Pontos, Rectas e Declives

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1 Pontos, Rectas e Declives ID: 8106 Tempo necessário 45 minutos Descrição Geral da Actividade Os estudantes serão introduzidos nos conceitos base no plano Cartesiano, ao deslocar um ponto no plano de coordenadas e ao analisar as coordenadas do ponto em quadrantes diferentes assim como em cada eixo. Também observarão a relação existente entre as coordenadas de um ponto e a distância entre o ponto e cada eixo. Mais tarde, explorarão rectas definidas por dois pontos no plano e analisarão a relação entre rectas, declives e equações. A análise prosseguirá com rectas paralelas e perpendiculares e a relação entre os seus declives. Conceitos Pontos, Rectas, Declive, Gráficos de Equações Lineares, Rectas perpendiculares/paralelas Preparação do Professor Esta actividade permite diversas explorações dependendo do nível de ensino. A actividade pode ser utilizada ao longo de todo o terceiro ciclo ou mesmo no início do secundário. A um nível introdutório, esta actividade pode ser utilizada para introduzir ou rever as propriedades dos pontos no plano Cartesiano. Num nível intermédio, esta actividade poderá rever as coordenadas e, em seguida, introduzir ou rever as relações entre pontos, rectas, declives e equações. O gráfico pode também ser dividido em áreas diferentes pelo traçado dos gráficos de f(x)= x e f(x)= x e ao pedir aos estudantes para indicarem de uma forma geral o declive para cada uma destas áreas. Num nível avançado, após o traçado de gráficos de rectas e observação das relações entre elas, pode ser adicionado outro ponto ao plano e os estudantes podem observar a relação entre as coordenadas do ponto e a equação da recta. Isto pode ser utilizado para introduzir as inequações. Em Geometria, podem ser medidos ângulos entre rectas paralelas e perpendiculares e iniciar e discutir a perpendicularidade e paralelismo de rectas usando medidas de amplitudes de ângulos. Esta actividade fornece igualmente a oportunidade e provar de forma algébrica e geométrica a relação entre os declives de rectas paralelas e perpendiculares. Nas figuras das páginas são apresentados os resultados esperados dos estudantes. Consulte as figuras da página 30 para uma visualização prévia do ficheiro.tns dos estudantes. Orientação da Turma Pretende-se que esta actividade seja orientada pelo professor. Pode utilizar as páginas seguintes para apresentar o material à turma e encorajar a discussão. Os estudantes podem utilizar o TI-Nspire, mas a maior parte das ideias e conceitos está incluída apenas neste documento. Certifique-se de que revê todo o material necessário de forma a que os estudantes fiquem completamente esclarecidos. A ficha de trabalho tem por finalidade orientar os estudantes através das ideias principais da actividade fornecendo, ao mesmo tempo, instruções mais detalhadas sobre como realizar certas acções, através da utilização das ferramentas do TI-Nspire. Também permite que os estudantes registem as suas respostas. Em alternativa, pode pedir à turma para que registe as suas respostas numa folha de papel em separado ou apenas que utilizem as questões colocadas para iniciar uma discussão na turma. Aplicações do TI-Nspire Graphs & Geometry, Notes 2007 Texas Instruments Incorporated Página 25

2 Três perguntas fundamentais definem esta actividade (Deve realizar-se uma pequena discussão a seguir a estas perguntas): 1. Qual é a relação entre as coordenadas de pontos em diversas localizações no plano Cartesiano? 2. Qual é a relação entre uma recta e o seu declive, equação e ordenada na origem? 3. Qual é a relação entre os declives das rectas paralelas ou perpendiculares? Problema 1 Analisar as coordenadas de pontos Passo 1: Peça aos estudantes para abrirem a página 1.2, onde encontrarão uma página de Graphs & Geometry com a linha de edição de funções oculta. Os estudantes devem criar e etiquetar dois pontos, P e Q, em qualquer local do plano, utilizando a ferramenta Point ( ) do menu Points & Lines. (Os nomes P e Q podem ser digitados directamente após a criação de cada ponto). A seguir, peça aos estudantes para apresentarem as coordenadas de cada ponto, ao seleccionarem MENU > Tools > Coordinates and Equations. Passo 2: Os estudantes devem, em seguida, clicar em Redefine (disponível em MENU > Tools) para redefinir o ponto P no eixo x e o ponto Q no eixo y. (Os estudantes não devem redefinir os pontos como uma das marcas de escala do eixo.) Peça agora aos estudantes para arrastarem o ponto P e responderem às perguntas da ficha de trabalho sobre os pontos no eixo x. (Isto permite a antevisão de dois conceitos importantes que surgirão mais tarde:intersecções x de gráficos e equações de rectas verticais.) A seguir, devem arrastar o ponto Q e responder às perguntas sobre as intersecções com o eixo y. (Isto permite a antevisão do conceito de ordenada na origem de um gráfico). Página Texas Instruments Incorporated

