Capítulo 7: Representação gráfica de equações paramétricas 127. (x(t),y(t)) y(t) = v 0 t sin q (g/2)tñ. x(t) = v 0 t cos q

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1 Capítulo 7: Representação gráfica de equações paramétricas 7 Visão geral da representação gráfica de equações paramétricas Descrição das etapas do procedimento para a representação de equações paramétricas Diferenças entre a representação de equações paramétricas e de funções Este capítulo descreve como representar graficamente as equações paramétricas na TI-89 / TI-92 Plus. Antes de utilizar os procedimentos descritos neste capítulo, convém familiarizar-se com o capítulo 6: Representação gráfica de funções: operações básicas. As equações paramétricas são constituídas por uma componente x e uma y, cada uma delas expressa em função da mesma variável independente t. As equações paramétricas podem ser utilizadas para representar a trajetória de um projétil. A posição de um projetil em movimento tem uma componente horizontal (x) e uma vertical (y) expressa em função do tempo (t). Por exemplo: y(t) = v 0 t sin q (g/2)tñ (x(t),y(t)) x(t) = v 0 t cos q O gráfico representa o percurso do projetil em função do tempo, assumindo que apenas uma força de gravidade constante atua sobre o projétil (sem forças de atrito, etc.). Capítulo 7: Representação gráfica de equações paramétricas 127

2 Visão geral da representação gráfica de equações paramétricas Represente graficamente as equações paramétricas que descrevem a trajetória de uma bola chutada com um ângulo (q) de 60 e uma velocidade inicial (v 0 ) de 15 metros por segundo. A constante de gravidade é g = 9.8 metros/seg. 2. Ignorando a resistência do ar e outras forças de atrito, qual é a altura máxima da bola e em que momento tocará o solo? Etapas ³ TI-89 Teclas TI-92 Plus Teclas Tela 1. Exiba a caixa de diálogo MODE. Defina o modo Graph em PARAMETRIC. 3 B 2 3 B 2 2. Exiba e limpe Y= Editor. Defina então a componente horizontal xt1(t) = v 0 t cos q. Introduza um valor para v 0 e q. TI-89: Digite T p2x, e não T 2X. TI-92 Plus: Digite T p X, naõ T X. Introduza o símbolo digitando 2 ou 2I2 1. Desta forma o número é interpretado em graus independentemente do modo do ângulo. 3. Defina a componente vertical yt1(t) = v 0 t sin q (g/2)t 2. Introduza um valor para v 0,q, e g. # ƒ8 2X60 2 d 2W60 2 d c 9.8e2d TZ2 # ƒ8 X60 2 d W60 2 d c 9.8e2d TZ2 xt1(t)=15tù cos(60 ) 4. Exiba Window Editor. Introduza as variáveis Window apropriadas para este exemplo. Para introduzir um valor e passar à próxima variável, pressione D ou. $ 0D3D.02D 2D 25D5D 2D10D 5 $ 0D3D.02D 2D 25D5D 2D10D 5 5. Represente graficamente as equações paramétricas para obter o modelo da trajetória da bola. 6. Selecione Trace. Desloque o cursor ao longo da trajetória para encontrar: o valor de y relativo à altura máxima. o valor de t relativo ao momento em que a bola bate no solo. % % B ou A conforme necessário B ou A conforme necessário 128 Capítulo 7: Representação gráfica de equações paramétricas

3 Descrição das etapas do procedimento para a representação de equações paramétricas Para a representação gráfica de equações paramétricas, o procedimento utilizado é o mesmo usado para as funções y(x), descrito no capítulo 6: Representação gráfica de funções: operações básicas. As diferenças que se referem às equações paramétricas estão descritas a seguir. Representação gráfica de equações paramétricas Defina o modo Graph (3) em PARAMETRIC. Se necessário, defina também o modo Angle. Defina as componentes x e y em Y= Editor ( #). Sugestão: para desativar um gráfico de dados estatísticos (capítulo 16), pressione 5 ou. Sugestão: esta etapa é opcional. Em caso de várias equações, ajuda a distingüir visualmente uma da outra. Sugestão: Zoom também modifica a janela de exibição. Exploração do gráfico Selecione com ( ) as equações definidas que deseja representar graficamente. Selecione a componente x, y ou ambos. Defina o estilo de exibição das equações. É possível definir o componente x ou y. TI-89: 2 ˆ TI-92 Plus: ˆ Defina a janela de exibição ( $). Modifique, se necessário, o formato gráfico. ƒ 9 ou TI-89: Í TI-92 Plus: F Represente graficamente as equações selecionadas ( %). Na tela Graph, é possível: Exibir as coordenadas dos pixels, utilizando o cursor de movimento livre ou as coordenadas de um ponto graficado seguindo o traçado da equação paramétrica. Utilizar o menu Zoom da barra de ferramentas para ampliar ou reduzir uma parte do gráfico. Utilizar o menu Math da barra de ferramentas para calcular derivadas, tangentes, etc. Para os gráficos de equações paramétricas, alguns itens do menu não estão disponíveis. Capítulo 7: Representação gráfica de equações paramétricas 129

