Após analisarem os exemplos desta actividade, os estudantes começarão a reconhecer as seguintes características importantes:

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1 Começar com o TI-Nspire Traçado de Derivadas ID: 8110 Tempo necessário 45 minutos Descrição Geral da Actividade Os estudantes observarão diversas funções em cujos gráficos foi criada uma tangente à curva. Ao arrastar a tangente à curva, o gráfico da derivada será traçado utilizando a função automatic data capture (recolha automática de dados). Será dado destaque à exploração da relação entre o declive da curva original e o valor y do gráfico da derivada. Os estudantes pesquisarão igualmente a relação entre extremos locais e os zeros correspondentes no gráfico da derivada (assumindo que a derivada está definida nesses pontos). Adicionalmente, os estudantes observarão a ligação entre os intervalos nos quais a função cresce ou decresce e o sinal da derivada. Finalmente, os estudantes analisarão exemplos nos quais a derivada não está definida num ponto específico, como pontos de descontinuidade, vértices ou pontos de tangente vertical. Conceitos Declive de uma tangente Definição da derivada Gráfico da derivada Preparação do Professor Esta análise oferece a oportunidade aos estudantes de entenderem as relações entre o gráfico de uma função e a sua derivada. O ponto central desta actividade consiste na capacidade do estudante em reconhecer que a coordenada y da derivada em cada ponto do gráfico é igual ao declive da tangente ao gráfico. A função automatic data capture (recolha automática de dados) permite aos estudantes observarem esta característica importante, centrando a sua atenção no gráfico da derivada um ponto cada vez, em vez da função como um todo. Além disso, é vantajoso se os estudantes participarem nesta actividade antes de aprenderem as regras de diferenciação (ou seja, regra de potência, regra de produto, etc.), uma vez que o conhecimento destas regras permitirá aos estudantes determinar a forma do gráfico, pela determinação da expressão analítica da derivada da função. Esta actividade descreve as relações base existentes entre o gráfico de uma função e a sua derivada. Reveja com os estudantes como calcular o declive de uma tangente num ponto específico utilizando os limites. Por exemplo, os estudantes devem estar familiarizados com f ( x) f ( a) as fórmulas seguintes para calcular a derivada em x = a, lim e x a x a f ( a+ h) f ( a) lim. h 0 h Após analisarem os exemplos desta actividade, os estudantes começarão a reconhecer as seguintes características importantes: Enquanto o gráfico da derivada de uma função foi explorado um ponto cada vez, o lugar geométrico dos pontos criado nesta actividade define a derivada como uma f ( x + h) f ( x) função, que pode ser representada pela fórmula, lim. h 0 h 2007 Texas Instruments Incorporated Página 51

2 Começar com o TI-Nspire À medida que os estudantes começarem a pensar na derivada como uma função, observarão igualmente outras características que lhes permitirão determinar a fórmula para uma derivada. Por exemplo, os estudantes observarão que o grau da derivada de uma função polinomial é inferior ao grau da função original em uma unidade. Alguns estudantes poderão ainda reconhecer que as derivadas das funções polinomiais do n n 1 tipo f ( x) = anx + an 1x + L + a1x + a0 são do tipo n 1 n 2 f ( x) = n anx + ( n 1) an 1x + L + a1. Este tipo de observação deve ser encorajado e permitirá um melhor esclarecimento sobre a derivada de potências. Nas figuras das páginas são apresentados os resultados esperados dos estudantes. Consulte as figuras da página 56 para uma visualização prévia do ficheiro.tns dos estudantes. Orientação da Turma Pretende-se que esta actividade seja conduzida pelos estudantes, tendo o professor um papel de intermediário enquanto os estudantes trabalham em conjunto. A ficha de trabalho tem por finalidade orientar os estudantes através das ideias principais da actividade e permitir o registo das suas observações. Os estudantes utilizarão construções realizadas previamente, em vez de criarem as suas próprias. Por esta razão, é suficiente um conhecimento básico do funcionamento do TI-Nspire. Após concluírem cada traçado, os estudantes devem avançar para a página Lists & Spreadsheet, posicionar o cursor na célula da fórmula (a cinzento) da Coluna A e premir duas vezes para limpar os dados. A seguir, os estudantes devem repetir este processo para a Coluna B. Se estes passos não forem seguidos, haverá uma acumulação de dados, causando o funcionamento lento do dispositivo ou uma situação de bloqueio. Também é recomendado que os estudantes desloquem lentamente o cursor do lado esquerdo do ecrã para o lado direito do ecrã apenas uma vez. Isto também limitará a quantidade de dados acumulada na aplicação Lists & Spreadsheet. As ideias apresentadas nas páginas seguintes têm por finalidade fornecer uma estrutura sobre o desenvolvimento da actividade. Também são fornecidas sugestões para ajudar a garantir que os objectivos desta actividade são cumpridos. Aplicações do TI-Nspire Graphs & Geometry, Lists & Spreadsheet, Notes Página Texas Instruments Incorporated

