Segmentos em Círculos

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1 Segmentos em Círculos ID: 8107 Tempo necessário 45 minutos Descrição Geral da Actividade Nesta actividade, os estudantes explorarão as relações entre segmentos especiais em círculos. Entre os segmentos especiais estão incluídos segmentos de tangentes, segmentos criados por duas cordas cruzadas e segmentos de secantes. Os estudantes irão guardar dados em variáveis e utilizar as funções de recolha de dados automática e manual numa folha de cálculo, escrevendo as fórmulas nas folhas de cálculo para confirmarem as relações entre os segmentos. Conceitos Tangentes e secantes Segmentos de tangentes e segmentos de secantes Cordas Preparação do Professor Esta actividade foi concebida para ser utilizada numa aula de geometria do ensino secundário. Os estudantes já deverão estar familiarizados com as partes de um círculo, incluindo tangentes e secantes. Se necessário, introduza os termos seguintes: segmento de tangente, segmento de secante, segmento de secante interno e segmento do secante externo. Relembre os estudantes que as secantes e as tangentes são rectas e como as rectas são infinitas, estas não podem ser medidas. Os segmentos são porções finitas de rectas e as distâncias entre os seus extremos podem ser medidas. Esta actividade exige um conhecimento básico do TI-Nspire, como desenhar formas e calcular o comprimento de segmentos. Devido à quantidade de memória utilizada para a recolha automática de dados, é recomendado que os estudantes optem por não guardar este ficheiro quando terminarem ou que limpem os dados da folha de cálculo antes de o guardar (premindo duas vezes ENTER nas células das fórmulas nas colunas com os dados). Nas figuras das páginas são apresentados os resultados esperados dos estudantes. Consulte as figuras da página 38 para uma visualização prévia do ficheiro.tns dos estudantes. Orientação da Turma Pretende-se que esta actividade seja essencialmente orientada pelo professor, com intervalos para um trabalho individual de cada estudante. Utilize as páginas seguintes para apresentar o material à turma e encorajar a discussão. Os estudantes devem seguir com os seus computadores de mão. A ficha de trabalho permite orientar os estudantes através da actividade e que os estudantes registem as suas respostas. A informação para uma extensão da actividade é fornecida no final desta actividade, tanto na ficha de trabalho dos estudantes como no ficheiro.tns. Se não pretender que os estudantes realizem essa extensão, pode apagá-la no ficheiro.tns e peça aos estudantes para ignorarem essa parte na ficha de trabalho. Aplicações do TI-Nspire Graphs & Geometry, Lists & Spreadsheet, Notes 2007 Texas Instruments Incorporated Página 31

2 Esta actividade permite aos estudantes descobrir, confirmar e explorar de forma interactiva os teoremas que descrevem as relações com diferentes segmentos em círculos. Pode ser necessário ajudar os estudantes a utilizar as diferentes ferramentas do computador de mão; as instruções são fornecidas neste documento aquando da primeira utilização. Problema 1 Cordas e tangentes Passo 1: Peça aos estudantes para utilizarem a ferramenta Circle ( ) do menu Shapes, para desenhar um círculo na página 1.2. A seguir, devem desenhar duas tangentes (MENU > Points & Lines > Tangent) à circunferência e alongarem as linhas até estas se cruzarem. Agora, peça-lhes para utilizarem a ferramenta Intersection Point(s) ( ) do menu Points & Lines, de forma a marcar o ponto de intersecção. Passo 2: Os estudantes devem utilizar a ferramenta Length ( ) para medirem a distância entre este ponto de intersecção e os dois pontos de tangência. (Após seleccionarem a ferramenta, devem clicar em cada extremidade de um segmento para calcular o seu comprimento). A seguir, devem segurar a circunferência e deslocar o cursor para alterar o seu tamanho. Devem registar as suas observações na folha de cálculo. (Os estudantes devem verificar que os comprimentos dos segmentos das tangentes permanecem iguais). Passo 3: Na página 1.3, são desenhadas duas cordas num círculo. Os seus comprimentos já foram medidos e guardados como variáveis conforme indicado. Página Texas Instruments Incorporated

3 Passo 4: Peça aos estudantes para avançarem até à página 1.4 e configurarem a folha de cálculo para recolher automaticamente cada comprimento. Na célula a cinzento da fórmula da Coluna A, devem seleccionar MENU > Data > Data Capture > Automated Data Capture e inserir w como a variável a ser recolhida. (O 1 após cada variável indica que os dados estão a ser recolhidos automaticamente, em vez da forma manual). Quando solicitado, peça-lhes para seleccionarem variable reference (em vez de column reference) para recolherem os valores da variável. Caso contrário, o dispositivo procurará os valores na Coluna W. Repita a recolha para as Colunas B, C e D e para as variáveis x, y e z, respectivamente. Os estudantes podem, se assim o pretenderem, designar cada uma das listas na parte superior da coluna, como wlist, xlist, etc. Passo 5: Peça aos estudantes para introduzirem as fórmulas nas células a cinzento das Colunas E e F, de forma a calcular o produto dos comprimentos dos segmentos de cada corda, ou seja, w x e y z. Para calcular o produto do conteúdo da Coluna A com o valor correspondente na Coluna B, devem inserir =a[]*b[]. (Nota: Se os estudantes designaram as listas, podem utilizar os nomes das colunas. Por exemplo, podem escrever =wlist*xlist.) Insira os parênteses rectos ao premir / + ( (o parêntese esquerdo). O parêntese direito surgirá automaticamente quando o botão é premido. Os estudantes podem alargar uma coluna em particular ao seleccionar MENU > Actions > Resize Texas Instruments Incorporated Página 33