4 Diferenças entre a representação de equações paramétricas e de funções Este capítulo pressupõe o conhecimento do procedimento de representação gráfica das funções y(x), descrito no capítulo 6: Representação gráfica de funções: operações básicas. Esta seção descreve as diferenças relativas às equações paramétricas. Configuração do modo Graph Definição de equações paramétricas em Y= Editor Utilize 3 para estabelecer a configuração de Graph = PARAMETRIC, antes de definir as equações ou as variáveis Window. Em Y= Editor e Window Editor é possível introduzir informações relativas exclusivamente ao modo Graph atual. Para representar o gráfico de uma equação paramétrica, é preciso definir ambas as componentes x e y; caso contrário, a equação não pode ser representada. (Todavia, é possível utilizar uma única componente para gerar uma tabela automática, como descrito no capítulo 13.) Introduza as componentes x e y em linhas separadas. É possível definir de xt1(t) a xt99(t) e de yt1(t) a yt99(t). Preste atenção ao utilizar uma multiplicação implícita com t. Por exemplo: Nota: utilizando t, assegurese que a multiplicação implícita é válida para a situação. Sugestão: na tela principal, é possível utilizar o comando Define (vide apêndice A) para definir funções e equações em qualquer modo de representação gráfica, independentemente do modo atual. Introduza: Ao invés de: Motivo: tù cos(60) tcos(60) tcos é interpretado como a função definida pelo usuário denominada tcos e não como uma multiplicação implícita. Na maioria dos casos, isto tem a ver com uma função que não existe; portanto a TI-89 / TI-92 Plus simplesmente exibe o nome da função e não um número. Y= Editor mantém uma lista de funções independente para cada estado do modo Graph. Suponha o exemplo seguinte: No modo de representação gráfica FUNCTION, defina um conjunto de funções y(x). Em seguida mude para o modo PARAMETRIC e defina um conjunto de componentes x e y. Ao regressar para o modo FUNCTION, as funções y(x) continuam definidas em Y= Editor. Ao voltar para o modo PARAMETRIC, a definição das componentes x e y continuam definidas. 130 Capítulo 7: Representação gráfica de equações paramétricas

5 Seleção de equações paramétricas Para representar graficamente uma equação paramétrica, selecione a componente x ou y ou ambas. Ao introduzir ou editar uma componente, ela será automaticamente selecionada. A seleção separada de x e y pode ser útil para as tabelas, como descrito no capítulo 13. Com várias equações paramétricas, é possível selecionar e comparar todas as componentes x e y. Seleção do estilo de exibição Sugestão: utilize os efeitos relativos à trajetória de um projétil: Animate e Path. É possível definir o estilo de exibição para a componente x ou y. Por exemplo: definindo a componente x em Dot, a TI-89 / TI-92 Plus define automaticamente a componente y em Dot. Os estilos Above e Below não estão disponíveis para as equações paramétricas e estão inativos no menu Style da barra de ferramentas de Y= Editor. Variáveis Window Nota: é possível utilizar um tstep negativo. Neste caso, tmin deve ser superior a tmax. Window Editor mantém um conjunto independente de variáveis Window para cada definição do modo Graph (da mesma forma que Y= Editor mantém listas de funções independentes). Os gráficos paramétricos utilizam as seguintes variáveis Window: Variável tmin, tmax tstep xmin, xmax, min, ymax Descrição Valores máximo e mínimo de t que serão calculados. Incremento do valor t. As equações paramétricas são calculadas conforme os valores de: x(tmin) y(tmin) x(tmin+tstep) y(tmin+tstep) x(tmin+2(tstep)) y(tmin+2(tstep))... que não ultrapasse que não ultrapasse... x(tmax) y(tmax) Extremos da janela de exibição. xscl, yscl Distância entre as marcas nos eixos x e y. Os valores padrão (definidos ao selecionar 6:ZoomStd no menu Zoom da barra de ferramentas) são: tmin = 0. xmin = ë 10. ymin = ë 10. tmax = 2p ( radianos ou 360 graus) xmax = 10. ymax = 10. tstep =p/24 ( radianos ou 7.5 graus) xscl = 1. yscl = 1. Pode ser necessário modificar os valores padrão para as variáveis t (tmin, tmax, tstep), para garantir a representação de um número suficiente de pontos. Capítulo 7: Representação gráfica de equações paramétricas 131

6 Exploração de um gráfico Sugestão: durante uma operação de traçado, é possível calcular x(t) e y(t), digitando o valor de t e pressionando. Sugestão: é possível utilizar QuickCenter em qualquer momento durante um traçado, mesmo se o cursor ainda estiver posicionado na tela. Da mesma forma que ocorre com a representação gráfica das funções, é possível explorar um gráfico usando as ferramentas abaixo. Ferramenta Cursor de movimento livre Para gráficos de equações paramétricas: Funciona da mesma forma que nos gráficos de funções. Zoom Funciona da mesma forma que nos gráficos de funções, exceto: Somente afeta as variáveis Window x (xmin, xmax, xscl) e y (ymin, ymax, yscl). Trace Não afeta as variáveis Window t (tmin, tmax, tstep) a não ser que selecione 6:ZoomStd (que define tmin = 0, tmax = 2p, e tstep = p/24). Permite deslocar o cursor ao longo de um gráfico com um incremento tstep de cada vez. Ao iniciar uma operação de traçado, o cursor se posiciona na primeira equação paramétrica selecionada em tmin. QuickCenter é válido para todas as direções. Se deslocar o cursor para uma área não contida na tela (para cima ou para baixo, para a esquerda ou para a direita), pressione para centralizar a janela de exibição na posição do cursor. O enquadramento automático não está disponível. Se deslocar o cursor além do limite direito ou esquerdo da tela, a TI-89 / TI-92 Plus não enquadrará automaticamente a janela de visualização; porém é possível utilizar QuickCenter. Math Para os gráficos de equações paramétricas, estão disponíveis somente as opções: 1:Value, 6:Derivatives, 9:Distance, A:Tangent, e B:Arc. Estas ferramentas se baseiam nos valores de t. Por exemplo: 1:Value exibe os valores de x e y para um valor t especificado. 6:Derivatives determina dy/dx, dy/dt, ou dx/dt em um ponto definido para o valor t especificado. 132 Capítulo 7: Representação gráfica de equações paramétricas