3 Começar com o TI-Nspire Uma pergunta central define esta actividade: Que tipo de gráfico é criado quando relacionamos a abcissa x com o valor do declive da recta tangente à função nesse ponto? A esta pergunta deve seguir-se alguma discussão, incluindo uma exemplificação do significado da pergunta, referindo o gráfico da página 1.2. Indique aos estudantes que o ponto no eixo x possui coordenadas (a, 0), e que este será simplesmente referido como a. Peça-lhes para observarem o ponto P, cuja coordenada x é a e cuja coordenada y é o declive da tangente ao gráfico em x = a. A seguir, pergunte aos estudantes se conseguem identificar o percurso traçado por P quando a é deslocado ao longo do eixo x. Problema 1 Analisar o gráfico da derivada das funções polinomiais Passo 1: Indique aos estudantes que trabalharão em conjunto, começando com um estudo do gráfico apresentado na página 1.3. Os estudantes terão de explicar que o ponto P, localizado no cruzamento das linhas tracejadas, representa um ponto com uma coordenada x igual a a e a coordenada y igual ao declive da tangente para f em x = a. Para este caso e desenhos subsequentes, as coordenadas do ponto P estão indicadas no canto superior direito do ecrã como uma referência para os estudantes. Passo 2: A seguir, os estudantes devem segurar no ponto a e deslocá-lo lentamente ao longo do eixo x. Tal acção faz com que a posição do ponto P seja também alterada. Os estudantes devem agora concentrar-se na localização do ponto P enquanto o ponto a é arrastado. Em particular, devem considerar o ponto P como possuindo uma coordenada y igual ao declive da tangente. Poderão visualizar o gráfico da derivada no passo seguinte. Passo 3: Os estudantes devem avançar para a página 1.4, segurar no ponto a e deslocá-lo lentamente ao longo do eixo x. É importante que os estudantes observem que a derivada é positiva quando f aumenta e negativa quando f diminui. Os estudantes também reconhecerão que os valores máximos e mínimos locais de f correspondem às intersecções da derivada com o eixo x. Certifique-se de que entendem que isto ocorre porque a tangente à curva nestes pontos é horizontal Texas Instruments Incorporated Página 53

4 Começar com o TI-Nspire Passo 4: Os estudantes devem agora avançar para a página 1.5 e limpar os dados inseridos nas Colunas A e B. Para tal, devem simplesmente seleccionar a célula da fórmula (a cinzento) para cada coluna e premir duas vezes. Isto permitirá limpar os dados recolhidos e manter a função de recolha automática de dados. Passo 5: Peça aos estudantes para regressarem à página 1.4 e premirem /+G para visualizarem a linha de edição de funções. Terão de introduzir a função 4 2 f ( x) = x 8x +5 como f1, ocultar a linha de edição de funções ao premirem novamente /+G, e redimensionar a janela para ficar semelhante à apresentada no diagrama em baixo. Passo 6: A seguir, os estudantes devem arrastar o ponto a e traçar a derivada. Devem comparar os resultados com o gráfico desenhado manualmente. Repita os Passos 4 6 com polinómios adicionais, se for necessário que os estudantes pratiquem mais. Problemas 2 e 3 Analisar as localizações em que a derivada não está definida Passo 1: Os estudantes devem avançar para a página 2.1. Ser-lhes-á novamente solicitado para desenharem um gráfico da derivada antes de arrastarem o ponto a. O ecrã à direita mostra que a derivada não está definida para os valores de x onde existe um vértice. Certifique-se de que os estudantes limpam os dados da página 2.2 (consulte o Passo 4 em cima) antes de avançarem para o Problema 3. Página Texas Instruments Incorporated

5 Começar com o TI-Nspire Passo 2: No Problema 3, os estudantes poderão observar que a derivada não está definida para os valores de x, onde existe uma descontinuidade infinita. Os estudantes devem limpar novamente os dados recolhidos após realizarem este traçado. Problemas 4 a 5 Derivadas com características interessantes Passo 1: Os estudantes devem avançar para a página 4.1. Utilizando o que aprenderam até agora, deverão desenhar um gráfico da derivada e verificar os resultados ao arrastar o ponto a. Devem reconhecer que a derivada de y = sin x é y = cos x. Novamente, os estudantes devem limpar os dados antes de avançar. Passo 2: Os estudantes devem avançar para a página 5.1, onde deverão desenhar novamente um gráfico da derivada e verificar os resultados ao arrastar o ponto a. Aqui, deverão observar que x a derivada de y = e é igual à própria função Texas Instruments Incorporated Página 55

6 Traçado de Derivadas ID: 8110 (Estudante) Ficheiro TI-Nspire: Cálculo Traçado de Derivadas.tns Começar com o TI-Nspire Página Texas Instruments Incorporated