4 Passo 6: Peça aos estudantes para regressarem à página 1.3 e alterarem lentamente o tamanho da circunferência. Os novos comprimentos são recolhidos e registados na folha de cálculo à medida que isto é efectuado. Devem regressar à folha de cálculo e observar os dados das Colunas E e F para efectuarem uma interpretação. (Quando duas cordas se cruzam, os produtos dos comprimentos dos segmentos de cada corda são iguais). Problema 2 Intersecção de secantes e tangentes Passo 1: Peça aos estudantes para desenharem um círculo na página 2.1. A seguir, devem utilizar a ferramenta Line e ( ) e a ferramenta Tangent ( ) para desenharem uma secante e uma tangente que se cruzem no exterior do círculo. Novamente, os estudantes devem traçar o ponto de intersecção, utilizando a ferramenta Intersection Point(s). (Todas estas três ferramentas estão disponíveis no menu Points & Lines). Passo 2: Peça aos estudantes para utilizarem novamente a ferramenta Length para medirem o comprimento do segmento da tangente e os segmentos interno e externo da secante. Devem guardar cada valor como uma variável (utilizar t para o segmento da tangente, se para o segmento externo da secante e si para o segmento interno da secante), efectuando o seguinte: clicar uma vez num valor para seleccioná-lo, premir / + h, introduzir o nome da variável e premir. Lembre os estudantes que devem premir d para retirar a selecção de cada valor antes de tentarem guardar qualquer outro. Peça-lhes para interpretarem a relação entre os diferentes comprimentos dos segmentos antes de avançar. Página Texas Instruments Incorporated

5 Passo 3: Peça aos estudantes para configurarem a folha de cálculo da página 2.2 para recolher manualmente cada comprimento. Para a Coluna A, devem seleccionar MENU > Data > Data Capture > Manual Data Capture e inserir t como a variável a ser recolhida. (Agora surge um 0 após cada variável, indicando que os dados serão recolhidos manualmente). Repita a recolha para as Colunas B, e C e para as variáveis se e si, respectivamente. Tenha em atenção que os valores actuais ainda não foram preenchidos. Estes terão de ser recolhidos manualmente. Passo 4: Nas Colunas D e E, peça aos estudantes para introduzirem as fórmulas para calcular o quadrado do segmento da tangente e o produto de todo o segmento da secante pelo segmento externo da secante. Novamente, os estudantes podem pretender clicar em Resize para redimensionarem estas duas colunas. Passo 5: Ao regressarem à página 2.1, os estudantes devem premir / + ^ cada vez que pretenderem recolher valores de dados específicos. Peça-lhes para premirem uma vez / + ^ e observarem a folha de cálculo, de forma a verificarem se os valores foram recolhidos. A seguir, devem alterar o tamanho da circunferência (recolhendo pelo menos cinco valores diferentes dos dados), consultar os cálculos utilizando os dados recolhidos (registados nas Colunas D e E) e registar as observações na folha de cálculo. Pergunte porque é que este teorema é muitas vezes designado por quadrado exterior = exterior todo Texas Instruments Incorporated Página 35

6 Passo 6: A página 2.3 apresenta um diagrama que mostra a relação dos comprimentos dos segmentos com os lados dos rectângulos. Se o tempo o permitir, peça aos estudantes para observarem a imagem e arrastarem o círculo, de forma a discutirem como o teorema está relacionado com as áreas dos rectângulos. Ao seleccionar Hide/Show no menu Tools, o método de criação dos rectângulos será apresentado, permitindo assim aos estudantes observarem que a largura do rectângulo inferior é igual ao comprimento do segmento externo da secante, enquanto que o rectângulo superior é na verdade um quadrado. Também podem deslocar o círculo e observar que a área do rectângulo é sempre igual à do quadrado. Passo 7: Na página 2.4, peça aos estudantes para desenharem um círculo, duas secantes que se cruzem no exterior do círculo e o seu ponto de intersecção. Devem clicar em Length para medirem cada um dos quatro segmentos e clicar em Store para guardá-los como variáveis. (Tenha em atenção que não podem utilizar as variáveis se ou si porque estas já foram utilizadas no Problema 2. Sugira aos estudantes que utilizem w, x, y e z.). Preste assistência se necessário. Página Texas Instruments Incorporated