3 Passo 3: Após arrastarem os pontos P e Q, peça aos estudantes para activar a grelha ao seleccionarem Show Grid no menu View. A seguir, devem definir novamente os pontos P e Q, desta vez como pontos da grelha. As coordenadas representam agora valores inteiros. Peça aos estudantes para arrastarem novamente os pontos P e Q no plano e responderem às perguntas das fichas de trabalho sobre o sinal das coordenadas x e y em cada quadrante. Passo 4: Os estudantes devem agora ser capazes de identificar as coordenadas nos diferentes quadrantes assim como em cada eixo. Forneça aos estudantes as coordenadas de um ponto e pergunte a que quadrante se referem e vice-versa. Esta actividade simples permite aos estudantes desenvolverem as suas capacidades tecnológicas e estabelecerem padrões de sinais para os quatro quadrantes. Passo 5: Peça aos estudantes para utilizarem a ferramenta Perpendicular ( ) (MENU > Construction) para criarem perpendiculares aos eixos passando pelo ponto P. Após criarem as perpendiculares, os estudantes devem criar segmentos desde o ponto P até cada eixo (MENU > Points & Lines > Segment) e, em seguida, devem ocultar as rectas perpendiculares em excesso, utilizando a ferramenta Hide/Show ( ), disponível no MENU > Tools. Passo 6: Peça agora aos estudantes para medirem o comprimento de cada segmento, utilizando a ferramenta Length ( ) do menu Measurement. Peça aos estudantes para arrastarem o ponto P e para discutirem as distâncias e as coordenadas. (Existe uma correspondência de um para um entre as distâncias de P até cada eixo e o valor absoluto das coordenas de P.) 2007 Texas Instruments Incorporated Página 27

4 Problema 2 Investigar rectas, equações e declives Passo 1: No Problema 2, são indicados aos estudantes dois pontos P e Q. (Estes pontos não foram definidos na grelha para permitir uma maior liberdade de exploração.) Se este for o primeiro contacto dos estudantes com a noção de declive, forneça uma breve descrição sobre o conceito, incluindo a noção da relação entre deslocamento vertical e horizontal. Peça aos estudantes para imaginarem uma recta entre os pontos P e Q e discutirem se o declive é positivo ou negativo, pequeno ou grande, etc. A seguir, devem desenhar uma recta através dos pontos P e Q, utilizando a ferramenta Line ( ) do menu Points & Lines. Passo 2: A seguir, peça aos estudantes para calcularem o declive (MENU > Measurement > Slope) e a equação (MENU > Tools > Coordinates & Equations) da recta. Deverão atribuir um nome à medida do declive conforme indicado à direita, ao clicar na caixa de texto e digitar slope=. Também podem diminuir o número de dígitos do declive, ao colocar o cursor sobre a medida e premir -. Passo 3: Agora, os estudantes podem analisar a relação entre a recta e o seu declive e equação. Em Em primeiro lugar, os estudantes devem arrastar o ponto P ou Q e observar o que se altera. A seguir, devem arrastar a própria recta e observar as alterações. Os estudantes também devem arrastar o ponto Q até ao eixo y (ou redefini-lo no eixo y) para analisar a relação entre a ordenada na origem de uma recta e a sua equação. Página Texas Instruments Incorporated

5 Problema 3 Analisar os declives de rectas paralelas e perpendiculares Passo 1: Na página 3.1, são apresentadas aos estudantes duas rectas paralelas, as suas equações e declives. (Estas já foram previamente criadas.) Em alternativa, os estudantes podem criar as rectas paralelas, indicar os declives e pesquisar. Os estudantes devem pesquisar as relações entre rectas paralelas e declives, arrastando a recta original através de um dos pontos que a define, P ou Q. Passo 2: Na página 3.2, são apresentadas aos estudantes duas rectas perpendiculares, as suas equações e declives. Novamente, podem escolher se pretende que os estudantes construam as rectas ou não. Peça aos estudantes para rodarem as rectas e tentarem identificar a relação entre os seus declives. Passo 3: Outro método para observar a relação dos declives é tentar calcular o seu produto. Peça aos estudantes para seleccionarem MENU > Tools > Text, premir num espaço livre da área de trabalho e inserirem A*B (ou quaisquer outras duas variáveis). A seguir, devem seleccionar MENU > Tools > Calculate, colocar o cursor sobre a nova caixa de texto criada e premir. Ao deslocar o cursor para fora da caixa de texto, é solicitado aos estudantes o valor das variáveis. O produto será apresentado após clicar em ambos os declives medidos. Peça aos estudantes para o arrastarem para uma localização conveniente no ecrã. Finalmente, os estudantes devem arrastar a recta através dos pontos P ou Q, segurando e arrastando qualquer um dos pontos. Peça-lhes para observarem o que acontece ao produto quando modificam a recta! 2007 Texas Instruments Incorporated Página 29