7 Começar com o Cálculo Traçado de Derivadas ID: 8110 Nome Turma Nesta actividade, poderá explorar: o gráfico da derivada de uma função Abra o ficheiro Cálculo Traçado de Derivadas.tns no TI-Nspire e siga as instruções do professor para os dois primeiros ecrãs. Utilize este documento como um guia para a actividade e para registar as suas respostas. Desloque-se para a página 1.2 e aguarde mais instruções do professor. A página 1.2 (visualizada à direita) apresenta uma tangente ao gráfico de f(x) em x = a. Qual acha que deve ser a localização do ponto P se a sua coordenada x é igual a a e a sua coordenada y é igual ao declive da tangente em x = a? Problema 1 Analisar o gráfico da derivada das funções polinomiais Avance até à página 1.3. Poderá observar um ecrã semelhante ao apresentado à direita, mostrando a 3 2 curva f ( x) = x 3x 2x +6 e uma tangente à curva. O ponto a no eixo x corresponde ao ponto da intersecção entre f(x) e a tangente. O ponto P também é apresentado com as suas coordenadas localizadas no canto superior direito do ecrã. Explique o que representa o ponto P. Arraste lentamente o ponto a ao longo do eixo x e observe o movimento do ponto P. No espaço em baixo, descreva o movimento do ponto P e a sua relação com a posição do ponto a e o declive da recta tangente à função Texas Instruments Incorporated Página 1

8 Começar com o Cálculo Avance até à página 1.4. Visualizará o mesmo ecrã que na página anterior do documento. Arraste lentamente o ponto a ao longo do eixo x (apenas uma vez, da esquerda para a direita) e observe o traço criado pelo trajecto do ponto P. Desenhe o traçado, que será designado por derivada de f(x), no diagrama fornecido na página anterior. Estude o traçado e responda às perguntas seguintes. Para que valores de x a derivada é positiva? Para que valores de x a derivada é negativa? Qual é a relação entre os valores máximos e/ou mínimos de f(x) e a derivada? Explique. Avance até à página 1.5 e coloque o cursor na célula da fórmula (a cinzento) da Coluna A. Prima duas vezes para eliminar os dados desta coluna. Repita este procedimento para eliminar os dados da Coluna B. Regresse à página 1.4 e prima / + G para visualizar a linha edição de funções. Altere f1 para 4 2 f ( x) = x 8x +5 e oculte a linha de edição de funções ao premir novamente / + G. Redimensione a janela de forma a ficar semelhante à apresentada à direita. (Utilize MENU > Window > Window Settings). Antes de arrastar o ponto a, tente adivinhar quais são os intervalos nos quais a derivada será positiva e negativa. Igualmente, tente prever qual será o valor da derivada nos pontos em que a função f1(x) tem máximos e mínimos locais. A seguir, desenhe uma forma possível da derivada. Utilize o ponto P como o ponto de início para o desenho. Agora, arraste o ponto a e compare este resultado com o desenho realizado manualmente. Os intervalos onde a derivada é positiva e negativa são coerentes com as observações feitas em 3 2 relação à função f ( x) = x 3x 2x + 6, pesquisada anteriormente? As intersecções com o eixo x são as esperadas? Antes de avançar para o Problema 2, vá até à página 1.5 e elimine os dados das Colunas A e B conforme descrito anteriormente Texas Instruments Incorporated Página 2

9 Começar com o Cálculo Problemas 2 e 3 Investigar os pontos em que a derivada não está definida Avance até à página 2.1. O gráfico de uma nova função e uma recta tangente são apresentados. Antes de arrastar o ponto a, desenhe a possível configuração do gráfico da derivada. Utilize o ponto P como o ponto inicial. Agora, arraste o ponto a e compare o resultado com o desenho realizado. Explique o que acontece ao gráfico da derivada para os valores de x que correspondem aos ângulos do gráfico de f(x). Baseando-se nestas observações, diria que a derivada de f(x) está definida nestes pontos? Limpe os dados da página 2.2, conforme realizado no problema anterior. Avance até à página 3.1. Novamente, é apresentada uma nova função. Antes de arrastar o ponto a, desenhe a possível configuração do gráfico da derivada. Utilize o ponto P como o ponto inicial. Agora, arraste o ponto a e compare o resultado com o desenho realizado. Explique o que acontece ao gráfico da derivada para os valores de x que correspondem à localização de uma assimptota vertical no gráfico de f(x). Baseando-se nestas observações, diria que a derivada de f(x) está definida nestes pontos? Novamente, avance até à página 3.2 para limpar os dados recolhidos Texas Instruments Incorporated Página 3

10 Começar com o Cálculo Problemas 4 a 5 Derivadas com características interessantes Avance até à página 4.1. Poderá visualizar o ecrã à direita. Qual é a função apresentada? Antes de arrastar o ponto a, desenhe a possível configuração do gráfico da derivada. Utilize o ponto P como o ponto inicial. Agora, arraste o ponto a e compare o resultado com o desenho realizado. Qual foi a função traçada? Confirme o resultado ao premir / + G e digite a função em f2. f2 coincide com o traçado? Avance até à página 4.2 e limpe os dados conforme efectuado no problema anterior. Avance até à página 5.1, onde é apresentado o gráfico x de y = e. Antes de arrastar o ponto a, desenhe a possível configuração do gráfico da derivada. Utilize o ponto P como o ponto inicial. Agora, arraste o ponto a e compare o resultado com o desenho realizado. Exponha quaisquer conclusões interessantes observadas Texas Instruments Incorporated Página 4