7 Passo 8: Peça aos estudantes para utilizarem a folha de cálculo da página 2.5, para provarem que o produto dos comprimentos do segmento de secante e do respectivo segmento externo é igual ao produto dos comprimentos do outro segmento de secante e do seu segmento externo. Os estudantes devem recolher (de forma automática ou manual) os valores de w z nas Colunas A D, respectivamente e configurarem as fórmulas nas Coluna E e F, conforme indicado. Preste assistência se necessário. Indique que este teorema é muitas vezes referido como exterior todo = exterior todo. Passo 9: No problema em cima, os estudantes puderam seleccionar os comprimentos a medir. Em vez do que foi aqui indicado, podem ter calculado os comprimentos dos dois segmentos externos da secante e os comprimentos dos segmentos maiores. Conforme no problema anterior, os rectângulos com as dimensões de todo o segmento da secante pelo segmento externo da secante possuem as mesmas áreas. Os estudantes que terminarem mais cedo podem tentar desenhar estes rectângulos. Problema 3 Extensão Na página 3.2, é pedido aos estudantes para desenharem um círculo, um raio e uma tangente à circunferência, de forma a que o ponto de tangência seja a intersecção do raio e da circunferência. Peça-lhes para medirem o ângulo formado, seleccionando MENU > Measurement > Angle (pode ser necessário alterar as definições para o modo Degree (graus): / + c > File > Document Settings). Os estudantes devem segurar o ponto de tangência e deslocá-lo na circunferência. Devem observar que o ângulo permanece sempre um ângulo recto. A seguir, peça aos estudantes para desenharem uma perpendicular ao raio, utilizando a ferramenta Perpendicular ( ) do menu Construction. Devem traçar os pontos de intersecção desta recta com a circunferência e, em seguida, medir os comprimentos de cada segmento da corda formada. Os estudantes devem verificar que os comprimentos são iguais, mesmo se a recta perpendicular for deslocada ao longo do comprimento do raio! 2007 Texas Instruments Incorporated Página 37

8 Segmentos em Círculos ID: 8107 (Estudante) Ficheiro TI-Nspire: Geometria Segmentos em Círculos.tns Começar com o TI-Nspire Página Texas Instruments Incorporated

9 Começar com a Geometria Segmentos em Círculos ID: 8107 Nome Turma Nesta actividade, poderá explorar: as relações entre os segmentos de cordas cruzadas e os segmentos de tangentes desenhados a partir do mesmo ponto exterior as relações entre segmentos de secantes e segmentos de tangentes Abra o ficheiro Geometria Segmentos em Círculos.tns no TI-Nspire e siga as instruções do professor através da actividade. Utilize este documento como referência e para registar as suas respostas. Problema 1 Cordas e Tangentes Abra a página 1.2 e desenhe um círculo utilizando a ferramenta Circle do menu Shapes. Siga as instruções do professor para desenhar duas tangentes à circunferência que se cruzem no exterior da mesma, traçar o ponto de intersecção e medir o comprimento de cada segmento das tangentes. Segure e arraste a circunferência para alterar o seu tamanho e observe o que acontece ao comprimento das tangentes. Interprete os comprimentos dos dois segmentos das tangentes a uma circunferência com o mesmo ponto exterior. Ouça o professor para saber como utilizar as células das fórmulas a cinzento na folha de cálculo, de forma a recolher os dados automaticamente e escrever/calcular as fórmulas. Discuta a relação após recolher os dados. Problema 2 Cruzar Secantes e Tangentes Desenhe um círculo na página 2.1. A seguir, desenhe uma secante e uma tangente à circunferência de forma a cruzarem-se no exterior do círculo. Calcule o comprimento do seguinte: segmento da tangente segmento externo da secante segmento interno da secante Discuta a relação entre estes segmentos Texas Instruments Incorporated Página 1

10 Começar com a Geometria Complete a frase seguinte: Quando uma tangente e uma secante se cruzam no exterior do círculo,. Porque é que acha que este teorema é muitas vezes designado por quadrado exterior = exterior todo? Na página 2.4, desenhe um círculo e duas secantes que se cruzem no exterior do círculo. Meça o comprimento de cada um dos quatros segmentos das secantes. Siga as instruções do professor para guardar os comprimentos como variáveis, recolher os dados e escrever/calcular fórmulas. Complete a frase seguinte: Quando duas secantes se cruzam no exterior do círculo,. Porque é que acha que este teorema é muitas vezes designado por exterior todo = exterior todo? Problema 3 Extensão Trace um círculo, o raio e uma tangente à circunferência, de forma a que o ponto de tangência seja a intersecção do raio e da circunferência. Calcule a medida do ângulo formado. (Deve alterar as definições para o modo Degree (graus). Se necessário, peça assistência ao professor). Segure o ponto de tangência e desloque-o na circunferência. O que observa? Agora, desenhe uma perpendicular ao raio. Trace os pontos de intersecção desta recta com a circunferência. Meça os comprimentos de cada segmento da corda. Segure e arraste a perpendicular ao longo do comprimento do raio. O que observa? 2007 Texas Instruments Incorporated Página 2