6 Extensões Conforme indicado na preparação do professor, esta actividade pode ser extendida de várias formas, conforme o nível do estudante. Pode alterar a actividade facilmente, de forma a orientar os estudantes para um estudo mais aprofundado de declives, rectas paralelas e provas. Pontos, Rectas e Declives ID: 8106 (Estudante) Ficheiro TI-Nspire: Geometria: Pontos, Rectas e Declives.tns Página Texas Instruments Incorporated

7 Introdução à Geometria Pontos, Rectas e Declives ID: 8106 Nome Turma Nesta actividade, poderá explorar: a relação entre as coordenadas de pontos e as suas localizações no plano de coordenadas a relação entre rectas e as suas equações, declives e ordenadas na origem os declives de rectas paralelas e perpendiculares Abra o ficheiro Geometria Pontos Rectas e Declives.tns no TI-Nspire e siga este documento e o seu professor. Registe as respostas na ficha de trabalho ou conforme indicado pelo professor. Problema 1 Analisar as coordenadas de pontos Na página 1.2, crie dois pontos e dê-lhes os nomes P e Q em qualquer local do plano Cartesiano, conforme indicado pelo professor. Utilize a ferramenta Coordinates & Equations para apresentar as coordenadas de ambos os pontos. Seleccione MENU > Tools > Redefine para localizar o ponto P no eixo x e o ponto Q no eixo y. Arraste os pontos sobre os eixos respectivos e responda às perguntas seguintes. Explique o que é comum a todos os pontos do eixo x. Explique o que é comum a todos os pontos do eixo y. Agora, active a grelha seleccionando MENU > View > Show Grid. Redefina os pontos P e Q como pontos da grelha, de forma a que as coordenadas tenham valores inteiros. Conforme indicado pelo professor, mova o ponto P na grelha até conseguir completar as afirmações da página seguinte Texas Instruments Incorporated Página 1

8 Introdução à Geometria Complete as afirmações usando as palavras positiva ou negativa. Um ponto está no Quadrante1 (parte superior direita) quando a sua coordenada x é e a sua coordenada y é. Um ponto está no Quadrante 2 (parte superior esquerda) quando a sua coordenada x é e a sua coordenada y é. Um ponto está no Quadrante 3 (parte inferior esquerda) quando a sua coordenada x é e a sua coordenada y é. Um ponto está no Quadrante 4 (parte inferior direita) quando a sua coordenada x é e a sua coordenada y é. A seguir, siga as instruções do professor para criar perpendiculares através do ponto P até cada eixo e medir cada uma das distâncias. Arraste o ponto P e pesquise. Qual é a relação entre as coordenadas do ponto P e as distâncias até cada eixo? Problema 2 Analisar rectas, equações e declives Ouça a explicação do professor sobre como desenhar uma recta através dos pontos P e Q e mostre a sua equação e declive. Observe a relação entre o declive e a equação à medida que altera a recta, ao segurar e arrastar o ponto P e, em seguida, ao segurar e arrastar a própria recta. Ao arrastar a recta movendo o ponto P, qual é a relação entre o declive e a equação? Ao arrastar a própria recta, o que se altera na equação? Arraste o ponto Q até ao eixo y (ou redefina-o no eixo y). Qual é a relação entre o ponto Q e a equação da recta? 2007 Texas Instruments Incorporated Página 2

9 Introdução à Geometria Problema 3 Analisar os declives de rectas paralelas e perpendiculares Na página 3.1, arraste as rectas pelos pontos P e Q e observe os declives. O que pode dizer acerca dos declives de duas rectas paralelas? Na página 3.2, arraste novamente as rectas para analisar a relação entre os declives. O que pode dizer acerca dos declives de duas rectas perpendiculares? Finalmente, utilizará a ferramenta Calculate (MENU > Tools > Calculate) para observar o que acontece quando os declives de duas rectas perpendiculares são multiplicados. Crie uma caixa de texto (MENU > Tools > Text) numa área livre do gráfico, e digite a*b (ou quaisquer outras duas variáveis). A seguir, seleccione a ferramenta Calculate e coloque o cursor sobre a caixa de texto criada. Prima e desloque um pouco o cursor. Serão agora solicitados os valores a utilizar para a e b. Apenas é necessário clicar em cada um dos declives na parte inferior do ecrã. Desloque o produto para junto da expressão original. Agora, altere as rectas segurando e arrastando o ponto P. O que observa no resultado dos declives? 2007 Texas Instruments Incorporated Página 3