 5 metros e 1 de metro de fita para fazer três laços para prendas de aniversário. Que quantidade de fita pode usar em cada laço se quiser usar a fita toda e mesma quantidade de fita em cada laço? 2. O Marco tem 1 hora e 1 para fazer os trabalhos de casa de quatro disciplinas. Se repartir o tempo equitativamente, quanto tempo pode dedicar a cada disciplina?. A Catarina está a forrar arcos com fitas para o sarau de ginástica. Às tantas reparou que tinha 7 metros e meio de fita. Começou a fazer uns cálculos e disse para a Fátima: só tenho fita para mais 2 arcos e 1 de arco. Que quantidade de fita usa a Catarina em cada arco?. jarras e 1 2 de limonada enchem 5 copos e 1 limonada leva cada jarra? de copo. Quantos copos de Todas as tarefas em que o sentido da divisão é a partilha colocam questões do tipo: Que quantidade para cada um (laço, arco,...)? Quanto para cada um (tempo)? Quantos copos Algoritmos da divisão de fracções (p. 5 de 7)

6 tem cada jarra? Quantos Km por hora?... Há que pensar em: Quanto é o todo? Quanto para cada coisa? No 1º caso o todo é 5 1 metros e há que fazer laços, logo cada laço levará um terço do todo. 5 1 : = 5 1 x 1. No 2º caso a situação é idêntica. O Marco terá de dedicar a cada disciplina 1 do tempo que dedica ao conjunto das. 1 1 : = 1 1 x 1 No terceiro exemplo o todo são metros de fita, ou seja, 2 de metros de fita. Esta fita permite forrar 2 arcos e 1 de arco, isto é 9 de arcos. Para determinar a quantidade de fita necessária para cada arco, podemos recorrer, por exemplo, a uma tabela. Fita (em metros) Arcos : 9 9 : 9 2 x ( 2 x 1 9 )x 1 x 2 x ( 1 9 x) 2 x metros: 2 1 arcos = 2 metros: 9 arcos 2 : 9 = 2 x 9 Cada arco leva x 2x9 metros ou seja metros e 1 de metro. Algoritmos da divisão de fracções (p. 6 de 7)

7 No quarto exemplo, sabemos que jarras e 1 2 de limonada, ou seja 7 meias jarras ( 7 2 ), permitem encher 5 copos e 1 de copo, isto é quartos de copos ( ). O que se pretende saber é que quantidade destes quartos de copos (o todo) é necessária para encher 1 jarra. Pode recorrer-se, de novo, a uma tabela. Copos Jarras ( quartos de copos) 7 ( jarras e meia) 2 x2 7 2 x 2 x2 7 ( x2) x 1 7 x x (2 x 1 7 ) 7 7 x : 7 2 = x 2 7 Cada jarra leva x2 x7 2 de copos de limonada, isto é, copos. Simplificando esta fracção, conclui-se que cada jarra contém copos ou um copo e meio. É a partir da resolução de tarefas que envolvam a partilha equitativa que poderá, mais plausivelmente, ajudar-se os alunos a inferir, no caso da divisão de números representados sob a forma de fracção, o algoritmo inverte e multiplica : para dividirmos dois números representados sob a forma de fracção multiplica-se o dividendo pelo inverso do divisor. Referências Ana Maria Boavida Fevereiro, 2011 Gregg, J. & Gregg, D. (2007). Measurement and fair-sharing models for dividing fractions. Mathematics Teaching in the Middle School (9), Van de Walle, J. & Lovin, L. (2006). Teaching Student-centered Mathematics: Grades 5-. Boston: Pearson. Algoritmos da divisão de fracções (p. 7 de 7)